Kapitel 2

Sturm–Liouville–Probleme

Die Fourier–Entwicklungen des ersten Kapitels sind nur ein spezielles Beispiel einer allgemeineren Struktur: Entwicklung nach den Eigenfunktionen von Operatoren. Zur Erinnerung an den endlich–dimensionalen Fall: Eine symmetrische (bzw. hermitesche) Matrix n × n–Matrix hat nur reelle Eigenwerte und stets eine \underline{vollständige} Basis von Eigenvektoren, die den ℝ^{n} (bzw. ℂ^{n}) aufspannen. Symmetrie (= Selbstadjungiertheit) ist dabei eine wesentliche Eigenschaft.

2.1 Das Eigenwertproblem

Wir erinnern an das Konzept 1.90 des adjungierten Operators bzw. der Selbstadjungiertheit, wobei wir nun speziell die gewichteten L_{2w}–Räume 1.12 betrachten:

Der ”adjungierte” (”transponierte”) Operator A^{∗} eines linearen Operators A : L_{2w}([a, b]) → L_{2w}([a, b]) ist definiert durch

⟨A^{∗}ϕ, ψ⟩_{w} = ⟨ϕ, Aψ⟩_{w}

für alle ϕ, ψ ∈ L_{2w}([a, b]). Ein Operator mit A = A^{∗} heißt ”selbstadjungiert”.

Bezeichnung 2.1:

Für das Skalarprodukt ∫_{a}^{b} w(x) · \overline{ϕ(x)} · ψ(x) dx mit nichttrivialem Gewicht w ≢ 1 benutzen wir nun das Symbol ⟨ϕ, ψ⟩_{w}. Für w ≡ 1 benutzen wir ⟨ϕ, ψ⟩.

Beispiel 2.2: Betrachte die Gewichtsfunktion w(x) = 1. Auf dem Unterraum

L_{2}^{(0)}([a, b]) = {f : [a, b] → ℂ; f ist 2–fach stetig diff’bar; f(a) = 0, f(b) = 0,
∫_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx < ∞}

des L_{2}([a, b]) ist der Operator

L = −\frac{d^{2}}{dx^{2}}

selbstadjungiert:

⟨ϕ, Lψ⟩ = − ∫_{a}^{b} \overline{ϕ(x)} · ψ′′(x) dx = −[\overline{ϕ(x)} · ψ′(x)]_{x=a}^{x=b} + ∫_{a}^{b} \overline{ϕ′(x)} · ψ′(x) dx,

⟨Lϕ, ψ⟩ = − ∫_{a}^{b} \overline{ϕ′′(x)} · ψ(x) dx = −[\overline{ϕ′(x)} · ψ(x)]_{x=a}^{x=b} + ∫_{a}^{b} \overline{ϕ′(x)} · ψ′(x) dx,

Diese Werte stimmen überein, denn die Randterme verschwinden auf L_{2}^{(0)}.

Definition 2.3:

Sei L ein auf einem geeigneten (dichten) Unterraum L_{2w}^{(0)}([a, b]) des L_{2w}([a, b]) definierter Operator. Eine Funktion ψ ∈ L_{2w}^{(0)}([a, b]), ψ ≠ 0, mit Lψ = λ · ψ heisst ”Eigenvektor“ oder auch ”Eigenfunktion“ von L zum ”Eigenwert“ λ ∈ ℂ.

Satz 2.4:

Für einen selbstadjungierten Operator auf L_{2w} gilt:

a) Alle Eigenwerte sind reell.

b) Eigenfunktionen zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal.

Beweis: a) Aus Lψ = λ · ψ folgt

λ = \frac{⟨ψ, Lψ⟩_{w}}{⟨ψ, ψ⟩_{w}} =^{(1)} \overline{\frac{⟨Lψ, ψ⟩_{w}}{⟨ψ, ψ⟩_{w}}} =^{(2)} \overline{\frac{⟨ψ, Lψ⟩_{w}}{⟨ψ, ψ⟩_{w}}} = \overline{λ}.

Hierbei wurde in (1) die Identität ⟨f, g⟩_{w} = \overline{⟨g, f⟩_{w}} benutzt, in (2) die Selbstadjungiertheit von L.

b) Sei Lϕ = λ · ϕ, Lψ = μ · ψ mit λ, μ ∈ ℝ:

(λ − μ) · ⟨ϕ, ψ⟩_{w} = ⟨λ · ϕ, ψ⟩_{w} − ⟨ϕ, μ · ψ⟩_{w} = ⟨Lϕ, ψ⟩_{w} − ⟨ϕ, Lψ⟩_{w} = 0.

Für λ ≠ μ folgt ⟨ϕ, ψ⟩_{w} = 0.

Q.E.D.

2.1. DAS EIGENWERTPROBLEM 91

Beispiel 2.5: Betrachte die triviale Gewichtsfunktion w(x) = 1 und L_{2}([0, 1]). Für L = −\frac{d}{dx^{2}} auf dem Unterraum

L_{2}^{(0)}([0, 1]) = {f : [0, 1] → ℂ; f ist 2–fach stetig diff’bar; f(0) = 0, f(1) = 0}

folgt (zunächst ohne die Randbedingungen):

−ψ′′(x) = λ · ψ(x)  ⇒  ψ(x) = α · sin(\sqrt{λ} · x) + β · cos(\sqrt{λ} · x).

Berücksichtigung der Randbedingungen:

\begin{aligned}ψ(0) = 0 & ⇒ & β = 0, \\ ψ(1) = 0 & ⇒ & α · sin(\sqrt{λ}) = 0 & ⇒ & \sqrt{λ} = k · π, k ∈ ℤ. \end{aligned}

(Beachte hierbei, dass α = 0 völlig uninteressant ist, da dies nur zu den trivialen Lösungen ψ(x) = 0 führen würde.) Da k und −k auf die selben Eigenfunktionen führen (bis auf ein Vorzeichen), braucht nur k ∈ ℕ betrachtet zu werden (k = 0 führt zu ψ(x) = 0). Ergebnis:

Eigenwerte:  λ_{k} = k^{2} · π^{2}, k ∈ ℕ,
Eigenvektoren: ψ_{k}(x) = sin(k · π · x).

Die Orthogonalität der Eigenfunktionen ist leicht explizit überprüft:

∫_{0}^{1} sin(k · π · x) · sin(k̃ · π · x) dx = \frac{k̃ · cos(k̃ · π) · sin(k · π) − k · cos(k · π) · sin(k̃ · π)}{π · (k^{2} − k̃^{2})} = 0

für k, k̃ ∈ ℕ, k ≠ k̃. Eine für die Intuition wichtige Beobachtung:

Die Diskretisierung von Eigenwerten entsteht durch die Randbedingungen.

Wir werden nun das Eigenwertproblem zu linearen Differentialoperatoren zweiter Ordnung diskutieren, die auf einem L_{2}–Unterraum zweifach differenzierbarer Funktionen mit homogenen Randbedingungen betrachtet werden.

Satz 2.6: (Selbstadjungiertheit von Differentialoperatoren)

Es seien A(x), B(x), C(x) reelle, glatte Funktionen. Der Differentialoperator

L = −A(x) · \frac{d^{2}}{dx^{2}} − B(x) · \frac{d}{dx} + C(x) :

ψ(x) → −A(x) · ψ′′(x) − B(x) · ψ′(x) + C(x) · ψ(x),

definiert auf dem Intervall [a, b] mit den Randbedingungen

α_{1} · ψ(a) + α_{2} · ψ′(a) = 0, β_{1} · ψ(b) + β_{2} · ψ′(b) = 0

(mit α_{i}, β_{i} ∈ ℝ, |α_{1}| + |α_{2}| ≠ 0, |β_{1}| + |β_{2}| ≠ 0) ist selbstadjungiert bezüglich des Skalarprodukts ⟨ϕ, ψ⟩_{w} = ∫_{a}^{b} w(x) · \overline{ϕ(x)} · ψ(x) dx mit der Gewichtsfunktion

w(x) = exp ( \underbrace{∫ ^{x} \frac{B(ξ) − A′(ξ)}{A(ξ)} dξ}_{Stammfunktion} ).

Die Eigenwerte von L sind dementsprechend reell, die Eigenfunktionen sind orthogonal bezüglich dieses Skalarprodukts.

Beweis: Seien ϕ und ψ Funktionen, die den Randbedingungen genügen. Es 13.12.02↓

folgt

( \begin{matrix}\overline{ϕ(a)} & \overline{ϕ′(a)} \\ ψ(a) & ψ′(a) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\overline{ϕ(b)} & \overline{ϕ′(b)} \\ ψ(b) & ψ′(b) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}β_{1} \\ β_{2} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix} ) .

Da die Vektoren (α_{1}, α_{2}), (β_{1}, β_{2}) nicht verschwinden, müssen die Determinanten^{1} der Matrizen verschwinden:

⇒ \overline{ϕ(a)} · ψ′(a) − \overline{ϕ′(a)} · ψ(a) = \overline{ϕ(b)} · ψ′(b) − \overline{ϕ′(b)} · ψ(b) = 0.

