Kapitel 1

Fourier–Analysis

↓16.10.02

1.1 Motivation: Ein erstes Beispiel

Ohne den allgemeinen Hintergrund, der erst in den kommenden Kapiteln bereit gestellt werden wird, soll zur Motivation zunächst ein Anwendungsbeispiel durchgerechnet werden, um die Nützlichkeit der Dinge vorzustellen, die in den nächsten Kapiteln eingeführt werden. Die strukturellen Dinge werden dabei durch elementare Rechnungen ad hoc hergeleitet; später werden wir sie von einem allgemeineren Standpunkt aus systematisch betrachten. In Anwendungen sind häufig lineare (Systeme von) Differentialgleichungen (DGLen) zu lösen. Beispiel: Modelliere ein Auto, das über eine unebene Fahrbahn fährt:

Simples mathematisches Modell:

m · ÿ(t) = − \underbrace{k · (y(t) − h(v · t) − L)}_{Federkraft} − \underbrace{m · g}_{Gravitation} − \underbrace{δ · ẏ(t)}_{Dämpfung}

mit

y(t) : Höhe der oberen Federaufhängung
m · ÿ(t) : Beschleunigungskraft
k  : Federkonstante
L  : Federlänge im Gleichgewicht
v  : Geschwindigkeit des Fahrzeugs
x = v · t : zurückgelegte Strecke
h(x) : Fahrbahnunebenheiten
m · g : Gravitation (Gewicht)
δ · ẏ(t) : Dämpfung.

Nach Normierung:

ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = f(t)

mit Systemkonstanten μ, ω_{0} und einer vorgegebenen ”Inhomogenität“ f(t), welche durch die Fahrbahnunebenheiten bestimmt wird. Für ein lineares System gilt immer

allgemeine Lösung = allgemeine homogene Lösung

(von ÿ + 2 · μ · ẏ + ω_{0}^{2} · y = 0)

+ eine spezielle inhomogene Lösung.

Die allgemeine homogene Lösung ist kein Problem:

y_{hom}(t) = e^{−μ·t} · (α · sin (\sqrt{ω_{0}^{2} − μ^{2}} · t) + β · cos (\sqrt{ω_{0}^{2} − μ^{2}} · t))

mit freien Konstanten α, β. Gesucht ist nun ein Lösungskonzept für die inhomogene Gleichung ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = f(t), das für (praktisch) alle rechten Seiten f(t) funktioniert (f(t) wird in der Regel eine sehr komplizierte Funktion sein).

Technik 1: (Fourier–Reihenentwicklung) Diese Technik funktioniert für periodisches f(t) und liefert periodische Lösungen y(t) der DGL. Betrachte zunächst die spezielle Inhomogenität

f(t) = α_{k} · cos(k · t) + β_{k} · sin(k · t)

mit irgendwelchen Werten für k, α_{k}, β_{k}. Durch den Ansatz

y(t) = a_{k} · cos(k · t) + b_{k} · sin(k · t)

eingesetzt in

ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = f(t)

findet man durch Vergleich der cos und sin-Terme auf beiden Seiten

−k^{2} · a_{k} · cos(k · t) + 2 · μ · b_{k} · cos(k · t) + ω_{0}^{2} · a_{k} · cos(k · t)  α_{k} · cos(k · t) = −k^{2} · b_{k} · sin(k · t) − 2 · μ · a_{k} · sin(k · t) + ω_{0}^{2} · b_{k} · sin(k · t)  +β_{k} · sin(k · t)

folgendes Gleichungssystem für die gesuchten Koeffizienten a_{k}, b_{k}:

( \begin{matrix}ω_{0}^{2} − k^{2} & 2 · μ \\ −2 · μ & ω_{0}^{2} − k^{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a_{k} \\ b_{k} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α_{k} \\ β_{k} \end{matrix} ) .

Wichtige Beobachtung: Aus der (linearen) DGL für y(t) ist ein (lineares) algebraisches Gleichungssystem für die Koeffizienten a_{k}, b_{k} geworden, das sich unmittelbar lösen läßt:

( \begin{matrix}a_{k} \\ b_{k} \end{matrix} ) = \frac{1}{(ω_{0}^{2} − k^{2})^{2} + 4 · μ^{2}} · ( \begin{matrix}ω_{0}^{2} − k^{2} & −2 · μ \\ 2 · μ & ω_{0}^{2} − k^{2} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}α_{k} \\ β_{k} \end{matrix} ) . (#)

Ergebnis:

y(t) = a_{k} · cos(k · t) + b_{k} · sin(k · t)

mit a_{k}, b_{k} gegeben durch (#) löst die spezielle inhomogene DGL

ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = α_{k} · cos(k · t) + β_{k} · sin(k · t).

Dies ist natürlich nur ein sehr spezielles Resultat, aber es folgt unmittelbar durch Superposition das schon deutlich allgemeinere Resultat:

y(t) = ∑_{k} (a_{k} · cos(k · t) + b_{k} · sin(k · t)) (##)

mit a_{k}, b_{k} gegeben durch (#) löst die inhomogene DGL

ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = ∑_{k} (α_{k} · cos(k · t) + β_{k} · sin(k · t)).

Damit haben wir eine komplette Lösungsformel (##) für alle rechten Seiten f(t) gefunden, welche sich als

f(t) = ∑_{k} (α_{k} · cos(k · t) + β_{k} · sin(k · t))

darstellen lassen. Wir werden in diesem Kapitel sehen:

Praktisch alle anwendungsrelevanten Funktionen f (stückweise glatt), die \underline{periodisch} sind, lassen sich in solche eine (unendliche) Summe von sin/cos-Termen zerlegen!

Technik 2: (Fourier–Integraltransformation) Diese Technik funktioniert für Inhomogenitäten f(t) mit

lim_{t→±∞} f(t) = 0

und liefert die spezielle inhomogene Lösung y(t) von

ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = f(t)

mit

lim_{t→±∞} y(t) = lim_{t→±∞} ẏ(t) = 0.

Wir definieren dazu die sogenannte ”Fourier–Transformierten”

ŷ(ω) = ∫_{−∞}^{∞} y(t) · e^{i·ω·t} dt, f̂(ω) = ∫_{−∞}^{∞} f(t) · e^{i·ω·t} dt, i = \sqrt{−1}.

Transformation der DGL:

ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = f(t)
⇒ ∫_{−∞}^{∞} e^{i·ω·t} · (ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t)) dt = f̂(ω).

Partielle Integration:

[ẏ(t) · e^{i·ω·t}]_{t=−∞}^{t=∞} + (2 · μ − i · ω) · ∫_{−∞}^{∞} ẏ(t) · e^{i·ω·t} dt + ω_{0}^{2} · ŷ(ω) = f̂(ω).

Mit ẏ(±∞) = 0:

(2 · μ − i · ω) · ∫_{−∞}^{∞} ẏ(t) · e^{i·ω·t} dt + ω_{0}^{2} · ŷ(ω) = f̂(ω).

Noch eine partielle Integration:

[(2 · μ − i · ω) · ẏ(t) · e^{i·ω·t}]_{t=−∞}^{t=∞} + (ω_{0}^{2} − i · ω · (2 · μ − i · ω)) · ŷ(ω) = f̂(ω).

Mit y(±∞) = 0:

(ω_{0}^{2} − i · ω · (2 · μ − i · ω)) · ŷ(ω) = f̂(ω).

Wichtige Beobachtung: Aus der (linearen) DGL für y(t) ist eine (lineare) algebraische Gleichung für ŷ(ω) geworden, die sich unmittelbar lösen läßt:

ŷ(ω) = \frac{f̂(ω)}{ω_{0}^{2} − ω^{2} − 2 · i · ω · μ}.

Wichtige Tatsache (siehe das entsprechende Kapitel): Man kann aus

ŷ(ω) = ∫_{−∞}^{∞} y(τ) · e^{i·ω·τ} dτ

die Funktion y(t) zurückgewinnen (Fourier–Rücktransformation):

y(t) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−∞}^{∞} ŷ(ω) · e^{−i·ω·t} dω.

Damit haben wir eine allgemeine Lösungsformel für unsere DGL für beliebiges f(t):

y(t) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−∞}^{∞} e^{−i·ω·t} · \frac{1}{ω_{0}^{2} − ω^{2} − 2 · i · ω · μ} · ( ∫_{−∞}^{∞} f(τ) · e^{i·ω·τ} dτ) dω,

also

y(t) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{i·ω·(τ−t)} · f(τ)}{ω_{0}^{2} − ω^{2} − 2 · i · ω · μ} dτ dω.

Diese Darstellung über ein Doppelintegral gilt für beliebiges f mit verschwindenden Randbedingungen (sonst ist die Fourier–Transformation nicht definiert). Sie kann nun z.B. numerisch ausgewertet werden.

↓18.10.02

Technik 3: (Laplace–Transformation) Diese Technik funktioniert für praktisch alle Inhomogenitäten f(t) (mit der für in Anwendungen praktisch immer gegebenen Bedingung, dass f(t) für t → ∞ nicht exponentiell anwachsen darf).

Wir definieren dazu die sogenannten ”Laplace–Transformierten”

ŷ(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−s·t} · y(t) dt, f̂(s) = ∫_{0}^{∞} e^{−s·t} · f(t) dt, s > 0.

Transformation der DGL:

ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t) = f(t)
⇒ ∫_{0}^{∞} e^{−s·t} · (ÿ(t) + 2 · μ · ẏ(t) + ω_{0}^{2} · y(t)) dt = f̂(s).

Partielle Integration:

[ẏ(t) · e^{−s·t}]_{t=0}^{t=∞} + (2 · μ + s) · ∫_{0}^{∞} ẏ(t) · e^{−s·t} dt + ω_{0}^{2} · ŷ(s) = f̂(s).

Wenn ẏ(t) nicht gerade exponentiell für t → ∞ wächst, verbleibt nur der Randterm für t = 0:

−ẏ(0) + (2 · μ + s) · ∫_{0}^{∞} ẏ(t) · e^{−s·t} dt + ω_{0}^{2} · ŷ(s) = f̂(s).

Noch eine partielle Integration:

−ẏ(0) + [(2 · μ + s) · y(t) · e^{−s·t}]_{t=0}^{t=∞} + (ω_{0}^{2} + 2 · μ · s + s^{2}) · ŷ(s) = f̂(s).

Wenn y(t) nicht gerade exponentiell für t → ∞ wächst, verschwindet wiederum der Randterm für t = ∞:

−ẏ(0) − (2 · μ + s) · y(0) + (ω_{0}^{2} + 2 · μ · s + s^{2}) · ŷ(s) = f̂(s).

Wichtige Beobachtung: Aus der (linearen) DGL für y(t) ist eine (lineare) algebraische Gleichung für ŷ(s) geworden, die sich unmittelbar lösen läßt:

ŷ(s) = \frac{f̂(s) + ẏ(0) + (2 · μ + s) · y(0)}{ω_{0}^{2} + 2 · μ · s + s^{2}}.

Hier sind sogar die Anfangsbedingungen gleich mit eingebaut. Verbleibendes Problem: kann man aus der Laplace–Transformierten ŷ(s) die Funktion y(t) wieder zurückgewinnen? Die Antwort ist: ”Im Prinzip ja!” Das ist technisch aber deutlich weniger hübsch als bei der Fourier–Transformation, nämlich durch ein Kurvenintegral in der komplexen Ebene (Residuensatz). Alternativ: für konkretes f̂(s) durch Nachschlagen in Tabellen. Siehe das entsprechende Kapitel in diesem Skript.

Überblick: Das prinzipielle Lösungsschema für eine lineare inhomogene DGL mit komplizierter Inhomogenität:

DGL für y(t)

(Transformation) ⟶

⟵

(Rücktransformation) lineare algebraische Gleichung für a_{k}, b_{k} bzw. ŷ(ω) bzw. ŷ(s)

Wir haben 3 Typen von Transformationen vorgestellt:

1) Fourier–Reihen: für periodische Probleme. Die Rücktransformation ist trivial (Aufsummieren von sin / cos-Termen).

2) Fourier–Integrale: für Probleme mit verschwindenden Randbedingungen. Die Rücktransformation ist (zumindestens prinzipiell) einfach (Integral).

3) Laplace–Transformation: Randbedingungen praktisch beliebig (außer bei exponentieller Explosion im Unendlichen). Rücktransformation nicht einfach.

1.2 Abstrakte Vorbetrachtungen: Approximation im quadratischen Mittel

Bevor wir daran gehen, Funktionen f(x) durch Reihen von sin und cos-Funktionen zu approximieren (”Fourier–Reihen”), zunächst ein paar strukturelle allgemeine Vorbetrachtungen. Die Theorie der Fourier–Reihen ist nämlich nur ein Spezialfall wesentlich allgemeinerer Ideen, Funktionen ”im quadratischen Mittel” durch Reihen einfacherer Funktionen zu approximieren.

1.2.1 Skalarprodukte und Hilbert–Räume

Definition 1.1: (Skalarprodukt)

Sei L ein Vektorraum (über ℂ). Die Abbildung ⟨., .⟩ : L × L → ℂ heißt ”Skalarprodukt”, wenn gilt:

a) Linearität:

⟨f, α · g_{1} + β · g_{2}⟩ = α · ⟨f, g_{1}⟩ + β · ⟨f, g_{2}⟩

für alle f, g_{1}, g_{2} ∈ L, α, β ∈ ℂ.

b) ⟨f, g⟩ = \overline{⟨g, f⟩} (komplexe Konjugation) für alle f, g ∈ L.

c) ⟨f, f⟩ ≥ 0 für alle f ∈ L. (Beachte: b) impliziert ⟨f, f⟩ ∈ ℝ.)

d) ⟨f, f⟩ = 0 ⇔ f = 0.

Bemerkung 1.2: Nach b) ergibt das Vertauschen der Einträge im Skalarprodukt den komplex konjugierten Wert. Nach a) kann man einen skalaren Faktor aus dem rechten Eintrag des Skalarprodukts herausziehen. Achtung: Beim Herausziehen eines skalaren Faktors aus der linken Seite taucht dieser wegen b) komplex konjugiert vor dem Skalarprodukt auf:

⟨α · f, g⟩ = \overline{⟨g, α · f⟩} = \overline{α · ⟨g, f⟩} = \overline{α} · \overline{⟨g, f⟩} = \overline{α} · ⟨f, g⟩.

Analog ergibt sich die Linearität bezüglich des linken Eintrags im Skalarprodukt in der folgenden Form:

⟨α · f_{1} + β · f_{2}, g⟩ = \overline{α} · ⟨f_{1}, g⟩ + \overline{β} · ⟨f_{2}, g⟩.

Das Konzept eines Skalarproduktes ist auf endlich-dimensionalen Räumen (dem ℝ^{n}) bereits wohlbekannt. Es geht aber auch auf unendlich dimensionale Räume (Funktionenräume) über, wobei die Summen des Euklidischen Skalarprodukts zu Integralen werden:

8 KAPITEL 1. FOURIER–ANALYSIS

Beispiel 1.3: a) Definition 1.1 verallgemeinert das wohlbekannte Euklidische Skalarprodukt

⟨( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) , ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} )⟩ = ∑_{i=1}^{n} x_{i} · y_{i}, x_{i}, y_{i} ∈ ℝ

auf dem Vektorraum L = ℝ^{n}.

b) Das komplexe Euklidische Skalarprodukt auf L = ℂ^{n}:

⟨( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) , ( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} )⟩ = ∑_{i=1}^{n} \overline{x_{i}} · y_{i}, x_{i}, y_{i} ∈ ℂ.

c) Sei [a, b] ∈ ℝ ein Intervall, sei L = {f : [a, b] → ℂ; f stetig}. Dann definiert

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} \overline{f(x)} · g(x) dx

ein Skalarprodukt auf den komplexen Funktionen über [a, b] (das sogenannte L_{2}- Skalarprodukt).

d) Sei [a, b] ∈ ℝ ein Intervall, sei L = {f : [a, b] → ℂ; f stetig}. Sei w : [a, b] → ℝ eine glatte Funktion mit w(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] (die sogenannte ”Gewichtsfunktion”). Es gelte w(x) = 0 an höchstens endlich vielen Stellen in [a, b]. Dann definiert

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} w(x) · \overline{f(x)} · g(x) dx

ein Skalarprodukt auf den komplexen Funktionen über [a, b] (das sogenannte ”gewichtete L_{2w}-Skalarprodukt”). Die Bedingung w(x) > 0 (fast überall) garantiert, dass für stetiges f aus ⟨f, f⟩ = ∫_{a}^{b} w(x) · |f(x)|^{2} dx = 0 folgt, dass f(x) ≡ 0 gelten muss. Das in c) betrachtete Skalarprodukt entspricht dem Standardgewicht w(x) ≡ 1.

Einem Skalarprodukt ist stets ein Längen- und damit ein Abstandsbegriff zugeordnet (eine ”Norm”):

Definition und Satz 1.4:

Sei L ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ⟨., .⟩. Dann ist ∥f∥_{2} := \sqrt{⟨f, f⟩} eine ”Norm” auf L, d.h., die Abbildung ∥ . ∥_{2} : L → [0, ∞) erfüllt:

a) ∥f +g∥_{2} ≤ ∥f∥_{2} +∥g∥_{2} für alle f, g ∈ L (”Dreiecksungleichung”).

b) ∥α · f∥_{2} = |α| · ∥f∥_{2} für alle f ∈ L, α ∈ ℂ (”Homogenität”).

c) ∥f∥_{2} = 0 ⇔ f = 0.

Diese Norm wird als ”L_{2}-Norm” bezeichnet.

Beweis: Die Eigenschaften a) – c) folgen unmittelbar aus den geforderten Eigenschaften a) – d) der Definition 1.1. Die Dreiecksungleichung a) ergibt sich folgendermaßen:

∥f + g∥_{2}^{2} = ⟨f + g, f + g⟩ = ⟨f, f⟩ + ⟨f, g⟩ + ⟨g, f⟩ + ⟨g, g⟩
= ∥f∥_{2}^{2} + ⟨f, g⟩ + \overline{⟨f, g⟩} + ∥g∥_{2}^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2} + 2 · |⟨f, g⟩∥ + ∥g∥_{2}^{2}.

Mit einer Anleihe beim nächsten Satz (der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung |⟨f, g⟩| ≤ ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2}) folgt

∥f + g∥_{2}^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2} + 2 · ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2} + ∥g∥_{2}^{2} = (∥f∥_{2} + ∥g∥_{2})^{2}.

b) ergibt sich durch ∥α · f∥_{2}^{2} = ⟨α · f, α · f⟩ = α · \underline{α} · ⟨f, f⟩ = |α|^{2} · ∥f∥_{2}^{2}.

c) ist nichts anderes als Definition 1.1.d).

Q.E.D.

Die folgende Aussage ist eher technischer Natur (ein nützliches Hilfsmittel in Beweisen):

Satz 1.5: (Die Cauchy–Schwarzsche Ungleichung)

Für alle f, g ∈ L gilt |⟨f, g⟩|^{2} ≤ ⟨f, f⟩ · ⟨g, g⟩, d.h., |⟨f, g⟩| ≤ ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2}. Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn f und g bis auf eine multiplikative Konstante übereinstimmen.

Beweis: Übungsaufgabe 6.

Bemerkung 1.6: Mit der Norm hat man einen Abstandsbegriff: Als Abstand zweier Elemente f, g ∈ L betrachtet man ∥f −g∥_{2}. Mit 1.4.d) haben 2 Elemente genau dann den Abstand 0, wenn sie übereinstimmen.

Definition 1.7: (Konvergenz)

Eine Folge (f_{n}) von Elementen in L heißt ”konvergent” gegen den ”Grenzwert” f^{∗} ∈ L, wenn die Abstände zum Grenzwert gegen 0 konvergieren:

lim_{n→∞} ∥f_{n} − f^{∗}∥_{2} = 0.

Es wird die (vom ℝ^{n} vertraute) Notation lim_{n→∞} f_{n} = f^{∗} benutzt.

Man nennt die Konvergenz bezüglich der L_{2}–Norm auch ”Konvergenz im quadratischen Mittel”.

Beispiel 1.8: Betrachte L = {f : [−1, 1] → ℝ; f stetig} mit der L_{2}–Norm ∥f∥_{2} = ∫_{−1}^{1} |f(x)|^{2} dx. Betrachte die folgenden Funktionen, die im Bereich [0, 1/n] linear von 0 bis 1 wachsen:

f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}0 & für − 1 ≤ x ≤ 0, \\ n · x & für 0 ≤ x ≤ \frac{1}{n}, \\ 1 & für \frac{1}{n} ≤ x ≤ 1. \end{matrix}

Bei vorgegebenem x konvergieren diese Werte offensichtlich punktweise gegen

f^{∗}(x) = \{ \begin{matrix}0 & für − 1 ≤ x ≤ 0, \\ 1 & für 0 < x ≤ 1. \end{matrix}

Mit

∥f_{n} − f^{∗}∥_{2} = ∫_{−1}^{1}(f_{n}(x) − f^{∗}(x))^{2} dx = ∫_{0}^{1/n}(f_{n}(x) − f^{∗}(x))^{2} dx

= ∫_{0}^{1/n}(n · x − 1)^{2} dx = \frac{1}{3 · n}

konvergiert die Funktionenfolge f_{n} auch bezüglich der L_{2}–Norm gegen f^{∗}. Aber (Problem!): f^{∗} ist nicht stetig, also f^{∗} ∉ L.

23.10.02↓ Das Problem, dass die Grenzfunktion einer Folge stetiger Funktionen nicht mehr stetig zu sein braucht, soll nun angegangen werden. Dazu zunächst eine mehr mathematisch–technische Definition (die in späteren Anwendungen dann nicht mehr so interessant sein wird):

Definition 1.9: (Vollständigkeit)

Eine Folge (f_{n}) heißt ”Cauchy–Folge” bezüglich einer Norm ∥ . ∥, wenn zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ) existiert, sodass ∥f_{n} − f_{m}∥ < ϵ gilt für alle n, m ≥ N(ϵ). Ein Raum mit einer Norm heißt ”vollständig”, wenn jede Cauchy–Folge in diesem Raum einen Grenzwert besitzt, der wieder in diesem Raum liegt.

Definition 1.10: (Hilberträume)

Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ⟨ . ⟩ heißt ”Hilbert–Raum”, wenn er bezüglich der L_{2}–Norm ∥f∥_{2} = \sqrt{⟨f, f⟩} vollständig ist.

Bemerkung 1.11: Beispiel 1.8 zeigt, dass der Raum der stetigen Funktionen bezüglich der L_{2}–Norm \underline{nicht vollständig} ist. (Die Funktionenfolge f_{n} in diesem Beispiel ist eine Cauchy–Folge. Der Grenzwert f^{∗} (es kann nur einen geben) ist aber unstetig.) Es ist daher im Folgenden nicht sinnvoll, den Raum der stetigen Funktionen weiter zu betrachten. Stattdessen sucht man nach dem kleinsten bzgl. der L_{2}–Norm vollständigen Raum, der die stetigen Funktionen umfasst. Dieser stellt sich als der Raum der quadratintegrablen Funktionen heraus (Definition und Satz1.12).

Wir sind nun endlich bei der entscheidenden Definition angelangt:

Definition und Satz 1.12:

Zu einem Intervall [a, b] ⊂ ℝ und einer glatten Gewichtsfunktion w(x) (siehe Beispiel 1.3) wird der ”Hilbert–Raum der quadratintegrablen Funktionen”

L_{2w}([a, b]) = {f : [a, b] → ℂ; ∫_{a}^{b} w(x) · |f(x)|^{2} dx < ∞}

mit dem gewichteten Skalarprodukt

⟨f, g⟩ = ∫_{a}^{b} w(x) · \overline{f(x)} · g(x) dx

definiert. Dieser Raum ist in der Tat vollständig bezüglich der von diesem Skalarprodukt erzeugten L_{2}-Norm. Für die triviale Gewichtsfunktion w(x) ≡ 1 wird dieser Raum auch mit L_{2}([a, b]) bezeichnet.

Bemerkungen und Interpretationen 1.13:

a) Da in der folgenden Theorie praktisch alle Aussagen unabhängig vom konkreten Intervall [a, b] und dem Gewicht w(x) sind, sprechen wir kurz von ”L_{2}–Räumen”, ”L_{2}–Funktionen”, ”L_{2}–Normen” etc. und unterdrücken in der Sprech– und Schreibweise [a, b] und w(x).

b) Damit die oben definierten L_{2}–Räume wirklich vollständig sind, muss man statt des Riemann–Integrals einen verallgemeinerten Integralbegriff benutzen: das sogenannte Lebesgue–Integral. Außer für sehr pathologische (irreguläre) Funktionen stimmt das Lebesgue–Integral aber mit dem Riemann–Integral überein. Wir werden uns daher mit diesen sehr mathematisch–technischen Details nicht abmühen. Einen exakten Beweis für die Vollständigkeit des L_{2}–Raums können wir folglich hier nicht führen.

c) Zu jeder L_{2}–Funktion f gibt es zu jedem ϵ > 0 eine stetige Funktion g, die f approximiert: ∥f − g∥_{2} < ϵ. Das liefert eine einfache Beweistechnik im L_{2}: zeige die behauptete Aussage zunächst nur für stetige Funktionen. Betrachte dann eine konvergente Folge stetiger Funktionen und zeige, dass die Aussage auf den (eventuell unstetigen) Grenzwert in L_{2} übergeht. d) Für endliche Intervalle [a, b] liegen alle auf [a, b] stetigen Funktionen in L_{2w}([a, b]). Unstetige Funktionen mit Sprungstellen können ebenfalls integriert werden und liegen im L_{2}–Raum. Sogar Funktionen mit (milden) Singularitäten sind quadratintegrabel, z.B.:

f(x) = x^{− \frac{1}{3}} ∈ L_{2}([0, 1]), denn ∫_{0}^{1}(x^{−1/3})^{2} dx = 3 < ∞.

e) Achtung: Da L_{2w}([a, b]) auch unstetige Funktionen enthält, kann man stetige Funktionen an einigen Stellen punktweise umdefinieren, ohne dass dies Integrale ändert. In L_{2}–Räumen werden zwei Funktionen f, g miteinander identifiziert, wenn sie ”fast überall” übereinstimmen. Der Begriff ”fast überall” bedeutet dabei, dass für die Funktion

χ(x) = \{ \begin{matrix}0 & für alle x mit f(x) = g(x), \\ 1 & für alle x mit f(x) ≠ g(x) \end{matrix}

gilt: ∫_{a}^{b} w(x) · χ(x) dx = 0. Dies ist recht technisch. Für uns möge hier die Vorstellung ausreichen, dass wir mit ”fast überall” meinen: ”bis auf endlich viele Ausnahmepunkte”.

f) Für quadratintegrable Funktionen existiert das Skalarprodukt selbst dann, wenn die Funktionen singulär sind. Dies liegt an der Cauchy– Schwarzschen Ungleichung 1.5. Diese Ungleichung garantiert weiterhin, dass die Summe zweier L_{2}-Funktionen wieder eine L_{2}-Funktion ist (d.h., L_{2} ist in der Tat ein Vektorraum).

g) Die folgende Theorie von (verallgemeinerten) Fourier–Reihen gilt für beliebige L_{2}–Funktionen, also auch für unstetige und sogar (mild-)- singuläre Funktionen. Gerade diese Allgemeinheit macht die Fourier– Analyse für Anwendungen interessant.

