Mathe II für Informatiker Sommersemester 02 Walter Oevel 18. 4. 2002

Ü b u n g s b l a t t 1

Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben können zum Sammeln von Bonuspunkten verwendet werden. Lösungen sind per Web-Formular unter http://math-www.upb.de/~walter (⟶ Lehre SS 02 ⟶ Übungen) bis spätestens Do, 25.4.02, abzuliefern.

Aufgabe 1*: (Erinnerung an das letzte Semester: lineare Gleichungen. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} die Ziffern der Matrikelnummer (von links nach rechts). Bestimme alle Lösungen x, y, z des Gleichungsystems

M_{1} · y + M_{2} · z = M_{5}, M_{1} · x + 2 · y = M_{6}, M_{2} · x + 3 · z = M_{7}.

Relevante MuPAD-Funktionen: solve, linsolve.

Aufgabe 2*: (Erinnerung an das letzte Semester: Eigenwerte. 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} wie in Aufgabe 1. Bestimme die Eigenwerte der Matrix

( \begin{matrix}M_{1} & M_{4} & 0 \\ M_{4} & −M_{1} & 0 \\ 0 & 0 & M_{7} \end{matrix} ) .

Relevante MuPAD-Funktionen: matrix, linalg::eigenvalues, sqrt.

Aufgabe 3: (MuPAD) Lies die MuPAD–Hilfeseiten zu Re, Im, conjugate und rectform (interaktiv durch ?Re etc. aufzurufen). Sei z = (1+i·\sqrt{2} )/(1−i). Zerlege z^{5} mit MuPAD in Real- und Imaginärteil.

Aufgabe 4: (Komplexe Zahlen) Seien i = \sqrt{−1}. z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 − i, z_{3} = 1 + i · \sqrt{15}. Berechne für k = 1, 2, 3

a) \frac{1}{z_{k}} ,  b) \overline{z_{k}},  c) |z_{k}|  sowie  d) z_{1} · z_{2}, \frac{z_{2}}{z_{3}} , z_{1}^{4}.

Aufgabe 5*: (Komplexe Zahlen, 1 Bonuspunkt) Seien M_{1}, …, M_{7} wie in Aufgabe 1, i = \sqrt{−1}. Seien z_{1} = M_{1} + i · M_{2}, z_{2} = M_{1} − i · M_{2}, z_{3} = M_{1} + i · M_{7}. Berechne z = z_{1} · z_{2}/z_{3} in Kartesischen Koordinaten, d.h., als z = x + i · y mit reellem x, y. Relevante MuPAD-Objekte: I, rectform, sqrt.

Aufgabe 6: (Komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen) Bestimme alle Nullstellen des Polynoms z^{2} + z + 1. Relevante MuPAD-Funktionen: solve.