Kapitel 3

Reihen

↓4.11.03

Es geht nun um spezielle Folgen, deren Glieder durch Summation entstehen. Für diese ”Reihen“ gibt es spezielle Konvergenzkriterien.

3.1 Definitionen, Beispiele, Sätze

Definition 3.1: (Reihen)

Die einer komplexen Folge (z_{n}) zugeordnete ”Reihe“ ist die Folge (S_{n}) der ”Partialsummen“

S_{n} = ∑_{k=1}^{n} z_{k}.

Existiert ein Grenzwert der Partialsummen, so nennt man ihn den Wert

der ”unendlichen Reihe“ und schreibt auch lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} z_{k} = ∑_{k=1}^{∞} z_{k}. Eine

Reihe heißt ”absolut konvergent“, wenn der Grenzwert ∑_{k=1}^{∞} |z_{k}| exi-

stiert.

Merke: Reihenkonvergenz ist Folgenkonvergenz, nämlich Konvergenz der Folge der Partialsummen S_{n}.

50 KAPITEL 3. REIHEN

Beispiel 3.2: Die sogenannte ”arithmetische Reihe“ besitzt eine explizite Darstellung:

S_{n} = ∑_{k=1}^{n} k =  1 + 2 + ⋯ + (n − 1) + n
= \frac{1}{2} · ( 1 + 2 + ⋯ + (n − 1) + n
n + (n − 1) + ⋯ + 2 + 1 )
= \frac{1}{2} · ( (n + 1) + (n + 1) + ⋯ + (n + 1) + (n + 1) )
\overbrace{n Summanden}

= \frac{1}{2} · n · (n + 1).

Halten wir fest:  ∑_{k=1}^{n} k = \frac{n · (n + 1)}{2}.

Die arithmetische Reihe konvergiert damit uneigentlich gegen ∞.

Beispiel 3.3: Sei z ∈ ℂ. Eine ”geometrische Reihe“ ist von der Form

S_{n} = 1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n} = ∑_{k=0}^{n} z^{k} .

Auch in diesem Fall kann man eine explizite Formel für S_{n} angeben:

S_{n} = ∑_{k=0}^{n} z^{k} = \frac{1 − z^{n+1}}{1 − z} = \frac{z^{n+1} − 1}{z − 1} .

Dies ist leicht nachzuvollziehen:

(1 − z) · S_{n} = (1 − z) · (1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n})
=  1 · (1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n})
−z · (1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n})
=  1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n}
− z − z^{2} − ⋯ − z^{n} − z^{n+1}
=  1  − z^{n+1}.

Mit der expliziten Summenformel ist die Konvergenz geometrischer Reihen leicht zu überprüfen. Für |z| < 1 konvergiert z^{n+1} gegen 0 (Beispiel 2.10):

∑_{k=0}^{∞} z^{k} = \frac{1}{1 − z} für |z| < 1 .

3.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, SÄTZE 51

Diese Reihe konvergiert absolut, denn mit denselben Argumenten konvergiert

∑_{k=0}^{∞} |z|^{k} = \frac{1}{1 − |z|} für |z| < 1 .

Beispiel 3.4: Einige Berechnungen mit MuPAD. Für die symbolische Berechnung von Summen ist die Funktion sum zuständig:

>> sum(k, k = 1..n)
                                 2
                            n   n
                            - + --
                            2   2

Durch Faktorisierung mittels factor ergibt sich oft eine einfachere Form:

>> factor(%)
                         1/2 n (n + 1)

Die geometrische Reihe:

>> sum(z^k, k = 0..n)
                              n
                           z z  - 1
                           --------
                            z - 1
>> assume(0 < z < 1):
>> sum(z^k, k = 0..infinity)
                                1
                            - -----
                              z - 1

Beispiel 3.5: Die periodische Dezimaldarstellung 0 . \overline{d_{1}d_{2}d_{3}} mit Dezimalziffern d_{k} ∈ {0, 1, …, 9} steht für 0 . d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} . . .. Solche zyklischen Dezimalentwicklungen sind rationale Zahlen. Sei n = ”d_{1}d_{2}d_{3}“ = d_{1} · 100 + d_{2} · 10 + d_{3} ∈ {0, …, 999}:

0 . \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} ⋯ = \frac{d_{1}}{10} + \frac{d_{2}}{10^{2}} + \frac{d_{3}}{10^{3}} + \frac{d_{1}}{10^{4}} + \frac{d_{2}}{10^{5}} + \frac{d_{3}}{10^{6}} + ⋯

= \frac{d_{1} · 100 + d_{2} · 10 + d_{3}}{10^{3}} + \frac{d_{1} · 100 + d_{2} · 10 + d_{3}}{10^{6}} + ⋯

= \frac{n}{1000} + \frac{n}{1000^{2}} + \frac{n}{1000^{3}} + ⋯ = n · ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{1000^{k}}

= n · ( ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{1000^{k}} − 1) = n · (\frac{1}{1 − \frac{1}{1000}} − 1) = n · (\frac{1000}{999} − 1) = \frac{n}{999}.

