Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 6. 11. 2003

Ü b u n g s b l a t t 4

Abgabe von ∗–Aufgaben am 13.11.2003 in der Übung.

Aufgabe 26*: (Geometrische Reihe. 10 Bonuspunkte) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 26’ bezeichnet. Man erhält dort eine Reihe, deren Wert mittels diverser geometrischer Reihen bestimmt werden kann. Liefere den Reihenwert im Web-Formular ab. Es sind maximal 3 Abgabeversuche möglich! Abgaben bis Do, 13.11., 23::59::59 Uhr. MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: sum.

Musterlösung: Die generierte Summe ist

∑_{k=M_{6}}^{∞} (\frac{M_{1} + M_{3}}{2 · M_{1} + 3 · M_{3} + M_{4}} )^{(M_{1}−2)·k},

wobei M_{1}, …, M_{7} die Ziffern der Matrikelnummer sind. Setze

c := (\frac{M_{1} + M_{3}}{2 · M_{1} + 3 · M_{3} + M_{4}} )^{(M_{1}−2)} ∈ (0, 1).

Gefragt ist

∑_{k=M_{6}}^{∞} c^{k} = ∑_{k=0}^{∞} c^{k} − ∑_{k=0}^{M_{6}−1} c^{k} = \frac{1}{1 − c} − \frac{1 − c^{M_{6}}}{1 − c} = \frac{c^{M_{6}}}{1 − c}.

Mit MuPAD für spezielle Werte von M_{1}, M_{3}, M_{4}, M_{6}:

>> M1:= 3: M3:= 5: M4:= 6: M6:= 8:
>> sum(((M1 + M3)/(2*M1 + 3*M3 + M4))^((M1 - 2)*k), k = M6..infinity)
                           16777216/198746710857

Aufgabe 27: (Reihen, p-adische Darstellung. 0 Bonuspunkte) Sei p ∈ {2, 3, 4, … }. Mit der sogenannten ”p-adischen Darstellung“

b_{k} b_{k−1} … b_{1} b_{0} . b_{−1} b_{−2} b_{−3} …

ist die Zahl ∑_{j≤k} b_{j} · p^{j} gemeint, wobei b_{j} ∈ {0, 1, …, p − 1} die ”Ziffern zur Basis p“ genannt

werden. (Für p = 10 sind dies die wohlbekannten Dezimalziffern, für p = 2 die Binärziffern (Bits) b_{j} ∈ {0, 1}.)

Berechne die rationale Zahl, die im Binärsystem durch die periodische Entwicklung

1011 . 1100 \overline{10} (= 1011 . 1100 10 10 10 10 …)

gegeben ist.

Musterlösung:

1011 . 1100 10 10 10 10 …
= 1 · 2^{3} + 0 · 2^{2} + 1 · 2^{1} + 1 · 2^{0} + 1 · 2^{−1} + 1 · 2^{−2} + 0 · 2^{−3} + 0 · 2^{−4}
+1 · 2^{−5} + 0 · 2^{−6} + 1 · 2^{−7} + 0 · 2^{−8} + 1 · 2^{−9} + 0 · 2^{−10} + ⋯
= 2^{3} + 2^{1} + 2^{0} + 2^{−1} + 2^{−2} + (2^{−5} + 2^{−7} + 2^{−9} + ⋯)
= 8 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{5}} · (1 + 2^{−2} + 2^{−4} + ⋯)
= 8 + 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{5}} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{1}{4})^{k}
= \frac{47}{4} + \frac{1}{32} · \frac{1}{1 − \frac{1}{4}}
= \frac{47}{4} + \frac{1}{32} · \frac{4}{3}
= \frac{283}{24}.

Aufgabe 28*: (Periodische Dezimaldarstellung. 10 Bonuspunkte) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 28’ bezeichnet. Man erhält dort eine periodische Dezimalzahl, die als rationale Zahl ”Nenner/Zähler“ dargestellt werden soll. Liefere diese Darstellung im Web-Formular ab. Es sind maximal 3 Abgabeversuche möglich! Abgaben bis Do, 13.11., 23::59::59 Uhr. MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: sum. Anleitung: Aufgabe 27, Basis p = 10.

