Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 29. 1. 2004

Ü b u n g s b l a t t 14

Abgabe von ∗–Aufgaben am 05.02.2004 in der Übung.

Aufgabe 113*: (eine Basis des ℝ^{3}. 10 Bonuspunkte) Zeige, dass die Vektoren

v⃗_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) , v⃗_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , v⃗_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} )

eine Basis des ℝ^{3} bilden.

Musterlösung: Zunächst zeigen wir, dass die Vektoren v⃗_{1}, v⃗_{2} und v⃗_{3} ein Erzeugendensystem des ℝ^{3} sind, d.h., dass sich jeder Vektor x⃗ = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} ∈ ℝ^{3} als Linearkombination der Vektoren v⃗_{1}, v⃗_{2} und v⃗_{3} schreiben lässt. Seien λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℝ. Wir starten also mit dem Ansatz

λ_{1} · ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} ) + λ_{2} · ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + λ_{3} · ( \begin{matrix}1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) .

In Matrixschreibweise haben wir das folgende lineare Gleichungssystem zu lösen:

( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ −1 & 1 & 2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) .

Wir lösen das Gleichungssystem nach der Cramerschen Regel: zunächst berechnen wir die Determinante der Koeffizientenmatrix:

det (( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ −1 & 1 & 2 \end{matrix} )) = 1 · 1 · 2 + 2 · 4 · (−1) + 1 · 2 · 1 − (−1) · 1 · 1 − 1 · 4 · 1 − 2 · 2 · 2 = −15

Als nächstes ersetzen wir sukzessive eine Spalte der Matrix nach der anderen durch die symbolische rechte Seite (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} und berechnen die Determinante der entstehenden Matrix:

det (( \begin{matrix}x_{1} & 2 & 1 \\ x_{2} & 1 & 4 \\ x_{3} & 1 & 2 \end{matrix} )) = x_{1} · 1 · 2 + 2 · 4 · x_{3} + 1 · x_{2} · 1 − x_{3} · 1 · 1 − 1 · 4 · x_{2} − 2 · x_{2} · 2
= 7 · x_{3} − 3 · x_{2} − 2 · x_{1}
det (( \begin{matrix}1 & x_{1} & 1 \\ 2 & x_{2} & 4 \\ −1 & x_{3} & 2 \end{matrix} )) = 1 · x_{2} · 2 + x_{1} · 4 · (−1) + 1 · 2 · x_{3} − (−1) · x_{2} · 1 − x_{3} · 4 · 1 − 2 · 2 · x_{1}
= 3 · x_{2} − 8 · x_{1} − 2 · x_{3}
det (( \begin{matrix}1 & 2 & x_{1} \\ 2 & 1 & x_{2} \\ −1 & 1 & x_{3} \end{matrix} )) = 1 · 1 · x_{3} + 2 · x_{2} · (−1) + x_{1} · 2 · 1 − (−1) · 1 · x_{1} − 1 · x_{2} · 1 − x_{3} · 2 · 2
= 3 · x_{1} − 3 · x_{2} − 3 · x_{3}

Es folgt daher:

λ_{1} = \frac{7 · x_{3} − 3 · x_{2} − 2 · x_{1}}{−15} , λ_{2} = \frac{3 · x_{2} − 8 · x_{1} − 2 · x_{3}}{−15} , λ_{3} = \frac{3 · x_{1} − 3 · x_{2} − 3 · x_{3}}{−15} ,

d.h. jeder Vektor im ℝ^{3} lässt sich als Linearkombination von v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} schreiben. Damit ist {v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3}} ein Erzeugendensystem des ℝ^{3}. Da die Darstellung sogar eindeutig ist, folgt hieraus bereits, dass {v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3}} eine Basis des ℝ^{3} ist.

