Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 23. 10. 2003

Ü b u n g s b l a t t 2

Abgabe von ∗ Aufgaben am 30.10.2003 in der Übung.

Aufgabe 8*: (Komplexe Zahlen, 5 + 5 + 5 + 5 Bonuspunkte) Seien i = \sqrt{−1}. z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 − i, z_{3} = 1 + i · \sqrt{15}. Berechne für k = 1, 2, 3

a) \frac{1}{z_{k}} ,  b) \overline{z_{k}},  c) |z_{k}|  sowie  d) z_{1} · z_{2}, \frac{z_{2}}{z_{3}} , z_{1}^{4}.

Musterlösung: a)

\frac{1}{z_{1}} = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 − i}{(1 + i) · (1 − i)} = \frac{1}{2} − \frac{i}{2}, \frac{1}{z_{2}} = \frac{1}{1 − i} = \frac{1 + i}{(1 − i) · (1 + i)} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2},

\frac{1}{z_{3}} = \frac{1}{(1 + i · \sqrt{15})} = \frac{1 − i · \sqrt{15}}{(1 + i · \sqrt{15}) · (1 − i · \sqrt{15})} = \frac{1 − i · \sqrt{15}}{16} = \frac{1}{16} − i · \frac{\sqrt{15}}{16},

b)

\overline{z_{1}} = 1 − i, \overline{z_{2}} = 1 + i, \overline{z_{3}} = 1 − i · \sqrt{15} ,

c)

|z_{1}| = \sqrt{2}, |z_{2}| = \sqrt{2}, |z_{3}| = \sqrt{1 + 15} = 4,

d)

z_{1} · z_{2} = (1 + i) · (1 − i) = 1 − i^{2} = 2.

Mit a) gilt 1/z_{3} = (1 − i · \sqrt{15})/16:

\frac{z_{2}}{z_{3}} = (1 − i) · \frac{1 − i · \sqrt{15}}{16} = \frac{1 − \sqrt{15} − i · (1 + \sqrt{15})}{16} = \frac{1 − \sqrt{15}}{16} − i · \frac{1 + \sqrt{15}}{16},

z_{1}^{4} = ((z_{1})^{2})^{2} = ((1 + i)^{2})^{2} = (1 + 2 · i + i^{2})^{2} = (1 + 2 · i − 1)^{2} = (2 · i)^{2} = −4.

Aufgabe 9: (MuPAD, 0 Bonuspunkte) Lies die MuPAD–Hilfeseiten zu Re, Im, conjugate und rectform (interaktiv durch ?Re etc. aufzurufen). Sei z = (1+i·\sqrt{2} )/(1−i). Zerlege z^{5} mit MuPAD in Real- und Imaginärteil.

Musterlösung:

>> z:= (1 + sqrt(2)*I)/(1 - I);
>> z^5
                                             1/2 5
             ((1/2 + 1/2 I) - (1/2 - 1/2 I) 2   )

rectform zerlegt in Real- und Imaginärteil:

>> rectform(z^5)
             /     1/2       \     /     1/2       \
             | 11 2          |     | 11 2          |
           - | ------- + 1/8 | + I | ------- - 1/8 |
             \    8          /     \    8          /

Aufgabe 10: (Komplexe Zahlen, 10 Bonuspunkte) Man gehe im Web-Browser nach bourbaki.upb.de/mfp1 und melde sich im automatischen Abgabe-Tool an. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 10’ bezeichnet. Man bekommt dort 3 komplexe Zahlen z_{1}, z_{2}, z_{3} (jeder bekommt andere Zahlen). Berechne z = z_{1} · z_{2}/z_{3} und liefere ℜ(z), ℑ(z) als Lösung im Web-Formular ab. Es sind maximal 3 Abgabeversuche möglich! Abgaben bis Do, 30.10., 23::59::59 Uhr. Relevante MuPAD-Funktionen: rectform, Re, Im.

Aufgabe 11*: (Komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen. 10 Bonuspunkte) Bestimme alle Nullstellen des Polynoms z^{2} + z + 1. Anleitung: Die übliche Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Relevante MuPAD-Funktionen: solve.

