W. Oevel
Mathematik II fur Informatiker
dieresis
Veranstaltungsnr: 172010
Skript zur Vorlesung, Universitat Paderborn, Sommersemester 2002 dieresis
Inhalt
1 Komplexe Zahlen 1 1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Polynomwurzeln, Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . 5
1.3 Diagonalisierung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Folgen und Grenzwerte 15 2.1 Definitionen, Beispiele, einige Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 dieresis 2.2 Weitere Konvergenzsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dieresis 2.2.1 Das Supremumsaxiom fur R . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dieresis 2.2.2 Konvergenz monotoner reeller Folgen . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Cauchyendash Folgen und der Banachsche Fixpunktsatz . . . . 30 2.2.4 Teilfolgen und Haufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . 37 dieresis 2.3 Unendliches, uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Wachstum von Folgen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Reihen 43 3.1 Definitionen, Beispiele, Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 dieresis 3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Spezielle Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Summation per Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Funktionen und Stetigkeit 61 4.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Der Zwischenwertsatz, das Min/Max-Prinzip . . . . . . . . . . . 69 4.5 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Wachstum von Funktionen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . 74
i
ii INHALT 5 Spezielle Funktionen 77 5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Die trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6 Diff erentialrechnung 89 6.1 Definitionen und Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 dieresis 6.2 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Taylorendash Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Monotonie, Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.5 Die de l'Hospitalsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7 Integration 113 7.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . 113 7.1.1 Definitionen, Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.1.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.4 Rationale Integranden: Partialbruchzerlegung . . . . . . . 119 7.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.3 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.5 Einige spezielle Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Literatur
Die Vorlesung baut nicht streng auf irgendeinem Buch auf, sondern geht ihren eigenen Weg. Die angegebenen Referenzen dienen dazu, sich unabhangig dieresis
vom Skript entsprechende Grundlagen anzueignen oder spezielle Inhalte zu vertiefen. Es handelt sich um eine recht willkurliche Auswahl: Neben den dieresis angegebenen Buchern gibt es sicherlich jede Menge weiterer Literatur, die den dieresis
behandelten Stoff analog abdeckt.
[Pap] Lothar Papula: Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler. dieresis Band 1 - 3 + Mathematische Formelsammlung. Braunschweig/Wiesbaden:
Vieweg 2001. (P41 TBG2788)
Recht elementar und mathematisch nicht sehr tief gehend; dafur leicht und andieresis genehm zu lesen. Ist ein Standardbuch und großer Renner bei den Ingenieuren. Hier steht zwar fur Ingenieure und Naturwissenschaftler" drauf, diese Reihe dieresis
quotedblright ist aber allgemein fur eine anwendungsorientierte Kundschaft sehr geeignet, die dieresis dieresis
sich weniger fur das Abstrakte in der Mathematik interessiert. Ubungen und dieresis
Anwendungsbeispiele sind allerdings speziell auf Ingenieure zugeschnitten.
Im Wesentlichen ist hier Band 1 interessant: er umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erentialrechnung, spezielle Funktionen und Integration (der Stoff
der Mathe II).
Band 2 umfaßt die Lineare Algebra (Stoff der Mathe I des letzten Semesters), komplexe Zahlen und viele weitere Dinge, die fur diese Vorlesung aber nicht so dieresis
interessant sind.
Band 3 umfaßt mehrdimensionale Diff erential- und Integralrechnung sowie
Stochastik und ist fur uns nicht so interessant.
dieresis
[TI] S. Timman: Repetitorium der Analysis (Teil 1) Springe: Binomi-Verlag.
Eigentlich keine 'Repetitorium', sondern eine vollstandige Einfuhrung mit dieresis dieresis
Definitionen etc. Recht elementar geschrieben, sehr ubersichtlich. Gelungener dieresis
Kompromiss zwischen mathematischem Tiefgang und guter Lesbarkeit auf furdieresis
Nicht-Mathematiker. Grundlagen, Folgen und Reihen, Stetigkeit, Diff erential-
iii
iv INHALT
dieresis
und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Zahlreiche Ubungsaufgaben mit
Musterlosungen.
dieresis
[KS] K.-H. Kiyek und F. Schwarz: Mathematik fur Informatiker 1 + 2.
dieresis
Stuttgart: Teubner 1996 + 1994. (P41 TBM1740)
Deutlicher formaler, abstrakter und anspruchsvoller als z.B. [Pap].
Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung
(der Stoff der Mathe II). Band 2 ist fur uns nicht so relevant.
dieresis
[BK] G. Baron und P. Kirschenhofer: Einfuhrung in die Mathematik fur
dieresis dieresis
Informatiker 1 - 3. Wien: Springer 1990. (P41 TBM1732)
Liegt vom Anspruch und Abstraktionsgrad zwischen [Pap] und [KS]. Band 2 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 1 umfaßt Grundlagen, komplexe Zahlen, Lineare
Algebra, Polynome. Band 3 ist fur uns nicht so relevant.
dieresis
[For] O. Forster: Analysis 1 - 3. Vieweg. 2001. (P41 TIA 2647)
Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Standardwerk fur Mathemadieresis tikstudenten. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung einer Veranderlichen (der Stoff der Mathe II). Die Bande dieresis dieresis
2 und 3 umfassen die mehrdimensionale Analysis und sind fur uns nicht so dieresis
relevant.
[Bla] C. Blatter: Analysis 1 + 2. Berlin: Springer 1991. (P41 THX1325)
Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Diff erential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band
2 ist fur uns nicht so relevant.
dieresis
Bei starken Defiziten in der Schulmathematik schaue man z.B. in:
[Sch] Jochen Schwarze: Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: dieresis
Grundlagen. Herne: Verlag deutsche Wirtschafts-Briefe GmbH 1996.
Extrem elementar. Nur zum Aufarbeiten fehlender Grundlagen aus der Schule,
falls es daran hapert.