Bemerkung: statt der formalen Rechnung kann man die Beweisidee für die Summenformel der geometrischen Reihe explizit nachvollziehen, was in diesem Fall als “Rechentrick” sogar ganz einfach zu merken ist:

1000 · x = d_{1}d_{2}d_{3} . d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} …
−  x =  0 . d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} …
999 · x = \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} . 000 000 …  ⇒ x = \frac{n}{999}.

Das Cauchy-Kriterium (Definition 2.27 und Satz 2.28 ) liefert folgendes Konvergenzkriterium für Reihen:

Satz 3.6: (Das Cauchy-Kriterium für Reihen)

Die Reihe ∑_{k} z_{k} konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ)

gibt, so dass | ∑_{k=n}^{m} z_{k}| ≤ ϵ gilt für alle m ≥ n ≥ N(ϵ).

Beweis: Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert die Folge S_{n} = ∑_{k=1}^{n} z_{k}, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ) gibt, so dass

|S_{m} − S_{n}| ≤ ϵ für alle m, n ≥ N(ϵ).

Hierbei ist S_{m} − S_{n} = ∑_{k=n+1}^{m} z_{k} für m > n. Ersetzt man n durch n − 1 ergibt sich das angegebene Kriterium.

Q.E.D.

Als Folgerung ergibt sich, dass absolut konvergente Reihen konvergieren:

Satz 3.7: (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz)

Wenn ∑_{k=1}^{∞} |z_{k}| konvergiert, dann auch ∑_{k=1}^{∞} z_{k}.

Beweis: Die Dreiecksungleichung liefert | ∑_{k=n}^{m} z_{k}| ≤ ∑_{k=n}^{m} |z_{k}|. Erfüllt ∑_{k} |z_{k}|

das Cauchy-Kriterium 3.6, so ist dieses Kriterium automatisch auch für ∑_{k} z_{k} erfüllt.

Q.E.D.

Nur Reihen über Nullfolgen können konvergieren:

Satz 3.8:

Wenn die Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} konvergiert, dann ist (z_{k}) eine Nullfolge.

Beweis: Das Cauchy-Kriterium 3.6 mit m = n besagt, dass es zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ) gibt, so dass

| ∑_{k=n}^{n} z_{k}| = |z_{n}| ≤ ϵ

für alle n ≥ N(ϵ) gilt. Dies ist die Konvergenz (z_{n}) → 0.

Q.E.D.

Dies ist kein Konvergenz- sondern ein Divergenzkriterium: bilden die Summanden keine Nullfolge, muss die Reihe divergieren!

Beispiel 3.9: Die Reihe ∑_{k} \frac{k}{k+1} konvergiert nicht, da die Summanden \frac{k}{k+1} nicht gegen 0 konvergieren (sie konvergieren gegen 1).

Die Umkehrung gilt nicht: bilden die Summanden eine Nullfolge, so kann man \underline{nicht} darauf schließen, dass die Reihe konvergiert. Ein Gegenbeispiel:

Beispiel 3.10: Die sogenannte ”harmonische Reihe“ S_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ist unbeschränkt,

d.h., sie divergiert.

Beweis: Betrachte die Teilfolge (S_{2^{m}}):

S_{2^{m}} = 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{> \frac{2}{2^{2}} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{8}}_{> \frac{2^{2}}{2^{3}} = \frac{1}{2}} + ⋯ + \underbrace{\frac{1}{2^{m−1} + 1} + ⋯ + \frac{1}{2^{m}}}_{> \frac{2^{m−1}}{2^{m}} = \frac{1}{2}}

≥ 1 + \underbrace{\frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{2}}_{m Terme} = 1 + \frac{m}{2}.

Da (S_{n}) monoton wächst, konvergiert (S_{n}) uneigentlich gegen ∞.

Q.E.D.

Auf dieses Argument kommen wir später beim ”Kondensationskriterium“ 3.20 zurück.

Der Satz 2.24 liefert für reelle Reihen folgendes Konvergenzkriterium:

Satz 3.11: (Reihenkonvergenz bei positiven Summanden)

Sei (x_{n}) eine reelle Nullfolge mit x_{n} ≥ 0. Die Reihe ∑_{k} x_{k} konvergiert dann und genau dann, wenn die Partialsummen ∑_{k=1}^{n} x_{k} nach oben beschränkt sind.

Beweis: Wegen x_{k} ≥ 0 ist die Partialsummenfolge S_{n} = ∑_{k=1}^{n} x_{k} monoton steigend. Ist sie beschränkt, konvergiert sie nach Satz 2.24. Konvergiert sie, ist sie selbstverständlich beschränkt.

Q.E.D.

Wir erinnern an Beispiel 2.25:

Beispiel 3.12: Mit k! = 1 · 2 · 3 · · · · · k ≥ 2^{k−1} sind die folgenden Partialsummen nach oben beschränkt:

S_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + \underbrace{\frac{1}{1!}}_{= \frac{1}{2^{0}}} + \underbrace{\frac{1}{2!}}_{= \frac{1}{2^{1}}} + \underbrace{\frac{1}{3!}}_{< \frac{1}{2^{2}}} + ⋯ + \underbrace{\frac{1}{n!}}_{< \frac{1}{2^{n−1}}}

≤ 1 + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} ≤ 3.

