Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 6. 1. 2003

Ü b u n g s b l a t t 10

Abgabe von ∗ Aufgaben bis zum 13.1., 11^{oo} Uhr, im Zettelkasten auf dem D1.

Ich bin vom 14.1. – 20.1. nicht in Paderborn. Die entsprechenden Vorlesungen finden nicht statt und werden später nachgeholt. Der Übungstermin am 13.1. findet wie gewohnt statt.

Aufgabe 43*: (Zu den Legendre–Polynomen. Insgesamt 20 Bonuspunkte)

a) Zeige, dass die durch die Entwicklung

f(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1 − 2 · x · t + t^{2}}} = ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · t^{k}

definierten Polynome P_{k}(x) die Legendresche Differentialgleichung

−((1 − x^{2}) · P′_{k}(x))′ = λ_{k} · P_{k}(x)

mit den Eigenwerten λ_{k} = k · (k + 1) erfüllen. Anleitung: Verifiziere, dass die Funktion f(x, t) die partielle DGL

−\frac{∂}{∂x} ((1 − x^{2}) · \frac{∂f}{∂x}) = t · \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} (t · f)

erfüllt. Setze die Entwicklung ein und vergleiche die einzelnen t-Potenzen.

b) Zeige, dass die Polynome P_{k}(x) die Rekursion

P_{1}(x) = x · P_{0}(x), (k + 1) · P_{k+1}(x) = (2 · k + 1) · x · P_{k}(x) − k · P_{k−1}(x)

erfüllen. Anleitung: Verifiziere, dass (1−2·x·t+t^{2})· \frac{df}{dt} = (x−t)·f gilt. Setze die Entwicklung ein und vergleiche die t-Potenzen.

c) Bestimme P_{0}(x), …, P_{4}(x). Anleitung: b).

d) Zeige: P_{k}(1) = 1, P_{k}(−1) = (−1)^{k}. Anleitung: Betrachte f(±1, t).

e) Zeige: P_{k}(−x) = (−1)^{k} · P_{k}(x). Anleitung: f(−x, t) = f(x, −t).

f) Zeige: ⟨P_{k}, P_{k}⟩ = ∫_{−1}^{1} P_{k}(x)^{2} dx = \frac{2}{2 · k + 1}.

Anleitung: Benutze

\frac{1}{t} · ln (\frac{1 + t}{1 − t}) = ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{1 − 2 · x + t^{2}} = ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 − 2 · x + t^{2}} · \sqrt{1 − 2 · x + t^{2}}}

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{k′=0}^{∞} ∫_{−1}^{1} P_{k}(x) · P_{k′}(x) dx · t^{k+k′} = ∑_{k=0}^{∞} ∫_{−1}^{1} P_{k}(x)^{2} dx · t^{2·k}.

Es verbleibt, die Taylor–Reihe von \frac{1}{t} · ln(\frac{1+t}{1−t}) um t = 0 zu ermitteln.

g) Seien x⃗, x⃗_{0} Vektoren im ℝ^{n} mit den Längen r = ∥x∥ > r_{0} = ∥x_{0}∥ und dem durch ⟨x⃗, x⃗_{0}⟩ = r · r_{0} · cos(ϕ) gegebenen Zwischenwinkel ϕ. Zeige:

\frac{1}{∥x⃗ − x⃗_{0}∥} = \frac{1}{r} · ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(cos(ϕ)) · (\frac{r_{0}}{r} )^{k}.

Musterlösung:

a) Für f(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1 − 2 · x · t + t^{2}}} verifiziert man nach mühseliger, aber elementarer Rechnung:

−\frac{∂}{∂x} ((1 − x^{2}) · \frac{∂f}{∂x} ) = t · \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} (t · f).

Die rechte Seite ergibt mit f(x, t) = ∑_{k} P_{k}(x) · t^{k}:

t · f = t · ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · t^{k} = ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · t^{k+1}

⇒ \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} (t · f) = ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · (k + 1) · k · t^{k−1}

⇒ t · \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} (t · f) = ∑_{k=0}^{∞} [k · (k + 1) · P_{k}(x)] · t^{k}.

Die linke Seite ergibt:

−\frac{∂}{∂x} ((1 − x^{2}) · \frac{∂f}{∂x} ) = ∑_{k=0}^{∞} [ − ((1 − x^{2}) · P′_{k}(x))′ ] · t^{k}.