Aufgabe 114*: (Determinanten und Gleichungssysteme. 5 + 5 + 5 Bonuspunkte) Sei K ein Skalarenkörper und A ∈ K^{n×n} eine Matrix über K. Zeige, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:

a) det(A) ≠ 0

b) Das lineare Gleichungssystem Ax = b hat für jeden Vektor b ∈ K^{n} genau eine Lösung.

c) Das lineare Gleichungssystem Ax = b hat für jeden Vektor b ∈ K^{n} mindestens eine Lösung.

Hinweis: Zeige die Implikationen a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ a).

Musterlösung:

a) ⇒ b) Es gelte det(A) ≠ 0. Dann ist det(A) in dem Skalarenkörper K invertierbar und somit nach Vorlesung auch die Matrix A selbst. Wenn die Matrix A invertierbar ist, so hat das lineare Gleichungssystem Ax = b stets mindestens eine Lösung, nämlich x = A^{−1}b. Ist y ∈ K mit Ay = b, so folgt Ay = b = Ax. Multiplikation beider Seiten der Gleichung liefert y = x. Also besitzt das lineare Gleichungssystem Ax = b für jedes b ∈ K^{n} genau eine Lösung.

b) ⇒ c) Wenn das Gleichungssystem Ax = b für jeden Vektor b ∈ K^{n} immer genau eine Lösung besitzt, so besitzt auch stets mindestens eine Lösung.

c) ⇒ a) Das lineare Gleichungssystem Ax = b habe für jeden Vektor b ∈ K^{n} mindestens eine Lösung. Betrachte die n Einheitsvektoren

e⃗_{1} = ( 1 0 0 ⋮ 0 0 ) , e⃗_{2} = ( 0 1 0 ⋮ 0 0 ) , …, e⃗_{n} = ( 0 0 0 ⋮ 0 1 ) .

Sie bilden die Standardbasis des Vektorraums K^{n}. Nach Voraussetzung gibt es Vektoren y⃗_{1}, y⃗_{2}, …, y⃗_{n} ∈ K^{n} mit

Ay⃗_{1} = e⃗_{1}, Ay⃗_{2} = e⃗_{2}, …, Ay⃗_{n} = e⃗_{n} (#)

Sei Y = (y⃗_{1}, y⃗_{2}, …, y⃗_{n}) diejenige (n × n)–Matrix über K, deren i-te Spalte durch den Vektor y⃗_{i} gegeben ist, i = 1, …, n. Dann können wir die n Multiplikationen (#) der Matrix A mit den Vektoren y⃗_{1}, y⃗_{2}, …, y⃗_{n} als eine Matrixmultiplikation der Form

AY = (e⃗_{1}, e⃗_{2}, …, e⃗_{n})

schreiben. Dabei ist (e⃗_{1}, e⃗_{2}, …, e⃗_{n}) diejenige Matrix, deren Spalten gerade die n Einheitsvektoren e⃗_{1}, e⃗_{2}, …, e⃗_{n} bilden, also die Einheitsmatrix. Dies bedeutet aber, dass Y die zu A inverse Matrix ist, d.h., Y = A^{−1}. Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1 und die Determinante des Produkts AA^{−1} ist nach dem Determinantenmultiplikationssatz das Produkt der Determinanten von A und von A^{−1}, d.h.,

1 = det((e⃗_{1}, e⃗_{2}, …, e⃗_{n})) = det(AA^{−1}) = det(A) · det(A^{−1}).

Daraus folgt det(A) ≠ 0.

Aufgabe 115*: (Vandermondesche Determinante. 20 Bonuspunkte) Sei K ein Skalarenkörper und a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ K. Sei A ∈ K^{n×n} (mit n ≥ 2) die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & a_{1} & a_{1}^{2} & ⋯ & a_{1}^{n−1} \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & ⋯ & a_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & ⋯ & a_{n}^{n−1} \end{matrix} ) .

Zeige per Induktion nach n, dass gilt:

det(A) = ∏_{1≤i<j≤n}(a_{j} − a_{i}).