Damit konvergiert ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} gegen einen Wert ≤ 3 (es ist die Eulersche Zahl 2.718...).

3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt

4.11.03↓

Die Rechenregeln 2.13 liefern sofort:

Satz 3.13: (Rechenregeln)

a) Wenn ∑_{k} z_{k} (absolut) konvergiert, dann auch ∑_{k} c · z_{k} für jedes c ∈ ℂ:

∑_{k=1}^{∞} c · z_{k} = c · ∑_{k=1}^{∞} z_{k}.

b) Wenn ∑_{k} z_{k} und ∑_{k} z̃_{k} (absolut) konvergieren, dann auch ∑_{k}(z_{k}±z̃_{k}):

∑_{k=1}^{∞}(z_{k} ± z̃_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} z_{k} ± ∑_{k=1}^{∞} z̃_{k}.

Beweis: Satz 2.13 a) + b) angewendet auf die Partialsummen.

Q.E.D.

Es macht Sinn, Reihen miteinander zu multiplizieren. Da das Distributivgesetz aus dem Produkt zweier Partialsummen eine endliche Doppelsumme

(a_{1} + ⋯ + a_{n}) · (b_{1} + ⋯ + b_{n}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{i} · b_{j}

ergibt, muss man die Summanden zunächst gezielt zusammenfassen, um zu einer Folge von Partialsummen für das Produkt zu kommen. Wir führen eine ”Anordnung“ ein, indem wir einen formalen Ordnungsparameter ζ einführen:

∑_{k=1}^{n} a_{k} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} · ζ^{k}| ζ = 1 .

Das Produkt ordnen wir dann nach Potenzen von ζ:

(a_{1} · ζ + a_{2} · ζ^{2} + ⋯) · (b_{1} · ζ + b_{2} · ζ^{2} + ⋯)

= a_{1} · b_{1} · ζ^{2} + (a_{1} · b_{2} + a_{2} · b_{1}) · ζ^{3} + (a_{1} · b_{3} + a_{2} · b_{2} + a_{3} · b_{1}) · ζ^{4} + · · · .

Die einzelnen ζ-Potenzen liefern die Summanden der Partialsummen. Dies motiviert die folgende Definition:

Definition 3.14: (Das Cauchy-Produkt von Reihen)

Das ”Cauchy-Produkt“ (die ”Faltung“) zweier Reihen ∑_{k} a_{k}, ∑_{k} b_{k} ist die Reihe ∑_{k} c_{k} mit

c_{k} = ∑_{{i,j \atop i+j=k}} a_{i} · b_{j}.

Satz 3.15: (Konvergenz des Cauchy-Produkts)

Sind die Reihen ∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=1}^{∞} b_{k} absolut konvergent, so auch das Cauchy-

Produkt ∑_{k=2}^{∞} c_{k}. Es gilt ∑_{k=2}^{∞} c_{k} = ( ∑_{k=1}^{∞} a_{k}) · ( ∑_{k=1}^{∞} b_{k}).

Beweis: (Für technisch Interessierte) Für die Partialsummen des Cauchy-Produkts gilt

∑_{k=2}^{n} |c_{k}| = ∑_{k=2}^{n} |∑_{{i,j \atop i+j=k}} a_{i} · b_{j}| ≤ ∑_{k=2}^{n} ∑_{{i,j \atop i+j=k}}|a_{i}| · |b_{j}|

≤ ∑_{{i,j \atop i≤n,j≤n}}|a_{i}| · |b_{j}| = ( ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|) · ( ∑_{j=1}^{n} |b_{j}|).

Da die rechte Seite für n → ∞ konvergiert, ist die rechte Seite beschränkt. Nach Satz 3.11 liefert dies die Konvergenz von ∑_{k} |c_{k}|, also die absolute Konvergenz des Cauchy-Produkts. Das Cauchy-Produkt konvergiert gegen das Produkt der einzelnen Summen:

|( \underbrace{∑_{i=1}^{2 n} a_{i}}_{S_{2n}^{(a)}} ) · ( \underbrace{∑_{j=1}^{2 n} b_{j}}_{S_{2n}^{(b)}} ) − \underbrace{∑_{k=2}^{2 n} c_{k}}_{S_{2n}^{(c)}} | = | ∑_{i=1}^{2 n} ∑_{j=1}^{2 n} a_{i} · b_{j} − ∑_{k=2}^{2 n} ∑_{{i,j \atop i+j=k}}a_{i} · b_{j}|

= | ∑_{{i,j \atop i≤2n,j≤2n} ; i+j>2n}a_{i} · b_{j}| ≤ ∑_{{i,j \atop i≤2n,j≤2n} ; i+j>2n}|a_{i}| · |b_{j}|

≤ max(|a_{n}|, …, |a_{2 n}|) ·∑_{j=1}^{2 n} |b_{j}| + max(|b_{n}|, …, |b_{2 n}|) ·∑_{i=1}^{2 n} |a_{i}|.

