Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 4. 12. 2003

Ü b u n g s b l a t t 8

Abgabe von ∗–Aufgaben am 11.12.2003 in der Übung.

Aufgabe 66*: (Mittelwertsatz. 10 Bonuspunkte) Zeige, dass | sin(x)| ≤ |x| gilt für alle x ∈ ℝ. Anleitung: Mittelwertsatz für f(x) = sin(x).

Musterlösung: Der Mittelwertsetz

\frac{f(x) − f(y)}{x − y} = f′(ξ)

für beliebiges x, y und ξ zwischen x und y liefert für f = sin, f′ = cos, y = 0:

\frac{sin(x) − sin(0)}{x − 0} = cos(ξ) ⇒ sin(x) = cos(ξ) · x ⇒ | sin(x)| = | cos(ξ)| · |x|.

Bekanntlich gilt | cos(ξ)| ≤ 1 für jedes beliebige ξ, also | sin(x)| ≤ |x|.

Aufgabe 67*: (Taylor-Reihen. 10 Bonuspunkte) Bestimme die ersten 4 Koeffizienten c_{0}, …, c_{3} der Taylor-Entwicklungen

e^{sin(x)} = c_{0} + c_{1} · x + c_{2} · x^{2} + c_{3} · x^{3} + O(x^{4})

und

e^{sin(x)} = c_{0} + c_{1} · (x − \frac{π}{2} ) + c_{2} · (x − \frac{π}{2} )^{2} + c_{3} · (x − \frac{π}{2} )^{3} + O((x − \frac{π}{2} )^{4}).

MuPAD-Funktion zur Kontrolle: taylor.

Musterlösung: Es gilt

f^{(0)}(x) = e^{sin(x)}  ⇒ f^{(0)}(0) = e^{sin(0)} = 1, f^{(0)}(\frac{π}{2} ) = e^{sin(π/2)} = e,
f^{(1)}(x) = cos(x) · e^{sin(x)}  ⇒ f^{(1)}(0) = 1, f^{(1)}(\frac{π}{2} ) = 0,
f^{(2)}(x) = − sin(x) · e^{sin(x)} + cos^{2}(x) · e^{sin(x)} ⇒ f^{(2)}(0) = 1, f^{(2)}(\frac{π}{2} ) = −e,

f^{(3)}(x) = − cos(x) · e^{sin(x)} − 3 · cos(x) · sin(x) · e^{sin(x)} + cos^{3}(x) · e^{sin(x)}

⇒ f^{(3)}(0) = 0, f^{(3)}(\frac{π}{2} ) = 0.

Damit ergibt sich der Beginn der Taylor–Entwicklung

f(x) = f(x_{0}) + \frac{f′(x_{0})}{1!} · (x − x_{0}) + \frac{f′′(x_{0})}{2!} · (x − x_{0})^{2} + \frac{f′′′(x_{0})}{3!} · (x − x_{0})^{3} + O((x − x_{0})^{4})

um den Punkt x_{0} = 0 zu

e^{sin(x)} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}),

während sich bei Entwicklung um x_{0} = π/2 ergibt:

e^{sin(x)} = e − \frac{e}{2!} · (x − \frac{π}{2} )^{2} + O((x − \frac{π}{2} )^{4}).

Probe mit MuPAD:

>> taylor(exp(sin(x)), x = 0)
                          2    4    5
                         x    x    x       6
                 1 + x + -- - -- - -- + O(x )
                          2    8   15
>> taylor(exp(sin(x)), x = PI/2)
                 /     PI \2          /     PI \4
          exp(1) | x - -- |    exp(1) | x - -- |
                 \      2 /           \      2 /     / /     PI \6 \
 exp(1) - ------------------ + ------------------ + O| | x - -- |  |
                   2                    6            \ \      2 /  /

Aufgabe 68*: (Taylor-Reihen. 10 Bonuspunkte) Betrachte f(x) = 1/(1 − x).

a) Bestimme eine Formel für f^{(n)}(x).

b) Bestimme hiermit die Taylor–Reihe von f um den Nullpunkt.

c) Für welche x wird f(x) durch die Taylor-Reihe dargestellt?

