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Kapitel 2

Folgen und Grenzwerte

↓23.10.03

Die Grundlage der Analysis ist der Begriff des Grenzwertes. Er ist aus der Schule bekannt (bzw. sollte bekannt sein) und wird hier rekapituliert. Da es kaum einen Unterschied macht, Folgen und Grenzwerte in ℝ oder in ℂ zu betrachten, formulieren wir die folgenden Definitionen und Sätze in ℂ, was ℝ als Spezialfall umschließt. In den Beispielen und Übungen werden hauptsächlich reelle Folgen betrachtet.

2.1 Definitionen, Beispiele, einige Sätze

Definition 2.1: (Folgen)

Eine Folge (z_{n}) = (z_{1}, z_{2}, z_{3}, …), manchmal auch (z_{n}) = (z_{0}, z_{1}, z_{2}, …), ist eine Zuordnung (Funktion)

Index n ∈ ℕ (bzw. ℕ_{0}) ⟶ Wert z_{n} ∈ ℂ.

Beispiel 2.2:

a) x_{n} = (−1)^{n}; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist (−1, 1, −1, 1, …).

b) x_{n} = \frac{1}{n}; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, …).

c) x_{n} = 1 − \frac{1}{n^{2}} ; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist (0, \frac{3}{4}, \frac{8}{9}, \frac{15}{16}, \frac{24}{25}, …).

d) x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist

(2, \frac{9}{4}, \frac{64}{27}, \frac{625}{256}, \frac{7776}{3125}, …) ≈ (2.0, 2.25, 2.3703..., 2.4414..., 2.4883..., …).

Beispiel 2.3: Einige simple Berechnungen mit MuPAD. Folgen können z.B. als Funktionen definiert werden:

>> x := n -> (1 + 1/n)^n
                    n -> (1 +  1/n)^n

Der ”Folgengenerator“ $ dient zur Erzeugung von Folgen:

>> x(n) $ n = 1..5
            2, 9/4, 64/27, 625/256, 7776/3125

Gleitpunktnäherungen werden durch float erzeugt:

>> float(x(n)) $ n = 1..5
       2.0, 2.25, 2.37037037, 2.44140625, 2.48832

Manchmal sind Monotonieeigenschaften von Folgen interessant. Da hierzu Folgenglieder verglichen werden müssen, kann Monotonie nur im Reellen betrachtet werden.

Bezeichnung 2.4:

Eine reelle Folge (x_{n}) heißt ”monoton wachsend“ bzw. ”monoton fallend“, wenn x_{n} ≤ x_{m} bzw. x_{n} ≥ x_{m} gilt für alle Indexpaare n, m mit n < m. Bei x_{n} < x_{m} bzw. x_{n} > x_{m} spricht man von ”streng monoton wachsend“ bzw. ”streng monoton fallend“.

Zunächst die formale Definition von ”Konvergenz“ und ”Grenzwert“, die etwas abschreckend sein mag, aber (keine Angst!) später nur in (den hier nicht wirklich interessierenden) technischen Beweisen zum Einsatz kommt. Oft reicht es, einfache Vererbungsreglen wie z.B. aus Satz 2.13 zu benutzen, um Grenzwerte mittels Arithmetikregeln zu ermitteln.

Definition 2.5: (Grenzwerte von Folgen)

Eine Folge (z_{n}) in ℂ heißt ”konvergent“, wenn eine Zahl z^{∗} ∈ ℂ existiert, so dass sich (intuitiv) ”alle Zahlen z_{n} für großes n dem Wert z^{∗} beliebig genau annähern“. Formal: zu jedem noch so kleinen ϵ > 0 läßt sich eine reelle Zahl N(ϵ) angeben, so dass |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ gilt für alle Indizes n ≥ N(ϵ). Anschaulich: alle Werte z_{n} weichen für n ≥ N(ϵ) maximal um den Wert ϵ vom Grenzwert ab. Der Wert z^{∗} heißt dann ”Grenzwert“ (”Limes“) der Folge (z_{n}). Schreibweisen:

z^{∗} = lim_{n→∞} z_{n} oder auch z_{n} → z^{∗} für n → ∞.

Eine nicht konvergierende Folge heißt ”divergent“. Konvergente Folgen mit dem Grenzwert 0 heißen auch Nullfolgen.

Bemerkung 2.6: Die Aussage ”für alle n ≥ N(ϵ)“ impliziert, dass nur ”hinreichend große Indizes n“ betrachtet zu werden brauchen. Merke: für Konvergenz ist das Verhalten der Folge für kleine Indexwerte völlig irrelevant. Genauer: man kann immer \underline{endlich} viele Folgenelemente abändern, ohne dass sich etwas an der Konvergenz ändert: man kann o.B.d.A. (= ohne Beschränkung der Allgmeinheit) immer N(ϵ) größer wählen als der größte Index der geänderten Folgenglieder.

Eine intuitive Interpretation der ϵ-Definition der Konvergenz lautet:

Für jedes (noch so kleine) ϵ > 0 haben höchstens endlich viele Folgenglieder einen Abstand zum Grenzwert, der größer ist als ϵ.

Satz 2.7: (Eindeutigkeit von Grenzwerten)

Grenzwerte sind eindeutig, d.h., zu (z_{n}) gibt es höchstens ein z^{∗} mit der obigen Eigenschaft.

Beweis: Seien z^{∗} und z^{∗∗} zwei Grenzwerte. Zu jedem ϵ > 0 gilt für hinreichend große Indizes n:

|z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ, |z_{n} − z^{∗∗}| ≤ ϵ
⇒ |z^{∗} − z^{∗∗}| = |z^{∗} − z_{n} + z_{n} − z^{∗∗}| ≤ |z^{∗} − z_{n}| + |z_{n} − z^{∗∗}| ≤ 2 · ϵ.

Da ϵ > 0 beliebig klein gewählt werden kann und damit auch 2 · ϵ beliebig klein sein kann, folgt |z^{∗} − z^{∗∗}| = 0, also z^{∗} = z^{∗∗}.

Q.E.D.

Einige einfache Beispiele mit formalem Beweis:

Beispiel 2.8: Die konstante Folge (z_{n}) = (c, c, c, …) ist konvergent mit dem Grenzwert z^{∗} = lim_{n→∞} z_{n} = c, denn für alle n gilt

|z_{n} − z^{∗}| = |c − c| = 0 ≤ ϵ ,

wie auch immer ϵ > 0 vorgegeben wird. Formal: zu ϵ > 0 wähle N(ϵ) = 1.

