Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 4. 7. 2005

Ü b u n g s b l a t t 13

Lösungen von ∗-Aufgaben sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 05 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 14.7.05, abzuliefern. Lösungen von ∗∗-Aufgaben sind schriftlich abzugeben. Sie werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 13.7.05 eingesammelt.

Aufgabe 86: (de l’Hospital)

Berechne mittels der de l’Hospitalschen Regel lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}}.

Musterlösung: Zweifache Anwendung von l’Hospital (solange eine \frac{0}{0}–Situation vorliegt):

lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx}(1 − cos(x))}{\frac{d}{dx}x^{2}} = lim_{x→0} \frac{sin(x)}{2 · x} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} sin(x)}{\frac{d}{dx}2 · x}

= lim_{x→0} \frac{cos(x)}{2} = \frac{cos(0)}{2} = \frac{1}{2} .

MuPAD:

>> limit((1 - cos(x))/x^2, x = 0)
                              1/2

Aufgabe 87**: (de l’Hospital. 10 Bonuspunkte) Diese Aufgabe kann schriftlich bearbeitet werden. Bearbeitungen werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 13.7.05, eingesammelt.

Berechne den Grenzwert lim_{x→0+0} x^{x}.

Anleitung: x^{x} = e^{x·ln(x)}. Forme x · ln(x) so um, dass sich für x = 0 eine \frac{∞}{∞}–Situation ergibt.

Musterlösung: Es wird zunächst lim_{x→0+0} x · ln(x) per l’Hospital berechnet:

lim_{x→0+0} x · ln(x) = lim_{x→0+0} \frac{ln(x)}{1/x}.

Dies ergibt für x = 0 eine ∞/∞-Situation, d.h., wir können l’Hospital anwenden:

lim_{x→0+0} \frac{ln(x)}{1/x} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} ln(x)}{\frac{d}{dx} 1/x} = lim_{x→0+0} \frac{1/x}{−1/x^{2}} = lim_{x→0+0}(−x) = 0.

Es folgt

lim_{x→0+0} x^{x} = lim_{x→0+0} e^{x·ln(x)} = e lim_{x→0+0} x · ln(x) = e^{0} = 1.

Aufgabe 88*: (de l’Hospital. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, …, M_{5} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Berechne den Grenzwert

lim_{x→0+0} (sin(M_{1} · x)^{M_{2}·x} + \frac{arctan(M_{3} · x^{2})}{M_{4} · x^{2} · (M_{5} + x)}) .

Anleitung: siehe auch Aufgabe 87. Die Ableitung von arctan war in Aufgabe 74.b) zu bestimmen.

Musterlösung: Der Grenzwert des ersten Summanden ergibt sich analog zu Aufgabe 88:

lim_{x→0+0} sin(M_{1} · x)^{M_{2}·x} = lim_{x→0+0} e^{M_{2}·x·ln(sin(M_{1}·x))}.

Hierbei gilt nach l’Hospital:

lim_{x→0+0} x · ln(sin(M_{1} · x)) = lim_{x→0+0} \frac{ln(sin(M_{1} · x))}{1/x}

= lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} ln(sin(M_{1} · x))}{\frac{d}{dx} 1/x} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{M_{1}·cos(M_{1}·x)}{sin(M_{1}·x)}}{−1/x^{2}}

= lim_{x→0+0} ( − cos(M_{1} · x) · \frac{M_{1} · x}{sin(M_{1} · x)} · x)

= −( lim_{x→0+0} cos(M_{1} · x)) · ( lim_{x→0+0} \frac{M_{1} · x}{sin(M_{1} · x)}) · ( lim_{x→0+0} x) = −1 · 1 · 0 = 0,

also

lim_{x→0+0} sin(M_{1} · x)^{M_{2}·x} = e lim_{x→0+0} M_{2} · x · ln(sin(M_{1} · x)) = e^{0} = 1.

