Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 26. 4. 2005

Ü b u n g s b l a t t 3

Mit ∗ und ∗∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen von ∗-Aufgaben sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 05 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 5.5.05, abzuliefern. Lösungen von ∗∗-Aufgaben sind schriftlich abzugeben. Sie werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 4.5.05 eingesammelt.

Aufgabe 15: (Folgen und Grenzwerte) Konvergieren die angegebenen Folgen für n → ∞? Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a) x_{n} = 2 − \frac{3}{n},  b) x_{n} = \frac{2 · n^{2}}{n^{2} + 1},  c) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{2} + 1},
d) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1},  e) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{4} + 1},  f) x_{n} = (1 + \frac{2}{n})^{3·n},
g) x_{n} = \frac{4 · n^{2} − 1}{2 · n · (n^{2} + 1)}, h) x_{n} = \frac{4 · n^{3} − 1}{2 · n · (n^{2} + 1)}, i) x_{n} = \sqrt{n} · (\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}).

0 ersetzt: a)

lim_{n→∞} (2 − \frac{3}{n}) = lim_{n→∞} 2 − lim_{n→∞} \frac{3}{n} = 2 − 3 · lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 2 − 3 · 0 = 2 .

b)

lim_{n→∞} \frac{2 · n^{2}}{n^{2} + 1} = lim_{n→∞} \frac{2 · n^{2}}{n^{2} · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} \frac{2}{1 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2}{1 + 0} = 2.

c)

lim_{n→∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{2} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{n^{2} · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} n \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}} = lim_{n→∞} n · lim_{n→∞} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}}

= lim_{n→∞} n · \frac{lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} n · \frac{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}}} = ∞ · \frac{1 − 0}{1 + 0} = ∞.

d)

lim_{n→∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{n^{3} · (1 + \frac{1}{n^{3}} )} = lim_{n→∞} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{3}}} = \frac{lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{3}} )}

Musterlösung:

Es wird jeweils solange umgeformt und gekürzt, bis nur noch Nullfolgen \frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}} etc. in den Ausdrücken verbleiben. Dann wird der Limes in den Ausdruck ”reingezogen“, d.h., diese Nullfolgen werden durch

= \frac{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}} = \frac{1 − 0}{1 + 0} = 1.

e)

lim_{n→∞} \frac{n^{3} − 1}{n^{4} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{n^{4} · (1 + \frac{1}{n^{4}} )} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{4}}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · lim_{n→∞} \frac{1 − \frac{1}{n^{3}}}{1 + \frac{1}{n^{4}}}

= lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{3}} )}{lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{4}} )} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}}}{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{4}}} = 0 · \frac{1 − 0}{1 + 0} = 0.

f)

lim_{n→∞} (1 + \frac{2}{n})^{3·n} = lim_{n→∞} ((1 + \frac{2}{n})^{n})^{3} = ( lim_{n→∞} (1 + \frac{2}{n})^{n})^{3} = (e^{2})^{3}.

Der numerische Wert ist

>> float(exp(2))^3
                          403.4287935

g)

lim_{n→∞} \frac{4 · n^{2} − 1}{2 · n · (n^{2} + 1)} = lim_{n→∞} \frac{n^{2} · (4 − \frac{1}{n^{2}} )}{n^{3} · 2 · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{4 − \frac{1}{n^{2}}}{2 · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = 0 · \frac{4 − 0}{2 · (1 + 0)} = 0.

h)

lim_{n→∞} \frac{4 · n^{3} − 1}{2 · n · (n^{2} + 1)} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (4 − \frac{1}{n^{3}} )}{n^{3} · 2 · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = lim_{n→∞} \frac{4 − \frac{1}{n^{3}}}{2 · (1 + \frac{1}{n^{2}} )} = \frac{4 − 0}{2 · (1 + 0)} = 2.

i) Der Trick ist, \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} mit \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} zu erweitern, um im Zähler die Wurzeln mittels (a − b) · (a + b) = a^{2} − b^{2} ”wegquadrieren“ zu können:

\sqrt{n + 1} − \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) · (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n + 1}^{2} − \sqrt{n}^{2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

= \frac{(n + 1) − n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}.