Da für alle t die partielle DGL

∑_{k=0}^{∞} [ − ((1 − x^{2}) · P′_{k}(x))′ ] · t^{k} = ∑_{k=0}^{∞} [k · (k + 1) · P_{k}(x)] · t^{k}

erfüllt ist, folgt

−((1 − x^{2}) · P′_{k}(x))′ = k · (k + 1) · P_{k}(x)

für jedes k = 0, 1, 2, . . ..

b) Es gilt

(1 − 2 · x · t + t^{2}) · \frac{df}{dt} = (1 − 2 · x · t + t^{2}) · (\frac{−1}{2}) · \frac{−2 · x + 2 · t}{\sqrt{(1 − 2 · x · t + t^{2})^{3}}}

= \frac{x − t}{\sqrt{1 − 2 · x · t + t^{2}}} = (x − t) · f.

Einsetzen der Entwicklung. Die linke Seite ergibt:

(1 − 2 · x · t + t^{2}) · \frac{df}{dt} = (1 − 2 · x · t + t^{2}) · \frac{d}{dt} ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · t^{k} = (1 − 2 · x · t + t^{2}) · ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · k · t^{k−1}

= ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · k · t^{k−1} − ∑_{k=0}^{∞} (2 · x · P_{k}(x)) · k · t^{k} + ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · k · t^{k+1}

= ∑_{k=0}^{∞} P_{k+1}(x) · (k + 1) · t^{k} − ∑_{k=1}^{∞} (2 · x · P_{k}(x)) · k · t^{k} + ∑_{k=1}^{∞} P_{k−1}(x) · (k − 1) · t^{k}

= P_{1}(x) + ∑_{k=1}^{∞} [(k + 1) · P_{k+1}(x) − 2 · x · k · P_{k}(x) + (k − 1) · P_{k−1}(x)] · t^{k}. (#)

Die rechte Seite ergibt:

(x − t) · f = (x − t) · ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · t^{k} = ∑_{k=0}^{∞} x · P_{k}(x) · t^{k} − ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · t^{k+1}

= ∑_{k=0}^{∞} x · P_{k}(x) · t^{k} − ∑_{k=1}^{∞} P_{k−1}(x) · t^{k} = x · P_{0}(x) + ∑_{k=1}^{∞} [x · P_{k}(x) − P_{k−1}(x)] · t^{k}. (##)

Vergleich von (#) und (##) ergibt

P_{1}(x) = x · P_{0}(x), (k + 1) · P_{k+1}(x) − 2 · x · k · P_{k}(x) + (k − 1) · P_{k−1}(x) = x · P_{k}(x) − P_{k−1}(x),

also

P_{1}(x) = x · P_{0}(x), (k + 1) · P_{k+1}(x) = (2 · k + 1) · x · P_{k}(x) − k · P_{k−1}(x).

c) Für t = 0 ergibt sich

f(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{1 − 2 · x · 0 + 0^{2}}} = 1 = P_{0}(x).

Die höheren Polynome ergeben sich am einfachsten aus der Rekursion in b):

P_{0}(x) = 1, P_{1}(x) = x · P_{0}(x) = x, P_{2}(x) = \frac{1}{2} · (3 · x · P_{1}(x) − P_{0}(x)) = \frac{3}{2} · x^{2} − \frac{1}{2},

P_{3}(x) = \frac{5}{2} · x^{3} − \frac{3}{2} · x, P_{4}(x) = \frac{35}{8} · x^{4} − \frac{15}{4} · x^{2} + \frac{3}{8}.

d) Offensichtlich gilt

f(±1, t) = \frac{1}{\sqrt{1 ∓ 2 · t + t^{2}}} = \frac{1}{1 ∓ t} = ∑_{k=0}^{∞}(±1)^{k} · t^{k}.

Andererseits gilt f(±1, t) = ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(±1) · t^{k}, also P_{k}(±1) = (±1)^{k}.

e) Offensichtlich gilt

f(−x, t) = \frac{1}{\sqrt{1 + 2 · x · t + t^{2}}} = f(x, −t).