Dabei bezeichnet ∏_{1≤i<j≤n}(a_{j} − a_{i}) das Produkt aller a_{j} − a_{i} mit 1 ≤ i < j ≤ n. Die Matrix A wird auch ”Vandermonde–Matrix“ genannt und ihre Determinante det(A) ”Vandermondesche Determinante“. Anleitung: Forme für den Induktionsschritt die (n × n)–Matrix mit Hilfe von elementaren Spaltenoperationen so um, dass die erste Zeile der Matrix bis auf den ersten Eintrag nur noch aus Nullen besteht. Berechne dann die Determinante mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes (Entwicklung nach der ersten Zeile).

Musterlösung: Induktionsstart: Im Fall n = 2 gilt nach der aus der Vorlesung bekannten Formel für die Determinante einer (2 × 2)–Matrix

det ( \begin{matrix}1 & a_{1} \\ 1 & a_{2} \end{matrix} ) = 1 · a_{2} − a_{1} · 1 = a_{2} − a_{1} = ∏_{1≤i<j≤2}(a_{j} − a_{i}).

Induktionsschritt von n−1 nach n: Wir multiplizieren zunächst in Gedanken die (n−1)–te Spalte der Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & a_{1} & a_{1}^{2} & ⋯ & a_{1}^{n−2} & a_{1}^{n−1} \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & ⋯ & a_{2}^{n−2} & a_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & ⋯ & a_{n}^{n−2} & a_{n}^{n−1} \end{matrix} )

mit a_{1} und subtrahieren die entstehende Spalte von der n–ten Spalte. Dies liefert die Matrix

( \begin{matrix}1 & a_{1} & a_{1}^{2} & ⋯ & a_{1}^{n−2} & 0 \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & ⋯ & a_{2}^{n−2} & (a_{2} − a_{1}) · a_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & ⋯ & a_{n}^{n−2} & (a_{n} − a_{1}) · a_{n}^{n−1} \end{matrix} ) ,

deren Determinante mit der Determinante der Ausgangsmatrix übereinstimmt (das Subtrahieren eines von Null verschiedenen Vielfachen einer Spalte von einer anderen Spalte verändert die Determinante der Matrix nicht). Im nächsten Schritt multiplizieren wir die (n − 2)–te Spalte der erhaltenen Matrix in Gedanken mit a_{1} und subtrahieren diese von der (n − 1)-ten Spalte. Dies liefert die Matrix

( \begin{matrix}1 & a_{1} & a_{1}^{2} & ⋯ & 0 & 0 \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & ⋯ & (a_{2} − a_{1}) · a_{2}^{n−3} & (a_{2} − a_{1}) · a_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & ⋯ & (a_{n} − a_{1}) · a_{n}^{n−3} & (a_{n} − a_{1}) · a_{n}^{n−1} \end{matrix} ) .

Setzen wir das Verfahren bis zur zweiten Spalte der Matrix fort, so erhalten wir die folgende Matrix, deren erste Spalte bis auf den ersten Eintrag nur aus Nullen besteht und deren Determinante auch weiterhin mit der der Ausgangsmatrix A übereinstimmt:

\underbrace{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 1 & a_{2} − a_{1} & (a_{2} − a_{1}) · a_{2} & ⋯ & (a_{2} − a_{1}) · a_{2}^{n−3} & (a_{2} − a_{1}) · a_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{n} − a_{1} & (a_{n} − a_{1}) · a_{n} & ⋯ & (a_{n} − a_{1}) · a_{n}^{n−3} & (a_{n} − a_{1}) · a_{n}^{n−1} \end{matrix} )}_{=:Ã} .