Damit folgt

lim_{n→∞} \sqrt{n} · (\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) = lim_{n→∞} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n}}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\begin{matrix}√ & \overline{n+1} \\ √ & \overline{n} \end{matrix} + 1}

= lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n}} + 1} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}.

Aufgabe 16: (MuPAD) Lies die MuPAD–Hilfeseite zu limit (interaktiv durch ?limit aufzurufen).

a) Überprüfe mit MuPAD die in Aufgabe 15 ermittelten Grenzwerte.

b) Bestimme den Grenzwert der Folge x_{n} = (1 + \frac{2}{n^{3}} )^{2·n^{2}}.

c) Lies mit ?! die MuPAD–Hilfeseite zur (aus der Schule bekannten) Fakultätsfunktion n! = 1 · 2 · · · · · n. Betrachte den Grenzwert der Folge x_{n} = n^{n}/n! (den MuPAD nicht berechnen kann). Erzeuge Gleitpunktapproximationen (siehe ?float) der ersten 10 Folgenglieder und stelle eine Vermutung über die Konvergenzeigenschaft dieser Folge auf!

Musterlösung: a)

>> limit(2 - 3/n, n = infinity)
                               2
>> limit(2*n^2/(n^2 + 1), n = infinity)
                               2
>> limit((n^3 - 1)/(n^2 + 1), n = infinity)
                           infinity
>> limit((n^3 - 1)/(n^3 + 1), n = infinity)
                               1
>> limit((n^3 - 1)/(n^4 + 1), n = infinity)
                               0
>> limit((1 + 2/n)^(3*n), n = infinity)
                             exp(6)
>> limit((4*n^2 - 1)/(2*n*(n^2 + 1)), n = infinity)
                               0
>> limit((4*n^3 - 1)/(2*n*(n^2 + 1)), n = infinity)
                               2
>> limit(sqrt(n)*(sqrt(n+1) - sqrt(n)), n = infinity);
                              1/2

b)

>> limit((1 + 2/n^3)^(2*n^2), n = infinity)
                        1

c) MuPAD kann den Grenzwert nicht bestimmen:

>> limit(n^n/n!, n = infinity)
                     /    n                  \
                     |   n                   |
                limit| -------, n = infinity |
                     \ fact(n)               /

Gleitpunktapproximationen:

>> x := n -> float(n^n/n!):  x(n) $ n = 1..10
     1.0, 2.0, 4.5, 10.66666667, 26.04166667, 64.8, 163.4013889,
             416.1015873, 1067.627009, 2755.731922

Vermutung: lim_{n→∞} x_{n} = ∞. (Diese Vermutung ist in der Tat richtig.)

Aufgabe 17*: (Grenzwerte, 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2}, M_{3} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Berechne den Grenzwert

lim_{n→∞} n · (M_{1}^{2} + (\frac{1 + M_{3}}{n + M_{2}} + M_{1} · i)^{2}) , i = \sqrt{−1}.

Relevante MuPAD-Funktionen: limit.

Musterlösung: Es wird solange umgeformt und gekürzt, bis nur noch Nullfolgen \frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}} etc. in den Ausdrücken verbleiben. Dann wird der Limes in den Ausdruck ”reingezogen“, d.h., diese Nullfolgen werden durch 0 ersetzt:

lim_{n→∞} n · (M_{1}^{2} + (\frac{1 + M_{3}}{n + M_{2}} + M_{1} · i)^{2}) = lim_{n→∞} n · (M_{1}^{2} + \frac{(1 + M_{3})^{2}}{(n + M_{2})^{2}} + \frac{2 · i · M_{1} · (1 + M_{3})}{n + M_{2}} − M_{1}^{2})

