Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 20. 11. 2003

Ü b u n g s b l a t t 6

Abgabe von ∗–Aufgaben am 27.11.2003 in der Übung.

Aufgabe 47*: (O-Kalkül, spezielle Funktionen. 10 + 10 + 10 Bonuspunkte) Zeige:

a) \frac{sin(x^{2})}{x · cos(x^{3})} = O(x) im Limes x → 0,

b) \frac{e^{x} · (1 − cos(x^{2}))}{x^{4}} = O(1) im Limes x → 0,
c) \frac{sin(x)}{x} = O(\frac{1}{x}) im Limes x → ∞.

Musterlösung:

a) Es ist zu zeigen, dass

\frac{sin(x^{2})/(x · cos(x^{3}))}{x} = \frac{sin(x^{2})}{x^{2} · cos(x^{3})}

auf einer Umgebung von x = 0 beschränkt ist. Es gilt

sin(x^{2}) = (x^{2}) − \frac{(x^{2})^{3}}{3!} + \frac{(x^{2})^{5}}{5!} + ⋯ = x^{2} · ( \underbrace{1 − \frac{x^{4}}{3!} + \frac{x^{8}}{5!} − ⋯}_{f(x)} ).

Die konvergierende Reihe f(x) ist auf einer Umgebung von x = 0 beschränkt. Z.B. gilt für |x| ≤ 1

|f(x)| = |1 − \frac{x^{4}}{3!} + \frac{x^{8}}{5!} − ⋯ | ≤ 1 + \frac{|x|^{4}}{3!} + \frac{|x|^{8}}{5!} + ⋯ ≤ 1 + \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} + ⋯

≤ 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ⋯ = e.

Damit ist

\frac{sin(x^{2})}{x^{2} · cos(x^{3})} = \frac{f(x)}{cos(x^{3})}

auf einer Umgebung von x = 0 beschränkt (beachte, dass die stetige Funktion cos(x^{3}) in der Nähe von x = 0 Werte in der Nähe der 1 annimmt).

b) Es ist zu zeigen, dass

\frac{e^{x} · (1 − cos(x^{2}))}{x^{4}}

auf einer Umgebung von x = 0 beschränkt ist. Es gilt

1 − cos(x^{2}) = 1 − (1 − \frac{(x^{2})^{2}}{2!} + \frac{(x^{2})^{4}}{4!} + ⋯) = x^{4} · ( \underbrace{\frac{1}{2!} − \frac{x^{4}}{4!} + ⋯}_{f(x)} ).

Die konvergierende Reihe f(x) ist auf einer Umgebung von x = 0 beschränkt. Z.B. gilt für |x| ≤ 1

|f(x)| = |\frac{1}{2!} − \frac{x^{4}}{4!} + ⋯ | ≤ \frac{1}{2!} + \frac{|x|^{4}}{4!} + ⋯ ≤ \frac{1}{2!} + \frac{1}{4!} + ⋯ ≤ 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ⋯ = e.

Damit ist

\frac{e^{x} · (1 − cos(x^{2}))}{x^{4}} = e^{x} · f(x)

auf einer Umgebung von x = 0 beschränkt (beachte, dass die stetige Funktion e^{x} in der Nähe von x = 0 Werte in der Nähe der 1 annimmt).

c) Es ist zu zeigen, dass \frac{sin(x)/x}{1/x} = sin(x) für alle hinreichend großen x beschränkt ist. In der Tat

gilt | sin(x)| ≤ 1 für alle x ∈ ℝ.

Aufgabe 48*: (O-Kalkül, spezielle Funktionen. 10 Bonuspunkt) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 48’ bezeichnet. Es wird gefragt, ob (mit gewissen Werten für α, β)

1 − cos(x^{α}) = O(x^{β}) im Limes x → 0

gilt. Liefere die Antwort TRUE oder FALSE im Web-Formular ab. Es gibt nur einen Abgabeversuch! Abgaben bis Do, 27.11., 23::59::59 Uhr. Relevante MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: taylor, series.

Musterlösung: Die generierte Aufgabe ist: Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Gilt

1 − cos(x^{M_{2}+M_{3}+M_{4}}) = O(x^{3·M_{4}+4·M_{5}−M_{6}}) im Limes x → 0 ?

