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Kapitel 11

Fourier-Entwicklungen

11.1 Hilbert-Raumstrukturen

11.1.1 Definitionen: Skalarprodukt und Norm

Gegeben sei eine 2·π-periodische Funktion f(x), d.h., es gelte f(x+2·π) = f(x) für alle x ∈ ℝ. Man kann sich solche Funktionen als über dem ”Grundintervall“ x ∈ [−π, π] definiert vorstellen, aber es ist für die Intuition meist nützlicher, sich solche Funktionen über ganz ℝ definiert mit der obigen Periodizität vorzustellen. Die einfachsten 2 · π-periodischen Funktionen sind

1, sin(x), cos(x), sin(2 · x), cos(2 · x), sin(3 · x), cos(3 · x) etc.

bzw. (mit der Euler-Identität e^{i·x} = cos(x) + i · sin(x)) die Funktionen

1, e^{i·x}, e^{−i·x}, e^{i·2·x}, e^{−i·2·x}, e^{i·3·x}, e^{−i·3·x} etc.

Die grundsätzliche Idee ist nun, eine beliebige 2 · π-periodische Funktion f(x) zu zerlegen in die obigen Basisfunktionen, d.h., zu versuchen, die Funktion als Linearkombination

f(x) = a_{0} + a_{1} · cos(x) + a_{2} · cos(2 · x) + …
+b_{1} · sin(x) + b_{2} · sin(2 · x) + …

bzw.

f(x) = c_{0} + c_{1} · e^{i·x} + c_{−1} · e^{−i·x} + c_{2} · e^{i·2·x} + c_{−2} · e^{−i·2·x} + …

mit geeigneten Koeffizienten a_{i}, b_{i}, c_{i} zu schreiben. In der Tat kann man dies für nicht allzu wilde Funktionen immer machen. Eine dabei besonders angenehme Klasse sind die ”quadratintegrablen“ Funktionen:

Definition 11.1:

Zu einem Intervall [a, b] ⊂ ℝ wird der ”Hilbert–Raum der quadratintegrablen Funktionen”

L_{2}([a, b]) = {f : [a, b] → ℂ; ∫_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx < ∞}

mit dem ”Skalarprodukt“

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} \overline{f(x)} · g(x) dx

definiert. Wir betrachten im Folgenden speziell [a, b] = [−π, π] und bezeichnen den Hilbert-Raum L_{2}([−π, π]) kurz als L_{2}.

Dieses Skalarprodukt hat offensichtlich folgende Eigenschaften:

Eigenschaften 11.2:

Für die Abbildung ⟨., .⟩ : L_{2} × L_{2} → ℂ gilt:

a) Linearität:

⟨f, α · g_{1} + β · g_{2}⟩ = α · ⟨f, g_{1}⟩ + β · ⟨f, g_{2}⟩

für alle f, g_{1}, g_{2} ∈ L_{2}, α, β ∈ ℂ.

b) ⟨f, g⟩ = \overline{⟨g, f⟩} (komplexe Konjugation) für alle f, g ∈ L_{2}.

c) ⟨f, f⟩ ≥ 0 für alle f ∈ L_{2}. (Beachte: b) impliziert ⟨f, f⟩ ∈ ℝ.)

d) ⟨f, f⟩ = 0 ⇔ f = 0.

Hierbei muss man bei d) etwas aufpassen: Das Integral ⟨f, f⟩ = ∫_{−π}^{π} |f(x)|^{2} dx merkt nichts davon, wenn man Funktionen an einzelnen Stellen umdefiniert. Wir identifizieren daher einfach Funktionen, die bei Integration das selbe Verhalten zeigen, d.h., zwei Funktionen f_{1}, f_{2} werden als die selben Elemente des L_{2} angesehen, wenn

∫_{−π}^{π} | f_{1}(x) − f_{2}(x) |^{2} dx = 0

gilt. Damit ist dann d) trivialerweise per Definition erfüllt, da man z.B. die Funktionen f(x), die überall bis auf endlich viele Stellen x_{0}, x_{1} etc. verschwinden, als Nullfunktion ansieht.

Bemerkung 11.3: Nach b) ergibt das Vertauschen der Einträge im Skalarprodukt den komplex konjugierten Wert. Nach a) kann man einen skalaren Faktor aus dem rechten Eintrag des Skalarprodukts herausziehen. Achtung: Beim Herausziehen eines skalaren Faktors aus der linken Seite taucht dieser wegen b) komplex konjugiert vor dem Skalarprodukt auf:

⟨α · f, g⟩ = \overline{⟨g, α · f⟩} = \overline{α · ⟨g, f⟩} = \overline{α} · \overline{⟨g, f⟩} = \overline{α} · ⟨f, g⟩.

Analog ergibt sich die Linearität bezüglich des linken Eintrags im Skalarprodukt in der folgenden Form:

⟨α · f_{1} + β · f_{2}, g⟩ = \overline{α} · ⟨f_{1}, g⟩ + \overline{β} · ⟨f_{2}, g⟩.

Das Konzept eines Skalarproduktes ist auf endlich-dimensionalen Räumen (dem ℝ^{n} bzw. ℂ^{n}) aus der Schule bereits wohlbekannt. Es geht aber auch auf unendlich dimensionale Räume (Funktionenräume) über, wobei die Summen des Euklidischen Skalarprodukts zu Integralen werden. Einem Skalarprodukt ist stets ein Längen- und damit ein Abstandsbegriff zugeordnet (eine ”Norm”). Wir verwenden hier schon den Begriff ”Vektorraum“, der erst in Definition 12.1 axiomatisch eingeführt werden wird. An dieser Stelle sei er einfach nur als ”Menge von Objekten, die man addieren und mit skalaren Faktoren multiplizieren kann“ zu lesen:

Definition und Satz 11.4:

Sei L ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ⟨., .⟩. Dann ist ∥f∥_{2} := \sqrt{⟨f, f⟩} eine ”Norm” auf L, d.h., die Abbildung ∥ . ∥_{2} : L → [0, ∞) erfüllt:

a) ∥f +g∥_{2} ≤ ∥f∥_{2} +∥g∥_{2} für alle f, g ∈ L (”Dreiecksungleichung”).

b) ∥α · f∥_{2} = |α| · ∥f∥_{2} für alle f ∈ L, α ∈ ℂ (”Homogenität”).

c) ∥f∥_{2} = 0 ⇔ f = 0.

Die dem Skalarprodukt ⟨f, g⟩ = ∫_{−π}^{π} \overline{f(x)} · g(x) dx entstammende Norm auf L_{2} wird als ”L_{2}-Norm” bezeichnet.

Beweis: Die Eigenschaften a) – c) folgen unmittelbar aus den geforderten Eigenschaften a) – d) der Definition 11.2. Die Dreiecksungleichung a) ergibt sich folgendermaßen:

∥f + g∥_{2}^{2} = ⟨f + g, f + g⟩ = ⟨f, f⟩ + ⟨f, g⟩ + ⟨g, f⟩ + ⟨g, g⟩
= ∥f∥_{2}^{2} + ⟨f, g⟩ + \overline{⟨f, g⟩} + ∥g∥_{2}^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2} + 2 · |⟨f, g⟩∥ + ∥g∥_{2}^{2}.

Mit einer Anleihe beim nächsten Satz (der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung |⟨f, g⟩| ≤ ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2}) folgt

∥f + g∥_{2}^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2} + 2 · ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2} + ∥g∥_{2}^{2} = (∥f∥_{2} + ∥g∥_{2})^{2}.

b) ergibt sich durch ∥α · f∥_{2}^{2} = ⟨α · f, α · f⟩ = α · \underline{α} · ⟨f, f⟩ = |α|^{2} · ∥f∥_{2}^{2}.

c) ist nichts anderes als Definition 11.2.d).

Q.E.D.

Die folgende Aussage ist eher technischer Natur (ein nützliches Hilfsmittel in Beweisen):

Satz 11.5: (Die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung)

Für alle f, g ∈ L gilt |⟨f, g⟩|^{2} ≤ ⟨f, f⟩ · ⟨g, g⟩, d.h., |⟨f, g⟩| ≤ ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2}. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn f und g bis auf eine multiplikative Konstante übereinstimmen.

Beweis: Übungsaufgabe.

Bemerkung 11.6: Mit der Norm hat man einen Abstandsbegriff: Als Abstand zweier Elemente f, g ∈ L betrachtet man ∥f −g∥_{2}. Mit 11.4.d) haben 2 Elemente genau dann den Abstand 0, wenn sie übereinstimmen.

Definition 11.7: (Konvergenz)

Eine Folge (f_{n}) von Elementen in L heißt ”konvergent” gegen den ”Grenzwert” f^{∗} ∈ L, wenn die Abstände zum Grenzwert gegen 0 konvergieren:

lim_{n→∞} ∥f_{n} − f^{∗}∥_{2} = 0.

