Mathe für Physiker I Wintersemester 03/04 Walter Oevel 15. 1. 2004

Ü b u n g s b l a t t 12

Abgabe von ∗–Aufgaben am 22.1.2004 in der Übung.

Aufgabe 98: (Fourier-Entwicklung, 0 Bonuspunkte) Lies (in Ruhe) und verstehe das Kapitel 11 des Skripts (Fourier-Entwicklung).

Aufgabe 99*: (Die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung. 10 Bonuspunkte) Beweise

|⟨f, g⟩|^{2} ≤ ⟨f, f⟩ · ⟨g, g⟩

für beliebiges f, g in einem Raum mit Skalarprodukt. Wann gilt das Gleichheitszeichen? Anleitung: Starte mit 0 ≤ ⟨f − α · g, f − α · g⟩ und wähle ein geeignetes α ∈ ℂ.

Musterlösung: Für jedes Skalarprodukt gilt

0 ≤ ⟨f − α · g, f − α · g⟩ = ⟨f, f⟩ − α · ⟨f, g⟩ − \overline{α} · ⟨g, f⟩ + \overline{α} · α · ⟨g, g⟩

für jedes f, g und jedes α ∈ ℂ. Für g = 0 ist Cauchy–Schwarz sicherlich erfüllt, betrachte also g ≠ 0. Für den Wert

α = \frac{⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩}, also \overline{α} = \frac{⟨f, g⟩}{⟨g, g⟩}

folgt

0 ≤ ⟨f, f⟩ − \frac{⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩} · ⟨f, g⟩ − \frac{⟨f, g⟩}{⟨g, g⟩} · ⟨g, f⟩ + \frac{⟨f, g⟩ · ⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩^{2}} · ⟨g, g⟩ = ⟨f, f⟩ − \frac{⟨f, g⟩ · ⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩}

⇒  \frac{|⟨f, g⟩|^{2}}{⟨g, g⟩} ≤ ⟨f, f⟩  ⇒  |⟨f, g⟩|^{2} ≤ ⟨f, f⟩ · ⟨g, g⟩.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn

f − α · g = 0

gilt, d.h., wenn f und g proportional sind.

Aufgabe 100: (Skalarprodukte auf Funktionenräumen. 0 Bonuspunkte) Berechne den Abstand zwischen den Funktionen f(x) = x und g(x) = sin(x) bezüglich der vom Skalarprodukt ⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{π} f(x) · g(x) dx erzeugten Norm.

Musterlösung:

2.5.0 > sqrt(int((x - sin(x))^2, x = 0..PI))
                       /   3        \1/2
                       | PI    3 PI |
                       | --- - ---- |
                       \  3      2  /
2.5.0 > float(%)
                          2.371294284

Aufgabe 101*: (Bestapproximation. 10 Bonuspunkte) Sei {f_{0}, f_{1}, … } ein Orthogonalsystem auf einem Hilbert-Raum L. Zu f ∈ L seien

c_{k} = \frac{⟨f_{k}, f⟩}{⟨f_{k}, f_{k}⟩}, k = 0, 1, 2, …

die dem Orthogonalsystem zugeordneten Fourier-Koeffizienten. Zeige: Für jede Wahl von Koeffizienten α_{k} ∈ ℂ gilt die “allgemeine Besselsche Gleichung”

∥f − ∑_{k=0}^{n} α_{k} · f_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥f_{k}∥_{2}^{2} + ∑_{k=0}^{n} |α_{k} − c_{k}|^{2} · ∥f_{k}∥_{2}^{2}.

Folgere: Der Abstand zwischen f und ∑_{k=0}^{n} α_{k} · f_{k} wird minimal, wenn man α_{k} = c_{k} wählt.

Musterlösung:

⟨f − ∑_{i} α_{i} · f_{i}, f − ∑_{j} α_{j} · f_{j}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{i} \overline{α_{i}} · ⟨f_{i}, f⟩ − ∑_{j} α_{j} · ⟨f, f_{j}⟩ + ∑_{i} ∑_{j} \overline{α_{i}} · α_{j} · ⟨f_{i}, f_{j}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{α_{k}} · ⟨f_{k}, f⟩ − ∑_{k} α_{k} · ⟨f, f_{k}⟩ + ∑_{k} \overline{α_{k}} · α_{k} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{α_{k}} · c_{k} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩ − ∑_{k} α_{k} · \overline{c_{k}} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩ + ∑_{k} \overline{α_{k}} · α_{k} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{c_{k}} · c_{k} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩ + ∑_{k} (\overline{c_{k}} · c_{k} − \overline{α_{k}} · c_{k} − α_{k} · \overline{c_{k}} + \overline{α_{k}} · α_{k}) · ⟨f_{k}, f_{k}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{c_{k}} · c_{k} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩ + ∑_{k} \overline{(c_{k} − α_{k})} · (c_{k} − α_{k}) · ⟨f_{k}, f_{k}⟩
= ∥f, f∥_{2}^{2} − ∑_{k} |c_{k}|^{2} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩ + ∑_{k} |c_{k} − α_{k}|^{2} · ⟨f_{k}, f_{k}⟩.