Kapitel 1
Komplexe Zahlen
arrowdown 18.4.01
2
Motivation: die Gleichung x = minus 1 hat off ensichtlich keine reellen Losungen, da
dieresis
2x greaterequal 0 fur jedes reelle x gilt. Um auch diese Gleichung losen zu konnen, muß
dieresis dieresis dieresis
man neue Zahlen einfuhren: die komplexen Zahlen. Die grundsatzliche Idee
dieresis dieresis
radical
ist ganz einfach: man fuhrt ein neues Symbol i ein, das minus 1 reprasentieren soll.
dieresis dieresis
2
Es wird einzig und allein durch die Rechenregel i = minus 1 festgelegt. Ansonsten
behalt man alle aus dem Reellen bekannten Rechenregeln einfach bei.
dieresis
1.1 Definitionen
Definition 1.1: (Die komplexen Zahlen)
Die Menge der komplexen Zahlen C ist die Menge aller formalen
Summen der Form
C = {x + i periodcentered y; x, y element R}.
Fur z = x + i periodcentered y element C nennt man x den Realteil und y den Imaginarteil
dieresis dieresis
von z.
Zahlen z = x + i periodcentered 0 mit y = 0 nennt man reell, schreibt auch kurz z = x
und identifiziert z mit x element R.
Zahlen z = 0 + i periodcentered y mit x = 0 nennt man imaginar und schreibt auch
dieresis
kurz z = i periodcentered y.
Der Nullpunkt z = 0 + i periodcentered 0 wird auch kurz als z = 0 geschrieben.
Auf C definieren wir die Addition
z + z = (x + i periodcentered y ) + (x + i periodcentered y ) = (x + x ) + i periodcentered (y + y )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
element R element R
sowie die Multiplikation
z periodcentered z = (x + i periodcentered y ) periodcentered (x + i periodcentered y ) = (x periodcentered x minus y periodcentered y ) + i periodcentered (x periodcentered y + x periodcentered y ) .
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
element R element R
2 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
Interpretation 1.2:
2
Hinter dieser Definition der Multiplikation steckt i = minus 1:
i periodcentered i = (0 + i periodcentered 1) periodcentered (0 + i periodcentered 1) = (0 periodcentered 0 minus 1 periodcentered 1) + i periodcentered (0 periodcentered 1 + 1 periodcentered 0) = minus 1.
Man braucht sich die formale Definition der Multiplikation nicht zu merken: man benutze einfach die ublichen aus R bekannten Rechenregeln dieresis (Kommutativitat a periodcentered b = b periodcentered a, Assoziativitat (a periodcentered b) periodcentered c = a periodcentered (b periodcentered c), das dieresis dieresis
Distributivgesetz a periodcentered (b + c) = a periodcentered b + a periodcentered c etc.), und setze beim Rechnen
2 3 2 4 3 2
i = minus 1, i = (i ) periodcentered i = minus i, i = (i ) periodcentered i = (minus i) periodcentered i = minus (i ) = 1
usw. ein:
2
(x + i periodcentered y ) periodcentered (x + i periodcentered y ) = x periodcentered x + i periodcentered x periodcentered y + i periodcentered x periodcentered y + i periodcentered y periodcentered y
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
minus 1
= x periodcentered x +i periodcentered x periodcentered y +i periodcentered x periodcentered y minus y periodcentered y = (x periodcentered x minus y periodcentered y )+i periodcentered (x periodcentered y +x periodcentered y ).
1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
Folgerung 1.3:
Wir konstruieren eine Division fur z = x + i periodcentered y =negationslash 0 + i periodcentered 0 equivalence 0:
dieresis
1 1 1 x minus i periodcentered y
= = periodcentered
z x + i periodcentered y x + i periodcentered y x minus i periodcentered y
x minus i periodcentered y x minus i periodcentered y x y
= = = minus i periodcentered .
2 2 2 2 2 2
(x + i periodcentered y) periodcentered (x minus i periodcentered y) x minus (i periodcentered y) x + y x + y
Allgemein:
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y )
1 1 1 1 1 2 2
= =
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y )
2 2 2 2 2 2 2
(x periodcentered x + y periodcentered y ) + i periodcentered (minus x periodcentered y + x periodcentered y )
1 2 1 2 1 2 2 1
= 2 2
x + y + i periodcentered (x periodcentered y minus x periodcentered y )
2 2 2 2
2 2
x periodcentered x + y periodcentered y x periodcentered y minus x periodcentered y
1 2 1 2 2 1 1 2
= + i periodcentered .
2 2 2 2
x + y x + y
2 2 2 2
Definition 1.4: (komplexe Konjugation etc.)
Es werden folgende speziellen Operationen auf den komplexen Zahlen ein-
gefuhrt:
dieresis
Rfractur (z) = Rfractur (x + i periodcentered y) = x (der Realteil von z),
Ifractur (z) = Ifractur (x + i periodcentered y) = y (der Imaginarteil von z),
dieresis
radicalbig 2 2
|z| = |x + i periodcentered y| = x + y (der Betrag von z),
z = x + i periodcentered y = x minus i periodcentered y (das komplex Konjugierte
von z).
Merkregel 1.5:
Die Division komplexer Zahlen lauft auf den Standardtrick Erweitern
dieresis quotedblright
mit dem komplex konjugierten Nenner hinaus":
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y ) z periodcentered z
1 1 1 1 1 2 2 1 2
= = = .
z x + i periodcentered y (x + i periodcentered y ) periodcentered (x minus i periodcentered y ) z periodcentered z
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Satz 1.6: (Rechenregeln)
Fur alle z, z , z element C gilt: Kommutativitat" und Assoziativitat" von
dieresis dieresis dieresis
1 2 quotedblright quotedblright
Multiplikation und Division
z periodcentered z = z periodcentered z , (z periodcentered z ) periodcentered z = z periodcentered (z periodcentered z ),
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= periodcentered , periodcentered periodcentered = periodcentered periodcentered ,
z periodcentered z z z z z z z z z
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
Linearitat" von Rfractur , Ifractur und Konjugation
dieresis
quotedblright
Rfractur (z +z ) = Rfractur (z )+Rfractur (z ), Ifractur (z +z ) = Ifractur (z )+Ifractur (z ), z + z = z +z ,
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Multiplikativitat" des Betrags und der Konjugation
dieresis
quotedblright vextendsingle vextendsingle parenleftBig parenrightBig
vextendsingle vextendsingle
z |z | z z
1 1 1 1
vextendsingle vextendsingle
|z periodcentered z | = |z | periodcentered |z |, = , z periodcentered z = z periodcentered z , =
1 2 1 2 1 2 1 2
vextendsingle vextendsingle
z |z | z z
2 2 2 2
sowie die Beziehungen
z z periodcentered z
1 1 2
2 2 2 2
|z| = |z| = z periodcentered z = Rfractur (z) + Ifractur (z) , = 2
z |z |
2 2
und die Dreiecksungleichung":
quotedblright
|z + z | lessequal |z | + |z |.