Es wird die Notation lim_{n→∞} f_{n} = f^{∗} benutzt.

Man nennt auf dem Hilbert-Raum L = L_{2} die Konvergenz bezüglich der L_{2}–Norm auch ”Konvergenz im quadratischen Mittel”.

Beispiel 11.8: Betrachte L = {f : [−1, 1] → ℝ; f stetig} mit der L_{2}–Norm ∥f∥_{2} = ∫_{−1}^{1} |f(x)|^{2} dx. Betrachte die folgenden Funktionen, die im Bereich [0, 1/n] linear von 0 bis 1 wachsen:

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}0 & für − 1 ≤ x ≤ 0, \\ n · x & für 0 ≤ x ≤ \frac{1}{n}, \\ 1 & für \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1. \end{matrix}

Bei vorgegebenem x konvergieren diese Werte offensichtlich punktweise gegen

f^{∗}(x) = \{ \begin{matrix}0 & für − 1 ≤ x ≤ 0, \\ 1 & für 0 < x ≤ 1. \end{matrix}

Mit

∥f_{n} − f^{∗}∥_{2} = ∫_{−1}^{1}(f_{n}(x) − f^{∗}(x))^{2} dx = ∫_{0}^{1/n}(f_{n}(x) − f^{∗}(x))^{2} dx

= ∫_{0}^{1/n}(n · x − 1)^{2} dx = \frac{1}{3 · n}

konvergiert die Funktionenfolge f_{n} auch bezüglich der L_{2}–Norm gegen f^{∗}. Aber (Problem!): f^{∗} ist nicht stetig, also f^{∗} ∉ L.

Das Problem, dass die Grenzfunktion einer Folge stetiger Funktionen nicht mehr stetig zu sein braucht, soll nun etwas erläutert werden. Dazu zunächst eine mehr mathematisch–technische Definition (die in späteren Anwendungen dann nicht mehr so interessant sein wird):

Definition 11.9: (Vollständigkeit)

Eine Folge (f_{n}) heißt ”Cauchy–Folge” bezüglich einer Norm ∥ . ∥, wenn zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ) existiert, sodass ∥f_{n} − f_{m}∥ < ϵ gilt für alle n, m ≥ N(ϵ). Ein Raum mit einer Norm heißt ”vollständig”, wenn jede Cauchy–Folge in diesem Raum einen Grenzwert besitzt, der wieder in diesem Raum liegt.

Definition 11.10: (Hilberträume)

Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ⟨ . ⟩ heißt ”Hilbert–Raum”, wenn er bezüglich der vom Skalarprodukt stammenden Norm ∥f∥_{2} = \sqrt{⟨f, f⟩} vollständig ist.

Bemerkung 11.11: Beispiel 11.8 zeigt, dass der Raum der \underline{stetigen} Funktionen bezüglich der L_{2}–Norm \underline{nicht vollständig} ist. (Die Funktionenfolge f_{n} in diesem Beispiel ist eine Cauchy–Folge. Der Grenzwert f^{∗} (es kann nur einen geben) ist aber unstetig.) Es ist daher im Folgenden nicht sinnvoll, den Raum der stetigen Funktionen weiter zu betrachten. Stattdessen sucht man nach dem kleinsten bzgl. der L_{2}–Norm vollständigen Raum, der die stetigen Funktionen umfasst. Dieser stellt sich als der Raum der quadratintegrablen Funktionen L_{2} heraus (Definition und Satz11.1).

b) Damit die oben definierten L_{2}–Räume wirklich vollständig sind, muss man statt des Riemann–Integrals einen verallgemeinerten Integralbegriff benutzen: das sogenannte Lebesgue–Integral. Außer für sehr pathologische (irreguläre) Funktionen stimmt das Lebesgue–Integral aber mit dem Riemann–Integral überein. Wir werden uns daher mit diesen sehr mathematisch–technischen Details nicht abmühen. Einen exakten Beweis für die Vollständigkeit des L_{2}–Raums können wir folglich hier nicht führen.

c) Zu jeder L_{2}–Funktion f gibt es zu jedem ϵ > 0 eine stetige Funktion g, die f approximiert: ∥f − g∥_{2} < ϵ. Das liefert eine einfache Beweistechnik im L_{2}: zeige die behauptete Aussage zunächst nur für stetige Funktionen. Betrachte dann eine konvergente Folge stetiger Funktionen und zeige, dass die Aussage auf den (eventuell unstetigen) Grenzwert in L_{2} übergeht.

d) Für endliche Intervalle [a, b] liegen alle auf [a, b] stetigen Funktionen in L_{2}([a, b]). Unstetige Funktionen mit Sprungstellen können ebenfalls integriert werden und liegen im L_{2}–Raum. Sogar Funktionen mit (milden) Singularitäten sind quadratintegrabel, z.B.:

f(x) = x^{− \frac{1}{3}} ∈ L_{2}, denn ∫_{−π}^{π}(x^{−1/3})^{2} dx = 3 · π^{2/3} < ∞.

e) Für quadratintegrable Funktionen existiert das Skalarprodukt selbst dann, wenn die Funktionen singulär sind. Dies liegt an der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung 11.5. Diese Ungleichung garantiert weiterhin, dass die Summe zweier L_{2}-Funktionen wieder eine L_{2}-Funktion ist (d.h., L_{2} ist in der Tat ein Vektorraum).

f) Die folgende Theorie von (verallgemeinerten) Fourier–Reihen gilt für beliebige L_{2}–Funktionen, also auch für unstetige und sogar (mild-)singuläre Funktionen. Gerade diese Allgemeinheit macht die Fourier–Analyse für Anwendungen interessant.

11.1.2 Bestapproximation und Konvergenz

Wie aus der Schule bekannt, ist im ℝ^{n} mit dem Euklidischen Skalarprodukt (den wir nun als Hilbert–Raum ansehen) die Orthogonalität zweier Vektoren dadurch charakterisiert, dass das Skalarprodukt verschwindet. Wir benutzen die selbe Notation für allgemeine Hilbert–Räume.

Definition 11.12: (Orthogonalität)

Zwei Elemente f, g eines Hilbert–Raums mit ⟨f, g⟩ = 0 heissen ”orthogonal”. Eine Familie {f_{n}} von Hilbert–Raumelementen nennt man ein ”orthogonales System”, wenn alle Paare f_{n}, f_{m} mit m ≠ n orthogonal sind. Gilt zusätzlich ⟨f_{n}, f_{n}⟩ = 1, so heißt das System ”orthonormal”.

Beispiel 11.13: Hier ist das entscheidende Beispiel, das uns im Folgenden am meisten interessieren wird:

Die Familie der komplexen Exponentialfunktionen \{e^{i·n·x}\}, i = \sqrt{−1}, n ∈ ℤ ist ein Orthogonalsystem auf L_{2}([−π, π]).

Dies ist leicht nachgerechnet. Für n ≠ m gilt:

⟨e^{i·m·x}, e^{i·n·x}⟩ = ∫_{−π}^{π} \overline{e^{i·m·x}} · e^{i·n·x} dx = ∫_{−π}^{π} e^{−i·m·x} · e^{i·n·x} dx

= ∫_{−π}^{π} e^{i·(n−m)·x} dx = [\frac{e^{i·(n−m)·x}}{i · (n − m)}]_{x=−π}^{x=π} = \frac{(−1)^{n−m} − (−1)^{n−m}}{i · (n − m)} = 0.

Für m = n:

⟨e^{i·n·x}, e^{i·n·x}⟩ = ∫_{−π}^{π} e^{−i·n·x} · e^{i·n·x} dx = ∫_{−π}^{π} 1 dx = 2 · π.

Mit der Euler–Identität

e^{i·n·x} = cos(n · x) + i · sin(n · x)

bzw.

cos(n · x) = \frac{e^{i·n·x} + e^{−i·n·x}}{2} , sin(n · x) = \frac{e^{i·n·x} − e^{−i·n·x}}{2 · i}

ergibt sich für die Familie reeller Funktionen {1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … }:

⟨cos(m · x), cos(n · x)⟩ = 0, m ≠ n,
⟨sin(m · x), sin(n · x)⟩ = 0, m ≠ n,
⟨cos(m · x), sin(n · x)⟩ = 0 (auch für m = n).

Die konstante Funktion 1 ist dabei cos(m · x) mit m = 0. Für m = n gilt:

⟨1, 1⟩  = 2 · π,
⟨cos(n · x), cos(n · x)⟩ = π  (n > 0),
⟨sin(n · x), sin(n · x)⟩ = π  (n > 0).