1.2.2 Orthogonale Systeme

Im ℝ^{n} mit dem Euklidischen Skalarprodukt (den wir nun als Hilbert–Raum ansehen) ist die Orthogonalität zweier Vektoren dadurch charakterisiert, dass das Skalarprodukt verschwindet. Wir benutzen die selbe Notation für allgemeine Hilbert–Räume.

Definition 1.14: (Orthogonalität)

Zwei Elemente f, g eines Hilbert–Raums mit ⟨f, g⟩ = 0 heissen ”orthogonal”. Eine Familie {f_{n}} von Hilbert–Raumelementen nennt man ein ”orthogonales System”, wenn alle Paare f_{n}, f_{m} mit m ≠ n orthogonal sind. Gilt zusätzlich ⟨f_{n}, f_{n}⟩ = 1, so heißt das System ”orthonormal”.

1.2. APPROXIMATION IM QUADRATISCHEN MITTEL 13

Beispiel 1.15: Hier ist das entscheidende Beispiel, das uns im Folgenden am meisten interessieren wird:

Die Familie der komplexen Exponentialfunktionen \{e^{i·n·x}\}, i = \sqrt{−1}, n ∈ ℤ ist ein Orthogonalsystem auf L_{2}([−π, π]).

Dies ist leicht nachgerechnet. Für n ≠ m gilt:

⟨e^{i·m·x}, e^{i·n·x}⟩ = ∫_{−π}^{π} \overline{e^{i·m·x}} · e^{i·n·x} dx = ∫_{−π}^{π} e^{−i·m·x} · e^{i·n·x} dx

= ∫_{−π}^{π} e^{i·(n−m)·x} dx = [\frac{e^{i·(n−m)·x}}{i · (n − m)}]_{x=−π}^{x=π} = \frac{(−1)^{n−m} − (−1)^{n−m}}{i · (n − m)} = 0.

Für m = n:

⟨e^{i·n·x}, e^{i·n·x}⟩ = ∫_{−π}^{π} e^{−i·n·x} · e^{i·n·x} dx = ∫_{−π}^{π} 1 dx = 2 · π.

Mit der Euler–Identität

e^{i·n·x} = cos(n · x) + i · sin(n · x)

bzw.

cos(n · x) = \frac{e^{i·n·x} + e^{−i·n·x}}{2} , sin(n · x) = \frac{e^{i·n·x} − e^{−i·n·x}}{2 · i}

ergibt sich für die Familie reeller Funktionen {1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … }:

⟨cos(m · x), cos(n · x)⟩ = 0, m ≠ n,
⟨sin(m · x), sin(n · x)⟩ = 0, m ≠ n,
⟨cos(m · x), sin(n · x)⟩ = 0 (auch für m = n).

Die konstante Funktion 1 ist dabei cos(m · x) mit m = 0. Für m = n gilt:

⟨1, 1⟩  = 2 · π,
⟨cos(n · x), cos(n · x)⟩ = π  (n > 0),
⟨sin(n · x), sin(n · x)⟩ = π  (n > 0).

Die trigonometrischen Funktionen {1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … } bilden ein Orthogonalsystem auf L_{2}([−π, π]).

Will man Entwicklungen nach ”einfachen Basisfunktionen” f_{1}, f_{2}, … vornehmen, so ist es technisch sehr vorteilhaft, wenn diese ein Orthogonalsystem bilden. Ist dies nicht der Fall, so kann die Folge f_{1}, f_{2}, … mit einem sehr einfachen Algorithmus durch Linearkombinationen in ein Orthogonalsystem verwandelt werden:

Gram-Schmidt-Orthogonalisierung 1.16:

Sei f_{0}, f_{1}, … eine Folge linear unabhängiger Hilbert–Raumelemente. Definiere rekursiv

F_{n} = f_{n} − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{⟨F_{k}, f_{n}⟩}{⟨F_{k}, F_{k}⟩} · F_{k}

mit F_{0} = f_{0}. Dann gilt:

{F_{0}, F_{1}, … } ist ein Orthogonalsystem.

Der von f_{0}, …, f_{n} aufgespannte Teilraum ist identisch mit dem von F_{0}, …, F_{n} aufgespannten Teilraum (d.h., eine Funktion kann genau dann als Linearkombination von f_{0}, …, f_{n} geschrieben werden, wenn sie als Linearkombination von F_{0}, …, F_{n} geschrieben werden kann). Dies ist klar, da auf Grund der Rekursion jedes F_{n} als Linearkombination von f_{0}, …, f_{n} geschrieben werden kann und auch umgekehrt jedes f_{n} als Linearkombination von F_{0}, …, F_{n}.

Beweis: Induktionsbehauptung: F_{0}, …, F_{n} sind paarweise orthogonal. Induktionsstart n = 1:

⟨F_{0}, F_{1}⟩ = ⟨F_{0}, f_{1} − \frac{⟨F_{0}, f_{1}⟩}{⟨F_{0}, F_{0}⟩} · F_{0}⟩ = ⟨F_{0}, f_{1}⟩ − \frac{⟨F_{0}, f_{1}⟩}{⟨F_{0}, F_{0}⟩} · ⟨F_{0}, F_{0}⟩ = 0.

Induktionsschritt n − 1 → n: Für m = 0, 1, …, n − 1 gilt

⟨F_{m}, F_{n}⟩ = ⟨F_{m}, f_{n} − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{⟨F_{k}, f_{n}⟩}{⟨F_{k}, F_{k}⟩} · F_{k}⟩ = ⟨F_{m}, f_{n}⟩ − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{⟨F_{k}, f_{n}⟩}{⟨F_{k}, F_{k}⟩} · ⟨F_{m}, F_{k}⟩.

In dieser Summe verschwinden nach Induktionsvoraussetzung alle Summanden außer dem mit k = m. Es folgt:

⟨F_{m}, F_{n}⟩ = ⟨F_{m}, f_{n}⟩ − \frac{⟨F_{m}, f_{n}⟩}{⟨F_{m}, F_{m}⟩} · ⟨F_{m}, F_{m}⟩ = 0.

Q.E.D.

Beispiel 1.17: Wir konstruieren orthogonale Polynome über dem Intervall [−1, 1] bezüglich des Standardgewichts w(x) ≡ 1. Wir starten mit den Monomen (f_{n}) = (1, x, x^{2}, …). Durch Gram-Schmidt-Orthogonalisierung entstehen hieraus die sogenannten ”Legendre–Polynome”:

F_{0}(x) = 1,

F_{1}(x) = x − \frac{⟨F_{0}(x), x⟩}{⟨F_{0}(x), F_{0}(x)⟩} · F_{0}(x) = x,

F_{2}(x) = x^{2} − \frac{⟨F_{0}(x), x^{2}⟩}{⟨F_{0}(x), F_{0}(x)⟩} · F_{0}(x) − \frac{⟨F_{1}(x), x^{2}⟩}{⟨F_{1}(x), F_{1}(x)⟩} · F_{1}(x) = x^{2} − \frac{1}{3},

F_{3}(x) = ⋯ = x^{3} − \frac{3}{5} · x,

F_{4}(x) = ⋯ = x^{4} − \frac{6}{7} · x^{2} + \frac{3}{35},

F_{5}(x) = ⋯ = x^{5} − \frac{10}{9} · x^{3} + \frac{5}{21} · x

usw. Anmerkung: in der Literatur bezeichnet man als Legendre–Polynome die etwas anders normierten Polynome

P_{n}(x) = \frac{(2 · n)!}{2^{n} · (n!)^{2}} · F_{n}(x).

Bemerkung 1.18: Aus einem Orthogonalsystem {F_{0}, F_{1}, … } kann man sofort ein Orthonormalsystem {F̃_{0}, F̃_{1}, … } machen, indem man F̃_{n} = F_{n}/∥F_{n}∥_{2} setzt.

1.2.3 Bestapproximation und Konvergenz im quadratischen

Mittel ↓25.10.02

Wir betrachten ein Orthogonalsystem {F_{0}, F_{2}, … } und versuchen zunächst, ein Hilbert–Raumelement f durch eine endliche Linearkombination

f ≈ ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k}

zu approximieren. Welche Koeffizienten c_{k} sollte man wählen, damit der Abstand zwischen f und der Summe im L_{2}–Sinne möglichst klein wird? Als Vorüberlegung betrachten wir zunächst, wie man für ein exakt darstellbares f die Entwicklungskoeffizienten c_{k} aus f ermittelt:

f = ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k} ⇒ ⟨F_{m}, f⟩ = ⟨F_{m}, ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k}⟩ = ∑_{k=0}^{n} c_{k} · ⟨F_{m}, F_{k}⟩.

Wegen der Orthogonalität verbleibt für m ∈ {0, …, n} von der Summe nur der Term mit k = m:

⟨F_{m}, f⟩ = c_{m} · ⟨F_{m}, F_{m}⟩, also c_{m} = \frac{⟨F_{m}, f⟩}{⟨F_{m}, F_{m}⟩}.

Definition 1.19: (Verallgemeinerte Fourier–Koeffizienten)

Für eine L_{2}–Funktion f heißen

c_{k} = \frac{⟨F_{k}, f⟩}{⟨F_{k}, F_{k}⟩}, k = 0, 1, 2, …

die (verallgemeinerten) ”Fourier–Koeffizienten bezüglich des Orthogonalsystems {F_{0}, F_{1}, … }”. Die Linearkombination

S_{n} = ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k}

heißt (verallgemeinerte) ”Fourier–Approximation von f bezüglich des Orthogonalsystems”.

Das folgende elementare Ergebnis zeigt, dass diese Fourier–Koeffizienten in der Tat die beste Koeffizientenwahl darstellen, um den Abstand zwischen f und einer Linearkombination ∑_{k} α_{k}F_{k} im L_{2}–Sinne möglichst klein zu machen:

Lemma 1.20: (Besselsche (Un-)Gleichung)

Sei {F_{0}, …, F_{n}} ein Orthogonalsystem.

a) Für jede Wahl von Koeffizienten α_{k} ∈ ℂ gilt die ”allgemeine Besselsche Gleichung”

∥f − ∑_{k=0}^{n} α_{k} · F_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥F_{k}∥_{2}^{2} + ∑_{k=0}^{n} |α_{k} − c_{k}|^{2} · ∥F_{k}∥_{2}^{2},

wo die c_{k} die Fourier–Koeffizienten aus Definition 1.19 sind.

b) Für die Wahl α_{k} = c_{k} folgt die ”spezielle Besselsche Gleichung”

∥f − ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥F_{k}∥_{2}^{2}.

c) Es folgt die ”Besselsche Ungleichung”

∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥F_{k}∥_{2}^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2}.

Beweis: Die allgemeine Besselsche Gleichung a) wird als Übungsaufgabe 1 nachgerechnet. Hieraus folgen sofort b) und c).

Q.E.D.

Interpretation 1.21:

Die allgemeine Besselsche Gleichung liefert sofort, dass der Abstand

∥f − ∑_{k=0}^{n} α_{k} · F_{k}∥_{2}

durch die Wahl der Koeffizienten α_{k} = c_{k} minimiert wird. Die Fourier– Approximation von f wird daher als ”Bestapproximation von f im quadratischen Mittel” bezüglich des Orthogonalsystems bezeichnet. Der Abstand zwischen f und dieser Bestapproximation (der ”Approximationsfehler”) ist durch

∥f − ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} − ∑_{k=0}^{n} |c_{k}|^{2} · ∥F_{k}∥_{2}^{2}

gegeben. Eine Besonderheit dieser L_{2}–Bestapproximation ist, dass die Entwicklungskoeffizienten c_{k} nicht von der Anzahl n der benutzten Entwicklungselmente F_{0}, …, F_{n} abhängen! Man kann den Approximationsfehler kleiner und kleiner machen, indem man einfach immer mehr Elemente im Orthogonalsystem hinzunimmt (also n anwachsen läßt), ohne dass man die Koeffizienten anpassen muss!

Nun geht es um die Frage, was passiert, wenn man den Grenzwert n → ∞ betrachtet. Konvergiert die Fourier–Approximation (im L_{2}–Sinne) gegen f? Dies kann nicht allgemein beantwortet werden, sondern hängt vom betrachteten Orthogonalsystem {F_{0}, F_{1}, … } ab:

Definition 1.22: (Vollständige Orthonormalsysteme)

Ein Orthogonalsystem {F_{0}, F_{1}, … } heißt ”vollständig”, wenn für jedes f im Hilbert–Raum die Fourier–Approximation im L_{2}–Sinne gegen f konvergiert:

lim_{n→∞} ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k} = f,

d.h.,

lim_{n→∞} ∥f − ∑_{k=0}^{n} c_{k} · F_{k}∥_{2}^{2} = 0.

Mit der Besselschen Gleichung ergibt sich sofort die folgende Charakterisierung vollständiger Orthogonalsysteme, die mathematisch aber recht trivial ist und keinerlei effektives Hilfsmittel liefert, die Vollständigkeit eines Orthogonalsystems zu überprüfen:

Satz 1.23: (Parsevalsche Gleichung)

Ein Orthogonalsystem {F_{0}, F_{1}, … } ist genau dann vollständig, wenn für jedes Hilbert–Raumelement f die folgende ”Parsevalsche Gleichung” gilt:

∑_{k=0}^{∞} |c_{k}| · ∥F_{k}∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2}.

Beweis: Die Gleichung folgt sofort aus Satz 1.20.b).

Q.E.D.

Das einzig für uns Interessante an dieser Aussage ist die folgende Interpretation:

Physikalische Interpration 1.24:

In vielen physikalischen Anwendungen stellt das ”Signal” f ein Feld (Strom, Spannung, elektrisches oder magnetisches Feld) dar, dessen Quadrat als eine physikalische Leistung oder als lokale Energiedichte zu interpretieren ist. Das die L_{2}–Norm definierende Integral hat dann die Interpretation einer Energie, genauer, einer über eine Periode des Signals ”gemittelten Energie”.

Bei einer Fourier–Entwicklung f = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} · F_{k} sprechen Physiker auch von einer ”Zerlegung des Signals” in die ”Fourier–Moden” F_{k}.

Die Parsevalsche Gleichung besagt, dass sich die Energie des Signals vollständig auf die Fourier–Moden verteilen muss. Ist dies nicht der Fall (d.h., ist das Orthogonalsystem nicht vollständig), so muss es weitere Anteile des Signals geben, die durch die Fourier–Moden nicht erfasst werden.

1.3 Fourier–Reihen

Die allgemeinen Hilbert–Raumstrukturen der Fourier–Reihen wurde im letzten Abschnitt in etwas abstrakter Art und Weise zusammengetragen. Nun wird es endlich konkret. Wir betrachten das in Beispiel 1.15 diskutierte spezielle Orthogonalsystem

\{e^{i·k·x}\}_{k∈ℤ} (i = \sqrt{−1})

auf dem Hilbert–Raum L_{2}([−π, π]). Ziel ist es, eine auf dem Intervall [−π, π] gegebene Funktion nach dem obigen Orthogonalsystem zu zerlegen und zu studieren, ob und wie die Fourier–Approximationen gegen die Funktion konvergieren. Rechentechnisch ist es meist einfacher, die komplexen Exponentialfunktionen zu verwenden. Äquivalenterweise kann man die trigonometrischen Funktionen

{1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … }

betrachten, die für reelle Funktionen zu reellen Formeln führen und daher im Anwendungskontext oft physikalisch direkter zu interpretieren sind.

1.3.1 Definition der trigonometrischen Fourier–Reihen

Wir fassen zunächst die Ergebnisse von Beispiel 1.15 zusammen. Der Unterschied zwischen der ”komplexen” und der ”reellen” Darstellung besteht lediglich darin, dass statt des komplexen Pärchens (e^{i·k·x}, e^{−i·k·x}) in der reellen Darstellung das Pärchen (cos(k · x), sin(k · x)) benutzt wird, das mit der Euler–Formel

e^{i·k·x} = cos(k · x) + i · sin(k · x)

bzw.

cos(k · x) = \frac{e^{i·k·x} + e^{−i·k·x}}{2} , sin(k · x) = \frac{e^{i·k·x} − e^{−i·k·x}}{2 · i}

dem komplexen Pärchen äquivalent ist:

Definition 1.25: (Die trigonometrische Fourier–Entwicklung)

Zu einer Funktion f ∈ L_{2}([−π, π]) definiere die ”Fourier–Koeffizienten”

c_{k} = \frac{⟨e^{i·k·x}, f⟩}{⟨e^{i·k·x}, e^{i·k·x}⟩} = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx

mit k = 0, ±1, ±2, …. Alternativ definiere

a_{k} = \frac{⟨cos(k · x), f⟩}{⟨cos(k · x), cos(k · x)⟩} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2 · π} & · & ∫_{−π}^{π} f(x) dx, k = 0, \\ \frac{1}{π} & · & ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx, k = 1, 2, … \end{matrix}

sowie

b_{k} = \frac{⟨sin(k · x), f⟩}{⟨sin(k · x), sin(k · x)⟩} = \frac{1}{π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx, k = 1, 2, ….

Die entsprechenden ”Fourier–Approximationen” sind

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = a_{0} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} · cos(k · x) + b_{k} · sin(k · x))

mit n = 0, 1, 2, ….

Mit der Euler–Formel ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungen:

∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = c_{0} + ∑_{k=1}^{n} (c_{k} · e^{i·k·x} + c_{−k} · e^{−i·k·x})

= c_{0} + ∑_{k=1}^{n} (c_{k} · ( cos(k · x) + i · sin(k · x)) + c_{−k} · ( cos(k · x) − i · sin(k · x)))

= \underbrace{c_{0}}_{a_{0}} + ∑_{k=1}^{n} ( \underbrace{(c_{k} + c_{−k})}_{a_{k}} · cos(k · x) + \underbrace{i · (c_{k} − c_{−k})}_{b_{k}} · sin(k · x)).

Zusammenhang 1.26:

Der Zusammenhang zwischen den komplexen Fourier–Koeffizienten c_{k} und den reellen Koeffizienten a_{k}, b_{k} ist gegeben durch:

\begin{aligned}a_{k} & = & c_{k} + c_{−k} \\ b_{k} & = & i · (c_{k} − c_{−k}) \end{aligned}  \begin{aligned}c_{k} & = & \frac{1}{2} · (a_{k} − i · b_{k}) \\ c_{−k} & = & \frac{1}{2} · (a_{k} + i · b_{k}) \end{aligned}

mit k = 1, 2, … und zusätzlich a_{0} = c_{0} .

Bemerkung 1.27: Ist die Funktion f reell, so sind die Fourier–Koeffizienten a_{k}, b_{k} reell. In der komplexen Entwicklung entspricht dies der Bedingung

c_{−k} = \overline{c_{k}}, k = 0, 1, 2, ….

Bemerkung 1.28: Für die Definition der Fourier–Koeffizienten a_{k}, b_{k} bzw. c_{k} sind nur die Werte der Funktion f auf dem Intervall [−π, π] von Belang. Man sollte sich aber gleich angewöhnen, sich die Funktion f als 2 · π–periodisch auf ganz ℝ fortgesetzt vorzustellen, denn die Fourier–Approximationen

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = a_{0} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} · cos(k · x) + b_{k} · sin(k · x))

sind ja ebenfalls 2·π–periodisch. Das liefert gleich die richtige Sichtweise für die im Abschnitt 1.3.3 folgenden Betrachtungen zur punktweisen Konvergenz.

1.3. FOURIER–REIHEN 21

Bemerkung 1.29: Ist die Funktion f gerade oder ungerade, so lassen sich die Integrale ∫_{−π}^{π}, die die Fourier–Koeffizienten bestimmen, vereinfachen. Die Teilintegrale ∫_{−π}^{0} stimmen (eventuell bis auf ein Vorzeichen) mit den Teilintegralen ∫_{0}^{π} überein und verdoppeln diesen Wert oder löschen ihn zu 0 aus: Für gerade Funktionen f (also f(x) = f(−x)) gilt

a_{0} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} f(x) dx, a_{k} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} f(x) · cos(k · x) dx, b_{k} = 0

mit k = 1, 2, …. Für ungerade Funktionen f (also f(x) = −f(−x)) gilt

a_{0} = 0, a_{k} = 0, b_{k} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} f(x) · sin(k · x) dx

mit k = 1, 2, ….

Beispiel 1.30: Einige Beispiele von Fourier–Reihen:

a) Die (”Sägezahn”–)Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}−1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [−π, 0 ), \\ 1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [ 0, π] \end{matrix}

ist ungerade, also a_{k} = 0 ∀k = 0, 1, 2, . . ..

b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} (1 − \frac{x}{π} ) · sin(k · x) dx

= \frac{1}{k} − \frac{sin(k · π)}{π · k^{2}} = \frac{1}{k} ∀ k = 1, 2, …,

also

f(x) ∼ ∑_{k=1,2,...} \frac{sin(k · x)}{k}.

b) Die Funktion f(x) = |x| ist gerade, also b_{k} = 0 ∀k = 1, 2, . . ..

a_{0} = \frac{1}{2 · π} ∫_{−π}^{π} f(x) dx = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} x dx = \frac{π}{2} ,

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} x · cos(k · x) dx

= \frac{2}{π} · [\frac{cos(k · x)}{k^{2}} + \frac{x · sin(k · x)}{k}]_{x=0}^{x=π} = \frac{2}{π} · \frac{(−1)^{k} − 1}{k^{2}} = \{ \begin{matrix}−\frac{4}{π · k^{2}} , & k = 1, 3, 5, …, \\ 0, & k = 2, 4, 6, …, \end{matrix}

also

|x| ∼ \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{k=1,3,5,...} \frac{cos(k · x)}{k^{2}}.

1.3.2 Konvergenz im quadratischen Mittel

28.10.02↓

Satz 1.31: (Fourier–Koeffizienten bestimmen eindeutig die Funktion) Verschwinden alle Fourier–Koeffizienten einer Funktion f ∈ L_{2}([a, b]), so gilt f ≡ 0 (fast überall). Es folgt, dass 2 Funktionen in L_{2}([a, b]) mit den selben Fourier–Koeffizienten (fast überall) übereinstimmen.

Beweisskizze: a) Für auf [−π, π] stetigem f wird in der Übungsaufgabe 16 gezeigt, dass die Schlussfolgerung

∫_{−π}^{π} f(x) · e^{i·k·x} dx = 0 ∀k ∈ ℤ ⇒ f(x) = 0 ∀x ∈ [−π, π]

korrekt ist.

b) Für unstetiges f ∈ L_{2}([a, b]) betrachten wir die Stammfunktion

F (x) = ∫_{−π}^{x} f(y) dy.

Diese Funktion ist stetig und fast überall differenzierbar mit F′(x) = f(x) (diese Aussagen entstammen der Theorie der Lebesgue–Integration), und es gilt F (−π) = 0. Partielle Integration liefert für beliebiges k ∈ ℤ, k ≠ 0:

∫_{−π}^{π} \underbrace{F (x)}_{u(x)} · \underbrace{e^{i·k·x}}_{v′(x)} dx = [ \underbrace{F (x)}_{u(x)} · \underbrace{\frac{e^{i·k·x}}{i · k}}_{v(x)} ]_{x=−π}^{x=π} − ∫_{−π}^{π} \underbrace{F′(x)}_{u′(x)} · \underbrace{\frac{e^{i·k·x}}{i · k}}_{v(x)} dx

= F (π) · \frac{(−1)^{k}}{i · k} − \frac{1}{i · k} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{i·k·x} dx = 0.

(Hierbei ist F (π) bis auf einen Faktor der Fourier–Koeffizient c_{0}, das Integral ist bis auf einen Faktor der Fourier–Koeffizient c_{k} von f. Alle diese Koeffizienten werden als verschwindend vorausgesetzt.) Nach a) folgt für die stetige Funktion F das Ergebnis F (x) = 0 ∀x ∈ [−π, π]. Damit gilt für beliebige Intervalle [α, β] ⊂ [−π, π]:

∫_{α}^{β} f(y) dy = F (β) − F (α) = 0,

woraus folgt, dass f fast überall verschwinden muss.

c) Haben zwei Funktionen f und g die selben Fourier–Koeffizienten, so verschwinden alle Fourier–Koeffizienten von f −g, womit nach a) und b) fast überall f(x) − g(x) = 0 gelten muss.

Q.E.D.

Der obige Satz besagt, dass die Fourier–Koeffizienten die Funktion eindeutig bestimmen (fast überall). Dies ist ein erster Hinweis darauf, dass die trigonometrischen Funktionen, nach denen entwickelt wird, in der Tat ein vollständiges System von Basisfunktionen bilden, mit denen andere Funktionen dargestellt werden können. Speziell sollten die entwickelten Funktionen (fast überall) aus den Fourier–Koeffizienten rekonstruierbar sein. Als Kandidat für die Rekonstruktion bieten sich natürlich die Fourier–Approximationen S_{n} aus Definition 1.25 an, deren Grenzwert für n → ∞ in der Tat im L_{2}–Sinne gegen die Funktion konvergiert. Wir schliessen diesen Abschnitt mit dem folgenden Resultat ab, das wir hier allerdings noch nicht gut begründen geschweige denn sauber beweisen können:

Satz 1.32: (Die trigonometrischen Funktionen sind vollständig)

Die trigonometrischen Funktionen {e^{i·k·x}}_{k∈ℤ} bzw.

{1, cos(x), sin(x), cos(2 · x), sin(2 · x), … }

bilden ein \underline{vollständiges} Orthogonalsystem in L_{2}([−π, π]) im Sinne von Definition 1.22. Also: für jedes f ∈ L_{2}([−π, π]) gilt im L_{2}–Sinne

f = lim_{n→∞} S_{n},

wo S_{n} die endlichen Fourier–Approximationen

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = a_{0} + ∑_{k=1}^{n} (a_{k} · cos(k · x) + b_{k} · sin(k · x))

sind.