Beispiel 2.9: Die Folge x_{n} = \frac{1}{n} ist konvergent mit dem Grenzwert x^{∗} = lim_{n→∞} x_{n} = 0. Formaler Beweis: zu beliebigem ϵ > 0 wähle N(ϵ) = \frac{1}{ϵ}. Dann folgt für alle n ≥ N(ϵ):

|x_{n} − x^{∗}| = |x_{n} − 0| = |x_{n}| = |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N(ϵ)} = \frac{1}{\frac{1}{ϵ}} = ϵ.

32 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE

Und noch ein Beispiel mit formalem Beweis:

Beispiel 2.10: Für c ∈ ℂ gelte |c| < 1. Dann ist die Folge z_{n} = c^{n} eine Nullfolge.

Beweis: Für c = 0 ist alles klar. Sei nun c ≠ 0. Definiere h = \frac{1}{|c|} −1 > 0, d.h., |c| = \frac{1}{1+h}. Es gilt

\frac{1}{|c^{n}|} = \frac{1}{|c|^{n}} = (1 + h)^{n} = 1 + n · h + \binom{n}{2} · h^{2} + ⋯ ≥ 1 + n · h > n · h.

Es folgt |c^{n}| < \frac{1}{n·h} ≤ ϵ für alle Indizes n ≥ \frac{1}{h·ϵ} =: N(ϵ).

Q.E.D.

Beispiele:

c = 0.5 : (c^{n}) = (0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 …).

Für |c| ≥ 1 gilt diese Aussage nicht! Z.B.:

c = 1 : (c^{n}) = (1, 1, 1, 1, …)  (konvergiert gegen 1),
c = i : (c^{n}) = (i, −1, −i, 1, i, −1, …) (konvergiert nicht),
c = 2 : (c^{n}) = (2, 4, 8, 16, …)  (divergiert, bzw. ”konvergiert gegen ∞“).

Beispiel 2.11: Einige Berechnungen mit MuPAD:

>> x := n -> c^n
                           n -> c^n
>> x(n) $ n = 1..10
                2   3   4   5   6   7   8   9   10
            c, c , c , c , c , c , c , c , c , c

Grenzwerte werden mit limit berechnet. Die Hilfeseite dazu wird mittels ?limit angefordert:

>> ?limit

Ohne Weiteres kann der Grenzwert nicht bestimmt werden, da er ja von den Eigenschaften von c abhängt:

>> limit(x(n), n = infinity)
Warning: cannot determine sign of ln(c) [stdlib::limit::limitMRV]
                           n
                    limit(c , n = infinity)

Nehmen wir an, c sei reell und 0 < c < 1:

>> assume(0 < c < 1):
>> limit(x(n), n = infinity)
                               0

Nehmen wir an, c > 1:

>> assume(c > 1):
>> limit(x(n), n = infinity)
                           infinity

Ein Beispiel einer nicht konvergierenden Folge:

Beispiel 2.12: Die Folge x_{n} = (−1)^{n}, also (x_{n}) = (−1, 1, −1, 1, …) ist nicht konvergent (hat keinen Grenzwert). Hier ein formaler Beweis: zu ϵ = \frac{1}{2} läßt sich kein N(ϵ) finden. Angenommen, ein Grenzwert x^{∗} existiert. Dann müßte N(ϵ) existieren mit

|x_{n} − x^{∗}| ≤ ϵ, |x_{n+1} − x^{∗}| ≤ ϵ

für alle n ≥ N(ϵ). Es würde folgen:

|x_{n} − x_{n+1}| = |x_{n} \underbrace{−x^{∗} + x^{∗}}_{=0} −x_{n+1}| ≤ |x_{n} − x^{∗}| + |x^{∗} − x_{n+1}| ≤ ϵ + ϵ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Für die betrachtete Folge gilt aber |x_{n} − x_{n+1}| = 2 für jedes n. Widerspruch! Damit muss die Annahme ”es existiert x^{∗}“ falsch gewesen sein.

Die formale Definition mit ϵ und N(ϵ) ist unangenehm und man möchte diese recht technischen Betrachtungen und Abschätzungen liebend gern vermeiden. Wie geht man beim praktischen Rechnen vor? Es gibt Rechenregeln! Damit läßt sich ϵ und N(ϵ) oft vollständig verbannen:

Satz 2.13: (Rechenregeln für Grenzwerte)

↓28.10.03

Seien (x_{n}), (y_{n}) konvergente Folgen in ℂ, sei c ∈ ℂ eine Konstante. Dann gilt:

a) lim_{n→∞}(c · x_{n}) = c · lim_{n→∞} x_{n},

b) lim_{n→∞}(x_{n} ± y_{n}) = lim_{n→∞} x_{n} ± lim_{n→∞} y_{n},

c) lim_{n→∞}(x_{n} · y_{n}) = lim_{n→∞} x_{n} · lim_{n→∞} y_{n},

d) lim_{n→∞} (\frac{x_{n}}{y_{n}} ) = \frac{lim_{n→∞} x_{n}}{lim_{n→∞} y_{n}}, falls lim_{n→∞} y_{n} ≠ 0 gilt (!),

e) lim_{n→∞} \sqrt{x_{n}} = \sqrt{lim_{n→∞} x_{n}}.

Eine Beweisandeutung (nur für technisch Interessierte):

Beweisskizze: Seien x^{∗} bzw. y^{∗} die Grenzwerte von (x_{n}) bzw. (y_{n}).

a) Für c = 0 ist die Behauptung sicherlich richtig. Sei nun c ≠ 0. Zu ϵ > 0 gibt es ein N, so dass

|x_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{|c|}

gilt für alle n ≥ N. Für diese Indizes folgt

|c · x_{n} − c · x^{∗}| = |c| · |x_{n} − x^{∗}| ≤ |c| · \frac{ϵ}{|c|} = ϵ.

b) Wähle ein beliebiges ϵ > 0. Da (x_{n}) und (y_{n}) als konvergent vorausgesetzt sind, gibt es Werte N_{x} bzw. N_{y} mit

|x_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2} bzw. |y_{n} − y^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2}

für alle n ≥ N_{x} bzw. n ≥ N_{y}. Für alle n ≥ N(ϵ) := max(N_{x}, N_{y}) folgt

|x_{n} ± y_{n} − (x^{∗} ± y^{∗})| = |x_{n} − x^{∗} ± (y_{n} − y^{∗})|

≤ |x_{n} − x^{∗}| + | ± (y_{n} − y^{∗})| ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ.

