Kapitel 3

Dynamische Systeme

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

\frac{dy}{dt} = f(t, y) ; y ∈ ℝ^{N} ; f : ℝ × ℝ^{N} → ℝ^{N}

heißt dynamisches System auf dem Phasenraum ℝ^{N}. Der Parameter t wird die Zeit genannt. Das Vektorfeld f(t, y) heißt autonom, wenn es nicht explizit von der Zeit abhängt: dy/dt = f(y).

Bemerkung 3.2: Mit z := (t, y)^{T} ∈ ℝ × ℝ^{N}, dz/dt = g(z) := (1, f(t, y))^{T} läßt sich jedes System durch Vergrößerung des Phasenraums autonom machen:

\frac{dy}{dt} = f(t, y) ⟺ \frac{d}{dt} ( \begin{matrix}t \\ y \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ f(t, y) \end{matrix} ) .

Bemerkung 3.3: Eine Differentialgleichung höherer Ordnung

\frac{d^{k}y}{dt^{k}} = f(t, y, \frac{dy}{dt} , …, \frac{d^{k−1}y}{dt^{k−1}} ) ; y ∈ ℝ^{n}  (#)

läßt sich als dynamisches System auf einem größeren Phasenraum interpretieren:

\frac{d}{dt} ( t ; z_{0} ; z_{1} ; ⋮ ; z_{k−2} ; z_{k−1} ) = ( 1 ; z_{1} ; z_{2} ; ⋮ ; z_{k−1} ; f(t, z_{0}, …, z_{k−1}) ) ∈ \underbrace{ℝ × ℝ^{n} × … × ℝ^{n}}_{ℝ^{N} = ℝ^{1+nk}} .

Setzt man z_{0} = y, so folgt z_{i} = d^{i}y/dt^{i} ∈ ℝ^{n}, i = 0, …, k − 1. Der letzte Block dz_{k−1}/dt = dy^{k}/dt^{k} = f(t, z_{0}, …, z_{k−1}) repräsentiert dann (#).

Damit reicht es, numerische Verfahren zu Lösung von dy/dt = f(y) zu entwickeln, die für beliebiges (glattes) f auf beliebigen Phasenräumen funktionieren. Es geht hier um das Anfangswertproblem (AWP)

\frac{dy}{dt} = f(y) ; y(t_{0}) = y_{0} .  (#)

Randwertaufgaben (Vorgabe von Daten zu verschiedenen Zeiten) erfordern andere Methoden.

Existenz und Eindeutigkeit für dy/dt = f(t, y) auf dem ℝ^{N} sind unter minimalen Voraussetzungen an das Vektorfeld garantiert:

Satz 3.4: (Existenzsatz von Peano)

Sei f(t, y) stetig auf einem offenem Gebiet Ω ⊂ ℝ × ℝ^{N}, sei (t_{0}, y_{0}) ∈ Ω. Dann hat das AWP (#) mindestens eine Lösung, die sich bis zum Rand von Ω fortsetzen läßt.

Beweis: siehe z.B. [W. Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, Kap. II.10].

Bemerkung 3.5: Es können die Fälle auftreten:

a) die Lösungen existieren für alle t ∈ [t_{0}, ∞),

b) lim_{t→T −0} ||y(t)|| = ∞ für t_{0} ≤ t < T < ∞,

c) lim_{t→T −0} dist( (t, y(t)) , ∂Ω ) = 0 für t_{0} ≤ t < T < ∞

(mit dist = Abstand zum Rand ∂Ω).

Beispiele für diese Fälle sind z.B. in [Deuflhard & Bornemann] zu finden. Analoges gilt für Zeiten t ≤ t_{0}.

Satz 3.6: (Eindeutigkeit der Lösung)

Sei f(t, y) stetig auf einem offenem Gebiet Ω ⊂ ℝ × ℝ^{N} und Lipschitzstetig bzgl. y, d.h., es existiert L mit

|f(t, y_{1}) − f(t, y_{2})| ≤ L |y_{1} − y_{2}| ∀ (t, y_{1}), (t, y_{2}) ∈ Ω.

Dann ist die Lösung aus Satz 3.4 eindeutig.

Beweis: siehe z.B. [W. Walter].

Bemerkung 3.7: \underline{Lokale} Lipschitz-Stetigkeit reicht für Eindeutigkeit: zu jedem (t, y) ∈ Ω ⊂ ℝ × ℝ^{N} existiere eine Umgebung U(t, y) und eine Lipschitz-Konstante L = L(t, y), so daß

|f(t, y_{1}) − f(x, y_{2})| ≤ L |y_{1} − y_{2}| ∀ (t, y_{1}), (t, y_{2}) ∈ U(t, y) .

