Mathe II für Informatiker Sommersemester 05 Walter Oevel 12. 4. 2005

Ü b u n g s b l a t t 1

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 05 ⟶ Übungen) abzuliefern bis spätestens So, 24.4.05, 23\underline{59} Uhr.

Aufgabe 1*: (Erinnerung an das letzte Semester: lineare Gleichungen. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2}, … gegebene Zahlen (die vom Abgabetool zufällig gewählt werden). Bestimme alle Lösungen x, y, z des Gleichungsystems

M_{1} · y + M_{2} · z = M_{3}, M_{1} · x + 2 · y = M_{4}, M_{2} · x + 3 · z = M_{5}.

Relevante MuPAD-Funktionen: solve, linsolve.

Musterlösung: Hier nur die mit MuPAD ermittelten Endergebnisse:

>> linsolve({       M1*y + M2*z = M3,
             M1*x +  2*y        = M4,
             M2*x        +  3*z = M5},
            {x, y, z})
--
|      3 M1 M4 - 6 M3 + 2 M2 M5
|  x = ------------------------,
|                2       2
--           3 M1  + 2 M2
                              2
       3 M1 M3 - M1 M2 M5 + M2  M4
   y = ---------------------------,
                  2       2
              3 M1  + 2 M2
                              2    --
       2 M2 M3 - M1 M2 M4 + M1  M5  |
   z = ---------------------------  |
                  2       2         |
              3 M1  + 2 M2         --

Aufgabe 2*: (Erinnerung an das letzte Semester: Eigenwerte. 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2}, M_{3} wie in Aufgabe 1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix

( \begin{matrix}M_{1} & M_{2} & 0 \\ M_{2} & −M_{1} & 0 \\ 0 & 0 & M_{3} \end{matrix} ) .

Relevante MuPAD-Funktionen: matrix, linalg::eigenvalues, sqrt.

Musterlösung: Hier nur die mit MuPAD ermittelten Endergebnisse:

>> A:= matrix([[M1, M2, 0], [M2, -M1, 0], [0, 0, M3]]):

Das charakteristische Polynom det(x · I_{3} − A):

>> linalg::charpoly(A, x)
         3       2        2     2              2     2
        x  - M3 x  + (- M1  - M2 ) x - M3 (- M1  - M2 )
>> linalg::eigenvalues(A)
                    2     2 1/2       2     2 1/2
            {M3, (M1  + M2 )   , - (M1  + M2 )   }

Aufgabe 3: (MuPAD) Lies die MuPAD–Hilfeseiten zu Re, Im, conjugate und rectform (interaktiv durch ?Re etc. aufzurufen). Sei z = (1+i·\sqrt{2} )/(1−i). Zerlege z^{5} mit MuPAD in Real- und Imaginärteil.

Musterlösung:

>> z:= (1 + sqrt(2)*I)/(1 - I);
>> z^5
                                             1/2 5
             ((1/2 + 1/2 I) - (1/2 - 1/2 I) 2   )

rectform zerlegt in Real- und Imaginärteil:

>> rectform(z^5)
             /     1/2       \     /     1/2       \
             | 11 2          |     | 11 2          |
           - | ------- + 1/8 | + I | ------- - 1/8 |
             \    8          /     \    8          /

Aufgabe 4: (Komplexe Zahlen) Seien i = \sqrt{−1}. z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 − i, z_{3} = 1 + i · \sqrt{15}. Berechne für k = 1, 2, 3

a) \frac{1}{z_{k}} ,  b) \overline{z_{k}},  c) |z_{k}|  sowie  d) z_{1} · z_{2}, \frac{z_{2}}{z_{3}} , z_{1}^{4}.