Musterlösung: Die generierte periodische Dezimalzahl ist

M_{1} M_{2} . M_{3} M_{4} \overline{M_{6} M_{7}} (= M_{1} M_{2} . M_{3} M_{4} M_{6} M_{7} M_{6} M_{7} M_{6} M_{7} …),

wobei M_{1}, …, M_{7} die Ziffern der Matrikelnummer sind. Hierdurch wird folgende rationale Zahl dargestellt:

M_{1} M_{2} . M_{3} M_{4} \overline{M_{6} M_{7}}

= M_{1} · p^{1} + M_{2} · p^{0} + \frac{M_{3}}{p} + \frac{M_{4}}{p^{2}} + M_{6} · (\frac{1}{p^{3}} + \frac{1}{p^{5}} + \frac{1}{p^{7}} + ⋯) + M_{7} · (\frac{1}{p^{4}} + \frac{1}{p^{6}} + \frac{1}{p^{8}} + ⋯)

= M_{1} · p + M_{2} + \frac{M_{3}}{p} + \frac{M_{4}}{p^{2}} + M_{6} · \frac{1}{p^{3}} · (1 + \frac{1}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} + ⋯) + M_{7} · \frac{1}{p^{4}} · (1 + \frac{1}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} + ⋯)

= M_{1} · p + M_{2} + \frac{M_{3}}{p} + \frac{M_{4}}{p^{2}} + (\frac{M_{6}}{p^{3}} + \frac{M_{7}}{p^{4}} ) · ∑_{k=0}^{∞} (\frac{1}{p^{2}} )^{k}

= M_{1} · p + M_{2} + \frac{M_{3}}{p} + \frac{M_{4}}{p^{2}} + (\frac{M_{6}}{p^{3}} + \frac{M_{7}}{p^{4}} ) · \frac{1}{1 − \frac{1}{p^{2}}}

= M_{1} · p + M_{2} + \frac{M_{3}}{p} + \frac{M_{4}}{p^{2}} + (\frac{M_{6}}{p^{3}} + \frac{M_{7}}{p^{4}} ) · \frac{p^{2}}{p^{2} − 1}.

Z.B. für die Matrikelnummer 3456780:

34.56 \overline{80} = 3 · 10 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{10^{2}} + (\frac{8}{10^{3}} + \frac{0}{10^{4}} ) · \frac{10^{2}}{10^{2} − 1} = \frac{85556}{2475}.

Probe:

>> DIGITS:= 50:
>> float(85556/2475)
      34.568080808080808080808080808080808080808080808081

Alternatives Argument. Mit x = M_{1}M_{2}.M_{3}M_{4}\overline{M_{6}M_{7}}:

100 · x =  M_{1}M_{2}M_{3}M_{4} . M_{6}M_{7}M_{6}M_{7}M_{6}M_{7}...
− x = M_{1}M_{2} . M_{3}M_{4}M_{6}M_{7}M_{6}M_{7}...
99 · x = M_{1}M_{2}(M_{3} − M_{1})(M_{4} − M_{2}) . (M_{6} − M_{3})(M_{7} − M_{4})

also

99 · x = M_{1} · 10^{3} + M_{2} · 10^{2} + (M_{3} − M_{1}) · 10 + (M_{4} − M_{2}) + \frac{M_{6} − M_{3}}{10} + \frac{M_{7} − M_{4}}{10^{2}} .

Hier muss für die Matrikelnummer 3456780 das selbe herauskommen:

x = 34.56 \overline{80} = \frac{1}{99} · (3 · 10^{3} + 4 · 10^{2} + 2 · 10 + 2 + \frac{3}{10} − \frac{6}{100}) = \frac{85556}{2475}.

Aufgabe 29*: (Reihen. Diverse Konvergenzkriterien, je 5 Bonuspunkte) Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

a) ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k + \sqrt{k}} , b) ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2} − \sqrt{k}} , c) ∑_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}}{\sqrt{k}}.

d) ∑_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}}{k}, e) ∑_{k=1}^{n} \frac{k!}{k^{k}} , f) ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{−k}}{e^{−2·k}} , g) ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{−2·k}}{e^{−k}} .

Musterlösung:

a) Divergenz nach dem Minorantenkriterium. Es gilt

\frac{1}{k + \sqrt{k}} ≥ \frac{1}{k + k} = \frac{1}{2 · k} .