Wir haben hier nicht den technischen Apparat, einen sauberen Beweis zu führen, daher nur die grobe Beweisidee:

Beweisidee: Wir werden im Abschnitt 1.3.3 die punktweise Konvergenz von S_{n}(x) gegen f(x) betrachten und herausbekommen, dass

f(x) = lim_{n→∞} S_{n}(x)

an allen Stellen x ∈ [−π, π] gilt, wenn f nur genügend glatt ist (z.B. stetig und beidseitig differenzierbar, siehe Satz 1.39). Diese punktweise Konvergenz impliziert natürlich die L_{2}-Konvergenz von S_{n} gegen f. Die Funktionen in L_{2} lassen sich durch solche glatten Funktionen im L_{2}–Sinne beliebig genau approximieren, woraus (nach einigen technischen Abschätzungen) dann folgt, dass die L_{2}-Konvergenz für die glatten Funktionen auch auf die weniger glatten Funktionen in L_{2} übergeht.

Q.E.D.

1.3.3 Punktweise Konvergenz

Die Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen nach Satz 1.32 garantiert uns die Konvergenz der trigonometrischen Fourier–Reihen S_{n} gegen die Ausgangsfunktion f im L_{2}–Sinne. Intuitiv besagt dies, dass die Fourier– Approximationen S_{n}(x) für ”die meisten Punkte” x ∈ [−π, π] gegen den Wert f(x) konvergieren muss, es bleibt aber hinreichend viel Spielraum für Stellen x, an denen S_{n}(x) nicht gegen f(x) konvergiert. In diesem Abschnitt soll der Frage nach der punktweisen Konvergenz genauer nachgegangen werden: an welchen Punkten x kann garantiert werden, dass lim_{n→∞} S_{n}(x) = f(x) gilt? Zunächst eine allgemeine Aussage zur Konvergenz von Funktionenreihen:

Satz 1.33: (Weierstraßsches Majorantenkriterium)

Sei (f_{k}) eine Folge stetiger Funktionen über [a, b] ⊂ ℝ. Konvergiert die Reihe ∑_{k=0}^{∞} y_{k} mit y_{k} := sup{|f_{k}(x)|; x ∈ [a, b]}, so konvergiert

S_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} f_{k}(x)

für jedes x ∈ [a, b]. Die punktweise durch S^{∗}(x) = lim_{n→∞} S_{n}(x) definierte Grenzfunktion ist wiederum stetig.

Beweis: technisch.

Beispiel 1.34: Da ∑_{k} \frac{1}{k^{2}} konvergiert, erhalten wir sofort für das Beispiel 1.30.b), dass die Reihe

S^{∗}(x) = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{k=1,3,5,...} \frac{cos(k · x)}{k^{2}} =^{(k=2·m+1)} \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{m=0}^{∞} \frac{cos((2 · m + 1) · x)}{(2 · m + 1)^{2}}

lim_{n→∞} ∥S_{n} − S^{∗}∥_{2} = lim_{n→∞} ∫_{π}^{π}(S_{n}(x) − S^{∗}(x))^{2} dx

=^{(∗)} ∫_{−π}^{π} lim_{n→∞}(S_{n}(x) − S^{∗}(x))^{2} dx = ∫_{π}^{π} 0 dx = 0.

Als Physiker machen wir das einfach skrupellos.) funktion f(x) = |x|, welche die Fourier–Entwicklung

\frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{k=1,3,5,...} \frac{cos(k · x)}{k^{2}}

für jedes x ∈ [π, π] konvergiert und dass die Grenzfunktion S^{∗}(x) stetig ist. Aus der punktweisen Konvergenz folgt auch die Konvergenz von S_{n} gegen S^{∗} im L_{2}–Sinne, denn (Mathematisch ist der Schritt (∗) (Vertauschen von Limes und Integral) alles andere als trivial. Hier müssten wir den Begriff der ”gleichmäßigen Konvergenz” einführen.

Dem Vollständigkeitssatz 1.32 nach konvergiert S_{n} im L_{2}–Sinne gegen die Ausgangs-

erzeugte. Andererseits ist auch S^{∗} der Grenzwert von S_{n} im L_{2}–Sinne. Da Grenzwerte eindeutig sind, folgt f = S^{∗} im L_{2}–Sinne (d.h., ”fast überall”). Da weiterhin sowohl f als auch S^{∗} stetige Funktionen sind, bedeutet ”f = S^{∗} im L_{2}–Sinne”, dass auch punktweise f(x) = S^{∗}(x) für alle x ∈ [−π, π] gelten muss, also

|x| = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ∑_{m=0}^{∞} \frac{cos((2 · m + 1) · x)}{(2 · m + 1)^{2}} für alle x ∈ [−π, π].

Wir haben damit ein erstes Beispiel, in dem die (unendliche) Fourier–Reihe punktweise die Ausgangsfunktion darstellt.

Zunächst technisches Vorgeplänkel:

Definition 1.35: (Die integrablen Funktionen)

Die Funktionen des Raums

L_{1}([a, b]) = {f : [a, b] → ℂ; ∫_{a}^{b} |f(x)| dx < ∞}

nennt man die ”über [a, b] integrablen Funktionen”. Die trigonometrischen Fourier–Koeffizienten

c_{k} = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx

existieren wegen

|∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx| ≤ ∫_{−π}^{π} |f(x) · e^{−i·k·x}| dx = ∫_{−π}^{π} |f(x)| dx < ∞

für jedes f ∈ L_{1}([−π, π]).

Bemerkung 1.36: Der Raum L_{2}([a, b]) der quadratintegrablen Funktionen 1.12 ist ein Unterraum von L_{1}([a, b]), wenn [a, b] ein \underline{endliches} Intervall ist. Dies liegt an der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung 1.5. Für endliche Intervalle liegt nämlich

g(x) = \{ \begin{matrix}\frac{f(x)}{|f(x)|} & für f(x) ≠ 0, \\ 1 & für f(x) = 0 \end{matrix}

in L_{2}([a, b]), da |g(x)| ≡ 1 gilt:

∥g∥_{2} = \sqrt{∫_{a}^{b} |g(x)|^{2} dx} = \sqrt{b − a} .

Per Cauchy–Schwarz folgt mit \overline{f(x)} · g(x) = \overline{f(x)} · f(x)/|f(x)| = |f(x)|:

∫_{a}^{b} |f(x)| dx = ∫_{a}^{b} \overline{f(x)} · g(x) dx = ⟨f, g⟩ ≤ ∥f∥_{2} · ∥g∥_{2} = \sqrt{b − a} · ∥f∥_{2} < ∞.

Lemma 1.37: (Riemann–Lebesgue–Lemma)

Die Fourier–Koeffizienten jeder integrablen Funktion f ∈ L_{1}([−π, π]) bilden eine Nullfolge:

lim_{k→∞} ∫_{−π}^{π} f(x) · cos(k · x) dx = lim_{k→∞} ∫_{−π}^{π} f(x) · sin(k · x) dx = 0.

Beweisskizze: Wir stellen uns f als 2 · π–periodisch fortgesetzt vor. Für 2 · π– periodische Funktionen g(x) gilt

∫_{−π+α}^{π+α} g(x) dx = ∫_{−π}^{π} g(x) dx

für jedes α ∈ ℝ. Mit der Substitution x = y − π/k folgt:

c_{k} = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · e^{−i·k·x} dx = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π+ \frac{π}{k}}^{π+ \frac{π}{k}} f(y − \frac{π}{k} ) · e^{−i·k·(y− \frac{π}{k})} dy

= \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(y − \frac{π}{k} ) · e^{−i·k·y} · \underbrace{e^{i·k· \frac{π}{k}}}_{−1} dy = −\frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(y − \frac{π}{k} ) · e^{−i·k·y} dy.

Es folgt

c_{k} = \frac{1}{2} · (c_{k} + c_{k}) = \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} (f(x) − f(x − \frac{π}{k} )) · e^{−i·k·x} dx,

also

|c_{k}| ≤ \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − f(x − \frac{π}{k} )| dx. (#)

Für stetiges f ist nun alles klar:

lim_{k→∞} |c_{k}| ≤ lim_{k→∞} \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − f(x − \frac{π}{k} )| dx

=^{(∗)} ∫_{−π}^{π} lim_{k→∞} |f(x) − f(x − \frac{π}{k} )| dx = 0.

(Für einen mathematisch sauberen Beweis ist die Vertauschung von Limes und Integral im Schritt (∗) natürlich genauer zu untersuchen.) Für eine unstetige integrable Funktion benutzt man, dass man integrable Funktionen beliebig genau durch eine stetige Funktion approximieren kann, d.h., zu jedem ϵ > 0 existiert eine stetige Funktion s(x) mit

∫_{−π}^{π} |f(x) − s(x)| dx < ϵ.

Mit (#) folgt

|c_{k}| ≤ \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) \underbrace{−s(x) + s(x)}_{0} \underbrace{−s(x − \frac{π}{k} ) + s(x − \frac{π}{k} )}_{0} −f(x − \frac{π}{k} )| dx

≤ \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − s(x)| dx + \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |s(x) − s(x − \frac{π}{k} )| dx

+\frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |s(x − \frac{π}{k} ) − f(x − \frac{π}{k} )| dx

=^{(∗∗)} \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} |f(x) − s(x)| dx + \frac{1}{4 · π} · ∫_{−π}^{π} |s(x) − s(x − \frac{π}{k} )| dx
≤ ϵ + Nullfolge_{k}.

(Zu Schritt (∗∗): das dritte Integral stimmt mit dem ersten überein, da der Integrand 2 · π–peridoisch ist). Zu jedem ϵ kann man damit für alle hinreichend großen k garantieren, dass |c_{k}| ≤ ϵ + ϵ gilt. Damit ist |c_{k}| eine Nullfolge.

Q.E.D.

Um die punktweise Konvergenz genauer zu untersuchen, brauchen wir zunächst ein starkes technisches Hilfsmittel. Die endlichen Fourier–Reihen stellen sich als die Wirkung eines Integraloperators auf die Ausgangsfunktion dar:

↓6.11.02

Satz 1.38: (Integraldarstellung per Dirichlet–Kern)

Interpretiere eine auf dem Intervall [−π, π] gegebene Funktion f ∈ L_{1}([−π, π]) als 2·π–periodisch auf ℝ fortgesetzt (also f(x+2·π) = f(x)). Für die Fourier–Approximation von f gilt

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = ∫_{−π}^{π} D_{n}(x − t) · f(t) dt = ∫_{−π}^{π} D_{n}(t) · f(x + t) dt

= ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · (f(x + t) + f(x − t)) dt

mit dem sogenannten ”Dirichlet–Kern”

D_{n}(y) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2 · π} \frac{sin((n + \frac{1}{2}) · y)}{sin(\frac{y}{2})} & für y ≠ 0 \\ \frac{n + \frac{1}{2}}{π} & für y = 0. \end{matrix}

Es gilt ∫_{−π}^{π} D_{n}(y) dy = 1. Hier eine Graphik von D_{n} mit n = 2 und n = 8:

28 KAPITEL 1. FOURIER–ANALYSIS Beweis:

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = ∑_{k=−n}^{n} \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(t) · e^{−i·k·t} dt · e^{i·k·x}

= ∫_{−π}^{π} f(t) · \underbrace{\frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} e^{i·k·(x−t)}}_{D_{n}(x−t)} dt.

Es gilt

D_{n}(y) = \frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} e^{i·k·y} = \frac{1}{2 · π} · ( ∑_{k=0}^{n} e^{i·k·y} + ∑_{k=0}^{n} e^{−i·k·y} − 1)

= \frac{1}{2 · π} · ( ∑_{k=0}^{n}(e^{i·y})^{k} + ∑_{k=0}^{n}(e^{−i·y})^{k} − 1).

Mit der Summenformel ∑_{k=0}^{n} x^{k} = \frac{x^{n+1} − 1}{x − 1} für geometrische Reihen erhält man:

D_{n}(y) = \frac{1}{2 · π} · (\frac{e^{i·(n+1)·y} − 1}{e^{i·y} − 1} + \frac{e^{−i·(n+1)·y} − 1}{e^{−i·y} − 1} − 1)

= \frac{1}{2 · π} · \frac{2 · cos(n · y) − 2 · cos((n + 1) · y)}{2 − 2 · cos(y)}

=^{(∗)} \frac{1}{2 · π} · \frac{4 · sin((n + \frac{1}{2}) · y) · sin(\frac{1}{2} · y)}{4 · sin^{2}(\frac{y}{2})} = \frac{1}{2 · π} · \frac{sin((n + \frac{1}{2}) · y)}{sin(\frac{y}{2})}.

Hierbei werden in (∗) die üblichen Additionstheoreme auf cos(n · y) − cos((n + 1) · y) = cos((n + \frac{1}{2}) · y − \frac{1}{2} · y) − cos((n + \frac{1}{2}) · y + \frac{1}{2} · y) angewendet. Weiterhin gilt mit der Substitution ξ = x − t

∫_{−π}^{π} D_{n}(x − t) · f(t) dt = ∫_{x−π}^{x+π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ = ∫_{−π}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ,

wobei im letzten Schritt die 2 · π-Periodizität von f und D_{n} verwendet wird. Letztlich folgt mit D_{n}(−ξ) = D_{n}(ξ):

∫_{−π}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ = ∫_{−π}^{0} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ + ∫_{0}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ

= ∫_{0}^{π} D_{n}(−ξ) · f(x − ξ) dξ + ∫_{0}^{π} D_{n}(ξ) · f(x + ξ) dξ
= ∫_{0}^{π} D_{n}(ξ) · (f(x − ξ) + f(x + ξ)) dξ

und

∫_{−π}^{π} D_{n}(y) dy = ∫_{−π}^{π} \frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} e^{i·k·y} dy = \frac{1}{2 · π} · ∑_{k=−n}^{n} ∫_{−π}^{π} e^{i·k·y} dy = 1

(alle Terme außer k = 0 ergeben 0).

Q.E.D.

Hier nun der entscheidende Satz, der für die in praktischen Anwendungen relevanten Funktionen die Frage der punktweisen Konvergenz klärt:

Satz 1.39: (Das Dirichlet–Kriterium für punktweise Konvergenz)

Sei f ∈ L_{1}([−π, π]). Gilt an einer Stelle x_{0} ∈ (−π, π), dass sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert

f(x_{0} − 0) := lim_{{h→0 \atop h>0}} f(x_{0} − h) f(x_{0} + 0) := lim_{{h→0 \atop h>0}} f(x_{0} + h)

existiert und ebenfalls die links- und rechtsseitigen Ableitungen

lim_{{h→0 \atop h>0}} \frac{f(x_{0} − 0) − f(x_{0} − h)}{h},  lim_{{h→0 \atop h>0}} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0} + 0)}{h},

so konvergieren die Fourier–Approximationen gegen den Mittelwert des links- und rechtsseitigen Grenzwerts:

lim_{n→∞} S_{n}(x_{0}) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} · e^{i·k·x_{0}} = \frac{f(x_{0} − 0) + f(x_{0} + 0)}{2}.

Dies gilt auch für x_{0} = −π und x_{0} = π, wenn die 2 · π–periodisch fortgesetzte Funktion f die obigen Glattheitseigenschaften hat.

Beweis: Mit D_{n}(−t) = D_{n}(t) und ∫_{−π}^{π} D_{n}(t) dt = 1 (⇒ ∫_{0}^{π} D_{n}(t) dt = \frac{1}{2}) ergibt sich

S_{n}(x_{0}) − \frac{f(x_{0} − 0) + f(x_{0} + 0)}{2}

= ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · (f(x_{0} + t) + f(x_{0} − t)) dt − ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · (f(x_{0} − 0) + f(x_{0} + 0)) dt

= ∫_{0}^{π} D_{n}(t) · ((f(x_{0} + t) − f(x_{0} + 0) + f(x − t) − f(x_{0} − 0)) dt

= ∫_{0}^{π} \frac{1}{2 · π} \frac{sin((n + \frac{1}{2}) · t)}{sin(\frac{t}{2})} · ((f(x_{0} + t) − f(x_{0} + 0) + f(x_{0} − t) − f(x_{0} − 0)) dt

= ∫_{0}^{π} sin((n + \frac{1}{2}) · t)·

\underbrace{\frac{1}{π} · \frac{\frac{t}{2}}{sin(\frac{t}{2})} · (\frac{f(x_{0} + t) − f(x_{0} + 0)}{t} + \frac{f(x_{0} − t) − f(x_{0} − 0)}{t})}_{g(t)} dt

= ∫_{0}^{π} ( sin(n · t) · cos(\frac{1}{2} · t) + cos(n · t) · sin(\frac{1}{2} · t)) · g(t) dt

= \frac{1}{2} · ∫_{−π}^{π} sin(n · t) · cos(\frac{1}{2} · t) · (g(t) − g(−t)) dt

+\frac{1}{2} · ∫_{−π}^{π} cos(n · t) · sin(\frac{1}{2} · t) · (g(t) − g(−t)) dt.

Die entscheidende Beobachtung hier ist, dass wegen der vorausgesetzten Existenz der einseitigen Ableitungen die Funktion g(t) keine Singularität bei t = 0 hat und damit integrierbar ist. Mit dem Riemann–Lebesgue–Lemma 1.37 ergibt sich, dass die obige Differenz zwischen S^{∗}(x) und dem Mittelwert der einseitigen Grenzwerte eine Nullfolge ist.

Q.E.D.

Merke 1.40:

An allen Stellen, wo die Fourier–entwickelte Funktion stetig und differenzierbar ist, wird sie durch die unendliche Fourier–Reihe dargestellt. Werden glatte (stetig und differenzierbare) Funktionen aneinander gestückelt, so konvergiert die unendliche Fourier–Reihe gegen den Mittelpunkt der Grenzwerte von links- und rechts. Wenn die Stückelung stetig ist, wird auch die Nahtstelle von der Fourier–Reihe korrekt dargestellt.

Vorsicht 1.41:

Die Stetigkeit bezieht sich auf die 2 · π–periodisch fortgesetzte Funktion! Die Funktion f(x) = x ist nicht stetig an den Stellen x = ±π, ±3 · π, ±5 · π, …, wenn man sie 2 · π–periodisch fortgesetzt betrachtet!

Beispiel 1.42: In Beispiel 1.30.a) hatten wir für die ”Sägezahnfunktion”

f(x) = \{ \begin{matrix}−1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [−π, 0 ), \\ 1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [ 0, π] \end{matrix}

die Fourier–Entwicklung

f(x) ∼ ∑_{k=1,2,...} \frac{sin(k · x)}{k}

gefunden. An allen Stetigkeitsstellen ist die Funktion differenzierbar, so dass die Fourier–Reihe an diesen Stellen gegen f(x) konvergiert. An den Unstetigkeitsstellen x = 0, ±2·π, ±4·π, … ist das Dirichlet–Kriterium aber immer noch erfüllt: Die Fourier– Reihe konvergiert gegen den Mittelwert des links- und rechtsseitigen Limes (also 0):

∑_{k=1,2,...} \frac{sin(k · x)}{k} = \{ \begin{matrix}−1 − \frac{x}{π} & für x ∈ [−π, 0), \\ 0 & für x = 0 \\ 1 − \frac{x}{π} & für x ∈ (0, π]. \end{matrix}

Außer an der Sprungstelle (wo wir willkürlich f(0) = 1 definiert hatten), wird f(x) also überall punktweise durch die unendliche Fourier–Reihe dargestellt. Beachte auch Aufgabe 9 von Blatt 2.

Bemerkung 1.43: Wir haben mit Satz 1.39 ein entscheidendes Teilargument für den Beweis von Satz 1.32 über die Vollständigkeit der trigonometrischen Funktionen im L_{2}-Sinne nachgeliefert. Man kann alle Funktionen in L_{2}([−π, π]) beliebig genau durch stetige Funktionen approximieren, die das Dirichlet–Kriterium erfüllen und somit punktweise über ihre Fourier–Reihen dargestellt werden.

Bemerkung 1.44: Es ergibt sich ein verblüffendes ”Lokalitätsprinzip”:

Die punktweise Konvergenz der Fourier–Reihe hängt nur von lokalen Eigenschaften der Funktion in der Umgebung des betrachteten Punktes ab!

Z.B. reichen Stetigkeit und beidseitige Differenzierbarkeit an einem Punkt für die lokale Darstellbarkeit als Fourier–Reihe an diesem Punkt. Dies steht in krassem Gegensatz zu der Tatsache, dass die Fourier–Koeffizienten global von der Funktion bestimmt werden. Hat man vor, eine Funktion f auf einem Teilintervall (a, b) ⊂ [−π, π] durch eine Fourier–Reihe darzustellen, so kann das auf viele verschiedene Arten und Weisen geschehen, indem man f von (a, b) irgendwie auf den Rest des Intervalles [−π, π] fortsetzt. Abhängig von dieser Fortsetzung ergeben sich völlig unterschiedliche Fourier–Reihen, die jedoch innerhalb des Intervalls (a, b) alle gegen dieselbe Funktion konvergieren! Beispiel: Wir wollen die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, π] ⊂ [−π, π] durch eine Fourier–Reihe darstellen. Einige Möglichkeiten:

1) ungerade Fortsetzung; unstetig:

f_{1}(x) = 2 · ( sin(x) − \frac{sin(2 · x)}{2} + \frac{sin(3 · x)}{3} − ⋯).

2) gerade Fortsetzung; stetig:

f_{2}(x) = \frac{π}{2} − \frac{4}{π} · ( cos(x) + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + ⋯).

3) unstetige Fortsetzung:

f_{3}(x) = \frac{f_{1}(x) + f_{2}(x)}{2}.

4) glatte Forsetzung:

f_{4}(x) = eine schnell konvergierende Fourier–Reihe.

1.3.4 Abklingverhalten der Fourier–Koeffizienten

↓8.11.02

Nach dem Riemann–Lebesgue–Lemma 1.37 bilden die Fourier–Koeffizienten prinzipiell eine Nullfolge. Es gilt das Prinzip: je glatter die Funktion, um so schneller fallen die Fourier–Koeffizienten. Zunächst eine einfache Beobachtung:

Satz 1.45:

Für eine 2 · π–periodische differenzierbare Funktion f mit integrierbarer Ableitung f′ gilt

c_{k}(f′) = i · k · c_{k}(f),

wo c_{k}(f′) bzw. c_{k}(f) die Fourier–Koeffizienten von f′ bzw. f sind.

Beweis: Es gilt f(−π) = f(π) und e^{i·k·π} = (−1)^{k} = e^{−i·k·π}. Durch partielle Integration folgt:

c_{k}(f′) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f′(x) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{2 · π} · [f(x) · e^{−i·k·x}]_{x=−π}^{x=π} − \frac{1}{2 · π} · ∫_{−π}^{π} f(x) · (−i · k) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{f(π) · e^{−i·k·π} − f(−π) · e^{i·k·π}}{2 · π} + i · k · c_{k}(f) = i · k · c_{k}(f).

Q.E.D.

Diese Aussage ist leicht zu merken: stellt man sich die Funktion direkt als Fourier–Reihe gegeben vor, so kann man die Summanden der Reihe einzeln differenzieren:

\frac{d}{dx} \underbrace{∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} · e^{i·k·x}}_{f(x)} = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{k} · \frac{d}{dx} e^{i·k·x} = ∑_{k=−∞}^{∞} \underbrace{c_{k} · (i · k)}_{c_{k}(f′)} ·e^{i·k·x}.

Bemerkung 1.46: So trivial der Zusammenhang zwischen den Fourier– Koeffizienten von f und f′ mathematisch auch sein mag, er ist für Anwendungen von zentraler Bedeutung:

Das Ableiten wird für die Fourier–Koeffizienten zu einer algebraischen Operation (Multiplikation mit i · k). Fourier–Ansätze verwandeln daher Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen für die Fourier–Koeffizienten.

Siehe das Motivationsbeispiel im einführenden Abschnitt 1.1.

Satz 1.47: (Abklingverhalten der Fourier–Koeffizienten)

Ist eine 2 · π–periodische Funktion p-fach differenzierbar und ist die p-te Ableitung integrierbar, so gilt für die Fourier–Koeffizienten der Funktion:

|c_{k}| = o(\frac{1}{|k|^{p}} ).

(Das ”Landau–Symbol” o bedeutet lim_{|k|→∞} |k|^{p} · |c_{k}| = 0.)

Beweis: Seien c_{k}(f^{(p)}) die Fourier–Koeffizienten der p-ten Ableitung. Nach Satz 1.45 gilt

c_{k}(f^{(p)}) = i · k · c_{k}(f^{(p−1)}) = (i · k)^{2} · c_{k}(f^{(p−2)}) = ⋯ = (i · k)^{p} · c_{k}(f).

Nach dem Riemann–Lebesgue–Lemma 1.37 bilden die Fourier–Koeffizienten c_{k}(f^{(p)}) der p-ten Ableitung eine Nullfolge für |k| → ∞, d.h., die Fourier– Koeffizienten c_{k} = c_{k}(f) fallen schneller ab als 1/|k|^{p}:

c_{k}(f) = \frac{c_{k}(f^{(p)})}{(i · k)^{p}} = o(\frac{1}{|k|^{p}} ).

Q.E.D.

Merke 1.48:

Je glatter die Funktion (d.h., je öfter differenzierbar), um so schneller konvergieren die Fourier–Koeffizienten gegen 0.

Bemerkung 1.49: In Satz 1.47 wird das Abklingverhalten der Fourier– Koeffizienten mittels des Landau-Symbols o recht unspezifisch als ”schneller abfallend als 1/|k|^{p}” beschrieben. Die in der Praxis auftretenden Funktionen sind meist stückweise aus glatten Anteilen zusammengesetzt, wodurch sich in der Praxis meist ”schneller abfallend als 1/|k|^{p}” in der Form

”um eine k-Potenz schneller abfallend als 1/|k|^{p}”

1.3. FOURIER–REIHEN 35 ergibt. Es gilt die Faustregel:

f unstetig:  c_{k} ∼ \frac{1}{k}.
f stetig, f′ unstetig:  c_{k} ∼ \frac{1}{k^{2}} .
f′ stetig, f′′ unstetig:  c_{k} ∼ \frac{1}{k^{3}} .
f^{(p)} stetig, f^{(p+1)} unstetig: c_{k} ∼ \frac{1}{k^{p+2}} .

Beispiele: f_{1} unstetig:

f_{1}(x) = \frac{4}{π} · ( sin(x) + \frac{sin(3 · x)}{3} + \frac{sin(5 · x)}{5} + ⋯).

f_{2} stetig, f′_{2} unstetig:

f_{2}(x) = 1 + \frac{4}{π^{2}} · ( cos(x) + \frac{cos(3 · x)}{3^{2}} + \frac{cos(5 · x)}{5^{2}} + ⋯).

f′_{3} stetig, f′′_{3} unstetig:

f_{3}(x) = \frac{4}{π^{2}} · x · (π − |x|) = \frac{32}{π^{3}} · (\frac{sin(x)}{1^{3}} + \frac{sin(3 · x)}{3^{3}} + \frac{sin(5 · x)}{5^{3}} + ⋯).