Die trigonometrischen Funktionen {1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … } bilden ein Orthogonalsystem auf L_{2}([−π, π]).

Will man Entwicklungen nach ”einfachen Basisfunktionen” f_{0}, f_{1}, … vornehmen, so ist es technisch sehr vorteilhaft, wenn diese ein Orthogonalsystem bilden. Ist dies nicht der Fall, so kann die Folge f_{0}, f_{1}, … mit einem sehr einfachen Algorithmus durch Linearkombinationen in ein Orthogonalsystem verwandelt werden (”Gram-Schmidt-Orthogonalisierung“, siehe Übungen).

Bemerkung 11.14: Aus einem Orthogonalsystem {f_{0}, f_{1}, … } kann man sofort ein Orthonormalsystem {f̃_{0}, f̃_{1}, … } machen, indem man f̃_{n} = f_{n}/∥f_{n}∥_{2} setzt.

Wir betrachten ein Orthogonalsystem {f_{0}, f_{1}, … } und versuchen zunächst, ein Hilbert–Raumelement f durch eine endliche Linearkombination

f ≈ ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k}

zu approximieren. Welche Koeffizienten c_{k} sollte man wählen, damit der Abstand zwischen f und der Summe im L_{2}–Sinne möglichst klein wird? Als Vorüberlegung betrachten wir zunächst, wie man für ein exakt darstellbares f die Entwicklungskoeffizienten c_{k} aus f ermittelt:

f = ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k} ⇒ ⟨f_{m}, f⟩ = ⟨f_{m}, ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k}⟩ = ∑_{k=0}^{n} c_{k} · ⟨f_{m}, f_{k}⟩.

Wegen der Orthogonalität verbleibt für m ∈ {0, …, n} von der Summe nur der Term mit k = m:

⟨f_{m}, f⟩ = c_{m} · ⟨f_{m}, f_{m}⟩, also c_{m} = \frac{⟨f_{m}, f⟩}{⟨f_{m}, f_{m}⟩}.

Definition 11.15: (Verallgemeinerte Fourier–Koeffizienten)

Für eine L_{2}–Funktion f heißen

c_{k} = \frac{⟨f_{k}, f⟩}{⟨f_{k}, f_{k}⟩}, k = 0, 1, 2, …

die (verallgemeinerten) ”Fourier–Koeffizienten bezüglich des Orthogonalsystems {f_{0}, f_{1}, … }”. Die Linearkombination

S_{n} = ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k}

heißt (verallgemeinerte) ”Fourier–Approximation von f bezüglich des Orthogonalsystems”.

Das folgende elementare Ergebnis zeigt, dass diese Fourier–Koeffizienten in der Tat die beste Koeffizientenwahl darstellen, um den Abstand zwischen f und einer Linearkombination ∑_{k} α_{k} · f_{k} im L_{2}–Sinne möglichst klein zu machen:

Lemma 11.16: (Besselsche (Un-)Gleichung)

Sei {f_{0}, …, f_{n}} ein Orthogonalsystem.

a) Für jede Wahl von Koeffizienten α_{k} ∈ ℂ gilt die ”allgemeine Besselsche Gleichung”

∥f − ∑_{k=0}^{n} α_{k} · f_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥f_{k}∥_{2}^{2} + ∑_{k=0}^{n} |α_{k} − c_{k}|^{2} · ∥f_{k}∥_{2}^{2},

wo die c_{k} die Fourier–Koeffizienten aus Definition 11.15 sind.

b) Für die Wahl α_{k} = c_{k} folgt die ”spezielle Besselsche Gleichung”

∥f − ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥f_{k}∥_{2}^{2}.

c) Es folgt die ”Besselsche Ungleichung”

∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥f_{k}∥_{2}^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2}.

Beweis: Die allgemeine Besselsche Gleichung a) wird als Übungsaufgabe nachgerechnet. Hieraus folgen sofort b) und c).

Q.E.D.

Interpretation 11.17:

Die allgemeine Besselsche Gleichung liefert sofort, dass der Abstand

∥f − ∑_{k=0}^{n} α_{k} · f_{k}∥_{2}

durch die Wahl der Koeffizienten α_{k} = c_{k} minimiert wird. Die Fourier– Approximation von f wird daher als ”Bestapproximation von f im quadratischen Mittel” bezüglich des Orthogonalsystems bezeichnet. Der Abstand zwischen f und dieser Bestapproximation (der ”Approximationsfehler”) ist durch

∥f − ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥f_{k}∥_{2}^{2}

gegeben. Eine Besonderheit dieser L_{2}–Bestapproximation ist, dass die Entwicklungskoeffizienten c_{k} nicht von der Anzahl n der benutzten Entwicklungselmente f_{0}, …, f_{n} abhängen! Man kann den Approximationsfehler kleiner und kleiner machen, indem man einfach immer mehr Elemente im Orthogonalsystem hinzunimmt (also n anwachsen läßt), ohne dass man die Koeffizienten anpassen muss!

Nun geht es um die Frage, was passiert, wenn man den Grenzwert n → ∞ betrachtet. Konvergiert die Fourier–Approximation (im L_{2}–Sinne) gegen f? Dies kann nicht allgemein beantwortet werden, sondern hängt vom betrachteten Orthogonalsystem {f_{0}, f_{1}, … } ab:

Definition 11.18: (Vollständige Orthonormalsysteme)

Ein Orthogonalsystem {f_{0}, f_{1}, … } heißt ”vollständig”, wenn für jedes f im Hilbert–Raum die Fourier–Approximation im L_{2}–Sinne gegen f konvergiert:

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k} = f,

d.h.,

lim_{n→∞} ∥f − ∑_{k=0}^{n} c_{k} · f_{k}∥_{2}^{2} = 0.

Mit der Besselschen Gleichung ergibt sich sofort die folgende Charakterisierung vollständiger Orthogonalsysteme, die mathematisch aber recht trivial ist und keinerlei effektives Hilfsmittel liefert, die Vollständigkeit eines Orthogonalsystems zu überprüfen:

Satz 11.19: (Parsevalsche Gleichung)

Ein Orthogonalsystem {f_{0}, f_{1}, … } ist genau dann vollständig, wenn für jedes Hilbert–Raumelement f die folgende ”Parsevalsche Gleichung” gilt:

∑_{k=0}^{∞} |c_{k}| · ∥f_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2}.

Beweis: Die Gleichung folgt sofort aus Lemma 11.16.b).

Q.E.D.

Das einzig für uns Interessante an dieser Aussage ist die folgende Interpretation:

Physikalische Interpration 11.20:

In vielen physikalischen Anwendungen stellt das ”Signal” f ein Feld (Strom, Spannung, elektrisches oder magnetisches Feld) dar, dessen Quadrat als eine physikalische Leistung oder als lokale Energiedichte zu interpretieren ist. Das die L_{2}–Norm definierende Integral hat dann die Interpretation einer Energie, genauer, einer über eine Periode des Signals ”gemittelten Energie”.

Bei einer Fourier–Entwicklung f = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} · f_{k} sprechen Physiker auch von einer ”Zerlegung des Signals” in die ”Fourier–Moden” f_{k}.

Die Parsevalsche Gleichung besagt, dass sich die Energie des Signals vollständig auf die Fourier–Moden verteilen muss. Ist dies nicht der Fall (d.h., ist das Orthogonalsystem nicht vollständig), so muss es weitere Anteile des Signals geben, die durch die Fourier–Moden nicht erfasst werden.

11.2 Trigonometrische Fourier–Reihen

14.1.04↓

Die allgemeinen Hilbert–Raumstrukturen der Fourier–Reihen wurde im letzten Abschnitt in etwas abstrakter Art und Weise zusammengetragen. Nun wird es endlich konkret. Wir betrachten das in Beispiel 11.13 diskutierte spezielle Orthogonalsystem

\{e^{i·k·x}\}_{k∈ℤ} (i = \sqrt{−1})

auf dem Hilbert–Raum L_{2} = L_{2}([−π, π]). Ziel ist es, eine auf dem Intervall [−π, π] gegebene Funktion nach dem obigen Orthogonalsystem zu zerlegen und zu studieren, ob und wie die Fourier–Approximationen gegen die Funktion konvergieren. Rechentechnisch ist es meist einfacher, die komplexen Exponentialfunktionen zu verwenden. Äquivalenterweise kann man die trigonometrischen Funktionen

{1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … }

betrachten, die für reelle Funktionen zu reellen Formeln führen und daher im Anwendungskontext oft physikalisch direkter zu interpretieren sind.

