Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 10. 2. 2003

Ü b u n g s b l a t t 14

Das Semester ist abgeschlossen ;-). Für dieses Aufgabenblatt ist keine Korrektur mehr vorgesehen.

Aufgabe 61: (Eine einfache Residuenformel) Seien a(z) und b(z) auf einer Umgebung von z_{0} analytisch, sei z_{0} eine einfache Nullstelle von b(z) (also b(z_{0}) = 0, b′(z_{0}) ≠ 0).

a) Zeige: Res_{\frac{a(z)}{b(z)}} (z_{0}) = \frac{a(z_{0})}{b′(z_{0})}.

b) Berechne alle Residuen von f(z) = \frac{1}{z^{2} + 1}.

c) Bestimme mittels b) das Integral ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{x^{2} + 1}.

Aufgabe 62: (Residuen) Bestimme alle Singularitäten und die entsprechenden Residuen für

a) \frac{sin(z)}{z + z^{2}} , b) \frac{z · e^{i·k·z}}{(1 + z^{2})^{2}} , c) \frac{1}{(z^{2} + a^{2})^{2}} , d) \frac{1}{e^{z} − 1}.

Aufgabe 63: (Residuenkalkül: ein Fourier–Integral)

Zeige mit Hilfe des Residuenkalküls: ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{i·k·x} dx}{4 + x^{4}} = \frac{π}{4} · e^{−|k|} · ( cos(k) + sin(|k|)), k ∈ ℝ.

Aufgabe 64: (Residuenkalkül)

Zeige mit Hilfe des Residuenkalküls: ∫_{0}^{2·π} \frac{dx}{1 + ϵ · cos(x)} = \frac{2 · π}{\sqrt{1 − ϵ^{2}}} für − 1 < ϵ < 1.

Aufgabe 65: (Residuenkalkül)

Zeige mit Hilfe des Residuenkalküls: ∫_{0}^{2·π} \frac{sin^{2}(x) dx}{2 − cos(x)} = 2 · π · \frac{26 · \sqrt{3} − 45}{7 · \sqrt{3} − 12}.