Nur die letzte Summe hängt von den α_{k} ab. Sie wird offensichtlich genau für α_{k} = c_{k} minimal (nämlich 0).

Aufgabe 102*: (Approximation durch einfache Basisfunktionen. 10 + 10 + 0 Bonuspunkte) Betrachte den Raum der stetigen reellwertigen Funktionen über dem Intervall [−1, 1] mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ = ∫_{−1}^{1} f(x) · g(x) dx.

a) Verifiziere, dass die Funktionen f_{0}(x) = 1, f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = cos(π · x) orthogonal sind.

b) Berechne die Koeffizienten c_{0}, c_{1}, c_{2}, die den Abstand zwischen der Funktion f(x) = e^{−x}

und

S(x) = c_{0} + c_{1} · x + c_{2} · cos(π · x)

minimieren. (Siehe Aufgabe 101.)

c) Plotte f(x) und S(x) in einer gemeinsamen Graphik.

Es sind etliche Integrale zu berechnen, für die sich MuPAD anbietet. Relevante MuPAD–

Funktionen und Objekte: sin, cos, exp, PI, int, plotfunc2d.

Musterlösung: Zur Berechnung wird MuPAD benutzt:

a) Die Entwicklungsfunktionen werden definiert

2.5.0 > F[0]:= 1:
2.5.0 > F[1]:= x:
2.5.0 > F[2]:= cos(PI*x):

Aus Bequemlichkeit definieren wir das Skalarprodukt als Prozedur sp und lassen MuPAD die Skalarprodukte zwischen den 3 Basisfunktionen F[k] berechnen. Sie stellen sich in der Tat als orthogonal heraus:

2.5.0 > sp:= (f, g) -> int(f*g, x = -1..1):
2.5.0 > sp(F[0], F[1])
                                     0
2.5.0 > sp(F[0], F[2])
                                     0
2.5.0 > sp(F[1], F[2])
                                     0

b) Die zu entwickelnde Funktion f wird definiert. Die Fourier–Approximation ist durch die Koeffizienten c_{k} = ⟨f_{k}, f⟩/⟨f_{k}, f_{k}⟩ gegeben:

2.5.0 > f:= exp(-x):
2.5.0 > c[0]:= sp(F[0], f) / sp(F[0], F[0])
                       exp(1)   exp(-1)
                       ------ - -------
                          2        2
2.5.0 > c[1]:= sp(F[1], f) / sp(F[1], F[1])
                                -3 exp(-1)

2.5.0 > c[2]:= sp(F[2], f) / sp(F[2], F[2])
                         1                      1
                ------------------- - ---------------------
                           2                      2
                exp(1) + PI  exp(1)   exp(-1) + PI  exp(-1)

Die Fourier–Approximation:

2.5.0 > S:=  c[0]*F[0] + c[1]*F[1] + c[2]*F[2]
exp(1)   exp(-1)
------ - ------- - 3 x exp(-1) -
   2        2
             /           1                      1          \
   cos(PI x) | --------------------- - ------------------- |
             |             2                      2        |
             \ exp(-1) + PI  exp(-1)   exp(1) + PI  exp(1) /

c) Die Graphik zeigt, dass die Approximation von f durch S recht gut ist, obwohl nur 3 Basisfunktionen benutzt wurden:

2.5.0 > plotfunc2d(f, S, x = -1..1)

Aufgabe 103*: (Vollständige Orthonormalsysteme. 10 Bonuspunkte) Sei \{f_{0}, f_{1}, … \} ein vollständiges Ortho\underline{normal}system in einem Hilbertraum L. Zeige:

∑_{k=0}^{∞}⟨f, f_{k}⟩ · ⟨f_{k}, g⟩ = ⟨f, g⟩

für alle f, g ∈ L. (Physiker schreiben dies auch als: ∑_{k=0}^{∞} |f_{k}⟩ · ⟨f_{k}| = Identität.)