Zusammenfassung: Sei f(t, y) stetig und stetig differenzierbar bezüglich y (und damit lokal Lipschitz-stetig in y). Dann existiert lokal, d.h., für hinreichend kleine h, eine eindeutige Lösung y(t_{0} + h) des AWP (#).

Bemerkung 3.8: Für spezielle Gebiete gelten weitergehende Aussagen, z.B.: Sei Ω = [t_{0}, t_{1}] × ℝ^{N}, f : Ω → ℝ^{N} stetig und global Lipschitz-stetig bzgl. y (d.h., die L-Konstante ist global gültig auf Ω). Dann existiert die Lösung y(t) ∀ t ∈ [t_{0}, t_{1}]. Vergleiche z.B. [Walter, II.10, Satz VII].

Im folgenden wird f(t, y) als hinreichend glatt (mindestens stetig differenzierbar) vorausgesetzt.

Definition 3.9:

Sei y(t; t_{0}, y_{0}) die Lösung des AWP dy/dt = f(t, y) ; y(t_{0}) = y_{0}. Die Abbildung

\begin{aligned}F_{t,t_{0}} : & ℝ^{N} → ℝ^{N} \\ & y_{0} → y(t; t_{0}, y_{0}) \end{aligned}

heißt Fluß des dynamischen Systems (auch “Zeitschritt” t_{0} → t genannt).

Satz 3.10: (Gruppenstruktur des Flusses)

Es gilt F_{t,t_{1}} ∘ F_{t_{1}t_{0}} = F_{t,t_{0}} für alle Zeiten t_{0}, t_{1}, t ∈ ℝ, für welche die Flüsse definiert sind.

Beweis: Sei u(t) = (F_{t,t_{1}} ∘ F_{t_{1},t_{0}})(y_{0}) = y(t; t_{1}, y(t_{1}; t_{0}, y_{0})). Diese Funktion erfüllt

\frac{du}{dt} = f(t, u) und u(t_{1}) = y(t_{1}; t_{0}, y_{0}) .

Sei v(t) = F_{t,t_{0}}(y_{0}) = y(t; t_{0}, y_{0}). Diese Funktion erfüllt

\frac{dv}{dt} = f(t, v) und v(t_{1}) = y(t_{1}; t_{0}, y_{0}) .

Also: u und v sind beide Lösungen des AWP dz/dt = f(t, z); z(t_{1}) = y(t_{1}; t_{0}, y_{0}). Aus der Eindeutigkeit von Lösungen folgt u = v.

Q.E.D.

Satz 3.11: (Gruppenstruktur autonomer Systeme)

Für autonome Differentialgleichungen dy/dt = f(y) hängt F_{t,t_{0}} nur von der Differenz t − t_{0} ab:

F_{t_{0}+h,t_{0}} = F_{t_{1}+h,t_{1}} ∀ t_{0}, t_{1}, h ∈ ℝ .

Mit der Notation F_{h} ≡ F_{t_{0}+h,t_{0}} (unabhängig von t_{0}) gilt

\begin{matrix}F_{0} = id , \\ F_{h_{2}} ∘ F_{h_{1}} = F_{h_{1}} ∘ F_{h_{2}} = F_{h_{1}+h_{2}} , \\ F_{h} ∘ F_{−h} = F_{−h} ∘ F_{h} = id . \end{matrix}  (“Gruppenstruktur des Flusses”)

Beweis: Seien

u(h) = F_{t_{0}+h,t_{0}}(y_{0}) = y(t_{0} + h; t_{0}, y_{0}) , v(h) = F_{t_{1}+h,t_{1}}(y_{0}) = y(t_{1} + h; t_{1}, y_{0}) .

Beide Funktionen erfüllen dieselbe Differentialgleichung:

\frac{du}{dh} = f(u) , \frac{dv}{dh} = f(v) .

Außerdem gilt u(0) = y(t_{0}; t_{0}, y_{0}) = y_{0} = y(t_{1}; t_{1}, y_{0}) = v(0). Mit der Eindeutigkeit von Anfangswertproblemen folgt u = v. Zur Gruppenstruktur:

• F_{0} = F_{t_{0},t_{0}} = id ist klar ,

• F_{h_{2}} ∘ F_{h_{1}} ≡ F_{t_{0}+h_{1}+h_{2},t_{0}+h_{1}} ∘ F_{t_{0}+h_{1},t_{0}} =^{(3.10)} F_{t_{0}+h_{1}+h_{2},t_{0}} ≡ F_{h_{1}+h_{2}},

• F_{h} ∘ F_{−h} = F_{h−h} = F_{0} = id.

