Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 30. 5. 2002

Ü b u n g s b l a t t 7

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 6.6.02, abzuliefern.

Aufgabe 45: (Summation durch Partialbruchzerlegung) Bestimme den Reihenwert von

∑_{k=2}^{∞} \frac{k^{2} − k}{(k + 1) · (k + 2) · (k + 3) · (k + 4)}.

Anleitung: Rezept 3.32, Beispiel 3.33 der Vorlesung.

Aufgabe 46*: (Summation durch Partialbruchzerlegung. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Bestimme den Reihenwert

∑_{k=2·M_{1}+M_{4}}^{∞} \frac{k − M_{6} − M_{7}}{k^{3} + (M_{2} + M_{3} − M_{4}) · k^{2} − (M_{1} + M_{2} + M_{3}) · (M_{1} + M_{4}) · k}

Anleitung: wie Aufgabe 45, rechenintensiver. MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: partfrac, sum.

Aufgabe 47*: (Summation durch Partialbruchzerlegung. 1 Bonuspunkt für c.) In Rezept 3.32 und Beispiel 3.33 der Vorlesung wurde nur der Fall diskutiert, dass in

∑_{k} \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q}}

das Nennerpolynom d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q} nur einfache Nullstellen hat.

a) Benutze MuPADs partfrac, um die Partialbruchzerlegung von

\frac{1}{k^{2} · (k + 1)^{2}} , \frac{1}{(k + 1)^{3} · (k + 2)}, \frac{1}{(k + 1)^{4} · (k + 2)^{3} · (k + 3)^{2}}

zu bestimmen.

b) Betrachte den allgemeinen Fall

∑_{k} \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{(k − k_{1})^{n_{1}} · (k − k_{2})^{n_{2}} · . . . · (k − k_{r})^{n_{r}}} ,

in dem das Nennerpolynom Nullstellen k_{i} der Vielfachheiten n_{i} hat. Es gelte p ≤ n_{1} + ⋯ + n_{r} − 2. Stelle eine Vermutung auf, wie der allgemeine Ansatz für die Partialbruchzerlegung zu lauten hat. c*) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Berechne die Partialbruch-

zerlegung von \frac{k − M_{1} − M_{3} − M_{5} − M_{7}}{k^{3} · (k + 1)^{2}} .

d) Gelingt es mit c), die Reihe

∑_{k=1}^{∞} \frac{k − M_{1} − M_{3} − M_{5} − M_{7}}{k^{3} · (k + 1)^{2}}

explizit aufzusummieren? Siehe auch Beispiel 3.22 der Vorlesung.