Damit ist ∑_{k} \frac{1}{2·k} eine divergente Minorante.

b) Konvergenz nach dem Majorantenkriterium. Es gilt

\frac{1}{k^{2} − \sqrt{k}} ≤ \frac{1}{k^{2} − k} = \frac{1}{k · (k − 1)}.

Bekannterweise konvergiert ∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k · (k − 1)} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(k + 1) · k} und bildet damit eine konvergente Majo-

rante. c) Divergenz nach dem Minorantenkriterium. Es gilt

\frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}}{\sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k}} · \frac{(\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}) · (\sqrt{k + 1} + \sqrt{k − 1})}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k − 1}}

= \frac{1}{\sqrt{k}} · \frac{2}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k − 1}} = \frac{1}{\sqrt{k}} · \frac{2}{\sqrt{k} · (\sqrt{1 + \frac{1}{k}} + \sqrt{1 − \frac{1}{k}} )} = \frac{1}{k} · \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{k}} + \sqrt{1 − \frac{1}{k}}} .

Der hintere Faktor konvergiert gegen 1, ist also sicherlich größer als 1/2 für hinreichned großes k. Damit folgt für hinreichend große k

\frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}}{\sqrt{k}} ≥ \frac{1}{2 · k} .

Damit ist ∑_{k} \frac{1}{2·k} eine divergente Minorante.

d) Konvergenz nach dem Majorantenkriterium. Analog zu c) gilt

\frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}}{k} = \frac{1}{k} · \frac{(\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}) · (\sqrt{k + 1} + \sqrt{k − 1})}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k − 1}}

= \frac{1}{k} · \frac{2}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{k − 1}} = \frac{1}{k} · \frac{2}{\sqrt{k} · (\sqrt{1 + \frac{1}{k}} + \sqrt{1 − \frac{1}{k}} )} = \frac{1}{k^{3/2}} · \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{1}{k}} + \sqrt{1 − \frac{1}{k}}} .

Der hintere Faktor konvergiert gegen 1, ist also sicherlich kleiner als 2 für hinreichned großes k. Damit folgt für hinreichend grosse k

\frac{\sqrt{k + 1} − \sqrt{k − 1}}{k} ≤ \frac{2}{k^{3/2}} .

Nach Beispiel 3.25 ist ∑_{k} \frac{2}{k^{3/2}} eine konvergente Majorante.

e) Das Quotientenkriterium für z_{k} = \frac{k!}{k^{k}} liefert

\frac{z_{k+1}}{z_{k}} = \frac{(k + 1)!/(k + 1)^{k+1}}{k!/k^{k}} = (k + 1)\frac{k^{k}}{(k + 1)^{k+1}} = \frac{k^{k}}{(k + 1)^{k}}

= (\frac{k}{k + 1})^{k} = ( \frac{1}{\frac{k+1}{k}} )^{k} = \frac{1}{(1 + \frac{1}{k})^{k}} .

Mit (1 + \frac{1}{k})^{k} → e = 2.718... konvergiert \frac{z_{k+1}}{z_{k}} gegen 1/e = 0.367.... Damit gilt für alle hinreichend großen k sicherlich \frac{z_{k+1}}{z_{k}} ≤ \frac{1}{2}. Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe.

f) Es gilt

\frac{e^{−k}}{e^{−2·k}} = e^{2·k} · e^{−k} = e^{k}.

Die Summanden bilden keine Nullfolge. Damit kann die Reihe nicht konvergieren.

g) Konvergenz nach dem Majorantenkriterium. Es gilt

\frac{e^{−2 k}}{e^{−k}} = \frac{1}{e^{2·k} · e^{−k}} = \frac{1}{e^{k}} = \frac{1}{(2.718...)^{k}} ≤ \frac{1}{2^{k}} .

Die geometrische Reihe ∑_{k}(\frac{1}{2})^{k} ist damit eine konvergente Majorante.

