Kapitel 7

Potenzreihen

7.1 Der Konvergenzradius

Definition 7.1: (Komplexe Potenzreihen)

Eine ”Potenzreihe um den Punkt z_{0} ∈ ℂ“ ist eine Reihe der Form

∑_{k=0}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k}, a_{k}, z, z_{0} ∈ ℂ.

Dort, wo die Reihe konvergiert, definiert sie eine Funktion von z, deren Eigenschaften untersucht werden sollen.

Satz 7.2: (Konvergenz von Potenzreihen)

Zur Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k} existiert ein r ≥ 0 (der ”Konvergenz-

radius“), so dass

a) die Reihe für alle z mit |z − z_{0}| < r absolut konvergiert,

b) die Reihe für kein z mit |z − z_{0}| > r konvergiert.

Beweis: Gibt es einen Punkt Z, in dem die Reihe ∑_{k} a_{k} ·(Z −z_{0})^{k} konvergiert, so bildet a_{k} · (Z − z_{0})^{k} eine Nullfolge. Es gilt also |a_{k} · (Z − z_{0})^{k}| ≤ 1 für hinreichend grosses k ≥ k_{0}. Mit

∑_{k=k_{0}}^{∞} |a_{k} · (z − z_{0})^{k}| = ∑_{k=k_{0}}^{∞} \underbrace{|a_{k} · (Z − z_{0})^{k}|}_{≤1} ·|\frac{z − z_{0}}{Z − z_{0}} |^{k}

ist also für jedes z mit |z − z_{0}| < |Z − z_{0}| die geometrische Reihe ∑_{k} |\frac{z−z_{0}}{Z−z_{0}} |^{k} eine konvergente Majorante, d.h., ∑_{k} a_{k} · (z − z_{0})^{k} konvergiert absolut. Damit ist

r = sup {|Z − z_{0}|; ∑_{k} a_{k} · (Z − z_{0})^{k} konvergiert },

falls die Menge der Konvergenzpunkte beschränkt ist. Konvergiert die Reihe für alle Z ∈ ℂ, setzt man formal r = ∞. Für jedes z mit |z −z_{0}| > r muss die Reihe nach dieser Konstruktion von r divergieren.

Q.E.D.

Bemerkung 7.3: Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe besteht also prinzipiell aus einer Kreisscheibe um den Entwicklungspunkt z_{0}. Der Radius r kann allerdings 0 sein (d.h., die Potenzreihe konvergiert nur am Punkt z = z_{0}). Im Folgenden interessieren natürlich nur Potenzreihen mit einem Konvergenzradius r > 0. Über den Rand des Konvergenzkreises {z ∈ ℂ; |z − z_{0}| = r} kann man keine allgemeine Aussagen machen. In folgendem Beispiel konvergiert die Reihe für keinen der Randpunkte (denn für |z| = 1 ist z^{k} keine Nullfolge):

∑_{k=0}^{∞} z^{k} (Konvergenz für |z| < r = 1.)

In folgendem Beispiel konvergiert die Reihe für alle Randpunkte mit |z| = 1 außer für z = 1 (z = 1 führt auf die divergente harmonische Reihe):

∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k} (Konvergenz für |z| ≤ r = 1, z ≠ 1).

Im folgenden Beispiel konvergiert die Reihe für alle Randpunkte:

∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k^{2}} (Konvergenz für |z| ≤ r = 1.)

Beispiel 7.4: Die geometrische Reihe

∑_{k=0}^{∞} z^{k} = \frac{1}{1 − z}

hat den Konvergenzradius 1. Die Reihe

∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} · z^{2·k} = ∑_{k=0}^{∞}(−z^{2})^{k} = \frac{1}{1 − (−z^{2})} = \frac{1}{1 + z^{2}}

hat ebenfalls den Konvergenzradius 1.

Der Konvergenzradius eine Potenzreihe kann unmittelbar aus den Koeffizienten a_{k} der Reihe bestimmt werden:

Satz 7.5: (Cauchy-Hadamard-Formel für den Konvergenzradius)

Der Konvergenzradius der Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k} ist r = \frac{1}{lim_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|}},

wenn lim_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|} existiert. Gilt lim_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|} = 0, so setze r = ∞. Gilt

lim_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|} = ∞, so setze r = 0.

Beweis: Der Grenzwert lim_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|} existiere. Betrachte ein beliebiges z mit

|z − z_{0}| < r. Dann gilt c := lim_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|} · |z − z_{0}| < 1. Es folgt, dass für alle

k ≥ N (mit geeignetem N)

\sqrt[k]{|a_{k}|} · |z − z_{0}| ≤ C < 1 mit C := \frac{1+c}{2} ∈ [\frac{1}{2}, 1)

gelten muss. Damit kann die Reihe durch eine konvergente geometrische Reihe abgeschätzt werden:

|a_{k} · (z − z_{0})^{k}| = (\sqrt[k]{|a_{k}}| · |z − z_{0}|)^{k} ≤ C^{k} ∀k ≥ N.

