Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 4. 11. 2002

Ü b u n g s b l a t t 3

Abgabe von ∗ Aufgaben am 11.11.2002 in der Übung.

Aufgabe 13*: (Trigonometrische Polynome. 10 Bonuspunkte) Zeige, dass die (trigonometrischen) Fourier–Reihen von cos(x)^{n} und sin(x)^{n} für jedes n ∈ ℕ aus endlich vielen Termen bestehen. Folgere, dass die Fourier–Reihen beliebiger Polynome in sin(x) und cos(x) aus endlich vielen Termen bestehen. Anmerkung: probiere in MuPAD z.B. combine(cos(x)∧3*sin(x)∧5, sincos) aus.

Musterlösung: Die Fourier–Entwicklungen lassen sich ganz explizit hinschreiben:

cos(x)^{n} = (\frac{e^{i·x} + e^{−i·x}}{2} )^{n} = \frac{1}{2^{n}} · ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · e^{i·(n−k)·x} · e^{−i·k·x} = \frac{1}{2^{n}} · ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · e^{i·(n−2·k)·x},

sin(x)^{n} = (\frac{e^{i·x} − e^{−i·x}}{2 · i} )^{n} = \frac{1}{2^{n} · i^{n}} · ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · (−1)^{k} · e^{i·(n−k)·x} · e^{−i·k·x}

= \frac{1}{2^{n} · i^{n}} · ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · (−1)^{k} · e^{i·(n−2·k)·x}.

Die Multiplikation solcher Summen liefert wieder Summen, die lediglich Potenzen von e^{i·x} und e^{−i·x} enthalten, welche sich wiederum mittels e^{i·k·x} schreiben lassen. Damit lassen sich auch beliebige Polynome in sin(x) und cos(x) als endliche Summen über Terme der Form e^{i·k·x} schreiben.

Aufgabe 14*: (Spektrale Verschiebung. 10 Bonuspunkte) Seien c_{k}(f) die (trigonometrischen) Fourier–Koeffizienten der Funktion f. Bestimme für k_{0} ∈ ℤ die Fourier–Koeffizienten der Funktionen e^{i·k_{0}·x} · f(x), cos(k_{0} · x) · f(x) und sin(k_{0} · x) · f(x) in Termen von c_{k}(f).

Musterlösung:

c_{k}(e^{i·k_{0}·x} · f) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} e^{−i·k·x} · e^{i·k_{0}·x} · f(x) dx = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} e^{−i·(k−k_{0})·x} · f(x) dx = c_{k−k_{0}}(f),

c_{k}(cos(k_{0} · x) · f) = \frac{1}{2} · (c_{k}(e^{i·k_{0}·x} · f) + c_{k}(e^{−i·k_{0}·x} · f)) = \frac{c_{k−k_{0}}(f) + c_{k+k_{0}}(f)}{2},

c_{k}(sin(k_{0} · x) · f) = \frac{1}{2 · i} · (c_{k}(e^{i·k_{0}·x} · f) − c_{k}(e^{−i·k_{0}·x} · f)) = \frac{c_{k−k_{0}}(f) − c_{k+k_{0}}(f)}{2 · i}.

Aufgabe 15*: (Faltungen. 10 Bonuspunkte) Seien c_{k}(f) und c_{k}(g) die (trigonometrischen) Fourier–Koeffizienten zweier 2 · π–periodischer Funktionen f und g. Die “Faltung” f ∗ g von f und g ist die Funktion

(f ∗ g)(x) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x − y) · g(y) dy.

a) Zeige f ∗ g = g ∗ f.

b) Bestimme die Fourier–Koeffizienten c_{k}(f ∗ g) in Termen von c_{k}(f) und c_{k}(g).

Musterlösung:

a) Substitution y → z = x − y:

(f ∗ g)(x) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x − y) · g(y) dy = −\frac{1}{2 · π} · ∫_{z+π}^{z−π} f(z) · g(x − z) dz

= \frac{1}{2 · π} · ∫_{z−π}^{z+π} f(z) · g(x − z) dz =^{(∗)} \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(z) · g(x − z) dz = (g ∗ f)(x).

Im Schritt (∗) wurde die 2 · π–Periodizität des Integranden verwendet. b)

c_{k}(f ∗ g) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π}(f ∗ g)(x) · e^{−i·k·x} dx = \frac{1}{(2 · π)^{2}} · ∫_{−π}^{π} ( ∫_{−π}^{π} f(x − y) · g(y) dy) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{(2 · π)^{2}} · ∫_{−π}^{π} ∫_{−π}^{π} f(x − y) · g(y) · e^{−i·k·x} dy dx = \frac{1}{(2 · π)^{2}} · ∫_{−π}^{π} ( ∫_{−π}^{π} f(x − y) · e^{−i·k·x} dx) · g(y) dy.

Substitution x → z = x − y liefert ∫_{−π}^{π} f(x − y) · e^{−i·k·x} dx = ∫_{−π−y}^{π−y} f(z) · e^{−i·k·(z+y)} dx

= ∫_{π−y}^{π−y} f(z) · e^{−i·k·z} dx · e^{−i·k·y} = ∫_{−π}^{π} f(z) · e^{−i·k·z} dx · e^{−i·k·y}.

