Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 13. 11. 2003

(Zusatz-)Ü b u n g s b l a t t 5a

Hier ist eine zusätzliche Sammlung von Aufgaben zur Stetigkeit etc. Zusammen mit Blatt 5 ist dies deutlich mehr Material als man sich sinnvollerweise innerhalb einer Woche anschauen sollte. Meine Empfehlung: man konzentriere sich auf Blatt 5 und benutze dieses Zusatzmaterial optional –je nach Ehrgeiz– zur weiteren Übung jetzt oder später (z.B. für die Prüfungsvorbereitung). Es wird hierzu wie für alle Übungsaufgaben Musterlösungen geben.

Aufgabe 13a: (Stetigkeit)

An welchen Stellen x ∈ ℝ ist die folgende (reelle) Funktion stetig: f(x) = lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}}?

Musterlösung: Beachte zunächst x^{2n} = (x^{2})^{n}. Für x ∈ (−1, 1) gilt x^{2} ∈ [0, 1) und damit (x^{2})^{n} → 0 für n → ∞, also

lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}} = 1.

Für |x| > 1 gilt x^{2} > 1 und damit (x^{2})^{n} → ∞ für n → ∞, also

lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}} = 0.

Für x = ±1 gilt (x^{2})^{n} = 1 für alle n, also

lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}} = \frac{1}{2}.

Die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & falls |x| < 1, \\ \frac{1}{2} & falls |x| = 1, \\ 0 & falls |x| > 1 \end{matrix}

ist damit überall außer an den Punkten x = ±1 stetig. An den Punkten x = ±1 gilt für die einseitigen Grenzwerte

lim_{x→1+0} f(x) = 0 ≠ \frac{1}{2} = f(1), lim_{x→1−0} f(x) = 1 ≠ \frac{1}{2} = f(1),

lim_{x→−1+0} f(x) = 1 ≠ \frac{1}{2} = f(−1), lim_{x→−1−0} f(x) = 0 ≠ \frac{1}{2} = f(−1).

Aufgabe 14a: (Stetigkeit) An welchen Stellen x ∈ ℝ ist die folgende (reelle) Funktion stetig?

f(x) = \{ \begin{matrix}x & falls x rational ist, \\ 1 − x & falls x irrational ist. \end{matrix}

Anleitung: zu jeder reellen Zahl x gibt es eine Folge rationaler Zahlen sowie eine Folge irrationaler Zahlen, die gegen x konvergiert.

Musterlösung: Sei x ≠ 1/2. Hier ist f unstetig: Für eine gegen x konvergierende Folge (x_{n}) rationaler Zahlen gilt

lim_{n→} f(x_{n}) = lim_{n→} x_{n} = x.

Für eine gegen x konvergierende Folge (x_{n}) irrationaler Zahlen gilt

lim_{n→} f(x_{n}) = lim_{n→}(1 − x_{n}) = 1 − x.

Für x ≠ \frac{1}{2} stimmen diese Grenzwerte nicht überein. Wäre f an der Stelle x stetig, müssten jedoch die Grenzwerte für jede gegen x konvergente Folge übereinstimmen (genauer, mit f(x) übereinstimmen).

Wir zeigen die Stetigkeit von f an der Stelle x = \frac{1}{2}. Sei dazu h_{n} eine beliebige Nullfolge (d.h., x_{n} = \frac{1}{2} + h_{n} ist eine beliebige gegen \frac{1}{2} konvergierende Folge). Ist h_{n} rational (und damit auch x_{n}), so folgt

f(x_{n}) − f(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2} + h_{n}) − f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + h_{n} − \frac{1}{2} = h_{n}.

Ist h_{n} irrational (und damit auch x_{n}), so folgt

f(x_{n}) − f(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2} + h_{n}) − f(\frac{1}{2}) = 1 − (\frac{1}{2} + h_{n}) − \frac{1}{2} = −h_{n}.

In jedem Fall gilt f(x_{n}) = f(\frac{1}{2}) + Nullfolge, also lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(\frac{1}{2}).

