Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 24. 5. 2005

Ü b u n g s b l a t t 7

Lösungen von ∗-Aufgaben sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 05 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 2.6.05, abzuliefern. Lösungen von ∗∗-Aufgaben sind schriftlich abzugeben. Sie werden zu Beginn der Vorlesung am Di, 31.5.05 eingesammelt. Achtung: Die Vorlesung am Mi, 1. Juni 05, fällt aus! Die Abgabe ist bereits am Di, 31.5.05!

Aufgabe 45**: (Summation durch Partialbruchzerlegung. 10 Bonuspunkte) Diese Aufgabe kann schriftlich bearbeitet werden. Bearbeitungen werden zu Beginn der Vorlesung am Di, 31.5.05, eingesammelt.

Bestimme den Reihenwert von

∑_{k=2}^{∞} \frac{k^{2} − k}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)}.

Anleitung: Rezept 3.32, Beispiel 3.33 der Vorlesung.

Musterlösung:

\frac{k^{2} − k}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)} = \frac{e_{1}}{k + 1} + \frac{e_{2}}{k + 2} + \frac{e_{3}}{k + 3} + \frac{e_{4}}{k + 4}

= \frac{(e_{1} + e_{2} + e_{3} + e_{4}) · k^{3}}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)} + \frac{(9 · e_{1} + 8 · e_{2} + 7 · e_{3} + 6 · e_{4}) · k^{2}}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)}

+\frac{(26 · e_{1} + 19 · e_{2} + 14 · e_{3} + 11 · e_{4}) · k}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)} + \frac{24 · e_{1} + 12 · e_{2} + 8 · e_{3} + 6 · e_{4}}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)}.

Es folgt das Gleichungssystem

\begin{aligned}e_{1} & + & e_{2} & + & e_{3} & + & e_{4} & = & 0, \\ 9 · e_{1} & + & 8 · e_{2} & + & 7 · e_{3} & + & 6 · e_{4} & = & 1, \\ 26 · e_{1} & + & 19 · e_{2} & + & 14 · e_{3} & + & 11 · e_{4} & = & −1, \\ 24 · e_{1} & + & 12 · e_{2} & + & 8 · e_{3} & + & 6 · e_{4} & = & 0 \end{aligned}

mit der Lösung

e_{1} = \frac{1}{3}, e_{2} = −3, e_{3} = 6, e_{4} = −\frac{10}{3}.

Probe mit MuPAD:

Ansatz für die Partialbruchentwicklung:

>> partfrac((k^2 - k)/(k+1)/(k+2)/(k+3)/(k+4), k)

1         3       6         10 --------- - ----- + ----- - --------- 3 (k + 1)   k + 2   k + 3   3 (k + 4)

Summation:

∑_{k=2}^{∞} (\frac{1/3}{k + 1} − \frac{3}{k + 2} + \frac{6}{k + 3} − \frac{10/3}{k + 4})

=  \frac{1/3}{3} + \frac{1/3}{4} + \frac{1/3}{5} + \frac{1/3}{6} + \frac{1/3}{7} + …
− \frac{3}{4} − \frac{3}{5} − \frac{3}{6} − \frac{3}{7} − …
+ \frac{6}{5} + \frac{6}{6} + \frac{6}{7} + …
− \frac{10/3}{6} − \frac{10/3}{7} − … _{0}  _{0}  _{0}

=  \frac{1/3}{3} − \frac{8/3}{4} + \frac{10/3}{5} = \frac{1}{9}.

Probe mit MuPAD:

>> sum((k^2 - k)/(k+1)/(k+2)/(k+3)/(k+4), k = 2 .. infinity)
                              1/9

Aufgabe 46*: (Summation durch Partialbruchzerlegung. 10 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{4} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Bestimme den Reihenwert

∑_{k=M_{1}}^{∞} \frac{k − M_{2}}{k^{3} + M_{3} · k^{2} + M_{4} · k}

Anleitung: wie Aufgabe 45, rechenintensiver. MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: partfrac, sum.

Musterlösung: Seien −k_{1} und −k_{2} die beiden Lösungen von k^{2} + M_{3} · k + M_{4} = 0, also

k^{2} + M_{3} · k + M_{4} = (k + k_{1}) · (k + k_{2}).

