Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 28. 10. 2002

Ü b u n g s b l a t t 2

Abgabe von ∗ Aufgaben am 4.11.2002 in der Übung.

Aufgabe 7*: (Vollständige Orthonormalsysteme. 10 Bonuspunkte) Sei \{F_{0}, F_{1}, …\} ein vollständiges Ortho\underline{normal}system in einem Hilbertraum L. Zeige:

∑_{k=0}^{∞}⟨f, F_{k}⟩ · ⟨F_{k}, g⟩ = ⟨f, g⟩

für alle f, g ∈ L. (Physiker schreiben dies auch als: ∑_{k=0}^{∞} |F_{k}⟩ · ⟨F_{k}| = Identität.)

Anleitung: betrachte ⟨f − ∑_{k=0}^{n}⟨F_{k}, f⟩ · F_{k}, g − ∑_{j=0}^{n}⟨F_{j}, g⟩ · F_{j}⟩.

Musterlösung: Der Abstand zwischen ⟨f, g⟩ und ∑_{k}⟨f, F_{k}⟩ · ⟨F_{k}, g⟩ wird auf den Abstand zwischen f, g und den entsprechenden endlichen Fourier–Approximationen zurückgeführt:

⟨f − ∑_{k=0}^{n}⟨F_{k}, f⟩ · F_{k}, g − ∑_{j=0}^{n}⟨F_{j}, g⟩ · F_{j}⟩

= ⟨f, g⟩ − ⟨f, ∑_{j}⟨F_{j}, g⟩ · F_{j}⟩ − ⟨∑_{k}⟨F_{k}, f⟩ · F_{k}, g⟩ + ⟨∑_{k}⟨F_{k}, f⟩ · F_{k}, ∑_{j}⟨F_{j}, g⟩ · F_{j}⟩

= ⟨f, g⟩ − ∑_{j}⟨F_{j}, g⟩ · ⟨f, F_{j}⟩ − ∑_{k} \overline{⟨F_{k}, f⟩} · ⟨F_{k}, g⟩ + ∑_{k} ∑_{j} \overline{⟨F_{k}, f⟩} · ⟨F_{j}, g⟩ · \underbrace{⟨F_{k}, F_{j}⟩}_{δ_{kj}}

= ⟨f, g⟩ − ∑_{k}⟨F_{j}, g⟩ · ⟨f, F_{k}⟩ − ∑_{k}⟨f, F_{k}⟩ · ⟨F_{k}, g⟩ + ∑_{k}⟨f, F_{k}⟩ · ⟨F_{k}, g⟩

= ⟨f, g⟩ − ∑_{k=0}^{n}⟨f, F_{k}⟩ · ⟨F_{k}, g⟩.

Mit Cauchy-Schwarz folgt

|⟨f, g⟩ − ∑_{k=0}^{n}⟨f, F_{k}⟩ · ⟨F_{k}, g⟩| ≤ ∥f − ∑_{k=0}^{n}⟨F_{k}, f⟩ · F_{k}∥_{2} · ∥g − ∑_{k=0}^{n}⟨F_{k}, g⟩ · F_{k}∥_{2}.

Wegen der Vollständigkeit konvergiert die rechte Seite gegen Null für n → ∞.

Aufgabe 8*: (Gram–Schmidt–Orthogonalisierung. 10 Bonuspunkte) Orthogonalisiere die Funktionen f_{0}(x) = e^{−x}, f_{1}(x) = e^{−2·x}, f_{2}(x) = e^{−3·x} bezüglich des Skalarprodukts ⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{∞} f(x) · g(x) dx. (In MuPAD wird ∞ durch infinity dargestellt.)

