W. Oevel

Mathematik II fur Informatiker
dieresis
Veranstaltungsnr: 172010

Skript zur Vorlesung, Universitat Paderborn, Sommersemester 2002 dieresis


Inhalt

1 Komplexe Zahlen 1 1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Polynomwurzeln, Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . 5 1.3 Diagonalisierung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Folgen und Grenzwerte 15 2.1 Definitionen, Beispiele, einige Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 dieresis 2.2 Weitere Konvergenzsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dieresis 2.2.1 Das Supremumsaxiom fur R . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dieresis 2.2.2 Konvergenz monotoner reeller Folgen . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Cauchyendash Folgen und der Banachsche Fixpunktsatz . . . . 30 2.2.4 Teilfolgen und Haufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . 37 dieresis 2.3 Unendliches, uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Wachstum von Folgen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Reihen 43 3.1 Definitionen, Beispiele, Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 dieresis 3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Spezielle Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Summation per Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Funktionen und Stetigkeit 61 4.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Der Zwischenwertsatz, das Min/Max-Prinzip . . . . . . . . . . . 69 4.5 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Wachstum von Funktionen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . 74

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ii INHALT

5 Spezielle Funktionen 77 5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Die trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Diff erentialrechnung 89 6.1 Definitionen und Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 dieresis 6.2 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Taylorendash Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Monotonie, Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.5 Die de l'Hospitalsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7 Integration 113 7.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . 113 7.1.1 Definitionen, Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.1.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.1.4 Rationale Integranden: Partialbruchzerlegung . . . . . . . 119 7.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.3 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.5 Einige spezielle Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


Literatur

Die Vorlesung baut nicht streng auf irgendeinem Buch auf, sondern geht ihren eigenen Weg. Die angegebenen Referenzen dienen dazu, sich unabhangig dieresis
vom Skript entsprechende Grundlagen anzueignen oder spezielle Inhalte zu vertiefen. Es handelt sich um eine recht willkurliche Auswahl: Neben den dieresis angegebenen Buchern gibt es sicherlich jede Menge weiterer Literatur, die den dieresis behandelten Stoff analog abdeckt.

[Pap] Lothar Papula: Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler. dieresis Band 1 - 3 + Mathematische Formelsammlung. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg 2001. (P41 TBG2788)

Recht elementar und mathematisch nicht sehr tief gehend; dafur leicht und andieresis genehm zu lesen. Ist ein Standardbuch und großer Renner bei den Ingenieuren. Hier steht zwar fur Ingenieure und Naturwissenschaftler" drauf, diese Reihe dieresis

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ist aber allgemein fur eine anwendungsorientierte Kundschaft sehr geeignet, die dieresis

dieresis sich weniger fur das Abstrakte in der Mathematik interessiert. Ubungen und dieresis Anwendungsbeispiele sind allerdings speziell auf Ingenieure zugeschnitten.
Im Wesentlichen ist hier Band 1 interessant: er umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erentialrechnung, spezielle Funktionen und Integration (der Stoff der Mathe II).
Band 2 umfaßt die Lineare Algebra (Stoff der Mathe I des letzten Semesters), komplexe Zahlen und viele weitere Dinge, die fur diese Vorlesung aber nicht so dieresis interessant sind.
Band 3 umfaßt mehrdimensionale Diff erential- und Integralrechnung sowie Stochastik und ist fur uns nicht so interessant.
dieresis

[TI] S. Timman: Repetitorium der Analysis (Teil 1) Springe: Binomi-Verlag.

Eigentlich keine 'Repetitorium', sondern eine vollstandige Einfuhrung mit dieresis dieresis
Definitionen etc. Recht elementar geschrieben, sehr ubersichtlich. Gelungener dieresis Kompromiss zwischen mathematischem Tiefgang und guter Lesbarkeit auf fur dieresis Nicht-Mathematiker. Grundlagen, Folgen und Reihen, Stetigkeit, Diff erential-

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iv INHALT

dieresis und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Zahlreiche Ubungsaufgaben mit Musterlosungen.
dieresis

[KS] K.-H. Kiyek und F. Schwarz: Mathematik fur Informatiker 1 + 2. dieresis Stuttgart: Teubner 1996 + 1994. (P41 TBM1740)

Deutlicher formaler, abstrakter und anspruchsvoller als z.B. [Pap].
Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 2 ist fur uns nicht so relevant.
dieresis

[BK] G. Baron und P. Kirschenhofer: Einfuhrung in die Mathematik fur dieresis dieresis
Informatiker 1 - 3. Wien: Springer 1990. (P41 TBM1732)

Liegt vom Anspruch und Abstraktionsgrad zwischen [Pap] und [KS]. Band 2 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 1 umfaßt Grundlagen, komplexe Zahlen, Lineare Algebra, Polynome. Band 3 ist fur uns nicht so relevant.
dieresis

[For] O. Forster: Analysis 1 - 3. Vieweg. 2001. (P41 TIA 2647)

Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Standardwerk fur Mathemadieresis tikstudenten. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung einer Veranderlichen (der Stoff der Mathe II). Die Bande dieresis dieresis
2 und 3 umfassen die mehrdimensionale Analysis und sind fur uns nicht so dieresis relevant.

[Bla] C. Blatter: Analysis 1 + 2. Berlin: Springer 1991. (P41 THX1325)

Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 2 ist fur uns nicht so relevant.
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Bei starken Defiziten in der Schulmathematik schaue man z.B. in:

[Sch] Jochen Schwarze: Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: dieresis Grundlagen. Herne: Verlag deutsche Wirtschafts-Briefe GmbH 1996.

Extrem elementar. Nur zum Aufarbeiten fehlender Grundlagen aus der Schule, falls es daran hapert.