Die Aussagen c) – e) lassen sich mit ähnlichen (etwas aufwendigeren) Abschätzungen beweisen.

Q.E.D.

Beispiel 2.14: Wir wissen bereits, dass x_{n} = \frac{1}{n} eine Nullfolge ist. Durch Einsatz der Rechenregeln folgt unmittelbar:

lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{1}{n} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0 · 0 = 0,

lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{1}{n^{2}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} = 0 · 0 = 0,

usw. Durch Induktion nach k ergibt sich:

Alle Folgen der Form x_{n} = \frac{1}{n^{k}} mit positiven Potenzen k sind Nullfolgen.

Manchmal muss man etwas manipulieren und umschreiben. Bei rationalen Ausdrücken in n (also Polynom(n)/Polynom(n)) gilt das allgemeine Rezept: ziehe in Zähler und Nenner die führende Potenz von n raus und kürze. Typischerweise verbleiben dann nur noch Nullfolgen im Ausdruck, die zu 0 werden, wenn man über die obigen Rechenregeln ”den Grenzwert in den Ausdruck ’reinzieht“:

Beispiel 2.15:

lim_{n→∞} \frac{2 · n^{2} + 1}{n^{2} − n} = lim_{n→∞} \frac{n^{2} · (2 + \frac{1}{n^{2}} )}{n^{2} · (1 − \frac{1}{n})} = lim_{n→∞} \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{1 − \frac{1}{n}} = \frac{2 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}}}{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{1 − 0} = 2 .

Hierbei wurde benutzt, dass wir in den Beispielen 2.9 und 2.14 bereits 1/n und 1/n^{2} als Nullfolgen identifiziert haben. Man sieht, mit etwas Geschick eingesetzt, machen die Rechenregeln die Berechnung von Grenzwerten oft sehr einfach. Manchmal muss man allerdings ”tricksen“:

Beispiel 2.16:

lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) = lim_{n→∞} \frac{(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) · (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{\sqrt{n + 1}^{2} − \sqrt{n}^{2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

= lim_{n→∞} \frac{(n + 1) − n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n · (1 + \frac{1}{n})} + \sqrt{n}}

= lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n} · \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n} · (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}

= lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n}} · lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = lim_{n→∞} \sqrt{\frac{1}{n}} · \frac{1}{lim_{n→∞} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}

= \sqrt{lim_{n→∞} \frac{1}{n}} · \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n}} + 1} = 0 · \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = 0.

Manchmal helfen alle Rechenregeln nichts, und man muss technisch abschätzen. Eine hilfreiche Aussage liefert der folgende Satz, der nur für reelle Folgen gilt. Liegen die Folgenglieder x_{n} in Intervallen [a_{n}, b_{n}] und konvergieren die Intervallenden gegen den selben Wert, so bleibt der Folge nichts anderes übrig, als ebenfalls gegen diesen Wert zu konvergieren (die Intervalllänge b_{n} − a_{n} konvergiert gegen 0):

Satz 2.17: (Intervallschachtelung)

Seien (a_{n}), (b_{n}), (x_{n}) reelle Folgen. Die Folgen (a_{n}) und (b_{n}) mögen gegen den selben Grenzwert konvergieren. Gilt für alle hinreichend großen Indizes a_{n} ≤ x_{n} ≤ b_{n}, so konvergiert auch (x_{n}) gegen

lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n}.

Beweis: Sei x^{∗} der Grenzwert von (a_{n}) und (b_{n}). Die Folge (b_{n} − a_{n}) ist positiv und eine Nullfolge. Zu ϵ > 0 gibt es Werte N_{1} bzw. N_{2} mit

b_{n} − a_{n} = |b_{n} − a_{n}| ≤ \frac{ϵ}{2}, |a_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2}

für alle n ≥ N_{1} bzw. n ≥ N_{2}. Für alle n ≥ N := max(N_{1}, N_{2}) folgt

|x_{n} − x^{∗}| = |x_{n} − a_{n} + a_{n} − x^{∗}| ≤ |x_{n} − a_{n}| + |a_{n} − x^{∗}|

= x_{n} − a_{n} + |a_{n} − x^{∗}| ≤ b_{n} − a_{n} + |a_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ.

Q.E.D.

Beispiel 2.18: Sei x_{n} = \frac{n}{n^{2}+1}. Offensichtlich gilt

\underbrace{0}_{a_{n}} ≤ x_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1} ≤ \frac{n}{n^{2}} = \underbrace{\frac{1}{n}}_{b_{n}} .

Die Intervallgrenzen a_{n} = 0 und b_{n} = \frac{1}{n} sind beides Nullfolgen, also ist auch x_{n} eine Nullfolge.

Beispiel 2.19: Für positive reelle Zahlen c definieren wir z_{n} = c^{1/n} als die positive reelle Lösung von z^{n} = c. Fall 1: Sei c ≥ 1. Sicherlich gilt z_{n} ≥ 1 . Setze z_{n} = 1 + h_{n} mit h_{n} ≥ 0. Es folgt

c = (1 + h_{n})^{n} = 1 + n · h_{n} + \binom{n}{2} · h_{n}^{2} + ⋯ ≥ 1 + n · h_{n} ⇒ 0 ≤ h_{n} ≤ \frac{c − 1}{n}.

Damit ist h_{n} eine Nullfolge, also z_{n} = 1 + h_{n} → 1 für n → ∞. Fall 2: Sei 0 < c ≤ 1. Sicherlich gilt 0 < z_{n} ≤ 1. Setze z_{n} = 1/(1 + h_{n}) mit h_{n} ≥ 0. Analog zu Fall 1 folgt

\frac{1}{c} = (1 + h_{n})^{n} = 1 + n · h_{n} + \binom{n}{2} · h_{n}^{2} + ⋯ ≥ 1 + n · h_{n} ⇒ 0 ≤ h_{n} ≤ \frac{\frac{1}{c} − 1}{n}.

Damit ist h_{n} eine Nullfolge, also z_{n} = 1/(1 + h_{n}) → 1 für n → ∞. Merke:

lim_{n→∞} c^{1/n} = 1 für jedes reelle c > 0.