Musterlösung: Die aus der Schule bekannte übliche Wurzelformel

z_{±} = −\frac{p}{2} ± \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}

für die Gleichung z^{2} + p · z + q = 0 liefert für p = q = 1:

z_{±} = −\frac{1}{2} ± \sqrt{\frac{1}{4} − 1} = −\frac{1}{2} ± \sqrt{−\frac{3}{4}} = −\frac{1}{2} ± \frac{1}{2} · \sqrt{−3} = −\frac{1}{2} ± \frac{i · \sqrt{3}}{2}.

Aufgabe 12*: (Faktorpolynome, Horner–Schema, 10 Bonuspunkte) Betrachte das Polynom p(x) = x^{n} − 1. Für jedes n ∈ ℕ läßt sich der Linearfaktor x − 1 abspalten (warum?). Bestimme für beliebiges n die explizite Form des Faktorpolynoms p(x)/(x − 1). Hinweis: Durchlaufe das Horner–Schema.

Musterlösung: Da x = 1 für jedes n eine Nullstelle ist, läßt sich stets der Linearfaktor x − 1 abspalten. Die explizite Darstellung

\frac{x^{n} − 1}{x − 1} = b_{0} · x^{n−1} + b_{1} · x^{n−2} + ⋯ + b_{n−1}

wird durch das Horner-Schema 1.13 mit x^{∗} = 1 und den Polynomkoeffizienten (a_{0}, …, a_{n}) = (−1, 0, …, 0, 1) geliefert:

\begin{aligned}b_{0} & = & a_{n} = 1; \\ b_{k} & = & b_{k−1} · x^{∗} + a_{n−k} = b_{k−1} = 1 (k = 1, 2, …, n − 1), \\ b_{n} & = & b_{n−1} · x^{∗} + a_{0} = b_{n−1} − 1 = 0 = p(1). \end{aligned}

Also:

x^{n} − 1 = (x − 1) · (x^{n−1} + x^{n−2} + ⋯ + x + 1).

Anmerkung:

1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n−1} = \frac{x^{n} − 1}{x − 1}

ist die wohlbekannte Summenformel für geometrische Reihen.

Aufgabe 13: (MuPAD, 0 Bonuspunkte) Lies die MuPAD–Hilfeseiten zu factor und expand. Faktorisiere die Polynome x^{n} − 1 für n = 2, 3, …, 10. Benutze expand, um die in Aufgabe 12 gefragte Form des Faktorpolynoms p(x)/(x − 1) zu verifizieren.

Musterlösung: Wir realisieren die Werte n = 2, …, 10 durch eine for-Schleife:

>> for n from 2 to 10 do
&>   print(n, factor(x^n - 1));
&> end_for:
                           2, (x - 1) (x + 1)
                                         2
                        3, (x - 1) (x + x  + 1)
                                           2
                      4, (x - 1) (x + 1) (x  + 1)
                                    2    3    4
                   5, (x - 1) (x + x  + x  + x  + 1)
                                      2              2
             6, (x - 1) (x + 1) (x + x  + 1) (- x + x  + 1)
                               2    3    4    5    6
              7, (x - 1) (x + x  + x  + x  + x  + x  + 1)
                                       2        4
                  8, (x - 1) (x + 1) (x  + 1) (x  + 1)
                                  2        3    6
                 9, (x - 1) (x + x  + 1) (x  + x  + 1)
                            2    3    4              2    3    4
  10, (x - 1) (x + 1) (x + x  + x  + x  + 1) (- x + x  - x  + x  + 1)

Für n = 4, 6, 8, 9, 10 wird eine weitergehende Faktorisierung gefunden. (Für gerades n ist dies kein Wunder, da dann auch x = −1 eine Wurzel ist und der Linearfaktor x + 1 stets abgespalten werden kann.) Die folgende Schleife expandiert das Produkt aller Faktoren außer dem Linearfaktor x − 1 und liefert damit die in Aufgabe 12 gefragte Form von p(x)/(x − 1):

>> for n from 2 to 10 do
&>   print(n, expand(factor(x^n - 1)/(x - 1)));
&> end_for:
                                2, x + 1
                                     2
                             3, x + x  + 1
                                   2    3
                           4, x + x  + x  + 1
                                2    3    4
                        5, x + x  + x  + x  + 1
                              2    3    4    5