Sei α = M_{2} + M_{3} + M_{4}, β = 3 · M_{4} + 4 · M_{5} − M_{6}. Es ist zu prüfen, ob

\frac{1 − cos(x^{α})}{x^{β}} = \frac{1}{x^{β}} · (1 − (1 − \frac{(x^{α})^{2}}{2!} + \frac{(x^{α})^{4}}{4!} − ⋯)) = x^{2α−β} · ( \underbrace{\frac{1}{2!} − \frac{x^{2 α}}{4!} + ⋯}_{f(x)} )

beschränkt ist. Die verbleibende Reihe f(x) ist beschränkt (analog zu den Beweisen für Aufgabe 47). Damit ist der obige Ausdruck in einer Umgebung von x = 0 genau dann beschränkt, wenn 2α ≥ β gilt. Die Aussage ist damit richtig für

2 · M_{2} + 2 · M_{3} + 2 · M_{4} ≥ 3 · M_{4} + 4 · M_{5} − M_{6}

also

2 · M_{2} + 2 · M_{3} − M_{4} − 4 · M_{5} + M_{6} ≥ 0.

Aufgabe 49*: (O-Kalkül, spezielle Funktionen. 10 + 10 Bonuspunkte) Zeige:

a) x · ln(|x|) = o(1) im Limes x → 0, b) ln(x) = o(x) im Limes x → ∞.

Anleitung: Mit x_{0} = g(y_{0}) gilt offensichtlich lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{y→y_{0}} f(g(y)), wenn man die Existenz

der Grenzwerte voraussetzt und g(y) an der Stelle y_{0} stetig ist. Weiterhin: Die Existenz des rechten Grenzwerts impliziert die Existenz des linken Grenzwerts, wenn zusätzlich g auf einer Umgebung von y_{0} streng monoton ist. Das gilt auch für x_{0} = ±∞ und/oder y_{0} = ±∞. Benutze dies (ohne Beweis) und setze hier x = e^{−y} bzw. x = e^{y}. Betrachte statt des Limes in x einen entsprechenden Limes in y.

Musterlösung:

a) Es ist zu zeigen, dass lim_{x→0} f(x) = 0 für f(x) = x · ln(|x|) = 0 gilt. Wegen f(−x) = −f(x) braucht nur x > 0 betrachtet zu werden, also reicht es,

lim_{x→0+0} x · ln(x) = 0

zu zeigen. Wir setzen x = e^{−y} und benutzen

lim_{x→0+0} x · ln(x) = lim_{y→∞} e^{−y} · ln(e^{−y}) = lim_{y→∞} −\frac{y}{e^{y}} .

Für y > 0 gilt mit e^{y} = 1 + y + \frac{y^{2}}{2} + ⋯ > \frac{y^{2}}{2} :

| − \frac{y}{e^{y}} | < \frac{y}{y^{2}/2} = \frac{2}{y} .

Für jede gegen ∞ konvergierende Folge (y_{n}) ist damit (−y_{n}/e^{y_{n}}) eine Nullfolge, also

lim_{y→∞} −\frac{y}{e^{y}} = 0.

b) Es ist zu zeigen, dass

lim_{x→∞} \frac{ln(x)}{x} = 0

gilt. Wir setzen x = e^{y} und benutzen

lim_{x→∞} \frac{ln(x)}{x} = lim_{y→∞} \frac{ln(e^{y})}{e^{y}} = lim_{y→∞} \frac{y}{e^{y}} .

Wie in a) folgt

lim_{y→∞} \frac{y}{e^{y}} = 0.

Aufgabe 50*: (Der natürliche Logarithmus. 10 Bonuspunkte) Löse die Gleichung 2^{x} = 10 · 3^{4·x}.

Musterlösung:

2^{x} = 10 · 3^{4·x} ⇔ ln(2^{x}) = ln(10 · 3^{4·x}) = ln(10) + ln(3^{4·x})

⇔ x · ln(2) = ln(10) + 4 · x · ln(3) ⇔ x · ln(2) − 4 · x · ln(3) = ln(10)
⇔ x · (ln(2) − 4 · ln(3)) = ln(10)

⇔ x = \frac{ln(10)}{ln(2) − 4 · ln(3)} = \frac{2.30258...}{0.6931... − 4 · 1.0986...} ≈ −0.6221... .