1 2 1 2
Beweis: Alles ist direkt nachzurechnen, z.B.
2 2 2 2
z periodcentered z = (x + i periodcentered y) periodcentered (x minus i periodcentered y) = x + y = |z| = |z|
oder (wie schon oben durchgefuhrt):
dieresis
z z periodcentered z z periodcentered z
1 1 2 1 2
= = .
2
z z periodcentered z |z |
2 2 2 2
Q.E.D.
4 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
radical
Beispiel 1.7: In MuPAD wird i = minus 1 durch I dargestellt: arrowdown 19.4.02
>> sqrt(-1)
I
>> I^2
-1
Die MuPAD-Funktionen Re, Im, conjugate und abs berechnen Real- und Imaginarteil,
dieresis
komplexe Konjugation und den Absolutbetrag:
>> z:= 2 + 3*I:
>> Re(z), Im(z), conjugate(z), abs(z)
1/2
2, 3, 2 - 3 I, 13
Geometrische Interpretation 1.8:
Man stellt sich ublicherweise die Menge der komplexen Zahlen als 2- dieresis
dimensionale Ebene ( die komplexe Ebene") vor:
quotedblright
i periodcentered y C
a54 a115 z = x+ i periodcentered y
a8
a8
a8
a8
a8
|z| a8
a8 Ifractur (z) = |z| periodcentered sin(phi1 )
a8
a8
a8
a8
a8 phi1
a8 a45
a72 x
a72 Rfractur (z) = |z| periodcentered cos(phi1 )
a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a72 a115 z = x minus i periodcentered y
Der Betrag von z ist der Abstand zum Ursprung, komplexe Konjugation entspricht der Spiegelung an der x-Achse ( die reelle Achse"). Die y-
quotedblright
Achse wird auch als imaginare Achse" bezeichnet.
dieresis
quotedblright 2 2
Geometrisch ist C nichts anderes als R : x + i periodcentered y element C =hatwide (x, y) element R . Die komplexe Addition entspricht genau der Addition von Vektoren im
2 2
R . Algebraisch besteht der Unterschied zwischen C und R darin, dass
man auf C neben der Addition noch eine Multiplikation C multiply C mapsto arrowright C hat,
2
wohingegen es auf R keine interessante Multiplikation zweier Vektoren
2
gibt, die wieder einen Vektor liefert (außer derjenigen, die R zu C macht).
1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 5 Bemerkung 1.9: Fuhrt man den eingezeichneten Winkel phi1 zwischen dem Vekdieresis quotedblright
tor" z und der reellen Achse ein, so gilt mit den aus der Schule bekannten
Winkelfunktionen sin und cos:
z = x + i periodcentered y = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered |z| periodcentered sin(phi1 ).
Die Darstellung z = x + i periodcentered y nennt man die Kartesische Darstellung der
komplexen Zahl z durch Real- und Imaginarteil. Die Darstellung
dieresis
parenleftBig parenrightBig
z = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered sin(phi1 )
durch den Betrag |z| und den Polarwinkel" phi1 element [0, 2 pi ) heißt Polardarstel-
quotedblright
lung von z (phi1 heißt auch das Argument von z"). Wir werden spater in dieresis
quotedblright
Abschnitt 5.3 auf die Polardarstellung komplexer Zahlen zuruckkommen, nachdieresis
dem wir die komplexe Exponentialfunktion eingefuhrt haben.
dieresis
1.2 Nullstellen von Polynomen, der Fundamental-
satz der Algebra
Die Motivation zur Einfuhrung der komplexen Zahlen war, Polynomgleichungen dieresis
2
wie z.B. x + 1 = 0 losen zu konnen. In der Tat stellt sich nun heraus, dass dieresis dieresis
Polynome vom Grad n immer genau n (evtl. entartete") komplexe Nullstellen
quotedblright haben. Wir definieren zunachst Entartung" von Nullstellen, wobei wir auf die dieresis quotedblright
aus der Schule bekannte Diff erentiation zuruckgreifen:
dieresis
Definition 1.10: (Vielfachheit von Nullstellen)
Sei f : R mapsto arrowright R eine mehrfach diff erenzierbare Funktion (siehe Kapitel 6).
asteriskmath
Man nennt x eine Nullstelle der Vielfachheit" k (oder auch k-fache
quotedblright quotedblright
Nullstelle"), wenn
asteriskmath prime asteriskmath (kminus 1) asteriskmath (k) asteriskmath
f(x ) = f (x ) = . . . = f (x ) = 0, f (x ) negationslash = 0.
Beispiel 1.11: (Mehrfache Polynomwurzeln)
asteriskmath n asteriskmath
Fur das Polynom p(x) = (x minus x ) mit n > 0 ist x eine n-fache Nullstelle:
dieresis
asteriskmath n prime asteriskmath nminus 1 prime prime asteriskmath nminus 2
p(x) = (x minus x ) , p (x) = n periodcentered (x minus x ) , p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) ,
(nminus 1) asteriskmath (n)
. . . , p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ), p (x) = n!,
also asteriskmath asteriskmath asteriskmath n
p(x ) = (x minus x ) = 0,
prime asteriskmath asteriskmath asteriskmath nminus 1
p (x ) = n periodcentered (x minus x ) = 0,
6 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
prime prime asteriskmath asteriskmath asteriskmath nminus 2
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) = 0,
periodcentered periodcentered periodcentered
(nminus 1) asteriskmath asteriskmath asteriskmath 1
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ) = 0,
(n) asteriskmath asteriskmath asteriskmath 0
p (x ) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered 1 periodcentered (x minus x ) = n! negationslash = 0.