Musterlösung: Orthogonalisierung mit MuPAD:

2.5.0 > sp:= (f, g) -> int(f*g, x = 0..infinity):
2.5.0 > f0:= exp(-x): f1:= exp(-2*x): f2:= exp(-3*x):
2.5.0 > F0:= f0;
                            exp(-x)
2.5.0 > F1:= f1 - sp(F0, f1)/sp(F0,F0)*F0;
                                 2 exp(-x)
                     exp(-2 x) - ---------
                                     3
2.5.0 > F2:= f2 - sp(F0, f2)/sp(F0,F0)*F0 - sp(F1, f2)/sp(F1,F1)*F1
              3 exp(-x)   6 exp(-2 x)
              --------- - ----------- + exp(-3 x)
                  10           5

Probe:

2.5.0 > sp(F0, F1) , sp(F0, F2), sp(F1, F2)
                            0, 0, 0

Aufgabe 9*: (Bedingte Konvergenz einer speziellen Fourier–Reihe. 10 Bonuspunkte)

Zeige, dass die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{i·k·x}}{k} für alle x ∈ [−π, π] \ \{0\} konvergiert. Für welche x konver-

gieren die Reihen ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(k · x)}{k} und ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(k · x)}{k} ?

Anleitung: Zeige zunächst: ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k · (k + 1)} = 1 − \frac{e^{i·n·x}}{n + 1} + (1 − e^{−i·x}) · ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k}.

Musterlösung: Mit der Partialbruchzerlegung \frac{1}{k · (k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1} folgt

∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k · (k + 1)} = ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} − ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k + 1}
= ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} − e^{−i·x} · ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·(k+1)·x}}{k + 1}
= ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} − e^{−i·x} · ∑_{k=2}^{n+1} \frac{e^{i·k·x}}{k}
= ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} − e^{−i·x} · ( − e^{i·x} + \frac{e^{i·(n+1)·x}}{n + 1} + ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} )
= ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} + (1 − e^{−i·x} · \frac{e^{i·(n+1)·x}}{n + 1} − e^{−i·x} · ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} )
= 1 − \frac{e^{i·n·x}}{n + 1} + (1 − e^{−i·x}) · ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} ,

also für x ≠ 0, ±2 · π, ±4 · π etc:

∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k} = −\frac{1 − \frac{e^{i·n·x}}{n+1}}{1 − e^{−i·x}} + \frac{1}{1 − e^{−i·x}} · ∑_{k=1}^{n} \frac{e^{i·k·x}}{k · (k + 1)}.

Die rechte Reihe konvergiert absolut nach dem Majorantenkriterium, denn

∑_{k=1}^{∞} |\frac{e^{i·k·x}}{k · (k + 1)}| = ∑_{k=1}^{∞} \frac{|e^{i·k·x}|}{k · (k + 1)} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k · (k + 1)} < ∞

und es folgt

∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{i·k·x}}{k} = \frac{1}{1 − e^{−i·x}} · ( ∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{i·k·x}}{k · (k + 1)} − 1).

Damit konvergieren auch

∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(k · x)}{k} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{\frac{1}{2·i} · (e^{i·k·x} − e^{−i·k·x})}{k} = \frac{1}{2 · i} · ( ∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{i·k·x}}{k} − ∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{−i·k·x}}{k} )

und

∑_{k=1}^{∞} \frac{cos(k · x)}{k} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{\frac{1}{2} · (e^{i·k·x} + e^{−i·k·x})}{k} = \frac{1}{2} · ( ∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{i·k·x}}{k} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{e^{−i·k·x}}{k} )

für alle x ≠ 0, ±2 · π, ±4 · π etc. Die Reihe über die sin-Terme konvergiert zusätzlich auch noch an diesen Punkten (gegen 0), also für alle x ∈ ℝ.

Aufgabe 10: (MuPAD. 0 Bonuspunkte) Lies die MuPAD–Hilfeseiten zu assume und is. Mit ?properties wird man auf eine Übersichtsseite über die vordefinierten elementaren ‘Eigenschaften’ geführt.

a) Gib dem Bezeichner k die Eigenschaft, eine ganze Zahl zu sein. Vereinfache (simplify)

     den Ausdruck sin((2*k + 3/5)*PI) - cos(k*PI).

b) Versuche, ∫_{−π}^{π} x · e^{i·k·x} dx über int(x*exp(I*k*x), x = -PI .. PI) als symbolischen Ausdruck in k zu ermitteln. Gib k die Eigenschaft, ungleich 0 zu sein, und versuche es noch einmal. Gib k die Eigenschaft, eine ganze Zahl zu sein, und vereinfache den vom Integrierer gelieferten Ausdruck.