Zur Berechnung der Determinante von Ã wenden wir den Laplaceschen Entwicklungssatz an (Entwicklung nach der ersten Zeile der Matrix). Da die erste Zeile der Matrix Ã bis auf den ersten Eintrag nur aus Nullen besteht, gilt:

det(Ã) = det ( \begin{matrix}a_{2} − a_{1} & (a_{2} − a_{1}) · a_{2} & ⋯ & (a_{2} − a_{1}) · a_{2}^{n−3} & (a_{2} − a_{1}) · a_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ a_{n} − a_{1} & (a_{n} − a_{1}) · a_{n} & ⋯ & (a_{n} − a_{1}) · a_{2}^{n−3} & (a_{n} − a_{1}) · a_{n}^{n−2} \end{matrix} )

= (a_{2} − a_{1}) · . . . · (a_{n} − a_{1}) · det ( \begin{matrix}1 & a_{2} & ⋯ & a_{2}^{n−3} & a_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{n} & ⋯ & a_{2}^{n−3} & a_{n}^{n−2} \end{matrix} )

Nach Induktionsvoraussetzung gilt jetzt aber

det ( \begin{matrix}1 & a_{2} & ⋯ & a_{2}^{n−3} & a_{2}^{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ \\ 1 & a_{n} & ⋯ & a_{n}^{n−3} & a_{n}^{n−2} \end{matrix} ) = ∏_{2≤i<j≤n}(a_{j} − a_{i})

und damit insgesamt

det(A) = det(Ã) = (a_{2} − a_{1}) · . . . · (a_{n} − a_{1}) · ∏_{2≤i<j≤n}(a_{j} − a_{i}) = ∏_{1≤i<j≤n}(a_{j} − a_{i}).

Aufgabe 116*: (Spatprodukt und Determinante. 5 Bonuspunkte) Zeige für beliebige Vektoren x⃗, y⃗, z⃗ ∈ ℝ^{3}, dass für das Spatprodukt dieser Vektoren |[x⃗, y⃗, z⃗]| = det([x⃗, y⃗, z⃗]) gilt! Die Determinante gibt also das (orientierte) Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats im ℝ^{3} an.

Musterlösung: Es seien

x⃗ = ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) , y⃗ = ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix} ) , z⃗ = ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix} ) .

Dann ist A die (3 × 3)–Matrix

A = ( \begin{matrix}x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{matrix} ) .

Wir rechnen die behauptete Identität schlicht nach. Mit den Definitionen des Spatprodukts, des Kreuzprodukts und des Standardskalarprodukts folgt:

|[x⃗, y⃗, z⃗]| = ⟨x⃗, y⃗ × z⃗⟩ = ⟨( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}y_{2} · z_{3} − y_{3} · z_{2} \\ y_{3} · z_{1} − y_{1} · z_{3} \\ y_{1} · z_{2} − y_{2} · z_{1} \end{matrix} )⟩
= x_{1} · y_{2} · z_{3} − x_{1} · y_{3} · z_{2} + x_{2} · y_{3} · z_{1} − x_{2} · y_{1} · z_{3} + x_{3} · y_{1} · z_{2} − x_{3} · y_{2} · z_{1} (#)

Die Determinante der Matrix A ist nach der aus der Vorlesung bekannten Rechenregel für (3 × 3)– Matrizen gegeben durch

det(A) = x_{1} · y_{2} · z_{3} + y_{1} · z_{2} · x_{3} + z_{1} · x_{2} · y_{3} − x_{3} · y_{2} · z_{1} − y_{3} · z_{2} · x_{1} − z_{3} · x_{2} · y_{1}. (##)

Vergleich von (#) und (##) liefert sofort die Behauptung.

Aufgabe 117*: (Volumen eines Spats im ℝ^{3}. 5 Bonuspunkte) Die drei Vektoren

v_{1} = ( \frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2} ; 0 ) , v_{2} = ( −\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{1}{2} ; 0 ) , v_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )

definieren einen Spat im ℝ^{3}. Bestimme sein Volumen!

Musterlösung: Wir betrachten die Matrix A, deren Spalten durch die Vektoren v_{1}, v_{2} und v_{3} gegeben sind und bestimmen ihre Determinante. Setze also

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & −\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Es gilt:

det(A) = \frac{1}{2} · \frac{1}{2} · 1 + ( − \frac{\sqrt{3}}{2}) · 0 · 0 + 0 · \frac{\sqrt{3}}{2} · 0 − 0 · \frac{1}{2} · 0 − 0 · 0 · \frac{1}{2} − 1 · \frac{\sqrt{3}}{2} · ( − \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1.

