Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 31. 5. 2005

Ü b u n g s b l a t t 8

Lösungen von ∗-Aufgaben sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 05 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 9.6.05, abzuliefern. Lösungen von ∗∗-Aufgaben sind schriftlich abzugeben. Sie werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 8.6.05 eingesammelt.

Aufgabe 48: (Stetigkeit. Einfacher Beweis) Beweise formal, dass die Betragsfunktion z ∈ ℂ → |z| überall auf ℂ stetig ist. Anleitung: leite aus der Dreiecksungleichung zunächst die ”umgekehrte Dreiecksungleichung“ ||z_{1}| − |z_{2}|| ≤ |z_{1} − z_{2}| für beliebige komplexe Zahlen z_{1}, z_{2} her.

Musterlösung: Die Dreiecksungleichung besagt |a + b| ≤ |a| + |b|, also |a + b| − |b| ≤ |a| für alle komplexen Zahlen a, b. Für a = z_{1} − z_{2}, b = z_{2} ergibt sich

|z_{1}| − |z_{2}| ≤ |z_{1} − z_{2}|,

für a = z_{2} − z_{1}, b = z_{1} ergibt sich

|z_{2}| − |z_{1}| ≤ |z_{2} − z_{1}| = |z_{1} − z_{2}|.

Insgesamt ergibt sich die umgekehrte Dreiecksungleichung

||z_{1}| − |z_{2}|| ≤ |z_{1} − z_{2}|

für beliebige komplexe Zahlen z_{1}, z_{2}.

Sei nun (z_{n}) eine gegen einen Punkt z^{∗} ∈ ℂ konvergierende Folge. Zu jedem ϵ > 0 erfüllen alle bis auf endlich viele Folgenglieder |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt

||z_{n}| − |z^{∗}|| ≤ |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ.

Damit konvergiert die Folge |z_{n}| gegen |z^{∗}|. Also:

lim_{n→∞} |z_{n}| = | lim_{n→∞} z_{n}|,

d.h., die Betragsfunktion ist am (beliebigen) Punkt z^{∗} stetig.

Aufgabe 49: (Stetigkeit)

Zeige, dass folgende Funktion am Nullpunkt stetig ist: f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{(x^{2})} − 1 − x^{2}}{x^{3}} & für x ≠ 0, \\ 0 & für x = 0. \end{matrix}

Musterlösung: Mit

e^{(x^{2})} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} + \frac{x^{6}}{3!} + ⋯

folgt

e^{(x^{2})} − 1 − x^{2} = \frac{x^{4}}{2!} + \frac{x^{6}}{3!} + ⋯ = x^{4} · ( \underbrace{\frac{1}{2!} + \frac{x^{2}}{3!} + ⋯}_{g(x)} ),

wobei die verbleibende Reihe g(x) für jedes x konvergiert und sicherlich 0 ≤ |g(x)| ≤ e^{|x|^{2}} erfüllt. Für x ≠ 0 gilt damit

f(x) = \frac{x^{4} · g(x)}{x^{3}} = x · g(x).

Der Grenzwert f(x_{n}) jeder Nullfolge existiert und ist 0, denn g(x_{n}) ist sicherlich beschränkt. Mit

lim_{n→∞} f(x_{n}) = 0 = f(0)

für jede Nullfolge x_{n} ist f am Nullpunkt stetig. Diese Argumentation funktioniert unabhängig davon, ob man f über ℝ oder über ℂ betrachtet.

Aufgabe 50: (Stetigkeit)

An welchen Stellen x ∈ ℝ ist die folgende (reelle) Funktion stetig: f(x) = lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}}?

Musterlösung: Beachte zunächst x^{2n} = (x^{2})^{n}. Für x ∈ (−1, 1) gilt x^{2} ∈ [0, 1) und damit (x^{2})^{n} → 0 für n → ∞, also

lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}} = 1.

Für |x| > 1 gilt x^{2} > 1 und damit (x^{2})^{n} → ∞ für n → ∞, also

lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}} = 0.

Für x = ±1 gilt (x^{2})^{n} = 1 für alle n, also

lim_{n→∞} \frac{1}{1 + x^{2n}} = \frac{1}{2}.

Die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & falls |x| < 1, \\ \frac{1}{2} & falls |x| = 1, \\ 0 & falls |x| > 1 \end{matrix}

ist damit überall außer an den Punkten x = ±1 stetig. An den Punkten x = ±1 gilt für die einseitigen Grenzwerte

lim_{x→1+0} f(x) = 0 ≠ \frac{1}{2} = f(1), lim_{x→1−0} f(x) = 1 ≠ \frac{1}{2} = f(1),

lim_{x→−1+0} f(x) = 1 ≠ \frac{1}{2} = f(−1), lim_{x→−1−0} f(x) = 0 ≠ \frac{1}{2} = f(−1).

