Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 28. 6. 2005

Ü b u n g s b l a t t 12

Lösungen von ∗-Aufgaben sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 05 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 7.7.05, abzuliefern. Lösungen von ∗∗-Aufgaben sind schriftlich abzugeben. Sie werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 6.7.05 eingesammelt.

Aufgabe 80**: (Taylor-Reihen. 10 Bonuspunkte) Diese Aufgabe kann schriftlich bearbeitet werden. Bearbeitungen werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 6.7.05, eingesammelt.

Bestimme die ersten 4 Koeffizienten c_{0}, …, c_{3} der Taylor-Entwicklung

e^{sin(x)} = c_{0} + c_{1} · x + c_{2} · x^{2} + c_{3} · x^{3} + O(x^{4}).

um den Entwicklungspunkt x_{0} = 0. MuPAD-Funktion zur Kontrolle: taylor, series.

Musterlösung: Es gilt

f^{(0)}(x) = e^{sin(x)} ⇒ f^{(0)}(0) = e^{sin(0)} = 1,
f^{(1)}(x) = cos(x) · e^{sin(x)} ⇒ f^{(1)}(0) = 1,
f^{(2)}(x) = − sin(x) · e^{sin(x)} + cos^{2}(x) · e^{sin(x)} ⇒ f^{(2)}(0) = 1,
f^{(3)}(x) = − cos(x) · e^{sin(x)} − 3 · cos(x) · sin(x) · e^{sin(x)} + cos^{3}(x) · e^{sin(x)} ⇒ f^{(3)}(0) = 0.

Damit ergibt sich der Beginn der Taylor–Entwicklung

e^{sin(x)} = f(0) + \frac{f^{(1)}(0)}{1!} · x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!} · x^{2} + \frac{f^{(3)}(0)}{3!} · x^{3} + O(x^{4}) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}).

Probe mit MuPAD:

>> series(exp(sin(x)), x= 0)
                          2    4    5
                         x    x    x       6
                 1 + x + -- - -- - -- + O(x )
                          2    8   15

Aufgabe 81*: (Taylor-Reihen. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2}, M_{3} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Bestimme die ersten 3 Koeffizienten c_{0}, c_{1} , c_{2} der Taylor-Entwicklung von

f(x) = \frac{e^{M_{1}·x}}{M_{2} − M_{3} · x} = c_{0} + c_{1} · x + c_{2} · x^{2} + ⋯

um den Entwicklungspunkt x_{0} = 0. Siehe auch Aufgabe 80.

Musterlösung: Es gilt

f^{(0)}(x) = \frac{e^{M_{1}·x}}{M_{2} − M_{3} · x} ⇒ f^{(0)}(0) = \frac{e^{0}}{M_{2}} = \frac{1}{M_{2}} ,

f^{(1)}(x) = \frac{M_{1} · e^{M_{1}·x} · (M_{2} − M_{3} · x) + M_{3} · e^{M_{1}·x}}{(M_{2} − M_{3} · x)^{2}} = \frac{M_{1} · M_{2} − M_{1} · M_{3} · x + M_{3}}{(M_{2} − M_{3} · x)^{2}} · e^{M_{1}·x}

⇒ f^{(1)}(0) = \frac{M_{1} · M_{2} + M_{3}}{M_{2}^{2}} ,

f^{(2)}(x) = \frac{M_{3} · (M_{1} · M_{2} + 2 · M_{3} − M_{1} · M_{3} · x)}{(M_{2} − M_{3} · x)^{3}} · e^{M_{1}·x} + \frac{M_{1} · M_{2} − M_{1} · M_{3} · x + M_{3}}{(M_{2} − M_{3} · x)^{2}} · M_{1} · e^{M_{1}·x}

⇒ f^{(2)}(0) = \frac{M_{1} · M_{2} · M_{3} + 2 · M_{3}^{2}}{M_{2}^{3}} + \frac{M_{1}^{2} · M_{2} + M_{1} · M_{3}}{M_{2}^{2}}

= \frac{2 · M_{1} · M_{2} · M_{3} + 2 · M_{3}^{2} + M_{1}^{2} · M_{2}^{2}}{M_{2}^{3}} .