11.2.1 Definition der trigonometrischen Fourier–Reihen

Wir fassen zunächst die Ergebnisse von Beispiel 11.13 zusammen. Der Unterschied zwischen der ”komplexen” und der ”reellen” Darstellung besteht lediglich darin, dass statt des komplexen Pärchens (e^{i·k·x}, e^{−i·k·x}) in der reellen Darstellung das Pärchen (cos(k · x), sin(k · x)) benutzt wird, das mit der Euler–Formel

e^{i·k·x} = cos(k · x) + i · sin(k · x)

bzw.

cos(k · x) = \frac{e^{i·k·x} + e^{−i·k·x}}{2} , sin(k · x) = \frac{e^{i·k·x} − e^{−i·k·x}}{2 · i}

dem komplexen Pärchen äquivalent ist:

Definition 11.21: (Die trigonometrische Fourier–Entwicklung)

Zu einer Funktion f ∈ L_{2}([−π, π]) definiere die ”Fourier–Koeffizienten”

c_{k} = \frac{⟨e^{i·k·x}, f⟩}{⟨e^{i·k·x}, e^{i·k·x}⟩} = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx

mit k = 0, ±1, ±2, …. Alternativ definiere

a_{k} = \frac{⟨cos(k · x), f⟩}{⟨cos(k · x), cos(k · x)⟩} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2 · π} & · & ∫_{−π}^{π} f(x) dx, k = 0, \\ \frac{1}{π} & · & ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx, k = 1, 2, … \end{matrix}

sowie

b_{k} = \frac{⟨sin(k · x), f⟩}{⟨sin(k · x), sin(k · x)⟩} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx, k = 1, 2, ….

Die entsprechenden ”Fourier–Approximationen” sind

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = a_{0} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} · cos(k · x) + b_{k} · sin(k · x))

mit n = 0, 1, 2, ….

Mit der Euler–Formel ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungen:

∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = c_{0} + ∑_{k=1}^{n} (c_{k} · e^{i·k·x} + c_{−k} · e^{−i·k·x})

= c_{0} + ∑_{k=1}^{n} (c_{k} · ( cos(k · x) + i · sin(k · x)) + c_{−k} · ( cos(k · x) − i · sin(k · x)))

= \underbrace{c_{0}}_{a_{0}} + ∑_{k=1}^{n} ( \underbrace{(c_{k} + c_{−k})}_{a_{k}} · cos(k · x) + \underbrace{i · (c_{k} − c_{−k})}_{b_{k}} · sin(k · x)).

Zusammenhang 11.22:

Der Zusammenhang zwischen den komplexen Fourier–Koeffizienten c_{k} und den reellen Koeffizienten a_{k}, b_{k} ist gegeben durch:

\begin{aligned}a_{k} & = & c_{k} + c_{−k} \\ b_{k} & = & i · (c_{k} − c_{−k}) \end{aligned}  \begin{aligned}c_{k} & = & \frac{1}{2} · (a_{k} − i · b_{k}) \\ c_{−k} & = & \frac{1}{2} · (a_{k} + i · b_{k}) \end{aligned}

mit k = 1, 2, … und zusätzlich a_{0} = c_{0} .

Bemerkung 11.23: Ist die Funktion f reell, so sind die Fourier–Koeffizienten a_{k}, b_{k} reell. In der komplexen Entwicklung entspricht dies der Bedingung

c_{−k} = \overline{c_{k}}, k = 0, 1, 2, ….

Bemerkung 11.24: Für die Definition der Fourier–Koeffizienten a_{k}, b_{k} bzw. c_{k} sind nur die Werte der Funktion f auf dem Intervall [−π, π] von Belang. Man sollte sich aber gleich angewöhnen, sich die Funktion f als 2 · π–periodisch auf ganz ℝ fortgesetzt vorzustellen, denn die Fourier–Approximationen

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = a_{0} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} · cos(k · x) + b_{k} · sin(k · x))

sind ja ebenfalls 2·π–periodisch. Das liefert gleich die richtige Sichtweise für die im Abschnitt 11.2.3 folgenden Betrachtungen zur punktweisen Konvergenz.

11.2. TRIGONOMETRISCHE FOURIER–REIHEN 203

Bemerkung 11.25: Ist die Funktion f gerade oder ungerade, so lassen sich die Integrale ∫_{−π}^{π}, die die Fourier–Koeffizienten bestimmen, vereinfachen. Die Teilintegrale ∫_{−π}^{0} stimmen (eventuell bis auf ein Vorzeichen) mit den Teilintegralen ∫_{0}^{π} überein und verdoppeln diesen Wert oder löschen ihn zu 0 aus: Für gerade Funktionen f (also f(x) = f(−x)) gilt

a_{0} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} f(x) dx, a_{k} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} f(x) · cos(k · x) dx, b_{k} = 0

mit k = 1, 2, …. Für ungerade Funktionen f (also f(x) = −f(−x)) gilt

a_{0} = 0, a_{k} = 0, b_{k} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} f(x) · sin(k · x) dx

mit k = 1, 2, ….

Beispiel 11.26: Einige Beispiele von Fourier–Reihen:

a) Die (”Sägezahn”–)Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}−1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [−π, 0 ), \\ 1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [ 0, π] \end{matrix}

ist ungerade, also a_{k} = 0 ∀k = 0, 1, 2, . . ..

b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} (1 − \frac{x}{π} ) · sin(k · x) dx

= \frac{1}{k} − \frac{sin(k · π)}{π · k^{2}} = \frac{1}{k} ∀ k = 1, 2, …,

also

f(x) ∼ ∑_{k=1,2,...} \frac{sin(k · x)}{k}.

b) Die Funktion f(x) = |x| ist gerade, also b_{k} = 0 ∀k = 1, 2, . . ..

a_{0} = \frac{1}{2 · π} ∫_{−π}^{π} f(x) dx = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} x dx = \frac{π}{2} ,

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} x · cos(k · x) dx

= \frac{2}{π} · [\frac{cos(k · x)}{k^{2}} + \frac{x · sin(k · x)}{k}]_{x=0}^{x=π} = \frac{2}{π} · \frac{(−1)^{k} − 1}{k^{2}} = \{ \begin{matrix}−\frac{4}{π · k^{2}} , & k = 1, 3, 5, …, \\ 0, & k = 2, 4, 6, …, \end{matrix}

also

|x| ∼ \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{k=1,3,5,...} \frac{cos(k · x)}{k^{2}}.

11.2.2 Konvergenz im quadratischen Mittel

Satz 11.27: (Die trigonometrischen Funktionen sind vollständig)

Die trigonometrischen Funktionen {e^{i·k·x}}_{k∈ℤ} bzw.

{1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … }

bilden ein \underline{vollständiges} Orthogonalsystem in L_{2}([−π, π]) im Sinne von Definition 11.18. Also: für jedes f ∈ L_{2}([−π, π]) gilt im L_{2}–Sinne

f = lim_{n→∞} S_{n},

wo S_{n} die endlichen Fourier–Approximationen

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = a_{0} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} · cos(k · x) + b_{k} · sin(k · x))

sind.

Wir haben hier nicht den technischen Apparat, einen sauberen Beweis zu führen, daher nur die grobe Beweisidee:

Beweisidee: Wir werden im Abschnitt 11.2.3 die punktweise Konvergenz von S_{n}(x) gegen f(x) betrachten und herausbekommen, dass

f(x) = lim_{n→∞} S_{n}(x)

an allen Stellen x ∈ [−π, π] gilt, wenn f nur genügend glatt ist (z.B. stetig und beidseitig differenzierbar, siehe Satz 11.34). Diese punktweise Konvergenz impliziert natürlich die L_{2}-Konvergenz von S_{n} gegen f. Die Funktionen in L_{2} lassen sich durch solche glatten Funktionen im L_{2}–Sinne beliebig genau approximieren, woraus (nach einigen technischen Abschätzungen) dann folgt, dass die L_{2}-Konvergenz für die glatten Funktionen auch auf die weniger glatten Funktionen in L_{2} übergeht.

Q.E.D.

11.2.3 Punktweise Konvergenz

Die Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen nach Satz 11.27 garantiert uns die Konvergenz der trigonometrischen Fourier–Reihen S_{n} gegen die Ausgangsfunktion f im L_{2}–Sinne. Intuitiv besagt dies, dass die Fourier– Approximationen S_{n}(x) für ”die meisten Punkte” x ∈ [−π, π] gegen den Wert f(x) konvergieren muss, es bleibt aber hinreichend viel Spielraum für Stellen x, 11.2. TRIGONOMETRISCHE FOURIER–REIHEN 205

an denen S_{n}(x) nicht gegen f(x) konvergiert. In diesem Abschnitt soll der Frage nach der punktweisen Konvergenz genauer nachgegangen werden: an welchen Punkten x kann garantiert werden, dass lim_{n→∞} S_{n}(x) = f(x) gilt? Zunächst eine allgemeine Aussage zur Konvergenz von Funktionenreihen:

Satz 11.28: (Weierstraßsches Majorantenkriterium)

Sei (f_{k}) eine Folge stetiger Funktionen über [a, b] ⊂ ℝ. Konvergiert die Reihe ∑_{k=0}^{∞} y_{k} mit y_{k} := sup{|f_{k}(x)|; x ∈ [a, b]}, so konvergiert

S_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} f_{k}(x)

für jedes x ∈ [a, b]. Die punktweise durch S^{∗}(x) = lim_{n→∞} S_{n}(x) definierte Grenzfunktion ist wiederum stetig.