Anleitung: betrachte ⟨f − ∑_{k=0}^{n}⟨f_{k}, f⟩ · f_{k}, g − ∑_{j=0}^{n}⟨f_{j}, g⟩ · f_{j}⟩.

Musterlösung: Der Abstand zwischen ⟨f, g⟩ und ∑_{k}⟨f, f_{k}⟩ · ⟨f_{k}, g⟩ wird auf den Abstand zwischen f, g und den entsprechenden endlichen Fourier–Approximationen zurückgeführt:

⟨f − ∑_{k=0}^{n}⟨f_{k}, f⟩ · f_{k}, g − ∑_{j=0}^{n}⟨f_{j}, g⟩ · f_{j}⟩

= ⟨f, g⟩ − ⟨f, ∑_{j}⟨f_{j}, g⟩ · f_{j}⟩ − ⟨∑_{k}⟨f_{k}, f⟩ · f_{k}, g⟩ + ⟨∑_{k}⟨f_{k}, f⟩ · f_{k}, ∑_{j}⟨f_{j}, g⟩ · f_{j}⟩

= ⟨f, g⟩ − ∑_{j}⟨f_{j}, g⟩ · ⟨f, f_{j}⟩ − ∑_{k} \overline{⟨f_{k}, f⟩} · ⟨f_{k}, g⟩ + ∑_{k} ∑_{j} \overline{⟨f_{k}, f⟩} · ⟨f_{j}, g⟩ · \underbrace{⟨f_{k}, f_{j}⟩}_{δ_{kj}}

= ⟨f, g⟩ − ∑_{j}⟨f_{j}, g⟩ · ⟨f, f_{j}⟩ − ∑_{k}⟨f, f_{k}⟩ · ⟨f_{k}, g⟩ + ∑_{k}⟨f, f_{k}⟩ · ⟨f_{k}, g⟩

= ⟨f, g⟩ − ∑_{k=0}^{n}⟨f, f_{k}⟩ · ⟨f_{k}, g⟩.

Mit Cauchy-Schwarz folgt

|⟨f, g⟩ − ∑_{k=0}^{n}⟨f, f_{k}⟩ · ⟨f_{k}, g⟩| ≤ ∥f − ∑_{k=0}^{n}⟨f_{k}, f⟩ · f_{k}∥_{2} · ∥g − ∑_{k=0}^{n}⟨f_{k}, g⟩ · f_{k}∥_{2}.

Wegen der Vollständigkeit konvergiert die rechte Seite gegen Null für n → ∞.

Aufgabe 104*: (Einige Fourier–Reihen. 10 Bonuspunkte) Bestimme die Fourier–Reihen bzgl. der trigonometrischen Funktionen für die folgenden auf (−π, π] definierten Funktionen:

a) f(x) = \{ \begin{matrix}−1 & für x ∈ (−π, 0), \\ 1 & für x ∈ [0, π], \end{matrix} b) f(x) = x , c) f(x) = π − |x|.

Beachte Bemerkung 11.25 des Skripts.

Musterlösung:

a) Die Funktion ist ungerade, also brauchen nur die Koeffizienten vor den sin–Termen bestimmt werden:

b_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} sin(k · x) dx

= \frac{2}{π} · [ − \frac{cos(k · x)}{k}]_{x=0}^{x=π} = \frac{2}{π} · \frac{1 − (−1)^{k}}{k} = \{ \begin{matrix}\frac{4}{k·π} , & falls k ungerade, \\ 0, & falls k gerade. \end{matrix}

Ergebnis:

f(x) ∼ \frac{4}{π} · (\frac{sin(x)}{1} + \frac{sin(3 · x)}{3} + \frac{sin(5 · x)}{5} + \frac{sin(7 · x)}{7} + ⋯).

b) Die Funktion ist wieder ungerade, also brauchen nur die Koeffizienten vor den sin–Termen bestimmt werden:

b_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} x · sin(k · x) dx

Aus Bequemlichkeit wird MuPAD zum Integrieren benutzt:

2.5.0 > assume(k <> 0):
2.5.0 > b[k]:= 2/PI*int(x*sin(k*x), x = 0..PI)
                  / sin(PI k)   PI cos(PI k) \
                2 | --------- - ------------ |
                  |      2            k      |
                  \     k                    /
                ------------------------------
                              PI
2.5.0 > assume(k, Type::Integer)
2.5.0 > simplify(b[k])
                                k + 1
                          2 (-1)
                          -----------
                               k

