Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 11. 11. 2002

Ü b u n g s b l a t t 4

Abgabe von ∗ Aufgaben am 18.11.2002 in der Übung.

Aufgabe 18*: (Eine Anwendung. 10 + 10 + 10 + 10 Bonuspunkte) In dieser Aufgabe soll eine Differentialgleichung mit periodischer Inhomogenität auf 2 Weisen gelöst werden: i) “analytisch”, ii) über Fourier–Entwicklung. In iii) soll verifiziert werden, dass die Lösungen in der Tat übereinstimmen. In iv) wird eine konkrete Inhomogenität betrachtet.

Technischer Hintergrund: Gegeben sei ein sogenanntes “RC-Glied”, das aus einem Ohmschen Widerstand R und einem Kondensator der Kapazität C besteht. Es wird eine periodische Eingangsspannung U^{(in)}(t) angelegt, man interessiert sich für die Ausgangsspannung U^{(out)}(t) am Kondensator. Es gilt U^{(in)} = R·I +U^{(out)}, wobei die Stromstärke I über I = Q̇ = C · U̇^{(out)} mit der Ladung Q = C · U des Kondensators zusammenhängt. Damit ist das Ausgangssignal gegeben als Lösung der Differentialgleichung

τ · U̇^{(out)} + U^{(out)} = U^{(in)} (mit τ = R · C).

[figure: U^{(in)}; I; R; C; U^{(out)}]

i.a) (Vollständige analytische Lösung) Zeige, dass die Ausgangsspannung durch

U^{(out)}(t) = U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · ∫_{0}^{t} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ

gegeben ist. Anleitung: Variation der Konstanten.

i.b) Das Eingangssignal U^{(in)}(t) sei 2 · π–periodisch. Die in a) gefundene Lösung U^{(out)} besteht aus einem exponentiell abklingenden Anteil U_{transient}^{(out)}(t) (mit lim_{t→∞} U_{transient}^{(out)}(t) =

0) und einem periodischen Anteil U_{periodic}^{(out)}(t). Versuche, die in a) gefundene Darstellung entsprechend zu zerlegen. Die Antwort ist:

U^{(out)}(N · 2 · π + Δt) = \overbrace{e^{−(N·2·π+Δt)/τ} · (U^{(out)}(0) − U_{0})}^{U_{transient}^{(out)}}

+ \underbrace{e^{−Δt/τ} · (U_{0} + \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη)}_{U_{periodic}^{(out)}}

mit N ∈ ℕ_{0}, Δt ∈ [0, 2 · π) und

U_{0} = \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη.

Anleitung: Zerlege die Zeit t nach Perioden von 2 · π, also t = N · 2 · π + Δt mit N ∈ ℕ_{0} und Δt ∈ [0, 2 · π). Zerlege das Integral in der Lösungsformel in a) in eine Summe von Teilintegralen über jeweils eine Periode [k ·2·π, (k +1)·2·π) (mit k ∈ {0, 1, …, N −1}) und ein Restintegral der Länge Δt. Der explizit von der Periodennummer N abhängende Teil der Lösung konvergiert gegen 0. Der restliche Anteil hängt nicht von N ab und ist damit periodisch.

ii) (Lösung über Fourier–Entwicklung) Zeige: für ein Fourier–entwickeltes Eingangssignal

U^{(in)}(t) = a_{0}^{(in)} + ∑_{k=1}^{∞} (a_{k}^{(in)} · cos(k · t) + b_{k}^{(in)} · sin(k · t))

ergibt sich die Fourier–Entwicklung des periodischen Anteils des Ausgangssignals zu

U_{periodic}^{(out)}(t) = a_{0}^{(out)} + ∑_{k=1}^{∞} (a_{k}^{(out)} · cos(k · t) + b_{k}^{(out)} · sin(k · t))

mit

a_{0}^{(out)} = a_{0}^{(in)}, a_{k}^{(out)} = \frac{a_{k}^{(in)} − k · τ · b_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} , b_{k}^{(out)} = \frac{b_{k}^{(in)} + k · τ · a_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} (k > 0).

Anleitung: Rechentechnisch ist es einfacher, die “komplexen” Entwicklungen

U^{(in)}(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·t}, U^{(out)}(t) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · e^{i·k·t}

zu betrachten. Es ergibt sich: c_{k}^{(out)} = \frac{c_{k}^{(in)}}{1 + i · k · τ}, k ∈ ℤ.

iii) (Vergleich der analytischen Lösung mit der per Fourier–Entwicklung gefundenen Lösung) In i.b) war die Darstellung

U_{periodic}^{(out)}(N · 2 · π + Δt) = e^{−Δt/τ} · (U_{0} + \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη)

des periodischen Lösungsanteils gefunden worden. Setze die Fourier–Entwicklung des Eingangssignals ein und verifiziere, dass sich die in ii) gefundene Fourier–Entwicklung von U^{(out)} ergibt. iv) (Ein konkretes Beispiel). Als Eingangssignal wird eine periodische Rechteckschwingung

der Grundform

U^{(in)}(t) = \{ \begin{matrix}1 & für t ∈ [0, π), \\ −1 & für t ∈ [π, 2 · π) \end{matrix}

angelegt. Berechne das Ausgangssignal nach langer Zeit.