Da (a_{n}), (b_{n}) Nullfolgen sind, bilden die Maxima im letzten Ausdruck eine Nullfolge in n, während die Summen beschränkt sind. Für die Partialsummen folgt

S_{2 n}^{(c)} = S_{2 n}^{(a)} · S_{2 n}^{(b)} + Nullfolge_{n},

was zur Behauptung S_{n}^{(c)} → (∑_{i} a_{i}) · (∑_{j} b_{j}) führt.

Q.E.D.

3.3 Spezielle Konvergenzkriterien

Es gibt eine Anzahl spezieller Kriterien für die Konvergenz/Divergenz von Reihen:

Satz 3.16: (Majorantenkriterium)

Sei ∑_{k=1}^{∞} x_{k} eine konvergente Reihe mit reellen Summanden x_{k} ≥ 0. Sei (z_{n}) eine komplexe Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes |z_{k}| ≤ x_{k}, so konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} absolut. Bezeichung: ∑_{k} x_{k} heißt ”konvergente Majorante“ für ∑_{k} z_{k}.

Beweis: Die Partialsummen von ∑_{k} |z_{k}| sind beschränkt (o.B.d.A. nehmen wir an, |z_{k}| ≤ x_{k} gilt für alle Indizes):

∑_{k=1}^{n} |z_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{n} x_{k} ≤ ∑_{k=1}^{∞} x_{k}.

Nach Satz 3.11 konvergiert ∑_{k} |z_{k}|, d.h., die Reihe ∑_{k} z_{k} konvergiert absolut. Q.E.D.

Satz 3.17: (Minorantenkriterium)

Sei ∑_{k=1}^{∞} x_{k} eine divergente Reihe mit reellen Summanden x_{k} ≥ 0 Sei (y_{n}) eine reelle Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes x_{k} ≤ y_{k}, so divergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} y_{k} (genauer: sie konvergiert uneigentlich gegen ∞). Bezeichung: ∑_{k} x_{k} heißt ”divergente Minorante“ für ∑_{k} y_{k}.

Beweis: Würde die Reihe ∑_{k} y_{k} konvergieren, wäre sie eine konvergente Majorante für ∑_{k} x_{k}, und nach Satz 3.16 müsste ∑_{k} x_{k} konvergieren.

Q.E.D.

Satz 3.18: (Quotientenkriterium)

Sei (z_{n}) eine komplexe Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes \frac{|z_{k+1}|}{|z_{k}|} ≤ c mit einem Wert c ∈ (0, 1), so konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} absolut.

Beweis: Aus der Abschätzung folgt

|z_{k}| ≤ c · |z_{k−1}| ≤ c^{2} · |z_{k−2}| ≤ ⋯ ≤ c^{k−1} · |z_{1}|.

Die geometrische Reihe ∑_{k} |z_{1}| · c^{k−1} konvergiert nach Beispiel 3.3 für c ∈ (0, 1) und ist damit eine konvergente Majorante für ∑_{k} z_{k}.

Q.E.D.

Satz 3.19: (Wurzelkriterium)

Sei (z_{n}) eine komplexe Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes \sqrt[k]{|z_{k}|} ≤ c mit einem Wert c ∈ (0, 1), so konvergiert die komplexe Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} absolut.

Beweis: Aus der Abschätzung folgt |z_{k}| ≤ c^{k}. Damit ist die geometrische Reihe ∑_{k} c^{k} für c ∈ (0, 1) eine konvergente Majorante für ∑_{k} z_{k}.

Q.E.D.

Satz 3.20: (Kondensationskriterium)

Ist (x_{n}) eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen, so konvergiert ∑_{k} x_{k} dann und genau dann, wenn die Reihe

∑_{m=0}^{∞} 2^{m} · x_{2^{m}}

konvergiert.

Beweis: Nach Satz 3.11 ist zu entscheiden, ob die Partialsummen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} x_{k} beschränkt sind. Betrachte

S_{2^{n+1}−1} = \underbrace{x_{1}}_{=1·x_{1}} + \underbrace{x_{2} + x_{3}}_{≤2·x_{2}} + \underbrace{x_{4} + ⋯ + x_{7}}_{≤4·x_{4}} + ⋯ + \underbrace{x_{2^{n}} + ⋯ + x_{2^{n+1}−1}}_{≤2^{n}·x_{2^{n}}}

≤ ∑_{m=0}^{n} 2^{m} · x_{2^{m}}.

Konvergiert ∑_{m} 2^{m} · x_{2^{m}}, so sind alle Partialsummen S_{n} beschränkt und ∑_{k} x_{k} konvergiert. Umgekehrt gilt:

S_{2^{n}} = x_{1} + \underbrace{x_{2}}_{=1·x_{2}} + \underbrace{x_{3} + x_{4}}_{≥2·x_{4}} + \underbrace{x_{5} + ⋯ + x_{8}}_{≥4·x_{8}} + ⋯ + \underbrace{x_{2^{n−1}+1} + ⋯ + x_{2^{n}}}_{≥2^{n−1}·x_{2^{n}}}

≥ x_{1} + ∑_{m=1}^{n} 2^{m−1} · x_{2^{m}} ≥ \frac{1}{2} · ∑_{m=1}^{n} 2^{m} · x_{2^{m}}.