Satz und Definition 2.20:

Sei z eine beliebige komplexe Zahl. Die Folge x_{n} = (1 + \frac{z}{n})^{n} konvergiert gegen einen von z abhängenden Grenzwert x^{∗}(z), der auch als e^{z} oder auch als exp(z) bezeichnet wird. Die Funktion exp : z ↦ e^{z} heißt ”Exponential-Funktion“. Der spezielle Grenzwert e = e^{1} für z = 1 heißt ”Eulersche Zahl“:

e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} ≈ 2.71828... .

Der Beweis ist sehr technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Nur der Vollständigkeit halber wird eine Teilskizze angegeben:

Beweisskizze: Wir betrachten nur den Fall z = 1. Man zeigt jeweils per Induktion, dass die reelle Folge x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} streng monoton wachsend in n ist und dass

y_{n} = (1 + \frac{1}{n − 1})^{n} = (1 + \frac{1}{n − 1})^{n−1} · (1 + \frac{1}{n − 1}) = x_{n−1} · (1 + \frac{1}{n − 1})

streng monoton fallend in n ist. Da offensichtlich x_{n} < y_{n} < y_{2} = 4 gilt, ist x_{n} monoton wachsend und nach oben beschränkt. Dies reicht, um die Konvergenz von (x_{n}) zu folgern (Satz 2.24). Zusatz: y_{n} ist monoton fallend und nach unten durch y_{n} > x_{n−1} > x_{1} = 2 beschränkt, konvergiert also ebenfalls. Es gilt

lim_{n→∞} y_{n} = lim_{n→∞} x_{n−1} · (1 + \frac{1}{n − 1}) = lim_{n→∞} x_{n−1} · lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n − 1})

= lim_{n→∞} x_{n−1} = lim_{n→∞} x_{n}.

Damit liefert jedes x_{n} eine untere und y_{n} eine obere Schranke für die Eulersche Zahl, wobei das Intervall [x_{n}, y_{n}], in dem sie zu finden ist, auf die Länge 0 zusammenschrumpft.

Q.E.D.

Eine technische Vorüberlegung für den Beweis des kommenden Satzes 2.22:

Technischer Hilfssatz 2.21:

Sei (z_{n}) eine komplexe Nullfolge mit der Eigenschaft, dass (n^{2} · z_{n}) beschränkt ist (d.h., es gibt eine Konstante c > 0, so dass für alle Indizes n |z_{n}| ≤ \frac{c}{n^{2}} gilt). Dann gilt

lim_{n→∞}(1 + z_{n})^{n} = 1.

38 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Der Beweis ist sehr technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Er ist nur der Vollständigkeit halber angegeben: Beweis: Es gilt (Aufgabe 12) für jedes z ∈ ℂ:

z^{n} − 1 = (z − 1) · (1 + z + ⋯ + z^{n−1}).

Für z = 1 + z_{n} folgt

(1 + z_{n})^{n} − 1 = z_{n} · (1 + (1 + z_{n}) + ⋯ + (1 + z_{n})^{n−1}).

Die Dreiecksungleichung liefert

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ |z_{n}| · (1 + |1 + z_{n}| + ⋯ + |1 + z_{n}|^{n−1})

≤ |z_{n}| · (1 + (1 + |z_{n}|) + ⋯ + (1 + |z_{n}|)^{n−1}).

Mit (1 + |z_{n}|)^{k} ≤ (1 + |z_{n}|)^{n} für alle k = 0, 1, …, n − 1 folgt

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ |z_{n}| · ((1 + |z_{n}|)^{n} + (1 + |z_{n}|)^{n} + ⋯ + (1 + |z_{n}|)^{n})

= n · |z_{n}| · (1 + |z_{n}|)^{n}.

Wegen |z_{n}| ≤ c/n^{2} gilt auch |z_{n}| ≤ c/n:

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ n · |z_{n}| · (1 + \frac{c}{n})^{n} ≤ n · |z_{n}| · e^{c}.

Wegen |z_{n}| ≤ c/n^{2} gilt |n · z_{n}| ≤ c/n:

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ \frac{c · e^{c}}{n} .

Damit gilt lim_{n→∞} ((1 + z_{n})^{n} − 1) = 0, und es folgt lim_{n→∞}(1 + z_{n})^{n} = 1.

Q.E.D.

Der folgende Satz ist fundamental und sehr wichtig: Satz 2.22: (Funktionalgleichungen der Exponentialfunktion)

29.10.03↓

Für alle z, z_{1}, z_{2} ∈ ℂ, n ∈ ℤ gilt:

e^{0} = 1, e^{−z} = \frac{1}{e^{z}} , e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}} · e^{z_{2}}, (e^{z})^{n} = e^{n·z}.

Trotz aller Wichtigkeit des Satzes: der Beweis bringt keine wirklichen Erkenntnisse und ist nur der Vollständigkeit halber für technisch Interessierte angegeben:

Beweis: Es gilt

(1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{1}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{2}}{n} )^{n}

= ((1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} ) · (1 − \frac{z_{1}}{n} ) · (1 − \frac{z_{2}}{n} ))^{n}

= (1 − \frac{z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}}{n^{2}} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n^{3}})^{n}.

Die Folge

x_{n} = −\frac{z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}}{n^{2}} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n^{3}}

= \frac{1}{n^{2}} · (z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n})

erfüllt die im Hilfssatz 2.21 geforderte Bedingung |x_{n}| ≤ c/n^{2} mit

|z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n}| ≤ |z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}| + \frac{|z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})|}{n}

≤ |z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}| + |z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})| =: c.

Hilfssatz 2.21 liefert damit

lim_{n→∞} (1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{1}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{2}}{n} )^{n} = lim_{n→∞}(1 + x_{n})^{n} = 1

und folglich gilt:

1 = lim_{n→∞} (1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} )^{n} · lim_{n→∞} (1 − \frac{z_{1}}{n} )^{n} · lim_{n→∞} (1 − \frac{z_{2}}{n} )^{n}

= e^{z_{1}+z_{2}} · e^{−z_{1}} · e^{−z_{2}}.

Mit e^{0} = lim_{n→∞} (1 + \frac{0}{n})^{n} = lim_{n→∞} 1^{n} = 1 folgt für z_{1} = z, z_{2} = −z:

1 = e^{0} · e^{−z} · e^{z} = e^{−z} · e^{z} ⇒ e^{−z} = \frac{1}{e^{z}} .

Für allgemeine z_{1}, z_{2} folgt dann:

1 = e^{z_{1}+z_{2}} · e^{−z_{1}} · e^{−z_{2}} ⇒ e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}} · e^{z_{2}}.