Aufgabe 15a: (Stetigkeit. Technisch sehr anspruchsvoll. Für Ehrgeizige.) Die eindeutige ”Normalform“ einer rationalen Zahl x ≠ 0 sei x = \frac{m}{n} mit teilerfremden ganzen Zahlen m, n und n > 0. Zeige, dass die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{n} & für x ∈ ℚ \ \{0\} mit der Normalform x = \frac{m}{n}, \\ 1 & für x = 0, \\ 0 & für x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix}

in allen irrationalen Punkten stetig und in allen rationalen Punkten unstetig ist. Anleitung: Verwende, dass es zu jeder irrationalen Zahl x eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen x konvergiert. Die Zähler und Nenner dieser rationalen Zahlen werden immer größer. Ebenso gibt es zu jeder rationalen Zahl x eine Folge rationaler Zahlen, die gegen x konvergiert, wobei die Zähler und Nenner der Folgenglieder immer größer werden.

Musterlösung: Offensichtlich gilt f(−x) = −f(x), womit f genau dann am Punkt −x stetig ist, wenn f am Punkt x stetig ist. Wir brauchen daher nur x ≥ 0 zu diskutieren.

a) Sei x > 0 irrational und (x_{j}) eine beliebige gegen x konvergierende Folge rationaler Zahlen mit der Normalform x_{j} = m_{j}/n_{j}. Wir zeigen, dass die Folge der Nenner n_{j} nicht beschränkt sein kann. Wären sie beschränkt, sagen wir n_{j} ≤ N für alle j, so wären auch die Zähler beschränkt: Für alle (bis auf endlich viele) j gilt

0 < \frac{m_{j}}{n_{j}} ≤ x + 1 ⇒ 0 < m_{j} ≤ n_{j} · (x + 1) ≤ N · (x + 1).

Es gibt aber nur endlich viele rationale Zahlen mit derartig beschränkten Zählern und Nennern. Sei

δ_{N} = min \{|\frac{m}{n} − x|; m, n ∈ ℕ, m ≤ N · (x + 1), n ≤ N\}

der Fehler der besten Approxmation von x, die sich mit rationalen Zahlen mit Nennern ≤ N erreichen läßt. Diese δ_{N} ist größer als 0, da x sonst rational sein müßte. Sei nun ϵ > 0 vorgegeben. Betrachte die Folgenglieder

X_{ϵ} = \{x_{j}; |x_{j} − x| < δ_{\frac{1}{ϵ}} \},

deren Abstand zu x kleiner als δ_{\frac{1}{ϵ}} ist. Wegen x_{j} → x für j → ∞ liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder x_{j} in X_{ϵ}. Für alle x_{j} = m_{j}/n_{j} ∈ X_{ϵ} gilt n_{j} > \frac{1}{ϵ}, denn für n_{j} ≤ \frac{1}{ϵ} würde |x_{j} − x| ≥ δ_{\frac{1}{ϵ}} folgen. Damit folgt

0 ≤ f(x_{j}) = \frac{1}{n_{j}} < ϵ

für alle bis auf endlich viele j. Dies ist aber die Konvergenz der Folge f(x_{j}) gegen 0. Damit haben wir

lim_{j→∞} f(x_{j}) = 0 = f( lim_{j→∞} x_{j}) = f(x)

für jede gegen x konvergierende Folge rationaler Zahlen gezeigt. Betrachtet man eine gegen x konvergierende Folge (x_{j}), die auch irrationale Zahlen enthält, so konvergiert weiterhin f(x_{j}) gegen 0, denn für die irrationalen Folgenglieder x_{j} gilt sowieso f(x_{j}) = 0.

b) Für x = 0 betrachte die Nullfolge x_{n} = \frac{1}{n}, n = 1, 2, … mit

lim_{n→∞} f(x_{n}) = lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0 ≠ f(0) = 1.