Es folgt

f(−x, t) = ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(−x) · t^{k} = f(x, −t) = ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · (−t)^{k} = ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · (−1)^{k} · t^{k},

also P_{k}(−x) = (−1)^{k} · P_{k}(x).

f) Die Gleichungskette

\frac{1}{t} · ln (\frac{1 + t}{1 − t}) = ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{1 − 2 · x + t^{2}} = ∫_{−1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 − 2 · x + t^{2}} · \sqrt{1 − 2 · x + t^{2}}}

=^{(∗)} ∑_{k=0}^{∞} ∑_{k′=0}^{∞} ∫_{−1}^{1} P_{k}(x) · P_{k′}(x) dx · t^{k+k′} = ∑_{k=0}^{∞} ∫_{−1}^{1} P_{k}(x)^{2} dx · t^{2·k}.

sollte nachvollziehbar sein (in (∗) wird die Orthogonalität der Legendre–Polynome P_{k} benutzt, die aus der Tatsache folgt, dass die P_{k} Eigenfunktionen der Legendre–DGL zu den Eigenwerten λ_{k} = k · (k + 1) mit dem Gewicht w(x) = 1 sind). Es verbleibt damit, den Ausdruck \frac{1}{t} · ln(\frac{1+t}{1−t}) in eine Taylor–Reihe um t = 0 zu zerlegen. Setze dazu h(t) = ln(\frac{1+t}{1−t}). Die Ableitung kann sofort in eine geometrische Reihe überführt werden:

h′(t) = \frac{2}{1 − t^{2}} = 2 · ∑_{k=0}^{∞}(t^{2})^{k} = 2 · ∑_{k=0}^{∞} t^{2·k}.

Durch Integration folgt mit h(0) = 0:

h(t) = h(0) + ∫_{0}^{t} h′(τ) dτ = ∫_{0}^{t} ∑_{k=0}^{∞} 2 · τ^{2·k} dτ = ∑_{k=0}^{∞} 2 · ∫_{0}^{t} τ^{2·k} dτ = ∑_{k=0}^{∞} \frac{2}{2 · k + 1} · t^{2·k+1}.

Ergebnis:

∑_{k=0}^{∞} ∫_{−1}^{1} P_{k}(x)^{2} dx · t^{2·k} = \frac{h(t)}{t} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{2}{2 · k + 1} · t^{2·k}.

Durch Vergleich der t–Potenzen folgt

⟨P_{k}, P_{k}⟩ = ∫_{−1}^{1} P_{k}(x)^{2} dx = \frac{2}{2 · k + 1}, k ∈ ℕ.

g) Mit x = cos(ϕ) und t = r_{0}/r gilt

\frac{1}{∥x − x_{0}∥} = \frac{1}{\sqrt{⟨x⃗ − x⃗_{0}, x⃗ − x⃗_{0}⟩}} = \frac{1}{\sqrt{⟨x⃗, x⃗⟩ − 2 · ⟨x⃗, x⃗_{0}⟩ + ⟨x⃗_{0}, x⃗_{0}⟩}}

= \frac{1}{\sqrt{r^{2} − 2 · r · r_{0} · cos(ϕ) + r_{0}^{2}}} = \frac{1}{r · \sqrt{1 − 2 · cos(ϕ) · \frac{r_{0}}{r} + (\frac{r_{0}}{r} )^{2}}}

= \frac{1}{r} · \frac{1}{\sqrt{1 − 2 · x · t + t^{2}}} = \frac{1}{r} · ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(x) · t^{k} = \frac{1}{r} · ∑_{k=0}^{∞} P_{k}(cos(ϕ)) · (\frac{r_{0}}{r} )^{k}.

Aufgabe 44*: (Zu den Bessel–Funktionen. Insgesamt 10 Bonuspunkte) Zeige für die Bessel–Funktionen J_{ν}(x):

a) J′_{ν}(x) = ν · \frac{J_{ν}(x)}{x} − J_{ν+1}(x).

b) \frac{d}{dx} \frac{1}{2} · (x^{2} · (J_{ν}(x)^{2} + J′_{ν}(x)^{2}) − ν^{2} · J_{ν}(x)^{2}) = x · J_{ν}(x)^{2}.

Folgere aus a) und b):

c) \frac{d}{dx} \frac{1}{2} · (x^{2} · (J_{ν}(λ · x)^{2} + J_{ν+1}(λ · x)^{2}) − \frac{2 · ν}{λ} · x · J_{ν}(λ · x) · J_{ν+1}(λ · x)) = x · J_{ν}(λ · x)^{2}.