Aufgabe 30*: (Die harmonische Reihe. Modellierungsaufgabe. 15 + 5 + 10 Bonuspunkte) Man hat eine beliebig große Anzahl von Brettern der Länge 1 m zum Bau einer ”Brücke“ zur Verfügung. Hier der rekursive Brückenbau: Start: lege ein Brett auf den Boden. Schritt 1: Schiebe ein zweites Brett unter das erste und verschiebe das obere Brett um ein Stück x_{1} soweit, dass es gerade noch nicht kippt. Schritt n → n + 1: Gegeben eine Brücke aus n Brettern. Schiebe ein weiteres Brett unter diese Brücke und verschiebe den oberen Brückenteil um ein Stück x_{n} soweit, dass er gerade noch nicht kippt:

[figure: ”Länge“; Brett n + 1; x_{n}; x_{n}; Brett n; ...; ...; Brett ...; x_{2}; x_{2}; Brett 2; x_{1}; x_{1}; Brett 1]

a) Bestimme eine Formel für die ”Länge“ ∑_{k=1}^{n} x_{k} der aus n+1 Brettern bestehenden Brücke.

b) Gibt es eine Grenze, die die Länge der Brücke prinzipiell nicht überschreiten kann?

c) Wie viele Bretter braucht man, um die Länge 5 m zu überschreiten?

Musterlösung:

a) Bei 2 Brettern (n = 1) kann das obere Brett bis zu halben Brettlänge hervorragen, also x_{1} = 1/2. Bei 3 Brettern (n = 2) liegt der Schwerpunkt des 1-ten Bretts im Abstand x_{1} + x_{2} + \frac{1}{2} von der linken Kante des 3-ten Bretts, der Schwerpunkt des 2-ten Bretts liegt im Abstand x_{2}+ \frac{1}{2} von der linken Kante des 3-ten Bretts. Der Schwerpunkt der beiden oberen Bretter zusammen hat damit den Abstand

\frac{1}{2} · (x_{2} + \frac{1}{2} + x_{2} + x_{1} + \frac{1}{2})

von der linken Kante des 3-ten Bretts. Damit die oberen beiden Bretter gerade nicht mehr kippen, muss

\frac{1}{2} · (x_{2} + x_{2} + x_{1} + 1) = 1

gelten, also

x_{2} = 1 − \frac{x_{1}}{2} − \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.

Nun allgemein: Bei n + 1 Brettern liegt der Schwerpunkt des 1-ten Bretts im Abstand x_{n} + x_{n−1} + ⋯ + x_{2} + x_{1} + \frac{1}{2}, des 2-ten Bretts im Abstand x_{n} + x_{n−1} + ⋯ + x_{2} + \frac{1}{2}, ... des n-ten Bretts im Abstand x_{n} + \frac{1}{2}

vom linken Rand des (n + 1)-ten Bretts. Der gemeinsame Schwerpunkt der oberen n Bretter liegt damit im Abstand

\frac{1}{n} · ((x_{n} + \frac{1}{2}) + (x_{n} + x_{n−1} + \frac{1}{2}) + (x_{n} + x_{n−1} + x_{n−2} + \frac{1}{2}) + … + (x_{n} + … + x_{1} + \frac{1}{2}))

= x_{n} + \frac{n − 1}{n} · x_{n−1} + … + \frac{2}{n} · x_{2} + \frac{1}{n} · x_{1} + \frac{n}{2}

vom linken Rand des (n + 1)-ten Bretts. Bei maximaler Verschiebung der oberen n Bretter auf dem (n + 1)-ten Brett gilt

x_{n} + \frac{n − 1}{n} · x_{n−1} + … + \frac{2}{n} · x_{2} + \frac{1}{n} · x_{1} + \frac{1}{2} = 1

(dies ist der Moment, wo beim Verschieben der oberen n Bretter der Schwerpunkt den rechten Rand des (n + 1)-ten Bretts erreicht und der obere Stapel kippt). Wir haben damit die Rekursion

x_{n} = \frac{1}{2} − \frac{n − 1}{n} · x_{n−1} + … + \frac{2}{n} · x_{2} + \frac{1}{n} · x_{1} x_{1} = \frac{1}{2},

bzw. nach Multiplikation mit n:

\underbrace{n · x_{n}}_{y_{n}} = \frac{n}{2} − \underbrace{(n − 1) · x_{n−1}}_{y_{n−1}} − \underbrace{(n − 2) · x_{n−2}}_{y_{n−2}} − … − \underbrace{2 · x_{2}}_{y_{2}} − \underbrace{1 · x_{1}}_{y_{1}}, \underbrace{1 · x_{1}}_{y_{1}} = \frac{1}{2}.