Bemerkung 1.50: Für eine durch ihre Fourier–Reihe dargestellte Funktion gilt für den Approximationsfehler durch endliche Fourier–Approximationen

f(x) − ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x} = ∑_{|k|>n} c_{k} · e^{i·k·x}

⇒ |f(x) − ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x}| ≤ ∑_{|k|>n} |c_{k} · e^{i·k·x}| = ∑_{|k|>n} |c_{k}|.

Je schneller die Fourier–Koeffizienten abfallen, umso schneller die punktweise Konvergenz an allen Stellen!

1.3.5 Das Gibbs’sche Phänomen

Wir betrachten das Konvergenzverhalten der endlichen Fourier–Transformation für die ”Sprungfunktion” (”Heaviside–Funktion”):

H(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x ∈ [−π, 0), \\ 1 & für x ∈ [0, π). \end{matrix}

Als zugeordnete Fourier–Reihe berechnet man

H(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{π} · ( sin(x) + \frac{sin(3 · x)}{3} + \frac{sin(5 · x)}{5} + ⋯),

welche in der Tat H(x) überall außer an den Sprungstellen punktweise darstellt. Hier die endlichen Fourier–Approximationen

S_{2·n−1}(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin((2 · m + 1) · x)}{2 · m + 1}

mit n = 3 und n = 9

sowie mit n = 32:

Das Gibbs’sche^{1} Phänomen ist, dass die Fourier–Approximationen an Sprungstellen ein Überschwingverhalten zeigen, dass mit wachsendem n nicht verschwindet: das erste Maximum von S_{n}(x) für x > 0 liegt für jedes n deutlich über der Grenzfunktion H(x) ≡ 1 (für x > 0). Dies lässt sich unschwer explizit nachrechnen. Das betrachtete Maximum ist durch die erste positive Nullstelle der Ableitung bestimmt:

\frac{d}{dx} S_{2·n−1}(x) = \frac{2}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} cos((2 · m + 1) · x) = \frac{2}{π} · ℜ( ∑_{m=0}^{n−1} e^{i·(2·m+1)·x})

= \frac{2}{π} · ℜ(e^{i·x} · ∑_{m=0}^{n−1}(e^{i·2·x})^{m}) = \frac{2}{π} · ℜ(e^{i·x} · \frac{e^{i·2·n·x} − 1}{e^{i·2·x} − 1}) = \frac{2}{π} · ℜ(\frac{e^{i·2·n·x} − 1}{e^{i·x} − e^{−i·x}} )

= \frac{2}{π} · ℜ(\frac{e^{i·2·n·x} − 1}{2 · i · sin(x)}) = \frac{1}{π · sin(x)} · ℑ(e^{i·2·n·x} − 1) = \frac{sin(2 · n · x)}{π · sin(x)}.

Die erste positive Nullstelle der Ableitung ist demnach ξ_{0} = π/(2 · n). Der Wert von S_{2·n−1} an dieser Stelle ist

S_{2·n−1}(ξ_{0}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin((2 · m + 1) · \frac{π}{2·n})}{2 · m + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{n} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin(\frac{(2·m+1)·π}{2·n})}{\frac{(2·m+1)·π}{2·n}}.

Die Summe läßt sich leicht interpretieren. Betrachte dazu das Integral

\frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} \frac{sin(y)}{y} dy ≈ 0.5895 .

Zerlege das Integrationsintervall [0, π] durch die n Stützstellen y_{m} = \frac{(2·m+1)·π}{2·n}, (m = 0, …, n − 1) in äquidistante Intervalle der Länge π/n. Für n → ∞ konvergieren die Riemann–Summen gegen das Integral:

\frac{1}{n} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin(\frac{(2·m+1)·π}{2·n})}{\frac{(2·m+1)·π}{2·n}} = \frac{1}{π} · ∑_{m=0}^{n−1} \frac{sin(y_{m})}{y_{m}} · \frac{π}{n} ⟶^{(n→∞)} \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} \frac{sin(y)}{y} dy.

Die Höhe des ersten positiven Maximums der Fourier–Approximation konvergiert damit für n → ∞:

S_{2·n−1}(ξ_{0}) ≈ \frac{1}{2} + \frac{1}{π} · ∫_{0}^{π} \frac{sin(y)}{y} dy ≈ 1.0895... .

Betrachte noch einmal H(x) und beachte, dass H(x)− \frac{1}{2} eine ungerade Funktion

↓13.11.02

1J.W. Gibbs, 1839 – 1903, amerikanischer Mathematiker/Physiker. Ein Zitat von ihm:

”A mathematician may say anything he pleases, but a physicist must be at least partially sane.”

ist. Aus Symmetriegründen nehmen daher alle Fourier–Approximationen S_{2·n−1} als letztes negatives Minimum vor der Sprungstelle bei 0 den Wert \frac{1}{2} −0.5895 = −0.0895 an. Damit hat die Differenz des ersten Maximums rechts vom Sprung zum letzten Minimum links vom Sprung den Wert 1 + 2 · 0.0895 = 1.179, wobei die Sprunghöhe 1 ist. Multipliziert man die Sprungfunktion mit einem Faktor, so skalieren sich die Fourier–Koeffizienten mit diesem Faktor und die Fourier– Approximationen ebenfalls. Damit gilt:

Das Gibbs’sche Phänomen: An einer Sprungstelle ist für alle Fourier– Approximationen die Differenz zwischen dem benachbarten Minimum und Maximum, welche den Sprung einschließen, um etwa 17.9% größer als die Sprunghöhe.

In der Tat gilt dies nicht nur für die hier betrachtete Heaviside–Funktion: eine beliebige Funktion, die an einer Stelle x_{0} eine Sprung macht, kann immer in der Form

Funktion(x) = bei x_{0} stetige Funktion(x) + Sprunghöhe · H(x − x_{0})

zerlegt werden. Ist die stetige Funktion hinreichend glatt, konvergiert die Fourier–Approximation des stetigen Anteils deutlich schneller gegen den stetigen Anteil als die Fourier–Approximation des Sprunganteils gegen den Sprunganteil. Der stetige Anteil kann daher im Approximationsfehler vernachlässigt werden gegen den Approximationsfehler von H(x − x_{0}). Das Gibbs’sche Phänomen für H vererbt sich damit auf die Sprungstellen beliebig zusammengestückelter glatter Funktionen:

Lanczos’ σ-Approximation

Man kann das Gibbs’sche Phänomen leicht unterdrücken, indem man statt der Fourier–Approximationen (einer beliebigen Funktion)

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·x}

die modifizierten Fourier–Approximationen

L_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} σ_{k}^{(n)} · c_{k} · e^{i·k·x}

mit ”Lanczos’ σ-Faktoren”

σ_{0}^{(n)} = 1, σ_{k}^{(n)} = \frac{sin(\frac{k·π}{n})}{\frac{k·π}{n}} (k > 0)

betrachtet. Diese Approximationen konvergieren analog zu S_{n}(x) ebenfalls punktweise gegen die Ausgangsfunktion (wenn diese im Sinne des Dirichlet– Kriteriums glatt genug ist) und tun dies sogar wesentlich ”gleichmäßiger”. Speziell ist das Gibbs’sche Phänomen verschwunden. Hier S_{2·n−1}(x) zusammen mit L_{2·n−1}(x) für n = 5:

Die Erklärung beruht auf folgendem Resultat:

Satz 1.51: (Fourier–Approximationen mit Sigma–Faktoren)

Die Einführung der Sigma–Faktoren entspricht einer Mittelung der Fourier–Approximationen über eine Periode \frac{2·π}{n} des höchstfrequenten Anteils:

L_{n}(x) = \frac{n}{2 · π} · ∫− \frac{π}{n}^{\frac{π}{n}} S_{n}(x + ξ) dξ.

Beweis: Mit

\frac{n}{2 · π} · ∫− \frac{π}{n}^{\frac{π}{n}} e^{i·k·(x+ξ)} dξ = \frac{n · sin(\frac{k·π}{n})}{k · π} · e^{i·k·x} = σ_{k}^{(n)} · e^{i·k·x}

folgt

\frac{n}{2 · π} · ∫− \frac{π}{n}^{\frac{π}{n}} S_{n}(x + ξ) dξ = \frac{n}{2 · π} · ∫− \frac{π}{n}^{\frac{π}{n}} ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k·(x+ξ)} dξ

= ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · \frac{n}{2 · π} · ∫− \frac{π}{n}^{\frac{π}{n}} e^{i·k·(x+ξ)} dξ = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · σ_{k}^{(n)} · e^{i·k·x} = L_{n}(x).

Q.E.D.

1.3.6 Diskrete Fourier–Transformation (DFT)

Eine explizite Darstellung der Fourier–Koeffizienten für ein (kompliziertes) realistisches Signal wird nur in seltenen Fällen möglich sein. Im Folgenden sollen die Fourier–Koeffizienten daher numerisch approximiert werden. Wir stellen uns die auf [−π, π] gegebene Ausgangsfunktion f wieder als 2 · π–periodisch fortgesetzt vor und verschieben die Integration in der Definition der Fourier–Koeffizienten vom Intervall [−π, π] auf das Intervall [0, 2 · π] (dies hat lediglich schreibtechnische Gründe: die folgenden Formeln werden etwas kompakter):

c_{k} = \frac{1}{2 · π} · ∫_{0}^{2·π} f(x) · e^{−i·k·x} dx.

Das Integral ist der Grenzwert einer Riemann–Summe und soll nun durch eine entsprechende Summe approximiert werden. Dazu wird das Intervall [0, 2 · π] mittels der Stützpunkte x_{j} = 2 · π/N in N gleichlange Teilintervalle [x_{j}, x_{j+1}] der Länge 2 · π/N zerlegt (j = 0, …, N − 1). In jedem Teilintervall wird der Integrand durch den Wert des Integranden am linken Intervallende angenähert. Dies liefert die Riemann–Summe

c_{k} ≈ d_{k} := \frac{1}{2 · π} · \frac{2 · π}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f(x_{j}) · e^{−i·k·x_{j}} = \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f(x_{j}) · e^{−i·k·j·2·π/N}.

als numerische Approximationen der Fourier–Koeffizienten c_{k}. Man nennt diese Werte d_{k} die ”diskreten Fourier–Koeffizienten”. Im Gegensatz zu den c_{k}, die mit wachsendem |k| eine Nullfolge bilden, gilt für sie offensichtlich die Periodizität

d_{k+N} = d_{k} , k ∈ ℤ ,

sodass lediglich N dieser Werte numerisch auszuwerten sind. Als Repräsentanten betrachten wir im Folgenden nur noch die Werte d_{0}, …, d_{N−1}. Die diskreten Fourier–Koeffizienten sind durch N Funktionswerte f(x_{j}) an den äquidistanten Stützpunkten x_{j} = j · 2 · π/N mit j = 0, …, N − 1 definiert. Da die d_{k} Linearkombinationen von f_{j} = f(x_{j}) sind, kann die Transformation (f_{0}, …, f_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} → (d_{0}, …, d_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} als lineare Abbildung des ℂ^{N} auf sich selbst aufgefaßt werden:

Definition 1.52: (\underline{D}iskrete \underline{F}ourier-\underline{T}ransformation (DFT))

Die Abbildung eines Datensatzes (f_{0}, …, f_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} auf die ”diskreten Fourier–Koeffizienten”

d_{k} = \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f_{j} · e^{−i·j·k·2·π/N} , k = 0, …, N − 1

heißt diskrete Fourier–Transformation.

Für Anwendungen ist es wichtig, sich die Zuordnung der diskreten Koeffizienten zu den wirklichen Fourier–Daten vor Augen zu halten, denn für ”großes” |k| wird d_{k} wegen der Periodizität d_{k} = d_{N+k} keine vernünftige Approximation von c_{k} sein (Bild 1.1):

d_{k} c_{k} k = −N  k = 0  k = N

Bild 1.1: Fourier– und diskrete Fourier–Koeffizienten.

Bemerkung 1.53: In vielen technischen Anwendungen ist die Interpretation des Indexes k als ”tiefe” oder ”hohe Frequenz” wichtig. d.h., die Interpretation als Approximation der kontinuierlichen Fourier–Koeffizienten c_{k}. Es gilt: Für Daten (f_{0}, …, f_{N−1}), die einer äquidistanten Zerlegung einer Funktion f(x) entstammen, sind die diskreten Fourier–Koeffizienten d_{k} für |k| ≪ N Approximationen der Fourier–Koeffizienten c_{k}. Für die Repräsentanten d_{0}, …, d_{N−1} gilt wegen der Periodizität d_{N+k} = d_{k} damit

\begin{aligned}c_{k} & ≈ & d_{k} & für 0 ≤ k ≪ N, \\ c_{−k} & ≈ & d_{N−k} & für 1 ≤ k ≪ N. \end{aligned}

Merke: Die diskreten Koeffizienten d_{N−1}, d_{N−2}, … sind als Approximationen der ”niederfrequenten” Fourier–Koeffizienten c_{−1}, c_{−2}, … anzusehen.

Wenngleich man sich rechentechnisch auf die Repräsentanten d_{0}, …, d_{N−1} konzentriert, sollte man in physikalischen Interpretationen die Repräsentanten d_{k} von k ≈ −N/2 bis k ≈ N/2 betrachten, welche als Approximationen der kontinuierlichen c_{k} angesehen werden können.

Bemerkung 1.54: Der Fall reeller Daten f_{0}, …, f_{N−1} wird offensichtlich durch die Beziehung d_{N−k} = \overline{d}_{k} charakterisiert:

\overline{d_{k}} = \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f_{j} · \overline{e^{−i·j·k·2·π/N}} = \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f_{j} · e^{i·j·k·2·π/N} = d_{−k} = d_{N−k}.

Die Rekonstruierbarkeit des Datensatzes (f_{0}, …, f_{N−1}) aus den diskreten Fourier–Koeffizienten (d_{0}, …, d_{N−1}) ist ausgesprochen einfach:

Satz 1.55: (Diskrete Fourier–Rücktransformation)

Die Daten (f_{0}, …, f_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} lassen sich durch

f_{j} = ∑_{k=0}^{N−1} d_{k} · e^{i·j·k·2·π/N} , j = 0, …, N − 1

aus ihren diskreten Fourier–Koeffizienten (d_{0}, …, d_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} zurückgewinnen.

Beweis: In Matrixschreibweise handelt es sich bei der DFT um eine einfache Multiplikation

( d_{0} ; ⋮ ; d_{N−1} ) = \frac{1}{N} · \overline{V} ( f_{0} ; ⋮ ; f_{N−1} )

mit der von den Potenzen 1, \overline{ω}, …, \overline{ω}^{N−1} der komplexen Einheitswurzel \overline{ω} = e^{−i·2·π/N} erzeugten symmetrischen Vandermondeschen Matrix

\overline{V} = ( \overline{ω}^{kj} )_{{k=0..N−1 \atop j=0..N−1}} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & … & 1 \\ 1 & \overline{ω} & \overline{ω}^{2} & … & \overline{ω}^{N−1} \\ 1 & \overline{ω}^{2} & \overline{ω}^{4} & … & \overline{ω}^{2·(N−1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & \overline{ω}^{N−1} & \overline{ω}^{2·(N−1)} & … & \overline{ω}^{(N−1)^{2}} \end{matrix} ) .

Die Transformation ist leicht invertierbar, denn \overline{V} stellt sich als bis auf Skalierung unitär heraus: die Inverse V ist die durch Potenzen von ω = e^{i·2·π/N} = \overline{ω}^{−1} erzeugte Vandermondesche Matrix:

( \frac{1}{N} · \overline{V} )^{−1} = V = ( ω^{j·k})_{{j=0..N−1 \atop k=0..N−1}} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & … & 1 \\ 1 & ω & ω^{2} & … & ω^{N−1} \\ 1 & ω^{2} & ω^{4} & … & ω^{2·(N−1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & ω^{N−1} & ω^{2·(N−1)} & … & ω^{(N−1)^{2}} \end{matrix} ) .

Wie durch die Bezeichnungen schon angedeutet, entsteht \overline{V} durch komplexe Konjugation aus V. Zur Invertierung betrachte man die Spalten

e⃗_{k} = ( 1, ω^{k}, ω^{2·k}, …, ω^{(N−1)·k})^{T} , k = 0, …, N − 1

von V, die bezüglich des üblichen komplexen euklidischen Skalarproduktes ⟨a⃗, b⃗⟩ = ∑ \overline{a_{j}} · b_{j} orthogonal sind:

⟨e⃗_{k_{1}}, e⃗_{k_{2}}⟩ = ∑_{j=0}^{N−1} \overline{ω}^{k_{1}·j}ω^{j·k_{2}} = ∑_{j=0}^{N−1} (ω^{(k_{2}−k_{1})})^{j} = \{ \begin{matrix}N & für k_{1} = k_{2} \\ 0 & für k_{1} ≠ k_{2} . \end{matrix}

Hierbei ergibt sich der zweite Fall über die geometrische Reihe

∑_{j=0}^{N−1} (ω^{(k_{2}−k_{1})})^{j} = \frac{ω^{(k_{2}−k_{1})·N} − 1}{ω^{(k_{2}−k_{1})} − 1} = \frac{e^{i·(k_{2}−k_{1})·2·π} − 1}{e^{i·(k_{2}−k_{1})·2·π/N} − 1} = 0 ,

wobei der Nenner für keinen der Werte k_{1} ≠ k_{2} ∈ {0, …, N − 1} verschwindet. Mit (\overline{V} · V)_{k_{1}k_{2}} = ⟨e⃗_{k_{1}}, e⃗_{k_{2}}⟩ = N · δ_{k_{1}k_{2}} folgt hieraus sofort \overline{V} · V = N · I 1 .

Q.E.D.

1.3.7 Schnelle Fourier–Transformation (FFT)

↓15.11.02

Die wesentliche numerische Problemstellung ist die effektive Durchführung der diskreten Fourier–Transformation aus Definition 1.52 bzw. der Rücktransformation aus Satz 1.55. Da es sich in beiden Fällen um eine einfache Matrix/Vektormultiplikation handelt, besteht der Rechenaufwand bei einer ”naiven” Auswertung der Summen aus O(N^{2}) Operationen, wo N die Anzahl der zu transformierenden Daten ist. Eine überaus wichtige Beobachtung ist, dass man die spezielle Form dieser Summen ausnutzen kann, die Berechnung von O(N^{2}) Elementaroperationen auf O(N ·log_{2}(N)) zu reduzieren. Die Klasse von Verfahren, die N Fourier–Daten mit einem Aufwand von O(N · log_{2}(N)) berechnen, wird im Englischen als \underline{Fast Fourier Transform (FFT)} bezeichnet. Der prinzipielle Gedanke ist sehr einfach und basiert auf der Beobachtung, dass für gerades N = 2 · m die diskrete Fourier–Transformation der Daten (f_{0}, f_{1}, …, f_{2·m−1}) leicht aus den Transformierten der halbierten Datensätze (f_{0}, f_{2}, …, f_{2·m−2}) und (f_{1}, f_{3}, …, f_{2m−1}) mit geraden bzw. ungeraden Indizes aufgebaut werden kann:

Satz 1.56: (Synthese diskreter Fourier–Koeffizienten aus halben Datensätzen)

Es seien d_{k}^{(f_{0},f_{2},...,f_{2·m−2})} und d_{k}^{(f_{1},f_{3},...,f_{2·m−1})} die diskreten Fourier– Koeffizienten der Datensätze (f_{0}, f_{2}, …, f_{2·m−2}) und (f_{1}, f_{3}, …, f_{2·m−1}) der Länge m. Dann ergeben sich die diskreten Fourier–Koeffizienten d_{k} = d_{k}^{(f_{0},f_{1},...,f_{2·m−1})} des vollständigen Datensatzes der Länge 2 · m durch

\begin{aligned}d_{k} & = & \frac{1}{2} · ( d_{k}^{(f_{0},f_{2},...,f_{2·m−2})} + e^{−i·k·π/m} · d_{k}^{(f_{1},f_{3},...,f_{2·m−1})} ) \\ d_{m+k} & = & \frac{1}{2} · ( d_{k}^{(f_{0},f_{2},...,f_{2·m−2})} − e^{−i·k·π/m} · d_{k}^{(f_{1},f_{3},...,f_{2·m−1})} ) \end{aligned}

mit k = 0, …, m − 1.

Beweis: In der die Koeffizienten d_{k}^{[2·m]} definierenden Summe werden die geraden und ungeraden Indizes getrennt:

d_{k} = \frac{1}{2 · m} · ( ∑_{{j=0 \atop j gerade}}^{2·m−2}f_{j} · e^{−i·j·k·2·π/(2·m)} + ∑_{j=1 ; j ungerade}^{2·m−1}f_{j} · e^{−i·j·k·2·π/(2·m)})

= \frac{1}{2 · m} · (∑_{p=0}^{m−1} f_{2·p} · e^{−i·2·p·k·2·π/(2·m)} + ∑_{p=0}^{m−1} f_{2·p+1} · e^{−i·(2·p+1)·k·2·π/(2·m)})

= \frac{1}{2 · m} · (∑_{p=0}^{m−1} f_{2·p} · e^{−i·p·k·2·π/m} + ∑_{p=0}^{m−1} f_{2·p+1} · e^{−i·p·k·2·π/m} · e^{−i·k·π/m}) .

Mit der Umbenennung p → j erhält man

d_{k} = \frac{1}{2} · ( \underbrace{\frac{1}{m} · ∑_{j=0}^{m−1} f_{2·j} · e^{−i·j·k·2·π/m}}_{d_{k}^{(f_{0},f_{2},...,f_{2·m−2})}} + \underbrace{e^{−i·k·π/m} · \frac{1}{m} · ∑_{j=0}^{m−1} f_{2·j+1} · e^{−i·j·k·2·π/m}}_{d_{k}^{(f_{1},f_{3},...,f_{2·m−1})}} ),

wobei k = 0, …, 2 · m − 1. Offensichtlich treten hierbei die diskreten Fourier– Koeffizienten der halbierten Datensätze auf. Da für sie der Frequenzindex nur von 0 bis m − 1 laufen sollte, kann auch die durch Verschiebung k → m + k entstehende Variante betrachtet werden, für die sich lediglich das Vorzeichen der zweiten Summe ändert:

d_{m+k} = \frac{1}{2} · (\frac{1}{m} · ∑_{j=0}^{m−1} f_{2·j} · e^{−i·j·k·2·π/m} − e^{−i·k·π/m} \frac{1}{m} · ∑_{j=0}^{m−1} f_{2·j+1} · e^{−i·j·k·2·π/m}).

Mit k = 0, …, m − 1 erhält man so alle Fourier–Koeffizienten des vollständigen Datensatzes.

Q.E.D.

Der dramatische Effekt dieser Zurückführung einer Transformation auf zwei Transformationen der halben Länge wird schnell klar. Als Kosten rechnen wir zur Vereinfachung nur die Anzahl der auszuführenden Multiplikation (es sind jeweils ähnlich viele Additionen auszuführen). Die Berechnung der Exponentialfaktoren wird vernachlässigt: man kann sie z.B. für gegebenes N im Vorfeld berechnen und abspeichern. Führt man die Transformation der halbierten Daten jeweils ”naiv” mit den Kosten (N/2)^{2} durch, so ergibt sich insgesamt eine Kostenreduktion

Kosten(N) = 2 · Kosten(\frac{N}{2} ) + N = \frac{N^{2}}{2} + N

auf ungefähr die Hälfte der Ausgangskosten N^{2} für die ”naive” Berechnung der Gesamttransformation. (In der ”Synthese” der halbierten Fourier–Daten fallen noch einmal N Multiplikationen mit den Faktoren e^{−i·k·π/(N/2)} an, deren Berechnung hier nicht mitgezählt wird.)

Das in Satz 1.56 beschriebene ”divide and conquer”–Prinzip reduziert den Rechenaufwand auf etwa die Hälfte. Natürlich wird man, wenn möglich, durch fortgesetztes Halbieren die Transformation auf möglichst kleine Datenlängen zurückführen. Für N = 2^{n} kann die Berechnung auf diese Weise bis auf die Transformation von Datensätzen der Länge 1 reduziert werden, welche trivial ist (der diskrete Fourier–Koeffizient stimmt mit dem Funktionswert überein). Der Aufwand besteht dann lediglich aus der rekursiven Synthese dieser Daten zu den Fourier–Koeffizienten der gewünschten Länge.

Die einfachste Möglichkeit der Implementierung ist eine rekursiv arbeitende Prozedur, die einen Datensatz der Länge N = 2^{n} zerlegt, sich dann zweimal selbst mit den halbierten Datensätzen aufruft und die Synthese der zurückgelieferten Fourier–Koeffizienten durchführt. Offensichtlich ist der FFT-Algorithmus auf diese Weise in wenigen Zeilen zu programmieren:

Rekursive FFT–Implementation 1.57:

Für ein Datenfeld der Länge N = 2^{n}:

       FFT := procedure(N, [f[0], f[1], . . ., f[N-1]])
       local D, D1, D2, k, t;
       begin
           if N = 1 then return([f[0]]) end;
           D1 := FFT(N/2, [f[0], f[2], f[4], . . ., f[N-2]]);
           D2 := FFT(N/2, [f[1], f[3], f[5], . . ., f[N-1]]);
           for k from 0 to N/2 - 1 do

t := e^{−i∗k∗2∗π/N} * D2[k];

             D[  k  ] := (D1[k] + t)/2;
             D[N/2+k] := (D1[k] - t)/2;
           end;
           return([D[0], D[1], . . . , D[N-1]]);
       end;

Aufwand der FFT 1.58:

Die DFT eines Datensatzes der Länge N = 2^{n} läßt sich per FFT mit O(N · log_{2}(N)) Elementaroperationen durchführen.

Beweis: Nach den Vorüberlegungen benötigt die Synthese 1.56 der DFTen zweier Datensätze der jeweiligen Länge m zum Gesamtdatensatz der Länge 2 · m nur 2 · m Multiplikationen (und ebenso viele Additionen). Da der Datensatz der Länge N = 2^{n} in n Schritten rekursiv bis zu Datensätzen der Länge 1 aufgespalten werden kann, fallen nur die Synthese–Kosten an. Im r-ten rekursiven Zerlegungsschritt liegen 2^{r} Datensätze der jeweiligen Länge 2^{n−r} vor, die jeweils mit dem Aufwand 2^{n−r+1} paarweise zu synthetisieren sind. Mit 2^{r−1} zu synthetisierenden Pärchen im r-ten Schritt ergibt sich der Gesamtaufwand zu

∑_{r=1}^{n} 2^{r−1} · 2^{n−r+1} = ∑_{r=1}^{n} 2^{n} = n · 2^{n} = log_{2}(N) · N.

Q.E.D.

1.3.8 Technische Durchführung der FFT

(Dieser Abschnitt ist nur der Vollständigkeit halber sehr detailliert in dieses Skript aufgenommen worden. In der Vorlesung werden die technischen Details nur sehr grob angedeutet).