Aufgabe 51: (Stetigkeit, Rechenregeln) Seien f und g am Punkt x ∈ ℝ stetige reelle Funktionen. Zeige, dass die Funktionen

M(x) = max(f(x), g(x)) und m(x) = min(f(x), g(x))

am Punkt x stetig sind. Anleitung: M(x) = \frac{1}{2} · (f(x) + g(x) + |f(x) − g(x)|), m(x) = \frac{1}{2} · (f(x) + g(x) − |f(x) − g(x)|).

Musterlösung: Nach den Rechenregeln ist h(x) = f(x) − g(x) am Punkt x stetig. Nach Aufgabe 48 ist die Betragsfunktion stetig und damit auch die Komposition |h(x)|. Mit den Rechenregeln folgt daraus sofort die Stetigkeit des Maximums M und des Minimums m.

Aufgabe 52: (Stetigkeit) An welchen Stellen x ∈ ℝ ist die folgende (reelle) Funktion stetig?

f(x) = \{ \begin{matrix}x & falls x rational ist, \\ 1 − x & falls x irrational ist. \end{matrix}

Anleitung: zu jeder reellen Zahl x gibt es eine Folge rationaler Zahlen sowie eine Folge irrationaler Zahlen, die gegen x konvergiert.

Musterlösung: Sei x ≠ 1/2. Hier ist f unstetig: Für eine gegen x konvergierende Folge (x_{n}) rationaler Zahlen gilt

lim_{n→} f(x_{n}) = lim_{n→} x_{n} = x.

Für eine gegen x konvergierende Folge (x_{n}) irrationaler Zahlen gilt

lim_{n→} f(x_{n}) = lim_{n→}(1 − x_{n}) = 1 − x.

Für x ≠ \frac{1}{2} stimmen diese Grenzwerte nicht überein. Wäre f an der Stelle x stetig, müssten jedoch die Grenzwerte für jede gegen x konvergente Folge übereinstimmen (genauer, mit f(x) übereinstimmen).

Wir zeigen die Stetigkeit von f an der Stelle x = \frac{1}{2}. Sei dazu h_{n} eine beliebige Nullfolge (d.h., x_{n} = \frac{1}{2} + h_{n} ist eine beliebige gegen \frac{1}{2} konvergierende Folge). Ist h_{n} rational (und damit auch x_{n}), so folgt

f(x_{n}) − f(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2} + h_{n}) − f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + h_{n} − \frac{1}{2} = h_{n}.

Ist h_{n} irrational (und damit auch x_{n}), so folgt

f(x_{n}) − f(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2} + h_{n}) − f(\frac{1}{2}) = 1 − (\frac{1}{2} + h_{n}) − \frac{1}{2} = −h_{n}.

In jedem Fall gilt f(x_{n}) = f(\frac{1}{2}) + Nullfolge, also lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(\frac{1}{2}).

Aufgabe 53: (Stetigkeit. Technisch sehr anspruchsvoll. Für Ehrgeizige.) Die eindeutige ”Normalform“ einer rationalen Zahl x ≠ 0 sei x = \frac{m}{n} mit teilerfremden ganzen Zahlen m, n und n > 0. Zeige, dass die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{n} & für x ∈ ℚ \ \{0\} mit der Normalform x = \frac{m}{n}, \\ 1 & für x = 0, \\ 0 & für x ∈ ℝ \ ℚ \end{matrix}

in allen irrationalen Punkten stetig und in allen rationalen Punkten unstetig ist. Anleitung: Verwende, dass es zu jeder irrationalen Zahl x eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen x konvergiert. Die Zähler und Nenner dieser rationalen Zahlen werden immer größer. Ebenso gibt es zu jeder rationalen Zahl x eine Folge rationaler Zahlen, die gegen x konvergiert, wobei die Zähler und Nenner der Folgenglieder immer größer werden.

Musterlösung: Offensichtlich gilt f(−x) = −f(x), womit f genau dann am Punkt −x stetig ist, wenn f am Punkt x stetig ist. Wir brauchen daher nur x ≥ 0 zu diskutieren.

a) Sei x > 0 irrational und (x_{j}) eine beliebige gegen x konvergierende Folge rationaler Zahlen mit der Normalform x_{j} = m_{j}/n_{j}. Wir zeigen, dass die Folge der Nenner n_{j} nicht beschränkt sein kann. Wären sie beschränkt, sagen wir n_{j} ≤ N für alle j, so wären auch die Zähler beschränkt: Für alle (bis auf endlich viele) j gilt

0 < \frac{m_{j}}{n_{j}} ≤ x + 1 ⇒ 0 < m_{j} ≤ n_{j} · (x + 1) ≤ N · (x + 1).