Die Lösung der Rekursion

y_{n} = \frac{n}{2} − y_{n−1} − … − y_{1}, y_{1} = \frac{1}{2}

ist offensichtlich y_{1} = y_{2} = y_{3} = ⋯ = \frac{1}{2}. Hat man dies geraten, ist die (offensichtlich eindeutige) Lösung der Rekursion durch Einsetzen leicht zu verifizieren:

\overbrace{\frac{1}{2}}^{y_{n}} = \frac{n}{2} \underbrace{− \overbrace{\frac{1}{2}}^{y_{n−1}} − … − \overbrace{\frac{1}{2}}^{y_{1}}}_{n−1 Terme} = \frac{n}{2} − \frac{n − 1}{2} = \frac{1}{2} (OK).

Mit y_{n} = n · x_{n} = \frac{1}{2} folgt x_{n} = \frac{1}{2·n}, also hat die Brücke aus n + 1 Brettern die Länge

Länge = ∑_{k=1}^{n} x_{k} = \frac{1}{2} · ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} .

b) Laut Vorlesung divergiert die harmonische Reihe ∑_{k} \frac{1}{k}, d.h., die Brücke wird mit wachsendem n beliebig lang.

c) Ab welchem n gilt Länge ≥ 5, d.h., ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ≥ 10? Durch Ausprobieren mit MuPAD erhält man:

\begin{matrix}n & ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \\ 10 & 2.9289... \\ 100 & 5.1873... \\ 1000 & 7.4854... \\ 2000 & 8.1783... \\ 4000 & 8.8713... \\ 8000 & 9.0945... \\ 10 000 & 9.7876... \\ 12 000 & 9.9699... \\ 12 366 & 9.999962... \\ 12 367 & 10.000043... \end{matrix}

Man braucht also 12368 Bretter.

Aufgabe 31*: (Die Exponentialreihe. Beweis. 10 Bonuspunkte) Beweise mit Hilfe des Cauchy-Produkts der Reihen für e^{x} und e^{y} die Funktionalgleichung e^{x} · e^{y} = e^{x+y} der Exponentialfunktion.

Hilfestellung: verwende den Binomischen Lehrsatz (x + y)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · x^{k} · y^{n−k}.

Musterlösung: Die Koeffizienten c_{n} des Cauchy-Produkts

∑_{n=0}^{∞} c_{n} = ∑_{i=0}^{∞} \frac{x^{i}}{i!} · ∑_{j=0}^{∞} \frac{y^{j}}{j!}

sind durch

c_{n} = ∑_{{i,j \atop i+j=n}} \frac{x^{i}}{i!} · \frac{y^{j}}{j!} = ∑_{i=0}^{n} \frac{x^{i}}{i!} · \frac{y^{n−i}}{(n − i)!} = \frac{1}{n!} · ∑_{i=0}^{n} \frac{n! · x^{i} · y^{n−i}}{i! · (n − i)!} = \frac{1}{n!} · ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i} · x^{i} · y^{n−i} = \frac{(x + y)^{n}}{n!}

gegeben, also

e^{x} · e^{y} = ∑_{i=0}^{∞} \frac{x^{i}}{i!} · ∑_{j=0}^{∞} \frac{y^{j}}{j!} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(x + y)^{n}}{n!} = e^{x+y}.

Aufgabe 32: (Summation durch Partialbruchzerlegung. 0 Bonuspunkte)

Bestimme den Reihenwert von ∑_{k=2}^{∞} \frac{k^{2} − k}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)}.

Anleitung: Rezept 3.32, Beispiel 3.33 der Vorlesung.

Musterlösung: Ansatz für die Partialbruchentwicklung:

\frac{k^{2} − k}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)} = \frac{e_{1}}{k + 1} + \frac{e_{2}}{k + 2} + \frac{e_{3}}{k + 3} + \frac{e_{4}}{k + 4}

= \frac{(e_{1} + e_{2} + e_{3} + e_{4}) · k^{3}}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)} + \frac{(9 · e_{1} + 8 · e_{2} + 7 · e_{3} + 6 · e_{4}) · k^{2}}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)}

+\frac{(26 · e_{1} + 19 · e_{2} + 14 · e_{3} + 11 · e_{4}) · k}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)} + \frac{24 · e_{1} + 12 · e_{2} + 8 · e_{3} + 6 · e_{4}}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)}.