Hiermit folgt für n ∈ ℕ:

(e^{z})^{n} = e^{z} · e^{z} · · · · · e^{z} = e^{z+z+···+z} = e^{n·z}.

Mit e^{−z} = 1/e^{z} folgt die selbe Eigenschaft auch für negative ganzzahlige Potenzen n.

Q.E.D.

Beispiel 2.23: Einige Rechnungen mit MuPAD. Die Exponentialfunktion heißt exp:

>> limit((1 + 1/n)^n, n = infinity)
                            exp(1)

Mit % wird auf den letzten Wert zugegriffen:

>> float(%)
                          2.718281829
>> exp(20) = float(exp(20))
                     exp(20) = 485165195.4
>> exp(3 + I/2) = float(exp(3 + I/2))
         exp(3 + 1/2 I) = 17.62671695 + 9.629519358 I

Für reelle Argumente kann die Exponentialfunktion mittels plotfunc2d gezeichnet werden. Falls x vorher einen Wert zugewiesen bekommen hatte, muss dieser zunächst mittels delete gelöscht werden:

>> delete x:
>> plotfunc2d(exp(x), x = -2..3)

2.2 Weitere Konvergenzsätze

In diesem Abschnitt werden einige allgemeine Sätze formuliert, die hilfreich sind, die Konvergenz von Folgen zu prüfen.

2.2.1 Konvergenz monotoner reeller Folgen

Die folgende Aussage ist äußerst hilfreich, denn sie gerantiert Konvergenz, ohne dass der konkrete Grenzwert bekannt zu sein braucht. Die Aussage beruht auf Monotonie und ist daher nur auf reelle Folgen anwendbar. Die Konvergenz basiert auf dem Supremumsaxiom 1.10 für ℝ.

Satz 2.24: (Konvergenz monotoner Folgen)

Sei (x_{n}) eine monoton steigende bzw. fallende reelle Folge. Ist die Folge nach oben bzw. unten beschränkt, also x_{n} ≤ M bzw. m ≤ x_{n} für alle Indizes n, so ist (x_{n}) konvergent. Es gilt

lim_{n→∞} x_{n} = sup {x_{n}; n ∈ ℕ} ≤ M bzw. m ≤ lim_{n→∞} x_{n} = inf {x_{n}; n ∈ ℕ}.

Beweis: Betrachte eine monoton steigende und durch M nach oben beschränkte Folge (x_{n}). Setze A = {x_{n}; n ∈ ℕ}. Der gesuchte Grenzwert ist x^{∗} = sup A. Zum Beweis der Konvergenz gegen x^{∗} sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Da x^{∗} die kleinste obere Schranke von A ist, ist x^{∗} − ϵ keine obere Schranke, d.h., es existiert ein Index N(ϵ) mit x_{N(ϵ)} > x^{∗} − ϵ. Wegen der Monotonie gilt für alle Indizes n ≥ N(ϵ):

x^{∗} ≥ x_{n} ≥ x_{N(ϵ)} ≥ x^{∗} − ϵ ⇒ 0 ≤ x^{∗} − x_{n} ≤ ϵ ⇒ |x^{∗} − x_{n}| ≤ ϵ.

Da x^{∗} die kleinste obere Schranke von A ist, gilt für die obere Schranke M die Ungleichung x^{∗} ≤ M.

Die Konvergenz monoton fallender, nach unten beschränkter Folgen ist analog zu beweisen.

Q.E.D.

Beispiel 2.25: Betrachte

x_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ⋯ + \frac{1}{n!}.

Offensichtlich ist (x_{n}) monoton steigend und nach oben beschränkt:

x_{n} = 1 + \underbrace{\frac{1}{1!}}_{= \frac{1}{2^{0}}} + \underbrace{\frac{1}{2!}}_{= \frac{1}{2^{1}}} + \underbrace{\frac{1}{3!}}_{< \frac{1}{2^{2}}} + ⋯ + \underbrace{\frac{1}{n!}}_{< \frac{1}{2^{n−1}}} ≤ 1 + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} ≤ 3.

Die Folge konvergiert gegen einen Grenzwert ≤ 3 (es ist die Eulersche Zahl 2.71828...).

2.2.2 Cauchy–Folgen

Wir betrachten einige Aussagen, die sowohl in ℝ als auch allgemeiner in ℂ gelten. Zunächst wird der Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Konvergenz von Folgen durch den folgenden Satz aufgedeckt:

Satz 2.26: (Komplexe und reelle Konvergenz)

Sei z_{n} = x_{n} + i · y_{n} ∈ ℂ mit x_{n}, y_{n} ∈ ℝ. Die Folge (z_{n}) konvergiert dann und genau dann gegen z^{∗} = x^{∗} + i · y^{∗} (x^{∗}, y^{∗} ∈ ℝ), wenn Real- und Imaginärteil einzeln konvergieren: lim_{n→∞} x_{n} = x^{∗}, lim_{n→∞} y_{n} = y^{∗}.

Beweis: Es gilt |z_{n} − z^{∗}|^{2} = (x_{n} − x^{∗})^{2} + (y_{n} − y^{∗})^{2}.

Gilt (x_{n}) → x^{∗} und gleichzeitig (y_{n}) → y^{∗}, so ist |z_{n} − z^{∗}|^{2} eine Nullfolge, also auch |z_{n} − z^{∗}|. Dies ist per Definition die Konvergenz (z_{n}) → z^{∗}.

Umgekehrt, es gelte (z_{n}) → z^{∗}. Mit

0 ≤ |x_{n} − x^{∗}| ≤ |z_{n} − z^{∗}|, 0 ≤ |y_{n} − y^{∗}| ≤ |z_{n} − z^{∗}|

folgt mit Satz 2.17 unmittelbar, dass |x_{n} − x^{∗}| und |y_{n} − y^{∗}| Nullfolgen sein müssen. Dies ist per Definition die Konvergenz (x_{n}) → x^{∗}, (y_{n}) → y^{∗}.

Q.E.D.

Die Definition der Konvergenz 2.5 benötigt die Kenntnis des Grenzwerts. Der folgende Satz 2.28 ist eine Existenzaussage, mit der auch ohne Kenntnis des konkreten Grenzwerts die Konvergenz abgelesen werden kann. Zunächst die entscheidende Begriffsbildung:

Definition 2.27: (Cauchy–Folgen)

Eine Folge (z_{n}) in ℂ heißt ”Cauchy–Folge“, wenn zu jedem ϵ > 0 eine reelle Zahl N(ϵ) existiert, so dass für alle n, m ≥ N(ϵ) gilt: |z_{n} − z_{m}| ≤ ϵ.