Die Partialbruchzerlegung:

>> M3:= k1 + k2:
>> M4:= k1*k2:
>> z:= partfrac((k-M2)/(k^3 + M3*k^2 + M4*k), k):
>> map(z, Simplify)
                                    M2
                                    -- + 1
             M2 + k1                k2                M2
     ---------------------- + ------------------ - -------
                2             (k1 - k2) (k + k2)   k k1 k2
     (k1 k2 - k1 ) (k + k1)

Mit den Abkürzungen

a = \frac{M_{2} + k_{1}}{k_{1} · (k_{2} − k_{1})}, b = \frac{M_{2} + k_{2}}{k_{2} · (k_{1} − k_{2})}, c = −\frac{M_{2}}{k_{1} · k_{2}}

ergibt sich für ganzzahliges k_{1} > 0, k_{2} > 0 (hex wählt diese Zahlen so):

∑_{k=M_{1}}^{∞} (\frac{a}{k + k_{1}} + \frac{b}{k + k_{2}} + \frac{c}{k} ) =

\frac{a}{M_{1} + k_{1}} + \frac{a}{M_{1} + k_{1} + 1} + ⋯ + \frac{b}{M_{1} + k_{2}} + \frac{b}{M_{1} + k_{2} + 1} + ⋯ + \frac{c}{M_{1}} + \frac{c}{M_{1} + 1} + · · · .

Beachte: Es gilt a + b + c = 0. Sobald ein Nenner in allen drei Termen (mit a, b und c) auftaucht, heben sich die Summanden mit diesem Nenner weg. Dies passiert für alle Nenner der Form M_{1} + k ab k = max(k_{1}, k_{2}). Damit ergibt sich:

∑_{k=M_{1}}^{∞} (\frac{a}{k + k_{1}} + \frac{b}{k + k_{2}} + \frac{c}{k} ) =

a · ∑_{k=k_{1}}^{max(k_{1},k_{2})−1} \frac{1}{M_{1} + k} + b · ∑_{k=k_{2}}^{max(k_{1},k_{2})−1} \frac{1}{M_{1} + k} + c · ∑_{k=0}^{max(k_{1},k_{2})−1} \frac{1}{M_{1} + k} .

Hierbei ist eine Summe als 0 zu verstehen, wenn die obere Grenze des Laufindex k kleiner ist als die untere Grenze.

Der obige Wert ist leicht für konkretes M_{1}, M_{2}, k_{1}, k_{2} auszurechnen (es handelt sich um endliche Summen).

Aufgabe 47*: (Summation durch Partialbruchzerlegung. 10 Bonuspunkt für c.) In Rezept 3.32 und Beispiel 3.33 der Vorlesung wurde nur der Fall diskutiert, dass in

∑_{k} \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q}}

das Nennerpolynom d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q} nur einfache Nullstellen hat.

a) Benutze MuPADs partfrac, um die Partialbruchzerlegung von

\frac{1}{k^{2} · (k + 1)^{2}} , \frac{1}{(k + 1)^{3} · (k + 2)}, \frac{1}{(k + 1)^{4} · (k + 2)^{3} · (k + 3)^{2}}

zu bestimmen.

b) Betrachte den allgemeinen Fall

∑_{k} \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{(k − k_{1})^{n_{1}} · (k − k_{2})^{n_{2}} · . . . · (k − k_{r})^{n_{r}}} ,

in dem das Nennerpolynom Nullstellen k_{i} der Vielfachheiten n_{i} hat. Es gelte p ≤ n_{1} + ⋯ + n_{r} − 2. Stelle eine Vermutung auf, wie der allgemeine Ansatz für die Partialbruchzerlegung zu lauten hat.

c*) Sei M eine Zahl (die von hex zufällig gewählt wird). Berechne die Partialbruchzerlegung

von \frac{k − M}{k^{3} · (k + 1)^{2}} .

d) Gelingt es mit c), die Reihe

∑_{k=1}^{∞} \frac{k − 2}{k^{3} · (k + 1)^{2}}

explizit aufzusummieren? Siehe auch Beispiel 3.22 der Vorlesung.