Folgere hieraus:

d) ∫_{0}^{1} x · J_{ν}(λ · x)^{2} dx = \frac{1}{2} · ((J_{ν}(λ)^{2} + J_{ν+1}(λ)^{2}) − \frac{2 · ν}{λ} · J_{ν}(λ) · J_{ν+1}(λ)).

Für λ_{νk} = k-te positive Nullstelle von J_{ν}(x) ergibt sich: ∫_{0}^{1} x · J_{ν}(λ_{νk} · x)^{2} dx = \frac{J_{ν+1}(λ_{νk})^{2}}{2} .

Musterlösung:

a) Laut Vorlesung haben die Bessel–Funktion die Darstellung J_{ν}(x) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j}}{j! · (j + ν)!} ·(\frac{x}{2})^{ν+2·j}. Das ergibt:

J′_{ν}(x) − ν · \frac{J_{ν}(x)}{x} + J_{ν+1}(x)

= ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j} · (ν + 2 · j)}{j! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}} − ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j} · ν}{j! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}} + ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j}}{j! · (j + ν + 1)!} · \frac{x^{ν+2·j+1}}{2^{ν+2·j+1}}

= ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j} · (ν + 2 · j)}{j! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}} − ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j} · ν}{j! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}} + ∑_{j=1}^{∞} \frac{(−1)^{(j−1)}}{(j − 1)! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j−1}}

= \frac{ν · x^{ν−1}}{ν! · 2^{ν}} + ∑_{j=1}^{∞} \frac{(−1)^{j} · (ν + 2 · j)}{j! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}} − \frac{ν · x^{ν−1}}{ν! · 2^{ν}} − ∑_{j=1}^{∞} \frac{(−1)^{j} · ν}{j! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}}

− ∑_{j=1}^{∞} \frac{(−1)^{j} · 2}{(j − 1)! · (j + ν)!} · \frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}}

= ∑_{j=1}^{∞} \frac{(−1)^{j}}{(j + ν)!} · \underbrace{(\frac{ν + 2 · j}{j!} − \frac{ν}{j!} − \frac{2}{(j − 1)!})}_{=0} ·\frac{x^{ν+2·j−1}}{2^{ν+2·j}} = 0.

b) Die Bessel–Funktion J_{ν}(x) ist die bei x = 0 reguläre Lösung der DGL

−J′′_{ν}(x) − \frac{1}{x} · J′_{ν}(x) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · J_{ν}(x) = J_{ν}(x).

Es folgt:

\frac{d}{dx} \frac{1}{2} · (x^{2} · (J_{ν}(x)^{2} + J′_{ν}(x)^{2}) − ν^{2} · J_{ν}(x)^{2}) = x · J_{ν}^{2} + x^{2} · J_{ν} · J′_{ν} + x · J_{ν}^{′2} + x^{2} · J′_{ν} · J′′_{ν} − ν^{2} · J_{ν} · J′_{ν}

= x · J_{ν}^{2} + x^{2} · J′_{ν} · \underbrace{(J_{ν} + \frac{1}{x} · J′_{ν} + J′′_{ν} − \frac{ν^{2}}{x^{2}} · J_{ν})}_{=0} = x · J_{ν}^{2}.

c) Nach a) gilt x · J′_{ν} = ν · J_{ν} − x · J_{ν+1} ⟹ x^{2} · J_{ν}^{′2} = ν^{2} · J_{ν}^{2} − 2 · ν · x · J_{ν} · J_{ν+1} + x^{2} · J_{ν+1}^{2}.

Hiermit folgt

x^{2} · (J_{ν}^{2} + J_{ν}^{′2}) − ν^{2} · J_{ν}^{2} = x^{2} · J_{ν}^{2} + \underbrace{(ν^{2} · J_{ν}^{2} − 2 · ν · x · J_{ν} · J_{ν+1} + x^{2} · J_{ν+1}^{2})}_{x^{2}·J_{ν}^{′2}} −ν^{2} · J_{ν}^{2}

= x^{2} · J_{ν}^{2} − 2 · ν · x · J_{ν} · J_{ν+1} + x^{2} · J_{ν+1}^{2}.

