Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 4. 7. 2002

Ü b u n g s b l a t t 12

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 11.7.02, abzuliefern.

Aufgabe 85: (Trigonometrische Funktionen) Zeige

sin (\frac{φ}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2} · (1 − cos(φ))}, cos (\frac{φ}{2}) = \sqrt{\frac{1}{2} · (1 + cos(φ))}

für φ ∈ [0, π]. Berechne sin(\frac{π}{4} ), cos(\frac{π}{4} ), sin(\frac{π}{8} ), cos(\frac{π}{8} ).

Aufgabe 86: (de l’Hospital)

Berechne mittels der de l’Hospitalschen Regel lim_{x→0} \frac{1 − cos(x)}{x^{2}}.

Aufgabe 87: (de l’Hospital) Berechne den Grenzwert lim_{x→0+0} x^{x}.

Anleitung: x^{x} = e^{x·ln(x)}. Forme x · ln(x) so um, dass sich für x = 0 eine \frac{∞}{∞}–Situation ergibt.

Aufgabe 88*: (de l’Hospital. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Berechne den Grenzwert

lim_{x→0+0} (sin((M_{1} + M_{2}) · x)^{(M_{1}+M_{3})·x} + \frac{arctan((M_{1} + M_{4}) · x^{2})}{(M_{1} + M_{5}) · x^{2} · (1 + M_{6} + x)}) .

Anleitung: siehe auch Aufgabe 87. Die Ableitung von arctan war in Aufgabe 73 zu bestimmen.

Aufgabe 89: (Das Newton-Verfahren. Technisch anspruchsvoller.) Betrachte eine mehrfach differenzierbare Funktion f : ℝ ↦ ℝ mit einer Nullstelle x^{∗}, für die f′(x^{∗}) ≠ 0 gelte. Zur numerischen Suche nach der Nullstelle betrachte die Iteration

x_{i+1} = x_{i} − \frac{f(x_{i})}{f′(x_{i})}

mit einem Startpunkt x_{0} in der Nähe von x^{∗} (”das Newton-Verfahren“).

a) Sei N(x) = x − f(x)/f′(x). Zeige:

N(x) − x^{∗} = \frac{f′′(x^{∗}) + O(x − x^{∗})}{2 · f′(x^{∗}) + O(x − x^{∗})} · (x − x^{∗})^{2}

und folgere, dass es eine Umgebung von x^{∗} gibt, sodass für alle x aus dieser Umgebung |N(x) − x^{∗}| ≤ C · |x − x^{∗}|^{2} gilt mit einer geeigneten Konstanten C. Anleitung: Taylor-Entwicklung von f(x) und f′(x) um x^{∗}.

b) Folgere |N(x) − x^{∗}| ≤ \frac{|x − x^{∗}|}{2} und |N(x) − x^{∗}| ≤ \frac{1}{2·C}, falls |x − x^{∗}| ≤ \frac{1}{2·C} gilt.

c) Folgere x_{i} → x^{∗} für die aus einem Startpunkt x_{0} entstehende Newton-Folge (x_{i}), falls |x_{0} − x^{∗}| ≤ \frac{1}{2·C} gilt.

Interpretation: die Newton-Folge (x_{i}) konvergiert gegen eine Nullstelle, wenn nur der Startpunkt x_{0} hinreichend nahe bei der Nullstelle liegt.

Aufgabe 90*: (Das Newton-Verfahren. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Finde über das Newton-Verfahren aus Aufgabe 89 eine numerische Approximation von

(\frac{10 · M_{1} + M_{2} + M_{3}}{13 · M_{1} + M_{5} + M_{6}} )^{\frac{1}{3}}

indem nach einer Nullstelle von f(x) = x^{3}− \frac{10·M_{1}+M_{2}+M_{3}}{13·M_{1}+M_{5}+M_{6}} gesucht wird. Wähle als Startpunkt

x_{0} = float(\frac{M_{1}+M_{2}}{M_{1}+M_{3}} ). Abzuliefern ist x_{5} mit mindestens 9 Nach”komma“stellen.