Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 13. 1. 2003

Ü b u n g s b l a t t 11

Abgabe von ∗ Aufgaben bis zum 27.1., 11^{oo} Uhr, im Zettelkasten auf dem D1.

Ich bin vom 14.1. – 20.1. nicht in Paderborn. Die entsprechenden Vorlesungen finden nicht statt und werden später nachgeholt. Der Übungstermin am 13.1. findet wie gewohnt statt.

Aufgabe 46*: (Legendre–Polynome: die ”Multipolentwicklung“. 10 Bonuspunkte) Sei ρ(y⃗) ≥ 0 die Massenverteilung innerhalb eines Planeten P, der Ursprung des Koordinatensystems liege im Schwerpunkt. Die Masse im Volumen dV an der Stelle y⃗ erzeugt an der Stelle x⃗ das Gravitationspotential −γ · \frac{ρ(y⃗) dV}{∥x⃗−y⃗ ∥} (mit der Gravitationskonstanten γ). Das Gravitationspotential des Planeten ist damit durch

ϕ(x⃗) = −γ · ∫_{y⃗∈P} \frac{ρ(y⃗) dV}{∥x⃗ − y⃗∥}

gegeben.

a) Finde Entwicklungskoeffizienten m_{1}, m_{2}, … mit

ϕ(x⃗) ≈ −γ · (\frac{m_{1}}{∥x⃗ ∥} + \frac{m_{2}}{∥x⃗ ∥^{2}} + ⋯).

b) Folgere, dass in grossem Abstand ∥x⃗ ∥ vom Planeten das Gravitationspotential durch

ϕ(x⃗) ≈ −γ · \frac{Gesamtmasse des Planeten}{∥x⃗ ∥}

gegeben ist.

c) Zeige, dass bei rotationsymmetrischer Massenverteilung ρ(y⃗) = ρ(∥y⃗ ∥) die Näherungsformel in b) das Potential exakt darstellt.

Anleitung: Lege das Koordinatensystem so, dass x⃗ über dem Nordpol des Planeten liegt und betrachte das Integral in Kugelkoordinaten (r, ϕ, θ). Benutze Aufgabe 43.g).

Musterlösung:

a) In Kugelkoordinaten

y⃗ = (r · cos(ϕ) · sin(θ), r · sin(ϕ) · sin(θ), r · cos(θ)), r ≥ 0, ϕ ∈ [0, 2 · π), θ ∈ [0, π]

gilt

dV = r^{2} · sin(θ) dr dϕ dθ.

Man erhält die Integraldarstellung

ϕ(x⃗) = −γ · ∫_{y⃗∈P} \frac{ρ(y⃗) dV}{∥x⃗ − y⃗∥} = −γ · ∫_{y⃗∈P} \frac{ρ(y⃗)}{∥x⃗ − y⃗∥} · r^{2} · sin(θ) dr dϕ dθ.

Der Punkt ∥x⃗∥ wird auf die y_{3}-Achse gelegt: x⃗ = (0, 0, ∥x⃗ ∥). Damit gilt

⟨x⃗, y⃗ ⟩ = ∥x⃗∥ · r · cos(θ). (#)

Nach Aufgabe 43.g) gilt

\frac{1}{∥x⃗ − y⃗∥} = \frac{1}{∥x⃗ ∥} · ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(cos(θ)) · (\frac{r}{∥x⃗ ∥})^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{P_{k}(cos(θ)) · r^{k}}{∥x⃗ ∥^{k+1}} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{P_{k−1}(cos(θ)) · r^{k−1}}{∥x⃗ ∥^{k}}

(das Argument der Legendre–Polynome P_{k} ist ⟨x⃗, y⃗ ⟩/(∥x⃗ ∥ · ∥y⃗ ∥), das mit (#) zu cos(θ) berechnet wurde). Dies liefert die Integraldarstellung

ϕ(x⃗) = −γ · ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{∥x⃗ ∥^{k}} · \underbrace{∫_{y⃗∈P} ρ(y⃗) · P_{k−1}(cos(θ)) · r^{k+1} · sin(θ) dr dϕ dθ}_{m_{k}} = −γ · ∑_{k=1}^{∞} \frac{m_{k}}{∥x⃗ ∥^{k}}

mit

m_{k} = ∫_{y⃗∈P} ρ(y⃗) · P_{k−1}(cos(θ)) · r^{k+1} · sin(θ) dr dϕ dθ, k = 1, 2, 3, ….