Nach Satz 3.16 konvergiert ∑_{k} |a_{k}| · |z − z_{0}|^{k}, da ∑_{k} C^{k} mit C < 1 eine konvergente Majorante ist. Dies ist die absolute Konvergenz von ∑_{k} a_{k} · (z − z_{0})^{k}. Das Argument greift auch für den Grenzfall r = ∞.

Betrachte nun ein beliebiges z mit |z − z_{0}| > r. Diesmal gilt

lim_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|} · |z − z_{0}| > 1,

also

|a_{k} · (z − z_{0})^{k}| = (\sqrt[k]{|a_{k}}| · |z − z_{0}|)^{k} > 1

für große k, d.h., die Reihenglieder von ∑_{k} a_{k} · (z − z_{0})^{k} bilden keine Nullfolge. Nach Satz 3.8 kann die Reihe ∑_{k} a_{k} ·(z−z_{0})^{k} nicht konvergieren. Das Argument greift auch für den Grenzfall r = 0.

Q.E.D.

Bemerkung 7.6: Die allgemeine Form der Cauchy-Hadamard-Formel ist

Konvergenzradius = \frac{1}{lim sup_{k→∞} \sqrt[k]{|a_{k}|}},

wo lim sup (”Limes superior“) der größte Häufungspunkt der Folge \sqrt[k]{|a_{k}|} ist. Der Limes superior existiert für jede reelle Folge (bei unbeschränkten Folgen definiert man ihn formal als ∞).

7.2 Eigenschaften von Potenzreihen

Auf dem Inneren des Konvergenzkreises sind durch Potenzreihen dargestellte Funktionen ”beliebig harmlos und angenehm“. Sie sind automatisch unendlich oft diff’bar und werden durch ihre Taylor-Entwicklung dargestellt (Funktionen, die durch ihre Taylor-Reihen dargestellt werden, nennt man analytisch). Dies darf nicht verwundern, denn (gliedweise Differenzierbarkeit mal vorausgesetzt):

\frac{d^{n}}{dz^{n}} |_{z=z_{0}} \underbrace{∑_{k=0}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k}}_{f(z)} = (n! · a_{n} + (..) · (z − z_{0}) + (..) · (z − z_{0})^{2} + …)_{z=z_{0}}

= n! · a_{n},

also a_{n} = f^{(n)}(z_{0})/n!.

Damit ist die Potenzreihe ihre eigene Taylor-Reihe:

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(z_{0})}{k!} · (z − z_{0})^{k}.

Diese heuristische Überlegung gilt in der Tat:

Satz 7.7: (Potenzreihen stellen analytische Funktionen dar)

Auf dem Inneren des Konvergenzkreises {z ∈ ℂ; |z − z_{0}| < r} einer Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0 stellt

f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k}

eine unendlich oft differenzierbare Funktion dar. Es gilt

\frac{d^{n}}{dz^{n}} f(z) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k} · k · (k − 1) · . . . · (k − n + 1) · (z − z_{0})^{k−n},

d.h., die Potenzreihe kann gliedweise differenziert werden. Der Konvergenzradius der abgeleiteten Reihen ist wiederum r. Speziell gilt a_{k} = f^{(k)}(z_{0})/k!.

Beweis: Für die Potenzreihe ist der Differenzenquotient

\frac{f(z + h) − f(z)}{h} = ∑_{k=1}^{∞} a_{k} · \frac{(z + h − z_{0})^{k} − (z − z_{0})^{k}}{h} .

Mit der Binomialentwicklung

\frac{(z + h − z_{0})^{k} − (z − z_{0})^{k}}{h} = \frac{1}{h} · ∑_{j=1}^{k} \binom{k}{j} · h^{j} · (z − z_{0})^{k−j}

= k · (z − z_{0})^{k−1} + h · ∑_{j=2}^{k} \binom{k}{j} · h^{j−2} · (z − z_{0})^{k−j}

folgt

\frac{f(z + h) − f(z)}{h} = ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ·k·(z−z_{0})^{k−1}+h·\underbrace{∑_{k=2}^{∞} ∑_{j=2}^{k} a_{k} · \binom{k}{j} · h^{j−2} · (z − z_{0})^{k−j}}_{g(h)} .