Aufgabe 51: (Identitäten der trigonometrischen Funktionen. 0 Bonuspunkte)

a) Zeige für beliebiges z ∈ ℂ: sin (\frac{π}{2} − z) = cos(z), cos (\frac{π}{2} − z) = sin(z).

b) Folgere sin (\frac{π}{4} ) = cos (\frac{π}{4} ) = \frac{1}{\sqrt{2}}.

c) Zeige für beliebiges x, y ∈ ℂ:

sin(x) ± sin(y) = 2 · cos (\frac{x ∓ y}{2} ) · sin (\frac{x ± y}{2} ).

Anleitung: Additionstheoreme.

d) Plotte die Funktion f(x) = sin(21 · x) − sin(20 · x) (Überlagerung zweier Schwingungen mit ähnlichen Frequenzen) über dem Bereich von x = 0 bis x = 8 · π. Erkläre mittels c) die beobachtete Form der Überlagerung.

Musterlösung:

a) Mit dem Additionstheorem sin(x + y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y) folgt sin (\frac{π}{2} − z) = \underbrace{sin (\frac{π}{2} )}_{1} · cos(z) + \underbrace{cos (\frac{π}{2} )}_{0} · sin(−z) = cos(z).

Mit dem Additionstheorem cos(x + y) = cos(x) · cos(y) − sin(x) · sin(y) folgt cos (\frac{π}{2} − z) = \underbrace{cos (\frac{π}{2} )}_{0} · cos(−z) − \underbrace{sin (\frac{π}{2} )}_{1} · sin(−z) = − sin(−z) = sin(z).

b) Für x = \frac{π}{4} = \frac{π}{2} − x folgt

sin(x) = sin (\frac{π}{2} − x) = cos(x).

Aus sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1 folgt

sin^{2} (\frac{π}{4} ) + cos^{2} (\frac{π}{4} ) = 2 · sin^{2} (\frac{π}{4} ) = 1 ⇒ sin (\frac{π}{4} ) = cos (\frac{π}{4} ) = ±\frac{1}{\sqrt{2}}.

Wegen cos(x) > 0 auf [0, \frac{π}{2} ) kommt nur das positive Vorzeichen in Frage.

c) Es gilt 2 · X = (X + Y) + (X − Y), 2 · Y = (X + Y) − (X − Y). Die Additionstheoreme liefern sin(2 · X) ± sin(2 · Y) = sin((X + Y) + (X − Y)) ± sin((X + Y) − (X − Y))

= sin(X +Y)·cos(X −Y)+cos(X +Y)·sin(X −Y)±( sin(X +Y)·cos(X −Y)−cos(X +Y)·sin(X −Y)). Für + ergibt sich

sin(2 · X) + sin(2 · Y) = 2 · sin(X + Y) · cos(X − Y),

für − ergibt sich

sin(2 · X) − sin(2 · Y) = 2 · cos(X + Y) · sin(X − Y).

Mit x = 2 · X, y = 2 · Y ergibt sich die behauptete Identität.

d) Mit

>> plotfunc2d(sin(21*x) - sin(20*x), x = 0..8*PI, Mesh = 1000)

beobachtet man eine sogenannte ”Schwebung“: eine hochfrequente Schwingung (der ’Frequenz’ 20.5), deren Amplitude langsam (mit der kleinen ’Frequenz’ 0.5) variert. Mit c) ergibt sich in der Tat:

sin(21 · x) − sin(20 · x) = 2 · \underbrace{cos (\frac{41}{2} · x)}_{hochfrequente Schwingung} · \underbrace{sin (\frac{1}{2} · x)}_{langsam variierende Amplitude}

Aufgabe 52: (Die Formel von de Moivre. 10 + 10 Bonuspunkte)

a) Zeige für beliebiges z ∈ ℂ, n ∈ ℕ:

cos(n · z) + i · sin(n · z) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · i^{k} · cos(z)^{n−k} · sin(z)^{k}.

b) Schreibe cos(5 · x) und sin(5 · x) als Summe von Produkten von sin(x) und cos(x). (Zur Vereinfachung der Argumentation nehme x ∈ ℝ an).