Wenngleich die rekursive Implementation 1.57 der Synthese 1.56 für Daten der Länge N = 2^{n} extrem einfach ist, ist es allgemein ratsam, iterative Berechnungen einer rekursiven Implementierung vorzuziehen. In der Tat ist dies hier leicht möglich, wobei auch der benötigte Speicherplatzbedarf optimiert wird. In der folgenden Diskussion der technischen Details wird zunächst der Halbierungsmechanismus genauer untersucht. Als Beispiel betrachte man den Fall N = 2^{3}, in dem die Daten f_{0}, …, f_{7} rekursiv in Pakete halber Länge zerlegt werden:

[f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{5}, f_{5}, f_{6}, f_{7}]
↙ ↘
[f_{0}, f_{2}, f_{4}, f_{6}]  [f_{1}, f_{3}, f_{5}, f_{7}]
↙ ↘  ↙ ↘
[f_{0}, f_{4}]  [f_{2}, f_{6}]  [f_{1}, f_{5}]  [f_{3}, f_{7}]
↙ ↘  ↙ ↘  ↙ ↘  ↙ ↘
[f_{0}]  [f_{4}]  [f_{2}]  [f_{6}]  [f_{1}]  [f_{5}] [f_{3}]  [f_{7}]

Aus der trivialen diskreten Fourier–Transformation der Länge 1 ergeben sich in der letzten Zeile die Koeffizienten d_{0}^{[j]} = f_{j}, die dann von unten nach oben über die Syntheseregel zusammenzubauen sind:

[d_{0}^{[01...7]}, d_{1}^{[01...7]}, d_{2}^{[01...7]}, d_{3}^{[01...7]}, d_{4}^{[01...7]}, d_{5}^{[01...7]}, d_{6}^{[01...7]}, d_{7}^{[01...7]}]
↗ ↖
[d_{0}^{[0246]}, d_{1}^{[0246]}, d_{2}^{[0246]}, d_{3}^{[0246]}]  [d_{0}^{[1357]}, d_{1}^{[1357]}, d_{2}^{[1357]}, d_{3}^{[1357]}]
↗ ↖  ↗ ↖
[d_{0}^{[04]}, d_{1}^{[04]}]  [d_{0}^{[26]}, d_{1}^{[26]}]  [d_{0}^{[15]}, d_{1}^{[15]}]  [d_{0}^{[37]}, d_{1}^{[37]}]
↗ ↖  ↗ ↖  ↗ ↖  ↗ ↖
[d_{0}^{[0]}] [d_{0}^{[4]}] [d_{0}^{[2]}] [d_{0}^{[6]}] [d_{0}^{[1]}] [d_{0}^{[5]}] [d_{0}^{[3]}] [d_{0}^{[7]}]

Hierbei entspricht jeder durch [ ] zusammengefaßte Block den Fourier– Koeffizienten der entsprechenden Teildaten von f_{0}, …, f_{7}, z.B. stellt [d_{0}^{[0246]}, …, d_{3}^{[0246]}] die Fourier–Daten von [f_{0}, f_{2}, f_{4}, f_{6}] dar.

Allgemein sei nun ein in ein Array F^{[n]} = F^{[n]}(0) = [f_{0}, …, f_{N−1}] eingeordneter Datensatz mit N = 2^{n} gegeben. Im ersten Halbierungsschritt werden zwei Teilarrays F^{[n−1]}(0) = [f_{0}, f_{2}, …, f_{N−2}] und F^{[n−1]}(1) = [f_{1}, f_{3}, …, f_{N−1}] gebildet, die zusammen das Array

F^{[n−1]} = [F^{[n−1]}(0), F^{[n−1]}(1)] = [f_{0}, f_{2}, …, f_{N−2}, f_{1}, f_{3}, …, f_{N−1}]

der Länge N ergeben. Nach m Halbierungsschritten sind 2^{m} Teilarrays F^{[n−m]}(0), …, F^{[n−m]}(2^{m} − 1) der Länge 2^{n−m} entstanden, die zum gesamten Datenfeld F^{[n−m]} zusammengefaßt werden:

F^{[n]} :  F^{[n]}(0) = [f_{0}, f_{1}, …, f_{N−1}]
↙ ↘
F^{[n−1]} : F^{[n−1]}(0) F^{[n−1]}(1)
↙ ↘  ↙ ↘
F^{[n−2]} :  F^{[n−2]}(0)  F^{[n−2]}(1)  F^{[n−2]}(2)  F^{[n−2]}(3)
↙ ↘  ↙ ↘  ↙ ↘  ↙ ↘
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
↙ ↘  ↙ ↘
F^{[0]} : F^{[0]}(0)  …  …  …  …  …  …  F^{[0]}(N − 1)

Für die Aufteilung im m.ten Halbierungsschritt gilt nach Konstruktion

F_{k}^{[n−m]}(j) = \{ \begin{matrix}F_{k/2}^{[n−m−1]}(2 · j) & für gerades k \\ F_{(k−1)/2}^{[n−m−1]}(2 · j + 1) & für ungerades k \end{matrix}  (1.1)

mit k = 0, 1, .., 2^{n−m} − 1 und j = 0, .., 2^{m} − 1 . Hierbei ist F_{k}^{[n−m]}(j) das k.te Element des Teilarrays F^{[n−m]}(j), wobei die Plätze mit Null beginnend gezählt werden.

Nach m = n Schritten hat man N = 2^{n} Datensätze F^{[0]}(j) der Länge 1 (j = 0, .., 2^{n} − 1). Offensichtlich ist die ursprüngliche Reihenfolge f_{0}, f_{1}, … der Ausgangsdaten durch den Halbierungsmechanismus verändert worden. Diese Permutation ist zu bestimmen.

Definition 1.59: (bit-reverse)

Zu n ∈ {1, 2, … } sei ∑_{k=0}^{n−1} b_{k} ·2^{k} die eindeutige Binärdarstellung einer Zahl

in M_{n} = {0, 1, …, 2^{n}−1} mit Binärziffern (”bits”) b_{k} ∈ {0, 1}. Die durch

σ_{n} : ∑_{k=0}^{n−1} b_{k} · 2^{k} → ∑_{k=0}^{n−1} b_{n−1−k} · 2^{k}

definierte Abbildung von M_{n} nach M_{n} heißt bit-reverse.

Die Namensgebung zeigt die Wirkung von σ_{n} an: die Reihenfolge der Binärziffern wird umgedreht. Folgende Eigenschaften sind leicht zu zeigen:

\begin{aligned}a) & σ_{n}(j) & = & σ_{n+1}(2 · j) , & j = 0, …, 2^{n} − 1, \\ b) & σ_{n}(j) + 2^{n} & = & σ_{n+1}(2 · j + 1) , & j = 0, …, 2^{n} − 1, \\ c) & σ_{n}(j + 2^{k}) & = & σ_{n}(j) + 2^{n−k−1} , & \begin{matrix}k = 0, 1, …, n − 1, \\ j = 0, 1, …, 2^{k} − 1. \end{matrix} \end{aligned}

Mit c) läßt sich das zu n gehörende bit-reverse leicht durch die folgende Rekursion auf dem Rechner ermitteln und in einem Array σ_{n}[j] = σ_{n}(j), j = 0, …, 2^{n} − 1, speichern:

σ_{n}[0] := 0 ;
for k := 0 to n − 1 do
for j := 0 to 2^{k} − 1 do σ_{n}[j + 2^{k}] := σ_{n}[j] + 2^{n−k−1} ;

Hierbei werden durch die j-Schleife die Plätze 2^{k}, …, 2^{k+1} − 1 korrekt belegt, sodass zuletzt der bit-reverse für alle Argumente 0, …, 2^{n} − 1 berechnet ist. Hierzu werden N − 1 = 2^{n} − 1 Additionen ganzer Zahlen benötigt, was verglichen mit dem Gesamtaufwand O(N ·log_{2}(N)) des FFT-Algorithmus akzeptabel ist. Allerdings wird bei dieser Vorgehensweise viel Speicherplatz belegt (genauso viele ganzzahlige Variable wie Daten f_{0}, …, f_{N−1}). In einigen Programmierumgebungen können die binären bits der internen Zahlendarstellung angesprochen und manipuliert werden, sodass sich durch Vertauschung der bit-Reihenfolge ein direkter und effektiver Zugang zum bit-reverse bietet.

Mit Hilfe dieser Permutationen läßt sich die Belegung der nach m Halbierungsschritten entstandenen Teilarrays beschreiben:

Hilfssatz 1.60:

Für die durch (1.1) aus F^{[n]}(0) = [f_{0}, f_{1}, …, f_{2^{n}−1}] entstehenden Teilarrays gilt

F_{k}^{[n−m]}(j) = f_{k·2^{m}+σ_{m}(j)} , k = 0, …, 2^{n−m} − 1 , j = 0, …, 2^{m} − 1 .

Beweis: Induktion nach m. Wegen σ_{0}(0) = 0 ist der Induktionsbeginn m = 0 trivial, da nach Definition F_{k}^{[n]}(0) = f_{k} gilt. Für den Induktionsschritt m → m + 1 ist die Zerlegungsvorschrift (1.1) zu verifizieren, d.h., es ist

f_{k·2^{m}+σ_{m}(j)} = \{ \begin{matrix}f_{k·2^{m}+σ_{m+1}(2·j)} & für gerades k \\ f_{(k−1)·2^{m}+σ_{m+1}(2·j+1)} & für ungerades k \end{matrix}

zu überprüfen. Dies ist mit den oben angegebenen Eigenschaften a) σ_{m}(j) = σ_{m+1}(2 · j) und b) σ_{m+1}(2 · j + 1) = σ_{m}(j) + 2^{m} aber garantiert.

Q.E.D.

Damit ist die gesuchte Reihenfolge der Ausgangsdaten nach m Halbierungsschritten gefunden: die zuletzt erzeugten Arrays der Länge 1 sind jeweils mit dem Datum F^{[0]}(j) = [f_{σ_{n}(j)}] belegt.

Die Zwischenschritte der Zerlegung brauchen in der praktischen Anwendung natürlich nicht ausgeführt zu werden, da die zuletzt vorliegende Permutation über den bit-reverse identifiziert worden ist. Die Eingabedaten [f_{0}, …, f_{N−1}] werden gemäß dieser Permutation in ein Array D^{[0]} eingelesen, d.h., man setzt formal

D^{[0]} = F^{[0]} = [f_{σ_{n}(0)}, f_{σ_{n}(1)}, …, f_{σ_{n}(n−1)}] .

Da für einen Datensatz der Länge 1 der Fourier–Koeffizient mit diesem Datum übereinstimmt, kann man sich D^{[0]} aufgebaut denken als

D^{[0]} = [D^{[0]}(0), D^{[0]}(1), …, D^{[0]}(N − 1)] ,

wobei D^{[0]}(j) = F^{[0]}(j) = [f_{σ_{n}(j)}] als Fourier–Koeffizient von [f_{σ_{n}(j)}] zu interpretieren ist. Nun können über das Syntheseprinzip aus Satz 1.56 rekursiv die Transformierten von Datensätzen der Länge 2, dann der Länge 4 usw. aufgebaut werden, bis sich zuletzt die gesuchten diskreten Fourier–Koeffizienten der Gesamtdaten F^{[n]} ergeben.

Wie im Übersichtsschema in Tafel 1.1 angedeutet ist, können zu jedem der in der vorherigen Zerlegung konstruierten Teildatensätze F^{[n−m]}(j) die entsprechenden Fourier–Koeffizienten D^{[n−m]}(j) betrachtet werden, welche in einem Gesamtarray D^{[n−m]} zusammengefaßt werden:

\begin{matrix}D_{j·2^{n−m}+k}^{[n−m]} = D_{k}^{[n−m]}(j) \\ k = 0, 1, .., 2^{n−m} − 1 , j = 0, 1, .., 2^{m} − 1 . \end{matrix}  (1.2)

Durch die mit Satz 1.56 gegebene Regel über das Zusammensetzen von Fourier– Koeffizienten aus halben Datensätzen lassen sich über D^{[n−m−1]}(2 · j) und D^{[n−m−1]}(2·j +1) die Fourier–Koeffizienten D^{[n−m]}(j) berechnen, d.h., das Gesamtarray D^{n−m} ergibt sich rekursiv aus D^{[n−m−1]}. Im Detail liefert Satz 1.56 mit r = n − m

\begin{aligned}D_{k}^{[r]}(j) & = & \frac{1}{2} ( D_{k}^{[r−1]}(2 · j) + e^{−i·k·2·π/2^{r}} D_{k}^{[r−1]}(2 · j + 1) ) \\ D_{2^{r−1}+k}^{[r]}(j) & = & \frac{1}{2} ( D_{k}^{[r−1]}(2 · j) − e^{−i·k·2·π/2^{r}} D_{k}^{[r−1]}(2 · j + 1) ) \end{aligned}

Eingabe: F^{[n]} = [f_{0}, f_{1}, …, f_{2^{n}−1}]  \binom{DFT}{⟶}  Ausgabe: D^{[n]} = [d_{0}, d_{1}, …, d_{2^{n}−1}]
↓  ↑
F^{[n]}(0)  \binom{DFT}{⟶}  D^{[n]}(0)
↙  ↘  ↗  ↖
F^{[n−1]}(0)  F^{[n−1]}(1)  \binom{DFT}{⟶}  D^{[n−1]}(0)  D^{[n−1]}(1)
↙ ↘  ↙ ↘  ↗ ↖  ↗ ↖
F^{[n−2]}(0) F^{[n−2]}(1) F^{[n−2]}(2) F^{[n−2]}(3)  \binom{DFT}{⟶}  D^{[n−2]}(0) D^{[n−2]}(1) D^{[n−2]}(2) D^{[n−2]}(3)
↙ ↘  ↙ ↘  ↙ ↘  ↙ ↘  ↗ ↖  ↗ ↖  ↗ ↖  ↗ ↖

⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
↙ ↘  ↙ ↘  ↗ ↖  ↗ ↖

F^{[0]}(0) F^{[0]}(1)  …  F^{[0]}(2^{n} − 2) F^{[0]}(2^{n} − 1) DFT ; ⟶ ; (trivial)  D^{[0]}(0) D^{[0]}(1)  …  D^{[0]}(2^{n} − 2) D^{[0]}(2^{n} − 1)
∥  ∥  ∥  ∥  ∥  ∥  ∥  ∥
[f_{σ_{n}(0)}] [f_{σ_{n}(1)}]  …  [f_{σ_{n}(2^{n}−2)}] [f_{σ_{n}(2^{n}−1)}]  [f_{σ_{n}(0)}] [f_{σ_{n}(1)}]  …  [f_{σ_{n}(2^{n}−2)}] [f_{σ_{n}(2^{n}−1)}]

Tafel 1.1: Übersichtsschema zum FFT-Algorithmus mit k = 0, …, 2^{r−1} − 1 und j = 0, …, 2^{n−r} − 1 . Diese Daten sind alle im Array D^{[r−1]} bzw. D^{[r]} der Länge N = 2^{n} gespeichert, für das sich mit der Belegung (1.2) die Rekursion D^{[r−1]} → D^{[r]} ergibt:

\begin{aligned}D_{j·2^{r}+k}^{[r]} & = & \frac{1}{2} · (D_{j·2^{r}+k}^{[r−1]} + e^{−i·k·2·π/2^{r}} · D_{j·2^{r}+2^{r−1}+k}^{[r−1]}) \\ D_{j·2^{r}+2^{r−1}+k}^{[r]} & = & \frac{1}{2} · (D_{j·2^{r}+k}^{[r−1]} − e^{−i·k·2·π/2^{r}} · D_{j·2^{r}+2^{r−1}+k}^{[r−1]}) \end{aligned}

r = 1, …, n , k = 0, …, 2^{r−1} − 1 , j = 0, …, 2^{n−r} − 1 .

Man beachte, dass bei gegebenem r die Speicherplätze j·2^{r}+k und j·2^{r}+2^{r−1}+k durch genau ein Indexpaar (j, k) addressiert werden. Damit werden die an diesen Stellen in D^{[r−1]} gespeicherten Werte nur zur Berechnung dieser Stellen in D^{[r]} benötigt, sodass die Komponenten von D^{[r−1]} paarweise überschrieben werden können. Die Rekursion kann damit auf einem einzigen Array ausgeführt werden, und es ergibt sich die in Tafel 1.2 angegebene Implementierung des FFT-Algorithmus. Das Array D wird dabei mit den über den bit-reverse σ_{n} permutierten Eingangsdaten initialisiert, wobei die n-fache Multiplikation mit dem Faktor 1/2 in der Rekursion durch die Multiplikation mit 1/2^{n} erledigt wird.

Mit

d_{k} = \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f_{j} · e^{−i·j·k·2·π/N} , f_{j} = ∑_{k=0}^{N−1} d_{k} · e^{i·j·k·2·π/N}

ist die Rücktransformation von den diskreten Fourier–Koeffizienten auf die Ausgangsdaten mit dem selben Algorithmus durchzuführen, lediglich die Division durch 2^{n} = N in der Initialisierung ist fortzulassen und das Vorzeichen in der e-Funktion ist zu ändern.

Ignoriert man Initialisierung und Indexberechnung, so sind im angegebenen Verfahren n · 2^{n−1} Multiplikationen und n · 2^{n} Additionen auszuführen. Hinzu kommen die Auswertungen aller N.ten komplexen Einheitswurzeln (Potenzen von e^{−i·2·π/N} ). Mit n = log_{2}(N) ergibt sich der Rechenaufwand O(N · log_{2}(N)) . Zusammenfassung 1.61:

Die diskreten Fourier–Koeffizienten zu N Daten lassen sich aus denen kleinerer Datensätze bestimmen, wodurch ihre Berechnung beschleunigt wird. Speziell kann der Rechenaufwand sowohl bei der Bestimmung der Fourier– Daten als auch bei der Rücktransformation für N = 2^{n} auf O(N ·log_{2}(N)) reduziert werden. Dieser FFT-Algorithmus kann sehr leicht rekursiv oder (besser) iterativ unter Optimierung des benötigten Speicherplatzes implementiert werden.

Fast Fourier Transform für ein Datenfeld der Länge 2^{n}

Eingabe: F = [f_{0}, f_{1}, …, f_{2^{n}−1}] (reeller oder komplexer Datensatz) Ausgabe: D = [d_{0}, d_{1}, …, d_{2^{n}−1}] (diskrete Fourier–Koeffizienten)

FFT := procedure ( n, F ) ;

begin

for k := 0 to 2^{n} − 1 do D[k] := \frac{1}{2^{n}} · F [σ_{n}(k)] ; (∗ Initialisierung ∗) (∗ σ_{n} = bit-reverse ∗)

for r := 1 to n do begin

for k := 0 to 2^{r−1} − 1 do begin for j := 0 to 2^{n−r} − 1 do begin

t := e^{−i·k·2·π/2^{r}} · D[j · 2^{r} + 2^{r−1} + k] ; D[j · 2^{r} + 2^{r−1} + k] := D[j · 2^{r} + k] − t ;

D[j · 2^{r} + k] := D[j · 2^{r} + k] + t ;

end ; end ; end ; return(D) ;

end ;

Tafel 1.2: Algorithmus ”FFT” (Schnelle Fourier–Transformation)

1.3.9 Beliebige Perioden

↓20.11.02

Bislang hatten wir die Fourier–Zerlegung von auf [−π, π] gegebenen Funktionen betrachtet, die man sich als 2 · π–periodisch fortgesetzt vorstellen sollte. Die Einschränkung auf das Standardintervall [−π, π] geschah dabei lediglich aus schreibtechnischen Gründen, da alle Formeln hierfür besonders einfach werden.

Wir betrachten nun ein beliebiges Intervall [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}], auf dem eine L–periodische Funktion f(x) = f(x+L) gegeben ist. In Analogie zur Definition 1.25 betrachtet man das Orthogonalsystem

\{e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}\}_{k∈ℤ},

die entsprechenden Fourier–Koeffizienten

c_{k} = \frac{⟨e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}, f⟩}{⟨e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}, e^{i·k \frac{2·π}{L} ··x}⟩} = \frac{1}{L} · ∫− \frac{L}{2}^{\frac{L}{2}} f(x) · e^{−i·k· \frac{2·π}{L} ·x} dx

und die entsprechenden Fourier–Approximationen

S_{n}(x) = ∑_{k=−n}^{n} c_{k} · e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}.

Diese Definitionen lassen sich folgendermassen interpretieren: Zu f : [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] → ℂ betrachte die Funktion g : [−π, π] → ℂ, die durch eine Transformation x → \frac{L}{2·π} · x aus f entsteht:

g(x) = f(\frac{L}{2 · π} · x), f(x) = g(\frac{2 · π}{L} · x).

Diese Funktion ist 2 · π–periodisch:

g(x + 2 · π) = f(\frac{L}{2 · π} · (x + 2 · π)) = f(\frac{L}{2 · π} · x + L) = f(\frac{L}{2 · π} · x) = g(x).

Zerlegt man g den vorangegangenen Kapiteln gemäß in eine Fourier–Reihe über dem Grundintervall [−π, π], so ergeben sich nach Rücktransformation auf das Intervall [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] die obigen Darstellungen der Fourier–Koeffizienten und Fourier– Approximationen für f.

Damit ist unmittelbar klar, dass alle Strukturaussagen (Vollständigkeit bzgl. der L_{2}–Norm, punktweise Konvergenz bei Dirichlet–Bedingungen, Gibbssches Phänomen etc.) auch für allgemeine Perioden gelten.

Die zugeordneten diskreten Fourier–Koeffizienten ergeben sich wiederum durch eine äquidistante Zerlegung des Intervalls [0, L] mittels der Stützstellen x_{j} = \frac{j·L}{N}:

d_{k} = \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f(x_{j}) · e^{−i·k· \frac{2·π}{L} ·x_{j}} = \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f(x_{j}) · e^{−i·k·j·2·π/N}.

Setzt man f_{j} = f(x_{j}), so ist die unterliegende Periode L gar nicht mehr sichtbar, d.h., die Theorie der DFT als Transformation eines Datensatzes (f_{0}, f_{1}, …, f_{N−1}), der in Anwendungen durch äquidistantes ”Sampling” über eine Periode einer Funktion entsteht, bleibt unverändert erhalten.

1.3.10 Mehrdimensionale Fourier–Transformation

Die vorgestellte numerische Fourier–Transformation für ”eindimensionale” Datensätze ist sehr einfach auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern, wobei lediglich mehrere der bereits diskutierten Transformationen hintereinanderzuschalten sind. Dies soll für den Fall einer doppelt periodischen Funktion f : ℝ^{2} → ℂ mit

f(x_{1} + L_{1}, x_{2}) = f(x_{1}, x_{2}) = f(x_{1}, x_{2} + L_{2})

demonstriert werden. Ihr wird die Fourier–Reihe

f(x_{1}, x_{2}) ∼ ∑_{k_{1}=−∞}^{∞} ∑_{k_{2}=−∞}^{∞} c_{k_{1}k_{2}} · e^{i·k_{1}·2·π x_{1}/L_{1}} · e^{i·k_{2}·2·π x_{2}/L_{2}}

mit den Fourier–Koeffizienten

c_{k_{1}k_{2}} = \frac{1}{L_{1} · L_{2}} · ∫_{0}^{L_{1}} ∫_{0}^{L_{2}} f(x_{1}, x_{2}) · e^{−i·k_{1}·2·π·x_{1}/L_{1}} · e^{−i·k_{2}·2·π·x_{2}/L_{2}} dx_{1} dx_{2}

zugeordnet. Für hinreichend glattes f kann wiederum gezeigt werden, dass die Funktion punktweise durch diese Reihe dargestellt wird. Approximiert man das Integral durch Riemann–Summen über dem rechteckigen Gitter

\begin{matrix}x_{1j_{1}} = j_{1} · \frac{L_{1}}{N_{1}} , j_{1} = 0, …, N_{1} − 1 \\ x_{2j_{2}} = j_{2} · \frac{L_{2}}{N_{2}} , j_{2} = 0, …, N_{2} − 1 , \end{matrix}

so ergeben sich analog zu Abschnitt 1.3.6 mit f_{j_{1}j_{2}} = f(x_{1j_{1}}, x_{2j_{2}}) die diskreten Fourier–Koeffizienten

d_{k_{1}k_{2}} = \frac{1}{N_{1} · N_{2}} · ∑_{j_{1}=0}^{N_{1}−1} ∑_{j_{2}=0}^{N_{2}−1} f_{j_{1}j_{2}} · e^{−i·j_{1}·k_{1}·2·π/N_{1}} · e^{−i·j_{2}·k_{2}·2·π/N_{2}}

als Approximationen von c_{k_{1}k_{2}}. Für sie gilt die Periodizität

d_{k_{1}+N_{1},k_{2}} = d_{k_{1},k_{2}} = d_{k_{1},k_{2}+N_{2}} .

Die Transformation der Daten

{ f_{j_{1},j_{2}} ; j_{1} = 0, …, N_{1} − 1 , j_{2} = 0, …, N_{2} − 1 }

auf die Repräsentanten

{ d_{k_{1},k_{2}} ; k_{1} = 0, …, N_{1} − 1 , k_{2} = 0, …, N_{2} − 1 }

wird als ”zweidimensionale diskrete Fourier–Transformation” ℂ^{N_{1}·N_{2}} → ℂ^{N_{1}·N_{2}} bezeichnet. Es ist leicht zu verifizieren, dass die Rücktransformation durch

f_{j_{1}j_{2}} = ∑_{k_{1}=0}^{N_{1}−1} ∑_{k_{2}=0}^{N_{2}−1} d_{k_{1}k_{2}} · e^{i·j_{1}·k_{1}·2·π/N_{1}} · e^{i·j_{2}·k_{2}·2·π/N_{2}}

gegeben ist. Diese Transformationen sind Hintereinanderschaltungen von ”eindimensionalen” Abbildungen. Führt man nämlich zuerst für jedes j_{2} ∈ {0, …, N_{2} − 1} die diskrete Fourier–Transformation

g_{k_{1}j_{2}} = \frac{1}{N_{1}} · ∑_{j_{1}=0}^{N_{1}−1} f_{j_{1}j_{2}} · e^{−i·j_{1}·k_{1}·2·π/N_{1}}

der Länge N_{1} bezüglich des ersten Indexes durch, so ergeben sich dann für jedes gegebene k_{1} ∈ {0, …, N_{1} − 1} die gesuchten Fourier–Koeffizienten durch die Transformation der Länge N_{2} bezüglich des zweiten Indexes:

d_{k_{1}k_{2}} = \frac{1}{N_{2}} · ∑_{j_{2}=0}^{N_{2}−1} g_{k_{1}j_{2}} · e^{−i·j_{2}·k_{2}·2·π/N_{2}} .

