Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 30. 10. 2003

(Zusatz-)Ü b u n g s b l a t t 3a

Hier ist eine zusätzliche Sammlung von Aufgaben zu Folgen und Grenzwerten. Zusammen mit Blatt 3 ist dies deutlich mehr Material als man sich sinnvollerweise innerhalb einer Woche anschauen sollte. Meine Empfehlung: man konzentriere sich auf Blatt 3 und benutze dieses Zusatzmaterial optional –je nach Ehrgeiz– zur weiteren Übung jetzt oder später (z.B. für die Prüfungsvorbereitung). Es wird hierzu wie für alle Übungsaufgaben Musterlösungen geben.

Aufgabe 1a: (Folgen, Grenzwerte. Einfacher Beweis.) Die komplexe Folge (z_{n}) konvergiere gegen z^{∗}. Zeige, dass die komplex-konjugierte Folge (\overline{z_{n}}) gegen \overline{z^{∗}} konvergiert.

Musterlösung: Es gilt |z| = \sqrt{z · \overline{z}} = |\overline{z}|. Zu ϵ > 0 existiert ein N(ϵ), so dass |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ gilt für alle n ≥ N(ϵ). Alle dieses Folgenglieder erfüllen auch

|\overline{z_{n}} − \overline{z^{∗}}| = |\overline{z_{n} − z^{∗}}| = |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ,

d.h., (\overline{z_{n}}) konvergiert gegen \overline{z^{∗}}.

Aufgabe 2a: (Folgen, Grenzwerte. Beweise.) Seien (x_{n}) und (y_{n}) konvergente reelle Folgen mit den Grenzwerten x^{∗} bzw. y^{∗}.

a) Es gelte x_{n} ≤ y_{n} für alle Indizes. Zeige: x^{∗} ≤ y^{∗}. (Indirekter Beweis.)

b) Es gelte x_{n} < y_{n} für alle Indizes. Gilt immer x^{∗} < y^{∗}? (Finde ein Gegenbeispiel.)

Musterlösung:

a) Angenommen, es gilt x^{∗} > y^{∗}. Betrachte ϵ = (x^{∗} − y^{∗})/3 > 0. Zu diesem ϵ gibt es Folgenglieder x_{n} bzw. y_{n} mit

|x_{n} − x^{∗}| ≤ ϵ, |y_{n} − y^{∗}| ≤ ϵ,

also

x^{∗} − ϵ ≤ x_{n} ≤ y_{n} ≤ y^{∗} + ϵ ⇒ x^{∗} − y^{∗} ≤ 2 · ϵ.

Für das konkrete ϵ = (x^{∗} − y^{∗})/3 folgt der Widerspruch

x^{∗} − y^{∗} ≤ \frac{2}{3} · (x^{∗} − y^{∗}).

b) Gegenbeispiel: x_{n} = 1, y_{n} = 1 + 1/n mit x_{n} < y_{n} für alle n, aber lim_{n→∞} x_{n} = 1 = lim_{n→∞} y_{n}.

Aufgabe 3a: (Folgen, Grenzwerte. Einfacher Beweis) Sei (z_{n}) eine konvergente Folge. Zeige durch einen formal sauberen Beweis, dass für jedes (fixierte) k ∈ ℕ die ”verschobenen“ Folgen (z_{n+k}) gegen den selben Grenzwert konvergieren.

Musterlösung: (z_{n}) → z^{∗} bedeutet, dass es zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ) gibt, so dass |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ gilt für alle Indizes n ≥ N(ϵ). Betrachte nun (z_{n+k}). Zu gegebenem ϵ > 0 setze N^{(k)}(ϵ) = N(ϵ) − k. Dann gilt für alle n ≥ N^{(k)}(ϵ), also n + k ≥ N(ϵ):

|z_{n+k} − z^{∗}| ≤ ϵ.

Dies ist die Konvergenz von (z_{n+k}) gegen z^{∗}.

Aufgabe 4a: (Folgen, Grenzwerte)

Bestimme lim_{n→∞} \frac{2^{n}}{n!} .

Musterlösung: Es gilt

0 < \frac{2^{n}}{n!} = \frac{2 · 2 · \overbrace{2 · 2 ⋯ 2}^{n−2}}{1 · 2 · \underbrace{3 · 4 ⋯ n}_{n−2}} < \frac{2 · 2 · \overbrace{2 · 2 ⋯ 2}^{n−2}}{1 · 2 · \underbrace{3 · 3 ⋯ 3}_{n−2}} = 2 · (\frac{2}{3})^{n−2} = \frac{9}{2} · (\frac{2}{3})^{n}.

