Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 13. 6. 2002

Ü b u n g s b l a t t 9

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 27.6.02, abzuliefern.

Aufgabe 62: (O-Kalkül für Funktionen) Zeige:

a) \frac{sin(x^{2})}{x · cos(x^{3})} = O(x) im Limes x → 0,
b) \frac{e^{x} · (1 − cos(x^{2}))}{x^{4}} = O(1) im Limes x → 0,
c) \frac{sin(x)}{x} = O(\frac{1}{x}) im Limes x → ∞.

Aufgabe 63*: (O-Kalkül für Funktionen. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Gilt

1 − cos(x^{M_{2}+M_{3}+M_{4}}) = O(x^{3·M_{4}+4·M_{5}−M_{6}}) im Limes x → 0 ?

(Es gibt nur einen Abgabeversuch für die Antwort richtig oder falsch.)

Aufgabe 64: (O-Kalkül für Funktionen) Zeige:

a) x · ln(|x|) = o(1) im Limes x → 0, b) ln(x) = o(x) im Limes x → ∞.

Anleitung: Offensichtlich gilt lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{y→y_{0}} f(g(y)), wenn man die Existenz der Grenz-

werte voraussetzt und g(y) an der Stelle y_{0} stetig ist. Weiterhin: Die Existenz des rechten Grenzwerts impliziert die Existenz des linken Grenzwerts, wenn zusätzlich g auf einer Umgebung von y_{0} streng monoton ist. Das gilt auch für x_{0} = ±∞ und/oder y_{0} = ±∞. Benutze dies (ohne Beweis) und setze hier x = e^{−y} bzw. x = e^{y}. Betrachte statt des Limes in x einen entsprechenden Limes in y.

Aufgabe 65: (Identitäten der trigonometrischen Funktionen)

a) Zeige für beliebiges z ∈ ℂ:

sin (\frac{π}{2} − z) = cos(z), cos (\frac{π}{2} − z) = sin(z).

b) Folgere sin (\frac{π}{4} ) = cos (\frac{π}{4} ) = \frac{1}{\sqrt{2}}. c) Zeige für beliebiges x, y ∈ ℂ:

sin(x) ± sin(y) = 2 · cos (\frac{x ∓ y}{2} ) · sin (\frac{x ± y}{2} ).

Anleitung: Additionstheoreme.

Aufgabe 66: (Spezielle Funktionen: tan und arctan. Mühselige technische Puzzelei.)

a) Wir führen die Tangens-Funktion tan(x) = sin(x)/ cos(x) ein. Sie ist für alle x ∈ ℝ \ \{±\frac{π}{2} , ±\frac{3·π}{2} , ±\frac{5·π}{2} , …\} definiert (an diesen Stellen gilt cos(x) ≠ 0). Zeige, dass sie die Symmetrie tan(−x) = − tan(x) und die Periode π hat: tan(x + π) = tan(x). Zeige, dass das Additionstheorem

tan(x + y) = \frac{tan(x) + tan(y)}{1 − tan(x) · tan(y)}

für alle x, y mit x, y, x + y ∉ \{±\frac{π}{2} , ±\frac{3·π}{2} , ±\frac{5·π}{2} , …\} gilt.

b) Zeige, dass für alle x, y im Intervall (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) gilt:

tan(x) · tan(y) \{ \begin{matrix}= 1 & für & x + y = ±\frac{π}{2} , \\ > 1 & für & x + y > \frac{π}{2} oder x + y < −\frac{π}{2} , \\ > 1 & für & (x < 0 und x + y < \frac{π}{2} ) oder (x > 0 und x + y > −\frac{π}{2} ), \\ < 1 & für & (x ≥ 0 und x + y < \frac{π}{2} ) oder (x ≤ 0 und x + y > −\frac{π}{2} ). \end{matrix}

Verwende hierzu ohne Beweis, dass tan(y) auf dem “Basisintervall“ y ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) streng monoton steigt.

c) Schränkt man tan(x) auf das Basisinterval x ∈ (−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ) ein, so ist der Tangens wegen der strengen Monotonie dort invertierbar. Die (wiederum streng monoton steigende) Umkehrfunktion wird als Arcus Tangens bezeichnet:

arctan : ℝ ↦ ( − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} ).

Visualisiere MuPADs arctan mit MuPADs plotfunc2d. Bestimme arctan(0), arctan(±1) und lim_{x→±∞} arctan(x).

d) Zeige, dass die Identität

arctan(X) + arctan(Y) = \{ \begin{matrix}arctan (\frac{X+Y}{1−X·Y} ) & für & X · Y < 1, \\ arctan (\frac{X+Y}{1−X·Y} ) + π & für & X · Y > 1, X > 0, Y > 0, \\ arctan (\frac{X+Y}{1−X·Y} ) − π & für & X · Y > 1, X < 0, Y < 0 \end{matrix}

für alle X, Y ∈ ℝ mit X · Y ≠ 1 gilt. Welche Identität gilt für Y = \frac{1}{X}? Anleitung: benutze b).

Aufgabe 67: (Spezielle Funktionen: Ableitung der Exponentialfunktion)

Zeige lim_{h→0} \frac{e^{h} − 1}{h} = 1 und folgere hieraus lim_{h→0} \frac{e^{z+h} − e^{z}}{h} = e^{z} für jedes z ∈ ℂ.

Aufgabe 68: (Spezielle Funktionen: Ableitung der trigonometrischen Funktionen) Zeige

lim_{h→0} \frac{sin(h)}{h} = 1, lim_{h→0} \frac{1 − cos(h)}{h} = 0

und folgere hieraus

lim_{h→0} \frac{sin(z + h) − sin(z)}{h} = cos(z), lim_{h→0} \frac{cos(z + h) − cos(z)}{h} = − sin(z)

für jedes z ∈ ℂ. Anleitung für den letzten Teil: Additionstheoreme.

Aufgabe 69: (Polarkoordinaten) Bestimme die Polarkoordinaten (r, φ) der folgenden komplexen Zahlen:

1, i, −1, −i, 1 + i, −1 + i, −1 − i, 1 − i.

Der Polarwinkel einer komplexen Zahl z wird auch ”das Argument“ von z genannt. Die MuPAD-Funktion dazu: abs (= Absolutbetrag = Radius), arg (= Argument = Polarwinkel).

Aufgabe 70*: (Komplexe Wurzeln. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Bestimme die Polarkoordinaten von

a = \frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}} + i · \frac{M_{2} + M_{3}}{M_{1} + M_{4} + M_{5}}

(der Polarwinkel läßt sich exakt ausdrücken). Bestimme alle komplexen Wurzeln

(i^{M_{1}+M_{6}+M_{7}} · a)^{1/5},

also alle Lösungen z_{0}, z_{1}, z_{2} etc. von z^{5} = i^{M_{1}+M_{6}+M_{7}} · a. Abzugeben ist die dritte Lösung z_{2} (in der Nummerierung wie in Bemerkung 5.21 der Vorlesung). Sie ist über ihren Betrag und ihren Polarwinkel ∈ [0, 2 · π) anzugeben. Für π ist das MuPAD-Symbol PI zu verwenden. Relevante MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: abs, arg, arctan, numeric::polyroots.