b) Für großes ∥x⃗ ∥ gilt

ϕ(x⃗) = −γ · (\frac{m_{1}}{∥x⃗ ∥} + \frac{m_{2}}{∥x⃗ ∥^{2}} + ⋯) ≈ −γ · \frac{m_{1}}{∥x⃗ ∥},

wobei mit P_{0}(cos(θ)) = 1 gilt:

m_{1} = ∫_{y⃗∈P} ρ(y⃗) · r^{2} · sin(θ) dr dϕ dθ = ∫_{y⃗∈P} ρ(y⃗) dV = Gesamtmasse des Planeten.

c) Es gelte ρ(y⃗) = ρ(r, ϕ), d.h., die Dichte hänge nicht vom Polarwinkel θ ab. (Die in der Aufgabenstellung geforderte Rotationssymmetrie ρ(y⃗) = ρ(r) ist ein Spezialfall). Es folgt:

m_{k} = ∫_{y⃗∈P} ρ(r, ϕ) · P_{k−1}(cos(θ)) · r^{k+1} · sin(θ) dr dϕ dθ,

= (∫_{y⃗∈P} ρ(r, ϕ) · r^{k+1} · dr dϕ) · (∫_{0}^{π} P_{k−1}(cos(θ)) · sin(θ) dθ) .

Mit ξ = cos(θ) ergibt sich mit der Orthogonalität der Legendre–Polynome über dem Intervall [0, 1]:

∫_{0}^{π} P_{k−1}(cos(θ)) · sin(θ) dθ = − ∫_{1}^{−1} P_{k−1}(ξ) dξ = ∫_{−1}^{1} \underbrace{1}_{P_{0}(ξ)} ·P_{k−1}(ξ) dξ = ⟨P_{0}, P_{k−1}⟩ = 2 · δ_{k1}.

Also gilt m_{2} = m_{3} = ⋯ = 0, d.h., die in b) gefundene asymptotische Näherung ist bei rotationssymmetrischer Massenverteilung die exakte Darstellung.

Aufgabe 47*: (Die Wielandt–Iteration. 10 Bonuspunkte) Sei L ein invertierbarer linearer Operator mit einem vollständigen Ortho\underline{normal}system (ψ_{k}) von Eigenfunktionen: Lψ_{k} = λ_{k} ·w ·ψ_{k}. Alle Eigenwerte seien einfach. Wähle ein μ ∈ ℝ, das mit keinem der Eigenwerte übereinstimmt und eine beliebige Startfunktion ψ^{(0)}. Iteriere

ψ^{(i+1)} = (L − μ · w)^{−1} · w · ψ^{(i)}, i = 0, 1, 2, ….

Sei ψ^{(0)} = ∑_{k} c_{k}^{(0)} · ψ_{k} die Fourier–Entwicklung der Startfunktion bzgl. der Eigenfunktionen.

a) Zeige: ψ^{(i)} = ∑_{k} \frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}} · ψ_{k}.

b) Sei k_{0} der Index des Eigenwertes, dem der Wert μ am nächsten liegt:

|λ_{k_{0}} − μ| = min_{k} {|λ_{k} − μ|}.

Setze voraus, dass dieses Minimum von genau einem λ_{k_{0}} angenommen wird, setze weiterhin c_{k_{0}}^{(0)} ≠ 0 voraus. Zeige: für großes i gilt

\frac{ψ^{(i)}}{∥ψ^{(i)}∥_{2w}} ≈ (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|}{λ_{k_{0}} − μ})^{i} · \frac{c_{k_{0}}^{(0)}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|} · ψ_{k_{0}} = (±1)^{i} · \frac{c_{k_{0}}^{(0)}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|} · ψ_{k_{0}}.

In Worten: die ”Wielandt–Iteration“ konvergiert gegen den Eigenvektor zu demjenigen Eigenwert, der dem gewählten Parameter μ am nächsten liegt.