Stellt man sich die Ausgangsdaten in einer N_{1} × N_{2}–Matrix angeordnet vor, so werden zunächst alle Spalten

(f_{j_{1}j_{2}})_{{j_{1}=0,...,N_{1}−1 \atop j_{2}=0,...,N_{2}−1}} = ( \begin{matrix}f_{0,0} & f_{0,1} & & f_{0,N_{2}−1} \\ f_{1,0} & f_{0,1} & & f_{1,N_{2}−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ f_{N_{1}−1,0} & f_{N_{1}−,1} & & f_{N_{1}−1,N_{2}−1} \end{matrix} )

transformiert, die sich so ergebende Zwischenmatrix wird dann zeilenweise

(g_{k_{1}j_{2}})_{{k_{1}=0,...,N_{1}−1 \atop j_{2}=0,...,N_{2}−1}} = ( g_{0,0}  g_{0,1} … g_{0,N_{2}−1} ; g_{1,0}  g_{1,1} … g_{1,N_{2}−1} ; ⋮ ; g_{N_{1}−1,0} g_{N_{1}−1,1} … g_{N_{1}−1,N_{2}−1} )

zur Matrix der Fourier–Koeffizienten verarbeitet. Der in Abschnitt 1.3.7 besprochene FFT-Algorithmus ist damit im Fall N_{1} = 2^{n_{1}} und N_{2} = 2^{n_{2}} unmittelbar anwendbar. Der Aufwand der eindimensionalen Rechnung besteht bis auf eine multiplikative Konstante aus jeweils N_{1}·log_{2}(N_{1}) bzw. N_{2}·log_{2}(N_{2}) Operationen pro Spalte bzw. Zeile. Damit ergeben sich insgesamt

N_{2} · N_{1} · log_{2}(N_{1}) + N_{1} · N_{2} · log_{2}(N_{2}) = N_{1} · N_{2} · log_{2}(N_{1} · N_{2})

Operationen für die gesamte Rechnung, sodass der Aufwand wieder O(N · log_{2}(N)) ist, wo N = N_{1} · N_{2} die Gesamtzahl aller zu transformierenden Daten ist.

Diese Überlegungen lassen sich offensichtlich unmittelbar auf die numerische Behandlung der p-dimensionalen Fourier–Transformation einer Funktion f : ℝ^{p} → ℂ verallgemeinern.

1.3.11 Einige Anwendungen

Einige einfache Anwendungen der Fourier–Technik sollen kurz vorgestellt werden, aus denen der praktische Nutzen der schnellen Fourier–Transformation klar hervorgeht.

Digitales Filtern

Ein in der Datenübertragung häufig auftretendes Problem ist das Vermischen unterschiedlicher Signale (z.B. zur gemeinsamen Verschickung auf einem einzelnen Übertragungskanal), welche dann wieder zu trennen sind. Eine typische Vorgehensweise ist dabei, die einzelnen Signale verschiedenen Frequenzbereichen zuzuordnen und sie dadurch im Fourier–Raum zu trennen. Dies bedeutet, dass die Fourier–Daten jeweils um unterschiedliche Grundfrequenzen lokalisiert sind, sodass sich die Signale durch einen sogenannten Filterprozess trennen lassen. Hierbei werden von der Fourier–Transformierten nur Frequenzen in einem gewissen Bereich berücksichtigt, alle anderen Frequenzen werden abgeschwächt oder ganz abgeschnitten. Dieser durch geeignete elektronische Schaltungen leicht analog durchführbare Prozess ist in moderner Technologie im wesentlichen auf digitale Daten anzuwenden.

Als Beispiel zur Trennung zweier verschiedenartiger Signale sei das Problem gegeben, ein durch eine Störung (Rauschen) verschmutztes Nutzsignal aufzubessern. Dieses liegt im in Bild 1.2 dargestellten Beispiel als diskreter zweidimensionaler Datensatz vor, der z.B. als Grau- oder Farbwertverteilung eines Bildes mit 2^{5} × 2^{5} Rasterpunkten vorstellbar ist. Der Betrag der diskreten Fourier–Koeffizienten ist in diesem Beispiel über dem Frequenzbereich k_{1}, k_{2} = −16, …, 15 aufgetragen, sodass niedrige Frequenzen in der Mitte des Diagramms zu finden sind. Die wesentliche Charakterisierung des Nutzsignals im Fourier–Raum besteht offensichtlich darin, dass das Bild von nur wenigen niederfrequenten Anteilen bestimmt wird. In den darunter stehenden Bildern ist eine Störung überlagert, welche hier durch zufällig zum Nutzsignal hinzuaddierte Werte erzeugt wurde. Im Fourier–Raum ist die Energie dieses Rauschens über einen wesentlich größeren Frequenzbereich verteilt. Die hier gewählte Rauschamplitude ist doppelt so groß wie die des eigentlichen Nutzsignals, welches dementsprechend nach der Störung kaum noch erkennbar ist. In den Fourier–Daten treten jedoch noch deutlich die niederfrequenten Spitzen des ungestörten Bildes in Erscheinung. Es wird ein einfacher Filterprozess angewendet: für niedrige Frequenzen k_{1}, k_{2} werden die diskreten Fourier– Koeffizienten beibehalten, oberhalb einer Grenzfrequenz K werden sie nach dem Kriterium max(|k_{1}|, |k_{2}|) > K auf Null gesetzt (Tiefpaßfilterung). Aus dem so abgeänderten Datensatz wird durch Fourier–Rücktransformation eine geglättete Version des gestörten Ausgangssignals berechnet. Der Filterprozess ist durch die Grenzfrequenz K charakterisiert. Für zwei Werte von K sind die sich ergebenden Glättungen eingezeichnet.

In ähnlicher Weise lassen sich Feinstrukturen innerhalb eines Datensatzes/Bildes hervorheben, welche im wesentlichen den hochfrequenten Fourier–Anteilen

Nutzsignal  |d_{k}| \underrightarrow{DFT} verrauschtes Nutzsignal  |d_{k}| \underrightarrow{DFT}  ↓ Filterung 1 Glättung 1  |d_{k}| \underleftarrow{inverse DFT}  ↓ Filterung 2 Glättung 2  |d_{k}| \underleftarrow{inverse DFT}

Bild 1.2: Tiefpaßfilterung eines Bildes. entsprechen. Durch Hochpaßfilterung (d.h., dem Abschwächen oder Abschneiden niederfrequenter Fourier–Koeffizienten) lassen sich im ursprünglichen Bild schwer erkennbare Details verstärken.

Im Zusammenhang der Bildverarbeitung wird der Rechenzeitgewinn durch die Anwendung des FFT-Algorithmus sehr deutlich. Zerlegt man ein Bild in etwa 1000 × 1000 Rasterpunkte, was in Anwendungen realistisch sein dürfte, so ergeben sich N = 10^{6} zu transformierende Daten. Mit N ·log_{2}(N) ≈ 20×10^{6} braucht eine FFT–Berechnung nur Sekundenbruchteile, während eine Auswertung der Fourier–Koeffizienten durch naives Aufsummieren mit N^{2} = 10^{12} Operationen nicht in akzeptabler Zeit ausführbar wäre.

Datenkompression

Ein notorisches Problem bei der Bearbeitung von Bilddaten ist der enorme Speicherbedarf, wenn die Farb- oder Grauwerte eines jeden Rasterpunktes abgespeichert werden. Da die Rasterdaten im Fourier–Raum über alle Frequenzen verteilt sind, können einige der Fourier–Koeffizienten vernachlässigt werden, ohne dass es im ursprünglichen Bildraum zu störenden lokalen Effekten kommt. Dies bietet die Möglichkeit, statt der ursprünglichen Bilddaten die Fourier– Transformierte abzuspeichern, wobei nur ein Teil der Fourier–Koeffizienten benötigt wird. Bild 1.3 zeigt das schon in Bild 1.2 als Nutzsignal betrachtete Datenfeld, das in diesem Zusammenhang als Farb- oder Grauwertverteilung eines Bildes anzusehen ist. Von den diskreten Fourier–Koeffizienten wurden alle bis auf die betragsmäßig größten 2% vernachlässigt, die durch inverse DFT aus den verbleibenden Daten berechnete Approximation des Bildes ist unter dem Original abgebildet. In diesem Fall wurde bei geringem Verlust der Bildqualität 98% des Speicherplatzes eingespart.

Schnelle Faltung

Zahlreiche Anwendungen der Fourier–Transformation beruhen auf der Tatsache, dass sich die sogenannte Faltung von Funktionen im Fourier–Raum wesentlich schneller durchführen läßt. Für diskrete Daten werden dazu die Produkte ⊙ und ⊗ : ℂ^{N} × ℂ^{N} → ℂ^{N} eingeführt:

Definition 1.62:

Original Rekonstruktion aus 2%

der Fourier–Daten

Bild 1.3: Rekonstruktion eines komprimierten Bildes.

Für f⃗ = (f_{0}, f_{1}, …, f_{N−1})^{T} , g⃗ = (g_{0}, g_{1}, …, g_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} werden die Multiplikationen

(f⃗⊙ g⃗)_{j} = f_{j} · g_{j} (”punktweises Produkt”)

(f⃗⊗ g⃗)_{j} = ∑_{k=0}^{N−1} f_{(j−k) mod N} · g_{k} (”Faltung”)

definiert.

In der Faltung werden die Indizes modulo N betrachtet und dadurch auf den Wertebereich 0, …, N − 1 eingeschränkt. Dies simuliert die periodische Fortsetzung der Daten zu Folgen der Form …, f_{N−1}, f_{0}, …, f_{N−1}, f_{0}, …, wie sie in natürlicher Weise bei der Auswertung periodischer Funktionen entstehen. Beide Produkte sind kommutativ (d.h., f⃗⊙ g⃗ = g⃗ ⊙ f⃗ und f⃗⊗ g⃗ = g⃗ ⊗ f⃗), was für das punktweise Produkt offensichtlich ist und für die Faltung aus einer einfachen Umsummierung folgt.

Faltungsoperationen tauchen z.B. bei der Multiplikation von Polynomen auf. Für zwei Polynome

f = ∑_{j=0}^{n} f_{j} · E^{j} , g = ∑_{j=0}^{m} g_{j} · E^{j}

in der Unbestimmten E ergibt sich das Produkt

f · g = ∑_{j=0}^{n+m} ( ∑_{k=0}^{j} f_{j−k} · g_{k} ) · E^{j} .

Die Polynome werden über ihre Koeffizienten dargestellt, die mit

f_{n+1} = … = f_{N−1} = g_{m+1} = … = g_{N−1} = 0

als Vektoren f⃗ = (f_{0}, …, f_{N−1})^{T} , g⃗ = (g_{0}, …, g_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} interpretiert werden. Hierbei wird ein beliebiges N > n + m gewählt, um auch die Koeffizienten des Produkts f ·g durch solch einen Vektor darstellen zu können. In diesem Fall gilt

(f⃗⊗ g⃗)_{j} = ∑_{k=0}^{N−1} f_{(j−k) mod N} · g_{k} = ∑_{k=0}^{j} f_{j−k} · g_{k} + ∑_{k=j+1}^{N−1} f_{N+j−k} · g_{k} ,

wobei die zweite Summe für alle j = 0, …, N − 1 verschwindet. Durch Einbettung in einen hinreichend hochdimensionalen Raum ℂ^{N} ergeben sich die Koeffizienten des Produktpolynoms also als Faltungsprodukt der Koeffizienten.

Offensichtlich benötigt eine Faltung N^{2} Multiplikationen und Additionen, während das punktweise Produkt mit nur N Multiplikationen wesentlich schneller auszuführen ist. Mittels der diskreten Fourier–Transformation DFT : ℂ^{N} → ℂ^{N} aus Definition 1.52 kann die Faltung jedoch auf ein punktweises Produkt im Fourier–Raum zurückgeführt werden:

Satz 1.63: (Faltungssatz)

Für f⃗ = (f_{0}, …, f_{N−1})^{T} , g⃗ = (g_{0}, …, g_{N−1})^{T} ∈ ℂ^{N} gilt

DFT(f⃗⊗ g⃗) = N · DFT(f⃗) ⊙ DFT(g⃗)

und

DFT(f⃗⊙ g⃗) = DFT(f⃗) ⊗ DFT(g⃗) .

Beweis: Die Komponenten von f⃗ seien durch f_{N+j} = f_{j} periodisch fortgesetzt. Durch Umsummierung j_{1} → j = j_{1} + j_{2} folgt unmittelbar

N (DFT(f⃗) ⊙ DFT(g⃗))_{k} = \frac{1}{N} · ∑_{j_{1}=0}^{N−1} ∑_{j_{2}=0}^{N−1} f_{j_{1}} · g_{j_{2}} · e^{−i·(j_{1}+j_{2})·k·2·π/N}

= \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} ( ∑_{j_{2}=0}^{N−1} f_{j−j_{2}} · g_{j_{2}} ) · e^{−i·j·k·2·π/N} ,

wobei der letzte Ausdruck die diskreten Fourier–Koeffizienten von f⃗⊗ g⃗ darstellt. Mit

∑_{k′=0}^{N−1} e^{i·(j−j′)·k′·2·π/N} = \{ \begin{matrix}N & für j = j′ mod N \\ 0 & für j ≠ j′ mod N \end{matrix}

folgt weiterhin

( DFT(f⃗) ⊗ DFT(g⃗) )_{k}

= \frac{1}{N^{2}} · ∑_{k′=0}^{N−1} ∑_{j=0}^{N−1} f_{j} · e^{−i·j·(k−k′)·2·π/N} · ∑_{j′=0}^{N−1} g_{j′} · e^{−i·j′·k′·2·π/N}

= \frac{1}{N^{2}} · ∑_{j,j′=0}^{N−1} f_{j} · g_{j′} · e^{−i·j·k·2·π/N} · \underbrace{( ∑_{k′=0}^{N−1} e^{i·(j−j′)·k′·2·π/N})}_{δ_{jj′}}

= \frac{1}{N} · ∑_{j=0}^{N−1} f_{j} · g_{j} · e^{−i j·k·2·π/N} = ( DFT(f⃗⊙ g⃗) )_{k} .

Q.E.D.

Eine schnelle Faltung läßt sich damit über

f⃗⊗ g⃗ = N · DFT^{−1} ( DFT(f⃗) ⊙ DFT(g⃗) )

oder auch in der Form

f⃗⊗ g⃗ = DFT ( DFT^{−1}(f⃗) ⊙ DFT^{−1}(g⃗) )

mit dem Aufwand O(N · log_{2}(N)) durchführen, wobei die diskrete Fourier– Transformation und ihre Inverse über den FFT-Algorithmus berechnet werden.

Selbst einfache Zahlenmultiplikationen sind Faltungen, denn in einer Darstellung bezüglich der Basis E läßt sich eine (ganze) Zahl als Polynom f = ∑ f_{j} ·E^{j} mit Ziffern f_{j} ∈ {0, 1, …, E − 1} auffassen. In einer nicht auf Hardware zurückgreifenden Langzahlarithmetik wird eine Zahl als Liste ihrer Ziffern gespeichert, ein Produkt läßt sich damit als Faltung von Listen schnell berechnen. Dabei werden in der Regel ”Ziffern” ∑ f_{j−k} · g_{k} erzeugt, die nicht mehr im zulässigen Bereich {0, …, E − 1} liegen. Solche Übertrage können jedoch leicht in der Laufzeit O(N) abgearbeitet werden, wo N die Ziffernlänge darstellt. Auf diese Art kann eine Softwaremultiplikation extrem langer Zahlen per FFT stark beschleunigt werden. Leider sind in der Fourier–Transformation Gleitpunktzahlen zu verwenden, deren Handhabung einen gegenüber ganzen Zahlen höheren Zeitaufwand braucht. Außerdem schleichen sich Darstellungsfehler ein, sodass die zuletzt berechneten Ziffern des Produktes wegen der Rundungsfehler nur approximativ ganze Zahlen sind. Die wirklichen Ziffern ergeben sich problemlos durch Rundung der Gleitpunktzahlen, solange diese Approximationen bis auf einen absoluten Fehler ≪ 1 berechnet werden.

1.4 Die Fourier–Integraltransformation

1.4.1 Motivation

Sei f : ℝ → ℂ eine glatte Funktion, die außerhalb eines Intervalls [−\frac{L_{0}}{2} , \frac{L_{0}}{2} ] identisch 0 ist. Wir betrachten L ≥ L_{0} und wollen den Grenzübergang L → ∞ der im Abschnitt 1.3.9 diskutierten Fourier–Entwicklungen über dem Intervall [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] mit den Fourier–Koeffizienten

c_{L,k} = \frac{1}{L} · ∫− \frac{L}{2}^{\frac{L}{2}} f(x) · e^{−i·k· \frac{2·π}{L} ·x} dx = \frac{1}{L} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k· \frac{2·π}{L} ·x} dx

und den entsprechenden Fourier–Reihen

f(x) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{L,k} · e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}

betrachten. Wir definieren dazu

f̂(κ) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·κ·x} dx.

Bei gegebenem L hängt die Funktion f̂(κ) an den diskreten Werten κ_{L,k} = k· \frac{2·π}{L} mit den Fourier–Koeffizienten über [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] zusammen:

f̂(k · \frac{2 · π}{L} ) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k· \frac{2·π}{L} ·x} dx = \frac{L}{\sqrt{2 · π}} · c_{L,k}.

Für ein gegebenes x ∈ ℝ gilt bei hinreichend glattem f für jedes L ≥ max(L_{0}, 2 · |x|) (also x ∈ [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}]), dass f(x) durch die Fourier–Reihe über [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] dargestellt wird, also

f(x) = ∑_{k=−∞}^{∞} c_{L,k} · e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x} = ∑_{k=−∞}^{∞} \frac{\sqrt{2 · π}}{L} · f̂(k · \frac{2 · π}{L} ) · e^{i·k· \frac{2·π}{L} ·x}

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∑_{k=−∞}^{∞} f̂(κ_{L,k}) · e^{i·κ_{L,k}·x} · \underbrace{\frac{2 · π}{L}}_{Δκ} .

Obige Gleichung gilt für jedes L ≥ L_{0} und bleibt damit im Grenzwert L → ∞ bestehen. In diesem Grenzwert wird aus der obigen Summe ein Integral. Für alle glatten Funktionen, die außerhalb eines Intervalls [−\frac{L_{0}}{2} , \frac{L_{0}}{2} ] verschwinden, gilt damit für alle x ∈ ℝ:

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f̂(κ) · e^{i·κ·x} dκ

mit der oben definierten Funktion f̂(k).

1.4.2 L_{1}–Theorie

Die Überlegungen des letzten Abschnitts motivieren die folgenden Definitionen, die für ”betragsintegrable Funktionen” sinnvoll sind, d.h., für Funktion im Raum

L_{1}(ℝ) = {f : ℝ → ℂ; ∫_{−∞}^{∞} |f(x)| dx < ∞} .

Vergleiche auch mit der Definition 1.35 von L_{1}([a, b]). Im Fall eines endlichen Intervalls ist eine Funktion in L_{1}, wenn sie keine ”zu starken” Singularitäten hat. Im Fall des unendlichen Intervalls [a, b] = ℝ kommt als zusätzliche Einschränkung hinzu, dass die Funktion hinreichend schnell im Unendlichen abfallen muss (speziell schneller als O(1/|x|) für x → ±∞), um integrierbar zu sein.

Definition 1.64: (Fourier–Integraltransformation)

a) Für f ∈ L_{1}(ℝ) heißt

f̂(k) = F[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k·x} dx

die ”Fourier–Transformierte” (”das Spektrum”, ”die Spektraldichte”) von f(x).

1.4. DIE FOURIER–INTEGRALTRANSFORMATION 65

b) Für f̂ ∈ L_{1}(ℝ) heißt

f(x) = F^{−1}[f̂](x) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f̂(k) · e^{i·k·x} dk

die ”Fourier–Rücktransformierte” von f̂(k).

Beispiel 1.65: Einige Beispiele:

a) Betrachte

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & für |x| ≤ L, \\ 0 & für |x| > L \end{matrix}

mit L ∈ (0, ∞):

F[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−L}^{L} e^{−i·k·x} dx = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · [\frac{e^{−i·k·x}}{−i · k} ]_{x=−L}^{x=L} = \frac{2}{\sqrt{2 · π}} · \frac{sin(k · L)}{k}.

b)

f(x) = \{ \begin{matrix}1 − \frac{|x|}{L} & für |x| ≤ L, \\ 0 & für |x| > L \end{matrix}

mit L ∈ (0, ∞):

F[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−L}^{L} (1 − \frac{|x|}{L}) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \frac{2 · (1 − cos(L · k))}{L · k^{2}} = \frac{4}{\sqrt{2 · π}} · \frac{sin^{2}(\frac{L·k}{2} )}{L · k^{2}}.

c) Betrachte

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x < 0, \\ e^{(k_{0}+i·k_{1})·x} & für x ≥ 0 \end{matrix}

mit k_{0} ∈ (−∞, 0), k_{1} ∈ ℝ:

F[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{0}^{∞} e^{(k_{0}+i·k_{1})·x} · e^{−i·k·x} dx

= [\frac{e^{(k_{0}+i·(k_{1}−k))·x}}{k_{0} + i · (k_{1} − k)}]_{x=0}^{x=∞} = \frac{−1}{k_{0} + i · (k_{1} − k)} = \frac{1}{i · k − (k_{0} + i · k_{1})}.

d) Betrachte f(x) = e^{−k_{0}·|x|} mit k_{0} ∈ (0, ∞):

F[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{0} e^{k_{0}·x} · e^{−i·k·x} dx + \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{0}^{∞} e^{−k_{0}·x} · e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ([\frac{e^{(k_{0}−i·k)·x}}{k_{0} − i · k} ]_{x=−∞}^{x=0} + [\frac{e^{(−k_{0}−i·k)·x}}{−k_{0} − i · k} ]_{x=0}^{x=∞}) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \frac{2 · k_{0}}{k_{0}^{2} + k^{2}} .

e) Betrachte f(x) = e^{−c·x^{2}} mit c ∈ (0, ∞):

F[f](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} e^{−c·x^{2}} · e^{−i·k·x} dx
=^{(y=\sqrt{c}·x)} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \frac{1}{\sqrt{c}} · ∫_{−∞}^{∞} e^{−y^{2}} · e^{−i·k·y/\sqrt{c}} dy
= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \frac{1}{\sqrt{c}} · ∫_{−∞}^{∞} e^{−(y+i·k/(2·\sqrt{c}))^{2}} · e^{−k^{2}/(4·c)} dy
= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \frac{1}{\sqrt{c}} · e^{−k^{2}/(4·c)} · \underbrace{∫_{−∞}^{∞} e^{−(y+i·k/(2·\sqrt{c}))^{2}} dy}_{=\sqrt{π}}

=^{(∗)}  \frac{e^{−k^{2}/(4·c)}}{\sqrt{2 · c}} .

Hierbei benutzen wir in (∗) den angegebenen Wert des Integrals ohne Beweis. Für c = 1/2 folgt die bemerkenswerte Eigenschaft

F[f](k) = f(k) für f(x) = e^{−x^{2}/2}.

Bemerkung 1.66: Fourier–Transformation ist eine ”glättende” Operation: die Transformation der unstetigen Funktionen a), c) und der an einigen Stellen nicht differenzierbaren Funktionen b), d) des letzten Beispiels sind jeweils glatte Funktionen.

Bemerkung 1.67: Für f ∈ L_{1}(ℝ) gilt

F[f](κ) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(ξ) · e^{−i·κ·ξ} dξ = F^{−1}[f](−κ),

d.h., Fourier–Transformation und Fourier–Rücktransformation sind bis auf Spiegelung des Arguments das selbe. Die folgenden Aussagen sind für die Fourier– Transformierte f̂ = F[f] einer L_{1}–Funktion f formuliert, gelten mit dieser Beobachtung aber analog auch für die Rücktransformierte F^{−1}[f̂] einer L_{1}–Funktion f̂.

Satz 1.68: (Eigenschaften von Fourier–Transformierten)

Sei f ∈ L_{1}(ℝ).

a) F[f] ist eine stetige Funktion.

b) F[f] ist beschränkt: |F[f](k)| ≤ \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} |f(x)| dx.

c) Riemann–Lebesgue–Lemma: lim_{k→±∞} F[f](k) = 0.

d) Skalierungssatz: F[f(λ · x)](k) = \frac{1}{|λ|} · F[f(x)](k/λ) für jedes λ ∈ ℝ. e) Die Fourier–Transformierte bestimmt eindeutig die Ausgangsfunkti-

on: Ist F[f] ≡ 0, so gilt fast überall f(x) = 0.

Beweis: Mit f̂ = F[f]: a)

|f̂(k) − f̂(k − ϵ)| = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · |∫_{−∞}^{∞} f(x) · (e^{−i·k·x} − e^{−i·(k−ϵ)·x}) dx|

≤ \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} |f(x)| · |e^{−i·k·x}| · |1 − e^{i·ϵ·x}| dx

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} |f(x)| · |1 − e^{i·ϵ·x}| dx.

Mit

lim_{ϵ→0} |1 − e^{i·ϵ·x}| = 0

folgt die Stetigkeit von f̂ aus dem ”Satz über die dominierte Konvergenz” der Lebesgueschen Integrationstheorie.

b) Ist leicht einzusehen:

|f̂(k)| = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · |∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k·x} dx| ≤ \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} |f(x)| · \underbrace{|e^{−i·k·x}|}_{=1} dx.

c) Analog zum Riemann–Lebesgue–Lemma 1.37.

d) Ist leicht einzusehen:

F[f(λ · x))](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(λ · x) · e^{−i·k·x} dx

=^{(y=λ·x)} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−sign(λ)·∞}^{sign(λ)·∞} f(y) · e^{−i·k·y/λ} dy

= \frac{sign(λ)}{λ} · \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(y) · e^{−i·(k/λ)·y} dy

= \frac{1}{|λ|} · F[f](\frac{k}{λ}).

e) Sehr technisch. Siehe z.B. Theorem 7 in K. Chandrasekharan, Classical Fourier Transforms, Springer (1989).

Q.E.D.

Der Name ”Rücktransformation” für F^{−1} wurde nicht versehentlich gewählt:

↓27.11.02

Satz 1.69: (Die Fourier–Rücktransformation)

Für f ∈ L_{1}(ℝ) sei f̂ = F[f] wieder eine L_{1}–Funktion. Dann gilt fast überall f(x) = F^{−1}[f̂](x). Ist f zusätzlich stetig, so gilt überall f(x) = F^{−1}[f̂](x).

Beweis: Sehr technisch. Siehe z.B. die Theoreme 11 und 11’ in K. Chandrasekharan, Classical Fourier Transforms, Springer (1989).

Q.E.D.