Q.E.D.

Bemerkung 3.12: Sei y(t) = y(t; t_{0}, y_{0}) die Lösung des AWP dy/dt = f(y), y(t_{0}) = y_{0}. Mit

F_{h}(y(t)) = (F_{t+h,t} ∘ F_{t,t_{0}})(y_{0}) = F_{t+h,t_{0}}(y_{0}) = y(t + h)

wirkt F_{h} \underline{auf Lösungskurven} als Zeitverschiebung F_{h} : y(t) → y(t + h).

Bemerkung 3.13: Sei F_{h} der Fluß von dy/dt = f(y) und F̃_{h} sei der Fluß von dy/dt = −f(y). Dann gilt F_{h} ∘ F̃_{h} = F̃_{h} ∘ F_{h} = id, also F̃_{h} = (F_{h})^{−1} = F_{−h}.

Beweis: Sei

y(t; t_{0}, y_{0}) die Lösung des AWP \frac{dy}{dt} = f(y) ; y(t_{0}) = y_{0}

und

ỹ(t; t_{0}, y_{0}) die Lösung des AWP \frac{dy}{dt} = −f(y); y(t_{0}) = y_{0} .

Es gilt ỹ(t; t_{0}, y_{0}) = y(2 t_{0} − t; t_{0}, y_{0}), denn diese Funktion löst das zweite AWP, Eindeutigkeit. Damit folgt F_{t_{0}−t} ≡ F_{2 t_{0}−t,t_{0}} = F̃_{t,t_{0}} ≡ F̃_{t−t_{0}}.

Q.E.D.

Beispiele 3.14:

a) Eine lineare Differentialgleichung dy/dt = Ay mit einer konstanten Matrix A hat die Lösung y(t) = e^{(t−t_{0})A}y_{0}, also F_{t,t_{0}} = F_{t−t_{0}} = e^{(t−t_{0})A}.

b) Das skalare System dy/dt = y^{2}, y(t) ∈ ℝ, hat die Lösung

y(t) = \frac{y(t_{0})}{1 − (t − t_{0}) y(t_{0})} .

Damit ist der Fluß die Abbildung

F_{h} : y → \frac{y}{1 − hy} , definiert für \{ \begin{matrix}h ∈ (−∞, \frac{1}{y}) & für y > 0 , \\ h ∈ (\frac{1}{y}, ∞) & für y < 0 , \\ h ∈ (−∞, ∞) & für y = 0 . \end{matrix}

Zusammenfassung: “Lösen” eines autonomen Systems dy/dt = f(y) auf ℝ^{N} heißt: finde die 1-parametrige Abbildungsschar F_{h} : ℝ^{N} → ℝ^{N}, welche

F_{0} = id , F_{h_{2}} ∘ F_{h_{1}} = F_{h_{2}+h_{1}} , F_{−h} = F_{h}^{−1}

erfüllt. Numerisch: finde Approximationen von F_{h}. Ein numerischer Integrator I_{h} : ℝ^{N} → ℝ^{N} ist eine 1-parametrige Schar von Abbildungen mit möglichst kleinem “Verfahrensfehler” F_{h} − I_{h}.

Numerisches Lösungsverfahren 3.15: Zur Lösung des AWP

\frac{dy}{dt} = f(y), y(t_{0}) = y_{0}

wähle Stützwerte t_{0}, t_{1} = t_{0} + h_{0}, t_{2} = t_{1} + h_{1}, … mit “Schrittweiten” h_{i} und berechne iterativ

y_{k+1} = I_{h_{k}}(y_{k}) mit dem Start y_{0} ,

also

\begin{aligned}y_{exakt}(t_{0} + h_{0} + h_{1} + ⋯ + h_{n}) & = & F_{h_{n}} ∘ F_{h_{n−1}} ∘ … ∘ F_{h_{0}}(y_{0}) \\ & ≈ & I_{h_{n}} ∘ I_{h_{n−1}} ∘ … ∘ I_{h_{0}}(y_{0}) \end{aligned}

\underline{Ziel:} finde I_{h}, so daß I_{h}−F_{h} klein ist für \underline{kleines} h (systematische Konstruktionen von I_{h} folgen später). Problem: schon ein einzelner Schritt y_{0} → y_{1} = I_{h_{0}}(y_{0}) führt auf eine Nachbartrajektorie. Damit ist zu klären: wie weit können benachbarte Trajektorien im Laufe der Zeit auseinander laufen?

