Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 20. 11. 2003

Ü b u n g s b l a t t 6a

Hier ist etwas Zusatzmaterial zu speziellen Funktionen. Zusammen mit Blatt 6 ist dies mehr Material als man sich sinnvollerweise innerhalb einer Woche anschauen sollte. Meine Empfehlung: man konzentriere sich auf Blatt 6 und benutze dieses Zusatzmaterial optional –je nach Ehrgeiz– zur weiteren Übung jetzt oder später (z.B. für die Prüfungsvorbereitung). Es wird hierzu wie für alle Übungsaufgaben Musterlösungen geben.

Aufgabe 17a: (Spezielle Funktionen: tan und arctan. Mühselige technische Puzzelei.)

a) Wir führen die Tangens-Funktion tan(x) = sin(x)/ cos(x) ein. Sie ist für alle x ∈ ℝ \ \{±\frac{π}{2} , ±\frac{3·π}{2} , ±\frac{5·π}{2} , … \} definiert (an diesen Stellen gilt cos(x) ≠ 0). Zeige, dass sie die Symmetrie tan(−x) = − tan(x) und die Periode π hat: tan(x + π) = tan(x). Zeige, dass das Additionstheorem

tan(x + y) = \frac{tan(x) + tan(y)}{1 − tan(x) · tan(y)}

für alle x, y mit x, y, x + y ∉ \{±\frac{π}{2} , ±\frac{3·π}{2} , ±\frac{5·π}{2} , … \} gilt.

b) Zeige, dass für alle x, y im Intervall (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) gilt:

tan(x) · tan(y) \{ \begin{matrix}= 1 & für & x + y = ±\frac{π}{2} , \\ > 1 & für & x + y > \frac{π}{2} oder x + y < −\frac{π}{2} , \\ > 1 & für & (x < 0 und x + y < \frac{π}{2} ) oder (x > 0 und x + y > −\frac{π}{2} ), \\ < 1 & für & (x ≥ 0 und x + y < \frac{π}{2} ) oder (x ≤ 0 und x + y > −\frac{π}{2} ). \end{matrix}

Verwende hierzu ohne Beweis, dass tan(y) auf dem “Basisintervall“ y ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) streng monoton steigt. Achtung: hier sind viele Fallunterscheidungen durchzuführen.

c) Schränkt man tan(x) auf das Basisinterval x ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) ein, so ist der Tangens wegen der strengen Monotonie dort invertierbar. Die (wiederum streng monoton steigende) Umkehrfunktion wird als Arcus Tangens bezeichnet:

arctan : ℝ ↦ ( − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} ).

Visualisiere MuPADs arctan mit MuPADs plotfunc2d. Bestimme arctan(0), arctan(±1) und lim_{x→±∞} arctan(x).

d) Zeige, dass die Identität

arctan(X) + arctan(Y) = \{ \begin{matrix}arctan (\frac{X+Y}{1−X·Y} ) & für & X · Y < 1, \\ arctan (\frac{X+Y}{1−X·Y} ) + π & für & X · Y > 1, X > 0, Y > 0, \\ arctan (\frac{X+Y}{1−X·Y} ) − π & für & X · Y > 1, X < 0, Y < 0 \end{matrix}

für alle X, Y ∈ ℝ mit X · Y ≠ 1 gilt. Welche Identität gilt für Y = \frac{1}{X}? Anleitung: benutze b).