Es gilt die ”Lagrange–Identität“:

w · (\overline{ϕ} · Lψ − ψ · L\overline{ϕ}) = \frac{d}{dx}( − A · w · (\overline{ϕ} · ψ′ − \overline{ϕ}′ · ψ)),

die leicht nachzurechnen ist:

w·(\overline{ϕ}·Lψ−ψ·L\overline{ϕ}) = w·(\overline{ϕ}·(−A·ψ′′−B ·ψ′+C ·ψ)−(−A·\overline{ϕ}′′−B ·\overline{ϕ}′+C ·\overline{ϕ})·ψ)

= −A · w · (\overline{ϕ} · ψ′′ − \overline{ϕ}′′ · ψ) − B · w · (\overline{ϕ} · ψ′ − \overline{ϕ}′ · ψ),

\frac{d}{dx}(−A·w ·(\overline{ϕ}·ψ′ −\overline{ϕ}′ ·ψ)) = − \underbrace{(A · w)′}_{=B·w} ·(\overline{ϕ}·ψ′ −\overline{ϕ}′ ·ψ)−A·w ·(\overline{ϕ}·ψ′′ −\overline{ϕ}′′ ·ψ).

Aus der Definition des Gewichts folgt dabei:

w′ = \frac{B − A′}{A} · w ⇒ A · w′ + w · A′ = B · w ⇒ (A · w)′ = B · w.

Durch Integration der Lagrange–Identität folgt

⟨ϕ, Lψ⟩_{w} − ⟨Lϕ, ψ⟩_{w} = ∫_{a}^{b} w · (\overline{ϕ} · Lψ − ψ · L\overline{ϕ}) dx

1Die Determinante \overline{ϕ}(x)·ψ′(x)−\overline{ϕ}′(x)·ψ(x) nennt man ”die von \overline{ϕ} und ψ erzeugte Wronski– Determinante“.

= ∫_{a}^{b} \frac{d}{dx}( − A · w · (\overline{ϕ} · ψ′ − \overline{ϕ}′ · ψ)) dx = [ − A · w · (\overline{ϕ} · ψ′ − \overline{ϕ}′ · ψ)]_{x=a}^{x=b} = 0,

da die Wronski–Determinante an den Rändern verschwindet.

Q.E.D.

Bemerkung 2.7: Wir haben den obigen Beweis mit dem komplexen Skalarprodukt ⟨ϕ, ψ⟩_{w} = ∫ w · \overline{ϕ} · ψ dx durchgeführt. Eigentlich könnten wir uns in diesem Kapitel auf reelle Funktionen einschränken und auf die komplexe Konjugation verzichten. Beachte dabei, dass sowohl die Operatoren als auch die Koeffizienten der Randbedingungen durchweg als reell vorausgesetzt werden. Mit einer komplexen Eigenfunktion ψ ist damit auch ℜ(ψ) und ℑ(ψ) jeweils eine Eigenfunktion. Man kann sich daher o.B.d.A. auf reelle Funktionen einschränken. Wir schleppen die komplexe Schreibweise nur aus Konsistenzgründen zum ersten Kapitel mit.

Durch Multiplikation der Eigenwertgleichung mit dem Gewicht w läßt sich jede lineare DGL 2-ter Ordnung auf eine spezielle Standardform (”Sturm–Liouville– Form“) bringen, in der der Differentialoperator symmetrisch bezüglich des ungewichteten Skalarproduktes ist:

Satz 2.8: (Transformation auf Sturm–Liouville–Form)

Die Differentialgleichung

L̃ψ = −A · ψ′′ − B · ψ′ + C · ψ = λ · ψ

ist äquivalent zum ”verallgemeinerten Eigenwertproblem“

Lψ = −(p · ψ′)′ + q · ψ = λ · w · ψ

mit

w(x) = exp ( \underbrace{∫ ^{x} \frac{B(ξ) − A′(ξ)}{A(ξ)} dξ}_{Stammfunktion} ), p = w · A, q = w · C.

Beweis: Die Definition des Gewichts liefert:

w′ = \frac{B − A′}{A} · w ⇒ A · w′ + w · A′ = B · w ⇒ (A · w)′ = B · w ⇒ p′ = B · w.

In Operatorschreibweise gilt damit

L − λ · w = −\frac{d}{dx} p \frac{d}{dx} + q − λ · w = −p · \frac{d^{2}}{dx^{2}} − p′ · \frac{d}{dx} + q − λ · w

= w · ( − A · \frac{d^{2}}{dx^{2}} − B · \frac{d}{dx} + C − λ) = w · (L̃ − λ).

Q.E.D.

Bezeichnung 2.9:

Ein Operator der Form

L = −\frac{d}{dx} p \frac{d}{dx} + q

wird ”Sturm–Liouville–Operator“ genannt. Die Eigenwertgleichung

Lψ = −(p · ψ′)′ + q · ψ = λ · w · ψ

mit glatten reellen Funktionen p, q, w zusammen mit Randbedingungen der Form

α_{1} · ψ(a) + α_{2} · ψ′(a) = 0, β_{1} · ψ(b) + β_{2} · ψ′(b) = 0

(mit α_{i}, β_{i} ∈ ℝ, |α_{1}|+|α_{2}| ≠ 0, |β_{1}|+|β_{2}| ≠ 0) nennt man ein ”reguläres Sturm–Liouville–Problem“ über dem Intervall [a, b], wenn dieses Intervall endlich ist und

p(x) > 0 ∀x ∈ [a, b] sowie w(x) > 0 ∀x ∈ [a, b]

gilt. Ist das Intervall unendlich oder gilt

p(x) > 0 ∀x ∈ (a, b) und p(a) = 0 und/oder p(b) = 0

oder verschwindet das Gewicht w(x) an einigen Punkten oder ersetzt man eine oder beide der Randbedingungen durch

lim_{{x→a \atop x>a}} ψ(x) existiert bzw. lim_{{x→b \atop x<b}} ψ(x) existiert

(oder einer ähnlichen Bedingung), so spricht man von einem ”singulären Sturm–Liouville–Problem“.

Bemerkung 2.10: Ein Sturm–Liouville–Operator L = −\frac{d}{dx} p \frac{d}{dx} + q ist selbstadjungiert bezüglich des \underline{ungewichteten} Skalarprodukts ⟨., .⟩. Der Operator \frac{1}{w} ·L ist selbstadjungiert bezüglich des gewichteten Skalarprodukts ⟨., .⟩_{w}. Mit

Lψ = λ · w · ψ ⟺ \frac{1}{w} · Lψ = λ · ψ

sind die Eigenfunktionen orthogonal bzgl. ⟨., .⟩_{w}.

Satz 2.11: (Eigenwerte regulärer Probleme sind einfach)

Zu jedem Eigenwert λ eines regulären Sturm–Liouville–Problems Lψ = λ · w · ψ mit den Randbedingungen

α_{1} · ψ(a) + α_{2} · ψ′(a) = 0, β_{1} · ψ(b) + β_{2} · ψ′(b) = 0

(mit α_{i}, β_{i} ∈ ℝ, |α_{1}| + |α_{2}| ≠ 0, |β_{1}| + |β_{2}| ≠ 0) gibt es genau eine Eigenfunktion (bis auf Multiplikation mit einer Konstanten).

Beweis: Die Lagrange–Identität aus dem Beweis von Satz 2.6 wird nach Transformation auf Sturm–Liouville–Form zu

\overline{ϕ} · Lψ − ψ · L\overline{ϕ} = \frac{d}{dx}( − p · (\overline{ϕ} · ψ′ − \overline{ϕ}′ · ψ)).

Für Lϕ = λ · w · ϕ, Lψ = λ · w · ψ folgt, dass das Produkt aus p und der Wronski–Determinante konstant ist:

\frac{d}{dx}(p · (\overline{ϕ} · ψ′ − \overline{ϕ}′ · ψ)) = 0 ⇒

p(x) · (\overline{ϕ}(x) · ψ′(x) − \overline{ϕ}′(x) · ψ(x)) = p(a) · (\overline{ϕ}(a) · ψ′(a) − \overline{ϕ}′(a) · ψ(a))
= p(b) · (\overline{ϕ}(b) · ψ′(b) − \overline{ϕ}′(b) · ψ(b)).

Die Randbedingungen sorgen dafür, dass die Wronski–Determinante an den Rändern verschwindet; siehe den Beweis von Satz 2.6. Es folgt

0 = p · \frac{\overline{ϕ} · ψ′ − \overline{ϕ}′ · ψ}{ψ^{2}} = p · (\frac{\overline{ϕ}}{ψ} )′ ⇒ (\frac{\overline{ϕ}}{ψ} )′ = 0 ⇒ \overline{ϕ} = const · ψ.

Q.E.D.

Satz 2.12: (Beschränkung der Eigenwerte)

Für die Eigenwerte λ des (regulären oder singulären) Sturm–Liouville– Problems

Lψ = −(p · ψ′)′ + q · ψ = λ · w · ψ

über dem Intervall [a, b] mit p(x) > 0 und w(x) > 0 ∀x ∈ (a, b) und mit einer der speziellen Randbedingungen

ψ(a) = 0, ψ(b) = 0 (Dirichletsche Randbedingungen),

oder auch

ψ′(a) = 0, ψ′(b) = 0 (Neumannsche Randbedingungen)

oder auch ψ(a) = 0, ψ′(b) = 0 oder auch ψ′(a) = 0, ψ(b) = 0 gilt:

λ ≥ min_{x∈[a,b]} \frac{q(x)}{w(x)}.