Die die Funktion g(h) definierende Reihe ist dabei wohldefiniert, da die linke Seite der Gleichung für hinreichend kleines h definiert ist (z+h muss im Konvergenzkreis von f(z) liegen) und die Reihe ∑_{k} a_{k}·k·(z−z_{0})^{k−1} konvergiert (in den Übungen wird gezeigt, dass f(z) = ∑_{k} a_{k}(z−z_{0})^{k} und f(z) = ∑_{k} a_{k}·k·(z−z_{0})^{k} den selben Konvergenzradius haben). Die Funktion g(h) ist beschränkt in h, denn für |h| ≤ |h_{0}| (mit noch zu wählendem h_{0}) gilt:

|g(h)| = | ∑_{k=2}^{∞} ∑_{j=2}^{k} a_{k}·\binom{k}{j}·h^{j−2}·(z−z_{0})^{k−j}| ≤ ∑_{k=2}^{∞} ∑_{j=2}^{k} |a_{k}|·\binom{k}{j}·|h_{0}|^{j−2}·|z−z_{0}|^{k−j}

≤ ∑_{k=2}^{∞} |a_{k}| ∑_{j=2}^{k} \binom{k}{j}·|h_{0}|^{j−2} ·|z −z_{0}|^{k−j} ≤ \frac{1}{|h_{0}|^{2}} ∑_{k=2}^{∞} |a_{k}| ∑_{j=0}^{k} \binom{k}{j}·|h_{0}|^{j} ·|z −z_{0}|^{k−j}

= \frac{1}{|h_{0}|^{2}} ∑_{k=2}^{∞} |a_{k}|(|z − z_{0}| + |h_{0}|)^{k}.

Ist r > 0 der Konvergenzradius von ∑_{k} a_{k} · (z − z_{0})^{k} (und damit auch von ∑_{k} |a_{k}| · |z − z_{0}|^{k}), so wähle |h_{0}| = (r − |z − z_{0}|)/2, womit |z − z_{0}| + |h_{0}| < r gilt, d.h., die obige Reihe konvergiert und liefert eine Schranke für |g(h)|. Damit folgt h · g(h) = O(h):

f′(z) = lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z)}{h} = ∑_{k=1}^{∞} a_{k} · k · (z − z_{0})^{k−1} + lim_{h→0} O(h)

= ∑_{k=1}^{∞} a_{k} · k · (z − z_{0})^{k−1}.

Damit ist gezeigt, dass die Potenzreihe einmal differenzierbar ist. Die Ableitung ist wieder als Potenzreihe dargestellt. Die höheren Ableitungen folgen nun sofort per Induktion nach der Ableitungsordnung.

Q.E.D.

Bemerkung 7.8: Die Formel

\frac{d^{n}}{dz^{n}} ∑_{k=0}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k} = ∑_{k=n}^{∞} a_{k} · k · (k − 1) · . . . · (k − n + 1) · (z − z_{0})^{k−n}

ist leicht zu merken. Sie besagt lediglich, dass man Differentiation und Summation vertauschen darf:

\frac{d^{n}}{dz^{n}} ∑_{k=0}^{∞} a_{k} · (z − z_{0})^{k} = ∑_{k=0}^{∞} a_{k} · \frac{d^{n}}{dz^{n}} (z − z_{0})^{k}

= ∑_{k=n}^{∞} a_{k} · k · (k − 1) · . . . · (k − n + 1) · (z − z_{0})^{k−n}.

Beispiel 7.9: Die in Beispiel 3.24 bzw. Definition 5.10 eingeführten Funktionen

e^{z} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} , sin(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} · z^{2·k+1}}{(2 · k + 1)!} , cos(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} · z^{2·k}}{(2 · k)!}

haben den Konvergenzradius r = ∞ und sind damit auf ganz ℂ differenzierbar. Aus diesen Darstellungen erhält man sofort:

\frac{d}{dz} e^{z} = e^{z}, \frac{d}{dz} sin(z) = cos(z), \frac{d}{dz} cos(z) = − sin(z).

Bemerkung 7.10: Die (reelle) Reihe

\frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 − (−x^{2})} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} · x^{2·k}

um x_{0} = 0 hat offensichtlich den Konvergenzradius 1. Für |x| < 1 stellt sie nach Konstruktion die Funktion 1/(1 + x^{2}) da, die längs der reellen Achse eine ”harmlose“ Funktion darstellt (überall stetig, beliebig oft differenzierbar). Warum konvergiert die Reihe aber nur für Werte von x mit |x| < 1, wo doch 1/(1 + x^{2}) für alle x ∈ ℝ wohldefiniert ist?

Im Komplexen ist die Theorie der Differentiation und Taylor-Entwickelbarkeit wesentlich weitreichender (und einfacher) als im Reellen. Man muss sich in der Tat 1/(1 + x^{2}) im Komplexen vorstellen. Die Funktion z ∈ ℂ → 1/(1 + z^{2}) ∈ ℂ hat Singularitäten (Polstellen) bei z = ±i. In der Tat ist der Konvergenzradius 1 bei Entwicklung um den Nullpunkt der Abstand vom Entwicklungspunkt 0 zur nächsten Singularität! Im Komplexen ist der ”kleine“ Konvergenzradius 1 der Reihe daher unmittelbar verständlich. Im Reellen sieht man die komplexen Singularitäten nicht und wundert sich, dass die nette Funktion 1/(1 + x^{2}) nicht überall durch ihre Taylor-Reihe dargestellt wird.