Bemerkung 3.16: Das AWP dy/dt = f(y), y(t_{0}) = y_{0} ist äquivalent zur Integralgleichung

y(t) = y_{0} + ∫_{t_{0}}^{t} f(y(t)) dt .

Lemma 3.17: (Gronwall)

Sei g : [0, ∞) → ℝ stetig und es gelte

g(t) ≤ g(0) + L ∫_{0}^{t} g(h) dh ∀ t ∈ [0, ∞)

mit einer Konstanten L ≥ 0. Dann folgt g(t) ≤ g(0) e^{tL} ∀ t ∈ [0, ∞].

Beweis: Sei ϵ > 0 beliebig. Zeige g(t) ≤ (g(0) + ϵ) e^{tL} (womit die behauptete Abschätzung folgt, da für jedes t ein beliebig kleines ϵ gewählt werden kann). Angenommen,

T := inf{ h ∈ [0, ∞) ; g(h) ≥ (g(0) + ϵ) e^{hL} } ,

existiert. Es gilt

g(h) < (g(0) + ϵ) e^{hL} ∀ h ∈ [0, T)

und damit

g(T) = lim_{h→T −0} g(h) ≤ (g(0) + ϵ) e^{T L} .

Wäre g(T) < (g(0) + ϵ) e^{T L}, so gälte auch g(h) < (g(0) + ϵ) e^{hL} auf einer Umgebung von T im Widerspruch zu T = inf{...} . Also gilt

g(T) = (g(0) + ϵ) e^{T L} .

Es folgt der Widerpruch

\begin{aligned}g(T) & ≤ & g(0) + L ∫_{0}^{T} g(h) dh \\ & < & g(0) + ϵ + L ∫_{0}^{T} (g(0) + ϵ) e^{h L} dh = (g(0) + ϵ) e^{T L} . \end{aligned}

Q.E.D.

Hiermit ergibt sich der folgende

Satz 3.18: (Abhängigkeit der Lösung von den Anfangsdaten)

Der Fluß F_{h} des Systems dy/dt = f(y) mit Lipschitz-stetigem Vektorfeld ||f(y_{0}) − f(z_{0})|| ≤ L ||y_{0} − z_{0}|| ist wieder Lipschitz-stetig mit

||F_{h}(y_{0}) − F_{h}(z_{0})|| ≤ e^{hL} ||y_{0} − z_{0}|| , h ≥ 0 .

Beweis: Es seien y(t_{0} + h) = F_{h}(y_{0}) und z(t_{0} + h) = F_{h}(z_{0}) die Lösungen zu den Anfangswerten y_{0} bzw. z_{0} zum Zeitpunkt t_{0}. Mit Bemerkung 3.16 gilt

\begin{aligned}F_{h}(y_{0}) & = & y_{0} + ∫_{t_{0}}^{t_{0}+h} \frac{dy(t)}{dt} dt & = & y_{0} + ∫_{0}^{h} f(y(t_{0} + τ)) dτ \\ F_{h}(z_{0}) & = & z_{0} + ∫_{t_{0}}^{t_{0}+h} \frac{dz(t)}{dt} dt & = & z_{0} + ∫_{0}^{h} f(z(t_{0} + τ)) dτ \end{aligned}

und folglich

||F_{h}(y_{0}) − F_{h}(z_{0})|| ≤ ||y_{0} − z_{0}|| + ∫_{0}^{h} ||f(y(t_{0} + τ)) − f(z(t_{0} + τ))|| dτ

≤ ||y_{0} − z_{0}|| + L ∫_{0}^{h} ||y(t_{0} + τ)) − z(t_{0} + τ))|| dτ .

Das Gronwall-Lemma mit g(h) = ||F_{h}(y_{0}) − F_{h}(z_{0})||, g(0) = ||y_{0} − z_{0}|| liefert sofort die Behauptung.

Q.E.D.

Interpretation:

+ Der Fluß F_{h}(y) ist Lipschitz-stetig in y (auch glatter, wenn f(y) glatter ist).

− Die Lipschitz-Konstante e^{hL} wächst \underline{exponentiell} mit der Zeit h:

Langzeitintegration ist numerisch \underline{prinzipiell} ein Problem für solche Systeme, für welche die Abschätzung aus Satz 3.18 realistisch ist (“instabile Differentialgleichungen”).