Eingesetzt in b) liefert dies die Identität

x · J_{ν}(x)^{2} = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} · (x^{2} · (J_{ν}(x)^{2} + J′_{ν}(x)^{2}) − ν^{2} · J_{ν}(x)^{2})

= \frac{d}{dx} \frac{1}{2} · (x^{2} · J_{ν}(x)^{2} − 2 · ν · x · J_{ν}(x) · J_{ν+1}(x) + x^{2} · J_{ν+1}(x)^{2}).

Wir setzen y = λ · x und \frac{d}{dy} = \frac{1}{λ} · \frac{d}{dx} in die Identität

y · J_{ν}(y)^{2} = \frac{d}{dy} \frac{1}{2} · (y^{2} · J_{ν}(y)^{2} − 2 · ν · y · J_{ν}(y) · J_{ν+1}(y) + y^{2} · J_{ν+1}(y)^{2})

ein und erhalten

λ · x · J_{ν}(λ · x)^{2}

= \frac{1}{λ} · \frac{d}{dx} \frac{1}{2} · ((λ · x)^{2} · J_{ν}(λ · x)^{2} − 2 · ν · λ · x · J_{ν}(λ · x) · J_{ν+1}(λ · x) + (λ · x)^{2} · J_{ν+1}(λ · x)^{2})

= \frac{d}{dx} \frac{1}{2} · (λ · x^{2} · J_{ν}(λ · x)^{2} − 2 · ν · x · J_{ν}(λ · x) · J_{ν+1}(λ · x) + λ · x^{2} · J_{ν+1}(λ · x)^{2}).

Nach Division durch λ erhält man die gefragte Form der Identität:

x · J_{ν}(λ · x)^{2} = \frac{d}{dx} \frac{1}{2} · (x^{2} · J_{ν}(λ · x)^{2} − \frac{2 · ν · x}{λ} · J_{ν}(λ · x) · J_{ν+1}(λ · x) + x^{2} · J_{ν+1}(λ · x)^{2}).

d) Integration der letzten Gleichung liefert

∫_{0}^{1} x · J_{ν}(λ · x)^{2} dx = \frac{1}{2} · [x^{2} · J_{ν}(λ · x)^{2} − \frac{2 · ν · x}{λ} · J_{ν}(λ · x) · J_{ν+1}(λ · x) + x^{2} · J_{ν+1}(λ · x)^{2}]_{x=0}^{x=1}

= \frac{1}{2} · (J_{ν}(λ)^{2} − \frac{2 · ν}{λ} · J_{ν}(λ) · J_{ν+1}(λ) + J_{ν+1}(λ)^{2}).

Aufgabe 45*: (Bessel–Funktionen und Neumannsche Randbedingungen. 5 + 5 + 0 Bonuspunkte)

a) Verifiziere, dass die parametrische Bessel–Gleichung

−ψ′′(x) − \frac{1}{x} · ψ′(x) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · ψ(x) = μ^{2} · ψ(x)

durch ψ(x) = J_{ν}(μ · x) gelöst wird. Anleitung: starte mit der Bessel–DGL für J_{ν}.

b) Charakterisiere die Eigenwerte und bestimme die Eigenfunktionen der parametrischen Bessel– Gleichung

−ψ′′(x) − \frac{1}{x} · ψ′(x) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · ψ(x) = λ · ψ(x)

mit den Randbedingungen |ψ(0)| < ∞, ψ′(1) = 0.

Anleitung: analog zu Beispiel 2.16 der Vorlesung. Benutze, dass es neben der in a) gefundenen Lösung der parametrischen Bessel–DGL keine weiteren bei x = 0 regulären Lösungen gibt, und dass zwischen je zwei aufeinander folgenden positiven Nullstellen von J_{ν}(x) jeweils genau ein lokales Extremum von J_{ν}(x) liegt.

c) Benutze MuPAD, um für ν = 1, 2, …, 10 numerische Approximationen des kleinsten Eigenwertes (”Grundenergie“) des Eigenwertproblems in b) zu berechnen.

Musterlösung:

a) Die Bessel–Funktion J_{ν}(y) ist die bei y = 0 reguläre Lösung der DGL

−J′′_{ν}(y) − \frac{1}{y} · J′_{ν}(y) + \frac{ν^{2}}{y^{2}} · J_{ν}(y) = J_{ν}(y).