Musterlösung: a)

2.5.0 > assume(k, Type::Integer):
2.5.0 > simplify( sin((2*k + 3/5)*PI) - cos(k*PI));
                             1/2   1/2     1/2
                    k + 1   2    (5    + 5)
                (-1)      + ------------------
                                     4

b) Ohne eine Annahme an k weigert der Integrierer sich, ein explizites Ergebnis zu berechnen. Nach dem Annahme k <> 0 wird das Integral berechnet und mittels simplify vereinfacht. Das Symbol % bezieht sich auf den zuletzt berechneten Ausdruck:

2.5.0 > int(x*exp(I*k*x), x = -PI .. PI)
                       PI
                        /
                       |
                       |  x exp(I k x) dx
                      /
                      -PI
2.5.0 > assume(k <> 0):
2.5.0 > int(x*exp(I*k*x), x = -PI .. PI)
cos(PI k) + I sin(PI k) - I PI k cos(PI k) + PI k sin(PI k)
----------------------------------------------------------- -
                              2
                             k
   cos(PI k) - I sin(PI k) + I PI k cos(PI k) + PI k sin(PI k)
   -----------------------------------------------------------

                                k
2.5.0 > simplify(%)
              2 I sin(PI k) - 2 I PI k cos(PI k)
              ----------------------------------
                               2
                              k

Dies erklärt, warum die Eigenschaft k <> 0 nötig war, diesen Ausdruck zu berechnen (dieser Ausdruck macht für k = 0 keinen Sinn). Für ganzzahlige Werte von k ergibt sich eine weitere Vereinfachung. Das Symbol %2 bezieht sich auf den vorletzten Ausdruck:

2.5.0 > assume(k, Type::Integer):
2.5.0 > simplify(%2)
                                  k
                          2 I (-1)  PI
                        - ------------
                                k

Aufgabe 11*: (Einige Fourier–Reihen. 10 Bonuspunkte) Bestimme die Fourier–Reihen bzgl. der trigonometrischen Funktionen für die folgenden auf (−π, π] definierten Funktionen:

a) f(x) = \{ \begin{matrix}−1 & für x ∈ (−π, 0), \\ 1 & für x ∈ [0, π], \end{matrix} b) f(x) = x , c) f(x) = π − |x|.

Beachte Bemerkung 1.29 des Skripts.

Musterlösung:

a) Die Funktion ist ungerade, also brauchen nur die Koeffizienten vor den sin–Termen bestimmt werden:

b_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} sin(k · x) dx

= \frac{2}{π} · [ − \frac{cos(k · x)}{k}]_{x=0}^{x=π} = \frac{2}{π} · \frac{1 − (−1)^{k}}{k} = \{ \begin{matrix}\frac{4}{k·π} , & falls k ungerade, \\ 0, & falls k gerade. \end{matrix}

Ergebnis:

f(x) ∼ \frac{4}{π} · (\frac{sin(x)}{1} + \frac{sin(3 · x)}{3} + \frac{sin(5 · x)}{5} + \frac{sin(7 · x)}{7} + ⋯).

b) Die Funktion ist wieder ungerade, also brauchen nur die Koeffizienten vor den sin–Termen bestimmt werden:

b_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} x · sin(k · x) dx

Aus Bequemlichkeit wird MuPAD zum Integrieren benutzt. Wir verfahren Aufgabe 10 folgend:

2.5.0 > assume(k <> 0):
2.5.0 > b[k]:= 2/PI*int(x*sin(k*x), x = 0..PI)
                  / sin(PI k)   PI cos(PI k) \
                2 | --------- - ------------ |
                  |      2            k      |
                  \     k                    /
                ------------------------------
                              PI
2.5.0 > assume(k, Type::Integer)
2.5.0 > simplify(b[k])
                                k + 1
                          2 (-1)
                          -----------
                               k