Beispiel 1.12: (Mehrfache Polynomwurzeln)
Seien x , . . . , x verschieden. Fur das Polynom
dieresis
1 k
n n
1 k
p(x) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x )
1 k
vom Grad n = n + periodcentered periodcentered periodcentered + n sind x , . . . , x Nullstellen der Vielfachheit n , . . . n .
1 k 1 k 1 k
Der Nachweis geht analog zum letzten Beispiel: Betrachte eine der Nullstellen x und
i
schreibe
a72 a8 a8
n n n n
a72
i 1 i k
a8
p(x) = (x minus x ) periodcentered f(x), f(x) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) .
i 1 i k
a72
a8 a72 a72
a8
prime prime prime
dieresis Uber die aus der Schule bekannte Produktregel (g periodcentered f) = g periodcentered f +g periodcentered f der Diff erentiation
folgt ni
p(x) = (x minus x ) periodcentered f(x),
i
prime n minus 1 n prime
i i
p (x) = n periodcentered (x minus x ) periodcentered f(x) + (x minus x ) periodcentered f (x),
i i i
prime prime n minus 2 n minus 1 prime n prime prime
i i i
p (x) = n periodcentered (n minus 1) periodcentered (x minus x ) periodcentered f(x) + 2 periodcentered n periodcentered (x minus x ) periodcentered f (x) + (x minus x ) periodcentered f (x) i i i i i i
prime prime prime
usw., wobei f , f , f etc. Polynome sind. Die ersten n minus 1 Ableitungen verschwinden i
an der Stelle x = x :i ni
p(x ) = 0 periodcentered f(x ) = 0 ,
i i
prime n minus 1 n prime
i i
p (x ) = 0 periodcentered f(x ) + 0 periodcentered f (x ) = 0
i i i
prime prime n minus 2 n minus 1 prime n prime prime
i i i
p (x ) = (..) periodcentered 0 periodcentered f(x ) + (..) periodcentered 0 periodcentered f (x ) + 0 periodcentered f (x ) = 0
i i i i
usw. Die n -te Ableitung verschwindet nicht:
i
(n ) prime n (n )
i i i
p (x) = n ! periodcentered f(x) + (..) periodcentered (x minus x ) periodcentered f (x) + periodcentered periodcentered periodcentered + (x minus x ) periodcentered f (x),
i i i
(n )i
also p (x ) = n ! periodcentered f(x ), wobei
i i i
a72 a8 a8
n n n
a72
1 i k
a8
f(x ) = (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) =negationslash 0
i i 1 i i i k
a72
a8 a72 a72
a8
gilt, da x =negationslash x , . . . , x =negationslash x vorausgesetzt ist. Damit ist x eine Nullstelle der Vielfach-
i 1 i k i
heit n .i
1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 7
Ein Polynom und seine Ableitungen
n nminus 1
p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + . . . + a periodcentered x + a ,
n nminus 1 1 0
prime nminus 1 nminus 2
p (x) = a periodcentered n periodcentered x + a periodcentered (n minus 1) periodcentered x + . . . + a
n nminus 1 1
etc. ist naturlich auch fur komplexe Zahlen x wohldefiniert und man kann dieresis dieresis
daher nach (mehrfachen) komplexen Nullstellen fragen. Die Definition 1.10 der
Vielfachheit wird dabei auch fur komplexe Nullstellen beibehalten.
dieresis
Wir rekapitulieren zunachst das in der Mathematik I des letzten Semesters schon
dieresis
vorgestellte Horner-Schema zur Polynomauswertung und Polynomdivision:
Satz 1.13: (Polynomauswertung und -division per Horner-Schema)
n nminus 1
Fur das Polynom p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a mit Koeffi zienten
dieresis n nminus 1 0
asteriskmath
a element C gilt fur jedes x element C:
dieresis
k
asteriskmath
p(x) minus p(x ) nminus 1 nminus 2
= b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b ,
0 1 nminus 2 nminus 1
asteriskmath
x minus x
wobei b , b etc. durch die Rekursion ( Horner-Schema")
0 1 quotedblright
b := a ;
0 n
asteriskmath
for k := 1 to n do b := b periodcentered x + a ;
k kminus 1 nminus k
asteriskmath
gegeben sind. Es gilt b = p(x ).
n
asteriskmath asteriskmath
Beweis: Mit b = a , b minus b periodcentered x = a und minus b periodcentered x = a minus b folgt
0 n nminus 1 0 n
k kminus 1 nminus k
parenleftBig parenrightBig
asteriskmath nminus 1 nminus 2
(x minus x ) periodcentered b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b
0 1 nminus 2 nminus 1
n nminus 1 nminus 2
= b periodcentered x + b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x
0 1 2 nminus 1
asteriskmath nminus 1 asteriskmath nminus 2 asteriskmath asteriskmath
minus b periodcentered x periodcentered x minus b periodcentered x periodcentered x minus periodcentered periodcentered periodcentered minus b periodcentered x periodcentered x minus b periodcentered x
0 1 nminus 2 nminus 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
n nminus 1 nminus 2
= a periodcentered x + a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a periodcentered x + a minus b
n nminus 1 nminus 2 1 0 n
= p(x) minus b .n
asteriskmath asteriskmath
Fur x = x folgt 0 = p(x ) minus b und damit
dieresis n
parenleftBig parenrightBig
asteriskmath nminus 1 nminus 2 asteriskmath
(x minus x ) periodcentered b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b periodcentered x + b = p(x) minus p(x ).
0 1 nminus 2 nminus 1
Q.E.D.