                      6, x + x  + x  + x  + x  + 1
                           2    3    4    5    6
                   7, x + x  + x  + x  + x  + x  + 1
                         2    3    4    5    6    7
                 8, x + x  + x  + x  + x  + x  + x  + 1
                      2    3    4    5    6    7    8
              9, x + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + 1
                    2    3    4    5    6    7    8    9
           10, x + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + 1

Aufgabe 14: (Polynomwurzeln. 10 Bonuspunkte) Man begebe sich ins automatische Abgabe-Tool bourbaki.upb.de/mfp1. Diese Aufgabe wird dort als ’Miniprojekt 14’ bezeichnet. Man erhält dort ein konkretes Polynom der Form

x^{4} + a_{3} · x^{3} + a_{2} · x^{2} + a_{1} · x + a_{0}

und eine der Wurzeln. Berechne die restlichen Wurzeln und liefere Sie im Web-Formular ab. Hinweis: Satz 1.33 liefert eine zweite Nullstelle. Nach Abspalten zweier Linearfaktoren sind nur noch die Nullstellen eines quadratischen Faktorpolynoms zu suchen. Es sind maximal 3 Abgabeversuche möglich! Abgaben bis Do, 30.10., 23::59::59 Uhr. Relevante MuPAD-Funktionen: factor, solve.

Musterlösung: Das geliefert Polynom ist

p(x) = x^{4} − 2 · M_{5} · x^{3} + (2 − M_{7}^{2}) · x^{2} − 4 · M_{5} · x − 2 · M_{7}^{2},

wobei M_{1}, …, M_{7} die Ziffern der Matrikelnummer ist. Es hat stets die komplexe Nullstelle \sqrt{2} · i. Da das Polynom reell ist, ist automatisch −\sqrt{2}·i ebenfalls eine Wurzel und es läßt sich stets das Polynom (x − \sqrt{2} · i) · (x + \sqrt{2} · i) = x^{2} + 2 abspalten. Die Wurzeln des quadratischen Restpolynoms können über die übliche Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimmt werden. Hier die mit MuPAD ermittelten Endergebnisse:

>> p:= x^4 - 2*M5*x^3 + (2 - M7^2)*x^2 - 4*M5*x - 2*M7^2
>> factor(p);
                    2                 2     2
                - (x  + 2) (2 x M5 - x  + M7 )
>> solve(p, x)
          2     2 1/2          2     2 1/2       1/2     1/2
 {M5 + (M5  + M7 )   , M5 - (M5  + M7 )   , - I 2   , I 2   }

Aufgabe 15*: (Vietascher Wurzelsatz, 10 + 5 Bonuspunkte)

a) Seien x_{1}, …, x_{k} die unterschiedlichen Wurzeln des Polynoms p(x) = a_{n} ·x^{n} +⋯+a_{1} ·x+a_{0} mit den Vielfachheiten n_{1}, …, n_{k}, wobei n = n_{1} + ⋯ + n_{k} und a_{n} ≠ 0 gelte. Zeige:

x_{1}^{n_{1}} · x_{2}^{n_{2}} · . . . · x_{k}^{n_{k}} = (−1)^{n} · \frac{a_{0}}{a_{n}} .

Anleitung: Werte das Polynom bei 0 aus.

b) Betrachte p(x) = 3 · x^{3} − 51 · x^{2} − 3 x + 51. Die Werte x_{1,2} = ±1 sind Nullstellen. Finde die dritte Wurzel ohne Polynomdivision.

Musterlösung:

a) Der Fundamentalsatz

p(x) = a_{n} · x^{n} + ⋯ + a_{1} · x + a_{0} = a_{n} · (x − x_{1})^{n_{1}} · · · · · (x − x_{k})^{n_{k}}

liefert bei Auswertung an der Stelle x = 0:

p(0) = a_{0} = a_{n} · (−x_{1})^{n_{1}} · . . . (−x_{k})^{n_{k}} = a_{n} · (−1)^{n_{1}+···+n_{k}} · x_{1}^{n_{1}} · · · · · x_{k}^{n_{k}},

wobei n_{1} + ⋯ n_{k} = n = Polynomgrad.

b) Nach a) muss gelten

x_{1} · x_{2} · x_{3} = −\frac{51}{3} = −17 ⇒ x_{3} = −\frac{17}{x_{1} · x_{2}} = 17.

