Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 21. 6. 2005

Ü b u n g s b l a t t 11

Lösungen von ∗-Aufgaben sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 05 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 30.6.05, abzuliefern. Lösungen von ∗∗-Aufgaben sind schriftlich abzugeben. Sie werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 29.6.05 eingesammelt.

Aufgabe 71: (Differentiation) Sind die Funktionen

a) f(x) = \{ \begin{matrix}x · sin(\frac{1}{x}) & für & x ≠ 0, \\ 0 & für & x = 0 \end{matrix} , b) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} · sin(\frac{1}{x}) & für & x ≠ 0, \\ 0 & für & x = 0 \end{matrix}

am Nullpunkt differenzierbar?

Musterlösung:

a) Der Grenzwert des Differenzenquotienten am Nullpunkt

lim_{h→0} \frac{f(h) − f(0)}{h} = lim_{h→0} \frac{h · sin(\frac{1}{h})}{h} = lim_{h→0} sin (\frac{1}{h})

existiert nicht: für die Nullfolge h_{n} = \frac{1}{n·π} ergibt sich

lim_{n→∞} sin (\frac{1}{h_{n}} ) = lim_{n→∞} sin(n · π) = lim_{n→∞} 0 = 0,

während sich für die Nullfolge h_{n} = \frac{1}{(2·n+ \frac{1}{2} )·π} ein anderer Grenzwert ergibt:

lim_{n→∞} sin (\frac{1}{h_{n}} ) = lim_{n→∞} sin ((2 · n + \frac{1}{2}) · π) = lim_{n→∞} 1 = 1.

b) Der Grenzwert des Differenzenquotienten am Nullpunkt

lim_{h→0} \frac{f(h) − f(0)}{h} = lim_{h→0} \frac{h^{2} · sin(\frac{1}{h})}{h} = lim_{h→0} h · sin (\frac{1}{h}) = 0

existiert (denn sin(\frac{1}{h}) ist beschränkt).

Aufgabe 72: (Differentiation) Berechne die Ableitung von

a) \frac{1 + x^{2}}{2 + x^{2}} ,  b) sin(x^{2}),  c) cos(π − x^{3}),
c) sin(x^{2} · e^{x}), d) sin^{2}(x) + cos^{2}(x).

Musterlösung: a)

\frac{d}{dx} \frac{1 + x^{2}}{2 + x^{2}} = \frac{2 · x · (2 + x^{2}) − (1 + x^{2}) · 2 · x}{(2 + x^{2})^{2}} = \frac{2 · x}{(2 + x^{2})^{2}} .

b):

\frac{d}{dx} sin(x^{2}) = cos(x^{2}) · 2 · x.

c)

\frac{d}{dx} cos(π − x^{3}) = (− sin(π − x^{3})) · (−3 · x^{2}) = 3 · x^{2} · sin(x^{3}).

d)

\frac{d}{dx} sin(x^{2} · e^{x}) = cos(x^{2} · e^{x}) · (2 · x · e^{x} + x^{2} · e^{x}) = (2 · x + x^{2}) · e^{x} · cos(x^{2} · e^{x}).

e)

\frac{d}{dx} (sin^{2}(x) + cos^{2}(x)) = 2 · sin(x) · cos(x) + 2 · cos(x) · (− sin(x)) = 0.

Dies ist verständlich, da \frac{d}{dx} (sin^{2}(x) + cos^{2}(x)) = \frac{d}{dx} 1.

Aufgabe 73*: (Differentiation. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, …, M_{5} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Berechne die Ableitung von

f(x) = \frac{M_{1} + M_{2} · x^{3}}{M_{3} + e^{−x^{2}}} + sin(M_{4} · x^{2} + M_{5}).

Musterlösung:

>> f:= (M1 + M2*x^3)/(M3 + exp(-x^2)) + sin(M4*x^2 + M5):
>> diff(f, x)
          2
    3 M2 x                      2
-------------- + 2 M4 x cos(M4 x  + M5) +
            2
M3 + exp(- x )
              2       3
   2 x exp(- x ) (M2 x  + M1)
   --------------------------
                     2  2
        (M3 + exp(- x ))

Aufgabe 74: (Differentiation)

In Aufgabe 68 wurde tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} sowie die Umkehrfunktion arctan(x) eingeführt.

a) Zeige: \frac{d}{dx} tan(x) = 1 + tan^{2}(x).

b) Berechne die Ableitung von arctan(x).

c) Berechne die Ableitung von arctan(x) + arctan(1/x). Erklärung?