Musterlösung:

a) Durch ψ^{(i)} = ∑_{k} \frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}} · ψ_{k} wird in der Tat die Iteration erfüllt:

(L − μ · w) ψ^{(i)} = ∑_{k} \frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}} · (L − μ · w) ψ_{k} = ∑_{k} \frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}} · (λ_{k} − μ) · w · ψ_{k}

= w · ∑_{k} \frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i−1}} · ψ_{k} = w · ψ^{(i−1)}.

Auch der Start mit i = 0 ist OK:

∑_{k} \frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{0}} · ψ_{k} = ∑_{k} c_{k}^{(0)} · ψ_{k} = Startvektor ψ^{(0)}.

b) Es gilt (Parsevalsche Gleichung)

⟨ψ^{(i)}, ψ^{(i)}⟩_{w} = ∑_{k′} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{(|λ_{k′} − μ|^{i})^{2}} · \underbrace{⟨ψ_{k′}, ψ_{k′}⟩_{w}}_{=1} = ∑_{k′} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{(|λ_{k′} − μ|^{i})^{2}} ,

also

\frac{ψ^{(i)}}{∥ψ^{(i)}∥_{2w}} = ∑_{k} \frac{\frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}}}{\sqrt{∑_{k′} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{(|λ_{k′} − μ|^{i})^{2}}}} · ψ_{k} =: ∑_{k} c_{k}^{(i)} · ψ_{k}.

Für die Entwicklungskoeffizienten der normierten Wielandt–Iterierten ψ^{(i)}/∥ψ^{(i)}∥_{2w} gilt

c_{k}^{(i)} = \frac{\frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}}}{\sqrt{∑_{k′} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{(|λ_{k′} − μ|^{i})^{2}}}} = \frac{\frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}}}{\sqrt{\frac{|c_{k_{0}}^{(0)}|^{2}}{(|λ_{k_{0}} − μ|^{i})^{2}} + ∑_{k′≠k_{0}} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{(|λ_{k′} − μ|^{i})^{2}}}}

= \frac{\frac{c_{k}^{(0)}}{(λ_{k} − μ)^{i}}}{\frac{|c_{k_{0}}^{(0)}|}{|λ_{k_{0}} − μ|^{i}} · \sqrt{1 + ∑_{k′≠k_{0}} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|^{2}} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|^{i}}{|λ_{k′} − μ|^{i}} )^{2}}} = \frac{\frac{c_{k}^{(0)}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|}{λ_{k} − μ})^{i}}{\sqrt{1 + ∑_{k′≠k_{0}} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|^{2}} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|^{i}}{|λ_{k′} − μ|^{i}} )^{2}}} .

Offensichtlich gilt:

lim_{i→∞} \sqrt{1 + ∑_{k′≠k_{0}} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|^{2}} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|^{i}}{|λ_{k′} − μ|^{i}} )^{2}} = 1,

da μ dem Eigenwert λ_{k_{0}} am nächsten liegen soll, also |λ_{k_{0}} − μ| < |λ_{k′} − μ| ∀k′ ≠ k_{0} gilt. Hiermit folgt für k ≠ k_{0}

lim_{i→∞} c_{k}^{(i)} = \frac{\frac{c_{k}^{(0)}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|} · lim_{i→∞} (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|}{λ_{k} − μ})^{i}}{lim_{i→∞} \sqrt{1 + ∑_{k′≠k_{0}} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|^{2}} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|^{i}}{|λ_{k′} − μ|^{i}} )^{2}}} = 0.

Für k = k_{0} gilt

c_{k_{0}}^{(i)} = \frac{\frac{c_{k_{0}}^{(0)}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|}{λ_{k_{0}} − μ})^{i}}{\sqrt{1 + ∑_{k′≠k_{0}} \frac{|c_{k′}^{(0)}|^{2}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|^{2}} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|^{i}}{|λ_{k′} − μ|^{i}} )^{2}}} ≈ \frac{c_{k_{0}}^{(0)}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|}{λ_{k_{0}} − μ})^{i}.

Insgesamt gilt also für großes i:

\frac{ψ^{(i)}}{∥ψ^{(i)}∥_{2w}} ≈ \frac{c_{k_{0}}^{(0)}}{|c_{k_{0}}^{(0)}|} · (\frac{|λ_{k_{0}} − μ|}{λ_{k_{0}} − μ})^{i} · ψ_{k_{0}},

wobei (\frac{|λ_{k_{0}} −μ|}{λ_{k_{0}} −μ})^{i} (bei reellem λ_{k_{0}} und μ) konstant 1 oder ein mit i wechselndes Vorzeichen ist.