Ergebnis:

f(x) ∼ 2 · (\frac{sin(x)}{1} − \frac{sin(2 · x)}{2} + \frac{sin(3 · x)}{3} − \frac{sin(4 · x)}{4} ± ⋯)

c) Die Funktion ist gerade, also brauchen nur die Koeffizienten vor den cos–Termen bestimmt werden:

a_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π}(π − x) · cos(k · x) dx

Aus Bequemlichkeit wird MuPAD zum Integrieren benutzt. Wir verfahren Aufgabe 10 folgend:

2.5.0 > assume(k <> 0):
2.5.0 > a[k]:= 2/PI*int((PI - x)*cos(k*x), x = 0..PI)
                        / cos(PI k)    1 \
                      2 | --------- - -- |
                        |      2       2 |
                        \     k       k  /
                    - --------------------
                               PI
2.5.0 > assume(k, Type::Integer)
2.5.0 > simplify(a[k])
                                 k
                          2 ((-1)  - 1)
                        - -------------
                                  2
                              PI k

Zusätzlich a_{0}:

2.5.0 > a[0]:= 1/PI*int(PI - x, x = 0..PI)
                         PI
                         --
                          2

Ergebnis:

f(x) ∼ \frac{π}{2} + \frac{4}{π} · (\frac{cos(x)}{1^{2}} + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + \frac{cos(7 · x)}{7^{2}} + ⋯).

Anmerkung: nach Beispiel 1.30.b) des Skripts gilt

|x| ∼ \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · (\frac{cos(x)}{1^{2}} + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + \frac{cos(7 · x)}{7^{2}} + ⋯).

Hiermit folgt sofort

π − |x| ∼ \frac{π}{2} + \frac{4}{π} · (\frac{cos(x)}{1^{2}} + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + \frac{cos(7 · x)}{7^{2}} + ⋯).

Aufgabe 12: (Fourier–Entwicklung einer singulären Funktion. 0 Bonuspunkte) Betrachte die Funktion f(x) = − ln(2 · sin(\frac{|x|}{2})) auf dem Intervall [−π, π] \ \{0\}.

a) Plotte f(x).

b) Zeige: ∫_{−π}^{π} |f(x)| dx < ∞. Anleitung: es geht nur um die Singularität bei x = 0. Für |x| ≪ 1 setze sin(|x|/2) ≈ |x|/2 und betrachte ∫_{ϵ_{1}}^{ϵ_{2}}(− ln(x)) dx mit 0 < ϵ_{1} < ϵ_{2} ≪ 1.

c) Verwende MuPADs numeric::int um numerische Approximationen der Fourier–

Koeffizienten

a_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · cos(k · x) dx

für k = 0, …, 10 zu berechnen. Stelle eine Vermutung über den exakten Wert von a_{k} auf.

d) Versuche, die Fourier–Koeffizienten von f exakt zu berechnen. (MuPAD schafft die symbolischen Integrale nicht. Per Hand: partielle Integration, um den Logarithmus verschwinden zu lassen).

e) Betrachte die in c) + d) vermutete/berechnete Fourier–Reihe und vergleiche mit Auf-

gabe 9). Vorsicht: d) ist ausgesprochen kniffelig. Man braucht etliche trigonometrische Identitäten.

Musterlösung:

a) Die Funktion ist gerade und hat eine Singularität bei x = 0:

2.5.0 > f:= -ln(2*sin(abs(x)/2)):
2.5.0 > plotfunc2d(f, x = -PI..PI)

b) Wegen f(−x) = f(x) betrachten wir nur noch x > 0. Es gilt f(x) ≈ − ln(x) > 0 für 0 < x ≪ 1 und

2.5.0 > int(-ln(x), x = eps1 .. eps2);
                -eps2 ln(eps2) + eps2 + eps1 ln(eps1) - eps1

Für festes ϵ_{2} ≪ 1 existiert mit

lim_{ϵ_{1}→0}(ϵ_{1} · ln(ϵ_{1})) = 0

das folgende Integral:

∫_{0}^{ϵ_{2}} f(x) dx ≈ ∫_{0}^{ϵ_{2}} − ln(x) dx = ϵ_{2} − ϵ_{2} · ln(ϵ_{2}) < ∞.

c) Da die Funktion gerade ist, brauchen nur die Koeffizienten a_{k} vor den cos-Termen der Fourier–Reihe berechnet werden.