Musterlösung: a)

tan(−x) = \frac{sin(−x)}{cos(−x)} = \frac{− sin(x)}{cos(x)} = − tan(x),

tan(x + π) = \frac{sin(x + π)}{cos(x + π)} = \frac{sin(x) · cos(π) + cos(x) · sin(π)}{cos(x) · cos(π) − sin(x) · sin(π)} = \frac{− sin(x)}{− cos(x)} = tan(x),

tan(x + y) = \frac{sin(x + y)}{cos(x + y)} = \frac{sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y)}{cos(x) · cos(y) − sin(x) · sin(y)}

= \frac{cos(y) · cos(x) · (\frac{sin(x)}{cos(x)} + \frac{sin(y)}{cos(y)})}{cos(x) · cos(y) · (1 − \frac{sin(x)}{cos(x)} · \frac{sin(y)}{cos(y)})} = \frac{tan(x) + tan(y)}{1 − tan(x) · tan(y)}.

b) Viele Fallunterscheidungen: \underline{Sei y = ±\frac{π}{2} − x}: Aus den Additionstheoremen für den Sinus und Cosinus und den speziellen Werten sin(±\frac{π}{2} ) = ±1, cos(±\frac{π}{2} ) = 0 ergibt sich:

tan(x) · tan(y) = \frac{sin(x)}{cos(x)} · \frac{sin(±\frac{π}{2} − x)}{cos(±\frac{π}{2} − x)} = \frac{sin(x)}{cos(x)} · \frac{sin(±\frac{π}{2} ) · cos(x) − cos(±\frac{π}{2} ) · sin(x)}{cos(±\frac{π}{2} ) · cos(x) + sin(±\frac{π}{2} ) · sin(x)}

= \frac{sin(x)}{cos(x)} · \frac{± cos(x)}{± sin(x)} = 1.

\underline{Sei x + y > \frac{π}{2}} : Da y ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) vorausgesetzt wurde, impliziert x + y > \frac{π}{2} , dass x > 0 gelten muß. Damit gilt tan(x) > 0. Mit tan(x) · tan(y) = 1 für y = \frac{π}{2} − x folgt aus der strengen Monotonie von tan(y) das Resultat tan(x) · tan(y) > 1 für y > \frac{π}{2} − x. \underline{Sei x + y < −\frac{π}{2}} : Analog impliziert x + y < −\frac{π}{2} , dass x < 0 gelten muß. Damit gilt tan(x) < 0. Mit tan(x) · tan(y) = 1 für y = −\frac{π}{2} − x folgt aus der strengen Monotonie von tan(y) das Resultat tan(x) · tan(y) > 1 für y < −\frac{π}{2} − x. \underline{Sei x < 0, x + y < \frac{π}{2}} : Für −\frac{π}{2} < x < 0, also tan(x) < 0, folgt aus tan(x) · tan(y) = 1 für y = \frac{π}{2} − x und der strengen Monotonie von tan(y) das Ergebnis tan(x) · tan(y) > 1 für y < \frac{π}{2} − x. \underline{Sei x > 0, x + y > −\frac{π}{2}} : Für 0 < x < \frac{π}{2} , also tan(x) > 0, folgt aus tan(x) · tan(y) = 1 für y = −\frac{π}{2} − x und der strengen Monotonie von tan(y) das Ergebnis tan(x) · tan(y) > 1 für y > −\frac{π}{2} − x. \underline{Sei x ≥ 0, x + y < \frac{π}{2}} : Für 0 ≤ x < \frac{π}{2} , also tan(x) ≥ 0, folgt aus tan(x)·tan(y) = 1 für y = \frac{π}{2} −x und der strengen Monotonie von tan(y) das Ergebnis tan(x) · tan(y) < 1 für y < \frac{π}{2} − x. \underline{Sei x ≤ 0, x + y > −\frac{π}{2}} : Für −\frac{π}{2} < x ≤ 0, also tan(x) ≤ 0, folgt aus tan(x) · tan(y) = 1 für y = −\frac{π}{2} − x und der strengen Monotonie von tan(y) das Ergebnis tan(x) · tan(y) < 1 für y > −\frac{π}{2} − x.

c) Offensichtlich gilt arctan(0) = 0, denn tan(0) = 0. Für x = \frac{π}{4} gilt nach Aufgabe 65.b)

sin (\frac{π}{4} ) = cos (\frac{π}{4} ) ⇒ tan (\frac{π}{4} ) = 1 ⇒ arctan(1) = \frac{π}{4} .