Musterlösung: a)

\frac{d}{dx} \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{cos^{2}(x) − sin(x) · (− sin(x))}{cos^{2}(x)} = \frac{cos^{2}(x) + sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} = 1 + tan^{2}(x) = \frac{1}{cos^{2}(x)}.

b) Sei f = tan, f^{−1} = arctan, x = tan(y), y = arctan(x). Es gilt

(f^{−1})′(x) = \frac{1}{f′(y)} = \frac{1}{1 + tan^{2}(y)} = \frac{1}{1 + tan^{2}(arctan(x))} = \frac{1}{1 + x^{2}} .

c)

\frac{d}{dx}( arctan(x) + arctan(1/x)) = \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + (1/x)^{2}} · ( − \frac{1}{x^{2}} ) = \frac{1}{1 + x^{2}} − \frac{1}{x^{2} + 1} = 0.

Dies wird verständlich wegen der in Aufgabe 68.d) herzuleitenden Identität

arctan(x) + arctan(1/x) = sign(x) · \frac{π}{2} .

Aufgabe 75: (Die Produktregel) Seien f(x) und g(x) genügend oft differenzierbar. Beweise durch Induktion nach n:

\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x) · g(x) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n−k)}(x) · g^{(k)}(x)

mit den durch \binom{n}{0} = 1 und

\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k − 1} + \binom{n}{k}, k = 1, …, n

definierten Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks.

Musterlösung: Induktionsstart: Für n = 0 ist die Behauptung f(x) · g(x) = f(x) · g(x) sicherlich richtig. Induktionsschritt n → n + 1: Es gelte

\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x) · g(x) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n−k)}(x) · g^{(k)}(x).

Durch eine weitere Ableitung erhält man:

\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} f(x) · g(x) = \frac{d}{dx} ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n−k)}(x) · g^{(k)}(x)

= ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n+1−k)}(x) · g^{(k)}(x) + ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n−k)}(x) · g^{(k+1)}(x)
= f^{(n+1)}(x) · g(x) + ∑_{k=1}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n+1−k)}(x) · g^{(k)}(x)

+ ∑_{k=0}^{n−1} \binom{n}{k} · f^{(n−k)}(x) · g^{(k+1)}(x) + f(x) · g^{(n+1)}(x)

= f^{(n+1)}(x) · g(x) + ∑_{k=1}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n+1−k)}(x) · g^{(k)}(x)

+ ∑_{k=1}^{n} \binom{n}{k − 1} · f^{(n+1−k)}(x) · g^{(k)}(x) + f(x) · g^{(n+1)}(x)

= f^{(n+1)}(x) · g(x) + ∑_{k=1}^{n} (\binom{n}{k} + \binom{n}{k − 1}) · f^{(n+1−k)}(x) · g^{(k)}(x) + f(x) · g^{(n+1)}(x)
= f^{(n+1)}(x) · g(x) + ∑_{k=1}^{n} \binom{n + 1}{k} · f^{(n+1−k)}(x) · g^{(k)}(x) + f(x) · g^{(n+1)}(x)

= ∑_{k=0}^{n+1} \binom{n + 1}{k} · f^{(n+1−k)}(x) · g^{(k)}(x).

Aufgabe 76**: (Implizite Differentiation; 10 Bonuspunkte) Diese Aufgabe kann schriftlich bearbeitet werden. Bearbeitungen werden zu Beginn der Vorlesung am Mi, 29.6.05, eingesammelt.

Eine Funktion y = f(x) ist als Lösung der Gleichung

y^{3} + x^{2} · y = e^{(x^{2})}

definiert. Offensichtlich gilt f(0) = 1. Bestimme f′(0). Anleitung: differenziere die Identität f(x)^{3} + x^{2} · f(x) = e^{(x^{2})} nach x. Es ergibt sich eine Gleichung für f′(x).

Musterlösung: Für x = 0 ist y = f(0) durch die Gleichung y^{3} + 0 · y = e^{0} = 1 definiert, woraus y = f(0) = 1 folgt. Durch Differentiation der definierenden Gleichung erhält man:

f(x)^{3} + x^{2} · f(x) = e^{(x^{2})} ⇒ 3 · f(x)^{2} · f′(x) + 2 · x · f(x) + x^{2} · f′(x) = 2 · x · e^{(x^{2})}.

Mit x = 0, f(0) = 1 ergibt sich

3 · f(0)^{2} · f′(0) + 2 · 0 · f(0) + 0^{2} · f′(0) = 2 · 0 · e^{(0^{2})} ⇒ 3 · f′(0) = 0 ⇒ f′(0) = 0.

