Mathe für Physiker III Wintersemester 02/03 Walter Oevel 21. 10. 2002

Ü b u n g s b l a t t 1

Abgabe von ∗ Aufgaben am 28.10.2002 in der Übung.

Aufgabe 1*: (Skalarprodukte und Normen. 10 Bonuspunkte) Eine Menge von nicht-verschwindenden Elementen {F_{0}, F_{1}, …} eines Raums L mit einem Skalarprodukt heißt “Orthogonalsystem”, wenn ⟨F_{i}, F_{j}⟩ = 0 gilt für alle i ≠ j. Zu f ∈ L definiere

c_{k} = \frac{⟨F_{k}, f⟩}{⟨F_{k}, F_{k}⟩}, k = 0, 1, 2, …

Zeige: Für jede Wahl von Koeffizienten α_{k} ∈ ℂ gilt die “allgemeine Besselsche Gleichung”

∥f − ∑_{k=0}^{n} α_{k} · F_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥F_{k}∥_{2}^{2} + ∑_{k=0}^{n} |α_{k} − c_{k}|^{2} · ∥F_{k}∥_{2}^{2}.

Folgere: Der Abstand zwischen f und ∑_{k=0}^{n} α_{k} · F_{k} wird minimal, wenn man α_{k} = c_{k} wählt.

Musterlösung:

⟨f − ∑_{i} α_{i} · F_{i}, f − ∑_{j} α_{j} · F_{j}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{i} \overline{α_{i}} · ⟨F_{i}, f⟩ − ∑_{j} α_{j} · ⟨f, F_{j}⟩ + ∑_{i} ∑_{j} \overline{α_{i}} · α_{j} · ⟨F_{i}, F_{j}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{α_{k}} · ⟨F_{k}, f⟩ − ∑_{k} α_{k} · ⟨f, F_{k}⟩ + ∑_{k} \overline{α_{k}} · α_{k} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{α_{k}} · c_{k} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩ − ∑_{k} α_{k} · \overline{c_{k}} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩ + ∑_{k} \overline{α_{k}} · α_{k} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{c_{k}} · c_{k} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩ + ∑_{k} (\overline{c_{k}} · c_{k} − \overline{α_{k}} · c_{k} − α_{k} · \overline{c_{k}} + \overline{α_{k}} · α_{k}) · ⟨F_{k}, F_{k}⟩
= ⟨f, f⟩ − ∑_{k} \overline{c_{k}} · c_{k} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩ + ∑_{k} \overline{(c_{k} − α_{k})} · (c_{k} − α_{k}) · ⟨F_{k}, F_{k}⟩
= ∥f, f∥_{2}^{2} − ∑_{k} |c_{k}|^{2} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩ + ∑_{k} |c_{k} − α_{k}|^{2} · ⟨F_{k}, F_{k}⟩.

Nur die letzte Summe hängt von den α_{k} ab. Sie wird offensichtlich genau für α_{k} = c_{k} minimal (nämlich 0).

Aufgabe 2*: (Der ℝ^{n} als Hilbert–Raum. 10 Bonuspunkte) Berechne den minimalen Euklidischen Abstand des Punktes f⃗ = (1, 2, 3, 4)^{T} ∈ ℝ^{4} zu den Punkten der von den (orthogonalen) Vektoren F⃗_{0} = (1, 0, 1, 0)^{T} und F⃗_{1} = (0, 1, 0, 1)^{T} aufgespannten 2-dimensionalen Ebene im ℝ^{4}. Hinweis: Beachte Aufgabe 1.

Musterlösung: Nach Aufgabe 1) ist

S⃗ = \frac{⟨F⃗_{0}, f⃗⟩}{⟨F⃗_{0}, F⃗_{0}⟩} · F⃗_{0} + \frac{⟨F⃗_{1}, f⃗⟩}{⟨F⃗_{1}, F⃗_{1}⟩} · F⃗_{1}

der Ebenenpunkt mit dem geringsten Abstand zu f⃗:

S⃗ = \frac{⟨(1, 0, 1, 0)^{T} , (1, 2, 3, 4)^{T} ⟩}{⟨(1, 0, 1, 0)^{T} , (1, 0, 1, 0)^{T} ⟩} · ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + \frac{⟨(0, 1, 0, 1)^{T} , (1, 2, 3, 4)^{T} ⟩}{⟨(0, 1, 0, 1)^{T} , (0, 1, 0, 1)^{T} ⟩} · ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )

= \frac{4}{2} · ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + \frac{6}{2} · ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + ( \begin{matrix}0 \\ 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) .