Satz 2.28: (Die konvergenten Folgen sind die Cauchy–Folgen)

Eine Folge in ℂ konvergiert dann und genau dann, wenn sie eine Cauchy– Folge ist.

Der Beweis ist technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Er ist nur der Vollständigkeit halber angegeben:

Beweis: Wir betrachten zunächst Folgen (x_{n}) in ℝ. Konvergenz ⇒ Cauchy–Folge: Ist (x_{n}) konvergent mit Grenzwert x^{∗}, so gibt es zu ϵ > 0 ein N(ϵ), so dass

|x_{n} − x^{∗}| ≤ ϵ, |x_{m} − x^{∗}| ≤ ϵ

gilt für alle n, m ≥ N(ϵ). Für alle n, m ≥ N(ϵ/2) folgt

|x_{n} − x_{m}| = |x_{n} − x^{∗} + x^{∗} − x_{m}| ≤ |x_{n} − x^{∗}| + |x^{∗} − x_{m}| ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ,

d.h., (x_{n}) ist eine Cauchy–Folge. Cauchy–Folge ⇒ Konvergenz: Sei (x_{n}) eine Cauchy–Folge mit |x_{n} −x_{m}| ≤ ϵ für alle n, m ≥ N_{x}(ϵ). Hieraus folgt, dass die Menge A_{n} = {x_{m}; m ≥ n} für jedes n beschränkt ist:

|x_{m}| = |x_{m} − x_{n} + x_{n}| \{ \begin{matrix}≤ |x_{n}| + |x_{m} − x_{n}|, \\ ≥ |x_{n}| − |x_{m} − x_{n}|, \end{matrix}

wobei z.B. |x_{m} − x_{n}| ≤ 1 für m, n ≥ N_{x}(1) gilt. Man kann also definieren:

a_{n} := inf {x_{m}; m ≥ n}, b_{n} := sup {x_{m}; m ≥ n}.

Offensichtlich gilt a_{n} ≤ x_{n} ≤ b_{n}. Die Folge b_{n} ist monoton fallend, da die Suprema immer kleinerer Mengen betrachtet werden. Analog ist die Folge a_{n} monoton wachsend. Nach Satz 2.24 konvergieren damit (a_{n}) und (b_{n}) gegen gewisse Grenzwerte a^{∗} und b^{∗} mit a^{∗} ≤ b^{∗}. Wir zeigen, dass a^{∗} = b^{∗} gilt. Angenommen, es gilt a^{∗} < b^{∗}. Betrachte ϵ = (b^{∗} − a^{∗})/4 > 0. Wähle ein n ≥ N_{x}(ϵ). Da a_{n} als Infimum die größte untere Schranke von A_{n} ist, ist a_{n} +ϵ keine untere Schranke von A_{n} mehr: es gibt ein m_{1} ≥ n, so dass x_{m_{1}} < a_{n} + ϵ. Anlog gibt es ein m_{2} ≥ n, so dass x_{m_{2}} > b_{n} − ϵ. Wegen der Monotonie von (a_{n}) und (b_{n}) gilt a_{n} ≤ a^{∗} und b_{n} ≥ b^{∗}, also:

b_{n} − a_{n} ≥ b^{∗} − a^{∗} = 4 · ϵ.

Damit folgt

x_{m_{2}} − x_{m_{1}} = \underbrace{x_{m_{2}} − b_{n}}_{>−ϵ} + \underbrace{b_{n} − a_{n}}_{≥4·ϵ} + \underbrace{a_{n} − x_{m_{1}}}_{>−ϵ} ≥ −ϵ + 4 · ϵ − ϵ > ϵ.

Hierbei gilt m_{1}, m_{2} ≥ n ≥ N_{x}(ϵ). Mit der Cauchy–Eigenschaft von (x_{n}) müßte für solche Indizes aber |x_{m_{2}} − x_{m_{1}}| ≤ ϵ gelten. Widerspruch!

Damit ist gezeigt, dass reelle Folgen (x_{n}) genau dann konvergieren, wenn sie Cauchy–Folgen sind. Analog zu Satz 2.26 ist leicht gezeigt, dass eine komplexe Folge genau dann eine Cauchy–Folge ist, wenn die Folgen der Real- und Imaginärteile beide Cauchy–Folgen sind. Zusammen mit Satz 2.26 ergibt sich damit, dass auch komplexe Folgen genau dann konvergieren, wenn sie Cauchy–Folgen sind.

Q.E.D.

Einige weitere Begriffe:

Definition 2.29: (Häufungspunkte von Mengen)

Ein Punkt z^{∗} ∈ ℂ heißt ”Häufungspunkt“ einer Menge A ⊂ ℂ, wenn für jedes ϵ > 0 die sogenannte ”ϵ-Umgebung“ von z^{∗}

Ū_{ϵ}(z^{∗}) = {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| ≤ ϵ}

mindestens einen Punkt in A enthält: Ū_{ϵ}(z^{∗}) ∩ A ≠ ∅.

Geometrisch ist die ϵ-Umgebung eines Punktes z^{∗} ein Kreisgebiet mit Mittelpunkt z^{∗} und Radius ϵ, wobei in der obigen Definition der Kreisrand

{z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| = ϵ}

mit zur Umgebung gerechnet wird.

Beispiel 2.30: Offensichtlich ist jeder Punkt in A ein Häufungspunkt von A (denn dieser Punkt liegt in jeder ϵ-Umgebung von sich selbst). Es kann aber auch Punkte außerhalb von A geben, die Häufungspunkte von A sind. In ℝ sind z.B. die Endpunkte von Intervallen stets Häufungspunkte, selbst wenn das Intervall A = (a, b) ⊂ ℝ offen ist. Z.B.: offensichtlich liegt für ϵ > 0 der Punkt x = min((a + b)/2, a + ϵ) sowohl in A = (a, b) als auch in der ϵ Umgebung von a. Also ist a ein Häufungspunkt von A.

Definition 2.31: (abgeschlossene Mengen)

Eine Menge A ∈ ℂ heißt ”abgeschlossen“, wenn jeder ihrer Häufungspunkte in A liegt. Die Menge heißt ”offen“, wenn ihr Komplement ℂ \ A = {z ∈ ℂ; z ∉ A} abgeschlossen ist.