Setze ψ(x) = J_{ν}(y(x)) mit y(x) = μ · x, also ψ′(x) = J′_{ν}(y) · μ, ψ′′(x) = J′′_{ν}(y) · μ^{2}. Es folgt:

−ψ′′(x) − \frac{1}{x} · ψ′(x) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · ψ(x) = −J′′_{ν}(y) · μ^{2} − \frac{μ}{x} · J′_{ν}(y) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · J_{ν}(y)

= μ^{2} · ( − J′′_{ν}(y) − \frac{1}{μ · x} · J′_{ν}(y) + \frac{ν^{2}}{μ^{2} · x^{2}} · J_{ν}(y))

= μ^{2} · ( − J′′_{ν}(y) − \frac{1}{y} · J′_{ν}(y) + \frac{ν^{2}}{y^{2}} · J_{ν}(y)) = μ^{2} · J_{ν}(y) = μ^{2} · ψ(x).

b) Die Lösung von

−ψ′′(x) − \frac{1}{x} · ψ′(x) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · ψ(x) = μ^{2} · ψ(x)

zusammen mit der Regularitätsbedingung |ψ(0)| < ∞ ist nach a) durch ψ(x) = J_{ν}(μ · x) gegeben, wobei μ ∈ ℝ beliebig ist. Für ganzzahliges ν gilt

J_{ν}(−μ · x) = (−1)^{ν} · J_{ν}(μ · x),

so dass nur μ ≥ 0 betrachtet zu werden braucht. Die zweite Randbedingung

ψ′(1) = μ · J′_{ν}(μ) = 0

schränkt μ auf 0 oder eine der (positiven) reellen Nullstellen von J′_{ν} ein. Sei μ_{νk} die k-te reelle positive Nullstelle von J′_{ν} (k = 1, 2, … für ν ≠ 0 bzw. k = 0, 1, 2, … für ν = 0). Es gibt hiervon unendlich viele, die jeweils zwischen zwei benachbarten Nullstellen von J_{ν} liegen. Die Eigenwerte λ von

−ψ′′(x) − \frac{1}{x} · ψ′(x) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · ψ(x) = λ · ψ(x)

sind damit λ_{k} = μ_{νk}^{2} mit den Eigenfunktionen

ψ_{0}(x) = J_{0}(0) = 1, ψ_{k}(x) = J_{0}(μ_{0k} · x), k = 1, 2, …

für ν = 0 bzw.

ψ_{k}(x) = J_{ν}(μ_{νk} · x), k = 1, 2, …

für ν ≠ 0 (für ν ≠ 0 ergibt μ = 0 nur die triviale Funktion J_{ν}(0 · x) = 0, die als Eigenfunktion nicht interessant ist).

c) Wir betrachten nur ν = 1, 2, 3, …, denn die Grundenergie μ^{2} = 0 für ν = 0 ist bekannt. Analog zu Bemerkung 2.17 des Skripts wird zunächst die erste Nullstelle lambda[v] von J_{ν} gesucht. Die erste Nullstelle mu[v] von J′_{ν} liegt dann zwischen 0 und lambda[v]:

// Approximationen der ersten Nullstelle von besselJ(v, x)
>> lambda1:= v -> float(v) + 1.856*float(v)^(1/3):
// Systematische numerische Suche nach der ersten Nullstelle von besselJ(v, x)
>> for v from 1 to 10 do
     searchrange:= lambda1(v) .. lambda1(v) + PI;
     lambda[v]:= numeric::realroot(besselJ(v, x), x = searchrange):
   end_for:

// Systematische numerische Suche nach der ersten Nullstelle mu[v] von
// diff(besselJ(v, x),x). Es gilt 0 < mu[v] < lambda[v].
>> for v from 1 to 10 do
searchrange:= 1/10^10 .. lambda[v]:
mu[v]:= numeric::realroot(diff(besselJ(v, x), x), x = searchrange):
end_for:
>> mu;
table(
10 = 11.77087667,
9 = 10.71143397,
8 = 9.647421652,
7 = 8.57783649,
6 = 7.501266145,
5 = 6.415616376,
4 = 5.317553126,
3 = 4.201188941,
2 = 3.054236928,
1 = 1.841183781
)
// Die Grundenergien:
>> mu[k]^2 $ k = 1..10
3.389957717, 9.328363213, 17.64998852, 28.27637125,
41.16013348, 56.26899377, 73.57927884, 93.07274453,
114.7348177, 138.5535377