Bemerkung 1.70: Die Rekonstruierbarkeit von f aus der Fourier–Transformierten f̂ wird in Satz 1.69 nicht nur auf die absolute Integrierbarkeit von f, sondern auch noch zusätzlich auf die von f̂ zurückgeführt. Da nach Satz 1.68.a) zusammen mit Bemerkung 1.67 die Ausgangsfunktion f als Bild unter einer Fourier–Rücktransformation stetig sein muss, wenn f̂ absolut integrabel ist, folgt indirekt, dass die Fourier–Transformierte f̂ eines f ∈ L_{1}(ℝ) nicht wieder in L_{1} liegen kann, wenn f nicht fast überall mit einer stetigen Funktion übereinstimmt.

(Achtung: ein fast überall stetiges f braucht nicht fast überall mit einer stetigen Funktion übereinzustimmen: eine Funktion mit einer einzelnen Sprungunstetigkeit ist zwar fast überall stetig, aber es gibt keine Möglichkeit, f an dieser einzelnen Stelle so umzudefinieren, dass eine stetige Funktion entsteht. In diesem Fall gibt es also keine stetige Funktion, mit der f fast überall übereinstimmt.)

In der Tat haben die unstetigen Beispiele a) und c) in Beispiel 1.65 Fourier– Transformierte f̂, die nicht in L_{1}(ℝ) liegen, weil sie für k → ±∞ nur wie O(1/|k|) abfallen. Andererseits sollte sich jedes f ∈ L_{1}(ℝ) wegen der Eindeutigkeit 1.68.e) aus f̂ rekonstruieren lassen, auch wenn f̂ nicht in L_{1} liegt und damit F^{−1}[f̂] nicht definiert ist. Dazu beobachten wir, dass für eine L_{1}-Funktion f̂die Limites

lim_{R_{1}→−∞} lim_{R_{2}→∞} ∫_{R_{1}}^{R_{2}} |f̂(k) · e^{i·k·x}| dk [figure]

in R_{1} und R_{2} getrennt existieren müssen, wobei wegen der Betragszeichen der oszillierende Charakter von e^{i·k·x} gar nicht eingeht und die Existenz der Fourier–Rücktransformation nur durch das Abklingverhalten von |f̂(k)| für k → ±∞ bestimmt wird.

Es gibt jedoch viele Fälle von Fourier–Transformierten f̂(k), die zwar nicht in L_{1} liegen, für die aber der spezielle Grenzwert

lim_{R→∞} ∫_{−R}^{R} f̂(k) · e^{i·k·x} dk (#)

existiert (man beachte, dass hier keine Betragszeichen um den Integranden stehen). Der Unterschied zwischen der Existenz von ∫_{−∞}^{∞} |f̂(k)| dk und der Existenz des Grenzwertes (#) entspricht dem Unterschied zwischen der absoluten Konvergenz von Reihen (mit Beträgen unter der Summe) und der (üblichen) Konvergenz von Reihen (ohne Beträgen unter der Summe). In der Praxis hat man es sehr oft mit unstetigen Funktionen zu tun, deren Fourier–Transformierte typischerweise nur wie O(1/|k|) für k → ±∞ abfallen und damit keine L_{1}-Funktionen sind. Trotzdem existiert in der Regel die Umkehrtransformation im Sinne von (#), wobei die Konvergenz für Funktionen mit dem Abklingverhalten O(1/|k|) durch den oszillierenden Charakter von e^{i·k·x} bedingt wird.

Wir verallgemeinern daher den Begriff der Fourier–(Rück–)Transformation auf

F[f](k) = lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f(x) · e^{−i·k·x} dx,

F^{−1}[f̂](x) = lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f̂(k) · e^{i·k·x} dk,

die auch für Funktionen f, f̂ existieren können, die nicht in L_{1}(ℝ) gelten.

Der folgende Satz ist das Analogon des Satzes 1.39 und garantiert lokale Rücktransformierbarkeit für nicht allzu ”wilde” Funktionen:

Satz 1.71: (Das Dirichlet–Kriterium für Fourier–Integrale)

Sei f ∈ L_{1}(ℝ), sei f̂ = F[f] (wobei nicht notwendigerweise f̂ ∈ L_{1}(ℝ) zu gelten braucht). Gilt an einer Stelle x_{0} ∈ ℝ, dass sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert

f(x_{0} − 0) := lim_{{h→0 \atop h>0}} f(x_{0} − h) f(x_{0} + 0) := lim_{{h→0 \atop h>0}} f(x_{0} + h)

existiert und ebenfalls die links- und rechtsseitigen Ableitungen

lim_{{h→0 \atop h>0}} \frac{f(x_{0} − 0) − f(x_{0} − h)}{h},  lim_{{h→0 \atop h>0}} \frac{f(x_{0} + h) − f(x_{0} + 0)}{h},

so konvergiert die Fourier–Rücktransformation gegen den Mittelwert des links- und rechtsseitigen Grenzwerts:

lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f̂(k) · e^{i·k·x_{0}} dk = \frac{f(x_{0} − 0) + f(x_{0} + 0)}{2}.

Beweis: Wir etablieren zunächst das Analagon zu Satz 1.38, d.h., wir stellen die Rückkehrtransformation als Integral mit dem Analogon D_{R} des Dirichlet–Kerns D_{N} dar:

\frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f̂(k) · e^{i·k·x} dk = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−R}^{R} ∫_{−∞}^{∞} f(t) · e^{−i·k·t} dt · e^{i·k·x} dk

= ∫_{−∞}^{∞} (\frac{1}{2 · π} · ∫_{−R}^{R} e^{i·k·(x−t)} dk) · f(t) dt = ∫_{−∞}^{∞} D_{R}(x − t) · f(t) dt,

wobei

D_{R}(y) = \frac{1}{2 · π} · ∫_{−R}^{R} e^{i·k·y} dk = \{ \begin{matrix}\frac{sin(R · y)}{π · y} & für y ≠ 0, \\ \frac{R}{π} & für y = 0. \end{matrix}

Es gilt

∫_{−∞}^{∞} D_{R}(y) dy = 1.

Nun kann man genauso wie im Beweis von Satz 1.39 verfahren.

Q.E.D.

Es gilt das Analogon des Satzes 1.45:

Satz 1.72:

Für eine differenzierbare L_{1}-Funktion f mit absolut integrierbarer Ableitung f′ ∈ L_{1}(ℝ) gilt:

F[f′](k) = i · k · F[f](k).

Beweis: Da differenzierbare (und damit stetige) L_{1}-Funktionen im Unendlichen verschwinden müssen, folgt durch partielle Integration:

F[f′](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f′(x) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · [f(x) · e^{−i·k·x}]_{x=−∞}^{x=∞} − \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · (−i · k) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{i · k}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k·x} dx = i · k · F[f](k).

Q.E.D.

Diese Aussage ist leicht zu merken: stellt man sich die Funktion als Fourier– Rücktransformierte vor, so kann man die Differentiation unter dem Integral vornehmen und erhält die Ableitung als Fourier–Rücktransformierte von i · k · F[f](k):

\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f̂(k) · e^{i·k·x} dk

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f̂(k) · \frac{d}{dx} e^{i·k·x} dk = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} \underbrace{f̂(k) · (i · k)}_{F^{−1}[f′](k)} ·e^{i·k·x} dk.

Da eine Fourier–Rücktransformation bis auf Spiegelung der Argumente identisch zu einer Fourier–Transformation ist, gilt eine analoge Aussage für die Ableitung einer Fourier–Transformierten:

Satz 1.73:

Ist f in L_{1}(ℝ) und ist die Funktion x · f : x → x · f(x) ebenfalls in L_{1}(ℝ), so ist F[f] differenzierbar, und es gilt

\frac{d}{dk} F[f](k) = −i · F[x · f](k).

Beweis: Für den Beweis der Differenzierbarkeit braucht man wieder Lebesguesche Integrationstheorie. Siehe z.B. Theorem 3 in K. Chandrasekharan, Classical Fourier Transforms, Springer (1989). Setzt man die Differenzierbarkeit von F[f] voraus, ergibt sich die Ableitung elementar durch

\frac{d}{dk} F[f](k) = \frac{d}{dk} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞}f(x) · e^{−i·k·x} dx = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞}f(x) · \frac{d}{dk} e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞}(−i · x) · f(x) · e^{−i·k·x} dx = −i · F[x · f](k).

Q.E.D.

Es gilt das Analogon des Satzes 1.47:

↓29.11.02

Satz 1.74: (Abklingverhalten der Fourier–Transformierten)

Sind die Ableitungen einer p-fach differenzierbaren L_{1}–Funktion f jeweils in L_{1}(ℝ), so gilt für die Fourier–Transformierte

F[f](k) = o(\frac{1}{|k|^{p}} ).

Beweis: Genauso wie der Beweis des Satzes 1.47.

Q.E.D.

1.4.3 L_{2}–Theorie

Für die Physik (genauer, für die Quantenmechanik) sind die Funktionen im Raum

L_{2}(ℝ) = {f : ℝ → ℂ; ∫_{−∞}^{∞} |f(x)|^{2} dx < ∞}

von größtem Interesse. Über endlichen Intervallen gilt L_{2}([a, b]) ⊂ L_{1}([a, b]), was mit g ≡ f/|f| aus der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung

∥f∥_{1}^{2} = |⟨f, g⟩|^{2} ≤ ∥f∥_{2}^{2} · ∥g∥_{2}^{2} = ∥f∥_{2}^{2} · (b − a)

folgt (∥f∥_{2} < ∞ ⇒ ∥f∥_{1} < ∞). Damit sind auf \underline{endlichen Intervallen} die L_{2}– Funktionen ein Spezialfall der L_{1}–Funktionen. Über der gesamten reellen Achse gilt dies leider nicht mehr. Dies liegt daran, daß in L_{1}(ℝ) das Abklingverhalten o(1/|x|) für x → ±∞ als zusätzliche Bedingung an L_{1}–Funktionen hinzukommt. Beispielsweise fallen die Funktionen

f_{ϵ}(x) = \frac{1}{1 + |x|^{\frac{1}{2} +ϵ}}

für 0 < ϵ ≤ \frac{1}{2} im Unendlichen hinreichend schnell ab, um in L_{2}(ℝ) zu liegen, aber nicht schnell genug, um in L_{1}(ℝ) zu liegen.

Für Funktionen, die nicht in L_{1}(ℝ) liegen, hat man zunächst das Problem, dass das Integral

f̂(k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k·x} dx

im Lebesgue–Sinne gar nicht existiert. Aus diesem Dilemma kann man sich retten, indem man stattdessen (wie beim Riemann–Integral) den Grenzwert

f̂(k) = lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f(x) · e^{−i·k·x} dx

betrachtet. Dieser Zugang wurde von dem schweizer Mathematiker Michel Plancherel (1885–1967) benutzt, eine Fourier–Theorie über dem L_{2}(ℝ) aufzubauen. Wir wählen hier einen vereinfachten Zugang, indem wir L_{2}(ℝ) als Vervollständigung eines speziellen Raums glatter Funktionen bezüglich der L_{2}–Norm auffassen. Die betrachteten glatten Funktionen bilden den sogenannten ”Schwarz– Raum”:

Definition 1.75:

Der ”Schwarz–Raum”

S = {f : ℝ → ℂ; f ist ∞-oft differenzierbar und

lim_{x→±∞} x^{p} · f^{(q)}(x) = 0 ∀p, q ∈ ℕ_{0}}

besteht aus den glatten Funktionen, deren Ableitungen im Unendlichen stärker als jede rationale Funktion verschwinden. Die Schwarz–Funktionen f ∈ S werden auch als ”Testfunktionen” bezeichnet.

Bemerkung 1.76: Bei der Frage, ob die glatten Schwarz–Funktionen f ∈ S integrierbar sind, geht es nur um das Abklingverhalten im Unendlichen. Speziell fallen sie schneller ab als 1/|x| oder auch als 1/|x|^{2}. Damit sind sie absolut integrabel und auch absolut quadratintegrabel:

S ⊂ L_{1}(ℝ), S ⊂ L_{2}(ℝ).

Ebenso liegen alle Ableitungen einer Schwarz–Funktion sowohl in L_{1}(ℝ) als auch in L_{2}(ℝ), da sie im Unendlichen schnell abfallen. Wir können damit Satz 1.74 anwenden: die Fourier–Transformierten f̂(k) von Schwarz–Funktionen f(x) fallen im Unendlichen schneller ab als jede rationale Funktion der Frequenz k. Die Ableitung \frac{d}{dk} f̂(k) der Fourier–Transformierten einer Schwarz–Funktion f(x) ist nach Satz 1.73 i.W. (bis auf die multiplikative Konstante −i) die Transformierte von x · f(x). Da x · f(x) aber wiederum eine Schwarz–Funktion ist, gilt auch für \frac{d}{dk} f̂(k), dass sie im Unendlichen schneller als jede rationale Funktion der Frequenz k abfällt. Usw. Per Induktion erhält man, dass jede beliebige Ableitung \frac{d^{q}}{dk^{q}} f̂(k) die Eigenschaft hat, im Unendlichen schneller als jede rationale Funktion der Frequenz k abzufallen. Ergebnis:

Die Fourier–Transformierte einer Schwarz–Funktion ist wieder eine Schwarz–Funktion.

Der Schwarz–Raum S wird durch Fourier–Transformation also auf sich selbst abgebildet. Dasselbe gilt natürlich für die Fourier–Rücktransformation, die ja bis auf Spiegelung des Funktionsarguments eine Fourier–Transformation ist.

Hilfssatz 1.77: (Invertierbarkeit der Fourier–Transformation auf S) Für jede Schwarz–Funktion f ∈ S gilt f = F^{−1}[F[f]] = F[F^{−1}[f]].

Beweis: Als Schwarz–Funktion ist f eine stetige L_{1}-Funktion und läßt sich nach Satz 1.69 punktweise als Rücktransformierte ihrer Fourier–Transformierten schreiben.

Q.E.D.

Hilfssatz 1.78: (Das Plancherel–Theorem für S)

Für zwei Schwarz–Funktionen f, g ∈ S mit den Fourier–Transformierten f̂ = F[f], ĝ = F[g] gilt

⟨f, g⟩ = ∫_{−∞}^{∞} \overline{f(x)} · g(x) dx = ∫_{−∞}^{∞} \overline{f̂(k)} · ĝ(k) dk = ⟨f̂, ĝ⟩.

Für g = f folgt: ∥f∥_{2} = ∥f̂∥_{2}.

Beweis: Nach dem vorigen Hilfssatz 1.77 läßt sich f als Rücktransformierte ihrer Fourier–Transformierten schreiben:

∫_{−∞}^{∞} \overline{f(x)} · g(x) dx = ∫_{−∞}^{∞} (\overline{\frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f̂(k) · e^{i·k·x} dk}) · g(x) dx

= ∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \overline{f̂(k)} · e^{−i·k·x} · g(x) dk dx

= ∫_{−∞}^{∞} \overline{f̂(k)} · (\frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} e^{−i·k·x} · g(x) dx) dk

= ∫_{−∞}^{∞} \overline{f̂(k)} · ĝ(k) dk.

Q.E.D.

Als ein wesentliches technisches Zwischenresultat zitieren wir die Tatsache, dass sich die Funktionen in L_{2}(ℝ) nicht nur durch (allgemeine) stetige Funktionen über ℝ bezüglich der L_{2}–Norm approximieren lassen, sondern auch durch die speziellen Schwarz–Funktionen:

Lemma 1.79:

Der Schwarz–Raum S liegt ”dicht” in L_{2}(ℝ), d.h., zu f ∈ L_{2}(ℝ) gibt es zu jedem ϵ > 0 eine Funktion g ∈ S mit ∥f − g∥_{2} ≤ ϵ. Anders ausgedrückt: zu jedem f ∈ L_{2}(ℝ) existiert eine Folge (f_{n}) von Schwarz–Funktionen mit

lim_{n→∞} f_{n} = f (im L_{2}-Sinn), d.h., lim_{n→∞} ∥f_{n} − f∥_{2} = 0.

Beweis: Lebesguesche Integrationstheorie.

Nun können wir endlich die Fourier–Transformation auf L_{2}(ℝ) definieren:

Satz und Definition 1.80:

Sei f ∈ L_{2}(ℝ). Wähle eine gegen f konvergierende Folge (f_{n}) von Schwarz–Funktionen. Die Fourier–Transformierten f̂_{n} = F[f_{n}] konvergieren gegen ein f̂ ∈ L_{2}(ℝ). Dieser Grenzwert f̂ist unabhängig von der Wahl der gegen f konvergierenden Folge (f_{n}). Wir definieren die Fourier–Transformierte von f als dieses f̂.

Für f ∈ L_{2}(ℝ) ∩ L_{1}(ℝ) stimmt diese Fourier–Transformierte mit der aus Definition 1.64 überein.

Die Fourier–Rücktransformation einer Funktion f ∈ L_{2}(ℝ) wird analog als L_{2}–Grenzwert der Rücktransformierten von Schwarz–Approximationen von f definiert.

Beweis: Sei (f_{n}) eine beliebige gegen f konvergierende Folge von Schwarz– Funktionen. Wegen der Konvergenz ist (f_{n}) eine Cauchy–Folge. Mit Hilfssatz 1.78 bilden die Fourier–Transformierten f̂_{n} wieder eine Cauchy–Folge, denn

∥f̂_{n} − f̂_{m}∥_{2} = ∥{ \atop (f_{n} − f_{m})}∥_{2} = ∥f_{n} − f_{m}∥_{2}.

Da L_{2}(ℝ) vollständig ist, hat die Cauchy–Folge f̂_{n} einen Grenzwert f̂. Dieser ist unabhängig von der Wahl der Folge (f_{n}). Betrachte dazu eine weitere gegen f konvergierende Folge von Schwarz–Funktionen (g_{n}). Wegen des gemeinsamen Grenzwerts ist ∥f_{n} − g_{n}∥_{2} eine Nullfolge. Mit Hilfssatz 1.78 ist damit auch ∥f̂_{n} − ĝ_{n}∥_{2} eine Nullfolge, d.h., f̂_{n} und ĝ_{n} konvergieren gegen den selben L_{2}–Grenzwert f̂.

Betrachte f_{R} ∈ L_{2}(ℝ) ∩ L_{1}(ℝ) mit der Eigenschaft, dass f_{R}(x) = 0 für alle |x| > R gilt. Die L_{1}–Definition der Fourier–Transformierten ist:

f̂_{R}(k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} ·∫_{−∞}^{∞} f_{R}(x)·e^{−i·k·x} dx = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} ·∫_{−R}^{R} f_{R}(x)·e^{−i·k·x} dx. (#)

Wir vergleichen dies mit der L_{2}–Definition. Sei dazu (f_{Rn}) eine Folge von im L_{2}–Sinne gegen f_{R} konvergierende Schwarz–Funktionen, die alle ausserhalb des Intervalls [−R, R] verschwinden. Für ihre Fourier–Transformierten f̂_{Rn} gilt mit der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung (siehe Bemerkung 1.36):

|f̂_{R}(k) − f̂_{Rn}(k)| ≤^{(1.68.b)} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} |f_{R}(x) − f_{Rn}(x)| dx
= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} |f_{R}(x) − f_{Rn}(x)| dx

≤^{(1.36)} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \sqrt{2 · R · ∫_{−R}^{R} |f_{R}(x) − f_{Rn}(x)|^{2} dx}

≤ \begin{matrix}√ & \overline{R} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} · \sqrt{∫_{−∞}^{∞} |f_{R}(x) − f_{Rn}(x)|^{2} dx}

= \begin{matrix}√ & \overline{R} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} · ∥f_{R} − f_{Rn}∥_{2},

also lim_{n→∞} |f̂_{R}(k) − f̂_{Rn}(k)| = 0 (”gleichmäßig” in k) und damit

lim_{n→∞} ∥f̂_{R} − f̂_{Rn}∥_{2} = lim_{n→∞} ∫_{−∞}^{∞} |f̂_{R}(k) − f̂_{Rn}(k)|^{2} dk

= ∫_{−∞}^{∞} lim_{n→∞} |f̂_{R}(k) − f̂_{Rn}(k)|^{2} dk = 0.

Damit konvergieren die f̂_{Rn} im L_{2}–Sinne gegen die Fourier–Transformierte f̂_{R}, d.h., wir haben für f_{R} ∈ L_{1}(ℝ) ∩ L_{2}(R) gezeigt, dass die L_{1}–Definition (#) der Fourier–Transformierten mit der L_{2}–Definition übereinstimmt.

Sei nun ein beliebiges f ∈ L_{2}(ℝ) ∩ L_{1}(ℝ) gegeben. Wähle ein R > 0 und betrachte

f_{R}(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & für x ≤ R, \\ 0 & für x > R. \end{matrix}

Wie oben gezeigt wurde, ist die Fourier–Transformierte von f_{R} sowohl im L_{1}– als auch im L_{2}–Sinne durch die punktweise Definition

F[f_{R}](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f_{R}(x) · e^{−i·k·x} dx = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f(x) · e^{−i·k·x} dx

gegeben. Da im L_{2}–Sinne f_{R} → f für R → ∞, gilt gemäß der L_{2}–Definition der Fourier–Transformation:

F[f] = lim_{R→∞} F[f_{R}].

Dieser L_{2}–Limes bedeutet punktweise, dass für fast alle k ∈ ℝ gilt:

F[f](k) = lim_{R→∞} F[f_{R}](k) = lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f(x) · e^{−i·k·x} dx

= \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k·x} dx,

wobei das letzte Integral wegen f ∈ L_{1}(ℝ) für alle k ∈ ℝ existiert.

Q.E.D.

Bemerkung 1.81: Die obige Definition der Fourier–Transformation in L_{2}(ℝ) ist wenig konstruktiv. Grob gesprochen läuft die Transformation darauf hinaus, dass

F[f](k) = lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f(x) · e^{−i·k·x} dx

bzw.

F^{−1}[f̂](x) = lim_{R→∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−R}^{R} f̂(k) · e^{i·k·x} dk

für L_{2}–Funktionen f bzw. f̂ zwar nicht für jedes k bzw. x existieren muss, aber zumindestens ”fast überall”, d.h., für ”fast alle” k bzw. x. Dies liefert die explizite Konstruktion der Fourier–(Rück–)Transformierten.

Satz 1.82: (Invertierbarkeit der Fourier–Transformation auf L_{2}(ℝ)) Für jedes f ∈ L_{2}(ℝ) liegen F[f] und F^{−1}[f] wieder in L_{2}(ℝ), und es gilt

f = F^{−1}[F[f]] bzw. f = F[F^{−1}[f]].

Beweis: Nach Konstruktion von F bzw. F^{−1} gilt

lim_{n→∞} F[f_{n}] = F[ lim_{n→∞} f_{n}], lim_{n→∞} F^{−1}[f_{n}] = F^{−1}[ lim_{n→∞} f_{n}]

für jede in L_{2}(ℝ) konvergente Folge von Schwarz–Funktionen (f_{n}). Da Schwarz– Funktionen als glatte L_{1}–Funktionen durch die Rücktransformation punktweise dargestellt werden, also f_{n} = F^{−1}[F[f_{n}]] gilt, folgt

f = lim_{n→∞} f_{n} = F^{−1}[F[ lim_{n→∞} f_{n}]] = F^{−1}[F[f]]

mittels einer beliebigen gegen f konvergierenden Schwarz–Folge (f_{n}). Die Aussage f = F[F^{−1}[f]] folgt analog.

Q.E.D.

Die folgende Beziehung ∥f∥_{2} = ∥f̂∥_{2} ist das Analogon der Parsevalschen Gleichung 1.23 für Fourier–Reihen:

Satz 1.83: (Das Plancherel–Theorem für L_{2}(ℝ))

Für jedes f, g ∈ L_{2}(ℝ) mit den Fourier–Transformierten f̂ = F[f] ∈ L_{2}(ℝ) und ĝ = F[g] ∈ L_{2}(ℝ) gilt

⟨f, g⟩ = ⟨f̂, ĝ ⟩.

Mit g = f folgt ∥f∥_{2} = ∥f̂∥_{2}.

Beweis: Seien (f_{n}) bzw. (g_{n}) gegen f bzw. g konvergierende Schwarz–Folgen, so dass nach Definition 1.80 ihre Fourier–Transformierten (f̂_{n}) bzw. (ĝ_{n}) gegen f̂ bzw. ĝ konvergieren. Mit der Schwarzschen Ungleichung folgt

|⟨f, g⟩ − ⟨f_{n}, g_{n}⟩| = |⟨f − f_{n}, g⟩ + ⟨f_{n}, g − g_{n}⟩|
≤ |⟨f − f_{n}, g⟩| + |⟨f_{n}, g − g_{n}⟩|
≤ ∥f − f_{n}∥_{2} · ∥g∥_{2} + ∥f_{n}∥_{2} · ∥g − g_{n}∥_{2} → 0

für n → ∞. Also

lim_{n→∞}⟨f_{n}, g_{n}⟩ = ⟨f, g⟩

und analog mit den selben Argumenten

lim_{n→∞}⟨f̂_{n}, ĝ_{n}⟩ = ⟨f̂, ĝ⟩.

Nach Hilfssatz 1.78 gilt für die Schwarz–Funktionen aber ⟨f_{n}, g_{n}⟩ = ⟨f̂_{n}, ĝ_{n} ⟩, so dass die obigen Grenzwerte ⟨f, g⟩ und ⟨f̂, ĝ⟩ übereinstimmen müssen.

Q.E.D.

1.4.4 Distributionen und ihre Fourier–Transformation

Wir definieren die Fourier–Transformationen für eine noch grössere Klasse von Funktionen, den ”verallgemeinerten Funktionen”, auch ”Distributionen” genannt.

Definition 1.84: (Testfunktionen und Distributionen über S)

Eine ”Distribution” ist eine lineare Abbildung T : S → ℂ über dem Raum S der Testfunktion aus Definition 1.75.

Bemerkung 1.85: Man beachte S ⊂ L_{2}(ℝ). Damit definiert jede Funktion f ∈ L_{2}(ℝ) eine Distribution T_{f}, denn das Skalarprodukt

T_{f} : ψ ∈ D → ⟨f, ψ⟩

existiert für jedes ψ ∈ S ⊂ L_{2}(ℝ). Statt T_{f} benutzt man auch direkt das Symbol f für die Distribution, d.h., man interpretiert ein Element f des Hilbert–Raums als lineare Abbildung ψ → ⟨f, ψ⟩.

Es gibt aber auch Distributionen, die nicht von Funktionen in L_{2}(ℝ) erzeugt werden:

1.4. DIE FOURIER–INTEGRALTRANSFORMATION 79

Beispiel 1.86: a) Die Funktion f(x) = 1 ∀x ∈ ℝ erzeugt die Distribution

T_{f} : ψ ∈ S → ⟨1, ψ⟩ = ∫_{−∞}^{∞} ψ(x) dx.