Der Abstand ist ∥f⃗ − S⃗∥_{2} = ∥( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )∥_{2} = \sqrt{4} = 2.

Aufgabe 3: (MuPAD, 0 Bonuspunkte) Lies die MuPAD–Hilfeseite zu int (anzufordern z.B. per ?int). Berechne

∫ sin(x) · e^{5·x} dx, ∫_{0}^{1} x^{7} · e^{−x^{2}} dx.

Lies die MuPAD–Hilfeseite zu float, DIGITS und infinity. Berechne eine auf 30 Dezimalstellen genaue Gleitpunktnäherung von

∫_{0}^{∞} x^{7/2} · e^{−x^{2}} dx.

Lies die MuPAD–Hilfeseite zu plotfunc2d. Stelle die beiden Funktionen cos(20 · x^{2}) und sin(40 · x^{2}) für x ∈ [0, 2] in einer gemeinsamen (brauchbaren) Graphik dar. Finde heraus, über welches Symbol in MuPAD die Kreiszahl π ≈ 3.1415 … dargestellt wird. Finde die 65-te Nachkommastelle von π.

Musterlösung:

2.5.0 > int(sin(x)*exp(5*x), x)
                              5                5
               5 sin(x) exp(x)    cos(x) exp(x)
               ---------------- - --------------
                      26                26

2.5.0 > int(x^7*exp(-x^2), x = 0..1)
                         3 - 8 exp(-1)
2.5.0 > DIGITS:= 30:
2.5.0 > float(int(x^(7/2)*exp(-x^2), x = 0..infinity))
               0.566501548159673173739169555604
2.5.0 > DIGITS:= 10:

In der Graphik muss man die Grid–Option benutzen, um die schnell oszillierenden Bereiche hinreichend genau aufzulösen. Mit etwa 1000 Stützstellen hat man die maximal sinnvolle Aufls̈oung erreicht (der Bildschirm hat eine Größenordnung von 1000 Pixeln in x-Richtung):

2.5.0 > plotfunc2d(cos(20*x^2), sin(40*x^2), x = 0 .. 2, Grid = 1000)

Mit

2.5.0 > ?pi
Sorry, no help page available for 'pi' !
Try:  PI psi numlib::phi

wird man auf das Symbol PI hingewiesen. Der Aufruf

2.5.0 > ?PI

liefert die Übersichtsseite der in MuPAD definierten Konstanten und speziellen Funktionen. Wir berechnen PI auf 70 Stellen genau. Nach Multiplikation mit 10^{65} ist die 65-te Nachkommastelle die erste Stelle vor dem Dezimalpunkt, die leicht zu finden ist. Es ist eine 0:

2.5.0 > DIGITS:= 70:
2.5.0 > float(PI)
 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816
2.5.0 > 10^65*float(PI)
 314159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230.7816
                                                                !!^!!

Aufgabe 4*: (Skalarprodukte auf Funktionenräumen. 10 Bonuspunkte) Berechne den Abstand zwischen den Funktionen f(x) = x und g(x) = sin(x) bezüglich des Skalarprodukts ⟨f, g⟩ = ∫_{0}^{π} f(x) · g(x) dx.

Musterlösung:

2.5.0 > sqrt(int((x - sin(x))^2, x = -PI..PI))
                            /     3        \1/2
                            | 2 PI         |
                            | ----- - 3 PI |
                            \   3          /
2.5.0 > float(%)
                                3.353516536

Aufgabe 5*: (Approximation durch einfache Basisfunktionen. 5 + 5 + 0 Bonuspunkte) Betrachte den Raum der stetigen reellwertigen Funktionen über dem Intervall [−1, 1] mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ = ∫_{−1}^{1} f(x) · g(x) dx.

a) Verifiziere, dass die Funktionen F_{0}(x) = 1, F_{1}(x) = x, F_{2}(x) = cos(π · x) orthogonal sind.

b) Berechne die Koeffizienten c_{0}, c_{1}, c_{2}, die den Abstand zwischen der Funktion f(x) = e^{−x}

und

S(x) = c_{0} + c_{1} · x + c_{2} · cos(π · x)

minimieren. (Siehe Aufgabe 1.)

c) Plotte f(x) und S(x) in einer gemeinsamen Graphik.