Es folgt das Gleichungssystem

\begin{aligned}e_{1} & + & e_{2} & + & e_{3} & + & e_{4} & = & 0, \\ 9 · e_{1} & + & 8 · e_{2} & + & 7 · e_{3} & + & 6 · e_{4} & = & 1, \\ 26 · e_{1} & + & 19 · e_{2} & + & 14 · e_{3} & + & 11 · e_{4} & = & −1, \\ 24 · e_{1} & + & 12 · e_{2} & + & 8 · e_{3} & + & 6 · e_{4} & = & 0 \end{aligned}

mit der Lösung

e_{1} = \frac{1}{3}, e_{2} = −3, e_{3} = 6, e_{4} = −\frac{10}{3}.

Probe mit MuPAD:

>> partfrac((k^2 - k)/(k+1)/(k+2)/(k+3)/(k+4), k)
                 1         3       6         10
             --------- - ----- + ----- - ---------
             3 (k + 1)   k + 2   k + 3   3 (k + 4)

Summation:

∑_{k=2}^{∞} (\frac{1/3}{k + 1} − \frac{3}{k + 2} + \frac{6}{k + 3} − \frac{10/3}{k + 4})

=  \frac{1/3}{3} + \frac{1/3}{4} + \frac{1/3}{5} + \frac{1/3}{6} + \frac{1/3}{7} + …
− \frac{3}{4} − \frac{3}{5} − \frac{3}{6} − \frac{3}{7} − …
+ \frac{6}{5} + \frac{6}{6} + \frac{6}{7} + …
− \frac{10/3}{6} − \frac{10/3}{7} − … _{0}  _{0}  _{0}

=  \frac{1/3}{3} − \frac{8/3}{4} + \frac{10/3}{5} = \frac{1}{9}.

Probe mit MuPAD:

>> sum((k^2 - k)/(k+1)/(k+2)/(k+3)/(k+4), k = 2 .. infinity)
                              1/9

Aufgabe 33*: (Summation durch Partialbruchzerlegung. 10 Bonuspunkte) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 33’ bezeichnet. Man erhält dort eine Reihe, deren Wert mittels Partialbruchzerlegung berechenbar ist. Liefere den Reihenwert im Web-Formular ab. Es sind maximal 3 Abgabeversuche möglich! Abgaben bis Do, 13.11., 23::59::59 Uhr. MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: partfrac, sum. Anleitung: wie Aufgabe 32, rechenintensiver.

Musterlösung: Die generierte Aufgabe ist, den Reihenwert

∑_{k=2·M_{1}+M_{4}}^{∞} \frac{k − M_{6} − M_{7}}{k^{3} + (M_{2} + M_{3} − M_{4}) · k^{2} − (M_{1} + M_{2} + M_{3}) · (M_{1} + M_{4}) · k}

zu berechnen, wobei M_{1}, …, M_{7} die Ziffern der Matrikelnummer sind.

Die Partialbruchzerlegung:

>> partfrac((k-M6-M7)/(k^3 + (M2+M3-M4)*k^2 - (M1+M2+M3)*(M1+M4)*k), k):
>> map(%, factor) // zur Vereinfachung
          M6 + M7
-------------------------- -

k (M1 + M4) (M1 + M2 + M3)
                    M1 + M2 + M3 + M6 + M7
   ------------------------------------------------------- +
   (M1 + M2 + M3) (k + M1 + M2 + M3) (2 M1 + M2 + M3 + M4)
                 M6 - M4 - M1 + M7
   ---------------------------------------------
   (M1 + M4) (M1 - k + M4) (2 M1 + M2 + M3 + M4)

Die Partialbruchzerlegung, z.B. für die Matrikelnummer 3456780:

>> M1:= 3: M2:= 4: M3:= 5: M4:= 6: M5:= 7: M6:= 8: M7:= 0:
>> partfrac((k-M6-M7)/(k^3 + (M2+M3-M4)*k^2 - (M1+M2+M3)*(M1+M4)*k), k)
                 2         1             5
               ---- + ----------- - -----------
               27 k   189 (k - 9)   63 (k + 12)

Der Reihenwert:

>> sum((k-M6-M7)/(k^3 + (M2+M3-M4)*k^2 - (M1+M2+M3)*(M1+M4)*k),
       k = 2*M1 + M4 .. infinity )
                   65514825589/1011949258320