Divergiert ∑_{m} 2^{m} · x_{2^{m}}, so sind alle Partialsummen unbeschränkt und ∑_{k} x_{k} divergiert.

Q.E.D.

Hier eine Reihe von Beispielen zu den diversen Kriterien:

Beispiel 3.21: Wir setzen das Majorantenkriterium 3.16 ein, um zu zeigen, dass die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} konvergiert. Dazu machen wir eine Anleihe beim kommenden Beispiel 3.31, wo die Konvergenz

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k · (k + 1)} = 1

gezeigt wird. Dazu schätzen wir x_{k} = \frac{1}{k^{2}} gegen ỹ_{k} = \frac{1}{k·(k+1)} ab (∑_{k} ỹ_{k} soll als konvergente Majorante für ∑_{k} x_{k} dienen). Es gilt zwar nicht unmittelbar |x_{k}| = x_{k} ≤ ỹ_{k}, aber mit

k^{2} ≥ \frac{k · (k + 1)}{2}

(⇔ 2 · k^{2} ≥ k^{2} + k ⇔ k^{2} ≥ k; dies ist für alle k ≥ 1 erfüllt) folgt

x_{k} = \frac{1}{k^{2}} ≤ \frac{2}{k · (k + 1)} = 2 · ỹ_{k} =: y_{k}.

Mit Beispiel 3.31 folgt

∑_{k=1}^{∞} x_{k} ≤ ∑_{k=1}^{∞} y_{k} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{k · (k + 1)} = 2.

Das Majorantenkriterium garantiert hiermit die Konvergenz von ∑_{k} \frac{1}{k^{2}} . Welchen Wert diese Reihe hat, haben wir damit allerdings nicht herausbekommen.

3.3. SPEZIELLE KONVERGENZKRITERIEN 59

Beispiel 3.22: Die in Beispiel 3.21 betrachtete Summe wird mit MuPAD berechnet:

>> sum(1/k^2, k = 1..infinity)
                                2
                              PI
                              ---
                               6

Hierbei ist PI = π = 3.1415.... Zur Kontrolle vergleichen wir diesen Wert mit einer langen, aber endlichen Summe:

>> float(%)
                          1.644934067
>> sum(1.0/k^2, k = 1..1000)
                          1.643934567

(Das passt einigermaßen.) Einige weitere Summen, z.B. ∑_{k=1}^{∞} \frac{k + 1}{k · (k + 2) · (k + 5)}:

>> sum((k + 1)/k/(k + 2)/(k + 5), k = 1..infinity)
                            323/900

Oder auch ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{3}} :

>> sum(1/k^3, k = 1..infinity)
                            zeta(3)

Dieser Reihenwert hat keine elementare Darstellung. Stattdessen stellt MuPAD ihn mittels der (unter Mathematikern) berühmten speziellen Funktion zeta (die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion) dar. Das nützt uns hier relativ wenig, da wir mit dieser Funktion nicht näher vertraut sind. Zumindestens kann man hiermit aber bequem Gleitpunktnäherungen berechnen:

>> float(%)
                          1.202056903
Die Web-Seite mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html liefert weitere

Informationen zur Zeta-Funktion.

Beispiel 3.23: Die Reihe ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} konvergiert nicht für n → ∞: zwar konvergieren die Summanden x_{k} = \frac{1}{\sqrt{k}} gegen 0, aber ”nicht schnell genug“:

∑_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} = 18.5896... , ∑_{k=1}^{1000} \frac{1}{\sqrt{k}} = 61.8010... , ∑_{k=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{k}} = 198.5446... .

Genauer gesagt: die Reihe ”konvergiert uneigentlich gegen ∞“. Beweis: die nach Beispiel 3.10 divergierende harmonische Reihe ist eine divergente Minorante:

\frac{1}{k} ≤ \frac{1}{\sqrt{k}} .

Beispiel 3.24: \underline{(!! Wichtiges Beispiel !!)} Betrachte die Reihe

∑_{k=0}^{n} \frac{z^{k}}{k!} ,

wo z eine beliebige feste komplexe Zahl ist (beachte: 0! = 1). Diese Reihe konvergiert

nach dem Quotientenkriterium: Mit z_{k} = \frac{z^{k}}{k!} ist der Quotient zweier aufeinander folgender Summanden

\frac{|z_{k+1}|}{|z_{k}|} = \frac{\frac{|z|^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{|z|^{k}}{k!}} = \frac{|z|^{k+1} · k!}{|z|^{k} · (k + 1)!} = \frac{|z|^{k} · |z| · k!}{|z|^{k} · (k + 1) · k!} = \frac{|z|}{k + 1}.