Aufgabe 48*: (Greens–Funktionen. 10 Bonuspunkte)

a) Finde eine explizite Darstellung der Greens–Funktion des Randwertproblems

ψ′′(x) + ψ(x) = f(x), ψ(0) = ψ′(π) = 0.

b) Berechne die Lösung für f(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x < \frac{π}{2} , \\ −1 & für x ≥ \frac{π}{2} . \end{matrix}

Musterlösung:

a) Wir folgen dem Rezept aus Bemerkung 2.26 des Skripts, um die Gleichung

ψ′′(x) + ψ(x) = δ(x − y)

zu lösen. Die allgemeine homogene Lösung der DGL ist

g(x, y) = \{ \begin{matrix}α_{−}(y) · cos(x) + β_{−}(y) · sin(x) & für x < y, \\ α_{+}(y) · cos(x) + β_{+}(y) · sin(x) & für y < x, \end{matrix}

also

g_{x}(x, y) = \frac{∂g}{∂x} (x, y) = \{ \begin{matrix}−α_{−}(y) · sin(x) + β_{−}(y) · cos(x) & für x < y, \\ −α_{+}(y) · sin(x) + β_{+}(y) · cos(x) & für y < x. \end{matrix}

Aus den Randbedingungen g(0, y) = 0 und g_{x}(π, y) = 0 folgt α_{−}(y) = 0, β_{+}(y) = 0, also

g(x, y) = \{ \begin{matrix}β_{−}(y) · sin(x) & für x < y, \\ α_{+}(y) · cos(x) & für y < x \end{matrix} , g_{x}(x, y) = \{ \begin{matrix}β_{−}(y) · cos(x) & für x < y, \\ −α_{+}(y) · sin(x) & für y < x. \end{matrix}

Die Stetigkeitsbedingung g(y − 0, y) = g(y + 0, y) bei x = y liefert die Gleichung

β_{−}(y) · sin(y) = α_{+}(y) · cos(y).

Zusammen mit die Sprungbedingung

\frac{∂g}{∂x} (y − 0, y) − \frac{∂g}{∂x} (y + 0, y) = −1 ⇒ β_{−}(y) · cos(y) − (−α_{+}(y) · sin(y)) = −1

bei x = y erhält man also die beiden linearen Gleichungen

β_{−}(y) · sin(y) = α_{+}(y) · cos(y), β_{−}(y) · cos(y) + α_{+}(y) · sin(y) = −1

mit der eindeutigen Lösung α_{+}(y) = − sin(y), β_{−}(y) = − cos(y). Ergebnis:

g(x, y) = \{ \begin{matrix}− sin(x) · cos(y) & für x < y, \\ − cos(x) · sin(y) & für y < x. \end{matrix}

Probe: Sei

ψ(x) = ∫_{0}^{π} g(x, y) · f(y) dy = − ∫_{0}^{x} cos(x) · sin(y) · f(y) dy − ∫_{x}^{π} sin(x) · cos(y) · f(y) dy

= − cos(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · f(y) dy − sin(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · f(y) dy.

Es folgt

ψ′(x) = sin(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · f(y) dy − cos(x) · sin(x) · f(x) − cos(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · f(y) dy + sin(x) · cos(x) · f(x)

= sin(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · f(y) dy − cos(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · f(y) dy

ψ′′(x) = cos(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · f(y) dy + sin(x) · sin(x) · f(x) + sin(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · f(y) dy + cos(x) · cos(x) · f(x)

= cos(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · f(y) dy + sin(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · f(y) dy + \underbrace{( cos^{2}(x) + sin^{2}(x))}_{=1} ·f(x).

Hiermit folgt, dass ψ(x) = ∫_{0}^{π} g(x, y) · f(y) dy in der Tat die DGL erfüllt: ψ′′(x) + ψ(x) = f(x).

b) Die Lösung für f(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x < \frac{π}{2} \\ −1 & für x ≥ \frac{π}{2} \end{matrix} \} ist in die Fälle 0 ≤ x < π/2 und π/2 ≤ x ≤ π aufzupalten.