Musterlösung: Mit e^{i·n·z} = (e^{i·z})^{n} = (cos(z) + i · sin(z))^{n} folgt mit der Binomialformel

(a + b)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · a^{n−k} · b^{k}

die Identität

cos(n · z) + i · sin(n · z) = ( cos(z) + i · sin(z))^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · i^{k} cos(z)^{n−k} · sin(z)^{k}.

b) Der Realteil dieser Gleichung liefert für n = 5:

cos(5 · x) + i · sin(5 · x) = (cos(x) + i · sin(x))^{5}

= cos(x)^{5} + 5 · i · cos(x)^{4} · sin(x) − 10 · cos(x)^{3} · sin(x)^{2} − 10 · i · cos(x)^{2} · sin(x)^{3}
+5 · cos(x) · sin(x)^{4} + i · sin(x)^{5}.

Für reelles x kann man cos(5 · x) und sin(5 · x) als Real- und Imaginärteil aus dieser Gleichung herausziehen

cos(5 · x) = cos(x)^{5} − 10 · cos(x)^{3} · sin(x)^{2} + 5 · cos(x) · sin(x)^{4},
sin(5 · x) = sin(x)^{5} − 10 · cos(x)^{2} · sin(x)^{3} + 5 · cos(x)^{4} · sin(x).

Aufgabe 53: (MuPAD und die trigonometrischen Funktionen. 0 Bonuspunkte)

a) Zeichne die Graphen von cos(x) und sin (\frac{π}{2} − x) in eine gemeinsame MuPAD-Graphik!

b) Lies die Hilfeseite der MuPAD-Funktion expand. ”Expandiere“ sin(PI/2 - x),

     cos(2*x + PI), sin(5*x).

Musterlösung:

a) In der Graphik

>> plotfunc2d(sin(PI/2 - x), cos(x), x = -5..5)

ist nur eine Funktion sichtbar. Erklärung: nach Aufgabe 51a) stimmen die beiden Funktionen überein!

b)

>> expand(sin(PI/2 - x))
                            cos(x)
>> expand(cos(2*x + PI))
                             2         2
                       sin(x)  - cos(x)
>> expand(sin(5*x))
                4                   2       3         5
        5 cos(x)  sin(x) - 10 cos(x)  sin(x)  + sin(x)

Aufgabe 54: (Polarkoordinaten. 0 Bonuspunkte) Bestimme die Polarkoordinaten (r, φ) der folgenden komplexen Zahlen:

1, i, −1, −i, 1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i.

Der Polarwinkel einer komplexen Zahl z wird auch ”das Argument“ von z genannt. Die MuPAD-Funktion dazu: abs (= Absolutbetrag = Radius), arg (= Argument = Polarwinkel).

Musterlösung:

a) |1| = 1, Polarwinkel(1) = 0.

b) |i| = 1, Polarwinkel(i) = \frac{π}{2} .

c) | − 1| = 1, Polarwinkel(−1) = π.

d) | − i| = 1, Polarwinkel(−i) = \frac{3·π}{2} .

e) |1 + i| = \sqrt{2}, Polarwinkel(1 + i) = \frac{π}{4} . Kontrolle (beachte sin(π/4) = cos(π/4) = 1/\sqrt{2}):

r · e^{i·φ} = \sqrt{2} · (cos(π/4) + i · sin(π/4)) = 1 + i.

f) |i − 1| = \sqrt{2}, Polarwinkel(i − 1) = \frac{3·π}{4} . Kontrolle (beachte sin(3 · π/4) = − cos(3 · π/4) = 1/\sqrt{2}):

r · e^{i·φ} = \sqrt{2} · (cos(3 · π/4) + i · sin(3 · π/4)) = −1 + i.

g) | − 1 − i| = \sqrt{2}, Polarwinkel(−1 − i) = \frac{5·π}{4} . Kontrolle (beachte sin(5 · π/4) = cos(5 · π/4) = −1/\sqrt{2}):

r · e^{i·φ} = \sqrt{2} · (cos(5 · π/4) + i · sin(5 · π/4)) = −1 − i.

h) |1 − i| = \sqrt{2}, Polarwinkel(1 − i) = \frac{7·π}{4} . Kontrolle (beachte − sin(7 · π/4) = cos(7 · π/4) = 1/\sqrt{2}):

r · e^{i·φ} = \sqrt{2} · (cos(7 · π/4) + i · sin(7 · π/4)) = 1 − i.