Damit ist x = 0 ein Unstetigkeitspunkt von f.

c) Sei x > 0 rational mit der Normalform x = m/n. Verwendet man die Tatsache, dass man eine gegen x konvergierende Folge irrationaler Zahlen konstruieren kann, ist man sofort fertig: die Funktionswerte auf diesen irrationalen Zahlen sind 0, ihr Grenzwert ist 0 und stimmt damit nicht mit dem Funktionswert f(x) = \frac{1}{n} ≠ 0 überein. Damit ist f an rationalen Punkten unstetig. Will man nur mit rationalen Zahlen arbeiten, ist die Argumentation ein wenig komplizierter: Wir konstruieren eine gegen x konvergierende Folge rationaler Zahlen (x_{j}), deren Zähler und Nenner beliebig groß werden, so dass f(x_{j}) gegen Null konvergiert. Wegen f(x) = \frac{1}{n} ≠ 0 für rationales x folgt damit die Unstetigkeit an rationalen Punkten. Betrachte zunächst

j_{0} = m · n + 1 > 1.

Die Zahl j_{0} ist teilerfremd zu m (jede Division von j_{0} durch einen Teiler von m hat den Rest 1). Die Zahl j_{0} + n = (m + 1) · n + 1 ist teilerfremd zu n (jede Division von j_{0} durch einen Teiler von n hat den Rest 1). Weiterhin sind j_{0} + n und j_{0} teilerfremd, da n und j_{0} teilerfremd sind. Damit ist

x_{j_{0}} = \frac{(j_{0} + n) · m}{j_{0} · n}

in Normalform. Mit den selben Argumenten sind auch

x_{j_{0}^{2}} = \frac{(j_{0}^{2} + n) · m}{j_{0}^{2} · n}, x_{j_{0}^{3}} = \frac{(j_{0}^{3} + n) · m}{j_{0}^{3} · n}, ⋯

in Normalform (denn j_{0}^{2}, j_{0}^{3} etc. sind wieder teilerfremd zu m, da j_{0} teilerfremd zu m ist. Analog sind j_{0}^{2} + n, j_{0}^{3} + n etc. teilerfremd zu n, da j_{0} teilerfremd zu n ist.) Die Folge (x_{j_{0}}, x_{j_{0}^{2}}, x_{j_{0}^{3}}, …) konvergiert gegen x:

lim_{p→∞} \frac{j_{0}^{p} + n}{j_{0}^{p}} · \frac{m}{n} = lim_{p→∞} (1 + \frac{n}{j_{0}^{p}} ) · \frac{m}{n} = \frac{m}{n} = x.

Aber es gilt

lim_{p→∞} f(x_{j_{0}^{p}}) = lim_{p→∞} \frac{1}{j_{0}^{p} · n} = 0 ≠ f(x) = \frac{1}{n}.

Aufgabe 16a: (Zwischenwertsatz) Zeige, dass zu jeweils gegebenem x ∈ [−1, 1] die Lösung y der Gleichung

y^{5} + y^{3} = x^{4} + x^{2}

eindeutig eine Funktion y(x) mit dem Wertebereich y([−1, 1]) = [0, 1] definiert. MuPAD-Funktion zur Visualisierung: plot::implicit in MuPAD 2.5, plot::Implicit2d in MuPAD 3.0.

Musterlösung: Der Wertebereich der Abbildung x → x^{4} + x^{2} für x ∈ [−1, 1] ist offensichtlich [0, 2] (das Minimum 0 wird bei x = 0 angenommen, das Maximum 2 an den Rändern x = ±1).

Wir haben also zu c = x^{4} + x^{2} ∈ [0, 2] die Lösung y(c) der Gleichung

y^{5} + y^{3} = c

zu betrachten. Durch Einsetzen findet man die Lösung y = 0 für c = 0 und y = 1 für c = 2. Da die Funktion F : y → y^{5} + y^{3} stetig ist und F (0) = 0, F (1) = 2 gilt, gibt es nach dem Zwischenwertsatz zu jedem c ∈ [0, 2] (mindestens) eine Lösung y ∈ [0, 1] von F (y) = c. Da F (y) offensichtlich monoton in y ist, ist diese Lösung eindeutig, und es gibt eine Umkehrfunktion F^{−1}, die die Lösung y = F^{−1}(c) von F (y) = c darstellt. Die Lösung der Ausgangsgleichung y^{5} + y^{3} = x^{4} + x^{2} ist damit durch y = F^{−1}(x^{4} + x^{2}) gegeben.