Beachte: f ∉ L_{2}(ℝ).

b) Die Sprungfunktion

H(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x < 0, \\ 1 & für x ≥ 0 \end{matrix}

liegt ebenfalls nicht in L_{2}(ℝ), definiert aber die Distribution

T_{H} : ψ ∈ S → ⟨H, ψ⟩ = ∫_{0}^{∞} ψ(x) dx.

Die Funktion

sign(x) = 2 · H(x) − 1 = \{ \begin{matrix}−1 & für x < 0, \\ 1 & für x ≥ 0 \end{matrix}

definiert die Distribution

Tsign : ψ ∈ S → ⟨sign, ψ⟩ = − ∫_{−∞}^{0} ψ(x) dx + ∫_{0}^{∞} ψ(x) dx.

c) Die sogenannte ”Diracsche Delta–Distribution”

↓4.12.02
δ_{x_{0}} : ψ ∈ S → ψ(x_{0})

wird von keiner Funktion f : ℝ → ℂ mittels

⟨f, ψ⟩ = ∫_{−∞}^{∞} \overline{f(x)} · ψ(x) dx = ψ(x_{0}) ∀ψ ∈ S

erzeugt. (Es müsste f(x) = 0 gelten für alle x ≠ x_{0}. Für solch ein f würde aber ⟨f, ψ⟩ = 0 für alle ψ ∈ S gelten). Man stellt sich δ_{x_{0}} trotzdem als (”verallgemeinerte”) Funktion vor, die sogenannte ”Diracsche Delta–Funktion”

δ(x − x_{0}) = \{ \begin{matrix}0 & für x ≠ x_{0}, \\ ∞ & für x = x_{0}, \end{matrix}

die nur unter dem Integral

δ_{x_{0}}(ψ) = ∫_{−∞}^{∞} δ(x − x_{0}) · ψ(x) dx = ψ(x_{0})

sinnvoll zu interpretieren ist, mit der man aber formal wie mit einer Funktion rechnen kann.

Definition 1.87: (Die Fourier–Transformierte einer Distribution)

Als Fourier–Transformierte T̂ = F[T] einer Distribution T wird die Distribution

T̂ : ψ̂ ∈ S → T (F^{−1}[ψ̂])

bezeichnet. Kurz: für ψ̂ = F[ψ] gilt T̂(ψ̂) = T (ψ).

Bemerkung 1.88: Für f ∈ L_{2}(ℝ), interpretiert als Distribution, ist mit dem Plancherel–Theorem 1.83 ⟨f̂, ψ̂⟩ = ⟨f, ψ ⟩ die Fourier–Transformierte der Distribution nichts anderes als die Fourier–Transformierte der Funktion f, interpretiert als Distribution: T̂_{f} = Tf̂.

Beispiel 1.89: a) Die Fourier–Transformierte der Funktion f(x) = 1, nach Beispiel 1.86.a) als die Distribution

ψ ∈ S → ⟨1, ψ⟩ = ∫_{−∞}^{∞} ψ(x) dx

zu interpretieren, ist die Delta–Distribution \sqrt{2 · π} · δ_{0}:

\sqrt{2 · π} · δ_{0}(F[ψ]) = \begin{matrix}√ & \overline{2 · π} \\ √ & \overline{2 · π} \end{matrix} · ∫_{−∞}^{∞} ψ(x) · e^{−i·k·x} dx|_{k=0} = ∫_{−∞}^{∞} ψ(x) dx = ⟨1, ψ⟩.

Formal:

F[1](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} 1 · e^{−i·k·x} dx = \sqrt{2 · π} · δ(k).

Merke:

\frac{1}{2 · π} · ∫_{−∞}^{∞} e^{−i·k·x} dx = δ(k).

b) Die Fourier–Transformierte der sign-Funktion

Tsign : ψ ∈ S → ⟨sign, ψ⟩ = − ∫_{−∞}^{0} ψ(x) dx + ∫_{0}^{∞} ψ(x) dx

aus Beispiel 1.86.b) wird gesucht. Um die Wirkung von { \atop Tsign} auf ψ̂ zu ermitteln, starten wir mit der Wirkung von Tsign auf ψ und drücken die (glatte) Funktion ψ als Fourier–

1.4. DIE FOURIER–INTEGRALTRANSFORMATION 81

Rücktransformierte von ψ̂ aus:

⟨sign, ψ⟩ = − ∫_{−∞}^{0} ψ(x) dx + ∫_{0}^{∞} ψ(x) dx = ∫_{0}^{∞}(ψ(x) − ψ(−x)) dx

= ∫_{0}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ( ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · e^{i·k·x} dk − ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · e^{i·k·(−x)} dk) dx

= lim_{R→∞} ∫_{0}^{R} ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · (e^{i·k·x} − e^{−i·k·x}) dk dx

= lim_{R→∞} ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · \underbrace{( ∫_{0}^{R} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · (e^{i·k·x} − e^{−i·k·x}) dx)} dk

= lim_{R→∞} ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · [\frac{e^{i·k·x} + e^{−i·k·x}}{i · k} ]_{x=0}^{x=R} dk

= lim_{R→∞} ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · \frac{2}{\sqrt{2 · π}} · (\frac{cos(R · k)}{i · k} − \frac{1}{i · k} ) dk

= lim_{R→∞} ∫_{−∞}^{∞} \frac{ψ̂(k) − ψ̂(−k)}{\sqrt{2 · π}} · (\frac{cos(R · k)}{i · k} − \frac{1}{i · k} ) dk

= lim_{R→∞} ∫_{∞}^{∞} \frac{ψ̂(k) − ψ̂(−k)}{\sqrt{2 · π} · i · k} · cos(R · k) dk + \frac{i}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} \frac{ψ̂(k) − ψ̂(−k)}{k} dk.

Man beachte, dass für die glatte Funktion ψ̂ am Nullpunkt ψ̂(k) − ψ̂(−k) ≈ 2 · ψ̂′(0) · k gilt, also (ψ̂(k)−ψ̂(−k))/k am Punkt k = 0 keine Singularität hat. Über das Riemann– Lebesgue–Lemma 1.68.c) verschwindet der Grenzwert des ersten Integrals und es verbleibt die Distribution

{ \atop Tsign} : ψ̂ ∈ S → \frac{i}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} \frac{ψ̂(k) − ψ̂(−k)}{k} dk

als Fourier–Transformation von Tsign. Zuletzt wollen wir diesen Ausdruck noch in der

Form ∫_{−∞}^{∞} \overline{Tsign(k)} · ψ̂(k) dk schreiben, um Tsign als (verallgemeinerte) Funktion in k interpretieren zu können. Dabei müssen wir an der Stelle k = 0 etwas vorsichtig sein, da ψ̂(k)/k für Funktionen mit ψ̂(0) ≠ 0 eine nicht integrierbare Singularität hat:

{ \atop Tsign}(ψ̂) = lim_{ϵ→0} \frac{i}{\sqrt{2 · π}} · ( ∫_{−∞}^{−ϵ} \frac{ψ̂(k) − ψ̂(−k)}{k} dk + ∫_{ϵ}^{∞} \frac{ψ̂(k) − ψ̂(−k)}{k} dk)

= lim_{ϵ→0} \frac{2 · i}{\sqrt{2 · π}} · ( ∫_{−∞}^{−ϵ} \frac{ψ̂(k)}{k} dk + ∫_{ϵ}^{∞} \frac{ψ̂(k)}{k} dk) = \frac{2}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} − \overline{(\frac{−i}{k})} · ψ̂(k) dk.

Ergebnis: als Funktion ist die Distribution gegeben durch:

{ \atop Tsign}(k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \frac{2}{i · k} .

Rechnet man mit dieser Funktion, muss man darauf achten, dass Integrale um die Singularität bei k = 0 als sogenannter ”Cauchy–Hauptwert” zu nehmen sind (damit ist der obige Limes ϵ → ∞ gemeint, der durch das Symbol ∫_{−∞}^{∞} − angedeutet wird).

c) Die Fourier–Transformierte δ̂_{x_{0}} der Delta–Distribution δ_{x_{0}} : ψ ∈ S → ψ(x_{0}) wird gesucht. Um die Wirkung von δ̂_{x_{0}} auf ψ̂ zu ermitteln, starten wir mit der Wirkung von δ_{x_{0}} auf ψ und drücken die (glatte) Funktion ψ als Fourier–Rücktransformierte von ψ̂ aus:

δ_{x_{0}}(ψ) = ψ(x_{0}) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · e^{i·k·x} dk|_{x=x_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} ψ̂(k) · e^{i·k·x_{0}} dk

= ∫_{−∞}^{∞} (\frac{e^{i·k·x_{0}}}{\sqrt{2 · π}} ) · ψ̂(k) dk = ∫_{−∞}^{∞} (\overline{\frac{e^{−i·k·x_{0}}}{\sqrt{2 · π}}} ) · ψ̂(k) dk = ⟨\frac{e^{−i·k·x_{0}}}{\sqrt{2 · π}} , ψ̂⟩ .

Ergebnis: Die Fourier–Transformierte der Delta–Distribution δ_{x_{0}} ist die Funktion δ̂_{x_{0}}(k) = e^{−i·k·x_{0}}/\sqrt{2 · π}. Dies ist sehr leicht zu merken, indem man die Delta– Distribution δ_{x_{0}} wie eine Funktion δ(x − x_{0}) behandelt und formal rechnet:

δ̂_{x_{0}}(k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} δ(x − x_{0}) · e^{−i·k·x_{0}} dx = \frac{e^{−i·k·x_{0}}}{\sqrt{2 · π}} .

1.4.5 Die Unschärferelation

6.12.02↓ Der quantenmechanische Zustand eines physikalischen Systems wird durch eine L_{2}–Funktion ψ beschrieben. Die physikalischen Observablen entsprechen selbstadjungierten Operatoren A : L_{2} → L_{2}:

Definition 1.90: (Selbstadjungierte Operatoren auf L_{2}(ℝ))

Der ”adjungierte” (”transponierte”) Operator A^{∗} eines linearen Operators A : L_{2}(ℝ) → L_{2}(ℝ) ist definiert durch

⟨A^{∗}ϕ, ψ⟩ = ⟨ϕ, Aψ⟩

für alle ϕ, ψ ∈ L_{2}(ℝ). Ein Operator mit A = A^{∗} heißt ”selbstadjungiert”.

Beispiel 1.91: a) Der ”Ortsoperator” x : ψ(x) → x·ψ(x) ist definiert auf einem dichten Teilraum von L_{2}(ℝ) (nämlich für diejenigen ψ ∈ L_{2}(ℝ), die so schnell im Unendlichen abfallen, dass x · ψ wieder in L_{2}(ℝ) liegt). Der Ortsoperator ist selbstadjungiert:

⟨ϕ, x · ψ⟩ = ∫_{−∞}^{∞} \overline{ϕ(x)} · x · ψ(x) dx = ∫_{−∞}^{∞} \overline{x · ϕ(x)} · ψ(x) dx = ⟨x · ϕ, ψ⟩.

b) Der ”Impulsoperator”^{2} −i · \frac{d}{dx} : ψ(x) → −i · ψ′(x) ist definiert auf einem dichten Teilraum von L_{2}(ℝ) (nämlich für diejenigen ψ ∈ L_{2}(ℝ), deren Ableitung existiert und wieder in L_{2}(ℝ) liegt). Der Impulsoperator ist selbstadjungiert. Partielle Integration liefert nämlich:

⟨ϕ, (−i) · \frac{d}{dx} ψ⟩ = ∫_{−∞}^{∞} \overline{ϕ(x)} · (−i) · ψ′(x) dx

= \underbrace{[\overline{ϕ(x)} · (−i) · ψ(x)]_{x=−∞}^{x=∞}}_{=0} − ∫_{−∞}^{∞} \overline{ϕ′(x)} · (−i) · ψ(x) dx

= ∫_{−∞}^{∞} \overline{(−i) · ϕ′(x)} · ψ(x) dx = ⟨(−i) · \frac{d}{dx}ϕ, ψ⟩ .

Definition 1.92: (Die Streuung von Observablen)

Ein physikalischer Messwert einer dem Operator A entsprechenden Observablen eines Systems im Zustand ψ ∈ L_{2}(ℝ) hat den ”Erwartungswert”

⟨A⟩ = \frac{⟨ψ, Aψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩}

und die ”Streuung” (”Unschärfe”) ΔA ≥ 0 definiert durch

(ΔA)^{2} = ⟨(A − ⟨A⟩)^{2}⟩ = \frac{⟨ψ, (A − ⟨A⟩)^{2}ψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩}.

Satz 1.93: (Die Heisenbergsche Unschärferelation)

Für selbstadjungierte Operatoren A, B gilt für jedes ψ ∈ L_{2}(ℝ), ψ ≠ 0:

ΔA · ΔB ≥ \frac{1}{2} · \frac{|⟨ψ, (AB − BA)ψ⟩|}{⟨ψ, ψ⟩}.

Beweis: Setze X = A − ⟨A⟩, Y = B − ⟨B⟩. Diese Operatoren sind wieder selbstadjungiert. Mit der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung 1.5 ergibt sich

(ΔA)^{2} · (ΔB)^{2} = \frac{⟨ψ, X^{2}ψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩} · \frac{⟨ψ, Y^{2}ψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩} = \frac{⟨Xψ, Xψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩} · \frac{⟨Y ψ, Y ψ⟩}{⟨ψ, ψ⟩}

≥ \frac{|⟨Xψ, Y ψ⟩|^{2}}{⟨ψ, ψ⟩^{2}} = \frac{|⟨ψ, XY ψ⟩|^{2}}{⟨ψ, ψ⟩^{2}} .

2Eigentlich ist der Impulsoperator −i·ℏ· \frac{d}{dx}. Wir setzen hier das Planksche Wirkungsquantum ℏ auf 1.

Wir wollen ⟨ψ, XY ψ⟩ in Real– und Imaginärteil zerlegen und beobachten zunächst, dass mit der Selbstadjungiertheit der Operatoren X, Y gilt:

⟨ψ, (XY ± Y X)ψ⟩ = ⟨ψ, XY ψ⟩ ± ⟨ψ, Y Xψ⟩ = ⟨Y^{∗}X^{∗}ψ, ψ⟩ ± ⟨X^{∗}Y^{∗}ψ, ψ⟩

= ⟨Y Xψ, ψ⟩ ± ⟨XY ψ, ψ⟩ = ⟨(Y X ± XY)ψ, ψ⟩ = \overline{⟨ψ, (Y X ± XY)ψ⟩}, also

⟨ψ, (XY ± Y X)ψ⟩ = ±\overline{⟨ψ, (XY ± XY)ψ⟩}.

Damit ist

⟨ψ, (XY + Y X)ψ⟩ = \overline{⟨ψ, (XY + Y X)ψ⟩}

reell und

⟨ψ, (XY − Y X)ψ⟩ = −\overline{⟨ψ, (XY − Y X)ψ⟩}

imaginär. Es folgt die Zerlegung von ⟨ψ, XY ψ⟩ in Real– und Imaginärteil:

⟨ψ, XY ψ⟩ = ⟨ψ, (\frac{XY + Y X}{2} + \frac{XY − Y X}{2} )ψ⟩

= \underbrace{⟨ψ, \frac{XY + Y X}{2} ψ⟩}_{ℜ(⟨ψ,XY ψ⟩)} + \underbrace{⟨ψ, \frac{XY − Y X}{2} ψ⟩}_{i·ℑ(⟨ψ,XY ψ⟩)},

also

|⟨ψ, XY ψ⟩|^{2} = |⟨ψ, \frac{XY + Y X}{2} ψ⟩|^{2}+|⟨ψ, \frac{XY − Y X}{2} ψ⟩|^{2} ≥ |⟨ψ, \frac{XY − Y X}{2} ψ⟩|^{2}.

Letztlich folgt mit XY − Y X = (A − ⟨A⟩)(B − ⟨B⟩) − (B − ⟨B⟩)(A − ⟨A⟩) = AB − BA:

ΔA · ΔB ≥ \frac{|⟨ψ, XY ψ⟩|}{⟨ψ, ψ⟩} ≥ \frac{|⟨ψ, \frac{XY −Y X}{2} ψ⟩|}{⟨ψ, ψ⟩} = \frac{1}{2} · \frac{|⟨ψ, (AB − BA)ψ⟩|}{⟨ψ, ψ⟩|}.

Q.E.D.

Für A = Ortsoperator = x und B = Impulsoperator = p = −i · \frac{d}{dx} folgt mit

(AB − BA)ψ = x · (−i) · \frac{d}{dx} ψ(x) + i · \frac{d}{dx} (x · ψ(x)) = i · ψ(x)

die Unschärferelation für das Paar Ort/Impuls:

Δx · Δp ≥ \frac{1}{2} · \frac{|⟨ψ, i · ψ⟩|}{⟨ψ, ψ⟩} = \frac{1}{2}.

Der Zusammenhang mit der Fourier–Transformation ergibt sich durch die Beobachtung aus Satz 1.72:

F[−i · f′](k) = k · F[f](k),

d.h., der Impulsoperator im Ortsraum (i.W. die Ableitung) wird zum ”Ortsoperator” (Multiplikation mit der Frequenz k) im Fourier–Raum.

Satz 1.94: (Die Unschärferelation für Fourier–Paare)

Seien f, x · f, x^{2} · f ∈ L_{2}(ℝ). Für f̂(k) = F[f](k) gelte f̂, k · f̂, k^{2} · f̂ ∈ L_{2}(ℝ). Definiere Δx ≥ 0, Δk ≥ 0 über

(Δx)^{2} = \frac{⟨f, (x − ⟨x⟩)^{2} · f⟩}{⟨f, f⟩}, (Δk)^{2} = \frac{⟨f̂, (k − ⟨k⟩)^{2} · f̂⟩}{⟨f̂, f̂⟩}

mit ⟨x⟩ = \frac{⟨f, x · f⟩}{⟨f, f⟩}, ⟨k⟩ = \frac{⟨f̂, k · f̂⟩}{⟨f̂, f̂⟩}. Es gilt: Δx · Δk ≥ \frac{1}{2}.

Beweis: Wir setzen B = −i · \frac{d}{dx}. Mit dem Plancherel–Theorem 1.83 gilt

⟨B⟩ = \frac{⟨f, Bf⟩}{⟨f, f⟩} = \frac{⟨f, −if′⟩}{⟨f, f⟩} = \frac{⟨f̂, { \atop (−if′)} ⟩}{⟨f̂, f̂⟩} =^{(∗)} \frac{⟨f̂, k · f̂⟩}{⟨f̂, f̂⟩} = ⟨k⟩,

wobei in (∗) Satz 1.72 benutzt wurde: F[−i·f′](k) = k·f̂(k). Mit (k−⟨k⟩)·f̂(k) = F[(B − ⟨B⟩)f](k) ergibt sich

\frac{⟨f̂, (k − ⟨k⟩)^{2} · f̂⟩}{⟨f̂, f̂⟩} = \frac{⟨(k − ⟨k⟩) · f̂, (k − ⟨k⟩) · f̂⟩}{⟨f̂, f̂⟩}

= \frac{⟨F[(B − ⟨B⟩)f], F[(B − ⟨B⟩)f]⟩}{⟨f̂, f̂⟩} = \frac{⟨(B − ⟨B⟩)f, (B − ⟨B⟩)f⟩}{⟨f, f⟩}

= \frac{⟨f, (B − ⟨B⟩)^{2}f⟩}{⟨f, f⟩}.

Also: (Δk)^{2} = (ΔB)^{2}. Mit A : f(x) → x · f(x) gilt (Δx)^{2} = (ΔA)^{2}. Mit

(AB − BA)f(x) = x · (−i)\frac{d}{dx}f(x) + i · \frac{d}{dx} (x · f(x)) = i · f(x)

liefert die Heisenbergsche Unschärferelation 1.93: Δx · Δk = \frac{1}{2} · \frac{|⟨f, i · f⟩|}{⟨f, f⟩} = \frac{1}{2}.

Q.E.D.

Bemerkung 1.95: Das Gleichheitszeichen in der obigen Unschärferelation gilt nur für Funktionen der Form

f(x) = const · e^{i·k_{0}·x} · e^{−λ·(x−x_{0})^{2}/2}

(d.h., |f| ist eine Gauss–Glocke) mit den Fourier–Transformierten

f̂(k) = \frac{const}{\sqrt{|λ|}} · e^{−i·(k−k_{0})·x_{0}} · e^{−(k−k_{0})^{2}/(2·λ)}.

Hierbei sind x_{0}, k_{0}, λ beliebige reelle Werte; es gilt

⟨x⟩ = x_{0}, ⟨k⟩ = k_{0}, Δx = \frac{1}{\sqrt{2 · |λ}|}, Δk = \frac{\sqrt{|λ}|}{\sqrt{2}}.

Begründung: Der Beweis der Unschärferelation 1.93 benutzt die Cauchy– Schwarze Ungleichung für ⟨(A − ⟨A⟩)f, (B − ⟨B⟩)f⟩, die genau dann zur Gleichheit wird, wenn (B − ⟨B⟩)f und (A − ⟨A⟩)f proportional sind. Der Proportionalitätsfaktor i · λ wird mit λ ∈ ℝ als imaginär angesetzt, sonst gibt es keine L_{2}–Lösungen. Die Funktionen mit minimalem Unschärfeprodukt sind also durch die DGL

(B − ⟨B⟩)f = i · λ · (A − ⟨A⟩)f

bestimmt, also

−i · f′(x) − k_{0} · f(x) = i · λ · (x − x_{0}) · f(x),

wobei k_{0} = ⟨B⟩ = ⟨k⟩, x_{0} = ⟨A⟩ = ⟨x⟩. Die Lösungen der DGL

f′(x) − i · k_{0} · f(x) = −λ · (x − x_{0}) · f(x)

sind die Funktionen

f(x) = const · e^{i·k_{0}·x} · e^{−λ·(x−x_{0})^{2}/2},

für die sich in der Tat

⟨x⟩ = ∫_{−∞}^{∞} x · |f(x)|^{2} dx = x_{0}, ⟨k⟩ = ∫_{−∞}^{∞} k · |f̂(k)|^{2} dk = k_{0}

und die angegebenen Werte für Δx, Δk ergeben.

Interpretation 1.96:

Der Wert ⟨x⟩ ist der ”Schwerpunkt“ des Signals f(x) längs der x-Achse, der Wert Δx die ”Breite” des Signals. Analog sind ⟨k⟩ und Δk der Schwerpunkt bzw. die Breite der Fourier–Transformierten f̂(k) längs der k-Achse.

[figure: x, k; |f(x)|; Δx; ⟨x⟩; |f̂(k)|; Δk; ⟨k⟩]

Die Unschärferelation besagt, dass die Breite nicht gleichzeitig sowohl im Urbildbereich als auch im Bildbereich der Fourier–Transformation klein sein kann. Ist ein Signal ”örtlich” (bzgl. x) lokalisiert (Δx klein), so ist es im Frequenzbereich notwendigerweise gestreut (Δk gross) und umgekehrt. Die Unschärferelation quantifiziert das Grundprinzip, das wir schon im Skalierungssatz 1.68.d) kennengelernt hatten: wird das Signal f(x) durch eine geeignete Wahl des Skalierungsparameters im Ortsraum schmal gemacht, verbreitert sich automatisch die Fourier–Transformierte f̂(k).

1.4.6 Zusammenfassung

Wir tragen die wesentlichen Eigenschaften/Rechenregeln für die Fourier– (Rück–)Transformation

\begin{aligned}F[f](k) & = & \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f(x) · e^{−i·k·x} dx, \\ F^{−1}[f̂](k) & = & \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · ∫_{−∞}^{∞} f̂(k) · e^{i·k·x} dk \end{aligned}

zusammen. Mit

F^{−1}[f](κ) = F[f](−κ)

können wir uns dabei auf die Eigenschaften der Fourier–Transformation beschränken. Die folgenden Regeln wurden in den früheren Abschnitten oder in Übungsaufgaben bewiesen:

Verschiebung im Ortsraum:

F[f(x − x_{0})](k) = e^{−i·k·x_{0}} · F[f(x)](k).

Modulation einer Trägerfrequenz k_{0}:

F[e^{i·k_{0}·x} · f(x)](k) = F[f(x)](k − k_{0}).

Skalierung:

F[f(λ · x)](k) = \frac{1}{|λ|} · F[f(x)](\frac{k}{λ}).

Ableitung im Ortsraum:

F[f^{(n)}(x)](k) = (i · k)^{n} · F[f(x)](k).

Ableitung im Fourier–Raum:

F[x^{n} · f(x)](k) = i^{n} · \frac{d^{n}}{dk^{n}} F[f(x)](k).

88 KAPITEL 1. FOURIER–ANALYSIS Integration im Ortsraum:

F[∫_{−∞}^{x} f(ξ) dξ](k) = \frac{1}{i · k} · F[f(x)](k) + π · F[f(x)](0) · δ(k).

Glättung im Ortsraum:

F[\frac{1}{2·L} ∫_{x−L}^{x+L} f(ξ) dξ](k) = \frac{sin(k · L)}{k · L} · F[f(x)](k).

Produkt im Ortsraum = Faltung im Frequenzraum:

F[f(x) · g(x)](k) =^{(∗)} \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · (F[f] ∗ F[g])(k).

Faltung im Ortsraum = Produkt im Frequenzraum:

F[(f ∗ g)(x)](k) =^{(∗)} \sqrt{2 · π} · F[f](k) · F[g](k).

Hierbei steht in (∗) das Symbol f ∗ g für die Faltung

(f ∗ g)(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(x − y) · g(y) dy

zweier Funktionen (vergleiche Aufgabe 33), während f(x)·g(x) die durch punktweise Multiplikation entstehende Funktion ist.

Eine sehr wichtige Formel: \frac{1}{2 · π} · ∫_{−∞}^{∞} e^{−i·(k−k_{0})·x} dx = δ(k − k_{0}).

Einige wichtige Fourier–Transformationen:

F[δ(x − x_{0})](k) = e^{−i·k·x_{0}}.
F[1](k) = \sqrt{2 · π} · δ(k).
F[e^{i·k_{0}·x}](k) = \sqrt{2 · π} · δ(k − k_{0}).
F[sin(k_{0} · x)](k) = i · \sqrt{\frac{π}{2}} · (δ(k + k_{0}) − δ(k − k_{0})).
F[cos(k_{0} · x)](k) = \sqrt{\frac{π}{2}} · (δ(k + k_{0}) + δ(k − k_{0})).
F[H(x)](k) = \frac{1}{\sqrt{2 · π}} · \frac{1}{i · k} + \sqrt{\frac{π}{2}} · δ(k).

Hierbei ist H die Sprungfunktion H(x) = 0 für x < 0, H(x) = 1 für x ≥ 0.