Für hinreichend große k (nämlich k ≥ 2 · |z|) gilt

\frac{|z_{k+1}|}{|z_{k}|} ≤ \frac{|z|}{2 · |z| + 1} < \frac{|z|}{2 · |z|} = \frac{1}{2} =: c < 1,

womit das Quotientenkriterium erfüllt ist.

Der Grenzwert heißt ”Exponentialfunktion“ e^{z} bzw. exp(z). In der Tat stimmt die Reihe mit der in Satz 2.20 benutzten Definition überein (was noch zu zeigen wäre):

e^{z} = exp(z) = lim_{n→∞} (1 + \frac{z}{n})^{n} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{6} + · · · .

Die Reihendarstellung der exp-Funktion bietet einige Vorteile. Für kleine Argumente z gilt z.B. die Näherung

exp(z) = 1 + \underbrace{z}_{klein} + \underbrace{\frac{z^{2}}{2!}}_{noch kleiner} + \underbrace{\frac{z^{3}}{3!}}_{noch viel kleiner} + ⋯ ≈ 1 + z + \frac{z^{2}}{2} .

Wir ersparen uns hier den Beweis für

lim_{n→∞} (1 + \frac{z}{n})^{n} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} ,

der einigen technischen Abschätzungsaufwand erfordert.

Beispiel 3.25: Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{p}} konvergiert genau dann, wenn p > 1 gilt.

↓6.11.03

Beweis: für festes p > 0 ist die Folge x_{k} = 1/k^{p} monoton falled. Das Kondensationskriterium liefert die Konvergenz, wenn

∑_{m=1}^{∞} 2^{m} · x_{2^{m}} = ∑_{m=1}^{∞} 2^{m} · \frac{1}{(2^{m})^{p}} = ∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{(2^{m})^{p−1}} = ∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{(2^{p−1})^{m}}

konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert, wenn \frac{1}{2^{p−1}} < 1 gilt, d.h., für p > 1. Für p ≤ 1 ist die harmonische Reihe ∑_{k} \frac{1}{k} eine divergierende Minorante.

3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen

Es gibt einen Spezialfall, wo die Tatsache, dass die Summanden eine Nullfolge bilden, für die Konvergenz der Reihe ausreicht: alternierende Reihen:

Satz 3.26: (Das Leibniz–Kriterium für alternierende reelle Reihen) Eine reelle Folge (x_{n}) heißt “alternierend“, wenn für jeden Index x_{n} und x_{n+1} unterschiedliche Vorzeichen haben. Ist zusätzlich |x_{n}| monoton fallend und (x_{n}) eine Nullfolge, so konvergiert die zugeordnete ”alternierende Reihe“ ∑_{k} x_{k}.

Beweis: Fixiere ein beliebiges n. Durch Induktion nach m ist leicht zu zeigen, dass

| ∑_{k=n}^{m} x_{k}| ≤ |x_{n}|

für alle m ≥ n gilt. Da |x_{n}| eine Nullfolge bildet, ist das Cauchy-Kriterium 3.6 erfüllt.

Q.E.D.

Beispiel 3.27: Die ”alternierende harmonische Reihe“

1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} ± ⋯ = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k}

erfüllt das Leibniz-Kriterium und konvergiert (der Grenzwert ist ln(2)).

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, aber sie konvergiert nicht absolut (die harmonische Reihe ist bekanntlich divergent). Für solche ”bedingt“ (= nicht absolut) konvergente Reihen ist höchste Vorsicht geboten: die Reihenfolge der Summation ist wichtig!

Beobachtung 3.28:

Für die alternierende harmonische Reihe des letzten Beispiels gilt:

S = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{5} − \frac{1}{6} + \frac{1}{7} − \frac{1}{8} + …
\frac{S}{2} =  \frac{1}{2}  − \frac{1}{4}  + \frac{1}{6}  − \frac{1}{8} + …

\frac{3 · S}{2} = 1  + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5}  + \frac{1}{7} − \frac{1}{4} + …

Man kann sich leicht überlegen, dass in der letzten Reihe der Kehrwert jeder natürlichen Zahl genau einmal auftaucht. In der Tat erhält sie alle Summanden der alterniernenden Reihe S, nur dass die Summanden anders angeordnet sind:

”Nehme 2 positive Summanden von S, dann einen negativen, dann die beiden nächsten positiven, dann den nächsten negativen usw.“

Diese Umordnung hat den Grenzwert verändert!

Erstaunlicherweise kann man durch eine geeignete Umsummation jeden beliebigen Grenzwert erreichen:

Satz 3.29: (Riemannscher Umordnungssatz für bedingt konvergente Reihen) Sei ∑_{k} x_{k} eine konvergierende reelle Reihe, die nicht absolut konvergiert: ∑_{k} |x_{k}| = ∞. Dann gibt es zu jedem S ∈ ℝ eine bijektive Abbildung P : ℕ → ℕ (eine “Permutation“ von ℕ), so dass

∑_{k=1}^{∞} x_{P (k)} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} x_{P (k)} = S

gilt.

Die Beweisidee ist sehr einfach, der Beweis ist konstruktiv. Sei

N^{+} = {n ∈ ℕ, x_{n} ≥ 0}, N^{−} = {n ∈ ℕ, x_{n} < 0}.