Beweis: Offensichtlich gilt mit der Eigenfunktion ψ:

\frac{⟨ψ, Lψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩_{w}} = \frac{⟨ψ, λ · w · ψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩_{w}} = λ.

Es gilt (partielle Integration):

⟨ψ, L · ψ⟩ = ∫_{a}^{b} \overline{ψ} · ( − (p · ψ′)′ + q · ψ) dx

= [ − p · \overline{ψ} · ψ′]_{x=a}^{x=b} + ∫_{a}^{b} (p · \overline{ψ′} · ψ′ + q · \overline{ψ} · ψ) dx.

Die Randterme verschwinden wegen der Randbedingungen. Es folgt

λ = \frac{⟨ψ, Lψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩_{w}} = \frac{∫_{a}^{b} p · \overline{ψ′} · ψ′ dx}{⟨ψ, ψ⟩_{w}} + \frac{∫_{a}^{b} q · \overline{ψ} · ψ dx}{∫_{a}^{b} w · \overline{ψ} · ψ dx} ≥ \frac{∫_{a}^{b} q · \overline{ψ} · ψ dx}{∫_{a}^{b} w · \overline{ψ} · ψ dx}.

Mit ϕ = \sqrt{w} · ψ folgt

λ ≥ \frac{∫_{a}^{b} \frac{q}{w} · \overline{ϕ} · ϕ dx}{∫_{a}^{b} \overline{ϕ} · ϕ dx} ≥ \frac{∫_{a}^{b} ( min_{x∈[a,b]} \frac{q(x)}{w(x)}) · \overline{ϕ(x)} · ϕ(x) dx}{∫_{a}^{b} \overline{ϕ(x)} · ϕ(x) dx} = min_{x∈[a,b]} \frac{q(x)}{w(x)}.

Q.E.D. 18.12.02↓

−ψ′′(x) = λ · ψ(x)

mit

ψ(0) = 0, ψ(1) = 0

⟨ψ_{k}, ψ_{k′}⟩ = ∫_{0}^{1} ψ_{k}(x) · ψ_{k′}(x) dx = \frac{1}{2} · δ_{kk′}.

Beispiel 2.13: Einige anwendungsrelevante Sturm–Liouville–Probleme:

a) Sinus–Funktionen In Beispiel 2.5 hatten wir das reguläre SL–Problem

[a, b] = [0, 1], p(x) = 1, q(x) = 0, w(x) = 1 und den Randbedingungen betrachtet. Die Eigenwerte wurden zu λ_{k} = k^{2}·π^{2}, k ∈ ℕ, bestimmt. Die entsprechenden Eigenfunktionen sind ψ_{k}(x) = sin(k · π · x). Ihre Normierung ist:

b) Legendre–Polynome Betrachte das singuläre SL–Problem

−((1 − x^{2}) · ψ′(x))′ = λ · ψ(x)

mit

[a, b] = [−1, 1], p(x) = 1 − x^{2}, q(x) = 0, w(x) = 1

und den Randbedingungen

|ψ(−1)| < ∞, |ψ(1)| < ∞.

Die Eigenwerte sind λ_{k} = k·(k+1), k = 0, 1, 2, . . .. Die Eigenfunktionen sind Polynome. Sie werden als ”Legendre–Polynome“ P_{k} bezeichnet und besitzen die Darstellung

P_{k}(x) = \frac{1}{2^{k} · k!} · \frac{d^{k}}{dx^{k}} (x^{2} − 1)^{k}.

In dieser Normierung gilt

⟨P_{k}, P_{k′}⟩ = ∫_{−1}^{1} P_{k}(x) · P_{k′}(x) dx = \frac{2}{2 · k + 1} · δ_{kk′}.

Es handelt sich um die bereits in Beispiel 1.17 vorgestellten Polynome.

c) Hermite–Polynome Betrachte den quantenmechanischen Harmonischen Oszillator (mit ℏ = 1):

−ψ′′(x) + x^{2} · ψ(x) = λ · ψ(x). (#)

Es handelt sich hierbei um ein singuläres SL–Problem mit

[a, b] = (−∞, ∞), p(x) = 1, q(x) = x^{2}, w(x) = 1

und den Randbedingungen

ψ(−∞) = 0, ψ(∞) = 0.

Die Eigenwerte sind λ_{k} = 2 · k + 1, k = 0, 1, 2, . . .. Die Eigenfunktionen sind

ψ_{k}(x) = H_{k}(x) · e^{−x^{2}/2},

wo H_{k} die ”Hermite–Polynome“

H_{k}(x) = (−1)^{k} · e^{x^{2}} · \frac{d^{k}}{dx^{k}} e^{−x^{2}}

sind. Diese sind wiederum die Lösungen des Eigenwertproblems

−H′′(x) + 2 · x · H′(x) = (λ − 1) · H(x),

98 KAPITEL 2. STURM–LIOUVILLE–PROBLEME

das durch den Ansatz ψ(x) = H(x)·e^{−x^{2}/2} aus (#) entsteht. Die Sturm–Liouville–Form dieser Gleichung ist

−(e^{−x^{2}} · H′(x))′ = (λ − 1) · e^{−x^{2}} · H(x),

in der das Gewicht e^{−x^{2}} auftaucht. Für die oben eingeführten Eigenfunktionen H_{k} gilt die Normierung:

⟨H_{k}, H_{k′}⟩_{w} = ∫_{−∞}^{∞} e^{−x^{2}} · H_{k}(x) · H_{k′}(x) dx = 2^{k} · k! · \sqrt{π} · δ_{kk′}.

Bemerkung 2.14: Wie entstehen die angegebenen Eigenwerte b) λ_{k} = k · (k + 1), k = 0, 1, 2, … (Legendre–Polynome),

c) λ_{k} = 2 · k + 1, k = 0, 1, 2, … (Hermite–Polynome) im letzten Beispiel? Wir zeigen dies nur exemplarisch für den Fall der Hermite– Polynome, welche als Lösung des Eigenwertproblems

−H′′(x) + 2 · x · H′(x) = μ · H(x)

(mit μ = λ−1) entstehen. Wir lösen diese DGL durch einen Potenzreihenansatz

H(x) = ∑_{j=0}^{∞} a_{j} · x^{j}.

Einsetzen in die DGL ergibt

− ∑_{j=0}^{∞} j · (j − 1) · a_{j} · x^{j−2} + 2 · x · ∑_{j=0}^{∞} j · a_{j} · x^{j−1} − μ · ∑_{j=0}^{∞} a_{j} · x^{j} = 0,

also nach Umsummierung j → j + 2 der ersten Summe:

0 = ∑_{j=0}^{∞}(j + 2) · (j + 1) · a_{j+2} · x^{j} + ∑_{j=0}^{∞} 2 · j · a_{j} · x^{j} − ∑_{j=0}^{∞} μ · a_{j} · x^{j}

= ∑_{j=0}^{∞} \underbrace{((j + 2) · (j + 1) · a_{j+2} + 2 · j · a_{j} − μ · a_{j})}_{=0} ·x^{j}.

Es folgt

a_{j+2} = \frac{2 · j − μ}{(j + 2) · (j + 1)} · a_{j}.

Die allgemeine Lösung der DGL ist also durch a_{0} und a_{1} festgelegt (a_{0} bestimmt a_{2}, a_{4} etc., a_{1} bestimmt a_{3}, a_{5} etc.):

H(x) = a_{0} · ∑_{j=0}^{∞} α_{2·j} · x^{2·j} + a_{1} · ∑_{j=0}^{∞} α_{2·j+1} · x^{2·j+1}

mit den durch die Rekursion

α_{j+2} = \frac{2 · j − μ}{(j + 2) · (j + 1)} · α_{j}, α_{0} = 1, α_{1} = 1

bestimmten Koeffizienten α_{j} = a_{j}/a_{0} (j gerade) bzw. α_{j} = a_{j}/a_{1} (j ungerade). Wir setzen

α_{2·j} = \frac{β_{2·j}}{j!} , α_{2·j+1} = \frac{β_{2·j+1}}{j!}

und erhalten

H(x) = a_{0} · \underbrace{∑_{j=0}^{∞} β_{2·j} · \frac{x^{2·j}}{j!}}_{c(x)} +a_{1} · x · \underbrace{∑_{j=0}^{∞} β_{2·j+1} · \frac{x^{2·j}}{j!}}_{d(x)}

mit den durch die Rekursion

β_{2·j+2} = \frac{(4 · j − μ) · j}{(2 · j + 2) · (2 · j + 1)} · β_{2·j}, β_{0} = 1,  (#)

β_{2·j+3} = \frac{(4 · j + 2 − μ) · (j + 1)}{(4 · j + 3) · (4 · j + 2)} · β_{2·j+1}, β_{1} = 1  (#)

bestimmten Koeffizienten β_{j}. Wir zeigen nun, dass |c(x)| und |d(x)| schneller als e^{x^{2}/2} für x → ∞ anwachsen, falls die obige Rekursion nicht irgendwann abbricht, also falls μ ∉ {0, 2, 4, 6, … }. Wir setzen dies nun voraus und betrachten c(x): Aus der obigen Rekursion folgt sofort, dass β_{2·j+2}/β_{2·j} → 1 für j → ∞. Also gilt

|β_{2·j+2}| ≥ \frac{|β_{2·j}|}{2} ⇒ |β_{2·j}| ≥ \frac{|β_{2·j_{0}}|}{2^{j−j_{0}}}

für alle j ≥ j_{0} mit einem geeigneten j_{0}. Es folgt

sign(β_{2·j_{0}}) · c(x) = sign(β_{2·j_{0}}) · ∑_{j=0}^{j_{0}−1} β_{2·j} · \frac{x^{2·j}}{j!} + sign(β_{2·j_{0}}) · ∑_{j=j_{0}}^{∞} β_{2·j} · \frac{x^{2·j}}{j!}

≥ Polynom(x) + |β_{j_{0}}| · 2^{j_{0}} · ∑_{j=j_{0}}^{∞} \frac{x^{2·j}}{2^{j} · j!}

= Polynom(x) + |β_{j_{0}}| · 2^{j_{0}} · ( ∑_{j=0}^{∞} \frac{(x^{2}/2)^{j}}{j!} − ∑_{j=0}^{j_{0}−1} \frac{(x^{2}/2)^{j}}{j!} )

= Polynom(x) + |β_{j_{0}}| · 2^{j_{0}} · (e^{x^{2}/2} − Polynom(x)).