Beweis: technisch.

Beispiel 11.29: Da ∑_{k} \frac{1}{k^{2}} konvergiert, erhalten wir sofort für das Beispiel 11.26.b), dass die Reihe

S^{∗}(x) = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{k=1,3,5,...} \frac{cos(k · x)}{k^{2}} =^{(k=2·m+1)} \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{m=0}^{∞} \frac{cos((2 · m + 1) · x)}{(2 · m + 1)^{2}}

für jedes x ∈ [π, π] konvergiert und dass die Grenzfunktion S^{∗}(x) stetig ist. Aus der punktweisen Konvergenz folgt auch die Konvergenz von S_{n} gegen S^{∗} im L_{2}–Sinne, denn

lim_{n→∞} ∥S_{n} − S^{∗}∥_{2} = lim_{n→∞} ∫_{π}^{π}(S_{n}(x) − S^{∗}(x))^{2} dx

=^{(∗)} ∫_{−π}^{π} lim_{n→∞}(S_{n}(x) − S^{∗}(x))^{2} dx = ∫_{π}^{π} 0 dx = 0.

(Mathematisch ist der Schritt (∗) (Vertauschen von Limes und Integral) alles andere als trivial. Hier müssten wir den Begriff der ”gleichmäßigen Konvergenz” einführen. Als Physiker machen wir das einfach skrupellos.) Dem Vollständigkeitssatz 11.27 nach konvergiert S_{n} im L_{2}–Sinne gegen die Ausgangsfunktion f(x) = |x|, welche die Fourier–Entwicklung

\frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{k=1,3,5,...} \frac{cos(k · x)}{k^{2}}

erzeugte. Andererseits ist auch S^{∗} der Grenzwert von S_{n} im L_{2}–Sinne. Da Grenzwerte eindeutig sind, folgt f = S^{∗} im L_{2}–Sinne (d.h., ”fast überall”)^{1}. Da weiterhin sowohl f als auch S^{∗} stetige Funktionen sind, bedeutet ”f = S^{∗} im L_{2}–Sinne”, dass auch punktweise f(x) = S^{∗}(x) für alle x ∈ [−π, π] gelten muss, also

1Der Begriff ”fast überall“ sollte hier intuitiv als ”überall bis auf endliche viele Ausnahmestellen“ verstanden werden. Es gibt eine exakte maßtheoretische Definition dieses Begriffes, der jedoch recht technischer Natur ist und hier nicht weiter vorgestellt werden soll.

|x| = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{m=0}^{∞} \frac{cos((2 · m + 1) · x)}{(2 · m + 1)^{2}} für alle x ∈ [−π, π].

Wir haben damit ein erstes Beispiel, in dem die (unendliche) Fourier–Reihe punktweise die Ausgangsfunktion darstellt.

Zunächst technisches Vorgeplänkel:

Definition 11.30: (Die integrablen Funktionen)

Die Funktionen des Raums

L_{1}([a, b]) = {f : [a, b] → ℂ; ∫_{a}^{b} |f(x)| dx < ∞}

nennt man die ”über [a, b] integrablen Funktionen”. Die trigonometrischen Fourier–Koeffizienten

c_{k} = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx

existieren wegen

|∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx| ≤ ∫_{−π}^{π} |f(x) · e^{−i·k·x}| dx = ∫_{−π}^{π} |f(x)| dx < ∞

für jedes f ∈ L_{1}([−π, π]).

Bemerkung 11.31: Der Raum L_{2}([a, b]) der quadratintegrablen Funktionen 11.1 ist ein Unterraum von L_{1}([a, b]), wenn [a, b] ein \underline{endliches} Intervall ist. Dies liegt an der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung 11.5. Für endliche Intervalle liegt nämlich

g(x) = \{ \begin{matrix}\frac{f(x)}{|f(x)|} & für f(x) ≠ 0, \\ 1 & für f(x) = 0 \end{matrix}

in L_{2}([a, b]), da |g(x)| ≡ 1 gilt:

∥g∥_{2} = \sqrt{∫_{a}^{b} |g(x)|^{2} dx} = \sqrt{b − a} .

Per Cauchy–Schwarz folgt mit \overline{f(x)} · g(x) = \overline{f(x)} · f(x)/|f(x)| = |f(x)|:

∫_{a}^{b} |f(x)| dx = ∫_{a}^{b} \overline{f(x)} · g(x) dx = ⟨f, g⟩ ≤ ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2} = \sqrt{b − a} · ∥f∥_{2} < ∞.

Lemma 11.32: (Riemann–Lebesgue–Lemma)

Die Fourier–Koeffizienten jeder integrablen Funktion f ∈ L_{1}([−π, π]) bilden eine Nullfolge:

lim_{k→∞} ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = lim_{k→∞} ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = 0.

Beweisskizze (technisch): Wir stellen uns f als 2·π–periodisch fortgesetzt vor. Für 2 · π–periodische Funktionen g(x) gilt

∫_{−π+α}^{π+α} g(x) dx = ∫_{−π}^{π} g(x) dx

für jedes α ∈ ℝ. Mit der Substitution x = y − π/k folgt:

c_{k} = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π+ \frac{π}{k}}^{π+ \frac{π}{k}} f(y − \frac{π}{k} ) · e^{−i·k·(y− \frac{π}{k})} dy

= \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(y − \frac{π}{k} ) · e^{−i·k·y} · \underbrace{e^{i·k· \frac{π}{k}}}_{−1} dy = −\frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(y − \frac{π}{k} ) · e^{−i·k·y} dy.

Es folgt

c_{k} = \frac{1}{2} · (c_{k} + c_{k}) = \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} (f(x) − f(x − \frac{π}{k} )) · e^{−i·k·x} dx,

also

|c_{k}| ≤ \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − f(x − \frac{π}{k} )| dx. (#)

Für stetiges f ist nun alles klar:

lim_{k→∞} |c_{k}| ≤ lim_{k→∞} \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − f(x − \frac{π}{k} )| dx

=^{(∗)} ∫_{−π}^{π} lim_{k→∞} |f(x) − f(x − \frac{π}{k} )| dx = 0.

(Für einen mathematisch sauberen Beweis ist die Vertauschung von Limes und Integral im Schritt (∗) natürlich genauer zu untersuchen.) Für eine unstetige integrable Funktion benutzt man, dass man integrable Funktionen beliebig genau durch eine stetige Funktion approximieren kann, d.h., zu jedem ϵ > 0 existiert eine stetige Funktion s(x) mit

∫_{−π}^{π} |f(x) − s(x)| dx < ϵ.

Mit (#) folgt

|c_{k}| ≤ \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) \underbrace{−s(x) + s(x)}_{0} \underbrace{−s(x − \frac{π}{k} ) + s(x − \frac{π}{k} )}_{0} −f(x − \frac{π}{k} )| dx

≤ \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − s(x)| dx + \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |s(x) − s(x − \frac{π}{k} )| dx

+\frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |s(x − \frac{π}{k} ) − f(x − \frac{π}{k} )| dx

=^{(∗∗)} \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − s(x)| dx + \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |s(x) − s(x − \frac{π}{k} )| dx
≤ ϵ + Nullfolge_{k}.

(Zu Schritt (∗∗): das dritte Integral stimmt mit dem ersten überein, da der Integrand 2 · π–peridoisch ist). Zu jedem ϵ kann man damit für alle hinreichend großen k garantieren, dass |c_{k}| ≤ ϵ + ϵ gilt. Damit ist |c_{k}| eine Nullfolge.

Q.E.D.