Musterlösung: a)

>> partfrac(1/k^2/(k+1)^2, k)
                    1   2     2         1
                   -- - - + ----- + --------
                    2   k   k + 1          2
                   k                (k + 1)
>> partfrac(1/(k+1)^3/(k+2)^2, k)
          3         2        3         1          1
        ----- - -------- - ----- + -------- - --------
        k + 1          2   k + 2          3          2
                (k + 1)            (k + 1)    (k + 2)
>> partfrac(1/(k+1)^4/(k+2)^3/(k + 3)^2, k)
     39           75         5         1          2
----------- - ---------- + ----- - -------- + -------- -
          2   16 (k + 1)   k + 2          3          2
16 (k + 1)                         (k + 1)    (k + 2)
        5            1           1           1
   ---------- + ---------- + -------- - -----------
   16 (k + 3)            4          3             2
                4 (k + 1)    (k + 2)    16 (k + 3)

b) Allgemeiner Ansatz für p ≤ n_{1} + n_{2} + ⋯ + n_{r} − 2:

\frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{(k − k_{1})^{n_{1}} · (k − k_{2})^{n_{2}} · . . . · (k − k_{r})^{n_{r}}} ,

= \frac{e_{11}}{k − k_{1}} + \frac{e_{12}}{(k − k_{1})^{2}} + ⋯ + \frac{e_{1n_{1}}}{(k − k_{1})^{n_{1}}}

+\frac{e_{21}}{k − k_{2}} + \frac{e_{22}}{(k − k_{2})^{2}} + ⋯ + \frac{e_{2n_{2}}}{(k − k_{2})^{n_{2}}}

+ ⋯

+\frac{e_{r1}}{k − k_{r}} + \frac{e_{r2}}{(k − k_{r})^{2}} + ⋯ + \frac{e_{rn_{r}}}{(k − k_{r})^{n_{r}}} .

c) Ansatz:

\frac{k − M}{k^{3} · (k + 1)^{2}} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k^{2}} + \frac{c}{k^{3}} + \frac{d}{k + 1} + \frac{e}{(k + 1)^{2}}

= \frac{a · k^{2} · (k + 1)^{2} + b · k · (k + 1)^{2} + c · (k + 1)^{2} + d · k^{3} · (k + 1) + e · k^{3}}{k^{3} · (k + 1)^{3}}

= \frac{(a + d) · k^{4} + (2 · a + b + d + e) · k^{3} + (a + 2 · b + c) · k^{2} + (b + 2 · c) · k + c}{k^{3} · (k + 1)^{3}}.

Es folgen die Gleichungen

a + d = 0, 2 · a + b + d + e = 0, a + 2 · b + c = 0, b + 2 · c = 1, c = −M

mit der Lösung

a = −(3 · M + 2), b = 2 · M + 1, c = −M, d = 3 · M + 2, e = M + 1,

also

\frac{k − M}{k^{3} · (k + 1)^{2}} = −\frac{3 · M + 2}{k} + \frac{2 · M + 1}{k^{2}} − \frac{M}{k^{3}} + \frac{3 · M + 2}{k + 1} + \frac{M + 1}{(k + 1)^{2}} .

Probe mit MuPAD:

>>  partfrac((k - M)/k^3/(k + 1)^2, k);
          2 M + 1   3 M + 2     M + 1     M   3 M + 2
          ------- - ------- + -------- - -- + -------
              2        k             2    3    k + 1
             k                (k + 1)    k

d) Summation über die Partialbruchzerlegung aus c) mit M = 2:

S = ∑_{k=1}^{∞} \frac{k − 2}{k^{3} · (k + 1)^{2}} = ∑_{k=1}^{∞} ( − \frac{8}{k} + \frac{5}{k^{2}} − \frac{2}{k^{3}} + \frac{8}{k + 1} + \frac{3}{(k + 1)^{2}} )

= ∑_{k=1}^{∞} ( − \frac{8}{k} + \frac{8}{k + 1}) + ∑_{k=1}^{∞} \frac{5}{k^{2}} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{3}{(k + 1)^{2}} − ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{k^{3}}

Nur die erste Summe ist eine Teleskopsumme:

S = −\frac{8}{1} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{5}{k^{2}} + \underbrace{∑_{k=1}^{∞} \frac{3}{k^{2}} − \frac{3}{1}}_{∑_{k=1}^{∞} \frac{3}{(k + 1)^{2}}} − ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{k^{3}} = −11 + 8 · ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} − 2 · ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{3}} .

Das Endergebnis enthält die Summen ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} und ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{3}} . Mit MuPAD:

>> sum(1/k^2, k = 1 .. infinity)
                                2
                              PI
                              ---
                               6
>> sum(1/k^3, k = 1 .. infinity)
                            zeta(3)
>> sum((k - 2)/k^3/(k + 1)^2, k = 1.. infinity)
                        2
                    4 PI
                    ----- - 2 zeta(3) - 11