= lim_{n→∞} (\frac{n · 1 + M_{3})^{2}}{(n + M_{2})^{2}} + \frac{n · 2 · i · M_{1} · (1 + M_{3})}{n + M_{2}})
= lim_{n→∞} (\frac{n · (1 + M_{3})^{2}}{n^{2} · (1 + M_{2}/n)^{2}} + \frac{n · 2 · i · M_{1} · (1 + M_{3})}{n · (1 + M_{2}/n)})
= lim_{n→∞} (\frac{1}{n} · \frac{(1 + M_{3})^{2}}{(1 + M_{2}/n)^{2}} + \frac{2 · i · M_{1} · (1 + M_{3})}{1 + M_{2}/n})
= 0 · \frac{(1 + M_{3})^{2}}{1 + 0} + \frac{2 · i · M_{1} · (1 + M_{3})}{1 + 0} = 2 · i · M_{1} · (1 + M_{3}).

Aufgabe 18: (Rechenregeln für Grenzwerte) Gegeben seien Folgen (x_{n}) und (y_{n}). Die durch z_{n}^{+} = x_{n} + y_{n} bzw. z_{n}^{−} = x_{n} − y_{n} definierten Folgen mögen gegen z^{+} bzw. z^{−} konvergieren. Zeige, daß die Folge (x_{n} · y_{n}) konvergiert. Bestimme ihren Grenzwert.

Musterlösung: Es gilt

x_{n} = \frac{z_{n}^{+} + z_{n}^{−}}{2} , y_{n} = \frac{z_{n}^{+} − z_{n}^{−}}{2} ,

also

x_{n} · y_{n} = \frac{(z_{n}^{+} + z_{n}^{−}) · (z_{n}^{+} − z_{n}^{−})}{4} = \frac{(z_{n}^{+})^{2} − (z_{n}^{−})^{2}}{4} .

Die Konvergenz von (x_{n} · y_{n}) folgt direkt aus den Rechenregeln für konvergierende Folgen, der Grenzwert von (x_{n} · y_{n}) ist \frac{1}{4} · ((z^{+})^{2} − (z^{−})^{2}).

Aufgabe 19∗∗: (Folgen und Grenzwerte. 10 Bonuspunkte) Diese Aufgabe kann schriftlich bearbeitet werden. Bearbeitungen werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 4.5.05, eingesammelt.

Bestimme den Grenzwert von (\frac{n}{n + 1})^{n} für n → ∞.

Musterlösung: Es gilt

(\frac{n}{n + 1})^{n} = (\frac{n + 1 − 1}{n + 1})^{n} = (\frac{n + 1}{n + 1} − \frac{1}{n + 1})^{n} = (1 − \frac{1}{n + 1})^{n}

= (1 − \frac{1}{n + 1})^{n+1} · (1 − \frac{1}{n + 1})^{−1}.

Der erste Faktor konvergiert gegen e^{−1}, der zweite gegen 1, also

lim_{n→∞} (\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{1}{e}.

Alternativ:

(\frac{n}{n + 1})^{n} = ( \frac{1}{\frac{n+1}{n}} )^{n} = \frac{1}{(1 + \frac{1}{n})^{n}} → \frac{1}{e}.

Aufgabe 20*: (Rechenregeln für Folgen und Grenzwerte, 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2}, M_{3} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Betrachte die rekursiv definierte Folge

x_{n+1} = \frac{1}{M_{1} + \frac{1}{M_{2} + \frac{1}{M_{3} + x_{n}}}}

mit x_{0} = 1. Benutze (ohne Beweis), dass diese Folge konvergiert. Bestimme den Grenzwert. Anleitung: Die Rechenregeln für Grenzwerte liefern eine Gleichung für den Grenzwert.

Musterlösung: Setzen wir voraus, dass der Grenzwert x^{∗} von (x_{n}) existiert, so liefern die Rechenregeln

x^{∗} = lim_{n→∞} x_{n+1} = lim_{n→∞} \frac{1}{M_{1} + \frac{1}{M_{2} + \frac{1}{M_{3} + x_{n}}}}

= \frac{1}{M_{1} + \frac{1}{M_{2} + \frac{1}{M_{3} + lim_{n→∞} x_{n}}}} = \frac{1}{M_{1} + \frac{1}{M_{2} + \frac{1}{M_{3} + x^{∗}}}} .