Um die punktweise Konvergenz genauer zu untersuchen, brauchen wir zunächst ein starkes technisches Hilfsmittel. Die endlichen Fourier–Reihen stellen sich als die Wirkung eines Integraloperators auf die Ausgangsfunktion dar:

Satz 11.33: (Integraldarstellung per Dirichlet–Kern)

Interpretiere eine auf dem Intervall [−π, π] gegebene Funktion f ∈ L_{1}([−π, π]) als 2·π–periodisch auf ℝ fortgesetzt (also f(x+2·π) = f(x)). Für die Fourier–Approximation von f gilt

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = ∫_{−π}^{π} D_{n}(x − t) · f(t) dt = ∫_{−π}^{π} D_{n}(t) · f(x + t) dt

= ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · (f(x + t) + f(x − t)) dt

mit dem sogenannten ”Dirichlet–Kern”

D_{n}(y) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2 · π} \frac{sin((n + \frac{1}{2}) · y)}{sin(\frac{y}{2})} & für y ≠ 0 \\ \frac{n + \frac{1}{2}}{π} & für y = 0. \end{matrix}

Es gilt ∫_{−π}^{π} D_{n}(y) dy = 1. Hier eine Graphik von D_{n} mit n = 2 und n = 8:

11.2. TRIGONOMETRISCHE FOURIER–REIHEN 209 Beweis:

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = ∑_{k=−n}^{n} \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(t) · e^{−i·k·t} dt · e^{i·k·x}

= ∫_{−π}^{π} f(t) · \underbrace{\frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} e^{i·k·(x−t)}}_{D_{n}(x−t)} dt.

Es gilt

D_{n}(y) = \frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} e^{i·k·y} = \frac{1}{2 · π} · ( ∑_{k=0}^{n} e^{i·k·y} + ∑_{k=0}^{n} e^{−i·k·y} − 1)

= \frac{1}{2 · π} · ( ∑_{k=0}^{n}(e^{i·y})^{k} + ∑_{k=0}^{n}(e^{−i·y})^{k} − 1).

Mit der Summenformel ∑_{k=0}^{n} x^{k} = \frac{x^{n+1} − 1}{x − 1} für geometrische Reihen erhält man:

D_{n}(y) = \frac{1}{2 · π} · (\frac{e^{i·(n+1)·y} − 1}{e^{i·y} − 1} + \frac{e^{−i·(n+1)·y} − 1}{e^{−i·y} − 1} − 1)

= \frac{1}{2 · π} · \frac{2 · cos(n · y) − 2 · cos((n + 1) · y)}{2 − 2 · cos(y)}

=^{(∗)} \frac{1}{2 · π} · \frac{4 · sin((n + \frac{1}{2}) · y) · sin(\frac{1}{2} · y)}{4 · sin^{2}(\frac{y}{2})} = \frac{1}{2 · π} · \frac{sin((n + \frac{1}{2}) · y)}{sin(\frac{y}{2})}.

Hierbei werden in (∗) die üblichen Additionstheoreme auf cos(n · y) − cos((n + 1) · y) = cos((n + \frac{1}{2}) · y − \frac{1}{2} · y) − cos((n + \frac{1}{2}) · y + \frac{1}{2} · y) angewendet. Weiterhin gilt mit der Substitution ξ = x − t

∫_{−π}^{π} D_{n}(x − t) · f(t) dt = ∫_{x−π}^{x+π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ = ∫_{−π}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ,

wobei im letzten Schritt die 2 · π-Periodizität von f und D_{n} verwendet wird. Letztlich folgt mit D_{n}(−ξ) = D_{n}(ξ):

∫_{−π}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ = ∫_{−π}^{0} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ + ∫_{0}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ

= ∫_{0}^{π} D_{n}(−ξ) · f(x − ξ) dξ + ∫_{0}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ
= ∫_{0}^{π} D_{n}(ξ) · (f(x − ξ) + f(x + ξ)) dξ

und

∫_{−π}^{π} D_{n}(y) dy = ∫_{−π}^{π} \frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} e^{i·k·y} dy = \frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} ∫_{−π}^{π} e^{i·k·y} dy = 1

(alle Terme außer k = 0 ergeben 0).

Q.E.D.

Hier nun der entscheidende Satz, der für die in praktischen Anwendungen relevanten Funktionen die Frage der punktweisen Konvergenz klärt:

Satz 11.34: (Das Dirichlet–Kriterium für punktweise Konvergenz) Sei f ∈ L_{1}([−π, π]). Gilt an einer Stelle x_{0} ∈ (−π, π), dass sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert

f(x_{0} − 0) := lim_{{h→0 \atop h>0}} f(x_{0} − h) f(x_{0} + 0) := lim_{{h→0 \atop h>0}} f(x_{0} + h)

existiert und ebenfalls die links- und rechtsseitigen Ableitungen

lim_{{h→0 \atop h>0}} \frac{f(x_{0} − 0) − f(x_{0} − h)}{h},  lim_{{h→0 \atop h>0}} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0} + 0)}{h},

so konvergieren die Fourier–Approximationen gegen den Mittelwert des links- und rechtsseitigen Grenzwerts:

lim_{n→∞} S_{n}(x_{0}) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} · e^{i·k·x_{0}} = \frac{f(x_{0} − 0) + f(x_{0} + 0)}{2}.

Dies gilt auch für x_{0} = −π und x_{0} = π, wenn die 2 · π–periodisch fortgesetzte Funktion f die obigen Glattheitseigenschaften hat.

Beweis (technisch): Mit D_{n}(−t) = D_{n}(t) und ∫_{−π}^{π} D_{n}(t) dt = 1 (aus Symmetriegründen folgt ∫_{0}^{π} D_{n}(t) dt = \frac{1}{2}) ergibt sich

S_{n}(x_{0}) − \frac{f(x_{0} − 0) + f(x_{0} + 0)}{2}

= ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · (f(x_{0} + t) + f(x_{0} − t)) dt − ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · (f(x_{0} − 0) + f(x_{0} + 0)) dt

= ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · ((f(x_{0} + t) − f(x_{0} + 0) + f(x − t) − f(x_{0} − 0)) dt

= ∫_{0}^{π} \frac{1}{2 · π} \frac{sin((n + \frac{1}{2}) · t)}{sin(\frac{t}{2})} · ((f(x_{0} + t) − f(x_{0} + 0) + f(x_{0} − t) − f(x_{0} − 0)) dt

= ∫_{0}^{π} sin((n + \frac{1}{2}) · t)·

\underbrace{\frac{1}{π} · \frac{\frac{t}{2}}{sin(\frac{t}{2})} · (\frac{f(x_{0} + t) − f(x_{0} + 0)}{t} + \frac{f(x_{0} − t) − f(x_{0} − 0)}{t})}_{g(t)} dt

= ∫_{0}^{π} ( sin(n · t) · cos(\frac{1}{2} · t) + cos(n · t) · sin(\frac{1}{2} · t)) · g(t) dt

= \frac{1}{2} · ∫_{−π}^{π} sin(n · t) · cos(\frac{1}{2} · t) · (g(t) − g(−t)) dt

+\frac{1}{2} · ∫_{−π}^{π} cos(n · t) · sin(\frac{1}{2} · t) · (g(t) − g(−t)) dt.

Die entscheidende Beobachtung hier ist, dass wegen der vorausgesetzten Existenz der einseitigen Ableitungen die Funktion g(t) keine Singularität bei t = 0 hat und damit integrierbar ist. Mit dem Riemann–Lebesgue–Lemma 11.32 ergibt sich, dass die obige Differenz zwischen S^{∗}(x) und dem Mittelwert der einseitigen Grenzwerte eine Nullfolge ist.

Q.E.D. ↓15.1.04

Merke 11.35:

An allen Stellen, wo die Fourier–entwickelte Funktion stetig und differenzierbar ist, wird sie durch die unendliche Fourier–Reihe dargestellt. Werden glatte (stetig und differenzierbare) Funktionen aneinander gestückelt, so konvergiert die unendliche Fourier–Reihe gegen den Mittelpunkt der Grenzwerte von links- und rechts. Wenn die Stückelung stetig ist, wird auch die Nahtstelle von der Fourier–Reihe korrekt dargestellt.

212 KAPITEL 11. FOURIER-ENTWICKLUNGEN

Vorsicht 11.36:

Die Stetigkeit bezieht sich auf die 2 · π–periodisch fortgesetzte Funktion! Die Funktion f(x) = x ist nicht stetig an den Stellen x = ±π, ±3 · π, ±5 · π, …, wenn man sie 2 · π–periodisch fortgesetzt betrachtet!

Beispiel 11.37: In Beispiel 11.26.a) hatten wir für die ”Sägezahnfunktion”

f(x) = \{ \begin{matrix}−1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [−π, 0 ), \\ 1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [ 0, π] \end{matrix}

die Fourier–Entwicklung

f(x) ∼ ∑_{k=1,2,...} \frac{sin(k · x)}{k}

gefunden. An allen Stetigkeitsstellen ist die Funktion differenzierbar, so dass die Fourier–Reihe an diesen Stellen gegen f(x) konvergiert. An den Unstetigkeitsstellen x = 0, ±2·π, ±4·π, … ist das Dirichlet–Kriterium aber immer noch erfüllt: Die Fourier– Reihe konvergiert gegen den Mittelwert des links- und rechtsseitigen Limes (also 0):

∑_{k=1,2,...} \frac{sin(k · x)}{k} = \{ \begin{matrix}−1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [−π, 0), \\ 0 & für x = 0 \\ 1 − \frac{x}{π} & für x ∈ (0, π]. \end{matrix}

Außer an der Sprungstelle (wo wir willkürlich f(0) = 1 definiert hatten), wird f(x) also überall punktweise durch die unendliche Fourier–Reihe dargestellt.

