Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 2. 5. 2002

Ü b u n g s b l a t t 3

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 9.5.02, abzuliefern.

Aufgabe 15: (Folgen und Grenzwerte) Konvergieren die angegebenen Folgen für n → ∞? Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

a) x_{n} = 2 − \frac{3}{n},  b) x_{n} = \frac{2 · n^{2}}{n^{2} + 1},  c) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{2} + 1},
d) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{3} + 1},  e) x_{n} = \frac{n^{3} − 1}{n^{4} + 1},  f) x_{n} = (1 + \frac{2}{n})^{3·n},
g) x_{n} = \frac{4 · n^{2} − 1}{2 · n · (n^{2} + 1)}, h) x_{n} = \frac{4 · n^{3} − 1}{2 · n · (n^{2} + 1)}, i) x_{n} = \sqrt{n} · (\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}).

Aufgabe 16: (MuPAD) Lies die MuPAD–Hilfeseite zu limit (interaktiv durch ?limit aufzurufen).

a) Überprüfe mit MuPAD die in Aufgabe 15 ermittelten Grenzwerte.

b) Bestimme den Grenzwert der Folge x_{n} = (1 + \frac{2}{n^{3}} )^{2·n^{2}}.

c) Lies mit ?! die MuPAD–Hilfeseite zur (aus der Schule bekannten) Fakultätsfunktion n! = 1 · 2 · · · · · n. Betrachte den Grenzwert der Folge x_{n} = n^{n}/n! (den MuPAD nicht berechnen kann). Erzeuge Gleitpunktapproximationen (siehe ?float) der ersten 10 Folgenglieder und stelle eine Vermutung über die Konvergenzeigenschaft dieser Folge auf!

Aufgabe 17*: (Grenzwerte, 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Berechne den Grenzwert

lim_{n→∞} n · (M_{1}^{2} + (\frac{1 + M_{6}}{n + M_{5}} + M_{1} · i)^{2}) , i = \sqrt{−1}.

Relevante MuPAD-Funktionen: limit.

Aufgabe 18: (Rechenregeln für Grenzwerte) Gegeben seien Folgen (x_{n}) und (y_{n}). Die durch z_{n}^{+} = x_{n} + y_{n} bzw. z_{n}^{−} = x_{n} − y_{n} definierten Folgen mögen gegen z^{+} bzw. z^{−} konvergieren. Zeige, daß die Folge (x_{n} · y_{n}) konvergiert. Bestimme ihren Grenzwert.

Aufgabe 19: (Folgen und Grenzwerte)

Bestimme den Grenzwert von (\frac{n}{n + 1})^{n} für n → ∞.

Aufgabe 20*: (Rechenregeln für Folgen und Grenzwerte, 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Betrachte die rekursiv definierte Folge

x_{n+1} = \frac{1}{M_{1} + \frac{1}{M_{3} + \frac{1}{M_{6} + x_{n}}}}

mit x_{0} = 1. Benutze (ohne Beweis), dass diese Folge konvergiert. Bestimme den Grenzwert. Anleitung: Die Rechenregeln für Grenzwerte liefern eine Gleichung für den Grenzwert.

Aufgabe 21: (Folgen und Grenzwerte, etwas anspruchsvoller) Zeige: lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{n} = 1. Anleitung: gehe ähnlich wie im Beweis von Beispiel 2.19 der Vorlesung vor und betrachte dabei in der Entwicklung von (1 + h_{n})^{n} einen zusätzlichen Term. Alternativ kann man zunächst die Folge ^{2·n} \sqrt{n} = \sqrt{\sqrt[n]{n}} betrachten, die ebenfalls gegen 1 konvergiert.