Musterlösung:

a) Die ersten Ableitungen:

f^{(0)}(x) = \frac{1}{1 − x}, f^{(1)}(x) = \frac{1}{(1 − x)^{2}} , f^{(2)}(x) = \frac{2}{(1 − x)^{3}} , f^{(3)}(x) = \frac{2 · 3}{(1 − x)^{4}} , f^{(4)}(x) = \frac{2 · 3 · 4}{(1 − x)^{5}}

legen die Vermutung

f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1 − x)^{n+1}}

nahe, welche durch Induktion leicht zu beweisen ist. Hier der Induktionsschritt:

f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{n!}{(1 − x)^{n+1}} = −(n + 1) · \frac{n!}{(1 − x)^{n+2}} · (−1) = \frac{(n + 1)!}{(1 − x)^{n+2}} .

b) Mit f^{(n)}(0) = n!/(1 − 0)^{n+1} = n! ergibt sich die Taylor–Reihe

∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} · x^{n} = ∑_{n=0}^{∞} x^{n}.

c) Es ist bekannt, dass die geometrische Reihe für |x| < 1 gegen \frac{1}{1−x} konvergiert und für |x| ≥ 1 divergiert:

\frac{1}{1 − x} = ∑_{n=0}^{∞} x^{n} für |x| < 1.

Aufgabe 69: (Taylor-Reihen. 0 Bonuspunkte) Betrachte f(x) = arctan(x).

a) Bestimme die Taylor-Reihe von f′(x).

b) Für welche x wird f′(x) durch die Taylor-Reihe dargestellt?

c) Stelle eine Vermutung auf, wie die Taylor-Reihe von f(x) aussieht. Anleitung: a) Die Konstruktion über Ableitungen ist mühsam. Betrachte stattdessen eine geeignete geometrische Reihe. c) Integration von f′(x) und der Taylor-Reihe von f′(x). (Integration als Vorkenntnisse aus der Schule vorausgesetzt).

Musterlösung:

a) In Aufgabe 63.b) wurde

\frac{d}{dx} arctan(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

hergeleitet. Mit ϵ = −x^{2} gilt

\frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 − ϵ} = ∑_{k=0}^{∞} ϵ^{k} = ∑_{k=0}^{∞}(−x^{2})^{k} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} · x^{2·k} = 1 − x^{2} + x^{4} − x^{6} + · · · .

b) Dies ist die Taylor–Reihe um den Nullpunkt. Als geometrische Reihe konvergiert sie für | − x^{2}| < 1, also |x| < 1, gegen f′(x) = 1/(1 + x^{2}).

c) Integriert man die Gleichung

f′(x) = 1 − x^{2} + x^{4} − x^{6} + ⋯

formal links und rechts, so erhält man

f(x) = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} − \frac{x^{7}}{7} ± ⋯ + Konstante.

Die Konstante ergibt sich durch Einsetzen von x = 0 mit f(0) = arctan(0) = 0 als 0. Dies ergibt als (vermutete) Taylor-Reihe

arctan(x) = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} − \frac{x^{7}}{7} ± · · · .

Aufgabe 70*: (Extremwerte. 10 Bonuspunkte) Ein Leuchtturm liegt 3 km vor der Küste, direkt gegenüber einem Punkt A der geraden Küstenlinie. Vom Punkt A aus liegt in 5 km Entfernung parallel zur Küstenlinie ein Laden. Der Leuchtturmwärter kann mit 4 km/h rudern und mit 6 km/h laufen. Welchen Punkt sollte er vom Leuchtturm aus startend ansteuern, um den Laden so schnell wie möglich zu erreichen?

[figure: Küstenlinie; Leuchtturm; rudern mit 4 km/h; laufen mit 6 km/h; 3 km; A; 5 km; Laden]

MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: diff, solve.

Musterlösung: Sei x der Abstand zwischen A und dem Küstenpunkt, der rudernd anzusteuern ist. Nach Pythagoras ist die zu rudernde Strecke \sqrt{3^{2} + x^{2}}, die zum Rudern benötigte Zeit ist damit

t_{1} = \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{4} .

Es verbleibt die Strecke 5 − x zu laufen, die dafür benötigte Zeit ist

t_{2} = \frac{5 − x}{6}.

Damit ist das Minimum von

t(x) = t_{1} + t_{2} = \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{4} + \frac{5 − x}{6}

zu finden:

0 = \frac{dt}{dx} = \frac{2 · x}{4 · 2 · \sqrt{9 + x^{2}}} − \frac{1}{6} ⇒ \frac{x}{4 · \sqrt{9 + x^{2}}} = \frac{1}{6} ⇒ 3 · x = 2 · \sqrt{9 + x^{2}}

⇒ 9 · x^{2} = 4 · (9 + x^{2}) ⇒ 5 · x^{2} = 36 ⇒ x = \frac{6}{\sqrt{5}} ≈ 2.683.

Aufgabe 71*: (Extremwerte. 10 Bonuspunkte) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 71’ bezeichnet. Es ist dort eine Extremwertaufgabe zu lösen. Liefere die Antwort im Web-Formular ab. Es gibt drei Abgabeversuche! Abgaben bis Do, 11.12., 23::59::59 Uhr. Relevante MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: diff, solve.