Die rechte Seite ist ein rationaler Ausdruck in x^{∗}. In dieser Musterlösungen verwenden wir einige zusätzliche MuPAD-Funktionen, weil hier M_{1}, M_{2}, M_{3} symbolisch sind. Mit MuPAD (x stellt x^{∗} dar):

>> rechts:= normal(1/(M1 + 1/(M2 + 1/(M3 + x))));
                       x M2 + M2 M3 + 1
               --------------------------------
               x + M1 + M3 + x M1 M2 + M1 M2 M3

Es ergibt sich folgende quadratische Gleichung für den Grenzwert x^{∗} (denom ist der Nenner des Ausdrucks, numer der Zähler):

>> x*denom(rechts) = numer(rechts);
      x (x + M1 + M3 + x M1 M2 + M1 M2 M3) = x M2 + M2 M3 + 1
>> expand(x*denom(rechts) - numer(rechts));
                                             2    2
  x M1 - x M2 + x M3 - M2 M3 + x M1 M2 M3 + x  + x  M1 M2 - 1
>> collect(%, x) = 0
                                        2
 x (M1 - M2 + M3 + M1 M2 M3) - M2 M3 + x  (M1 M2 + 1) - 1 = 0

Von den beiden Nullstellen dieses Polynoms ist bei den von hex gelieferten Werten nur eine positiv. Dies ist der gesuchte Grenzwert (beachte dass alle x_{n} positiv sind, also kann der Grenzwert nicht negativ sein). Z.B.:

>> M1:= 3: M2:= 5: M3:= 8:
>> solve(x = 1/(M1 + 1/(M2 + 1/(M3 + x))), x)
           {        1/2               1/2         }
           {   5 185             5 185            }
           { - -------- - 63/16, -------- - 63/16 }
           {      16                16            }
>> float(%);
                  {-8.187959534, 0.312959534}

Aufgabe 21: (Folgen und Grenzwerte, etwas anspruchsvoller) Zeige: lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1. Anleitung: gehe ähnlich wie im Beweis von Beispiel 2.19 der Vorlesung vor und betrachte dabei in der Entwicklung von (1 + h_{n})^{n} einen zusätzlichen Term. Alternativ kann man zunächst die Folge ^{2·n} \sqrt{n} = \sqrt{\sqrt[n]{n}} betrachten, die ebenfalls gegen 1 konvergiert.

Musterlösung: Sicherlich gilt ^{n} \sqrt{n} > 1 für alle n > 1. Setze h_{n} = ^{n} \sqrt{n} − 1, also n = (1 + h_{n})^{n}. Wegen h_{n} > 0 gilt

n = (1 + h_{n})^{n} ≥ 1 + n · h_{n} + \frac{n · (n − 1)}{2} · h_{n}^{2} + ⋯ ≥ \frac{n · (n − 1)}{2} · h_{n}^{2},

also

h_{n}^{2} ≤ \frac{n}{n · (n − 1)/2} = \frac{2}{n − 1}.

Damit gilt h_{n}^{2} → 0 für n → ∞, also auch h_{n} → 0 und damit ^{n} \sqrt{n} = 1 + h_{n} → 1.

Alternativ: betrachte z_{n} = ^{2·n} \sqrt{n} und schreibe dies als z_{n} = 1 + h_{n} mit h_{n} > 0, also \sqrt{n} = (1 + h_{n})^{n}. Wie im Beweis von Beispiel 2.19:

\sqrt{n} = (1 + h_{n})^{n} ≥ 1 + n · h_{n} + \frac{n · (n − 1)}{2} · h_{n}^{2} + ⋯ ≥ n · h_{n}

⇒ h_{n} ≤ \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}.

Es folgt h_{n} → 0 und damit z_{n} → 1 und damit z_{n}^{2} → 1. Die gefragte Folge war ^{n} \sqrt{n} = z_{n}^{2}.