Musterlösung: a)

\frac{1}{z_{1}} = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 − i}{(1 + i) · (1 − i)} = \frac{1}{2} − \frac{i}{2}, \frac{1}{z_{2}} = \frac{1}{1 − i} = \frac{1 + i}{(1 − i) · (1 + i)} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2},

\frac{1}{z_{3}} = \frac{1}{(1 + i · \sqrt{15})} = \frac{1 − i · \sqrt{15}}{(1 + i · \sqrt{15}) · (1 − i · \sqrt{15})} = \frac{1 − i · \sqrt{15}}{16} = \frac{1}{16} − i · \frac{\sqrt{15}}{16},

b)

\overline{z_{1}} = 1 − i, \overline{z_{2}} = 1 + i, \overline{z_{3}} = 1 − i · \sqrt{15} ,

c)

|z_{1}| = \sqrt{2}, |z_{2}| = \sqrt{2}, |z_{3}| = \sqrt{1 + 15} = 4,

d)

z_{1} · z_{2} = (1 + i) · (1 − i) = 1 − i^{2} = 2.

Mit a) gilt 1/z_{3} = (1 − i · \sqrt{15})/16:

\frac{z_{2}}{z_{3}} = (1 − i) · \frac{1 − i · \sqrt{15}}{16} = \frac{1 − \sqrt{15} − i · (1 + \sqrt{15})}{16} = \frac{1 − \sqrt{15}}{16} − i · \frac{1 + \sqrt{15}}{16},

z_{1}^{4} = ((z_{1})^{2})^{2} = ((1 + i)^{2})^{2} = (1 + 2 · i + i^{2})^{2} = (1 + 2 · i − 1)^{2} = (2 · i)^{2} = −4.

Aufgabe 5*: (Komplexe Zahlen, 10 Bonuspunkte) Seien M_{1}, M_{2}, M_{3} wie in Aufgabe 1, i = \sqrt{−1}. Seien z_{1} = M_{1} + i · M_{2}, z_{2} = M_{1} − i · M_{2}, z_{3} = M_{1} + i · M_{3}. Berechne z = z_{1} · z_{2}/z_{3} in Kartesischen Koordinaten, d.h., als z = x + i · y mit reellem x, y. Relevante MuPAD-Objekte: I, rectform, sqrt.

Musterlösung: Hier nur die mit MuPAD ermittelten Endergebnisse:

>> z1:= M1 + I*M2: z2:= M1 - I*M2: z3:= M1 + I*M3:
>> rectform(z1*z2/z3);
/                                   /                  2    \ \
|    /   M1 M2       M1 M3   \      |   M2 M3        M1     | |
| M2 | --------- - --------- | + M1 | --------- + --------- | |
|    |   2     2     2     2 |      |   2     2     2     2 | |
\    \ M1  + M3    M1  + M3  /      \ M1  + M3    M1  + M3  / /

/
|    /   M1 M2       M1 M3   \
+ I | M1 | --------- - --------- | -
|    |   2     2     2     2 |
\    \ M1  + M3    M1  + M3  /
/                  2    \ \
|   M2 M3        M1     | |
M2 | --------- + --------- | |
|   2     2     2     2 | |
\ M1  + M3    M1  + M3  / /
>> normal(%);
      3        2   /     2        2    \
    M1  + M1 M2    | - M1  M3 - M2  M3 |
    ------------ + | ----------------- | I
        2     2    |       2     2     |
      M1  + M3     \     M1  + M3      /

Aufgabe 6: (Komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen) Bestimme alle Nullstellen des Polynoms z^{2} + z + 1. Relevante MuPAD-Funktionen: solve.

Musterlösung: Die aus der Schule bekannte übliche Wuzelformel

z_{±} = −\frac{p}{2} ± \sqrt{\frac{p^{2}}{4} − q}

für die Gleichung z^{2} + p · z + q = 0 liefert für p = q = 1:

z_{±} = −\frac{1}{2} ± \sqrt{\frac{1}{4} − 1} = −\frac{1}{2} ± \sqrt{−\frac{3}{4}} = −\frac{1}{2} ± \frac{1}{2} · \sqrt{−3} = −\frac{1}{2} ± \frac{i · \sqrt{3}}{2}.