Aufgabe 118*: (Produkte von Matrizen. 3 + 3 + 3 Bonuspunkte) Zeige, dass das

a) Produkt zweier oberer Dreiecksmatrizen wieder eine obere Dreiecksmatrix ist,

b) Produkt zweier unterer Dreiecksmatrizen wieder eine untere Dreiecksmatrix ist,

c) Produkt einer oberen mit einer unteren Dreiecksmatrix nicht notwendiger Weise eine obere oder untere Dreiecksmatrix ist (hier genügt ein Beispiel).

Musterlösung:

a) Seien U = (u_{ij}), V = (v_{ij}) ∈ K^{n×n} obere Dreiecksmatrizen, d.h. u_{ij} = 0 = v_{ij} für alle i > j. Es sei UV = (p_{ij}) das Produkt der beiden Matrizen. Dann gilt p_{ij} = ∑_{k=1}^{n} u_{ik} · v_{kj}. Wir müssen zeigen, dass p_{ij} = 0 gilt für alle i > j. Sei i > j. Für i > k gilt u_{ik} = 0 und für k ≥ i gilt insbesondere k > j, also

v_{kj} = 0. Es folgt p_{ij} = ∑_{k=1}^{n} u_{ik} · v_{kj} = 0 für alle i > j.

b) Seien L = (l_{ij}), M = (m_{ij}) ∈ K^{n×n} untere Dreiecksmatrizen, d.h. l_{ij} = 0 = m_{ij} für alle i < j. Es sei UV = (p_{ij}) das Produkt der beiden Matrizen. Dann gilt p_{ij} = ∑_{k=1}^{n} l_{ik} · m_{kj}. Wir müssen zeigen, dass p_{ij} = 0 gilt für alle i < j. Sei i < j. Für i < k gilt l_{ik} = 0 und für k ≤ i gilt insbesondere k < j, also m_{kj} = 0. Es folgt p_{ij} = ∑_{k=1}^{n} l_{ik} · m_{kj} = 0 für alle i < j.

c) Betrachte zum Beispiel die Matrizen

U = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) und L = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

Dann gilt

UL = ( \begin{matrix}3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ,

also insbesondere keine obere oder untere Dreiecksmatrix.

Aufgabe 119*: (Orthogonale Matrizen. 5 + 5 + 10 Bonuspunkte) Eine Matrix O ∈ ℝ^{n×n} heißt orthogonal, wenn O O^{T} = I 1 gilt.

a) Zeige, dass det(O) = 1 oder det(O) = −1 gilt. Duch die folgenden drei Matrizen werden Drehungen um den Winkel α im ℝ^{3} um die x–, y– bzw. z–Achse definiert:

O_{x} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix} ) , O_{y} = ( \begin{matrix}cos α & 0 & sin α \\ 0 & 1 & 0 \\ − sin α & 0 & cos α \end{matrix} ) , O_{z} = ( \begin{matrix}cos α & − sin α & 0 \\ sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Blickt man in die (positive) Richtung der jeweiligen Drehachse, dann erfolgt die Drehung bei positivem α im Uhrzeigersinn.

b) Zeige dass O_{x}, O_{y} und O_{z} in der Tat orthogonale Matrizen mit det(O_{x}) = det(O_{y}) = det(O_{z}) = 1 sind.

c) Zeige O_{x}(v⃗ × w⃗) = (O_{x}v⃗) × (O_{x}w⃗) für beliebige Vektoren v⃗, w⃗ ∈ ℝ^{3} (die gleiche Aussage gilt auch für O_{y} und O_{z}, was hier aber nicht explizit nachgewiesen werden muss).

Musterlösung:

a) Es gilt

det(O O^{T}) = det(O) · det(O^{T}) = det(O)^{2} = det( I 1) = 1.

