Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 18. 7. 2005

Ü b u n g s b l a t t 15 (Wiederholung)

Folgende Aufgaben dienen zur Wiederholung und Klausurvorbereitung. Aufgabe 103: (Komplexe Zahlen. Induktion.) Beweise formal: (1 + i)^{2·n} = (−1)^{n/2} · 2^{n} für alle n ∈ {0, 2, 4, ⋯}. Aufgabe 104: (Polynome. Induktion.) Sei p(z) = z^{n} + c_{n−1} · z^{n−1} + ⋯ + c_{0} ein Polynom vom Grad n mit den (eventuell übereinstimmenden) Nullstellen z_{1}, …, z_{n}. Beweise formal:

z_{1} + z_{2} + ⋯ + z_{n} = −c_{n−1}.

Aufgabe 105: (Funktionalkalkül für Matrizen) Bestimme eine explizite Form der Matrixpotenz ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )^{n} . Aufgabe 106: (Folgen, Grenzwerte) Berechne lim_{n→∞} \frac{sin(n) · n}{n^{2} + 1}. Aufgabe 107: (Folgen, Grenzwerte) Berechne lim_{n→∞} \frac{1}{n} · ln (\frac{e^{n}}{2^{n}} + 1). Aufgabe 108: (Folgen, O-Kalkül) Sei x_{n} = \frac{n^{3} + n · O(n)}{2 · n^{3} + \frac{O(n^{3})}{n+1}}. Bestimme den Grenzwert der Folge (x_{n}). Aufgabe 109: (Reihen) Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{k + 1}{k + 2} · x^{k}. Aufgabe 110: (Reihen) Konvergiert die Reihe ∑_{k=2}^{∞} \frac{ln(k)}{k^{3} + k^{2}} ? Aufgabe 111: (Reihen, Partialbruchzerlegung) Berechne den Reihenwert ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{k · (k + 2)}. Aufgabe 112: (Stetigkeit)

Zeige, dass die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1 − cos(x^{2})}{x^{4}} & für x ≠ 0, \\ \frac{1}{2} & für x = 0 \end{matrix}

am Punkt x = 0 stetig ist. Aufgabe 113: (Grenzwerte) Bestimme lim_{x→1} \frac{x − 1}{ln(x)}. Aufgabe 114: (O-Kalkül) Zeige formal: e^{1+x} = e + O(x) im Limes x → 0. Aufgabe 115: (O-Kalkül) Zeige formal: \sqrt{|x|} · O(x) = o(x) im Limes x → 0. Aufgabe 116: (Spezielle Funktionen) Bestimme sin(\frac{π}{3} ) und cos(\frac{π}{3} ) als explizite exakte Ausdrücke. Anleitung: betrachte

sin (\frac{π}{2} − x) = cos(x), cos (\frac{π}{2} − x) = sin(x) und sin(2 · x) = 2 · sin(x) · cos(x) für ein geeignetes x. Aufgabe 117: (Komplexe Wurzeln) Bestimme alle komplexen Lösungen von z^{3} = −1 in kartesischer Darstellung. Beachte Aufgabe 116. Aufgabe 118: (Differentiation, Implizite Funktionen) Die Funktion y = f(x) sei implizit als Lösung der Gleichung

y + y^{3} = x^{2} + x^{4}

definiert. Bestimme alle Extrema von f(x) und identifiziere sie als Minimum oder Maximum. Aufgabe 119: (Taylor-Entwicklung) Sei T_{2}(x) das quadratische Taylor–Polynom der Funktion f(x) = ln(cos(x)) um den Entwicklungspunkt x_{0} = 0.

a) Bestimme T_{2}(x).

b) Zeige, dass |f(x) − T_{2}(x)| ≤ \frac{2 · |x|^{3}}{3} für alle x ∈ (−\frac{π}{4} , \frac{π}{4} ) gilt.

Aufgabe 120: (Differentiation, Extremwerte) Welche Punkte des Parabelbogens y = 2 − x^{2} haben den kleinsten Abstand zum Ursprung? Wie groß ist dieser minimale Abstand? Aufgabe 121: (Differentiation, de l’Hospital) Bestimme lim_{x→1} x^{\frac{1}{x−1}} . Anleitung: betrachte den Logarithmus des Ausdrucks. Aufgabe 122: (Unbestimmte Integration) Bestimme ∫ \frac{2 · x · ln(x)}{(x^{2} − 1)^{2}} dx. Anleitung: zunächst partielle Integration. Aufgabe 123: (Bestimmte Integration) Berechne ∫_{0}^{1} t · \sqrt{1 − t^{2}} dt. Aufgabe 124: (Uneigentliche Integrale) Bestimme ∫_{1}^{∞} \frac{ln(t)}{t^{2}} dt.