Analog folgt, dass |d(x)| stärker als x · e^{x^{2}/2} für x → ∞ anwächst. Damit verschwindet die potentielle Eigenfunktion ψ(x) = H(x) · e^{−x^{2}/2} des Harmonischen Oszillators aus Beispiel 2.13.c) aber nicht im Unendlichen und kann damit keine L_{2}–Funktion sein. Die einzige Möglichkeit, eine Eigenfunktion zu erhalten, besteht also darin, dass eine der beiden Rekursionen (#) zusammenbricht, also μ ∈ {0, 2, 4, 6, … } gilt. Ist μ = 2 · k, k ∈ ℕ_{0}, k gerade, so ist mit der Wahl a_{1} = 0 das gerade Polynom

H_{k}(x) = a_{0} · \underbrace{∑_{j=0}^{k/2} β_{2·j} · \frac{x^{2·j}}{j!}}_{c(x)}

vom Grad k die gesuchte Lösung. Ist μ = 2 · k, k ∈ ℕ, k ungerade, so ist mit der Wahl a_{0} = 0 das ungerade Polynom

H_{k}(x) = a_{1} · x · \underbrace{∑_{j=0}^{(k−1)/2} β_{2·j+1} · \frac{x^{2·j}}{j!}}_{d(x)}

vom Grad k die gesuchte Lösung. Die Funktionen ψ_{k}(x) = H_{k}(x) · e^{−x^{2}/2} sind jeweils L_{2}–Eigenfunktionen des Harmonischen Oszillators zu den Eigenwerten λ = μ + 1 = 2 · k + 1, k ∈ ℕ_{0}. Mit geeigneter Wahl von a_{0} bzw. a_{1} erhält man die einheitliche Darstellung

H_{k}(x) = (−1)^{k} · e^{x^{2}} · \frac{d^{k}}{dx^{k}} e^{−x^{2}}

für die Hermite–Polynome.

Bemerkung 2.15: In MuPAD stehen die Orthogonalpolynome aus Beispiel 2.5.b) und c) (und weitere) in der Bibliothek orthpoly zur Verfügung

(z.B. orthpoly::legendre(k, x), orthpoly::hermite(k, x)).

↓20.12.02

Beispiel 2.16: Bessel–Funktionen (tauchen bei der Darstellung des Laplace– Operators in Polar– bzw. Zylinderkoordinaten auf) Betrachte die ”parametrische Besselsche DGL“

−ψ′′(x) − \frac{1}{x} · ψ′(x) + \frac{ν^{2}}{x^{2}} · ψ(x) = λ · ψ(x)

in der (singulären) SL–Form

−(x · ψ′(x))′ + \frac{ν^{2}}{x} · ψ(x) = λ · x · ψ(x)

mit einem reellen Parameter ν ≥ 0,

[a, b] = [0, 1], p(x) = x, q(x) = \frac{ν^{2}}{x} , w(x) = x

und den Randbedingungen

|ψ(0)| < ∞, ψ(1) = 0.

Die Eigenwerte sind λ_{k} = λ_{νk}^{2}, k ∈ ℕ, wo λ_{νk} die k-te positive Nullstelle der Bessel– Funktion J_{ν} ist. Die Eigenfunktionen sind ψ_{k}(x) = J_{ν}(λ_{νk} · x). Ihre Normierung ist:

⟨ψ_{k}, ψ_{k′}⟩_{w} = ∫_{0}^{1} x · J_{ν}(λ_{νk} · x) · J_{ν}(λ_{νk′} · x) dx = \frac{1}{2} · (J_{ν+1}(λ_{νk}))^{2} · δ_{kk′}.

Hintergrund: Die ”Bessel–Funktion“ (der ersten Art) mit Index ν ≥ 0 ist die bei x = 0 reguläre Lösung der DGL (”Besselsche DGL“)

−(x · J′(x))′ = (x − \frac{ν^{2}}{x} ) · J(x).

Die spezielle Lösung mit J(0) = 1 für ν = 0 bzw. J(0) = 0 für ν > 0 wird mit J_{ν}(x) bezeichnet (”die Bessel–Funktion der Ordnung ν“). Sie besitzt für ganzzahliges ν = 0, 1, 2, … die Potenzreihendarstellung

J_{ν}(x) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{(−1)^{j}}{j! · (j + ν)!} · (\frac{x}{2})^{ν+2·j}.

Hier ist eine Graphik der Bessel–Funktionen J_{0}, …, J_{7}:

102 KAPITEL 2. STURM–LIOUVILLE–PROBLEME

Die Bessel–DGL

−(x · J′(x))′ = (x − \frac{ν^{2}}{x} ) · J(x)

ist die parametrische Bessel–DGL des Eigenwertproblems

−(x · ψ′(x))′ + \frac{ν^{2}}{x} · ψ(x) = λ · x · ψ(x), |ψ(0)| < ∞, ψ(1) = 0

mit λ = 1. Setzt man ψ(x) = J_{ν}(λ_{νk} · x), so erhält man in der Tat die bei x = 0 reguläre Lösung der parametrischen Bessel–DGL mit λ = λ_{νk}^{2}. Die Forderung ψ(1) = 0 führt sofort zu dem Ergebnis, dass die Eigenwerte λ = λ_{νk}^{2} durch die Nullstellen λ_{νk} von J_{ν} gegeben sind.

Man kann zeigen, dass jedes J_{ν}(x) unendlich viele positive reelle Nullstellen

0 < λ_{ν1} < λ_{ν2} < …

besitzt, welche in der obigen Konstruktion der Eigenfunktionen der parametrischen Bessel–DGL benutzt werden. (Die Nullstelle x = 0 für ν > 0 wird nicht betrachtet.) Diese Nullstellen lassen sich nicht durch explizite Formeln darstellen, können aber recht leicht numerisch berechnet werden. Für die kleinste Nullstelle gilt (für großes ν)

λ_{ν1} ≈ ν + 1.85575 · ν^{1/3} + 1.03315 · ν^{−1/3} − 0.00397 · ν^{−1} − ⋯,

was schon ab ν = 2 die Nullstelle auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt. Hiermit sind Startpunkte für die numerische Suche gegeben. Hat man λ_{ν1} gefunden, so findet man Startpunkte für die λ_{νk} für die Werte k > 1 aus der Tatsache, dass für jedes ν

lim_{k→∞}(λ_{ν,k+1} − λ_{ν,k}) = π

gilt, also λ_{ν,k+1} ≈ λ_{ν,k} + π. Dies liefert für jedes nicht allzu große ν schon ab k = 1 eine ganz passable Näherung von λ_{ν,k+1}, sobald λ_{νk} numerisch berechnet worden ist.

Bemerkung 2.17: Die Bessel–Funktionen J_{v}(x) heissen in MuPAD besselJ(v, x). Hier die numerische MuPAD–Berechnung einiger Nullstellen λ_{νk} der Bessel–Funktionen J_{ν}, wobei zunächst λ_{ν1} bestimmt wird und dann für die Suche nach λ_{νk} mit k > 1 jeweils Suchintervalle der Länge π an den numerischen Solver übergeben werden:

>> // Vorbereitung des Arrays fuer die Aufnahme der Nullstellen
lambda:= array(-1..7, 0..7):
for i from 0 to 7 do
  lambda[-1, i]:= i;   // Zeile -1: die Nummer der Nullstelle
  lambda[i, 0]:= J[i]; // Spalte 0: Ordnung der Besselfunktion
end_for:
lambda[-1, 0] := "":
// Approximationen der ersten Nullstelle
lambda1:= v -> float(v) + 1.856*float(v)^(1/3):
// Systematische numerische Suche nach den Nullstellen
for v from 0 to 7 do
  searchrange:= lambda1(v) .. lambda1(v) + PI;
  lambda[v, 1]:= numeric::realroot(besselJ(v, x),
                                   x = searchrange):
  for k from 2 to 7 do
     searchrange:= lambda[v, k-1] +   PI/2 ..
                   lambda[v, k-1] + 3*PI/2;
     lambda[v, k]:= numeric::realroot(besselJ(v, x) = 0,
                                      x = searchrange);
  end_for:
end_for:

>> DIGITS:= 4: // Ausgabe auf nur 4 Stellen
>> // die ersten 7 Nullstellen der Besselfunktionen J0,..,J7
>> lambda;
               1,     2,     3,     4,     5,     6,     7
     | ----+-------------------------------------------------|
     | J[0]| 2.405,  5.52, 8.654, 11.79, 14.93, 18.07, 21.21 |
     | J[1]| 3.832, 7.016, 10.17, 13.32, 16.47, 19.62, 22.76 |
     | J[2]| 5.136, 8.417, 11.62, 14.80, 17.96, 21.12, 24.27 |
     | J[3]| 6.380, 9.761, 13.02, 16.22, 19.41, 22.58, 25.75 |
     | J[4]| 7.588, 11.06, 14.37, 17.62, 20.83, 24.02, 27.20 |
     | J[5]| 8.771, 12.34, 15.70, 18.98, 22.22, 25.43, 28.63 |
     | J[6]| 9.936, 13.59, 17.00, 20.32, 23.59, 26.82, 30.03 |
     | J[7]| 11.09, 14.82, 18.29, 21.64, 24.93, 28.19, 31.42 |

2.2 Reguläre Sturm–Liouville–Probleme

Für die regulären SL–Probleme (Bezeichnung 2.9)

Lψ = −(p · ψ′)′ + q · ψ = λ · w · ψ

über endlichen Intervallen [a, b] mit glatten Funktionen p, q, w (mit p(x) > 0, w(x) > 0 für alle x ∈ [a, b]) und den Randbedingungen

α_{1} · ψ(a) + α_{2} · ψ′(a) = 0, β_{1} · ψ(b) + β_{2} · ψ′(b) = 0

(mit α_{i}, β_{i} ∈ ℝ, |α_{1}| + |α_{2}| ≠ 0, |β_{1}| + |β_{2}| ≠ 0) existiert eine bemerkenswert einheitliche Theorie, die wir im folgenden (Mega–)Satz zusammenfassen:

Satz 2.18: (Reguläre Sturm–Liouville–Probleme)

Für das reguläre SL–Eigenwertproblem gilt:

a) Es gibt eine abzählbar unendliche Anzahl reeller diskreter Eigenwerte λ_{k} mit k = 0, 1, 2, …:

λ_{0} < λ_{1} < λ_{2} < ….

b) Diese Eigenwerte wachsen in der Form O(k^{2}) gegen ∞: es gibt positive Konstanten c und C, sodass für alle hinreichend grossen k gilt:

c ≤ \frac{λ_{k}}{k^{2}} ≤ C.

c) Die Eigenwerte sind einfach: zu jedem λ_{k} gibt es (bis auf Multiplikation mit einer Konstanten) genau eine Eigenfunktion ψ_{k}(x) mit Lψ_{k} = λ_{k} · w · ψ_{k}.

d) Die Eigenfunktionen ”oszillieren“: die k-te Eigenfunktion hat genau k einfache Nullstellen im offenen Intervall (a, b) (und, je nach Randbedingung, evtl. noch Nullstellen an den Rändern).

e) Die Eigenfunktionen bilden ein vollständiges Orthogonalsystem auf L_{2w}([a, b]): für jedes f ∈ L_{2w}([a, b]) (welches nicht die Randbedingungen zu erfüllen braucht) konvergiert die Fourier–Reihe im L_{2}– Sinne gegen f:

f = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} · ψ_{k} mit c_{k} = \frac{⟨ψ_{k}, f⟩_{w}}{⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}} .

f) Jede stückweise glatte Funktion f über [a, b], die den Randbedingungen genügt, läßt sich punktweise als Grenzwert der Fourier–Reihe über die Eigenfunktionen darstellen. Es gilt:

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} c_{k} · ψ_{k}(x) = \frac{f(x − 0) + f(x + 0)}{2},

wo f(x ∓ 0) der links– bzw. rechtsseitige Limes der Funktion an der Stelle x ist. Stetige Funktionen, die den Randbedingungen genügen, werden damit überall durch ihre Fourier–Reihe dargestellt.

Der Beweis sprengt unseren Rahmen, und wir verweisen auf

[WW] Wolfgang Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 1996.

a) + d) Siehe Kapitel 27 (II. Existenzsatz) in [WW].

b) Siehe Kapitel 27 (Asymptotisches Verhalten, Formel (12)) in [WW].

c) Satz 2.11.

e) Siehe Kapitel 28 (VII. Entwicklungssatz) in [WW].

f) Siehe Kapitel 27 (III. Entwicklungssatz) in [WW] (nur für stetig diff’bare Funktionen). Die Orthogonalität der Eigenfunktionen wurde in Satz 2.4 gezeigt.

Q.E.D.

Bemerkung 2.19: Die meisten der in Anwendungen auftretenden SL–

↓6.1.03

Probleme sind singulär. In der Tat entstammen in den Beispielen 2.13 nur die Sinus–Funktionen 2.13.a) einem regulären Problem. In der Zählung der Eigenfunktionen nach Satz 2.18 ist dabei ψ_{k}(x) = sin((k+1)·π·x), k = 0, 1, 2, …. Wie in den Übungen bei der Wärmeleitgleichung und der Wellengleichung schon diskutiert, kann man jede auf dem Intervall [0, 1] gegebene Funktion ungerade auf [−1, 1] fortsetzen und dann gemäß Kapitel 1 in eine trigonometrische Reihe entwickeln, die nur Sinus–Terme enthält. Die Gültigkeit aller Teilaussagen von Satz 2.18 ist damit nach Kapitel 1 klar. Die meisten der Aussagen in Satz 2.18 gelten auch für singuläre SL–Probleme, sind dann aber für das konkret betrachtete Problem jeweils einzeln zu beweisen. Für die Legendre–Polynome in Beispiel 2.13.b) gelten beispielsweise alle Aussagen des Satzes 2.18. Für die Hermite–Polynome in Beispiel 2.13.c) gelten ebenfalls alle Aussagen des Satzes 2.18 mit der Ausnahme von 2.18.b): die Eigenwerte λ_{k} = 2 · k + 1 wachsen nicht quadratisch mit k. Für die Besselfunktionen in Beispiel 2.13.d) gelten wiederum alle Aussagen des Satzes 2.18. In der Zählung der Eigenfunktionen nach Satz 2.18 ist dabei ψ_{k}(x) = J_{ν}(λ_{ν,k+1} · x), k = 0, 1, 2, ….

Bemerkung 2.20: Satz 2.18 liefert offensichtlich eine Verallgemeinerung der Theorie trigonometrischer Fourier–Reihen (mit Sinus– und Cosinus–Termen), die als Spezialfall enthalten sein sollten. Sie entstammen keinem regulären SL– Problem, sondern dem Eigenwertproblem

−ψ′′(x) = λ · ψ(x), ψ(−π) = ψ(π), ψ′(−π) = ψ′(π)

mit periodischen Randbedingungen. In der Tat gelten alle Aussagen des Satzes 2.18 bis auf 2.18.c): die Eigenwerte λ_{k} = k ∈ ℕ_{0} sind alle bis auf λ_{0} = 0 entartet: es gibt jeweils 2 Eigenfunktionen, nämlich sin(k · x) und cos(k · x).

Bemerkung 2.21: In der Quantenmechanik sind der kleinste Eigenwert λ_{0} und die entsprechende Eigenfunktion ψ_{0} von besonderem Interesse: man spricht von ”Grundenergie“ λ_{0} und ”Grundzustand“ ψ_{0}. In Satz 2.12 wurde eine grobe untere Abschätzung bewiesen. Man bekommt leicht obere Abschätzungen für die Grundenergie durch die Aussage

λ_{0} = min_{{ψ∈L_{2w} \atop ψ≠0}} \frac{⟨ψ, Lψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩_{w}}

(das Minimum wird für ψ = ψ_{0} angenommen). Durch Einsetzen einer beliebigen Funktion ψ erhält man eine obere Schranke

λ_{0} ≤ \frac{⟨ψ, Lψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩_{w}},

die umso genauer ist, je näher man ψ bei ψ_{0} wählt. Numerisch kann man zur systematischen Approximation von λ_{0} und ψ_{0} folgendermaßen vorgehen: Wähle eine (möglichst gute) Approximation μ von λ_{0}, wähle eine beliebige Startfunktion ψ^{(0)}, die keine Eigenfunktion von L ist. Ist die Approximation μ hinreichend genau, so konvergiert die Iteration

ψ^{(j)} = \frac{1}{\sqrt{⟨ψ̃^{(j)}, ψ̃^{(j)}⟩_{w}}} · ψ̃^{(j)} mit ψ̃^{(j)} = (L − μ · w)^{−1}w · ψ^{(j−1)}

im L_{2}–Sinn gegen ψ_{0} und

λ^{(j)} = \frac{⟨ψ^{(j)}, Lψ^{(j)}⟩}{⟨ψ^{(j)}, ψ^{(j)}⟩_{w}} = μ + \frac{⟨ψ̃^{(j)}, (L − μ · w)ψ̃^{(j)}⟩}{⟨ψ̃^{(j)}, ψ̃^{(j)}⟩_{w}} = μ + \frac{⟨ψ̃^{(j)}, ψ^{(j−1)}⟩_{w}}{⟨ψ̃^{(j)}, ψ̃^{(j)}⟩_{w}}

konvergiert gegen λ_{0}. Hierbei ist ψ̃^{(j)} = (L − μ · w)^{−1}w · ψ^{(j−1)} als die Lösung von (L − μ · w)ψ̃^{(j)} = w · ψ^{(j−1)} zu verstehen. Durch geeignete Wahl von μ kann man auch andere Eigenwerte/–vektoren durch diese Iteration ansteuern. Siehe Übungsaufgabe 47.