Bekanntlich bildet (2/3)^{n} eine Nullfolge (Beispiel 2.10 der Vorlesung). Per Intervallschachtelung (Satz

2.17 der Vorlesung) folgt lim_{n→∞} \frac{2^{n}}{n!} = 0.

Aufgabe 5a: (Konvergenz monotoner Folgen) Betrachte die durch x_{n+1} = \sqrt{1 + x_{n}}, x_{1} = 0 definierte Folge.

a) Zeige, dass (x_{n}) streng monoton wachsend ist.

b) Zeige per Induktion: 0 ≤ x_{n} < 2 für alle n ∈ ℕ.

c) Bestimme den Grenzwert von (x_{n}).

Musterlösung:

a) Behauptung: x_{n} < x_{n+1}. Induktionsstart: x_{1} = 0, x_{2} = 1, also x_{1} < x_{2}. Induktionsschritt n−1 → n: Sei x_{n} > x_{n−1}. Es folgt

x_{n+1} = \sqrt{1 + x_{n}} > \sqrt{1 + x_{n−1}} = x_{n}.

b) Behauptung: x_{n} < 2. Induktionsstart: x_{1} = 0 < 2. Induktionsschritt: Sei x_{n} < 2. Es folgt

x_{n+1} = \sqrt{1 + x_{n}} < \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3} < 2.

c) Sei x^{∗} der Grenzwert. Es muß gelten:

lim_{n→∞} x_{n+1} = x^{∗} = lim_{n→∞} \sqrt{1 + x_{n}} = \sqrt{1 + lim_{n→∞} x_{n}} = \sqrt{1 + x^{∗}}

⇒ (x^{∗})^{2} = 1 + x^{∗} ⇒ x^{∗} = \frac{1 ± \sqrt{5}}{2}.

Nur der positive Wert x^{∗} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} kommt als Grenzwert in Frage.

Aufgabe 6a: (Intervallschachtelung) Sei M ∈ {3 000 000, 3 000 001, …, 6 999 999} die Matrikelnummer. Betrachte die durch x_{n+1} = \sqrt{M + 2 · x_{n}}, x_{1} = 1 definierte Folge. Ermittle eine obere Schranke für die Folgenglieder und berechne den Grenzwert. Anleitung: siehe Aufgabe 5a.

Musterlösung: Analog zu Aufgabe 5a.a) ergibt sich die Monotonie unmittelbar durch Induktion. Jede Konstante K, die größer als der berechnete Grenzwert ist, ist eine obere Schranke (wegen der Monotonie). In der Tat liefert Induktion sofort den Beweis, dass z.B. M (> 1 + \sqrt{1 + M}) für alle Matrikelnummern eine obere Schranke ist:

x_{n} ≤ M ⇒ x_{n+1} = \sqrt{M + 2 · x_{n}} ≤ \sqrt{M + 2 · M} = \sqrt{3 · M} ≤ M,

da für alle Matrikelnummern sicherlich 3·M ≤ M^{2} gilt. Der Grenzwert x^{∗} ergibt sich aus der Gleichung

x^{∗} = \sqrt{M + 2 · x^{∗}} ⇒ (x^{∗})^{2} − 2 · x^{∗} − M = 0 ⇒ x^{∗} = 1 ± \sqrt{1 + M}.

Nur der positive Wert 1 + \sqrt{1 + M} kommt als Grenzwert in Frage.

Aufgabe 7a: (Die Fibonacci-Zahlen) Die Fibonacci-Folge (F_{n}) ist durch

F_{n+1} = F_{n} + F_{n−1} mit F_{0} = 0, F_{1} = 1

definiert. Betrachte die Folge x_{n} = F_{n+1}/F_{n}, n ∈ ℕ. Diese Folge konvergiert.

a) Ermittle eine Gleichung für den Grenzwert von (x_{n}) und berechne ihn.

b) Berechne die ersten 25 Werte x_{1}, …, x_{25}. Wie genau approximiert (rein experimentell) x_{25} den Grenzwert?

c) In welcher Größenordnung liegt F_{10^{7}} (wieviele Dezimalstellen hat diese Zahl ungefähr)? Eine grobe Abschätzung soll hier ausreichen.

Anleitung zu c): Man versuche erst gar nicht, F_{10^{7}} mittels MuPADs numlib::fibonacci exakt zu berechnen. Verwende F_{n} = x_{n−1} · F_{n−1} = x_{n−1} · x_{n−2} · F_{n−2} = … zusammen mit a) für eine grobe Abschätzung.