Aufgabe 16*: (Schranken für Polynomwurzeln. Für Ehrgeizige, anspruchsvoll! 20 Bonuspunkte) Sei z eine (eventuell komplexe) Wurzel des Polynoms p(x) = a_{n} · x^{n} + ⋯ + a_{1} · x + a_{0}, a_{n} ≠ 0. Zeige

|z| ≤ max \{|\frac{a_{0}}{a_{n}} | , 1 + |\frac{a_{1}}{a_{n}} | , 1 + |\frac{a_{2}}{a_{n}} | , …, 1 + |\frac{a_{n−1}}{a_{n}} |\} .

Anleitung: Zeige, dass

|a_{n} · z^{n}| >^{(∗)} |a_{n−1}| · |z^{n−1}| + ⋯ + |a_{1}| · |z| + |a_{0}| ( ≥ |a_{n−1} · z^{n−1} + ⋯ + a_{1} · z + a_{0}|)

gilt, wenn |z| größer als die angegebene Schranke ist, und folgere hieraus, dass z keine Nullstelle sein kann. Zeige dabei (∗) per Induktion nach j:

|a_{n}| · |z^{j}| > |a_{j−1}| · |z^{j−1}| + ⋯ + |a_{1}| · |z| + |a_{0}| für alle j = 1, …, n.

Musterlösung: Die Grundidee ist:

p(z) = a_{n} · z^{n} + ⋯ + a_{0} = a_{n} · z^{n} · (1 + \frac{a_{n−1}}{a_{n} · z} + ⋯ + \frac{a_{0}}{a_{n} · z^{n}} ).

Für hinreichend großes z ist der Faktor (1 + ∑ ...) ungefähr 1, so dass p(z) ≠ 0 gelten muss.

Sei |z| größer als die angegebene Schranke. Wir zeigen

|a_{n}| · |z^{j}| > |a_{j−1}| · |z^{j−1}| + ⋯ + |a_{1}| · |z| + |a_{0}|

für alle j = 1, …, n. Für j = 1 ist als Induktionsstart

|a_{n}| · |z| > |a_{0}|

zu zeigen. Dies ist nach der Voraussetzung ”|z| sei größer als die angegebene Schranke“ aber erfüllt. Induktionsschritt j → j + 1: die Induktionsvoraussetzung liefert

|a_{j}| · |z^{j}| + \underbrace{|a_{j−1}| · |z^{j−1}| + ⋯ + |a_{1}| · |z| + |a_{0}|}_{<|a_{n}|·|z|^{j}} < |a_{j}| · |z^{j}| + |a_{n}| · |z^{j}| = (|a_{j}| + |a_{n}|) · |z^{j}|.

Die Voraussetzung ”|z| sei größer als die angegebene Schranke“ liefert

|z| > 1 + \frac{|a_{j}|}{|a_{n}|}, also |a_{j}| + |a_{n}| < |a_{n}| · |z|.

Macht zusammen:

|a_{j}| · |z^{j}| + |a_{j−1}| · |z^{j−1}| + ⋯ + |a_{1}| · |z| + |a_{0}| < |a_{n}| · |z| · |z^{j}| = |a_{n}| · |z^{j+1}|.

Dies ist aber genau die zu beweisende Aussage für j + 1. Für j = n folgt über die Dreiecksungleichung

|a_{n−1} · z^{n−1} + ⋯ + a_{1} · z + a_{0}| ≤ |a_{n−1}| · |z^{n−1}| + ⋯ + |a_{1}| · |z| + |a_{0}|
< |a_{n}| · |z^{n}| = |a_{n} · z^{n}|.

Damit kann z keine Nullstelle sein, denn für eine Nullstelle muss gelten

a_{n} · z^{n} = −(a_{n−1} · z^{n−1} + ⋯ + a_{1} · z + a_{0}),

also

|a_{n} · z^{n}| = |a_{n−1} · z^{n−1} + ⋯ + a_{1} · z + a_{0}|.