Mit der Aufgabe, die Gleichung Lψ = w·f für gegebenes f zu lösen, beschäftigen wir uns im nächsten Abschnitt 2.3.

2.3 Inverse Sturm–Liouville–Operatoren: die Greensche Funktion

Sei L = −\frac{d}{dx} p \frac{d}{dx} + q ein SL–Operator über dem Intervall [a, b] mit den Randbedingungen

α_{1} · ψ(a) + α_{2} · ψ′(a) = 0, β_{1} · ψ(b) + β_{2} · ψ′(b) = 0 (#)

(mit α_{i}, β_{i} ∈ ℝ, |α_{1}| + |α_{2}| ≠ 0, |β_{1}| + |β_{2}| ≠ 0). Wir betrachten das Problem, die inhomogene Gleichung

Lψ = w · f

mit einer gegebenen Funktion f ∈ L_{2w}([a, b]) zu lösen, wobei die Lösung ψ die Randbedingungen (#) erfüllen soll.

Wir zerlegen dazu ψ und f in eine Fourier–Reihe bzgl. der Eigenfunktionen ψ_{k} von L (was für reguläre SL–Probleme immer möglich ist):

ψ = ∑_{k=0}^{∞} d_{k} · ψ_{k}, f = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} · ψ_{k}, c_{k} = \frac{⟨ψ_{k}, f⟩_{w}}{⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}} .

Aus Lψ = w · f folgt mit Lψ_{k} = λ_{k} · w · ψ_{k} die Gleichung

Lψ = ∑_{k=0}^{∞} d_{k} · Lψ_{k} = ∑_{k=0}^{∞} d_{k} · λ_{k} · w · ψ_{k} = w · f = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} · w · ψ_{k}.

Durch Vergleich der einzelnen Terme folgt d_{k} = c_{k}/λ_{k}, d.h., man erhält die Lösungsformel

ψ = ∑_{k=0}^{∞} \frac{c_{k}}{λ_{k}} · ψ_{k}, c_{k} = \frac{⟨ψ_{k}, f⟩_{w}}{⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}}

für das Problem Lψ = w · f. Solange keiner der Eigenwerte λ_{k} = 0 ist, erhält man so die Lösung. (Die Bedingung, dass 0 kein Eigenwert von L sein darf, sollte nicht verwundern: eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert ist). Damit ist bewiesen:

Satz 2.22: (Lösung von Lψ = w · f über Fourier–Reihen)

Sei L ein SL–Operator auf einem den Randbedingungen entsprechenden Teilraum L_{2w}^{(0)}([a, b]) ⊂ L_{2w}([a, b]) mit einem vollständigen Orthogonalsystem von Eigenfunktionen (Lψ_{k} = λ_{k} · w · ψ_{k}, k ∈ ℕ_{0}). Sei 0 nicht Eigenwert von L. Dann existiert für jedes f ∈ L_{2w}([a, b]) eine eindeutige Lösung

ψ = ∑_{k=0}^{∞} \frac{c_{k}}{λ_{k}} · ψ_{k}, c_{k} = \frac{⟨ψ_{k}, f⟩_{w}}{⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}}

von Lψ = w · f mit ψ ∈ L_{2w}^{(0)}([a, b]).

Bemerkung 2.23: Startet man mit dem Operator

L̃ = −A\frac{d}{dx^{2}} − B \frac{d}{dx} + C,

der nach Satz 2.8 durch L = w · L̃ auf SL–Form L gebracht wird, so entspricht die Gleichung Lψ = w · f der Gleichung L̃ψ = f. Mit den Eigenfunktionen L̃ψ_{k} = λ · ψ_{k} wird die Gleichung

L̃ψ = f

auch für allgemeine Operatoren L̃ durch die Fourier–Entwicklung gelöst, falls 0 kein Eigenwert von L̃ ist:

ψ = ∑_{k=0}^{∞} \frac{c_{k}}{λ_{k}} · ψ_{k}, c_{k} = \frac{⟨ψ_{k}, f⟩_{w}}{⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}} .

Bemerkung 2.24: Die Inhomogenität f in Lψ = w · f braucht die Randbedingungen nicht zu erfüllen. In einem solchen Fall ist das Abklingverhalten der Fourier–Koeffizienten c_{k} von f recht langsam: die Fourier–Reihe f = ∑_{k} c_{k} · ψ_{k} konvergiert nicht gleichmäßig, sodass der L_{2}–Grenzwert f der Reihe nicht die Randbedingungen erfüllen muß, auch wenn die einzelnen Terme c_{k} ·ψ_{k} der Reihe dies tun. Im Gegensatz dazu fallen die Fourier–Koeffizienten c_{k}/λ_{k} der Lösung ψ wesentlich schneller ab (beachte λ_{k} → ∞), was zu gleichmäßiger Konvergenz ψ = ∑_{k} \frac{c_{k}}{λ_{k}} ·ψ_{k} und der Vererbung der Randbedingungen von ψ_{k} auf die Lösung ψ führt.

Wir beobachten, dass der SL–Operator L auf L_{2w}([a, b]) eine Inverse L^{−1} besitzt, die Bilder in L_{2w}^{(0)}([a, b]) ⊂ L_{2w}([a, b]) annimmt:

(L^{−1}(w · f))(x) = ψ(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{⟨ψ_{k}, f⟩_{w}}{λ_{k} · ⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}} · ψ_{k}(x)

= ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{λ_{k} · ⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}} · ψ_{k}(x) · ∫_{a}^{b} w(y) · \overline{ψ_{k}(y)} · f(y) dy

= ∫_{a}^{b} \underbrace{∑_{k=0}^{∞} \frac{ψ_{k}(x) · \overline{ψ_{k}(y)}}{λ_{k} · ⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}}}_{g(x,y)} · w(y) · f(y) dy

= ∫_{a}^{b} g(x, y) · (w(y) · f(y)) dy.

Wir ersetzen w · f durch f und erhalten:

Satz 2.25: (Inverser SL–Operator)

↓10.1.03

Sei L : L_{2w}^{(0)}([a, b]) → L_{2w}([a, b]) ein SL–Operator auf einem den Randbedingungen entsprechenden Teilraum L_{2w}^{(0)}([a, b]) ⊂ L_{2w}([a, b]) mit einem vollständigen Orthogonalsystem von Eigenfunktionen Lψ_{k} = λ_{k} · w · ψ_{k}, k ∈ ℕ_{0}. Ist 0 nicht Eigenwert, so ist L invertierbar. Der inverse Operator L^{−1} : L_{2w}([a, b]) → L_{2w}^{(0)}([a, b]) wirkt als Integraloperator:

(L^{−1}f)(x) = ∫_{a}^{b} g(x, y) · f(y) dy mit g(x, y) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{ψ_{k}(x) · \overline{ψ_{k}(y)}}{λ_{k} · ⟨ψ_{k}, ψ_{k}⟩_{w}}.

Bezeichnung: L^{−1} heißt ”Greens–Operator“, der Integralkern g(x, y) heißt ”Greensche Funktion“.

Bemerkung 2.26: Kann das homogene Problem Lψ = 0 für ψ ∈ L_{2w}^{(0)}([a, b]) explizit gelöst werden, so kann man die Greensche Funktion nicht nur als Reihe, sondern auch ganz explizit konstruieren. Wir fixieren dazu ein y ∈ (a, b) und lösen die DGL

Lg(x, y) = δ(x − y),

in x (mit Parameter y), sodass formal

L ∫_{a}^{b} g(x, y) · f(y) dy = ∫_{a}^{b} Lg(x, y) · f(y) dy = ∫_{a}^{b} δ(x − y) · f(y) dy = f(x)

gilt. Für x < y bzw. x > y ist jeweils das homogene Problem

Lg(x, y) = 0

zu lösen, an der Stelle x = y muss

lim_{{ϵ→0 \atop ϵ>0}} ∫_{y−ϵ}^{y+ϵ} Lg(x, y) dx = lim_{{ϵ→0 \atop ϵ>0}} ∫_{y−ϵ}^{y+ϵ} δ(x − y) dx = 1

gelten, also

lim_{{ϵ→0 \atop ϵ>0}} ∫_{y−ϵ}^{y+ϵ} ( − \frac{∂}{∂x}p(x)\frac{∂}{∂x}g(x, y) + q(x) · g(x, y)) dx = 1.

Wir fordern, dass g(x, y) an der Stelle x = y stetig sein soll. Damit folgt

lim_{{ϵ→0 \atop ϵ>0}} ( − p(y + ϵ) · \frac{∂g}{∂x}(y + ϵ, y) + p(y − ϵ) · \frac{∂g}{∂x}(y − ϵ, y)) = 1.

Wir erhalten also ein Sprungbedingung an der Nahtstelle x = y der beiden Bereiche x < y und x > y:

\frac{∂g}{∂x}(y − 0, y) − \frac{∂g}{∂x}(y + 0, y) = \frac{1}{p(y)}.