Es sind etliche Integrale zu berechnen, für die sich MuPAD anbietet. Relevante MuPAD–

Funktionen und Objekte: sin, cos, exp, PI, int, plotfunc2d.

Musterlösung: Zur Berechnung wird MuPAD benutzt:

a) Die Entwicklungsfunktionen werden definiert

2.5.0 > F[0]:= 1:
2.5.0 > F[1]:= x:
2.5.0 > F[2]:= cos(PI*x):

Aus Bequemlichkeit definieren wir das Skalarprodukt als Prozedur sc und lassen MuPAD die Skalarprodukte zwischen den 3 Basisfunktionen F[k] berechnen. Sie stellen sich in der Tat als orthogonal heraus:

2.5.0 > sp:= (f, g) -> int(f*g, x = -1..1):
2.5.0 > sp(F[0], F[1])
                                     0
2.5.0 > sp(F[0], F[2])
                                     0
2.5.0 > sp(F[1], F[2])
                                     0

b) Die zu entwickelnde Funktion f wird definiert. Die Fourier–Approximation ist durch die Koeffizienten c_{k} = ⟨F_{k}, f⟩/⟨F_{k}, F_{k}⟩ gegeben:

2.5.0 > f:= exp(-x):
2.5.0 > c[0]:= sp(F[0], f) / sp(F[0], F[0])
                       exp(1)   exp(-1)
                       ------ - -------
                          2        2
2.5.0 > c[1]:= sp(F[1], f) / sp(F[1], F[1])
                                -3 exp(-1)

2.5.0 > c[2]:= sp(F[2], f) / sp(F[2], F[2])
                         1                      1
                ------------------- - ---------------------
                           2                      2
                exp(1) + PI  exp(1)   exp(-1) + PI  exp(-1)

Die Fourier–Approximation:

2.5.0 > S:=  c[0]*F[0] + c[1]*F[1] + c[2]*F[2]
exp(1)   exp(-1)
------ - ------- - 3 x exp(-1) -
   2        2
             /           1                      1          \
   cos(PI x) | --------------------- - ------------------- |
             |             2                      2        |
             \ exp(-1) + PI  exp(-1)   exp(1) + PI  exp(1) /

c) Die Graphik zeigt, dass die Approximation von f durch S recht gut ist, obwohl nur 3 Basisfunktionen benutzt wurden:

2.5.0 > plotfunc2d(f, S, x = -1..1)

Aufgabe 6*: (Die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung. 10 Bonuspunkte) Beweise

|⟨f, g⟩|^{2} ≤ ⟨f, f⟩ · ⟨g, g⟩

für beliebiges f, g in einem Raum mit Skalarprodukt. Wann gilt das Gleichheitszeichen? Anleitung: Starte mit 0 ≤ ⟨f − α · g, f − α · g⟩ und wähle ein geeignetes α ∈ ℂ. Man erinnere sich auch an Aufgabe 4 von Blatt 2 der “Mathe für Physiker I”.

Musterlösung: Für jedes Skalarprodukt gilt

0 ≤ ⟨f − α · g, f − α · g⟩ = ⟨f, f⟩ − α · ⟨f, g⟩ − \overline{α} · ⟨g, f⟩ + \overline{α} · α · ⟨g, g⟩

für jedes f, g und jedes α ∈ ℂ. Für g = 0 ist Cauchy–Schwarz sicherlich erfüllt, betrachte also g ≠ 0. Für den Wert

α = \frac{⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩}, also \overline{α} = \frac{⟨f, g⟩}{⟨g, g⟩}

folgt

0 ≤ ⟨f, f⟩ − \frac{⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩} · ⟨f, g⟩ − \frac{⟨f, g⟩}{⟨g, g⟩} · ⟨g, f⟩ + \frac{⟨f, g⟩ · ⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩^{2}} · ⟨g, g⟩ = ⟨f, f⟩ − \frac{⟨f, g⟩ · ⟨g, f⟩}{⟨g, g⟩}

⇒  \frac{|⟨f, g⟩|^{2}}{⟨g, g⟩} ≤ ⟨f, f⟩  ⇒  |⟨f, g⟩|^{2} ≤ ⟨f, f⟩ · ⟨g, g⟩.

Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn

f − α · g = 0

gilt, d.h., wenn f und g proportional sind.