Hier ist die graphische Antwort zu iv) (mit τ = 1):

Musterlösung: i.a) Die Lösung der homogenen DGL τ · U̇^{(out)} + U^{(out)} = 0 ist offensichtlich U^{(out)}(t) = c · e^{−t/τ} mit einer beliebigen Konstanten c. Durch Variation der Konstanten, also durch den Ansatz U^{(out)}(t) = c(t) · e^{−t/τ}, erhält man für die inhomogene DGL:

τ · U̇^{(out)}(t) + U^{(out)}(t) = τ · ċ(t) · e^{−t/τ} − c(t) · e^{−t/τ} + c(t) · e^{−t/τ} = U^{(in)}(t)

⇒ ċ(t) = \frac{e^{t/τ}}{τ} · U^{(in)}(t).

Durch Integration folgt

c(t) = c(0) + \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{t} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ

und damit

U^{(out)}(t) = (c(0) + ∫_{0}^{t} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ) · \frac{e^{−t/τ}}{τ} .

Für t = 0 findet man U^{(out)}(0) = c_{0}, also:

U^{(out)}(t) = U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · ∫_{0}^{t} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ.

i.b) Das Aufspalten der Lösung geschieht der Anleitung folgend in vielen kleinen Schritten, wobei die Substitutionen ξ → η = ξ − k · 2 · π, ξ → η = ξ − N · 2 · π und t − N · 2 · π = Δt benutzt werden:

U^{(out)}(t) = U^{(out)}(N · 2 · π + Δt) = U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · ∫_{0}^{t} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ

= U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · ∑_{k=0}^{N−1} ∫_{k·2·π}^{(k+1)·2·π} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · ∫_{N·2·π}^{N·2·π+Δt} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ

= U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · ∑_{k=0}^{N−1} ∫_{0}^{2·π} e^{(η+k·2·π)/τ} · U^{(in)}(η) dη + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{(η+N·2·π)/τ} · U^{(in)}(η) dη

= U^{(out)}(0)·e^{−t/τ} +\frac{e^{−t/τ}}{τ} ·\underbrace{( ∑_{k=0}^{N−1} e^{k·2·π/τ} )}_{geometrische Reihe} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} ·U^{(in)}(η) dη+\frac{e^{−t/τ} · e^{N·2·π/τ}}{τ} ·∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} ·U^{(in)}(η) dη

= U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + \frac{e^{−t/τ}}{τ} · \frac{e^{N·2·π/τ} − 1}{e^{2·π/τ} − 1} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη + \frac{e^{−Δt/τ}}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη

= U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + \frac{1}{τ} · \frac{e^{−Δt/τ} − e^{−t/τ}}{e^{2·π/τ} − 1} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη + \frac{e^{−Δt/τ}}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη

= U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} + (e^{−Δt/τ} − e^{−t/τ}) · U_{0} + \frac{e^{−Δt/τ}}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη

= \underbrace{U^{(out)}(0) · e^{−t/τ} − U_{0} · e^{−t/τ}}_{U_{transient}^{(out)}} + \underbrace{U_{0} · e^{−Δt/τ} + \frac{e^{−Δt/τ}}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{ξ/τ} · U^{(in)}(ξ) dξ}_{U_{periodic}^{(out)}} .

ii) Die Fourier–Entwicklung von U^{(in)}(t) und der Ansatz U_{periodic}^{(out)}(t) = ∑_{k} c_{k}^{(out)} · e^{i·k·t} werden in die DGL

τ · U̇^{(out)} + U^{(out)} = U^{(in)}

eingesetzt:

τ · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · i · k · e^{i·k·t} + ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · e^{i·k·t} = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·t}

⇒ ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(out)} · (i · k · τ + 1) · e^{i·k·t} = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·t}.