Aufgabe 55*: (Komplexe Wurzeln. 10 Bonuspunkt) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 55’ bezeichnet. Man erhält dort eine komplexe Zahl, deren fünfte Wurzeln bestimmt werden sollen. Liefere eine der Wurzeln im Web-Formular ab. Es sind maximal 3 Abgabeversuche möglich! Abgaben bis Do, 27.11., 23::59::59 Uhr. Relevante MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: abs, arg, arctan, numeric::polyroots.

Musterlösung: Die generierte Aufgabe lautet: Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Bestimme alle fünften Wurzeln der Zahl

a = i^{M_{1}+M_{6}+M_{7}} · (\frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}} + i · \frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}} ),

also alle Lösungen z_{0}, z_{1}, z_{2} etc. von z^{5} = a. Abzugeben ist die dritte Lösung z_{2} (in der Nummerierung wie in Bemerkung 5.21 der Vorlesung). Sie ist über ihren Betrag und ihren Polarwinkel ∈ [0, 2 · π) anzugeben. Für π ist das MuPAD-Symbol PI zu verwenden.

Lösung: Es gilt

|a| = \sqrt{(\frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}} )^{2} + (\frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}} )^{2}} = \sqrt{2} · \frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}} .

Der Polarwinkel von

\frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}} + i · \frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}}

ist ψ_{1} = π/4. Die Zahl i^{M_{1}+M_{6}+M_{7}} hat den Betrag 1 und den Polarwinkel ψ_{2} = (M_{1} + M_{6} + M_{7}) · \frac{π}{2} . Es folgt die Polardarstellung i^{M_{1}+M_{6}+M_{7}} · (\frac{M_{2}+M_{3}}{M_{1}+M_{4}+M_{5}} + i · \frac{M_{2}+M_{3}}{M_{1}+M_{4}+M_{5}} ) = |a| · e^{i·(ψ_{1}+ψ_{2})} mit

ψ_{1} + ψ_{2} = \frac{π}{4} + (M_{1} + M_{6} + M_{7}) · \frac{π}{2} = (1 + 2 · (M_{1} + M_{6} + M_{7})) · \frac{π}{4}

wobei für die richtige Nummerierung der Wurzeln dieser Polarwinkel durch Addition eines geeigneten Vielfachen von 2 π auf das Basisinterval [0, 2 π) zu reduzieren ist:

ψ_{1} + ψ_{2} = (1 + 2 · (M_{1} + M_{6} + M_{7})) · \frac{π}{4} + Vielfaches von 2 · π.

Die Wurzeln sind dann

z_{k} = |a|^{\frac{1}{5}} · e^{i· \frac{ψ_{1}+ψ_{2}}{5} +i· \frac{k·2·π}{5}} , k = 0, 1, …, 4.

Z.B. für die Matrikelnummer 3456780:

|a| = \frac{9 · \sqrt{2}}{16} = \sqrt{\frac{81}{128}}, ψ_{1} + ψ_{2} = \frac{23 · π}{4} ˆ= \frac{7 · π}{4} ( + 4 · π).

Die fünf fünften Wurzeln sind:

z_{0} = (\frac{9 · \sqrt{2}}{16} )^{1/5} · ( cos (\frac{7 · π}{20} ) + i · sin (\frac{7 · π}{20} )),
z_{1} = (\frac{9 · \sqrt{2}}{16} )^{1/5} · ( cos (\frac{3 · π}{4} ) + i · sin (\frac{3 · π}{4} )),
z_{2} = (\frac{9 · \sqrt{2}}{16} )^{1/5} · ( cos (\frac{23 · π}{20} ) + i · sin (\frac{23 · π}{20} )),
z_{3} = (\frac{9 · \sqrt{2}}{16} )^{1/5} · ( cos (\frac{31 · π}{20} ) + i · sin (\frac{31 · π}{20} )),
z_{4} = (\frac{9 · \sqrt{2}}{16} )^{1/5} · ( cos (\frac{39 · π}{20} ) + i · sin (\frac{39 · π}{20} )).