Ergebnis:

f(x) ∼ 2 · (\frac{sin(x)}{1} − \frac{sin(2 · x)}{2} + \frac{sin(3 · x)}{3} − \frac{sin(4 · x)}{4} ± ⋯)

c) Die Funktion ist gerade, also brauchen nur die Koeffizienten vor den cos–Termen bestimmt werden:

a_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π}(π − x) · cos(k · x) dx

Aus Bequemlichkeit wird MuPAD zum Integrieren benutzt:

2.5.0 > assume(k <> 0):
2.5.0 > a[k]:= 2/PI*int((PI - x)*cos(k*x), x = 0..PI)
                        / cos(PI k)    1 \
                      2 | --------- - -- |

                        |      2       2 |
                        \     k       k  /
                    - --------------------
                               PI
2.5.0 > assume(k, Type::Integer)
2.5.0 > simplify(a[k])
                                 k
                          2 ((-1)  - 1)
                        - -------------
                                  2
                              PI k

Zusätzlich a_{0}:

2.5.0 > a[0]:= 1/PI*int(PI - x, x = 0..PI)
                              PI
                              --
                               2

Ergebnis:

f(x) ∼ \frac{π}{2} + \frac{4}{π} · (\frac{cos(x)}{1^{2}} + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + \frac{cos(7 · x)}{7^{2}} + ⋯).

Anmerkung: nach Beispiel 11.26.b) des Skripts gilt

|x| ∼ \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · (\frac{cos(x)}{1^{2}} + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + \frac{cos(7 · x)}{7^{2}} + ⋯).

Hiermit folgt sofort

π − |x| ∼ \frac{π}{2} + \frac{4}{π} · (\frac{cos(x)}{1^{2}} + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + \frac{cos(7 · x)}{7^{2}} + ⋯).

Aufgabe 105*: (10 Bonuspunkte)

a) Zeige: ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .

b) Identifiziere den Reihenwert ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k^{2}} .

Anleitung zu a) und b): Betrachte die Fourier–Entwicklung von f(x) = |x|·(π −|x|) (|x| ≤ π) und werte an geeigneten Punkten aus.

Musterlösung: Die Funktion ist gerade, die Fourier–Koeffizienten

a_{0} = \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) dx = \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} x · (π − x) dx,

a_{k} = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} x · (π − x) · cos(k · x) dx (k > 0)

ergeben sich mit MuPAD zu:

>> a[0]:= 1/PI*int(x*(PI - x), x = 0..PI)
                                2
                              PI
                              ---
                               6
>> assume(k <> 0):
>> a[k]:= 2/PI*int(x*(PI - x)*cos(k*x), x = 0..PI);
              / 2 sin(k PI) - k PI cos(k PI)   PI \
            2 | ---------------------------- - -- |
              |               3                 2 |
              \              k                 k  /
            ---------------------------------------
                               PI
>> assume(k, Type::Integer):
>> simplify(a[k]):
                                         k
                    2 (- k PI - k PI (-1) )
                    -----------------------
                              3
                             k  PI
>> factor(%);
                                 k
                       (-2) ((-1)  + 1)
                       ----------------
                               2
                              k

Für ungerades k verschwinden diese Koeffizienten. Ergebnis:

f(x) = \frac{π^{2}}{6} − 4 · (\frac{cos(2 · x)}{2^{2}} + \frac{cos(4 · x)}{4^{2}} + \frac{cos(6 · x)}{6^{2}} + ⋯)

= \frac{π^{2}}{6} − (\frac{cos(2 · x)}{1^{2}} + \frac{cos(4 · x)}{2^{2}} + \frac{cos(6 · x)}{3^{2}} + ⋯).

Da die Funktion stetig und überall beidseitig differenzierbar ist, stellt nach dem Dirichlet–Kriterium die Fourier–Reihe die Funktion an jedem Punkt dar. Für x = 0 folgt:

\frac{π^{2}}{6} − (\frac{cos(2 · 0)}{1^{2}} + \frac{cos(4 · 0)}{2^{2}} + \frac{cos(6 · 0)}{3^{2}} + ⋯) = \frac{π^{2}}{6} − ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = 0 = f(0).