Man überlegt sich, dass die Divergenz von ∑_{k} |x_{k}| zusammen mit der Konvergenz von ∑_{k} x_{k} bedeutet, dass ∑_{k∈N^{+}} x_{k} gegen ∞ und ∑_{k∈N^{−}} x_{k} gegen −∞ konvergiert. Zu gegebenem S wähle solange Indizes in N^{+}, bis die Summe über die entsprechenden positiven x_{k} zum ersten Mal S überschreitet (wegen ∑_{k∈N^{+}} x_{k} = ∞ wird dies sicherlich irgendwann geschehen). Dann wähle solange Indizes in N^{−}, bis durch Hinzuaddieren der entsprechenden negativen x_{k} zum ersten Mal S unterschritten wird (wegen ∑_{k∈N^{−}} x_{k} = −∞ wird dies sicherlich irgendwann geschehen). Dann wähle wieder Indizes auf N^{+}, bis S überschritten wird usw. Die Differenz zwischen S und der überschreitenden bzw. unterschreitenden Zwischensumme ist jeweils kleiner als das letzte Folgenelement, das addiert bzw. subtrahiert wurde. Die Folgenglieder sind aber eine Nullfolge, da ∑_{k} x_{k} konvergiert. Damit konvergieren die konstruierten Zwischensummen gegen S. Details: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer.

Q.E.D.

Glücklicherweise ergibt sich dieses Umordnungsproblem bei absolut konvergierenden Reihen nicht. Jede Umordnung der Reihenglieder liefert die selbe Summe:

Satz 3.30: (Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

Sei ∑_{k} z_{k} eine (komplexe) absolut konvergierende Reihe. Dann konvergiert ∑_{k} z_{P (k)} für jede Permutation P absolut gegen den selben Grenzwert.

Beweis: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer.

3.5 Summation per Partialbruchzerlegung

Es gibt einige Situationen, wo man (endliche) Reihen explizit berechnen kann. Der Reihenwert ergibt sich als Grenzwert des expliziten Ausdrucks:

Beispiel 3.31: Betrachte ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k · (k + 1)}. Die entscheidende Beobachtung ist:

\frac{1}{k · (k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}

(man bringe \frac{1}{k} − \frac{1}{k+1} auf den Hauptnenner). Hiermit ergibt sich

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k · (k + 1)} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k + 1}

= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}
− \frac{1}{2} − \frac{1}{3} − ⋯ − \frac{1}{n} − \frac{1}{n+1}
= 1 − \frac{1}{n+1}.

Man nennt so eine Summe auch ”Teleskopsumme“: sie läßt sich zu einigen wenigen Termen ”zusammenschieben“, da sich fast alle Summanden aufheben. Es folgt:

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k · (k + 1)} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k · (k + 1)} = lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n + 1}) = 1.

Der im obigen Beispiel angewendete Trick läßt sich systematisch anwenden:

Rezept (Summation durch ”Partialbruchzerlegung“) 3.32:

Betrachte die Summe ∑_{k} a_{k} über einen ”rationalen“ Ausdruck in k:

a_{k} = \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q}}

mit p + 2 ≤ q (für p + 2 > q divergiert die Reihe ∑_{k} a_{k}).

• Schritt 1: Bestimme die Nullstellen k_{1}, k_{2}, …, k_{q} des Nennerpolynoms P (k) = d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q} = d_{q} · (k − k_{1}) · · · · · (k − k_{q}).

• Schritt 2: Sind alle Nullstellen einfach^{1}, so kann man den Ausdruck stets folgendermaßen additiv zerlegen: es gibt Werte e_{1}, e_{2}, …, e_{q}, so dass

a_{k} = \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q}} = \frac{e_{1}}{k − k_{1}} + \frac{e_{2}}{k − k_{2}} + ⋯ + \frac{e_{q}}{k − k_{q}} .

Finde diese Werte e_{1}, …, e_{q}! Man bringt dazu die rechte Seite dieses Ansatzes auf den Hauptnenner (das ergibt nach Konstruktion das Nennerpolynom P (k)). Das Zählerpolynom muss mit dem Zähler der linken Seite übereinstimmen. Vergleiche in den Zählern die Koeffizienten der k-Potenzen, die einzeln übereinstimmen müssen. Dies führt zu einem (stets lösbaren) linearen Gleichungssystem für e_{1}, …, e_{q}.

• Schritt 3: Es gilt

∑_{k=1}^{n} a_{k} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{e_{1}}{k − k_{1}} + \frac{e_{2}}{k − k_{2}} + ⋯ + \frac{e_{q}}{k − k_{q}} )

1Bei entarteten Nullstellen muss man den Ansatz für die Partialsummenzerlegung etwas modifizieren, damit die folgenden Schritte funktionieren (man muss auf ein lösbares lineares Gleichungssystem für die unbekannten Parameter der Zerlegung stoßen). Vergleiche mit Aufgabe 12a auf Blatt 4a.