Beispiel 2.32: Abgeschlossene Intervalle [a, b] in ℝ sind abgeschlossene Mengen. Die hier definierten ϵ-Umgebungen

Ū_{ϵ}(z^{∗}) = {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| ≤ ϵ}

sind abgeschlossene Mengen in ℂ . Achtung: in der Literatur werden als ϵ-Umgebungen oft die Mengen

U_{ϵ}(z^{∗}) = {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| < ϵ}

betrachtet, die den Kreisrand {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| = ϵ} nicht enthalten. Diese Mengen sind nicht abgeschlossen, denn die Punkte des Kreisrands sind Häufungspunkte. Die U_{ϵ} sind offene Mengen.

2.2.3 Teilfolgen und Häufungspunkte

30.10.03↓ Neben der Konvergenz gibt es den (schwächeren) Begriff von ”Teilkonvergenz“, der sich in sogenannten ”Häufungspunkten von Folgen“ manifestiert.

Definition 2.33: (Häufungspunkte von Folgen)

Ein Punkt z^{∗} ∈ ℂ heißt ”Häufungspunkt“ der Folge (z_{n}), wenn in jeder ϵ-Umgebung von z^{∗} unendlich viele Folgenglieder liegen, also: zu jedem ϵ > 0 existieren unendlich viele Folgenglieder z_{n} mit |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ.

Bemerkung 2.34: Die Definitionen 2.29 (Häufungspunkte von Mengen) und 2.33 (Häufungspunkte von Folgen) sind miteinander verwandt: Ist z^{∗} ist Häufungspunkt der Folge (z_{n}), so ist z^{∗} Häufungspunkt der Menge {z_{n}; n ∈ ℕ} ⊂ ℂ.

Beispiel 2.35: Die Folge x_{n} = (−1)^{n}, also (x_{n}) = (−1, 1, −1, 1, …) hat die beiden Häufungspunkte x_{1}^{∗} = 1 und x_{2}^{∗} = −1. Der Punkt x_{1}^{∗} = 1 ist Häufungspunkt, denn für alle Folgenglieder mit geradem Index n (dies sind unendlich viele) gilt |x_{n} − x_{1}^{∗}| = 0 ≤ ϵ für jedes ϵ > 0. Der Punkt x_{2}^{∗} = −1 ist Häufungspunkt, denn für alle Folgenglieder mit ungeradem Index n (dies sind unendlich viele) gilt |x_{n} − x_{2}^{∗}| = 0 ≤ ϵ für jedes ϵ > 0.

Bemerkung 2.36: Sei n_{1} < n_{2} < … eine streng monoton steigende Folge von Indizes in ℕ. Die Folge (z_{n_{i}}) = (z_{n_{1}}, z_{n_{2}}, …) heißt ”Teilfolge“ der Folge (z_{n}).

z^{∗} ist genau dann Häufungspunkt der Folge (z_{n}), wenn es eine gegen z^{∗} konvergierende Teilfolge von (z_{n}) gibt.

Zu einem gegebenen Häufungspunkt z^{∗} folgt eine explizite Konstruktion einer konvergenten Teilfolge. Zu ϵ = 1/k gibt es unendlich viele Folgenglieder z_{n} mit |z_{n} − z^{∗}| ≤ 1/k. Wähle n_{i} als den ersten Folgenindex, für den der Abstand zwischen z_{n} und dem Häufungspunkt den Wert 1/k unterschreitet:

n_{k} := min \{n; n > n_{k−1} und |z_{n} − z^{∗}| ≤ \frac{1}{k} \} (n_{0} := 0).

Nach Konstruktion gilt |z_{n_{k}} − z^{∗}| ≤ \frac{1}{k} für alle k = 1, 2, … und damit auch |z_{n_{j}} − z^{∗}| ≤ \frac{1}{j} ≤ \frac{1}{k} für alle n_{j} ≥ n_{k}. Damit konvergiert (z_{n_{k}}) gegen z^{∗}.

Umgekehrt, gibt es eine gegen z^{∗} konvergente Teilfolge von (z_{n}), so liegen in jeder ϵ-Umgebung von z^{∗} alle bis auf endliche viele Glieder der Teilfolge. Also ist z^{∗} ein Häufungspunkt von (z_{n}).

Beispiel 2.37: Für die Folge (x_{n}) = (−1, 1, −1, 1, …) aus Beispiel 2.35 konvergiert die Teilfolge (x_{2}, x_{4}, …) = (1, 1, 1, …) gegeben den Häufungspunkt 1 und die Teilfolge (x_{1}, x_{3}, …) = (−1, −1, −1, …) gegeben den Häufungspunkt −1.

Satz 2.38:

Eine konvergente Folge besitzt genau einen Häufungspunkt: den Grenzwert.

Beweis: Für den Grenzwert z^{∗} einer konvergierenden Folge (z_{n}) gibt es für jedes ϵ > 0 ein N(ϵ), so dass alle Folgenglieder mit Indizes ≥ N(ϵ) in der ϵ-Umgebung von z^{∗} liegen. Damit ist der Grenzwert ein Häufungspunkt. Gäbe es einen weiteren davon verschiedenen Häufungspunkt z^{∗∗}, gäbe es für ϵ = |z^{∗∗} − z^{∗}|/3 > 0 mindestens einen Folgenpunkt z_{n} mit Index n ≥ N(ϵ) in dieser ϵ-Umgebung von z^{∗∗}, und es würde folgen:

3 · ϵ = |z^{∗} − z^{∗∗}| = |z^{∗} − z_{n} + z_{n} − z^{∗∗}| ≤ |z^{∗} − z_{n}| + |z_{n} − z^{∗∗}| ≤ 2 · ϵ.

Widerspruch!

Q.E.D.

Satz 2.39: (Bolzano (1781–1848) und Weierstrass (1815–1897))

Eine Folge heißt beschränkt, wenn die Menge aller Folgenpunkte beschränkt ist (im Komplexen: die relle Menge {|z_{n}|; n ∈ ℕ} ist beschränkt). Es gilt: Jede beschränkte Folge in ℝ oder ℂ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Wir verzichten auf die strenge technische Durchführung des Beweises und geben nur die (sehr einfache) Idee an:

Beweisidee: Die Folge liege innerhalb eines Quadrates in der komplexen Ebene. Zerlege dieses Quadrat in 4 gleichgrosse Teilquadrate der halben Seitenlänge. Mindestens eines der Teilquadrate enthält unendliche viele der Folgenglieder. Wähle eines dieser Teilquadrate aus und zerlege es wiederum in 4 Teilquadrate usw. Die so konstruierte Folge von Quadraten schrumpft auf einen Punkt zusammen (dies ist der Häufungspunkt), in dessen Nähe nach Konstruktion unendlich viele der Folgenpunkte existieren.