Für x = \frac{π}{2} folgt weiterhin

f(\frac{π}{2} ) = \frac{π}{2} · (π − \frac{π}{2} ) = \frac{π^{2}}{4}

= \frac{π^{2}}{6} − (\frac{cos(π)}{1^{2}} + \frac{cos(2 · π)}{2^{2}} + \frac{cos(3 · π)}{3^{2}} + ⋯) = \frac{π^{2}}{6} − ( − \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} − \frac{1}{3^{2}} ± ⋯)

⇒ \frac{π^{2}}{4} − \frac{π^{2}}{6} = \frac{π^{2}}{12} = \frac{1}{1^{2}} − \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} ∓ ⋯ = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k^{2}} .

Aufgabe 106*: (Eine Anwendung. 10 + 10 Bonuspunkte) Gegeben sei ein sogenanntes “RC-Glied”, das aus einem Ohmschen Widerstand R und einem Kondensator der Kapazität C besteht. Es wird eine periodische Eingangsspannung U^{(in)}(t) angelegt, man interessiert sich für die Ausgangsspannung U^{(out)}(t) am Kondensator. Es gilt U^{(in)} = R·I +U^{(out)}, wobei die Stromstärke I über I = Q̇ = C · U̇^{(out)} mit der Ladung Q = C · U des Kondensators zusammenhängt. Damit ist das Ausgangssignal gegeben als Lösung der Differentialgleichung

τ · U̇^{(out)} + U^{(out)} = U^{(in)} (mit τ = R · C).

[figure: U^{(in)}; I; R; C; U^{(out)}]

a) Zeige: für ein Fourier–entwickeltes Eingangssignal

U^{(in)}(t) = a_{0}^{(in)} + ∑_{k=1}^{∞} (a_{k}^{(in)} · cos(k · t) + b_{k}^{(in)} · sin(k · t))

ergibt sich die Fourier–Entwicklung des periodischen Anteils des Ausgangssignals zu

U_{periodic}^{(out)}(t) = a_{0}^{(out)} + ∑_{k=1}^{∞} (a_{k}^{(out)} · cos(k · t) + b_{k}^{(out)} · sin(k · t))

mit

a_{0}^{(out)} = a_{0}^{(in)}, a_{k}^{(out)} = \frac{a_{k}^{(in)} − k · τ · b_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} , b_{k}^{(out)} = \frac{b_{k}^{(in)} + k · τ · a_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} (k > 0).

Anleitung: Rechentechnisch ist es einfacher, die “komplexen” Entwicklungen

U^{(in)}(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·t}, U^{(out)}(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · e^{i·k·t}

zu betrachten. Es ergibt sich: c_{k}^{(out)} = \frac{c_{k}^{(in)}}{1 + i · k · τ}, k ∈ ℤ.

b) Als Eingangssignal wird eine periodische Rechteckschwingung der Grundform

U^{(in)}(t) = \{ \begin{matrix}−1 & für t ∈ (−π, 0), \\ 1 & für t ∈ [0, π) \end{matrix}

angelegt. Berechne die Fourier-Darstellung des Ausgangssignal nach langer Zeit (dann sind abgedämpfte Anteile verschwunden und das Ausgangssignal ist periodisch).

Hier ist die graphische Antwort zu b) (mit τ = 1):

Musterlösung:

a) Die Fourier–Entwicklung U^{(in)}(t) = ∑_{k} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·t} und der Ansatz U_{periodic}^{(out)}(t) = ∑_{k} c_{k}^{(out)} · e^{i·k·t} werden in die DGL

τ · U̇^{(out)} + U^{(out)} = U^{(in)}

eingesetzt:

τ · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · i · k · e^{i·k·t} + ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · e^{i·k·t} = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·t}

⇒ ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · (i · k · τ + 1) · e^{i·k·t} = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·t}.

Vergleich der Koeffizienten links und rechts liefert c_{k}^{(out)} · (i · k · τ + 1) = c_{k}^{(in)}. Fertig. Mit

c_{k}^{(in)} = \frac{a_{k}^{(in)} − i · b_{k}^{(in)}}{2} , c_{−k}^{(in)} = \frac{a_{k}^{(in)} + i · b_{k}^{(in)}}{2} ,

und

a_{k}^{(out)} = c_{k}^{(out)} + c_{−k}^{(out)}, b_{k}^{(out)} = i · (c_{k}^{(out)} − c_{−k}^{(out)})

ergeben sich die Koeffizienten der den komplexen exp-Funktionen entsprechenden cos- bzw. sin-Termen. Mit c_{k}^{(out)} = c_{k}^{(in)}/(1 + i · k · τ) findet man nach elementarer Rechnung

a_{k}^{(out)} = \frac{a_{k}^{(in)} − k · τ · b_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} , b_{k}^{(out)} = \frac{b_{k}^{(in)} + k · τ · a_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}}

für k > 0.