Für 0 ≤ x < π/2 gilt:

ψ(x) = − cos(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · f(y) dy − sin(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · f(y) dy

= − cos(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · \underbrace{f(y)}_{=1} dy − sin(x) · ∫_{x}^{π/2} cos(y) · \underbrace{f(y)}_{=1} dy − sin(x) · ∫_{π/2}^{π} cos(y) · \underbrace{f(y)}_{=−1} dy

= − cos(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) dy − sin(x) · ∫_{x}^{π/2} cos(y) dy + sin(x) · ∫_{π/2}^{π} cos(y) dy

= − cos(x) · (− cos(x) + cos(0)) − sin(x) · (sin(π/2) − sin(x)) + sin(x) · (sin(π) − sin(π/2))

= cos^{2}(x) − cos(x) + sin^{2}(x) − sin(x) = 1 − cos(x) − 2 · sin(x).

Für π/2 ≤ x ≤ π gilt:

ψ(x) = − cos(x) · ∫_{0}^{x} sin(y) · f(y) dy − sin(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · f(y) dy

= − cos(x) · ∫_{0}^{π/2} sin(y) · \underbrace{f(y)}_{=1} dy − cos(x) · ∫_{π/2}^{x} sin(y) · \underbrace{f(y)}_{=−1} dy − sin(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) · \underbrace{f(y)}_{=−1} dy

= − cos(x) · ∫_{0}^{π/2} sin(y) dy + cos(x) · ∫_{π/2}^{x} sin(y) dy + sin(x) · ∫_{x}^{π} cos(y) dy

= − cos(x) · (− cos(π/2) + cos(0)) + cos(x) · (− cos(x) + cos(π/2)) + sin(x) · (sin(π) − sin(x))

= − cos(x) − cos^{2}(x) − sin^{2}(x) = − cos(x) − 1.

Aufgabe 49*: (Zu den Legendre–Polynomen. 10 Bonuspunkte) Betrachte die bei x = ±1 regulären Lösungen ψ(x) der inhomogenen Legendre–DGL

−((1 − x^{2}) · ψ′(x))′ = f(x) (#)

für gegebenes f(x).

a) Zeige, dass eine reguläre Lösung des Problems (#) genau dann existiert, wenn ∫_{−1}^{1} f(x) dx = 0 gilt. Anleitung: Betrachte die die Fourier–Entwicklungen von f und ψ nach den Legendre– Polynomen. b) Wieso ist die Lösung von (#) nicht eindeutig? Was ist die allgemeine Lösung?

c) Finde die allgemeine reguläre Lösung für f(x) = x^{3}.

Musterlösung:

a) Mit L = −\frac{d}{dx} (1 − x^{2}) \frac{d}{dx} gilt L P_{k} = λ_{k} · P_{k} mit λ_{k} = k · (k + 1), k = 0, 1, 2, . . .. Einsetzen der Fourier–Entwicklungen

ψ = ∑_{k=0}^{∞} d_{k} · P_{k}, f = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} · P_{k}

in die DGL liefert

Lψ = ∑_{k=0}^{∞} λ_{k} · d_{k} · P_{k} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} · P_{k},

also

λ_{k} · d_{k} = c_{k} ⟹ d_{k} = \frac{c_{k}}{λ_{k}} = \frac{c_{k}}{k · (k + 1)}, k = 1, 2, …

sowie c_{0} = 0, also

c_{0} = \frac{⟨P_{0}, f⟩}{⟨P_{0}, P_{0}⟩} = \frac{1}{2} · ∫_{−1}^{1} P_{0}(x) · f(x) dx = \frac{1}{2} · ∫_{−1}^{1} f(x) dx = 0.

Diese Bedingung läßt sich auch unmittelbar ableiten, indem man die Legendre–DGL integriert:

−((1 − x^{2}) · ψ′(x))′ = f(x) ⟹ −[(1 − x^{2}) · ψ′(x)]_{x=−1}^{x=1} = ∫_{−1}^{1} f(x) dx.