Mit arctan(−x) = − arctan(x) folgt arctan(−1) = −\frac{π}{4} .

Für −\frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} gilt lim_{x→±π/2∓0} tan(x) = ±∞. Durch Spiegelung des Graphen von tan(x) auf dem

Basisintervall an der Winkelhalbierenden erkennt man sofort:

lim_{x→±∞} arctan(x) = ±\frac{π}{2} .

d) Setze x = arctan(X), y = arctan(Y) in die Identität aus a) ein:

tan(x + y) = \frac{tan(x) + tan(y)}{1 − tan(x) · tan(y)} ⇒ tan(x + y) = \frac{X + Y}{1 − X · Y} .

\underline{Sei X · Y < 1}: Nach b) folgt |x + y| < \frac{π}{2} , wenn tan(x) · tan(y) = X · Y < 1 gilt, denn in b) wurde gezeigt, dass tan(x) · tan(y) ≥ 1 gilt für |x + y| ≥ \frac{π}{2} . Damit liegt x + y im Basisintervall und durch Anwenden von arctan folgt:

x + y = arctan (\frac{X + Y}{1 − X · Y} ) ⇒ arctan(X) + arctan(Y) = arctan (\frac{X + Y}{1 − X · Y} ).

\underline{Sei X · Y > 1, X > 0, Y > 0}: Aus X > 0, Y > 0 folgt x > 0, y > 0. Mit b) folgt aus X · Y > 1, dass x + y > \frac{π}{2} gelten muss, denn in b) wurde gezeigt, dass tan(x)·tan(y) = X ·Y ≤ 1 für x > 0, x+y ≤ \frac{π}{2} gilt. Es folgt x+y −π ∈ (−\frac{π}{2} , 0) und damit

arctan(tan(x + y)) = arctan(tan(x + y − π)) = x + y − π,

da x + y − π im Basisintervall liegt. Aus

tan(x + y) = \frac{X + Y}{1 − X · Y}

folgt damit

x + y = arctan(X) + arctan(Y) = arctan (\frac{X + Y}{1 − X · Y} ) + π.

\underline{Sei X · Y > 1, X < 0, Y < 0}: Aus X < 0, Y < 0 folgt x < 0, y < 0. Mit b) folgt aus X ·Y > 1, dass x+y < −\frac{π}{2} gelten muss, denn in b) wurde gezeigt, dass tan(x)·tan(y) = X ·Y ≤ 1 für x < 0, x+y ≥ −\frac{π}{2} gilt. Es folgt x+y +π ∈ (0, \frac{π}{2} ) und damit

arctan(tan(x + y)) = arctan(tan(x + y + π)) = x + y + π,

da x + y + π im Basisintervall liegt. Aus

tan(x + y) = \frac{X + Y}{1 − X · Y}

folgt damit

x + y = arctan(X) + arctan(Y) = arctan (\frac{X + Y}{1 − X · Y} ) − π.

\underline{Sei X · Y = 1, X > 0, Y > 0}: Aus X > 0, Y > 0 folgt x > 0, y > 0. Nach b) kann für X · Y = 1 nur x + y = ±\frac{π}{2} gelten, wobei nur das positive Vorzeichen in Frage kommt. Also

x + y = arctan(X) + arctan (\frac{1}{X} ) = \frac{π}{2} für X > 0.

\underline{Sei X · Y = 1, X < 0, Y < 0}:

Aus X < 0, Y < 0 folgt x < 0, y < 0. Nach b) kann für X · Y = 1 nur x + y = ±\frac{π}{2} gelten, wobei nur das negative Vorzeichen in Frage kommt. Also

x + y = arctan(X) + arctan (\frac{1}{X} ) = −\frac{π}{2} für X < 0.

Die letzten beiden Fälle lassen sich zusammenfassen zu

arctan(X) + arctan (\frac{1}{X} ) = sign(X) · \frac{π}{2} für X ≠ 0.