Musterlösung: Die generierte Aufgabe lautet: Betrachte einen Quader, bei dem die Seiten a, b der Grundfläche das Verhältnis a/b = (M_{1} + M_{2})/(M_{1} + M_{3}) aufweisen. Bestimme die Höhe c des Quaders, wenn das Volumen

a · b · c = (M_{1} + M_{4} + M_{5} + M_{6} + M_{7})^{3}

vorgegeben ist und die Quaderoberfläche minimal werden soll. Hierbei sind M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer.

Lösung: Sei

C_{1} = \frac{M_{1} + M_{2}}{M_{1} + M_{3}} , C_{2} = (M_{1} + M_{4} + M_{5} + M_{6} + M_{7})^{3}.

Die Oberfläche ist

F = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c,

wobei

a = \frac{M_{1} + M_{2}}{M_{1} + M_{3}} · b = C_{1} · b

und

a · b · c = C_{1} · b^{2} · c = C_{2}

gilt, also

b = \sqrt{\frac{C_{2}}{C_{1} · c}} , a = \sqrt{\frac{C_{1} · C_{2}}{c}} .

Damit ergibt sich die Oberfläche als Funktion von c:

F (c) = 2 · a(c) · b(c) + 2 · (a(c) + b(c)) · c

= 2 · \frac{C_{2}}{c} + 2 · c · (\sqrt{\frac{C_{1} · C_{2}}{c}} + \sqrt{\frac{C_{2}}{C_{1} · c}} ) = 2 · \frac{C_{2}}{c} + 2 · \sqrt{c} · (\sqrt{C_{1} · C_{2}} + \sqrt{\frac{C_{2}}{C_{1}}} ).

Sei

C_{3} = \sqrt{C_{1} · C_{2}} + \sqrt{\frac{C_{2}}{C_{1}}} = \sqrt{C_{1} · C_{2}} · (1 + \frac{1}{C_{1}} ).

Das Oberflächenminimum ergibt sich durch

0 = \frac{d}{dc} F (c) = −\frac{2 · C_{2}}{c^{2}} + \frac{C_{3}}{\sqrt{c}} ⇒ c^{3/2} = \frac{2 · C_{2}}{C_{3}} ⇒ c = (\frac{2 · C_{2}}{C_{3}} )^{2/3},

also

c = (\frac{4 · C_{2}^{2}}{C_{3}^{2}} )^{1/3} = (\frac{4 · C_{2}^{2}}{C_{1} · C_{2} · (1 + \frac{1}{C_{1}} )^{2}} )^{1/3} = (\frac{4 · C_{2}}{C_{1} · (1 + \frac{1}{C_{1}} )^{2}} )^{1/3} = (\frac{4 · C_{2}}{C_{1} + 2 + \frac{1}{C_{1}}} )^{1/3}

= (\frac{4 · (M_{1} + M_{4} + M_{5} + M_{6} + M_{7})^{3}}{\frac{M_{1}+M_{2}}{M_{1}+M_{3}} + 2 + \frac{M_{1}+M_{3}}{M_{1}+M_{2}}} )^{1/3} = (M_{1}+M_{4}+M_{5}+M_{6}+M_{7})·( \frac{4}{\frac{M_{1}+M_{2}}{M_{1}+M_{3}} + 2 + \frac{M_{1}+M_{3}}{M_{1}+M_{2}}} )^{1/3} .

Aufgabe 72*: (de l’Hospital. 10 Bonuspunkte) Berechne mittels der de l’Hospitalschen Regel lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}}.

Musterlösung: Zweifache Anwendung von l’Hospital (solange eine \frac{0}{0}–Situation vorliegt):

lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx}(1 − cos(x))}{\frac{d}{dx}x^{2}} = lim_{x→0} \frac{sin(x)}{2 · x} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} sin(x)}{\frac{d}{dx}2 · x}

= lim_{x→0} \frac{cos(x)}{2} = \frac{cos(0)}{2} = \frac{1}{2} .

MuPAD:

>> limit((1 - cos(x))/x^2, x = 0)
                              1/2

Aufgabe 73*: (de l’Hospital. 10 Bonuspunkte) Berechne den Grenzwert lim_{x→0+0} x^{x}. Anleitung: x^{x} = e^{x·ln(x)}. Forme x · ln(x) so um, dass sich für x = 0 eine \frac{∞}{∞}–Situation ergibt.

Musterlösung: Es wird zunächst lim_{x→0+0} x · ln(x) per l’Hospital berechnet:

lim_{x→0+0} x · ln(x) = lim_{x→0+0} \frac{ln(x)}{1/x}.