Vergleich der Koeffizienten links und rechts liefert c_{k}^{(out)} · (i · k · τ + 1) = c_{k}^{(in)}. Fertig. Mit

c_{k}^{(in)} = \frac{a_{k}^{(in)} − i · b_{k}^{(in)}}{2} , c_{−k}^{(in)} = \frac{a_{k}^{(in)} + i · b_{k}^{(in)}}{2} ,

und

a_{k}^{(out)} = c_{k}^{(out)} + c_{−k}^{(out)}, b_{k}^{(out)} = i · (c_{k}^{(out)} − c_{−k}^{(out)})

ergibt sich mit c_{k}^{(out)} = c_{k}^{(in)}/(1 + i · k · τ) nach elementarer Rechnung

a_{k}^{(out)} = \frac{a_{k}^{(in)} − k · τ · b_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}} , b_{k}^{(out)} = \frac{b_{k}^{(in)} + k · τ · a_{k}^{(in)}}{1 + k^{2} · τ^{2}}

für k > 0. iii) Einsetzen der Fourier–Entwicklung von U^{(in)} in U_{0} liefert

U_{0} = \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη = \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·kη} dη

= \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · \frac{1}{τ} · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} · e^{i·k·η} dη = \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · \frac{1}{τ} · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · \frac{e^{2·π·(i·k+1/τ)} − 1}{i · k + 1/τ}

= \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · \frac{\overbrace{e^{2·π·i·k}}^{1} ·e^{2·π/τ} − 1}{i · k · τ + 1} = \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · \frac{e^{2·π/τ} − 1}{i · k · τ + 1} = ∑_{k=−∞}^{∞} \frac{c_{k}^{(in)}}{i · k · τ + 1}.

Einsetzen der Fourier–Entwicklung von U^{(in)} in \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη liefert

\frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη = \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · e^{i·k·η} dη

= ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · e^{i·k·η} dη = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · \frac{1}{τ} · \frac{e^{Δt·(i·k+1/τ)} − 1}{i · k + 1/τ}

= ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · \frac{e^{Δt·i·k} · e^{Δt/τ} − 1}{i · k · τ + 1} = e^{Δt/τ} · ∑_{k=−∞}^{∞} \frac{c_{k}^{(in)} · e^{Δt·i·k}}{i · k · τ + 1} − ∑_{k=−∞}^{∞} \frac{c_{k}^{(in)}}{i · k · τ + 1}.

Das ergibt auf der ersten Periode (N = 0):

U_{periodic}^{(out)}(Δt) = e^{−Δt/τ} · (U_{0} + \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη)

= e^{−Δt/τ} · e^{Δt/τ} ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k}^{(in)} · \frac{e^{Δt·i·k}}{i · k · τ + 1} = ∑_{k=−∞}^{∞} \underbrace{\frac{c_{k}^{(in)}}{i · k · τ + 1}}_{c_{k}^{(out)}} ·e^{Δt·i·k}.

Dies ist die in ii) gefundene Fourier–Reihe (in Δt statt in t). iv) Mit den Formeln der analytischen Lösung i.a)/i.b) berechnet man für das Rechtecksignal U^{(in)}:

U_{0} = \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{2·π} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη = \frac{1}{e^{2·π/τ} − 1} · \frac{1}{τ} · ( ∫_{0}^{π} e^{η/τ} dη − ∫_{π}^{2·π} e^{η/τ} dη)

= \frac{2 · e^{π/τ} − 1 − e^{2·π/τ}}{e^{2·π/τ} − 1} = \frac{−(e^{π/τ} − 1)^{2}}{(e^{π/τ} − 1) · (e^{π/τ} + 1)} = \frac{1 − e^{π/τ}}{1 + e^{π/τ}}

und

\frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη = \{ \begin{matrix}\frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} dη & für Δt ∈ [0, π], \\ \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{π} e^{η/τ} dη − \frac{1}{τ} · ∫_{π}^{Δt} e^{η/τ} dη & für Δt ∈ [π, 2 · π), \end{matrix}

= \{ \begin{matrix}e^{Δt/τ} − 1 & für Δt ∈ [0, π], \\ 2 · e^{π/τ} − 1 − e^{Δt/τ} & für Δt ∈ [π, 2 · π). \end{matrix}

Dies ergibt folgenden periodischen Teil des Ausgangssignals:

U_{periodic}^{(out)}(Δt) = e^{−Δt/τ} · (U_{0} + \frac{1}{τ} · ∫_{0}^{Δt} e^{η/τ} · U^{(in)}(η) dη)

= \{ \begin{matrix}(\frac{1 − e^{π/τ}}{1 + e^{π/τ}} − 1) · e^{−Δt/τ} + 1 & für Δt ∈ [0, π], \\ (\frac{1 − e^{π/τ}}{1 + e^{π/τ}} − 1) · e^{−Δt/τ} − 1 + 2 · e^{−(Δt−π)/τ} & für Δt ∈ [π, 2 · π), \end{matrix}

= \{ \begin{matrix}1 − \frac{2 · e^{π/τ} · e^{−Δt/τ}}{1 + e^{π/τ}} & für Δt ∈ [0, π], \\ −1 + \frac{2 · e^{π/τ} · e^{−(Δt−π)/τ}}{1 + e^{π/τ}} & für Δt ∈ [π, 2 · π). \end{matrix}