Bemerkung 11.38: Wir haben mit Satz 11.34 ein entscheidendes Teilargument für den Beweis von Satz 11.27 über die Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen im L_{2}-Sinne nachgeliefert. Man kann alle Funktionen in L_{2}([−π, π]) beliebig genau durch stetige Funktionen approximieren, die das Dirichlet–Kriterium erfüllen und somit punktweise über ihre Fourier–Reihen dargestellt werden.

Bemerkung 11.39: Es ergibt sich ein verblüffendes ”Lokalitätsprinzip”:

Die punktweise Konvergenz der Fourier–Reihe hängt nur von lokalen Eigenschaften der Funktion in der Umgebung des betrachteten Punktes ab!

Z.B. reichen Stetigkeit und beidseitige Differenzierbarkeit an einem Punkt für die lokale Darstellbarkeit als Fourier–Reihe an diesem Punkt. Dies steht in krassem Gegensatz zu der Tatsache, dass die Fourier–Koeffizienten global von der Funktion bestimmt werden. Hat man vor, eine Funktion f auf einem Teilintervall (a, b) ⊂ [−π, π] durch eine Fourier–Reihe darzustellen, so kann das auf viele verschiedene Arten und Weisen geschehen, indem man f von (a, b) irgendwie auf den Rest des Intervalles [−π, π] fortsetzt. Abhängig von dieser Fortsetzung ergeben sich völlig unterschiedliche Fourier–Reihen, die jedoch innerhalb des Intervalls (a, b) alle gegen dieselbe Funktion konvergieren! Beispiel: Wir wollen die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, π] ⊂ [−π, π] durch eine Fourier–Reihe darstellen. Einige Möglichkeiten:

1) ungerade Fortsetzung; unstetig:

f_{1}(x) = 2 · ( sin(x) − \frac{sin(2 · x)}{2} + \frac{sin(3 · x)}{3} − ⋯).

2) gerade Fortsetzung; stetig:

f_{2}(x) = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ( cos(x) + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + ⋯).

3) unstetige Fortsetzung:

f_{3}(x) = \frac{f_{1}(x) + f_{2}(x)}{2}.

4) glatte Forsetzung:

f_{4}(x) = eine schnell konvergierende Fourier–Reihe.

11.2.4 Abklingverhalten der Fourier–Koeffizienten

Nach dem Riemann–Lebesgue–Lemma 11.32 bilden die Fourier–Koeffizienten prinzipiell eine Nullfolge. Es gilt das Prinzip: je glatter die Funktion, um so schneller fallen die Fourier–Koeffizienten. Zunächst eine einfache Beobachtung:

Satz 11.40:

Für eine 2 · π–periodische differenzierbare Funktion f mit integrierbarer Ableitung f′ gilt

c_{k}(f′) = i · k · c_{k}(f),

wo c_{k}(f′) bzw. c_{k}(f) die Fourier–Koeffizienten von f′ bzw. f sind.

Beweis: Es gilt f(−π) = f(π) und e^{i·k·π} = (−1)^{k} = e^{−i·k·π}. Durch partielle Integration folgt:

c_{k}(f′) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f′(x) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{2 · π} · [f(x) · e^{−i·k·x}]_{x=−π}^{x=π} − \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · (−i · k) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{f(π) · e^{−i·k·π} − f(−π) · e^{i·k·π}}{2 · π} + i · k · c_{k}(f) = i · k · c_{k}(f).

Q.E.D.

Diese Aussage ist leicht zu merken: stellt man sich die Funktion direkt als Fourier–Reihe gegeben vor, so kann man die Summanden der Reihe einzeln differenzieren:

\frac{d}{dx} \underbrace{∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} · e^{i·k·x}}_{f(x)} = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} · \frac{d}{dx} e^{i·k·x} = ∑_{k=−∞}^{∞} \underbrace{c_{k} · (i · k)}_{c_{k}(f′)} ·e^{i·k·x}.

Bemerkung 11.41: So trivial der Zusammenhang zwischen den Fourier– Koeffizienten von f und f′ mathematisch auch sein mag, er ist für Anwendungen von zentraler Bedeutung:

Das Ableiten wird für die Fourier–Koeffizienten zu einer algebraischen Operation (Multiplikation mit i · k). Fourier–Ansätze verwandeln daher Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen für die Fourier–Koeffizienten.

Satz 11.42: (Abklingverhalten der Fourier–Koeffizienten)

Ist eine 2 · π–periodische Funktion p-fach differenzierbar und ist die p-te Ableitung integrierbar, so gilt für die Fourier–Koeffizienten der Funktion:

|c_{k}| = o(\frac{1}{|k|^{p}} ).

Zur Erinnerung: Das ”Landau–Symbol” o bedeutet lim_{|k|→∞} |k|^{p} · |c_{k}| = 0.

Merke: Je glatter die Funktion (d.h., je öfter differenzierbar), um so schneller konvergieren die Fourier–Koeffizienten gegen 0.

Beweis: Seien c_{k}(f^{(p)}) die Fourier–Koeffizienten der p-ten Ableitung. Nach Satz 11.40 gilt

c_{k}(f^{(p)}) = i · k · c_{k}(f^{(p−1)}) = (i · k)^{2} · c_{k}(f^{(p−2)}) = ⋯ = (i · k)^{p} · c_{k}(f).

Nach dem Riemann–Lebesgue–Lemma 11.32 bilden die Fourier–Koeffizienten c_{k}(f^{(p)}) der p-ten Ableitung eine Nullfolge für |k| → ∞, d.h., die Fourier– Koeffizienten c_{k} = c_{k}(f) fallen schneller ab als 1/|k|^{p}:

c_{k}(f) = \frac{c_{k}(f^{(p)})}{(i · k)^{p}} = o(\frac{1}{|k|^{p}} ).

Q.E.D.

Bemerkung 11.43: In Satz 11.42 wird das Abklingverhalten der Fourier– Koeffizienten mittels des Landau-Symbols o recht unspezifisch als ”schneller abfallend als 1/|k|^{p}” beschrieben. Die in der Praxis auftretenden Funktionen sind meist stückweise aus glatten Anteilen zusammengesetzt, wodurch sich in der Praxis meist ”schneller abfallend als 1/|k|^{p}” in der Form

”um eine k-Potenz schneller abfallend als 1/|k|^{p}”

ergibt. Es gilt die Faustregel:

216 KAPITEL 11. FOURIER-ENTWICKLUNGEN

f unstetig:  c_{k} ∼ \frac{1}{k}.
f stetig, f′ unstetig:  c_{k} ∼ \frac{1}{k^{2}} .
f′ stetig, f′′ unstetig:  c_{k} ∼ \frac{1}{k^{3}} .
f^{(p)} stetig, f^{(p+1)} unstetig: c_{k} ∼ \frac{1}{k^{p+2}} .

Beispiele: f_{1} unstetig:

f_{1}(x) = \frac{4}{π} · ( sin(x) + \frac{sin(3 · x)}{3} + \frac{sin(5 · x)}{5} + ⋯).

f_{2} stetig, f′_{2} unstetig:

f_{2}(x) = 1 + \frac{4}{π^{2}} · ( cos(x) + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + ⋯).

f′_{3} stetig, f′′_{3} unstetig:

f_{3}(x) = \frac{4}{π^{2}} · x · (π − |x|) = \frac{32}{π^{3}} · (\frac{sin(x)}{1^{3}} + \frac{sin(3 · x)}{3^{3}} + \frac{sin(5 · x)}{5^{3}} + ⋯).

Bemerkung 11.44: Für eine durch ihre Fourier–Reihe dargestellte Funktion gilt für den Approximationsfehler durch endliche Fourier–Approximationen

f(x) − ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = ∑_{|k|>n} c_{k} · e^{i·k·x}

⇒ |f(x) − ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x}| ≤ ∑_{|k|>n} |c_{k} · e^{i·k·x}| = ∑_{|k|>n} |c_{k}|.

Je schneller die Fourier–Koeffizienten abfallen, umso schneller die punktweise Konvergenz an allen Stellen!