8 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
asteriskmath
Das Horner-Schema liefert mittels b = p(x ) die Auswertung des Poly- arrowdown 25.4.02
n
asteriskmath
noms an einer Stelle x mit n Multiplikationen und n minus 1 Additionen. In der
Tat ist es (fur dicht besetzte" Polynome) das Standardschema, mit dem auf
dieresis quotedblright
dem Rechner Polynomauswertungen implementiert werden. Bei der Auswertung werden gleichzeitig die Koeffi zienten b , . . . , b des Faktorpolynoms"
0 nminus 1 quotedblright
asteriskmath asteriskmath
(p(x) minus p(x ))/(x minus x ) mitgeliefert. Das Horner-Schema lauft auf die folgende dieresis
Darstellung des Polynoms hinaus:
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
p(x ) = ((. . . ((a periodcentered x + a ) periodcentered x + a ) periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered ) . . .) periodcentered x + a ) periodcentered x + a .
n nminus 1 nminus 2 1 0
arrowup
b = a
0 n
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
asteriskmath
b = a periodcentered x + a
1 n nminus 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
asteriskmath 2 asteriskmath
b = a periodcentered x + a periodcentered x + a
2 n nminus 1 nminus 2
. . .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
asteriskmath n asteriskmath nminus 1 asteriskmath asteriskmath
b = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a periodcentered x + a = p(x )
n n nminus 1 1 0
asteriskmath asteriskmath
Ist x eine Nullstelle ( Wurzel") des Polynoms, so folgt p(x)/(x minus x ) =
quotedblright Polynom(x). Es ergibt sich das schon in der Mathematik I vorgestellte Grund-asteriskmath
prinzip, dass man bei einer gegebenen Nullstelle einen Linearfaktor" x minus x
quotedblright
vom Polynom abspalten kann:
Folgerung 1.14:
asteriskmath
Ist x eine Wurzel des Polynoms p vom Grad n > 0, so gilt
asteriskmath
p(x) = (x minus x ) periodcentered q(x)
nminus 1 nminus 2
mit einem Faktorpolynom" q(x) = b periodcentered x + b periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + b vom
0 1 nminus 1
quotedblright
Grad nminus 1, dessen Koeffi zienten z.B. durch das Horner-Schema berechen-
bar sind. asteriskmath
Merke: x ist dann und genau dann eine Wurzel, wenn sich der Linear-
asteriskmath
faktor x minus x vom Polynom abspalten laßt.
dieresis
Zwar hat nicht jedes Polynom reelle Nullstellen, aber es gilt das (zu beweisende)
wichtige Prinzip:
Jedes Polynom vom Grad > 0 hat (mindestens) eine komplexe Null-
stelle.
Setzen wir zur Motivation des kommenden Fundamentalsatzes 1.15 mal dieses
asteriskmath
Prinzip voraus. Es gilt p(x) = (xminus x ) periodcentered q(x) mit einer (garantiert existierenden)
asteriskmath
Nullstelle x von p. Die Nullstellen des Faktorpolynoms q sind off ensichtlich
1.2. POLYNOMWURZELN, FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 9
asteriskmath asteriskmath
wieder Nullstellen des Ausgangspolyms p. Hat man nun eine Nullstelle x von q,
so kann man nach Folgerung 1.14 angewendet auf q einen weiteren Linearfaktor
abspalten:
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
q(x) = (x minus x ) periodcentered qtilde (x), also p(x) = (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered qtilde (x)
mit einem Restpolynom qtilde vom Grad n minus 2. Dies setzt man fort, bis man nach n Schritten auf ein konstantes Polynom stoßt, das keine Nullstellen mehr besitzt. dieresis
Es folgt eine Faktordarstellung
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath periodcentered periodcentered periodcentered asteriskmath
p(x) = (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered (x minus x ) periodcentered . . . periodcentered (x minus x ) periodcentered a ,n
wobei a das zuletzt verbleibende konstante Restpolynom (vom Grad 0) ist.
n
Vergleicht man die fuhrenden Koeffi zienten auf der linken und rechten Seite dieresis dieser Gleichung, so sieht man sofort, dass das verbleibende konstante Restpo-
n
lynom nichts anderes als der fuhrende Koeffi zient von p(x) = a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a
dieresis n 0
ist. Es folgt das Grundprinzip:
Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen.
Hierbei mussen wir aber etwas vorsichtig zahlen, da in der Konstruktion die dieresis dieresis
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
Nullstellen x , x , x etc. eventuell ubereinstimmen konnen. Eine saubere dieresis dieresis
Formulierung liefert der folgende fundamentale Satz:
Satz 1.15: (Fundamentalsatz der Algebra, Gauß 1799)
n nminus 1
Zu jedem Polynom p(x) = a periodcentered x + a periodcentered x + periodcentered periodcentered periodcentered + a vom Grad n > 0
n nminus 1 0
mit a , . . . , a element C und a negationslash = 0 gibt es komplexe Zahlen z , . . . , z (die
0 n n 1 k
Wurzeln) und n , . . . , n element N (die Vielfachheiten) mit n + periodcentered periodcentered periodcentered + n = n,
1 1
k k
so dass n n
1 k
p(x) = a periodcentered (x minus z ) periodcentered . . . periodcentered (x minus z ) .
n 1 k
Fur die Anzahl k der unterschiedlichen Wurzeln gilt hierbei k lessequal n wegen dieresis
n + periodcentered periodcentered periodcentered + n = n.
