Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 9. 5. 2002

Ü b u n g s b l a t t 4

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 16.5.02, abzuliefern.

Aufgabe 22: (Folgen, Grenzwerte. Einfacher Beweis.) Sei (z_{n}) eine konvergente komplexe Folge. Zeige, dass die Menge {|z_{n}|, n ∈ ℕ} nach oben beschränkt ist.

Aufgabe 23: (Folgen, Grenzwerte. Einfacher Beweis.) Die komplexe Folge (z_{n}) konvergiere gegen z^{∗}. Zeige, dass die komplex-konjugierte Folge (\overline{z_{n}}) gegen \overline{z^{∗}} konvergiert.

Aufgabe 24: (Folgen, Grenzwerte. Beweise.) Seien (x_{n}) und (y_{n}) konvergente reelle Folgen mit den Grenzwerten x^{∗} bzw. y^{∗}.

a) Es gelte x_{n} ≤ y_{n} für alle Indizes. Zeige: x^{∗} ≤ y^{∗}. (Indirekter Beweis.)

b) Es gelte x_{n} < y_{n} für alle Indizes. Gilt immer x^{∗} < y^{∗}? (Finde ein Gegenbeispiel.)

Aufgabe 25: (Folgen, Grenzwerte. Einfacher Beweis) Sie (z_{n}) eine konvergente Folge. Zeige durch einen formal sauberen Beweis, dass für jedes (fixierte) k ∈ ℕ die ”verschobenen“ Folgen (z_{n+k}) gegen den selben Grenzwert konvergieren.

Aufgabe 26: (Folgen, Grenzwerte)

Bestimme lim_{n→∞} \frac{2^{n}}{n!} .

Aufgabe 27: (Folgen, Grenzwerte. Intervallschachtelung) Bestimme lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{3^{n} + 5^{n}}. Anleitung: Satz 2.17. Es gilt 5^{n} < 3^{n} + 5^{n} < 2 · 5^{n}. Anmerkung: limit in MuPAD 2.0 ist hier OK, hat in MuPAD 2.5 aber einen ganz üblen Bug.

Aufgabe 28*: (Intervallschachtelung, 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Bestimme:

lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{(M_{1} + M_{3})^{n} + (\frac{M_{1} + M_{4}}{M_{1} + M_{5}} )^{n}}.

Anleitung: Siehe Aufgabe 27.

Aufgabe 29: (Konvergenz monotoner Folgen) Betrachte die durch x_{n+1} = \sqrt{1 + x_{n}}, x_{1} = 0 definierte Folge.

a) Zeige, dass (x_{n}) streng monoton wachsend ist.

b) Zeige per Induktion: 0 ≤ x_{n} < 2 für alle n ∈ ℕ.

c) Bestimme den Grenzwert von (x_{n}). Aufgabe 30*: (Intervallschachtelung, 1 Bonuspunkt) Sei M ∈ {3 000 000, 3 000 001, …, 6 999 999} die Matrikelnummer. Betrachte die durch x_{n+1} = \sqrt{M + 2 · x_{n}}, x_{1} = 1 definierte Folge. Ermittle eine obere Schranke für die Folgenglieder und berechne den Grenzwert. Anleitung: siehe Aufgabe 29. Aufgabe 31: (Die Fibonacci-Zahlen) Die Fibonacci-Folge (F_{n}) ist durch

F_{n+1} = F_{n} + F_{n−1} mit F_{0} = 0, F_{1} = 1

definiert. Betrachte die Folge x_{n} = F_{n+1}/F_{n}, n ∈ ℕ. Diese Folge konvergiert.

a) Ermittle eine Gleichung für den Grenzwert von (x_{n}) und berechne ihn.

b) Berechne die ersten 25 Werte x_{1}, …, x_{25}. Wie genau approximiert (rein experimentell) x_{25} den Grenzwert?

c) In welcher Größenordnung liegt F_{10^{7}} (wieviele Dezimalstellen hat diese Zahl ungefähr)?

Eine grobe Abschätzung soll hier ausreichen. Anleitung zu c): Man versuche erst gar nicht, F_{10^{7}} mittels MuPADs numlib::fibonacci exakt zu berechnen. Verwende F_{n} = x_{n−1} · F_{n−1} = x_{n−1} · x_{n−2} · F_{n−2} = … zusammen mit a) für eine grobe Abschätzung.