Setzt man ψ bei x = ±1 als regulär voraus, so ergibt sich ∫_{−1}^{1} f(x) dx = 0.

b) Der Legendre–Operator L hat den Eigenwert 0 und ist daher nicht invertierbar. Die allgemeine Lösung

ist ψ = c_{0} · P_{0} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{c_{k}}{k · (k + 1)} · P_{k}(x) mit einer beliebigen Konstanten c_{0}.

c) Mit

P_{0}(x) = 1, P_{1}(x) = x, P_{2}(x) = \frac{3}{2} · x^{2} − \frac{1}{2}, P_{3}(x) = \frac{5}{2} · x^{3} − \frac{3}{2} · x

gilt

f(x) = x^{3} = \frac{2}{5} · (\frac{5}{2} · x^{3} − \frac{3}{2} · x) + \frac{3}{5} · x = \frac{2}{5} · P_{3}(x) + \frac{3}{5} · P_{1}(x),

also c_{1} = \frac{3}{5}, c_{3} = \frac{2}{5} und c_{k} = 0 für alle anderen k ∉ \{1, 3\}. Damit ist die allgemeine Lösung

ψ(x) = c + ∑_{k=1,3} \frac{c_{k} · P_{k}(x)}{k · (k + 1)} = c + \frac{c_{1} · P_{1}(x)}{2} + \frac{c_{3} · P_{3}(x)}{12}

= c + \frac{3}{5} · \frac{1}{2} · x + \frac{2}{5} · \frac{1}{12} · (\frac{5}{2} · x^{3} − \frac{3}{2} · x) = \frac{x^{3}}{12} + \frac{x}{4} + c.

Probe:

−((1 − x^{2}) · (\frac{x^{3}}{12} + \frac{x}{4} + c)′)′ = −((1 − x^{2}) · (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4}))′ = −(\frac{1 − x^{4}}{4} )′ = x^{3} (OK).

Aufgabe 50*: (Die Wellengleichung mit Rotationssymmetrie. 10 Bonuspunkte) Berechne die von einem runden Trommelfell erzeugten Tonfrequenzen. Anleitung: Es ist die Wellengleichung

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = c^{2} · (\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}})

mit der Randbedingung u(t, x, y) = 0 für x^{2} + y^{2} = r_{0}^{2} (r_{0} = Radius des Trommelfells) und den Anfangsbedingungen u(0, x, y) = u_{0}(x, y), \frac{∂u}{∂t}(0, x, y) = u̇_{0}(x, y) zu lösen. Für die Frage nach den Tonfrequenzen braucht die Lösung nicht an konkrete Anfangsbedingungen angepasst zu werden: es reicht, die Grundlösungen (Eigenfunktionen des Laplace–Operators) zu betrachten. Siehe Beispiel 2.29 des Skripts.

Musterlösung: Gemäß der am Ende von Beispiel 2.29 des Skripts gelieferten Interpretation ist (in Polarkoordinaten)

Ψ_{νk}(r, ϕ) = J_{|ν|}(λ_{|ν|k} · \frac{r}{r_{0}} ) · e^{i·ν·ϕ}, ν ∈ ℤ, k ∈ ℕ

ein orthogonaler Satz von Eigenfunktionen des Laplace–Operators:

ΔΨ_{νk} = −Λ_{νk} · Ψ_{νk}, Λ_{νk} = \frac{λ_{|ν|k}^{2}}{r_{0}^{2}} .

Hierbei ist λ_{|ν|k} die k-te positive Nullstelle der Bessel–Funktion J_{|ν|}. Betrachte

u(t, x, y) = f_{νk}(t) · Ψ_{νk}(r(x, y), ϕ(x, y)).

Einsetzen in die Wellengleichung liefert

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = (\frac{d^{2}}{dt^{2}} f_{νk}(t)) · Ψ_{νk} = c^{2} · Δu = −c^{2} · Λ_{νk} · f_{νk}(t) · Ψ_{νk}.

Es folgt die gewöhnliche DGL

\frac{d^{2}}{dt^{2}} f_{νk}(t) = −c^{2} · Λ_{νk} · f_{νk}(t) = −\frac{c^{2} · λ_{|ν|k}^{2}}{r_{0}^{2}} · f_{νk}(t)

mit der allgemeinen Lösung

f_{νk}(t) = c_{1} · e^{i·c·λ_{|ν|k}·t/r_{0}} + c_{2} · e^{−i·c·λ_{|ν|k}·t/r_{0}}.