b) Die Fourier–Entwicklung der Rechteckschwingung U^{(in)} berechnet sich zu

U^{(in)}(t) = ∑_{k=1}^{∞} b_{k}^{(in)} · sin(k · t)

mit

b_{k}^{(in)} = \frac{2 · (1 − (−1)^{k})}{π · k} = \{ \begin{matrix}0 & für k = 2, 4, 6, …, \\ \frac{4}{π} · \frac{1}{k} & für k = 1, 3, 5, …. \end{matrix}

Nach a) hat der periodische Teil des Ausgangssignals

U_{periodic}^{(out)}(t) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}^{(out)} · cos(k · t) + ∑_{k=1}^{∞} b_{k}^{(out)} · sin(k · t)

die Fourier-Koeffizienten

a_{k}^{(out)} = \frac{a_{k}^{(in)} − k · τ · b_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} = \frac{0 − k · τ · \frac{4}{π} · \frac{1}{k}}{1 + k^{2} · τ^{2}} = −\frac{4}{π} · \frac{τ}{1 + k^{2} · τ^{2}} für k = 1, 3, 5, …

bzw. a_{k}^{(out)} = 0 für k = 0, 2, 4, … und

b_{k}^{(out)} = \frac{b_{k}^{(in)} + k · τ · a_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} = \frac{\frac{4}{π} · \frac{1}{k} + 0}{1 + k^{2} · τ^{2}} für k = 1, 3, 5, …

bzw. b_{k}^{(out)} = 0 für k = 2, 4, 6, . . .. Also hat man als Ausgangssignal

U_{k}^{(out)}(t) = − ∑_{k=1,3,5,...} \frac{4}{π} · \frac{τ · cos(k · t)}{1 + k^{2} · τ^{2}} + ∑_{k=1,3,5,...} \frac{4}{π} · \frac{sin(k · t)}{k · (1 + k^{2} · τ^{2})}.

Anmerkung: diese Fourier-Reihe hat eine explizite Darstellung, nämlich:

U_{k}^{(out)}(t) = \{ \begin{matrix}−1 + \frac{2 · e^{−t/τ}}{1 + e^{π/τ}} & für t ∈ (−π, 0), \\ 1 − \frac{2 · e^{π/τ} · e^{−t/τ}}{1 + e^{π/τ}} & für t ∈ [0, π]. \end{matrix}

In der Tat sind die Fourier-Koeffizienten dieser Funktion

a_{k}^{(out)} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} U_{k}^{(out)}(t) · cos(k · t) dt

= \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{0} U_{k}^{(out)}(t) · cos(k · t) dt + \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} U_{k}^{(out)}(t) · cos(k · t) dt

= \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{0} ( − 1 + \frac{2 · e^{−t/τ}}{1 + e^{π/τ}} ) · cos(k · t) dt + \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} (1 − \frac{2 · e^{π/τ} · e^{−t/τ}}{1 + e^{π/τ}} ) · cos(k · t) dt

= −2 · τ · \frac{1 − (−1)^{k}}{π · (1 + k^{2} · τ^{2})} = \{ \begin{matrix}−\frac{4}{π} · \frac{τ}{1 + k^{2} · τ^{2}} & für k = 1, 3, 5, …, \\ 0 & für k = 0, 2, 4, … \end{matrix}

und

b_{k}^{(out)} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} U_{k}^{(out)}(t) · sin(k · t) dt

= \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{0} U_{k}^{(out)}(t) · sin(k · t) dt + \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} U_{k}^{(out)}(t) · sin(k · t) dt

= \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{0} ( − 1 + \frac{2 · e^{−t/τ}}{1 + e^{π/τ}} ) · sin(k · t) dt + \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} (1 − \frac{2 · e^{π/τ} · e^{−t/τ}}{1 + e^{π/τ}} ) · sin(k · t) dt

= 2 · \frac{1 − (−1)^{k}}{π · k · (1 + k^{2} · τ^{2})} = \{ \begin{matrix}\frac{4}{π} · \frac{1}{k · (1 + k^{2} · τ^{2})} & für k = 1, 3, 5, …, \\ 0 & für k = 2, 4, 6, …. \end{matrix}