1 k
zum Beweis: Wie in der Motivation gezeigt, braucht man nur zu beweisen, dass jedes Polynom vom Grad > 0 mindestens eine komplexe Nullstelle bezitzt. Dies ist je nach den zur Verfugung stehenden Hilfsmitteln aber gar nicht so einfach dieresis und sprengt unseren Rahmen hier. Typischerweise wird der Satz in Lehrbuchern dieresis uber komplexe Funktionentheorie bewiesen. Ein elementarer" Beweis findet dieresis quotedblright
sich z.B. unter:
http://helios.mathematik.uni-kl.de/similar luene/kleinodien/laplace.html
10 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
Interpretation 1.16:
Nach Beispiel 1.12 sind z , . . . , z die Nullstellen von p mit den Vielfach-
1 k
heiten n , . . . , n . Zahlt man z als n Wurzeln, z als n Wurzeln etc., so
dieresis
1 1 1 2 2
k
ergeben sich insgesamt n + periodcentered periodcentered periodcentered +n = n komplexe Wurzeln des Polynoms,
1 k
und in der Tat erhalten wir in dieser Zahlweise:
dieresis
Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen!
dieresis Uber die Anzahl der reellen Nullstellen hingegen kann man i.A. wenig
2
aussagen (z.B. hat p(x) = x + 1 uberhaupt keine reelle Nullstellen).
dieresis
Merkregel 1.17:
asteriskmath
Der Punkt x ist dann und genau dann eine Nullstelle eines Polynoms
asteriskmath
p(x), wenn sich gemaß Folgerung 1.14 der Linearfaktor x minus x vom Po-
dieresis asteriskmath
lynom abfaktorisieren laßt. Die Vielfachheit von x gibt an, wie oft sich
dieresis
dieser Linearfaktor abspalten laßt. Man sollte eine Polynomwurzel besser
dieresis
als einen Linearfaktor ansehen. Der Fundamentalsatz besagt, dass sich ein
Polynom vom Grad n immer in genau n Linearfaktoren aufspalten laßt.
dieresis
Die Existenz der komplexen Wurzeln sagt nichts daruber aus, ob man diese
dieresis
Wurzeln in irgendeiner Weise explizit darstellen kann. In der Tat gibt es z.B.
fur Polynome vom Grad greaterequal 4 keine allgemeingultige Losungsformel mit Hilfe
dieresis dieresis dieresis
von (verschachtelten) Wurzeln. Numerisch kann man jedoch stets Gleitpunkt-
approximationen der Wurzeln finden.
Beispiel 1.18: In MuPAD ist solve fur exakte Losungen und numeric::solve fur
dieresis dieresis dieresis
numerische Losungen zustandig. Das folgende Polynom hat 9 Wurzeln, die sich (zufalli-
dieresis dieresis dieresis
gerweise) alle explizit darstellen lassen:
>> p:= x^9 + 2*x^7 - x^3 - 2*x:
>> solve(p = 0, x)
1/2 1/2 1/2
{0, -1, 1, - I 2 , I 2 , - 1/2 I 3 - 1/2,
1/2 1/2 1/2
1/2 - 1/2 I 3 , 1/2 I 3 - 1/2, 1/2 I 3 + 1/2}
Der numerische Gleichungsloser liefert Gleitpunktnaherungen der Wurzeln:
dieresis dieresis
>> numeric::solve(p = 0, x)
{0.0, - 0.5 - 0.8660254038 I, - 0.5 + 0.8660254038 I,
0.5 - 0.8660254038 I, 1.0, -1.414213562 I, 1.414213562 I,
0.5 + 0.8660254038 I, -1.0}
Die zuruckgegebenen Objekte {...} sind jeweils Mengen, deren Elementanordnung
dieresis
willkurlich vom System nach internen Kriterien bestimmt wird. Diese sehen fur ex-
dieresis dieresis
akte Werte anders aus als fur Gleitpunktnaherungen, so dass sich die Reihenfolge der
dieresis dieresis
Elemente beim exakten und beim numerischen Losen unterscheiden kann (was im obi-
dieresis
gen Beispiel auch in der Tat der Fall ist).
Es fallt hierbei auf, dass die komplexen Wurzeln als komplex konjugierte Paadieresis re x plusminus i periodcentered y auftauchen. Das ist kein Zufall und liegt daran, dass das eben
k k
betrachtete Polynom reell" ist (damit ist gemeint, dass die Koeffi zienten reell
quotedblright
sind).
Satz 1.19: (konjugierte Wurzelpaare reeller Polyome)
n
Ist z eine k-fache Nullstelle des Polynoms p(x) = a periodcentered x + . . . + a mit
n 0
reellen Koeffi zienten a , . . . , a , so ist auch z eine k-fache Nullstelle des
0 n
Polynoms. Bei reellen Polynomen tauchen nicht-reelle Wurzeln also immer
in komplex-konjugierten Paaren auf.
Beweis: Fur ein reelles Polynom gilt wegen z periodcentered z = z periodcentered z off ensichtlich
dieresis 1 2 1 2
p(z) = p(z).
Also gilt p(z) = 0 dann und genau dann, wenn p(z) = 0 gilt. Da mit p auch alle Ableitungen von p wieder reelle Polynome sind, stimmen auch die Vielfachheiten
der Nullstellen z und zmacron uberein.
dieresis
Q.E.D. 1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Diagonalisierung von
Matrizen
Selbst wenn man sich als Lebensprinzip zu eigen gemacht hat, sich nur fur reale dieresis (reelle) Dinge zu interessieren, kommt man oft doch nicht um komplexe Zahlen
herum. Wir betrachten als Beispiel die (rein reelle) Aufgabenstellung:
parenleftBigg parenrightBigg
1
1 minus 2
1 000 000
Berechne A fur die Matrix A = .
dieresis 2 1
Allgemein ist die Frage, ob es fur Matrixpotenzen explizite Darstellungen gibt, dieresis mit denen sich die Berechnung uber viele Matrixmultiplikationen vermeiden dieresis laßt. Ware A eine Diagonalmatrix, so konnten wir das Ergebniss sofort explizit dieresis dieresis dieresis
hinschreiben, denn es gilt
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
n n
lambda 0 lambda 0
1 1
= .
n
0 lambda 0 lambda
2 2
12 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN Eine Standardmethode der Linearen Algebra besteht darin, allgemeine Matrizen durch Transformation auf Diagonalgestalt zu bringen ( Diagonalisierung").
quotedblright
Hierbei geht es um Eigenwerte und -vektoren. Als Nullstellen des charakteristischen Polynoms sollten als Eigenwerte auch komplexe Zahlen in Betracht
gezogen werden:
Satz 1.20: (Diagonalisierung von Matrizen)
Sei A eine reelle oder komplexe n multiply n-Matrix mit den (eventuell kom-
plexen) Eigenwerten lambda , . . . , lambda und den entsprechenden Eigenvektoren
1 n
vector x , . . . , vector x , also A vector x = lambda vector x . Sei T = [vector x , . . . , vector x ] die Matrix, deren Spal-
1 n 1 n
k k k
ten aus diesen Eigenvektoren besteht. Es gilt
parenlefttp parenrighttp
lambda 0
1
parenleftex parenrightex
. .