Die vom Trommelfell erzeugten Töne haben damit die Frequenzen

±\frac{c · λ_{|ν|k}}{r_{0}} , ν ∈ ℤ, k ∈ ℕ,

wobei die Werte von λ_{|ν|k} z.B. aus der Tabelle in Bemerkung 2.17 des Skripts ersichtlich sind.

Aufgabe 51: (Der MuPAD–Führerschein: die Poisson–Gleichung auf der Kreisscheibe.) Betrachte gemäß Beispiel 2.29 des Skripts die Lösung der Poisson–Gleichung

−Δu(r, ϕ) = f(r, ϕ), u(r_{0}, ϕ) = 0 mit f(r, ϕ) = 5 · e^{−30·(r−1/2)^{2}} · e^{−2·sin(ϕ)^{2}}.

auf der Kreisscheibe 0 ≤ r ≤ r_{0} = 1, ϕ ∈ [0, 2 · π). Plotte mit MuPAD die Funktion f(r, ϕ) sowie die Lösung u(r, ϕ). Anleitung: die Lösungsformel findet sich in Beispiel 2.29. Wähle eine geeignete Anzahl von Eigenfunktionen des Laplace–Operators zur Fourier–Entwicklung. Berechne die Fourier–Koeffizienten numerisch. Zum Plotten einer in Polarkoordinaten gegebenen Funktion f(r, ϕ) benutze man

>> plot(plot::Surface3d([r*cos(phi), r*sin(phi), f(r, phi)],
                        r = 0 .. r0, phi = 0 .. 2*PI));

Musterlösung: Die Lösungsformel aus Beispiel 2.29 wird rekapituliert. Die Eigenfunktionen des Laplace–Operators sind

Ψ_{νk}(r, ϕ) = J_{|ν|}(λ_{|ν|k} · \frac{r}{r_{0}} ) · e^{i·ν·ϕ}, ν ∈ ℤ, k ∈ ℕ,

es gilt

−ΔΨ_{νk} = Λ_{νk} · Ψ_{νk}, Λ_{νk} = \frac{λ_{|ν|k}^{2}}{r_{0}^{2}} ,

wobei λ_{|ν|k} die k-te positive Nullstelle der Bessel–Funktion J_{|ν|} ist. Es gilt

⟨Ψ_{νk}, Ψ_{ν′k′}⟩ = r_{0}^{2} · π · (J_{|ν|+1}(λ_{|ν|k}))^{2} · δ_{νν′} · δ_{kk′}.

Die Lösung von −Δu = f ist gegeben durch

u(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} ∑_{k∈ℕ} \frac{1}{Λ_{νk}} · \frac{⟨Ψ_{νk}, f⟩}{⟨Ψ_{νk}, Ψ_{νk}⟩} · Ψ_{νk}(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} ∑_{k∈ℕ} \frac{c_{νk}}{Λ_{νk}} · ·Ψ_{νk}(r, ϕ)

mit den Fourier–Koeffizienten

c_{νk} = \frac{⟨Ψ_{νk}, f⟩}{⟨Ψ_{νk}, Ψ_{νk}⟩} = \frac{1}{⟨Ψ_{νk}, Ψ_{νk}⟩} · ∫_{0}^{2·π} ∫_{0}^{r_{0}} J_{|ν|}(λ_{|ν|k} · \frac{r}{r_{0}} ) · e^{−i·ν·ϕ} · f(r, ϕ) · r dr dϕ.

Hier der entsprechende MuPAD–Code:

//-------------------------------------------------------
//setting up the problem
>> r0:= 1:                           // radius of the disc
>> fR:= r -> 5*exp(-30*(r - 1/2)^2): // radial part of f(r, phi)
>> fPHI:= phi -> exp(-2*sin(phi)^2): // angular part of f(r, phi)
>> f:= (r, phi) -> fR(r)*fPHI(phi):  // the 'right hand side'
//-------------------------------------------------------
// setting up numerical parameters:
>> V:= 10: // the range for the angular frequencies v is -V <= v <= V
>> K:= 10: // number of radial Fourier terms
//-------------------------------------------------------
>> print("Computing Bessel zeroes"):
// initialize the array lambda to contain the Bessel zeroes
>> lambda:= array(0..V, 1..K):
>> // approximation of the first zero:
>> lambda1:= v -> float(v) + 1.856*float(v)^(1/3):
// systematic numerical search for the zeroes:
>> for v from 0 to V do
    searchrange:= lambda1(v) .. lambda1(v) + PI;
    lambda[v, 1]:= numeric::realroot(besselJ(v, x), x = searchrange):
    for k from 2 to K do
      searchrange:= lambda[v,k-1] + PI/2 ..  lambda[v,k-1] + 3*PI/2;
      lambda[v, k]:= numeric::realroot(besselJ(v, x) = 0, x = searchrange);
    end_for:
   end_for:
//-------------------------------------------------------
>> print("Computing n[v,k] = <PSI(v,k), PSI(v,k)>"):
>> for v from 0 to V do
    for k from 1 to K do
      n[v , k]:= float(r0^2*PI*besselJ(abs(v)+1, lambda[abs(v), k])^2):
      n[-v, k]:= n[v, k]:
    end_for:
   end_for:
//-------------------------------------------------------
>> print("Computing the Fourier coefficients c[v,k] =  <PSI(v,k), f>/n[v,k]"):
>> c:= array(-V..V, 0..K):
>> for v from -V to V do
    for k from 1 to K do
     c[v, k]:= numeric::int(r*fR(r)*besselJ(abs(v), lambda[abs(v),k]*r/r0), r=0..r0) *
               numeric::int(fPHI(phi)*exp(-I*v*phi), phi = 0..2*PI)/n[v, k];
     // cut off tiny Fourier coefficients (just for efficiency)
     if abs(c[v,k]) < 10^(-10) then
         c[v, k]:= 0
     end_if;
   end_for:
  end_for:
//-------------------------------------------------------
// The eigenfunctions
>> PSI:= (v, k, r, phi) -> besselJ(abs(v), lambda[abs(v),k]*r/r0)*exp(I*v*phi):
//-------------------------------------------------------
// The eigenvalues
>> LAMBDA:= (v, k) -> lambda[abs(v), k]^2/r0^2:

Hier ist die Funktion f(r, ϕ):

>> plot(plot::Surface3d([r*cos(phi),r*sin(phi), f(r, phi)], r = 0..r0, phi = 0..2*PI));

Zur Kontrolle des Programms: es sollte

f = ∑_{ν} ∑_{k} \frac{⟨Ψ_{νk}, f⟩}{⟨Ψ_{νk}, Ψ_{νk}⟩} · Ψ_{νk} = ∑_{ν} ∑_{k} c_{νk} · Ψ_{νk}

gelten. Hier wird die Fourier–Reihe von f geplotted, die in der Tat eine gute Approximation von f liefert. (Der Aufruf des Realteils Re dient dazu, die durch die e^{i·ν·ϕ}–Anteile in Ψ_{νk} eingeschleppten Imaginärteile zu entfernen. Diese sollten theoretisch zwar alle exakt verschwinden, es bleiben aber durch die numerischen Rundungsungenauigkeiten sehr kleine Imaginärteile übrig, die die Graphik nicht verträgt.)

>> f:= (r, phi) -> Re(_plus(_plus(c[v,k]*PSI(v, k, r, phi) $ v = -V..V) $ k = 1..K)):
>> plot(plot::Surface3d([r*cos(phi),r*sin(phi), f(r, phi)], r = 0..r0, phi = 0..2*PI));

Zuletzt wird die Lösung

u = ∑_{ν} ∑_{k} \frac{1}{Λ_{|ν|k}} · \frac{⟨Ψ_{νk}, f⟩}{⟨Ψ_{νk}, Ψ_{νk}⟩} · Ψ_{νk} = ∑_{ν} ∑_{k} \frac{c_{νk}}{Λ_{|ν|k}} · Ψ_{νk}

von −Δu = f geplottet:

>> u:= (r, phi) -> Re(_plus(_plus(c[v,k]*PSI(v, k, r, phi)/LAMBDA(v,k)
                                                             $ v = -V..V) $ k = 1..K)):
>> plot(plot::Surface3d([r*cos(phi),r*sin(phi), u(r, phi)], r = 0..r0, phi = 0..2*PI));