Musterlösung:

a) Aus der Rekursion der Fibonacci-Zahlen folgt

F_{n+1} = F_{n} + F_{n−1} ⇒ \frac{F_{n+1}}{F_{n}} = 1 + \frac{F_{n−1}}{F_{n}} ⇒ x_{n} = 1 + \frac{1}{x_{n−1}} .

Für x^{∗} = lim_{n} x_{n} folgt ”wie üblich“ die Gleichung

x^{∗} = 1 + \frac{1}{x^{∗}} ⇒ (x^{∗})^{2} = x^{∗} + 1 ⇒ x^{∗} = \frac{1}{2} ± \frac{\sqrt{5}}{2}.

Nur der positive Wert x^{∗} = \frac{1+\sqrt{5}}{2} kommt als Grenzwert in Frage.

b)

>> x:= n -> numlib::fibonacci(n+1)/numlib::fibonacci(n):
>> float(x(n)) $ n=1..25
1.0, 2.0, 1.5, 1.666666667, 1.6, 1.625, 1.615384615,
   1.619047619, 1.617647059, 1.618181818, 1.617977528,
   1.618055556, 1.618025751, 1.618037135, 1.618032787,
   1.618034448, 1.618033813, 1.618034056, 1.618033963,
   1.618033999, 1.618033985, 1.61803399, 1.618033988,
   1.618033989, 1.618033989

Die ersten 10 Stellen von x_{25} scheinen schon stabil geworden zu sein und mit denen des Grenzwerts übereinzustimmen.

c) Es gilt

F_{n} = x_{n−1} · F_{n−1} = x_{n−1} · x_{n−2} · F_{n−2} = ⋯ = \underbrace{x_{n−1} · x_{n−2} · · · · · x_{k}}_{n−k} ·F_{k}

mit beliebigem k ∈ {1, 2, 3, …, n − 1}. Da (x_{n}) einigermaßen schnell gegen den Grenzwert x^{∗} strebt, kann man x^{∗} ≈ x_{n} ≈ x_{n−1} ≈ … setzen und es folgt

F_{n} ≈ (x^{∗})^{n−k} · F_{k}

für jedes ”hinreichend große“ k, für das die Näherung x_{k} ≈ x_{k+1} ≈ ⋯ ≈ x_{n−1} ≈ x^{∗} gerechtfertigt ist. Wählen wir z.B. k = 25 (die betrachteten Folgenglieder x_{25}, x_{26}, … scheinen nach b) alle den Grenzwert auf mindestens 10 Dezimalstellen genau zu approximieren), so erhalten wir:

>> x:= float((1 + sqrt(5))/2):
>> k:= 25:
>> x^(10^7 - k)*numlib::fibonacci(k)
                      1.129834378e2089876

Also: F_{10^{7}} hat über 2 Millionen Dezimalstellen.

Aufgabe 8a: (Folgen, Konvergenz. Das geometrisch-arithmetische Mittel) Sei 0 < x < y.

a) Zeige x < \sqrt{x · y} < \frac{x + y}{2} < y.

Definiere x_{1} = x, y_{1} = y und dann rekursiv x_{n+1} = \sqrt{x_{n} · y_{n}}, y_{n+1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} . b) Zeige, dass (x_{n}) streng monoton steigend und dass (y_{n}) streng monoton fallend ist.

c) Zeige, dass (y_{n} − x_{n}) eine Nullfolge ist.

d) Folgere, dass (x_{n}) und (y_{n}) gegen den selben Grenzwert konvergieren.

Man nennt diesen Grenzwert das ”geometrisch-arithmetische Mittel“ von x und y.

e) Berechne für x = 1, y = 2 die ersten 5 Intervalle [x_{n}, y_{n}]. Wie schnell nehmen die Intervalllängen y_{n} − x_{n} ab?

f) (Etwas anspruchsvoller) Sei x ≥ 1.

i) Zeige: \sqrt{x_{n}} + \sqrt{y_{n}} ≥ 1 für alle n,

ii) Folgere: \sqrt{y_{n}} − \sqrt{x_{n}} ≤ y_{n} − x_{n} für alle n,

iii) Folgere: y_{n+1} − x_{n+1} ≤ \frac{1}{2} · (y_{n} − x_{n})^{2}.

Wieso erklärt iii) die in e) beobachtete schnelle Konvergenz?