Damit ergibt sich der Beginn der Taylor–Entwicklung

\frac{e^{M_{1}·x}}{M_{2} − M_{3} · x} = f(0) + \frac{f^{(1)}(0)}{1!} · x + \frac{f^{(2)}(0)}{2!} · x^{2} + O(x^{3})

= \underbrace{\frac{1}{M_{2}}}_{c_{0}} + \underbrace{\frac{M_{1} · M_{2} + M_{3}}{M_{2}^{2}}}_{c_{1}} ·x + \underbrace{\frac{M_{1}^{2} · M_{2}^{2} + 2 · M_{3}^{2} + 2 · M_{1} · M_{2} · M_{3}}{2 · M_{2}^{3}}}_{c_{2}} ·x^{2} + O(x^{3}).

Probe mit MuPAD:

>> series(exp(M1*x)/(M2  - M3*x), x = 0, 3)
                             /    2     2         \
     1     / M1    M3 \    2 |  M1    M3    M1 M3 |      3
    -- + x | -- + --- | + x  | ---- + --- + ----- | + O(x )
    M2     | M2     2 |      | 2 M2     3      2  |
           \      M2  /      \        M2     M2   /

Aufgabe 82: (Taylor-Reihen) Betrachte f(x) = 1/(1 − x).

a) Bestimme eine Formel für f^{(n)}(x).

b) Bestimme hiermit die Taylor–Reihe von f um den Nullpunkt.

c) Für welche x wird f(x) durch die Taylor-Reihe dargestellt?

Musterlösung:

a) Die ersten Ableitungen:

f^{(0)}(x) = \frac{1}{1 − x}, f^{(1)}(x) = \frac{1}{(1 − x)^{2}} , f^{(2)}(x) = \frac{2}{(1 − x)^{3}} , f^{(3)}(x) = \frac{2 · 3}{(1 − x)^{4}} , f^{(4)}(x) = \frac{2 · 3 · 4}{(1 − x)^{5}}

legen die Vermutung

f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1 − x)^{n+1}}

nahe, welche durch Induktion leicht zu beweisen ist. Hier der Induktionsschritt:

f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(n)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{n!}{(1 − x)^{n+1}} = −(n + 1) · \frac{n!}{(1 − x)^{n+2}} · (−1) = \frac{(n + 1)!}{(1 − x)^{n+2}} .

b) Mit f^{(n)}(0) = n!/(1 − 0)^{n+1} = n! ergibt sich die Taylor–Reihe

∑_{n=0}^{∞} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} · x^{n} = ∑_{n=0}^{∞} x^{n}.

c) Es ist bekannt, dass die geometrische Reihe für |x| < 1 gegen \frac{1}{1−x} konvergiert und für |x| ≥ 1 divergiert:

\frac{1}{1 − x} = ∑_{n=0}^{∞} x^{n} für |x| < 1.

Aufgabe 83: (Taylor-Reihen) Betrachte f(x) = arctan(x).

a) Bestimme die Taylor-Reihe von f′(x) um den Nullpunkt.

b) Für welche x wird f′(x) durch die Taylor-Reihe dargestellt?

c) Stelle eine Vermutung auf, wie die Taylor-Reihe von f(x) aussieht. Anleitung: a) Die Konstruktion über Ableitungen ist mühsam. Betrachte stattdessen eine geeignete geometrische Reihe. c) Integration von f′(x) und der Taylor-Reihe von f′(x). (Integration als Vorkenntnisse aus der Schule vorausgesetzt).

Musterlösung:

a) In Aufgabe 74.b) wurde

\frac{d}{dx} arctan(x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

hergeleitet. Mit ϵ = −x^{2} gilt

\frac{1}{1 + x^{2}} = \frac{1}{1 − ϵ} = ∑_{k=0}^{∞} ϵ^{k} = ∑_{k=0}^{∞}(−x^{2})^{k} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} · x^{2·k} = 1 − x^{2} + x^{4} − x^{6} + · · · .

b) Dies ist die Taylor–Reihe um den Nullpunkt. Als geometrische Reihe konvergiert sie für | − x^{2}| < 1, also |x| < 1, gegen f′(x) = 1/(1 + x^{2}).

c) Integriert man die Gleichung

f′(x) = 1 − x^{2} + x^{4} − x^{6} + ⋯

formal links und rechts, so erhält man

f(x) = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} − \frac{x^{7}}{7} ± ⋯ + Konstante.

Die Konstante ergibt sich durch Einsetzen von x = 0 mit f(0) = arctan(0) = 0 als 0. Dies ergibt als (vermutete) Taylor-Reihe

arctan(x) = x − \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} − \frac{x^{7}}{7} ± · · · .