Der Grenzwert des zweiten Summanden ergibt sich per l’Hospital (beachte \frac{d}{dx} arctan(x) = \frac{1}{1+x^{2}} ):

lim_{x→0+0} \frac{arctan(M_{3} · x^{2})}{M_{4} · x^{2} · (M_{5} + x)} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} arctan(M_{3} · x^{2})}{\frac{d}{dx} (M_{4} · x^{2} · (M_{5} + x))}

= lim_{x→0+0} \frac{\frac{2·M_{3}·x}{1+M_{3}^{2}·x^{4}}}{2 · M_{4} · M_{5} · x + 3 · M_{4} · x^{2}}

= lim_{x→0+0} \frac{2 · M_{3}}{(1 + M_{3}^{2} · x^{4}) · (2 · M_{4} · M_{5} + 3 · M_{4} · x)}

= \frac{M_{3}}{M_{4} · M_{5}} .

Endergebnis:

lim_{x→0+0} (sin(M_{1} · x)^{M_{2}·x} + \frac{arctan(M_{3} · x^{2})}{M_{4} · x^{2} · (M_{5} + x)}) = 1 + \frac{M_{3}}{M_{4} · M_{5}} .

Aufgabe 89: (Das Newton-Verfahren. Technisch anspruchsvoller.) Betrachte eine mehrfach differenzierbare Funktion f : ℝ ↦ ℝ mit einer Nullstelle x^{∗}, für die f′(x^{∗}) ≠ 0 gelte. Zur numerischen Suche nach der Nullstelle betrachte die Iteration

x_{i+1} = x_{i} − \frac{f(x_{i})}{f′(x_{i})}

mit einem Startpunkt x_{0} in der Nähe von x^{∗} (”das Newton-Verfahren“).

a) Sei N(x) = x − f(x)/f′(x). Zeige:

N(x) − x^{∗} = \frac{f′′(x^{∗}) + O(x − x^{∗})}{2 · f′(x^{∗}) + O(x − x^{∗})} · (x − x^{∗})^{2}

und folgere, dass es eine Umgebung von x^{∗} gibt, sodass für alle x aus dieser Umgebung |N(x) − x^{∗}| ≤ C · |x − x^{∗}|^{2} gilt mit einer geeigneten Konstanten C.

Anleitung: Taylor-Entwicklung von f(x) und f′(x) um x^{∗}.

b) Folgere |N(x) − x^{∗}| ≤ \frac{|x − x^{∗}|}{2} und |N(x) − x^{∗}| ≤ \frac{1}{2·C}, falls |x − x^{∗}| ≤ \frac{1}{2·C} gilt.

c) Folgere x_{i} → x^{∗} für die aus einem Startpunkt x_{0} entstehende Newton-Folge (x_{i}), falls |x_{0} − x^{∗}| ≤ \frac{1}{2·C} gilt.

Interpretation von c): die Newton-Folge (x_{i}) konvergiert gegen eine Nullstelle, wenn der Startpunkt x_{0} hinreichend nahe bei der Nullstelle liegt.

Musterlösung:

a) Setze zur Abkürzung d = x − x^{∗}. Mit f′(x^{∗}) = 0 liefert Taylor-Entwicklung von f um x^{∗}:

f(x) = f(x^{∗}) + f′(x^{∗}) · (x − x^{∗}) + \frac{f′′(x^{∗})}{2} · (x − x^{∗})^{2} + O((x − x^{∗})^{3}) = f′(x^{∗}) · d + \frac{f′′(x^{∗})}{2} · d^{2} + O(d^{3}).

Taylor-Entwicklung von f′ um den Punkt x^{∗}:

f′(x) = f′(x^{∗}) + f′′(x^{∗}) · (x − x^{∗}) + O((x − x^{∗})^{2}) = f′(x^{∗}) + f′′(x^{∗}) · d + O(d^{2}).

Dies ergibt

N(x) − x^{∗} = x − x^{∗} − \frac{f′(x^{∗}) · d + \frac{f′′(x^{∗})}{2} · d^{2} + O(d^{3})}{f′(x^{∗}) + f′′(x^{∗}) · d + O(d^{2})}.