AT = T D mit D = diag(lambda , . . . , lambda ) := .
parenleftbt parenrightbt
1 n .
0 lambda n
Sind die Eigenvektoren linear unabhangig, so ist T invertierbar, und es
dieresis
folgt minus 1
A = T D T .
Beweis: Nach Definition der Matrixmultiplikation gilt
AT = A [vector x , . . . , vector x ] = [A vector x , . . . , A vector x ]
1 n 1 n
(die Spalten eines Matrixproduktes bestehen aus der ersten Matrix wirkend auf
die Spalten der zweiten Matrix). Mit
parenlefttp parenrighttp
lambda 0
1
parenleftex parenrightex
. .
T D = [vector x , . . . , vector x ] = [lambda vector x , . . . , lambda vector x ]
parenleftbt parenrightbt
1 n 1 1 n n
.
0 lambda n
und A vector x = lambda vector x folgt A T = T D.
k k k
Q.E.D.
Folgerung 1.21:
minus 1
Mit einer Diagonalisierung A = T D T gilt
n minus 1 minus 1 minus 1 minus 1 n minus 1
A = T D T T D T periodcentered periodcentered periodcentered T D T = T D D periodcentered periodcentered periodcentered D T = T D T .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
A A A
Die Potenzen von A sind damit auf Potenzen der Diagonalform D von
n
A zuruckgefuhrt, wobei D sich ohne große Rechnung durch Potenzieren
dieresis dieresis
der Diagonalelemente ergibt.
Bemerkung 1.22: Hat man einen Eigenwert lambda der zu diagonalisierenden Ma-
k
trix gefunden, so kann man nach 1.20 irgendeinen dazugehorigen Eigenvektor dieresis vector x benutzen, die entsprechende Spalte von T zu besetzen. Nun sind Eigen-
k
vektoren aber nicht eindeutig: ist vector x ein Eigenvektor, so ist jedes Vielfaches
k
vector y = c vector x wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert lambda . Es gibt damit vie-
k k k k
le unterschiedliche Transformationsmatrizen T , wahrend die Diagonalmatrix bis dieresis auf Umnummerierung der Eigenwerte eindeutig ist. Wie kann das sein? Antwort:
die Transformationsmatrizen unterscheiden sich nur um eine Diagonalmatrix:
parenlefttp parenrighttp
c 0
1
parenleftex parenrightex
.
tilde .
T = [vector y , . . . , vector y ] = [c vector x , . . . , c vector x ] = [vector x , . . . , vector x ] = T C.
parenleftbt parenrightbt
1 n 1 1 n n 1 n .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 0 c
T n
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
C
In der Diagonalisierung fallt die diagonale Skalierungsmatrix" C heraus, da die dieresis quotedblright
Multiplikation von Diagonalmatrizen kommutativ ist:
minus 1 minus 1 minus 1 minus 1
tilde tilde
A = T D T = T C D (T C) = T C D C T
minus 1 minus 1 minus 1
= T D C C T = T D T .
Bemerkung 1.23: Da bei der Diagonalisierung die Invertierbarkeit von T arrowdown 26.4.02
wichtig ist, nutzt es uberhaupt nichts, triviale Eigenvektoren vector x = 0 zu bedieresis dieresis k
trachten (die ja auch strenggenommen per Definition von Eigenvektoren gar
nicht als Eigenvektoren zulassig sind).
dieresis
Die Aufgabenstellung der Diagonalisierung lauft darauf hinaus, die Eigenvekdieresis
toren zu allen Eigenwerten zu finden. Sobald man eine Basis von linear unabhangigen
Eigenvektoren gefunden hat, hat man die invertierbare Transformadieresis
tionsmatrix T gefunden, welche die betrachtete Matrix auf Diagonalform bringt.
Sind alle Eigenwerte verschieden, so existiert immer eine Basis von linear unabhangigen
Eigenvektoren. Bei entarteten Eigenwerten (mehrfachen Nullstellen
dieresis
des charakteristischen Polynoms) ist dies jedoch nicht garantiert, und in der
Tat gibt es nicht-diagonalisierbare Matrizen. Symmetrische reelle Matrizen sind
immer diagonalisierbar, selbst wenn die (bei Symmetrie der Matrix automatisch
reellen) Eigenwerte entartet sind.
Beispiel 1.24: Mittels Diagonalisierung konnen wir fur
dieresis dieresis
parenleftBigg parenrightBigg
1
1 minus 2
A = 2 1
n
eine explizite Darstellung von A fur jedes n element Z ermitteln. Nach Satz 1.20 sind aldieresis
le Eigenwerte und endash vektoren zu bestimmen. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des
14 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN
charakteristischen Polynoms
parenleftBigg parenrightBigg
1
lambda minus 1 2 2
det(lambda E minus A) = det = lambda minus 2lambda + 2
2 minus 2 lambda minus 1
(hier ist E die 2 multiply 2-Einheitsmatrix). Nach der Standardformel fur die Nullstellen dieresis
2
quadratischer Polynome ergeben sich die komplex konjugierten Eigenwerte
radical
lambda = 1 plusminus minus 1 = 1 plusminus i.
1,2
Die Eigenvektoren zu lambda bzw. lambda findet man, indem man die Kernvektoren von Aminus lambda E
1 2 k 2
vector
ermittelt, d.h., die Gleichungen (A minus lambda E ) vector x = A vector x minus lambda vector x = 0 lost. Mit den
dieresis
k 2 k k k k
Techniken der Mathematik I des letzten Semesters findet man die Losungen
dieresis
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
i 1
vector x = bzw. vector x = .