Aufgabe 84: (Extremwerte) Ein Leuchtturm liegt 3 km vor der Küste, direkt gegenüber einem Punkt A der geraden Küstenlinie. Vom Punkt A aus liegt in 5 km Entfernung parallel zur Küstenlinie ein Laden. Der Leuchtturmwärter kann mit 4 km/h rudern und mit 6 km/h laufen. Welchen Punkt sollte er vom Leuchtturm aus startend ansteuern, um den Laden so schnell wie möglich zu erreichen?

[figure: Küstenlinie; Leuchtturm; rudern mit 4 km/h; laufen mit 6 km/h; 3 km; A; 5 km; Laden]

MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: diff, solve.

Musterlösung: Sei x der Abstand zwischen A und dem Küstenpunkt, der rudernd anzusteuern ist. Nach Pythagoras ist die zu rudernde Strecke \sqrt{3^{2} + x^{2}}, die zum Rudern benötigte Zeit ist damit

t_{1} = \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{4} .

Es verbleibt die Strecke 5 − x zu laufen, die dafür benötigte Zeit ist

t_{2} = \frac{5 − x}{6}.

Damit ist das Minimum von

t(x) = t_{1} + t_{2} = \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{4} + \frac{5 − x}{6}

zu finden:

0 = \frac{dt}{dx} = \frac{2 · x}{4 · 2 · \sqrt{9 + x^{2}}} − \frac{1}{6} ⇒ \frac{x}{4 · \sqrt{9 + x^{2}}} = \frac{1}{6} ⇒ 3 · x = 2 · \sqrt{9 + x^{2}}

⇒ 9 · x^{2} = 4 · (9 + x^{2}) ⇒ 5 · x^{2} = 36 ⇒ x = \frac{6}{\sqrt{5}} ≈ 2.683.

Aufgabe 85*: (Extremwerte. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Betrachte einen Quader, bei dem die Seiten a, b der Grundfläche das Verhältnis a/b = M_{1} aufweisen. Bestimme die Höhe c des Quaders, wenn das Volumen

a · b · c = M_{2}

gegeben ist und die Quaderoberfläche minimal werden soll.

Musterlösung: Die Oberfläche ist

F = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c,

wobei

a = M_{1} · b

und

a · b · c = M_{2}

gilt, also

b = \frac{M_{2}}{a · c} ⇒ a = M_{1} · b = \frac{M_{1} · M_{2}}{a · c} ⇒ a^{2} = \frac{M_{1} · M_{2}}{c} ⇒ a = \sqrt{\frac{M_{1} · M_{2}}{c}}

und

b = \frac{a}{M_{1}} = \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1} · c}} .

Damit ergibt sich die Oberfläche als Funktion von c:

F (c) = 2 · a(c) · b(c) + 2 · (a(c) + b(c)) · c

= 2 · \frac{M_{2}}{c} + 2 · c · (\sqrt{\frac{M_{1} · M_{2}}{c}} + \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1} · c}} ) = 2 · \frac{M_{2}}{c} + 2 · \sqrt{c} · (\sqrt{M_{1} · M_{2}} + \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} ).

Sei

M_{3} = \sqrt{M_{1} · M_{2}} + \sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} = \sqrt{M_{1} · M_{2}} · (1 + \frac{1}{M_{1}} ).

Das Oberflächenminimum ergibt sich durch

0 = \frac{d}{dc} F (c) = −\frac{2 · M_{2}}{c^{2}} + \frac{M_{3}}{\sqrt{c}} ⇒ c^{3/2} = \frac{2 · M_{2}}{M_{3}} ⇒ c = (\frac{2 · M_{2}}{M_{3}} )^{2/3},

also

c = (\frac{4 · M_{2}^{2}}{M_{3}^{2}} )^{1/3} = (\frac{4 · M_{2}^{2}}{M_{1} · M_{2} · (1 + \frac{1}{M_{1}} )^{2}} )^{1/3} = (\frac{4 · M_{2}}{M_{1} + 2 + \frac{1}{M_{1}}} )^{1/3}

= (\frac{4 · M_{1} · M_{2}}{M_{1}^{2} + 2 ∗ M_{1} + 1})^{1/3} = (\frac{4 · M_{1} · M_{2}}{(M_{1} + 1)^{2}} )^{1/3} .