Dies ergibt für x = 0 eine ∞/∞-Situation, d.h., wir können l’Hospital anwenden:

lim_{x→0+0} \frac{ln(x)}{1/x} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} ln(x)}{\frac{d}{dx} 1/x} = lim_{x→0+0} \frac{1/x}{−1/x^{2}} = lim_{x→0+0}(−x) = 0.

Es folgt

lim_{x→0+0} x^{x} = lim_{x→0+0} e^{x·ln(x)} = e lim_{x→0+0} x · ln(x) = e^{0} = 1.

Aufgabe 74*: (de l’Hospital. 10 Bonuspunkte) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 74’ bezeichnet. Es ist dort per de l’Hospital ein Grenzwert zu bestimmen. Liefere den Grenzwert im Web-Formular ab. Es gibt drei Abgabeversuche! Abgaben bis Do, 11.12., 23::59::59 Uhr. Anleitung: siehe auch Aufgabe 73. Die Ableitung von arctan war in Aufgabe 63.b) zu bestimmen. Relevante MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: limit.

Musterlösung: Die generierte Aufgabe lautet: Berechne den Grenzwert

lim_{x→0+0} (sin((M_{1} + M_{2}) · x)^{(M_{1}+M_{3})·x} + \frac{arctan((M_{1} + M_{4}) · x^{2})}{(M_{1} + M_{5}) · x^{2} · (1 + M_{6} + x)}) .

Hierbei sind M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer.

Lösung: Der Grenzwert des ersten Summanden ergibt sich analog zu Aufgabe 73:

lim_{x→0+0} sin((M_{1} + M_{2}) · x)^{(M_{1}+M_{3})·x} = lim_{x→0+0} e^{(M_{1}+M_{3})·x·ln(sin((M_{1}+M_{2})·x))}.

Hierbei gilt nach l’Hospital:

lim_{x→0+0} x · ln(sin((M_{1} + M_{2}) · x)) = lim_{x→0+0} \frac{ln(sin((M_{1} + M_{2}) · x))}{1/x}

= lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} ln(sin((M_{1} + M_{2}) · x))}{\frac{d}{dx} 1/x} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{(M_{1}+M_{2})·cos((M_{1}+M_{2})·x)}{sin((M_{1}+M_{2})·x)}}{−1/x^{2}}

= lim_{x→0+0} ( − cos((M_{1} + M_{2}) · x) · \frac{(M_{1} + M_{2}) · x}{sin((M_{1} + M_{2}) · x)} · x)

= −( lim_{x→0+0} cos((M_{1} + M_{2}) · x)) · ( lim_{x→0+0} \frac{(M_{1} + M_{2}) · x}{sin((M_{1} + M_{2}) · x)}) · ( lim_{x→0+0} x) = −1 · 1 · 0 = 0,

also

lim_{x→0+0} sin((M_{1} + M_{2}) · x)^{(M_{1}+M_{3})·x} = e lim_{x→0+0}(M_{1} + M_{3}) · x · ln(sin((M_{1} + M_{2}) · x)) = e^{0} = 1.

Der Grenzwert des zweiten Summanden ergibt sich per l’Hospital (beachte \frac{d}{dx} arctan(x) = \frac{1}{1+x^{2}} ):

lim_{x→0+0} \frac{arctan((M_{1} + M_{4}) · x^{2}}{(M_{1} + M_{5}) · x^{2} · (1 + M_{6} + x)} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} arctan((M_{1} + M_{4}) · x^{2})}{\frac{d}{dx} ((M_{1} + M_{5}) · x^{2} · (1 + M_{6} + x))}

= lim_{x→0+0} \frac{\frac{2·(M_{1}+M_{4})·x}{1+(M_{1}+M_{4})^{2}·x^{4}}}{2 · (M_{1} + M_{5}) · (1 + M_{6}) · x + 3 · (M_{1} + M_{5}) · x^{2}}

= lim_{x→0+0} \frac{2 · (M_{1} + M_{4})}{(1 + (M_{1} + M_{4})^{2} · x^{4}) · (2 · (M_{1} + M_{5}) · (1 + M_{6}) + 3 · (M_{1} + M_{5}) · x)}

= \frac{M_{1} + M_{4}}{(M_{1} + M_{5}) · (1 + M_{6})}.

Endergebnis:

lim_{x→0+0} (sin((M_{1} + M_{2}) · x)^{(M_{1}+M_{3})·x} + \frac{arctan((M_{1} + M_{4}) · x^{2})}{(M_{1} + M_{5}) · x^{2} · (1 + M_{6} + x)}) = 1 + \frac{M_{1} + M_{4}}{(M_{1} + M_{5}) · (1 + M_{6})}.