Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 27. 6. 2002

Ü b u n g s b l a t t 11

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 4.7.02, abzuliefern.

Aufgabe 77: (Differentiation) Sind die Funktionen

a) f(x) = \{ \begin{matrix}x · sin(\frac{1}{x}) & für & x ≠ 0, \\ 0 & für & x = 0 \end{matrix} , b) f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} · sin(\frac{1}{x}) & für & x ≠ 0, \\ 0 & für & x = 0 \end{matrix}

am Nullpunkt differenzierbar?

Aufgabe 78*: (Differentiation von Umkehrfunktionen. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Finde eine Formel, um die zweite Ableitung der Umkehrfunktion f^{−1} einer invertierbaren Funktion f an einer Stelle x durch Ableitungen von f an der Stelle y = f^{−1}(x) auszudrücken. Berechne (f^{−1})′′(M_{2} + M_{3}) für

f(y) = M_{1} · y + M_{2} + M_{3} · e^{M_{4}·y}.

Aufgabe 79: (Mittelwertsatz) Sei f : [a, b] ↦ ℝ eine differenzierbare Funktion, die f′(x) = 0 für alle x ∈ [a, b] erfüllt. Zeige, dass f konstant ist.

Aufgabe 80: (Taylor-Reihen) Bestimme die ersten 4 Koeffizienten c_{0}, …, c_{3} der Taylor-Entwicklung

e^{sin(x)} = c_{0} + c_{1} · x + c_{2} · x^{2} + c_{3} · x^{3} + O(x^{4}).

MuPAD-Funktion zur Kontrolle: taylor.

Aufgabe 81: (Taylor-Reihen) Betrachte f(x) = 1/(1 − x).

a) Bestimme eine Formel für f^{(n)}(x).

b) Bestimme hiermit die Taylor–Reihe von f um den Nullpunkt.

c) Für welche x wird f(x) durch die Taylor-Reihe dargestellt?

Aufgabe 82: (Taylor-Reihen) Betrachte f(x) = arctan(x).

a) Bestimme die Taylor-Reihe von f′(x). b) Für welche x wird f′(x) durch die Taylor-Reihe dargestellt?

c) Stelle eine Vermutung auf, wie die Taylor-Reihe von f(x) aussieht. Anleitung: a) Die Konstruktion über Ableitungen ist mühsam. Betrachte stattdessen eine geeignete geometrische Reihe. c) Integration von f′(x) und der Taylor-Reihe von f′(x). (Integration als Vorkenntnisse aus der Schule vorausgesetzt).

Aufgabe 83: (Extremwerte) Ein Leuchtturm liegt 3 km vor der Küste, direkt gegenüber einem Punkt A der geraden Küstenlinie. Vom Punkt A aus liegt in 5 km Entfernung parallel zur Küstenlinie ein Laden. Der Leuchtturmwärter kann mit 4 km/h rudern und mit 6 km/h laufen. Welchen Punkt sollte er vom Leuchtturm aus startend ansteuern, um den Laden so schnell wie möglich zu erreichen?

[figure: Küstenlinie; Leuchtturm; rudern mit 4 km/h; laufen mit 6 km/h; 3 km; A; 5 km; Laden]

MuPAD-Funktionen zur Kontrolle: diff, solve.

Aufgabe 84*: (Extremwerte. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Betrachte einen Quader, bei dem die Seiten a, b der Grundfläche das Verhältnis a/b = (M_{1} + M_{2})/(M_{1} + M_{3}) aufweisen. Bestimme die Höhe c des Quaders, wenn das Volumen

a · b · c = (M_{1} + M_{4} + M_{5} + M_{6} + M_{7})^{3}

gegeben ist und die Quaderoberfläche minimal werden soll.