3.5. SUMMATION PER PARTIALBRUCHZERLEGUNG 65

= ∑_{k=1}^{n} \frac{e_{1}}{k − k_{1}} + ∑_{k=1}^{n} \frac{e_{2}}{k − k_{2}} + ⋯ + ∑_{k=1}^{n} \frac{e_{2}}{k − k_{q}} .

Unterscheiden sich die Nullstellen um ganze Zahlen, so läßt sich diese Summe von Summen als ”Teleskopsumme“ zu einem expliziten Ausdruck in n vereinfachen.

Beispiel 3.33: Betrachte ∑_{k=3}^{n} \frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2}.

Schritt 1: Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind k_{1} = 1, k_{2} = −1, k_{3} = 2:

k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2 = (k − 1) · (k + 1) · (k − 2).

Schritt 2: Mache den Ansatz:

\frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = \frac{e_{1}}{k − 1} + \frac{e_{2}}{k + 1} + \frac{e_{3}}{k − 2}.

Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner und ordne den Zähler nach k-Potenzen:

\frac{e_{1}}{k − 1} + \frac{e_{2}}{k + 1} + \frac{e_{3}}{k − 2}

= \frac{e_{1} · (k + 1) · (k − 2) + e_{2} · (k − 1) · (k − 2) + e_{3} · (k − 1) · (k + 1)}{(k − 1) · (k + 1) · (k − 2)}

= \frac{e_{1} · k^{2} − e_{1} · k − 2 · e_{1} + e_{2} · k^{2} − 3 · e_{2} · k + 2 · e_{2} + e_{3} · k^{2} − e_{3}}{(k − 1) · (k + 1) · (k − 2)}

= \frac{(e_{1} + e_{2} + e_{3}) · k^{2} + (−e_{1} − 3 · e_{2}) · k + (−2 · e_{1} + 2 · e_{2} − e_{3})}{(k − 1) · (k + 1) · (k − 2)}.

Dies muss als Polynom in k mit dem Zähler der Summanden der Reihe übereinstimmen, also

k = 0 · k^{2} + 1 · k + 0 = \underbrace{(e_{1} + e_{2} + e_{3})}_{=0} ·k^{2} + \underbrace{(−e_{1} − 3 · e_{2})}_{=1} ·k + \underbrace{(−2 · e_{1} + 2 · e_{2} − e_{3})}_{=0} .

Durch Vergleich der k-Potenzen ergibt sich:

e_{1} + e_{2} + e_{3} = 0, −e_{1} − 3 · e_{2} = 1, −2 · e_{1} + 2 · e_{2} − e_{3} = 0.

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist

e_{1} = −\frac{1}{2}, e_{2} = −\frac{1}{6}, e_{3} = \frac{2}{3},

also

\frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = −\frac{1}{2} · \frac{1}{k − 1} − \frac{1}{6} · \frac{1}{k + 1} + \frac{2}{3} · \frac{1}{k − 2}.

Schritt 3: Reduktion der Teleskopsumme. Beachte, dass eine der Gleichungen e_{1} +e_{2} + e_{3} = 0 war. Deshalb ist es kein Zufall, dass sich in der Tat eine Teleskopsumme ergibt:

∑_{k=3}^{n} \frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = ∑_{k=3}^{n} \frac{(−1/2)}{k − 1} + ∑_{k=3}^{n} \frac{(−1/6)}{k + 1} + ∑_{k=3}^{n} \frac{(2/3)}{k − 2}

=  \frac{(−1/2)}{2} + \frac{(−1/2)}{3} + \frac{(−1/2)}{4} + ⋯ + \frac{(−1/2)}{n−2} + \frac{(−1/2)}{n−1}
\frac{(−1/6)}{4} + ⋯ + \frac{(−1/6)}{n−2} + \frac{(−1/6)}{n−1} + \frac{(−1/6)}{n} + \frac{(−1/6)}{n+1}
+ \frac{(2/3)}{1} + \frac{(2/3)}{2} + \frac{(2/3)}{3} + \frac{(2/3)}{4} + ⋯ + \frac{(2/3)}{n−2} _{0}  _{0}  _{0}
=  \frac{(−1/2)}{2} + \frac{(−1/2)}{3}  + \frac{(−1/2)}{n−1}
+ \frac{(−1/6)}{n−1} + \frac{(−1/6)}{n} + \frac{(−1/6)}{n+1}
+ \frac{(2/3)}{1} + \frac{(2/3)}{2} + \frac{(2/3)}{3}
=  \frac{29}{36}  + \frac{(−2/3)}{n−1} + \frac{(−1/6)}{n} + \frac{(−1/6)}{n+1}.

Der Grenzwert für n → ∞ liefert

∑_{k=3}^{∞} \frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = \frac{29}{36}.

Beispiel 3.34: In MuPAD ist die Funktion partfrac (”partial fraction“) für die Partialbruchzerlegung zuständig:

>> partfrac(k/(k^3 - 2*k^2 - k + 2))
                   2           1           1
               --------- - --------- - ---------
               3 (k - 2)   6 (k + 1)   2 (k - 1)