Ergebnis: die Greensche Funktion g(x, y) ist bei gegebenem y ∈ (a, b) durch die folgenden Forderungen festgelegt:

a) Lg(x, y) = 0 für alle x ∈ [a, y) und alle x ∈ (y, b],

b) g(a, y) erfüllt die linke Randbedingung,

c) g(b, y) erfüllt die rechte Randbedingung,

d) g(x, y) ist stetig bei x = y,

e) \frac{∂g}{∂x}(x, y) ist unstetig bei x = y mit \frac{∂g}{∂x}(y − 0, y) − \frac{∂g}{∂x}(y + 0, y) = \frac{1}{p(y)}.

In der Tat läßt sich hieraus algorithmisch g(x, y) eindeutig bestimmen, falls wir eine explizite Lösung des homogenen Problems Lg(x, y) = 0 berechnen können.

2.3. INVERSE STURM–LIOUVILLE–OPERATOREN 111

Beispiel 2.27: Wir berechnen die Greensfunktion des SL–Operators L = −\frac{d^{2}}{dx^{2}} mit den Randbedingungen ψ(0) = ψ(1) = 0. Sei y ∈ (0, 1) vorgegeben.

a) Die Lösung des homogenen Problems Lg(x, y) = −\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} g(x, y) = 0 ist g(x, y) = α(y) + β(y) · x. Wir machen also den Ansatz

g(x, y) = \{ \begin{matrix}α_{−}(y) + β_{−}(y) · x & für x ∈ [0, y), \\ α_{+}(y) + β_{+}(y) · x & für x ∈ (y, 1] \end{matrix}

mit noch zu bestimmenden Funktionen α_{±}(y), β_{±}(y).

b) Aus der linken Randbedingung g(0, y) = 0 folgt α_{−}(y) = 0.

c) Aus der rechten Randbedingung g(1, y) = 0 folgt α_{+}(y) + β_{+}(y) = 0. Der Ansatz hat sich damit auf

g(x, y) = \{ \begin{matrix}β_{−}(y) · x & für x ∈ [0, y), \\ α_{+}(y) · (1 − x) & für x ∈ (y, 1] \end{matrix}

reduziert.

d) Für x = y ergibt sich

β_{−}(y) · y = α_{+}(y) · (1 − y). (1)

e) Es gilt

\frac{∂g}{∂x}(x, y) = \{ \begin{matrix}β_{−}(y) & für x ∈ [0, y), \\ −α_{+}(y) & für x ∈ (y, 1]. \end{matrix}

Für unseren Operator ist p(x) = 1. Die Sprungbedingung e) liefert damit

β_{−}(y) + α_{+}(y) = \frac{1}{p(y)} = 1. (2)

Aus den linearen Gleichungen (1) und (2) ergibt sich

α_{+}(y) = y, β_{−}(y) = 1 − y.

Damit ist die Greens–Funktion bestimmt (wir lassen nun auch y = 0, y = 1 sowie wegen der Stetigkeit auch x = y zu):

g(x, y) = \{ \begin{matrix}x · (1 − y) & für 0 ≤ x ≤ y ≤ 1, \\ (1 − x) · y & für 0 ≤ y ≤ x ≤ 1. \end{matrix}

Probe: Die Funktion ψ(x) = ∫_{0}^{1} g(x, y) · f(y) dy = ∫_{0}^{x} g(x, y) · f(y) dy + ∫_{x}^{1} g(x, y) · f(y) dy

= (1 − x) · ∫_{0}^{x} y · f(y) dy + x · ∫_{x}^{1}(1 − y) · f(y) dy

erfüllt in der Tat die Randbedingungen ψ(0) = ψ(1) = 0 sowie

Lψ(x) = −\frac{d^{2}}{dx^{2}} ψ(x)

= −\frac{d}{dx}( − ∫_{0}^{x}y · f(y) dy + (1 − x) · x · f(x) + ∫_{x}^{1}(1 − y) · f(y) dy − x · (1 − x) · f(x))

= −\frac{d}{dx}( − ∫_{0}^{x}y · f(y) dy + ∫_{x}^{1}(1 − y) · f(y) dy) = −( − x · f(x) − (1 − x) · f(x)) = f(x).

Bemerkung 2.28: Im obigen Beispiel beobachtet man, dass die Symmetrie g(x, y) = g(y, x) gilt. Dies ist kein Zufall. Bezüglich des ungewichteten Skalarprodukts gilt

⟨f_{1}, L^{−1}f_{2}⟩ − ⟨L^{−1}f_{1}, f_{2}⟩

= ∫_{a}^{b} \overline{f_{1}(x)} · ( ∫_{a}^{b} g(x, y) · f_{2}(y)) dy dx − ∫_{a}^{b} \overline{( ∫_{a}^{b} g(x, y) · f_{1}(y) dy)} · f_{2}(x) dx

= ∫_{a}^{b} ∫_{a}^{b} g(x, y) · \overline{f_{1}(x)} · f_{2}(y) dx dy − ∫_{a}^{b} ∫_{a}^{b} \overline{g(x, y)} · \overline{f_{1}(y)} · f_{2}(x) dy dx

=^{(∗)} ∫_{a}^{b} ∫_{a}^{b} (g(x, y) − \overline{g(y, x)}) · \overline{f_{1}(x)} · f_{2}(y) dx dy,

wobei im Schritt (∗) im zweiten Integral die Namen x, y der Integrationsvariablen ausgetauscht wurden. Der Greensche Operator ist also genau dann selbstadjungiert bzgl. des ungewichteten Skalarprodukts, wenn

g(x, y) = \overline{g(y, x)}

gilt. Da das Inverse eines (immer symmetrischen) SL–Operators wieder ein symmetrischer Operator ist, muss für den Integralkern g(x, y) die obige Symmetrie gelten.

2.4 Anwendungen

Viele der den Sturm–Liouville–Problemen entstammenden Orthogonalsysteme tauchen in der Lösung von partiellen DGLen der mathematischen Physik auf. Ein wichtiges Beispiel hierfür ist etwa die Poisson–Gleichung

Δu(x, y, z) = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂z^{2}} = −f(x, y, z)

auf einem Gebiet Ω ⊂ ℝ^{3} mit einer in Ω vorgegebenen Funktion f und vorgegebenen Randwerten der Lösung u auf dem Rand von Ω. Das grobe Verfahren sieht dabei folgendermaßen aus:

a) Transformiere die Gleichung auf der Symmetrie des Problems angepasste Koordinaten, die wir hier wieder x, y, z nennen wollen (z.B. Polar– oder Kugelkoordinaten bei Rotationssymmetrie, Zylinderkoordinaten bei Zylindersymmetrie etc.)

b) In den neuen Koordinaten hat man typischerweise einen Quader vor sich, über dem man sich ein mehrdimensionales orthogonales System ψ_{k_{1}k_{2}k_{3}}(x, y, z) verschafft. Dies geschieht durch Produktansätze

ψ_{k_{1}k_{2}k_{3}}(x, y, z) = X_{k_{1}}(x) · Y_{k_{2}}(y) · Z_{k_{3}}(z),

wo X_{k_{1}}(x), Y_{k_{2}}(y), Z_{k_{3}}(z) jeweils 1–dimensionale orthogonale Funktionen sind. Die mehrdimensionale Fourier–Entwicklung der Lösung führt dabei auf Mehrfachsummen über jeweils 1–dimensionale Fourier–Reihen in den einzelnen Koordinatenrichtungen.

c) Man erhält so eine Fourier–Reihendarstellung der Lösung.

Wir demonstrieren dieses Programm an einem noch überschaubaren Fall: die Poisson–Gleichung im ℝ^{2} mit Rotationssymmetrie und homogenen Randbedingungen. Es bietet sich eine Transformation des Gebiets Ω (ein Kreis mit Radius r_{0}) per Polarkoordinaten (r, ϕ) auf den Quader (r, ϕ) ∈ [0, r_{0}] × [0, 2 · π) an, wobei über die Transformation des Volumenelements dx dy = r dr dϕ das Gewicht w(r) = r im Radialanteil auftaucht. Dieses Gewicht gehört zu den Bessel-Funktionen, sodass sich als geeignetes 2–dimensionales Orthogonalsystem auf dem (r, ϕ)–Quader die Produkte aus Bessel–Funktionen (in r) und trigonometrischen Funktionen (in ϕ) erweisen:

Beispiel 2.29: Wir betrachten den Laplace–Operator

Δu(x, y) = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}u}{∂y^{2}}

in Polarkoordinaten (r, ϕ):

x = r · cos(ϕ), y = r · sin(ϕ).

Mit der Kettenregel ergeben sich aus

\frac{∂x}{∂x} = 1 = \frac{∂r}{∂x} · cos(ϕ) − r · sin(ϕ) · \frac{∂ϕ}{∂x}, \frac{∂y}{∂x} = 0 = \frac{∂r}{∂x} · sin(ϕ) + r · cos(ϕ) · \frac{∂ϕ}{∂x},

\frac{∂x}{∂y} = 0 = \frac{∂r}{∂y} · cos(ϕ) − r · sin(ϕ) · \frac{∂ϕ}{∂y}, \frac{∂y}{∂y} = 1 = \frac{∂r}{∂y} · sin(ϕ) + r · cos(ϕ) · \frac{∂ϕ}{∂y}

die Beziehungen

\frac{∂r}{∂x} = cos(ϕ), \frac{∂r}{∂y} = sin(ϕ), \frac{∂ϕ}{∂x} = − \frac{sin(ϕ)}{r}, \frac{∂ϕ}{∂y} = \frac{cos(ϕ)}{r}.