Aufgabe 77*: (Implizite Differentiation. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, …, M_{4} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Betrachte die durch die Gleichung

e^{M_{1}·(y−M_{2})} + M_{3} · y = 1 + M_{2} · M_{3} · e^{x−M_{4}}

definierte Funktion y = f(x). Berechne f(M_{4}) und f′(M_{4}). Anleitung: siehe Aufgabe 76.

Musterlösung: Für x = M_{4} ist y = f(M_{4}) durch die Gleichung

e^{M_{1}·(y−M_{2})} + M_{3} · y = 1 + M_{2} · M_{3} ⇒ e^{M_{1}·(y−M_{2})} = 1 − M_{3} · (y − M_{2})

gegeben. Die Lösung ist y = f(M_{4}) = M_{2}. Durch Ableitung von

e^{M_{1}·(f(x)−M_{2})} + M_{3} · f(x) = 1 + M_{2} · M_{3} · e^{x−M_{4}}

erhält man

M_{1} · f′(x) · e^{M_{1}·(f(x)−M_{2})} + M_{3} · f′(x) = M_{2} · M_{3} · e^{x−M_{4}}.

Mit x = M_{4}, f(x) = f(M_{4}) = M_{2} ergibt sich die Gleichung

M_{1} · f′(M_{4}) + M_{3} · f′(M_{4}) = M_{2} · M_{3} ⇒ f′(M_{4}) = \frac{M_{2} · M_{3}}{M_{1} + M_{3}} .

Aufgabe 78*: (Differentiation von Umkehrfunktionen. 10 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{4} Zahlen (die von hex zufällig gewählt werden). Finde eine Formel, um die zweite Ableitung der Umkehrfunktion f^{−1} einer invertierbaren Funktion f an einer Stelle x durch Ableitungen von f an der Stelle y = f^{−1}(x) auszudrücken. Berechne (f^{−1})′′(M_{2} + M_{3}) für

f(y) = M_{1} · y + M_{2} + M_{3} · e^{M_{4}·y}.

Musterlösung: Ableiten der Identität

(f^{−1})(f(y)) = y

nach y liefert über die Kettenregel

(f^{−1})′(f(y)) · f′(y) = 1.

Erneutes Ableiten liefert

(f^{−1})′′(f(y)) · f′(y) · f′(y) + (f^{−1})′(f(y)) · f′′(y) = 0.

Mit (f^{−1})′(f(y)) = 1/f′(y) folgt

(f^{−1})′′(f(y)) = −\frac{(f^{−1})′(f(y)) · f′′(y)}{f′(y)^{2}} = −\frac{f′′(y)}{f′(y)^{3}} .

Sei g = f^{−1}, x = f(y), y = g(x):

g′′(x) = −\frac{f′′(g(x))}{f′(g(x))^{3}} .

Für

f(y) = M_{1} · y + M_{2} + M_{3} · e^{M_{4}·y},
f′(y) = M_{1} + M_{3} · M_{4} · e^{M_{4}·y},
f′′(y) = M_{3} · M_{4}^{2} · e^{M_{4}·y}

ergibt sich

g′′(x) = −\frac{M_{3} · M_{4}^{2} · e^{M_{4}·g(x)}}{(M_{1} + M_{3} · M_{4} · e^{M_{4}·g(x)})^{3}} .

Mit f(0) = M_{2} + M_{3} ⇒ g(M_{2} + M_{3}) = 0 folgt

g′′(M_{2} + M_{3}) = −\frac{M_{3} · M_{4}^{2}}{(M_{1} + M_{3} · M_{4})^{3}} .

Abzugeben waren:

g(M_{2} + M_{3}) = 0, g′(M_{2} + M_{3}) = \frac{1}{M_{1} + M_{3} · M_{4}} , g′′(M_{2} + M_{3}) = −\frac{M_{3} · M_{4}^{2}}{(M_{1} + M_{3} · M_{4})^{3}} .

Aufgabe 79: (Mittelwertsatz) Sei f : [a, b] ↦ ℝ eine differenzierbare Funktion, die f′(x) = 0 für alle x ∈ [a, b] erfüllt. Zeige, dass f konstant ist.

Musterlösung: Der Mittelwertsatz auf einem Intervall [a, x] ⊂ [a, b] besagt

\frac{f(x) − f(a)}{x − a} = f′(ξ) = 0

(mit irgendeinem Zwischenwert ξ). Es folgt f(x) = f(a) für jedes x ∈ [a, b].