Hieraus folgt sofort det(0) = ±1.

b) Mit sin^{2} α + cos^{2} α = 1 und der Definition der Matrixmultiplikation sowie der Transposition von Matrizen folgt durch schlichtes Nachrechnen:

O_{x} · O_{x}^{T} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & sin α \\ 0 & − sin α & cos α \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos^{2} α + sin^{2} α & cos α · sin α − sin α · cos α \\ 0 & sin α · cos α − cos α · sin α & sin^{2} α + cos^{2} α \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

O_{y} · O_{y}^{T} = ( \begin{matrix}cos α & 0 & sin α \\ 0 & 1 & 0 \\ − sin α & 0 & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos α & 0 & − sin α \\ 0 & 1 & 0 \\ sin α & 0 & cos α \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos^{2} α + sin^{2} α & 0 & − cos α · sin α + sin α · cos α \\ 0 & 1 & 0 \\ − sin α · cos α + cos α · sin α & 0 & sin^{2} α + cos^{2} α \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

O_{z} · O_{z}^{T} = ( \begin{matrix}cos α & − sin α & 0 \\ sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos α & sin α & 0 \\ − sin α & cos α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos^{2} α + sin^{2} α & cos α · sin α − sin α · cos α & 0 \\ sin α · cos α − cos α · sin α & sin^{2} α + cos^{2} α & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Ferner folgt mit Hilfe der Regel zur Berechnung von Determinanten für (3 × 3)– Matrizen:

det O_{x} = cos^{2} α + sin^{2} α = 1, det O_{y} = cos^{2} α + sin^{2} α = 1, det O_{z} = cos^{2} α + sin^{2} α = 1.

c) Seien

v⃗ = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) und w⃗ = ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) .

Mit der Definition des Kreuzprodukts folgt:

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix} ) · [( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} )] =

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}v_{2} · w_{3} − v_{3} · w_{2} \\ v_{3} · w_{1} − v_{1} · w_{3} \\ v_{1} · w_{2} − v_{2} · w_{1} \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}v_{2} · w_{3} − v_{3} · w_{2} \\ cos α · (v_{3} · w_{1} − v_{1} · w_{3}) − sin α · (v_{1} · w_{2} − v_{2} · w_{1}) \\ sin α · (v_{3} · w_{1} − v_{1} · w_{3}) + cos α · (v_{1} · w_{2} − v_{2} · w_{1}) \end{matrix} )

=:u⃗

Nun berechnen wir O_{x}v⃗ und O_{x}w⃗:

O_{x}v⃗ = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}v_{1} \\ cos α · v_{2} − sin α · v_{3} \\ sin α · v_{2} + cos α · v_{3} \end{matrix} )

O_{x}w⃗ = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & cos α & − sin α \\ 0 & sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}w_{1} \\ cos α · w_{2} − sin α · w_{3} \\ sin α · w_{2} + cos α · w_{3} \end{matrix} )

Es sei z⃗ = O_{x}v⃗ × O_{x}w⃗. Dann gilt:

z_{1} = (cos α · v_{2} − sin α · v_{3}) · (sin α · w_{2} + cos α · w_{3}) − (sin α · v_{2} + cos α · v_{3}) · (cos α · w_{2} − sin α · w_{3})

= (v_{2} · w_{3} − v_{3} · w_{2}) · (cos^{2} α + sin^{2} α)

= v_{2} · w_{2} − v_{3} · w_{2}

z_{2} = (sin α · v_{2} + cos α · v_{3}) · w_{1} − v_{1} · (sin α · w_{2} + cos α · w_{3})

= cos α · (v_{3} · w_{1} − v_{1} · w_{3}) − sin α · (v_{1} · w_{2} − v_{2} · w_{1})

z_{3} = v_{1} · (cos α · w_{2} − sin α · w_{3}) − (cos α · v_{2} − sin α · v_{3}) · w_{1}

= sin α · (v_{3} · w_{1} − v_{1} · w_{3}) + cos α · (v_{1} · w_{2} − v_{2} · w_{1})

Vergleich der Komponenten von u⃗ und z⃗ zeigt die Behauptung.