Q.E.D.

Bemerkung 2.40: Nach Bemerkung 2.36 heißt dies:

Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.

2.3 Unendliches, uneigentliche Konvergenz

In diesem Abschnitt geht es um eine oft nützliche Schreibweise, die in der hier vorgestellten Form nur bei reellen Folgen sinnvoll ist. Die ”unendlichen Werte“ ±∞ sind keine reellen Zahlen, sondern dienen nur als nützliche Abkürzungen, um gewisse Situationen zu beschreiben. Wir lassen ±∞ als (”uneigentliche“) Grenzwerte reeller Folgen zu:

Definition 2.41: (±∞ als Grenzwert)

• Eine reelle Folge (x_{n}) ”konvergiert (uneigentlich) gegen ∞“, wenn die Folgenglieder jede beliebig vorgegebene Schranke c > 0 überschreiten: zu jedem reellen c existiert eine reelle Zahl N(c), so dass x_{n} ≥ c gilt für alle Indizes n ≥ N(c). Schreibweise:

lim_{n→∞} x_{n} = ∞ .

• Eine reelle Folge (x_{n}) ”konvergiert (uneigentlich) gegen −∞“, wenn die Folgenglieder jede beliebig vorgegebene Schranke c < 0 unterschreiten: zu jedem reellen c existiert eine reelle Zahl N(c), so dass x_{n} ≤ c gilt für alle Indizes n ≥ N(c). Schreibweise:

lim_{n→∞} x_{n} = −∞ .

Beispiel 2.42: Die Folgen x_{n} = n, x_{n} = n^{2}, x_{n} = \sqrt{n}, x_{n} = 2^{n} konvergieren gegen ∞. Die Folgen x_{n} = −n, x_{n} = −n^{2}, x_{n} = −\sqrt{n}, x_{n} = −(2^{n}) konvergieren gegen −∞.

Beispiel 2.43: Achtung: die Folgen x_{n} = (−1)^{n} · n (also (−1, 2, −3, 4, −5, …)) oder auch x_{n} = (−2)^{n} (also (−2, 4, −8, 16, −32, …)) konvergieren nicht gegen ∞ oder −∞, sie divergieren!

Man darf getrost mit ∞ und −∞ rechnen, wobei folgende Rechenregeln gelten: Rechenregeln für ±∞ 2.44:

Sei c eine reelle Zahl.

• c ± ∞ = ±∞,

• c · (±∞) = ±sign(c) · ∞ für c ≠ 0. Hierbei ist sign(c) das Vorzeichen von c.

• \frac{1}{±∞} = 0,

• ∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞,

• ∞ · ∞ = (−∞) · (−∞) = ∞, ∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞,

• ∞^{∞} = ∞, ∞^{−∞} = 0,

• c^{∞} = ∞ für c > 1, c^{∞} = 0 für 0 < c < 1,

• c^{−∞} = 0 für c > 1, c^{−∞} = ∞ für 0 < c < 1.

Beispiel 2.45: Die Folge x_{n} = n^{3} + n konvergiert gegen ∞:

lim_{n→∞}(n^{3} + n) = lim_{n→∞} n^{3} + lim_{n→∞} n = ∞ + ∞ = ∞ .

Aus dem obigen Ergebnis folgt sofort das nächste Ergebnis:

Beispiel 2.46: Die Folge x_{n} = \frac{1}{n^{3}+n} konvergiert gegen 0:

lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3} + n} = \frac{1}{lim_{n→∞}(n^{3} + n)} = \frac{1}{∞} = 0.

Beim Rechnen mit ±∞ muss man aber etwas Vorsicht walten lassen. Wenn man auf eine der folgenden Situationen stößt, darf man nicht weiterrechnen, sondern muss die betrachteten Grenzwerte anders ermitteln: Undefinierte Ergebnisse beim Rechnen mit ±∞ 2.47:

• 0 · (±∞) = ”undefiniert“,

• ∞ − ∞ = ”undefiniert“, −∞ + ∞ = ”undefiniert“,

• \frac{±∞}{±∞} = ”undefiniert“,

• c^{∞} = ”undefiniert“ für c ≤ 0 und c = 1,

• c^{−∞} = ”undefiniert“ für c ≤ 0 und c = 1,

• \frac{1}{0} = ”undefiniert“.

Beispiel 2.48: Betrachte die Folge x_{n} = n^{3} − n:

lim_{n→∞}(n^{3} − n) =^{(??)} lim_{n→∞} n^{3} − lim_{n→∞} n =^{(??)} ∞ − ∞ =^{(??)} ”undefiniert“.

Dies heißt nicht, dass kein Grenzwert existiert, sondern nur, dass wir den Grenzwert über die Rechenregeln mit ±∞ nicht berechnen können. Man muss in einem solchen Fall genauer untersuchen. Z.B funktioniert folgendes Argument:

lim_{n→∞}(n^{3} − n) = lim_{n→∞} n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{2}} ) = lim_{n→∞} n^{3} · lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{2}} )

= ∞ · (1 − \frac{1}{lim_{n→∞} n^{2}} ) = ∞ · (1 − \frac{1}{∞}) = ∞ · (1 − 0) = ∞ .

Ein weiteres solches Beispiel:

Beispiel 2.49: Betrachte die Folge x_{n} = \frac{2·n^{3}+n}{n^{4}+1}:

lim_{n→∞} \frac{2 · n^{3} + n}{n^{4} + 1} =^{(??)} \frac{lim_{n→∞}(2 · n^{3} + n)}{lim_{n→∞}(n^{4} + 1)} =^{(??)} \frac{∞}{∞} =^{(??)} ”undefiniert“.

Dies sagt wiederum gar nichts darüber aus, ob ein Grenzwert existiert oder nicht. In diesem Fall führt wieder ein wenig Manipulation zum Erfolg:

lim_{n→∞} \frac{2 · n^{3} + n}{n^{4} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (2 + \frac{1}{n^{2}} )}{n^{4} · (1 + \frac{1}{n^{4}} )} = lim_{n→∞} \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{n · (1 + \frac{1}{n^{4}} )}

= \frac{2 + \frac{1}{∞}}{∞ · (1 + \frac{1}{∞})} = \frac{2}{∞} = 0.