Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 11. 7. 2002

Ü b u n g s b l a t t 14

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 25.7.02, abzuliefern.

Aufgabe 94: (Stammfunktionen. Rationale Integranden) Bestimme folgende Stammfunktionen:

a) ∫ \frac{2 · x}{(x + 1) · (x − 2)} dx, b) ∫ \frac{x^{2} + 2}{(x − 1) · (x − 2)} dx.

Aufgabe 95: (Bestimmte Integrale) Berechne

a) ∫_{0}^{10} sin(π · t) dt, b) ∫_{0}^{2} t · e^{−t} dt, c) ∫_{0}^{π} cos(t) · e^{sin^{2}(t)} dt.

Aufgabe 96: (Bestimmte Integrale, gerade und ungerade Funktionen) Eine Funktion mit der Eigenschaft f(−t) = −f(t) heißt ”ungerade“. Beispiele: f(t) = t+t^{3}, f(t) = sin(t). Zeige, daß für jede ungerade Funktion f und für jedes a ∈ ℝ gilt:

∫_{−a}^{a} f(t) dt = 0.

Eine Funktion mit der Eigenschaft f(−t) = f(t) heißt ”gerade“. Beispiele: f(t) = 1 + t^{2}, f(t) = cos(t). Zeige, daß für jede gerade Funktion f und für jedes a ∈ ℝ gilt:

∫_{−a}^{a} f(t) dt = 2 · ∫_{0}^{a} f(t) dt.

Anleitung:∫_{−a}^{a} f(t) dt = ∫_{−a}^{0} f(t) dt + ∫_{0}^{a} f(t) dt. Substituiere y = −t im ersten Integral.

Aufgabe 97*: (Bestimmte Integrale. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Berechne

∫_{0}^{M_{3}·2·π} sin ((M_{1} + M_{4}) · t) · e^{(M_{1}+M_{5})·t} dt + ∫_{−M_{5}}^{M_{5}} t^{7} · e^{−M_{6}·t^{2}} dt.

Anleitung: 2-fache partielle Integration beim ersten Integral. Zweites Integral: beachte die anderen Aufgaben auf diesem Blatt.

Aufgabe 98: (Uneigentliche Integrale) Für welche Werte von n existieren die folgenden Integrale?

a) ∫_{1}^{∞} t^{n} dt, b) ∫_{0}^{1} t^{n} dt.

Berechne

c) ∫_{−∞}^{∞} t · e^{−t^{2}} dt.

Aufgabe 99: (Substitution und partielle Integration. Braucht etwas ”Augenmaß“.) Zeige

∫_{0}^{∞} \sqrt{t} · e^{−t} dt = ∫_{0}^{∞} e^{−y^{2}} dy.

(Anleitung: Substitution y = \sqrt{t}, dann geeignete partielle Integration). Welchen Wert liefert MuPAD für das Integral?

Aufgabe 100: (MuPAD und numerische Integration) Studiere einige Beispiele der Hilfeseiten zu MuPAD’s numerischen Integrierern numeric::int

und numeric::quadrature. Berechne den Wert von ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−t^{2}}}{π + \sqrt{t} + sin(t)} dt auf 10 Dezimalstellen genau!