Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 17. 2. 2003

Ü b u n g s b l a t t 15

Das Semester ist abgeschlossen ;-). Für dieses Aufgabenblatt ist keine Korrektur mehr vorgesehen.

Aufgabe 65: (Die Laplace–Transformation periodischer Funktionen.) Sei f ∈ L_{1loc}([0, ∞)) X-periodisch. Zeige, daß die Konvergenzhalbebene der Laplace–Transformation gegeben ist durch die Konvergenzabszisse α_{f} = 0 und dass in der rechten Halbebene gilt:

F (s) = L[f](s) = \frac{1}{1 − e^{−s·X}} · ∫_{0}^{X} e^{−s·x} · f(x) dx.

(Vergleiche auch den Rechengang in Aufgabe 18.i.b). Gehört die Grenzlinie ℜ(s) = α_{f} mit zum Konvergenzbereich? Offensichtlich ist durch die obige Darstellung gegebene Funktion F (s) analytisch fortsetzbar auf ganz ℂ bis auf abzählbar viele Polstellen erster Ordnung. Wo liegen diese?

Aufgabe 66: (Grenzwertsätze. Vorsicht: technisch!) Zeige, dass bei Existenz des Grenzwerts auf der linken Seite des Gleichheitszeichens gilt:

a) lim_{x→0_{+}} f(x) = lim_{s→∞} s · L[f](s), b) lim_{x→∞} f(x) = lim_{s→0_{+}} s · L[f](s).

Die Grenzwerte im Laplace–Raum sind zu verstehen als lim_{r→∞} bzw. lim_{r→0} bzw. innerhalb von

Winkelbereichen der Form s = r · e^{iϕ}, |ϕ| ≤ ϕ_{0} < π/2.

Aufgabe 67: (Eine einfache Laplace–Transformation)

a) Für 0 < α ∈ ℝ definiere die ”Gamma-Funktion“

Γ(α) = ∫_{0}^{∞} x^{α−1} · e^{−x} dx.

Zeige, dass die Funktionalgleichung Γ(α + 1) = α · Γ(α) gilt und folgere Γ(n + 1) = n! für n ∈ ℕ.

b) Zeige für −1 < α ∈ ℝ und ℜ(s) > 0: L[x^{α}](s) = \frac{Γ(α + 1)}{s^{α+1}}.

Aufgabe 68: (Laplace–Transformation als Methode zur Lösung von DGLen)

a) Löse die DGL

4 · x · f′′(x) + 2 · f′(x) + f(x) = 0

mit der Anfangsbedingung f(0) = 0.

Anleitung: Die Laplace–Transformierte der Lösung ist L[f](s) = const · e^{−1/(4·s)}/s^{3/2}. Das Urbild ergibt sich z.B. durch Nachschlagen in Tabellen zu

f(x) = const · \frac{2}{\sqrt{π}} · sin(\sqrt{x} ).

b) Löse das Differentialgleichungssystem

f′(x) + g′(x) = 1, g′(x) + g(x) = f′(x) − f(x)

mit gegebenen Anfangsbedingungen f(0) und g(0) durch Laplace–Transformation.

Aufgabe 70: (Inhomogene DGLen) Betrachte das inhomogene Anfangswertproblem

y′′(x) + 2 · y′(x) + y(x) = h(x), y(0) = y′(0) = 0.

Leite mittels Laplace–Transformation die Lösungsformel y(x) = ∫_{0}^{x}(x − ξ) · e^{ξ−x} · h(ξ) dξ her.

Aufgabe 71: (Eine einfache Differential–Differenzengleichung) Finde eine kompakte Reihendarstellung der Lösung der ”Funktionalgleichung“

\frac{d}{dx} f(x) + f(x − 1) = x^{2}

mit f(x) = 0 für x ≤ 0. Anleitung: Die Laplace–Transformierte der Lösung ergibt sich unmittelbar als

L[f(x)](s) = \frac{2}{s^{3}} · \frac{1}{s + e^{−s}} = 2 · ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} · \frac{e^{−k·s}}{s^{k+4}} .

Jeder Summand läßt sich über die Rechenregeln der Laplace–Transformation leicht zurücktransformieren.