Musterlösung:

a) Mit 0 < x < y gilt

x = \sqrt{x^{2}} < \sqrt{x · y}, \frac{x + y}{2} < \frac{y + y}{2} = y.

Weiterhin gilt

\sqrt{x · y} < \frac{x + y}{2} ⇔ x · y < \frac{(x + y)^{2}}{4} ⇔ 4 · x · y < x^{2} + 2 · x · y + y^{2}

⇔ 0 < x^{2} − 2 · x · y + y^{2} = (x − y)^{2},

wobei letztere Ungleichung sicherlich gültig ist.

b) Folgt unmittelbar aus a):

x_{n} < \underbrace{\sqrt{x_{n} · y_{n}}}_{x_{n+1}} < \underbrace{\frac{x_{n} + y_{n}}{2}}_{y_{n+1}} < y_{n}.

c) Es gilt

y_{n} − x_{n} = \frac{x_{n−1} + y_{n−1}}{2} − \sqrt{x_{n−1} · y_{n−1}} ≤ \frac{x_{n−1} + y_{n−1}}{2} − x_{n−1} = \frac{y_{n−1} − x_{n−1}}{2} .

Mit dieser rekursiven Beziehung folgt

y_{n} − x_{n} ≤ \frac{y_{n−1} − x_{n−1}}{2} ≤ \frac{y_{n−2} − x_{n−2}}{4} ≤ ⋯ ≤ \frac{y_{1} − x_{1}}{2^{n−1}} .

Damit ist (y_{n} − x_{n}) eine Nullfolge.

d) Da (x_{n}) monoton wächst und nach oben durch x_{n} < y_{n} < y beschränkt ist, konvergiert (x_{n}) gegen einen Grenzwert x^{∗}. Da (y_{n}) monoton fällt und nach unten durch x < x_{n} < y_{n} beschränkt ist, konvergiert (y_{n}) gegen einen Grenzwert y^{∗}. Wegen

y^{∗} − x^{∗} = lim_{n→∞} y_{n} − lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞}(y_{n} − x_{n}) = 0

stimmen diese Grenzwerte überein.

e) Für x = 1, y = 2 erhält man die Werte:

\begin{matrix}x_{1} = \underline{1}.0, & y_{1} = 2.0, & y_{1} − x_{1} = 1.0, \\ x_{2} = \underline{1.4}14213562, & y_{2} = \underline{1}.5, & y_{2} − x_{2} = 0.085..., \\ x_{3} = \underline{1.456}475315, & y_{3} = \underline{1.45}7106781, & y_{3} − x_{3} = 0.00063..., \\ x_{4} = \underline{1.4567910}14, & y_{4} = \underline{1.4567910}48, & y_{4} − x_{4} = 0.000000034..., \\ x_{5} = \underline{1.456791031}, & y_{5} = \underline{1.456791031}, & y_{5} − x_{5} = 1.00... · 10^{−16}. \end{matrix}

Die unterstrichenen Stellen stimmen mit denen des Grenzwerts überein. Die Folgen (x_{n}), (y_{n}) konvergieren offensichtlich sehr schnell.

f) i) Es gilt 1 ≤ x < x_{n} < y_{n} für alle Indizes, womit sicherlich

\sqrt{x_{n}} + \sqrt{y_{n}} ≥ 1

folgt. ii) Aus \sqrt{x_{n}} + \sqrt{y_{n}} ≥ 1 folgt:

\sqrt{y_{n}} − \sqrt{x_{n}} ≤ (\sqrt{y_{n}} − \sqrt{x_{n}}) · (\sqrt{y_{n}} + \sqrt{x_{n}}) = y_{n} − x_{n}.

iii) Es folgt

y_{n+1} − x_{n+1} = \frac{x_{n} + y_{n}}{2} − \sqrt{x_{n} · y_{n}} = \frac{\sqrt{x_{n}}^{2} + \sqrt{y_{n}}^{2}}{2} − \sqrt{x_{n}} · \sqrt{y_{n}}

= \frac{\sqrt{x_{n}}^{2} − 2 · \sqrt{x_{n}} · \sqrt{y_{n}} + \sqrt{y_{n}}^{2}}{2} = \frac{(\sqrt{x_{n}} − \sqrt{y_{n}})^{2}}{2} ≤^{(ii)} \frac{(y_{n} − x_{n})^{2}}{2} .

Dies erklärt die schnelle Konvergenz: Ist der Abstand der Folgenglieder y_{n} und x_{n} erst einmal klein, ist der nächste Abstand durch Quadrieren wesentlich kleiner usw.