Mit der Kettenregel folgt dann

\frac{∂u}{∂x} = \frac{∂r}{∂x} · \frac{∂u}{∂r} + \frac{∂ϕ}{∂x} · \frac{∂u}{∂ϕ} = cos(ϕ) · \frac{∂u}{∂r} − \frac{sin(ϕ)}{r} · \frac{∂u}{∂ϕ},

\frac{∂u}{∂y} = \frac{∂r}{∂y} · \frac{∂u}{∂r} + \frac{∂ϕ}{∂y} · \frac{∂u}{∂ϕ} = sin(ϕ) · \frac{∂u}{∂r} + \frac{cos(ϕ)}{r} · \frac{∂u}{∂ϕ},

woraus sich nach einiger Rechnung ergibt:

Δu(r, ϕ) = \frac{∂^{2}u}{∂r^{2}} + \frac{1}{r} · \frac{∂u}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} · \frac{∂^{2}u}{∂ϕ^{2}} .

Wir betrachten die ”Poisson–Gleichung“

Δu = −f

mit einer in Polarkoordinaten gegebenen Funktion f(r, ϕ) und der Randbedingung

u(r_{0}, ϕ) = 0

(auf einem Kreis des Radius r_{0} soll die Lösung verschwinden). In Polarkoordinaten haben wir zu lösen:

Δu(r, ϕ) = \frac{∂^{2}u}{∂r^{2}} + \frac{1}{r} · \frac{∂u}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} · \frac{∂^{2}u}{∂ϕ^{2}} = −f(r, ϕ), u(r_{0}, ϕ) = 0.

Wir führen die dimensionslose Koordinate

ρ = \frac{r}{r_{0}}

ein, die den Radialbereich r ∈ [0, r_{0}] auf den Standardbereich ρ ∈ [0, 1] transformiert. Da sowohl f als auch die Lösung u in der Winkelkoordinate ϕ die Periode 2 · π haben muss, zerlegen wir f und u in Fourier–Reihen bzgl. ϕ:

u(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} U_{ν}(ρ) · e^{i·ν·ϕ}, f(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} F_{ν}(ρ) · e^{i·ν·ϕ}

mit

F_{ν}(ρ) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{0}^{2·π} f(ρ · r_{0}, ϕ) · e^{−i·ν·ϕ} dϕ.

2.4. ANWENDUNGEN 115

Einsetzen in die Poisson–Gleichung liefert:

Δu(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} (\frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + \frac{1}{r} · \frac{∂}{∂r} + \frac{1}{r^{2}} · \frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}} ) · U_{ν}(ρ) · e^{i·ν·ϕ}

= \frac{1}{r_{0}^{2}} · ∑_{ν∈ℤ} (\frac{∂^{2}}{∂ρ^{2}} + \frac{1}{ρ} · \frac{∂}{∂ρ} + \frac{1}{ρ^{2}} · \frac{∂^{2}}{∂ϕ^{2}} ) · U_{ν}(ρ) · e^{i·ν·ϕ}

= \frac{1}{r_{0}^{2}} · ∑_{ν∈ℤ} (U′′_{ν}(ρ) + \frac{1}{ρ} · U′_{ν}(ρ) − \frac{ν^{2}}{ρ^{2}} · U_{ν}(ρ)) · e^{i·ν·ϕ}

= − ∑_{ν∈ℤ} F_{ν}(ρ) · e^{i·ν·ϕ} = −f(r, ϕ).

Vergleich der Fourier–Koeffizienten liefert, dass die Funktionen U_{ν}(ρ) durch die Gleichung

−U′′_{ν}(ρ) − \frac{1}{ρ} · U′_{ν}(ρ) + \frac{ν^{2}}{ρ^{2}} · U_{ν}(ρ) = r_{0}^{2} · F_{ν}(ρ)

mit den Randbedingungen

|U_{ν}(0)| < ∞, U_{ν}(1) = 0

bestimmt sind. Dies ist die inhomogene Version der in Beispiel 2.16 betrachteten parametrischen Bessel–Gleichung über dem Intervall [0, 1], zu der das Gewicht w(ρ) = ρ gehört. Entwicklung nach den bzgl. w orthogonalen Eigenfunktionen

ψ_{νk}(ρ) = J_{|ν|}(λ_{|ν|,k} · ρ), ν ∈ ℤ

mit den Eigenwerten λ_{|ν|,k}^{2} (wo λ_{|ν|k} die k-te positive Nullstelle von J_{|ν|} ist) liefert gemäß Bemerkung 2.23 unter Verwendung der Angaben in Beispiel 2.16 die Lösung

U_{ν}(ρ) = ∑_{k∈ℕ} \frac{1}{λ_{|ν|,k}^{2}} · \frac{⟨ψ_{νk}, r_{0}^{2} · F_{ν}⟩_{w}}{⟨ψ_{νk}, ψ_{νk}⟩_{w}} · ψ_{νk}(ρ) = ∑_{k∈ℕ} \frac{2}{λ_{|ν|,k}^{2}} · \frac{⟨ψ_{νk}, r_{0}^{2} · F_{ν}⟩_{w}}{J_{|ν|+1}(λ_{|ν|,k})^{2}} · ψ_{νk}(ρ).

Mit u(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} U_{ν}(ρ) · e^{i·ν·ϕ} erhalten wir das

Endergebnis: Die Lösung des Randwertproblems

Δu(r, ϕ) = −f(r, ϕ), u(r_{0}, ϕ) = 0

ist in Polarkoordinaten gegeben durch die Reihenentwicklung

u(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} ∑_{k∈ℕ} \frac{2}{λ_{|ν|,k}^{2}} · \frac{⟨ψ_{νk}, r_{0}^{2} · F_{ν}⟩_{w}}{J_{|ν|+1}(λ_{|ν|,k})^{2}} · J_{|ν|}(λ_{|ν|,k} · \frac{r}{r_{0}} ) · e^{i·ν·ϕ}

mit

⟨ψ_{νk}, r_{0}^{2} · F_{ν}⟩_{w} = ∫_{0}^{1} ρ · r_{0}^{2} · F_{ν}(ρ) · J_{|ν|}(λ_{|ν|,k} · ρ) dρ

= \frac{r_{0}^{2}}{2 · π} · ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{2·π} ρ · f(ρ · r_{0}, ϕ) · e^{−i·ν·ϕ} · J_{|ν|}(λ_{|ν|,k} · ρ) dϕ dρ

=^{(r=ρ·r_{0})} \frac{1}{2 · π} · ∫_{0}^{r_{0}} ∫_{0}^{2·π}r · f(r, ϕ) · e^{−i·ν·ϕ} · J_{|ν|}(λ_{|ν|,k} · \frac{r}{r_{0}} ) dϕ dr.

Abschließend soll noch die passendste (weil 2-dimensionale) Sichtweise dieser Lösung vorgestellt werden. Auf dem Gebiet Ω = Kreis mit Radius r_{0} haben wir ein 2dimensionales Orthogonalsystem benutzt, das in Polarkoordinaten durch

Ψ_{νk}(r, ϕ) = J_{|ν|}(λ_{|ν|k} · \frac{r}{r_{0}} ) · e^{i·ν·ϕ}, ν ∈ ℤ, k ∈ ℕ

gegeben ist. Es besteht aus den Eigenfunktionen des Laplace–Operators, welche den Randbedingungen Ψ(r_{0}, ϕ) = 0 genügen:

−ΔΨ_{νk} = \underbrace{\frac{λ_{|ν|k}^{2}}{r_{0}^{2}}}_{Λ_{νk}} ·Ψ_{νk}.

Die Normierung dieses Systems bezüglich des 2-dimensionalen Skalarprodukts ⟨Φ, Ψ⟩ = ∫∫_{Ω} \overline{Φ} · Ψ dxdy = ∫_{0}^{r_{0}} ∫_{0}^{2·π} \overline{Φ} · Ψ · r dr dϕ ist

⟨Ψ_{νk}, Ψ_{ν′k′}⟩ = \frac{r_{0}^{2}}{2} · (J_{|ν|+1}(λ_{|ν|k}))^{2} · 2 · π · δ_{νν′} · δ_{kk′}.

In Analogie zu Bemerkung 2.23 ist die Lösung von −Δu = f durch die 2-dimensionale Fourier–Reihe

u(r, ϕ) = ∑_{ν∈ℤ} ∑_{k∈ℕ} \frac{1}{Λ_{νk}} · \frac{⟨Ψ_{νk}, f⟩}{⟨Ψ_{νk}, Ψ_{νk}⟩} · Ψ_{νk}(r, ϕ)

mit den Eigenwerten Λ_{νk} = \frac{λ_{|ν|k}^{2}}{r_{0}^{2}} des Operators L = −Δ und den Fourier–Koeffizienten

⟨Ψ_{νk}, f⟩ = ∫∫_{Ω} \overline{Ψ_{νk}} · f dx dy = ∫_{0}^{2·π} ∫_{0}^{r_{0}} J_{|ν|}(λ_{|ν|k} · \frac{r}{r_{0}} ) · e^{−i·ν·ϕ} · f(r, ϕ) · r dr dϕ

gegeben. Verfolgt man alle Konstanten, so sieht man leicht, dass dieses Ergebnis mit der weiter oben gegebenen Darstellung der Lösung übereinstimmt.