⇒ N(x) − x^{∗} = d − \frac{f′(x^{∗}) · d + \frac{f′′(x^{∗})}{2} · d^{2} + O(d^{3})}{f′(x^{∗}) + f′′(x^{∗}) · d + O(d^{2})}

= \frac{d · (f′(x^{∗}) + f′′(x^{∗}) · d + O(d^{2})) − f′(x^{∗}) · d − \frac{f′′(x^{∗})}{2} · d^{2} + O(d^{3})}{f′(x^{∗}) + f′′(x^{∗}) · d + O(d^{2})}

= \frac{\frac{f′′(x^{∗})}{2} · d^{2} + O(d^{3})}{f′(x^{∗}) + O(d)} = \frac{f′′(x^{∗}) + O(d)}{2 · f′(x^{∗}) + O(d)} · d^{2}.

Da O(d) → 0 für x → x^{∗}, gibt es eine Umgebung von x^{∗} mit |O(d)| ≤ |f′(x^{∗})/2| > 0:

|f′(x^{∗}) + O(d)| ≥ |f′(x^{∗})| − |O(d)| ≥ \frac{|f′(x^{∗})|}{2}.

Damit kann der Nenner des obigen Ausdrucks auf dieser Umgebung nicht beliebig klein werden. Damit gibt es eine Konstante C, sodass für alle x aus dieser Umgebung

|N(x) − x^{∗}| ≤ C · |x − x^{∗}|^{2} (#)

gilt, wobei als Konstante C ≈ \frac{f′′(x^{∗})}{2·f′(x^{∗})} gewählt werden kann, wenn man sich auf sehr kleine Umgebungen von x^{∗} beschränkt.

b) und c): Wähle x_{0} aus der Umgebung, auf der (#) gilt. Sei x_{i} die rekursiv aus x_{0} hervorgehende Newton-Folge, setze d_{i} = x_{i} − x^{∗}. Für |d_{0}| ≤ \frac{1}{2·C} folgt

|d_{1}| ≤ (C · |d_{0}|) · |d_{0}| ≤ \frac{|d_{0}|}{2}.

Hiermit gilt wiederum |d_{1}| ≤ |d_{0}| ≤ \frac{1}{2·C}, und es folgt

|d_{2}| ≤ \frac{|d_{1}|}{2} ≤ \frac{|d_{0}|}{4}.

Mit diesem Argument folgt induktiv unmittelbar

|d_{i}| ≤ \frac{|d_{0}|}{2^{i}},

woraus

lim_{i→∞} d_{i} = 0

folgt. Die Abstände d_{i} = x_{i} − x^{∗} zwischen x_{i} und der Nullstelle konvergieren gegen 0, also gilt

lim_{i→∞} x_{i} = x^{∗},

d.h., die Newton-Folge (x_{i}) konvergiert gegen die Nullstelle, wenn nur x_{0} hinreichend dicht bei der Nullstelle liegt.

Tutoren:

i) geometrische Interpretation liefern (x_{i+1} = Nullstelle der Tangente am Punkt x_{i}).

ii) Auf quadratische Konvergenz hinweisen.

Aufgabe 90*: (Das Newton-Verfahren. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden. Finde über das Newton-Verfahren aus Aufgabe 89 eine numerische Approximation von M_{1}^{1/3} indem nach einer Nullstelle von f(x) = x^{3} − M_{1} gesucht wird. Wähle als Startpunkt x_{0} = M_{2}. Abzuliefern ist das Element x_{4} der mit x_{0} startenden Newton-Folge x_{i+1} = x_{i} − f(x_{i})/f′(x_{i}). Dieser Wert ist als Gleitpunktzahl mit mindestens 9 Nach”komma“stellen einzugeben.

Musterlösung: Für M_{1} = 13/18 und M_{2} = 7/8:

>> f:= x ->  x^3 - 13/18:
>> N:= x -> x - f(x)/f'(x):
>> x0 := float(7/8)
                          0.875
               //           ^1 Stelle korrekt
>> x1 := N(x0)
                          0.8977702192
               //           ^^^3 Stellen korrekt
>> x2 := N(x1)
                          0.8972024615
               //           ^^^^^^6 Stellen korrekt
>> x3 := N(x2)
                          0.897202102
               //           ^^^^^^^^^alle Stellen korrekt
>> x4 := N(x3)
                          0.897202102
               //           ^^^^^^^^^alle Stellen korrekt
>> x5 := N(x4)
                          0.897202102
               //           ^^^^^^^^^alle Stellen korrekt