2.5.0 > for k from 0 to 10 do
2.5.0 >   print(k, float(2/PI)*numeric::int(f*cos(k*x), x = 0..PI))
2.5.0 > end_for:
                        0, 6.902245402e-20
                        1, 0.9999999999
                        2, 0.5
                        3, 0.3333333333
                        4, 0.25
                        5, 0.2
                        6, 0.1666666667
                        7, 0.1428571428
                        8, 0.125
                        9, 0.1111111111
                       10, 0.09999999999

Diese Werte legen die Vermutung nahe:

a_{0} = 0, a_{k} = \frac{1}{k} (k > 0).

d) Partielle Integration für k ≠ 0:

a_{k} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f(x) · cos(k · x) dx

= \frac{2}{π} · [f(x) · \frac{sin(k · x)}{k}]_{x=0}^{x=π} − \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} f′(x) · \frac{sin(k · x)}{k} dx.

Der Randterm verschwindet für x = π und auch für x = 0 (beachte sin(k · x)/k ≈ x und x · f(x) ≈ x · (− ln(x)) → 0 für x → 0). Damit ergibt sich

a_{k} = −\frac{2}{k · π} · ∫_{0}^{π} f′(x) · sin(k · x) dx = \frac{1}{k · π} · ∫_{0}^{π} \frac{cos(\frac{x}{2})}{sin(\frac{x}{2})} · sin(k · x) dx

=^{(x/2→y)} \frac{2}{k · π} · ∫_{0}^{π/2} \frac{cos(y)}{sin(y)} · sin(2 · k · y) dy.

Verblüffenderweise hängt das verbleibende Integral gar nicht von k ab. Beobachtung: es gilt

\frac{2}{k · π} · ∫_{0}^{π/2} \frac{cos(y)}{sin(y)} · sin(2 · k · y) dy. = \frac{1}{k · π} · ∫_{0}^{π/2} \frac{sin((2 · k + 1) · y) + sin((2 · k − 1) · y)}{sin(y)} dy.

Mit

\frac{sin((2 · k + 1) · y)}{sin(y)} = 1 + 2 · ∑_{j=1}^{k} cos(2 · j · y)

folgt:

a_{k} = \frac{1}{k · π} · ∫_{0}^{π/2} (1 + 2 · ∑_{j=1}^{k} cos(2 · j · y) + 1 + 2 · ∑_{j=1}^{k−1} cos(2 · j · y)) dy

= \frac{1}{k · π} · ∫_{0}^{π/2} (2 + 4 · ∑_{j=1}^{k−1} cos(2 · j · y) + 2 · cos(2 · k · y)) dy.

Die Stammfunktionen (const·) sin(2 · j · y) von cos(2 · j · y) verschwinden, wenn sie an den Grenzen y = 0 und y = π/2 ausgewertet werden. Damit verschwinden alle Integrale bis auf den Beitrag der 2:

a_{k} = \frac{1}{k · π} · ∫_{0}^{π/2} 2 dy = \frac{1}{k} .

Der Koeffizient a_{0} ist noch trickreicher und wir verzichten hier auf eine analytische Betrachtung. Durch Nachschlagen z.B. im Bronstein findet man:

a_{0} = \frac{2}{π} · ∫_{0}^{π} ( − ln (2 · sin (\frac{x}{2}))) dx = 0.

Anmerkung: Maple schafft a_{0}:

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      |       Type ? for help.
> int(ln(2*sin(x/2)), x);
                                  2
                   I (1 - exp(I x) )
-I ln(exp(I x)) ln(-----------------) - I dilog(exp(I x)) + I dilog(exp(I x) + 1)

exp(I x)
                                    2
+ I ln(exp(I x)) ln(exp(I x) + 1) - 1/2 I ln(exp(I x))
> int(ln(2*sin(x/2)), x = 0..Pi);