Es gibt aber nur endlich viele rationale Zahlen mit derartig beschränkten Zählern und Nennern. Sei

δ_{N} = min \{|\frac{m}{n} − x|; m, n ∈ ℕ, m ≤ N · (x + 1), n ≤ N\}

der Fehler der besten Approxmation von x, die sich mit rationalen Zahlen mit Nennern ≤ N erreichen läßt. Diese δ_{N} ist größer als 0, da x sonst rational sein müßte. Sei nun ϵ > 0 vorgegeben. Betrachte die Folgenglieder

X_{ϵ} = \{x_{j}; |x_{j} − x| < δ_{\frac{1}{ϵ}} \},

deren Abstand zu x kleiner als δ_{\frac{1}{ϵ}} ist. Wegen x_{j} → x für j → ∞ liegen alle bis auf endlich viele Folgenglieder x_{j} in X_{ϵ}. Für alle x_{j} = m_{j}/n_{j} ∈ X_{ϵ} gilt n_{j} > \frac{1}{ϵ}, denn für n_{j} ≤ \frac{1}{ϵ} würde |x_{j} − x| ≥ δ_{\frac{1}{ϵ}} folgen. Damit folgt

0 ≤ f(x_{j}) = \frac{1}{n_{j}} < ϵ

für alle bis auf endlich viele j. Dies ist aber die Konvergenz der Folge f(x_{j}) gegen 0. Damit haben wir

lim_{j→∞} f(x_{j}) = 0 = f( lim_{j→∞} x_{j}) = f(x)

für jede gegen x konvergierende Folge rationaler Zahlen gezeigt. Betrachtet man eine gegen x konvergierende Folge (x_{j}), die auch irrationale Zahlen enthält, so konvergiert weiterhin f(x_{j}) gegen 0, denn für die irrationalen Folgenglieder x_{j} gilt sowieso f(x_{j}) = 0.

b) Für x = 0 betrachte die Nullfolge x_{n} = \frac{1}{n}, n = 1, 2, … mit

lim_{n→∞} f(x_{n}) = lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0 ≠ f(0) = 1.

Damit ist x = 0 ein Unstetigkeitspunkt von f.

c) Sei x > 0 rational mit der Normalform x = m/n. Verwendet man die Tatsache, dass man eine gegen x konvergierende Folge irrationaler Zahlen konstruieren kann, ist man sofort fertig: die Funktionswerte auf diesen irrationalen Zahlen sind 0, ihr Grenzwert ist 0 und stimmt damit nicht mit dem Funktionswert f(x) = \frac{1}{n} ≠ 0 überein. Damit ist f an rationalen Punkten unstetig. Will man nur mit rationalen Zahlen arbeiten, ist die Argumentation ein wenig komplizierter: Wir konstruieren eine gegen x konvergierende Folge rationaler Zahlen (x_{j}), deren Zähler und Nenner beliebig groß werden, so dass f(x_{j}) gegen Null konvergiert. Wegen f(x) = \frac{1}{n} ≠ 0 für rationales x folgt damit die Unstetigkeit an rationalen Punkten. Betrachte zunächst

j_{0} = m · n + 1 > 1.

Die Zahl j_{0} ist teilerfremd zu m (jede Division von j_{0} durch einen Teiler von m hat den Rest 1). Die Zahl j_{0} + n = (m + 1) · n + 1 ist teilerfremd zu n (jede Division von j_{0} durch einen Teiler von n hat den Rest 1). Weiterhin sind j_{0} + n und j_{0} teilerfremd, da n und j_{0} teilerfremd sind. Damit ist

x_{j_{0}} = \frac{(j_{0} + n) · m}{j_{0} · n}

in Normalform. Mit den selben Argumenten sind auch

x_{j_{0}^{2}} = \frac{(j_{0}^{2} + n) · m}{j_{0}^{2} · n}, x_{j_{0}^{3}} = \frac{(j_{0}^{3} + n) · m}{j_{0}^{3} · n}, ⋯

in Normalform (denn j_{0}^{2}, j_{0}^{3} etc. sind wieder teilerfremd zu m, da j_{0} teilerfremd zu m ist. Analog sind j_{0}^{2} + n, j_{0}^{3} + n etc. teilerfremd zu n, da j_{0} teilerfremd zu n ist.) Die Folge (x_{j_{0}}, x_{j_{0}^{2}}, x_{j_{0}^{3}}, …) konvergiert gegen x:

lim_{p→∞} \frac{j_{0}^{p} + n}{j_{0}^{p}} · \frac{m}{n} = lim_{p→∞} (1 + \frac{n}{j_{0}^{p}} ) · \frac{m}{n} = \frac{m}{n} = x.

Aber es gilt

lim_{p→∞} f(x_{j_{0}^{p}}) = lim_{p→∞} \frac{1}{j_{0}^{p} · n} = 0 ≠ f(x) = \frac{1}{n}.

