; TeX output 2003.02.10:2050 덠W 덠d- 3 cmcsc10MaEthe"fTថurPhysikerIQII ڟK`y 3 cmr10Win!tersemesterf02/03 WalEter"OevelW&3.f2.2003 ՟ nUfbungsblattL13 nᑉ p r)uRAbgabMefv!on!", 3 cmsy10Aufgabenbiszum10.2.,112 cmmi8oo]Uhr,imZettelkdDastenaufdemD1.!"V 3 cmbx10AufgabYe257*:L̹(Kurv!enintegralefundGradien!tenfelder.10Bonuspunkte)AFMޞzur7w!elcheWeertederParameterb> 3 cmmi10 `,j)hatdasVeektorfeldDZ~㼍f `[(x;1yd) =F}u 3 cmex10 ؍ܽx|{Y cmr82.+nyLy +y2+nxB F}!NR(mit7(x;1y)2 3 msbm10R2)feinfP!otentialPV(x;1yd)mitD*J~㼍f ;1= grad]x;y$P?BestimmeP! ""V cmbx10Musterl osung:K`y cmr10Seien b> cmmi10fٓR cmr71C=x^2+G !", cmsy10y[ٲ,f2C=y^2_+GcxdiebGeidenKoezientendesV*ektorfeldes.AusderMatheIIqistbekqannt,dass\q~UUfgenauUUdann(lokqal)einPotentialUUhat,wenn5<$ ӟ?@ 8f1 ӟ?w fe ? (֍i@ 8y ة=<$K@ 8f2Kw fe ? (֍W@ 8xMЍgilt(diesistgenaudieSymmetrieP 0er cmmi7xy=KPy@LxderzweitenAbleitung,wennmanhypGothetischeinPotentialmitUUf1C=Px,f2=Py#ܲannimmt).FGourunserV*ektorfeldistdieseBedingung:<$ 9 @ 8f1 9 w fe ? (֍i@ 8y rw=x[В(!).̲=<$Nn@ 8f2Nnw fe ? (֍W@ 8x"ز= :EinUUPotentialkqannalsonurfGour^ϲ=qexistieren.MankqanndasPotentialnunentwederraten:|k5f1C=x2S+8 zy"=Px)Pc(x;y[ٲ)=<$Kx^3Kw fe 3 (֍Dz3+BZxy+c1|s(y[ٲ); þkRf2C=y[ٟ2,+8 zx=Py)Pc(x;y[ٲ)=<$Ky^3Kw fe k (֍_3%+8BZxy+c2|s(x);þ Ua)Pc(x;y[ٲ)=<$Kx^3S+8y^3Kw fe +؟ (֍ 3'6+8BZxy+c3\ oGderUU(systematisch)roubereinKurvenintegralUUbestimmen: Pc(ȵ~x)=cAa cmr6 Lşc u cmex10Zi2~Lx@ I~ x Z cmr50 Oh\qb>~f(ȵ~x);d~xiAsmit-einembGeliebigenPunkty~x0undeinembeliebigenW*eg vony~x0nachy~xͲ.DiesfGouhrtnatGourlichzumselbGenErgebnisUUwieobGen.́ ffxpAufgabYe258*:L̹(DerfMittelw!ertsatz.10Bonuspunkte)Seiff-(z{I)analytisc!haufeinemGebiet,dasdenKreisumzz0fjmitRadiusrDumfasst.Zeige:s f-(zz0) =X1=ڟ㦉 p 2nnZC, b 2K cmsy8B0|ӽf(zz0.+nrezit)dt:Ansc!haulicheInterpretation:derMittelwertderFeunktionswerteaufeinemKreisstimmtmitdem Feunktionsw!ertfamMittelpunktDzubMerein. *덠W 덠 Musterl osung: DieUUCauchyscheIntegraldarstellung M f(z0|s)=<$1Kw fe ͟ (֍28i$Y+8cI y <$䧵f(uDz)w fe 1 (֍ 8z0.Bd_mitUUeinemdurchuDz(t)=z0S+8re^iO! cmsy7t,UUt2[0;28[ٲ]parametrisiertenKreis liefertsofort{8f(z0|s)=<$1Kw fe ͟ (֍28i$Y+8cZi82@0<$f(z0S+8re^it)w fe