Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 20. 6. 2002

Ü b u n g s b l a t t 10

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 4.7.02, abzuliefern.

Aufgabe 71: (Differentiation) Berechne die Ableitung von

a) \frac{1 + x^{2}}{2 + x^{2}} ,  b) sin(x^{2}),  c) cos(π − x^{3}),
c) sin(x^{2} · e^{x}), d) sin^{2}(x) + cos^{2}(x).

Aufgabe 72*: (Differentiation. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Berechne die Ableitung von

f(x) = \frac{M_{2} + e^{M_{3}·x}}{M_{1} + e^{−x^{2}}} + sin(x + M_{5} · e^{M_{6}·x}).

Aufgabe 73: (Differentiation) In Aufgabe 66 wurde tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} sowie die Umkehrfunktion arctan(x) eingeführt.

a) Zeige: \frac{d}{dx} tan(x) = 1 + tan^{2}(x).

b) Berechne die Ableitung von arctan(x).

c) Berechne die Ableitung von arctan(x) + arctan(1/x). Erklärung?

Aufgabe 74: (Die Produktregel) Seien f(x) und g(x) genügend oft differenzierbar. Beweise durch Induktion nach n:

\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x) · g(x) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} · f^{(n−k)}(x) · g^{(k)}(x)

mit den durch

\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k − 1} + \binom{n}{k}, k = 1, …, n

definierten Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks.

Aufgabe 75: (Implizite Differentiation) Eine Funktion y = f(x) ist als Lösung der Gleichung

y^{3} + x^{2} · y = e^{(x^{2})}

definiert. Offensichtlich gilt f(0) = 1. Bestimme f′(0). Anleitung: differenziere die Identität f(x)^{3} + x^{2} · f(x) = e^{(x^{2})} nach x. Es ergibt sich eine Gleichung für f′(x).

Aufgabe 76*: (Implizite Differentiation. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die üblichen Ziffern der Matrikelnummer. Betrachte die durch die Gleichung

e^{(M_{1}+M_{2})·(y−M_{3})} + M_{4} · y = 1 + M_{3} · M_{4} · e^{x−M_{5}}

definierte Funktion y = f(x). Berechne f(M_{5}) und f′(M_{5}). Anleitung: siehe Aufgabe 75.