Aufgabe 54: (Funktionsgrenzwerte)

Betrachte die reelle Funktion f(x) = \frac{|x|}{x} für x ≠ 0. Bestimme den links- und rechtsseitigen Grenzwert lim_{x→0±0} f(x). Läßt sich f im Punkt x = 0 stetig ergänzen?

Musterlösung: Es gilt

f(x) = \{ \begin{matrix}1 & für x > 0, \\ −1 & für x < 0. \end{matrix}

Der links-/rechtsseitige Grenzwert für x → 0 ist damit offensichtlich

lim_{x→0+0} f(x) = 1, lim_{x→0−0} f(x) = −1.

Die Funktion wäre genau dann stetig ergänzbar, wenn diese Grenzwerte existieren und übereinstimmen.

Aufgabe 55**: (Funktionsgrenzwerte. 10 Bonuspunkte) Diese Aufgabe kann schriftlich bearbeitet werden. Bearbeitungen werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 8.6.05, eingesammelt.

Bestimme den Grenzwert lim_{x→1} \frac{x^{n} − 1}{x^{m} − 1} für m, n ∈ ℕ. Anleitung: Aufgabe 8.

Musterlösung: Nach Aufgabe 8 gilt

x^{n} − 1 = (x − 1) · (1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n−1}), x^{m} − 1 = (x − 1) · (1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{m−1}),

also

\frac{x^{n} − 1}{x^{m} − 1} = \frac{1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n−1}}{1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{m−1}} .

Diese Darstellung ist stetig an der Stelle x = 1, so dass der Grenzwert direkt durch Einsetzen von x = 1 berechnet werden kann:

lim_{x→1} \frac{x^{n} − 1}{x^{m} − 1} = lim_{x→1} \frac{1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n−1}}{1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{m−1}} = \frac{n}{m}.

Aufgabe 56*: (Funktionsgrenzwerte. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} ganze Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Bestimme den Grenzwert

lim_{x→1} \frac{x^{M_{1}} − x^{M_{2}}}{x^{M_{3}} − x^{M_{4}}} .

Anleitung: vergleiche mit Aufgabe 55. MuPAD-Funktion zur Kontolle: limit.

Musterlösung: Mit Aufgabe 55 gilt:

lim_{x→1} \frac{x^{M_{1}} − x^{M_{2}}}{x^{M_{3}} − x^{M_{4}}} = lim_{x→1} \frac{x^{M_{2}}}{x^{M_{4}}} \frac{x^{M_{1}−M_{2}} − 1}{x^{M_{3}−M_{4}} − 1} = \underbrace{( lim_{x→1} \frac{x^{M_{2}}}{x^{M_{4}}} )}_{=1} · ( lim_{x→1} \frac{x^{M_{1}−M_{2}} − 1}{x^{M_{3}−M_{4}} − 1}) = \frac{M_{1} − M_{2}}{M_{3} − M_{4}} .

Aufgabe 57: (Funktionsgrenzwerte) Bestimme den Grenzwert lim_{x→∞}(\sqrt{x + 1} − \sqrt{x}).

Musterlösung: Mit dem üblichen ”Erweiterungsargument“ folgt

lim_{x→∞}(\sqrt{x + 1} − \sqrt{x}) = lim_{x→∞} \frac{(\sqrt{x + 1} − \sqrt{x}) · (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = lim_{x→∞} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = 0,

denn \sqrt{x + 1} und \sqrt{x} wachsen unbeschränkt an für x → ∞.

Aufgabe 58: (Funktionsgrenzwerte)

Existiert der Grenzwert lim_{x→2} \frac{x^{2} − 10 · x + 16}{|x − 2| + |x^{2} − 4|}?

Musterlösung: Nach Faktorisierung folgt

lim_{x→2} \frac{x^{2} − 10 · x + 16}{|x − 2| + |x^{2} − 4|} = lim_{x→2} \frac{(x − 2) · (x − 8)}{|x − 2| + |x − 2| · |x + 2|} = lim_{x→2} \underbrace{\frac{x − 2}{|x − 2|}}_{f(x)} · \underbrace{\frac{x − 8}{1 + |x + 2|}}_{g(x)} .

Die Funktion g(x) ist offensichtlich am Punkt x = 2 stetig, es gilt g(2) ≠ 0. Wäre die Funktion f(x) · g(x) am Punkt x = 2 stetig ergänzbar, müsste f(x) = (f(x) · g(x))/g(x) am Punkt x = 2 stetig ergänzbar sein. Analog zu Aufgabe 54 läßt sich die Funktion f am Punkt x = 2 jedoch nicht stetig ergänzen. Damit kann der Grenzwert von f(x) · g(x) für x → 2 nicht existieren.