11.2.5 Das Gibbs’sche Phänomen

Wir betrachten das Konvergenzverhalten der endlichen Fourier–Transformation für die ”Sprungfunktion” (”Heaviside–Funktion”):

H(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x ∈ [−π, 0), \\ 1 & für x ∈ [0, π). \end{matrix}

Als zugeordnete Fourier–Reihe berechnet man

H(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{π} · ( sin(x) + \frac{sin(3 · x)}{3} + \frac{sin(5 · x)}{5} + ⋯),

welche in der Tat H(x) überall außer an den Sprungstellen punktweise darstellt. Hier die endlichen Fourier–Approximationen

S_{2·n−1}(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin((2 · m + 1) · x)}{2 · m + 1}

mit n = 3 und n = 9

sowie mit n = 32:

Das Gibbs’sche^{2} Phänomen ist, dass die Fourier–Approximationen an Sprungstellen ein Überschwingverhalten zeigen, dass mit wachsendem n nicht verschwindet: das erste Maximum von S_{n}(x) für x > 0 liegt für jedes n deutlich über der Grenzfunktion H(x) ≡ 1 (für x > 0). Dies lässt sich unschwer explizit nachrechnen. Das betrachtete Maximum ist durch die erste positive Nullstelle der Ableitung bestimmt:

\frac{d}{dx} S_{2·n−1}(x) = \frac{2}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} cos((2 · m + 1) · x) = \frac{2}{π} · ℜ( ∑_{m=0}^{n−1} e^{i·(2·m+1)·x})

= \frac{2}{π} · ℜ(e^{i·x} · ∑_{m=0}^{n−1}(e^{i·2·x})^{m}) = \frac{2}{π} · ℜ(e^{i·x} · \frac{e^{i·2·n·x} − 1}{e^{i·2·x} − 1}) = \frac{2}{π} · ℜ(\frac{e^{i·2·n·x} − 1}{e^{i·x} − e^{−i·x}} )

= \frac{2}{π} · ℜ(\frac{e^{i·2·n·x} − 1}{2 · i · sin(x)}) = \frac{1}{π · sin(x)} · ℑ(e^{i·2·n·x} − 1) = \frac{sin(2 · n · x)}{π · sin(x)}.

Die erste positive Nullstelle der Ableitung ist demnach ξ_{0} = π/(2 · n). Der Wert von S_{2·n−1} an dieser Stelle ist

S_{2·n−1}(ξ_{0}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin((2 · m + 1) · \frac{π}{2·n})}{2 · m + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{n} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin(\frac{(2·m+1)·π}{2·n})}{\frac{(2·m+1)·π}{2·n}}.

Die Summe läßt sich leicht interpretieren. Betrachte dazu das Integral

\frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} \frac{sin(y)}{y} dy ≈ 0.5895 .

Zerlege das Integrationsintervall [0, π] durch die n Stützstellen y_{m} = \frac{(2·m+1)·π}{2·n}, (m = 0, …, n − 1) in äquidistante Intervalle der Länge π/n. Für n → ∞ konvergieren die Riemann–Summen gegen das Integral:

\frac{1}{n} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin(\frac{(2·m+1)·π}{2·n})}{\frac{(2·m+1)·π}{2·n}} = \frac{1}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin(y_{m})}{y_{m}} · \frac{π}{n} ⟶^{(n→∞)} \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} \frac{sin(y)}{y} dy.

Die Höhe des ersten positiven Maximums der Fourier–Approximation konvergiert damit für n → ∞:

S_{2·n−1}(ξ_{0}) ≈ \frac{1}{2} + \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} \frac{sin(y)}{y} dy ≈ 1.0895... .

2J.W. Gibbs, 1839 – 1903, amerikanischer Mathematiker/Physiker. Ein Zitat von ihm:

”A mathematician may say anything he pleases, but a physicist must be at least partially sane.”

Betrachte noch einmal H(x) und beachte, dass H(x)− \frac{1}{2} eine ungerade Funktion ist. Aus Symmetriegründen nehmen daher alle Fourier–Approximationen S_{2·n−1} als letztes negatives Minimum vor der Sprungstelle bei 0 den Wert \frac{1}{2} −0.5895 = −0.0895 an. Damit hat die Differenz des ersten Maximums rechts vom Sprung zum letzten Minimum links vom Sprung den Wert 1 + 2 · 0.0895 = 1.179, wobei die Sprunghöhe 1 ist. Multipliziert man die Sprungfunktion mit einem Faktor, so skalieren sich die Fourier–Koeffizienten mit diesem Faktor und die Fourier– Approximationen ebenfalls. Damit gilt:

Das Gibbs’sche Phänomen: An einer Sprungstelle ist für alle Fourier– Approximationen die Differenz zwischen dem benachbarten Minimum und Maximum, welche den Sprung einschließen, um etwa 17.9% größer als die Sprunghöhe.

In der Tat gilt dies nicht nur für die hier betrachtete Heaviside–Funktion: eine beliebige Funktion, die an einer Stelle x_{0} eine Sprung macht, kann immer in der Form

Funktion(x) = bei x_{0} stetige Funktion(x) + Sprunghöhe · H(x − x_{0})

zerlegt werden. Ist die stetige Funktion hinreichend glatt, konvergiert die Fourier–Approximation des stetigen Anteils deutlich schneller gegen den stetigen Anteil als die Fourier–Approximation des Sprunganteils gegen den Sprunganteil. Der stetige Anteil kann daher im Approximationsfehler vernachlässigt werden gegen den Approximationsfehler von H(x − x_{0}). Das Gibbs’sche Phänomen für H vererbt sich damit auf die Sprungstellen beliebig zusammengestückelter glatter Funktionen:

11.2.6 Beliebige Perioden

Bislang hatten wir die Fourier–Zerlegung von auf [−π, π] gegebenen Funktionen betrachtet, die man sich als 2 · π–periodisch fortgesetzt vorstellen sollte. Die Einschränkung auf das Standardintervall [−π, π] geschah dabei lediglich aus schreibtechnischen Gründen, da alle Formeln hierfür besonders einfach werden.

Wir betrachten nun ein beliebiges Intervall [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}], auf dem eine L–periodische Funktion f(x) = f(x+L) gegeben ist. In Analogie zur Definition 11.21 betrachtet man das Orthogonalsystem

\{e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}\}_{k∈ℤ},

die entsprechenden Fourier–Koeffizienten

c_{k} = \frac{⟨e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}, f⟩}{⟨e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}, e^{i·k \frac{2·π}{L} ··x}⟩} = \frac{1}{L} · ∫− \frac{L}{2}^{\frac{L}{2}} f(x) · e^{−i·k· \frac{2·π}{L} ·x} dx

und die entsprechenden Fourier–Approximationen

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}.

Diese Definitionen lassen sich folgendermassen interpretieren: Zu f : [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] → ℂ betrachte die Funktion g : [−π, π] → ℂ, die durch eine Transformation x → \frac{L}{2·π} · x aus f entsteht:

g(x) = f(\frac{L}{2 · π} · x), f(x) = g(\frac{2 · π}{L} · x).

Diese Funktion ist 2 · π–periodisch:

g(x + 2 · π) = f(\frac{L}{2 · π} · (x + 2 · π)) = f(\frac{L}{2 · π} · x + L) = f(\frac{L}{2 · π} · x) = g(x).

Zerlegt man g den vorangegangenen Kapiteln gemäß in eine Fourier–Reihe über dem Grundintervall [−π, π], so ergeben sich nach Rücktransformation auf das Intervall [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] die obigen Darstellungen der Fourier–Koeffizienten und Fourier– Approximationen für f.

Damit ist unmittelbar klar, dass alle Strukturaussagen (Vollständigkeit bzgl. der L_{2}–Norm, punktweise Konvergenz bei Dirichlet–Bedingungen, Gibbs’sches Phänomen etc.) auch für allgemeine Perioden gelten.

Bemerkung 11.45: Läßt man die Länge des Intervalls [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] gegen ∞ laufen, erhält man statt der Fourier-Koeffizienten

c_{k} = \frac{1}{L} · ∫− \frac{L}{2}^{\frac{L}{2}} f(x) · e^{−i·k· \frac{2·π}{L} ·x} dx

im Grenzwert L → ∞ eine Funktion f̂(\frac{k·2·π}{L}) = \frac{L}{\sqrt{2·π}} · c_{k} des kontinuierlichen ”Frequenzparameters“ ω, der immer dichter beieinander liegenden Punkten ω = k · 2 · π/L (mit k ∈ ℤ) entspricht. Diese Funktion

f̂(ω) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·ω·x} dx

nennt man die ”Fourier-Integraltransformation“ von f. Ist f hinreichend glatt (z.B. Dirichlet-Bedingungen wie in Satz 11.34), so ist f aus der Fourier-Transformierten f̂(ω) rekonstruierbar. Die Summen der Fourier-Approximation kann man dabei als Riemann-Summen interpretieren, aus denen im Grenzwert L → ∞ ein Integral wird:

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f̂(ω) · e^{i·ω·x} dω.