Das ergibt:

c_{k}(f ∗ g) = \frac{1}{(2 · π)^{2}} · ∫_{−π}^{π} ( ∫_{−π}^{π} f(z) · e^{−i·k·z} dx · e^{−i·k·y}) · g(y) dy

= \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} c_{k}(f) · e^{−i·k·y} · g(y) dy = c_{k}(f) · c_{k}(g).

Aufgabe 16*: (Fourier–Koeffizienten bestimmen die Funktion eindeutig. 10 Bonuspunkte) (Für mathematisch Interessierte) Zeige, dass eine \underline{stetige} Funktion identisch 0 sein muss, wenn alle ihre Fourier–Koeffizienten bzgl. der trigonometrischen Funktionen verschwinden.

Anleitung: Sei f eine (o.B.d.A. reellwertige) stetige Funktion. Angenommen, es gibt einen Punkt x_{0} mit |f(x_{0})| ≠ 0 (o.B.d.A. x_{0} = 0 und f(x_{0}) > 0). Wähle δ > 0 so, dass f(x) ≥ f(0)/2 gilt für alle x ∈ [−δ, δ] (so ein δ existiert wegen der Stetigkeit von f). Sei o.B.d.A. 0 < δ < π. Setze p(x) = 1 + cos(x) − cos(δ). Sei U_{δ} = [−δ, δ], sei C = [−π, π] \ U_{δ}. Die entscheidende Tatsache ist, dass p(x) ≥ 1 gilt für alle x ∈ U_{δ} und |p(x)| ≤ 1 für alle x ∈ C. Zeige:

|∫_{−π}^{π} f(x) · p(x)^{n} dx| ≥ ∫_{U_{δ}} f(x) · p(x)^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| · |p(x)|^{n} dx

≥ \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{δ}} p(x)^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| dx

≥ \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{\frac{δ}{2}}} p(x)^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| dx.

Was ist der Grenzwert der rechten Seite für n → ∞? Andererseits muss ∫_{−π}^{π} f(x)·p(x)^{n} dx = 0 gelten für alle n (warum? Beachte Aufgabe 13). Widerspruch zur Existenz eines Punktes x_{0} mit f(x_{0}) > 0!

Musterlösung: Beachte, dass der Integrand f(x) · p(x)^{n} auf U_{δ} positiv ist:

|∫_{−π}^{π} f(x) · p(x)^{n} dx| = |∫_{U_{δ}} f(x) · p(x)^{n} dx + ∫_{C} f(x) · p(x)^{n} dx|

≥ ∫_{U_{δ}} f(x) · p(x)^{n} dx − |∫_{C} f(x) · p(x)^{n} dx|

≥ \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{δ}} p(x)^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| · |p(x)|^{n} dx

= \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{\frac{δ}{2}}} p(x)^{n} dx + \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{δ}\U_{\frac{δ}{2}}} p(x)^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| dx

≥ \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{\frac{δ}{2}}} p(x)^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| dx.

Für alle x ∈ U_{\frac{δ}{2}} gilt (cos ist auf U_{\frac{δ}{2}} monoton fallend):

p(x) = 1 + cos(x) − cos(δ) ≥ 1 + cos (\frac{δ}{2}) − cos(δ) =: p^{∗} > 1.

Es folgt

|∫_{−π}^{π} f(x) · p(x)^{n} dx| ≥ \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{\frac{δ}{2}}} p(x)^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| dx

≥ \frac{f(0)}{2} · ∫_{U_{\frac{δ}{2}}} p^{∗}^{n} dx − ∫_{C} |f(x)| dx

= \frac{f(0)}{2} · δ · p^{∗}^{n} − ∫_{C} |f(x)| dx.

Wegen p^{∗} > 1 konvergiert dieser Wert für n → ∞ gegen ∞. Andererseits ist p(x)^{n} ein Polynom in sin(x) und cos(x) und läßt sich nach Aufgabe 13 als endliche Summe von Termen der Form e^{i·k·x} schreiben. Damit liefert

\frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · p(x)^{n} dx

eine Summe von Termen, in denen die Fourier–Koeffizienten

\frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{i·k·x} dx

auftauchen, die nach Voraussetzung aber alle verschwinden sollen. Damit muss ∫_{−π}^{π} f(x)·p(x)^{x} dx = 0 gelten. Widerspruch!

Aufgabe 17: (MuPAD. 0 Bonuspunkte)

a) Man beschäftige sich mit dem Punkt “Programmieren” unter

  http://www.mupad.de/schule/mupad-lernen/grundkurs/index.html

b) Ermittle mittels einer for–Schleife numerische Approximation der ersten 40 Fourier– Koeffizienten a_{k} der Funktion f(x) = x/(1 + x^{2}), x ∈ [−π, π]. Definiere die Fourier– Approximation S(n, x) = ∑_{k=1}^{n} a_{k} · sin(x) als MuPAD–Funktion und plotte f(x), S(3, x), S(10, x), S(40, x) mit einer hinreichend grossen Auflösung in einer gemeinsamen Graphik. MuPAD–Funktionen: numeric::int, plus.

Musterlösung:

>> f:= x -> x/(1 + x^2);
>> for k from 1 to 40 do
     a[k]:= float(2/PI)*numeric::int(f(x)*sin(k*x), x = 0..PI);
   end_for:
>> S:= (n, x) -> _plus(a[k]*sin(k*x) $ k=1..n);
>> plotfunc2d(f(x), S(3, x), S(10, x), S(40, x),
              x = -PI..PI, Grid = 1000)