1 2
2 2 periodcentered i
Die Transformationsmatrix T wird spaltenweise aus diesen Eigenvektoren aufgebaut,
die Inverse wird berechnet: parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg i 1
minus
i 1 2 4
minus 1
T = , T = .
1 i
2 2 periodcentered i minus
2 4
Damit folgt die Diagonalisierung
parenleftBigg parenrightBigg parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg
1 i 1
1 minus minus
i 1 1 + i 0
2 2 4
A = = .
1 i
2 2 periodcentered i 0 1 minus i
2 1 minus
2 4
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
T D minus 1
T
Dies liefert parenleftBigg parenrightBigg
parenleftbigg parenrightbigg parenleftbigg parenrightbigg i 1
n minus
i 1 (1 + i) 0 2 4
n
A = n 1 i
2 2 periodcentered i 0 (1 minus i) minus
2 4
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
n
T D minus 1
T
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
parenlefttp parenrighttp
i 1
n n
parenleftbigg parenrightbigg minus periodcentered (1 + i) periodcentered (1 + i)
2 4
i 1 parenleftbt parenrightbt
= 1 i
n n
2 2 periodcentered i periodcentered (1 minus i) minus periodcentered (1 minus i)
2 4
parenlefttp parenrighttp
1 1 i i
n n n n
periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) minus periodcentered (1 minus i)
2 2 4 4
parenleftbt parenrightbt
= .
1 1
n n n n
minus i periodcentered (1 + i) + i periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i)
2 2
Das Ergebnis muß als Potenz der reellen Matrix A reell sein. Dies ist in dieser Darstellung leider alles andere als off ensichtlich. In der Tat brauchen wir noch einige grundsatz-
dieresis
dieresis
liche Uberlegungen zu Potenzen komplexer Zahlen, die in Polarkoordinaten wesentlich
einfacher zu handhaben sind als in Kartesischen Koordinaten. Wir werden spater nach
dieresis
der Einfuhrung der exp-Funktion fur komplexe Zahlen hierauf genauer eingehen und in
dieresis dieresis n
Beispiel 5.23 diese Darstellung von A noch weiter vereinfachen.
Kapitel 2
Folgen und Grenzwerte
Die Grundlage der Analysis ist der Begriff des Grenzwertes. Er ist aus der Schule bekannt (bzw. sollte bekannt sein) und wird hier rekapituliert. Da es kaum einen Unterschied macht, Folgen und Grenzwerte in R oder in C zu betrachten, formulieren wir die folgenden Definitionen und Satze in C, was R als Spezialfall dieresis
dieresis
umschließt. In den Beispielen und Ubungen werden hauptsachlich reelle Folgen dieresis
betrachtet.
2.1 Definitionen, Beispiele, einige Satze
dieresis
Notation: N = {1, 2, . . .}, N = {0, 1, 2, . . .}.
0
Definition 2.1: (Folgen)
Eine Folge (z ) = (z , z , z . . .), manchmal auch (z ) = (z , z , z , . . .),
n 1 2 3 n 0 1 2
ist eine Zuordnung (Funktion)
Index n element N (bzw. N ) minus arrowright Wert z element C.
0 n
Beispiel 2.2:
n
a) x = (minus 1) ; n element N. Die Folge (x ) ist (minus 1, 1, minus 1, 1, . . .).
n n
1 1 1 1
b) x = ; n element N. Die Folge (x ) ist (1, , , , . . .).
n n
n 2 3 4
1 3 8 15 24
c) x = 1 minus ; n element N. Die Folge (x ) ist (0, , , , , . . .).
n 2 n
n 4 9 16 25
1 n
d) x = (1 + ) ; n element N. Die Folge (x ) ist
n n
n
parenleftBig parenrightBig
9 64 625 7776
2, , , , , . . . approxequal (2.0, 2.25, 2.3703..., 2.4414..., 2.4883..., . . .).
4 27 256 3125
16 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Beispiel 2.3: Einige simple Berechnungen mit MuPAD. Folgen konnen z.B. als Funk-
dieresis
tionen definiert werden:
>> x := n -> (1 + 1/n)^n
n -> (1 + 1/n)^n
Der Folgengenerator" $ dient zur Erzeugung von Folgen:
quotedblright
>> x(n) $ n = 1..5
2, 9/4, 64/27, 625/256, 7776/3125
Gleitpunktnaherungen werden durch float erzeugt:
dieresis
>> float(x(n)) $ n = 1..5
2.0, 2.25, 2.37037037, 2.44140625, 2.48832
Manchmal sind Monotonieeigenschaften von Folgen interessant. Da hierzu Folgenglieder verglichen werden mussen, kann Monotonie nur im Reellen betrachtet dieresis
werden (auf C gibt es keine sinnvolle Begriff sbildung der Art z < z ).
1 2
Bezeichnung 2.4:
Eine reelle Folge (x ) heißt monoton wachsend" bzw. monoton
n quotedblright quotedblright
fallend", wenn x lessequal x bzw. x greaterequal x gilt fur alle Indexpaare n, m mit
dieresis
n m n m
n < m. Bei x < x bzw. x > x spricht man von streng monoton
n m n m quotedblright
wachsend" bzw. streng monoton fallend".
quotedblright
Zunachst die formale Definition von Konvergenz" und Grenzwert", die etwas dieresis quotedblright quotedblright
abschreckend sein mag, aber (keine Angst!) spater nur in (den hier nicht wirkdieresis lich interessierenden) technischen Beweisen zum Einsatz kommt. Oft reicht es, einfache Vererbungsreglen wie z.B. aus Satz 2.13 zu benutzen, um Grenzwerte
mittels Arithmetikregeln zu ermitteln.
Definition 2.5: (Grenzwerte von Folgen)
asteriskmath
Eine Folge (z ) in C heißt konvergent", wenn eine Zahl z element C exi-
n quotedblright asteriskmath
stiert, so dass sich (intuitiv) alle Zahlen z fur großes n dem Wert z
dieresis
n
quotedblright
beliebig genau annahern".
dieresis
Formal: zu jedem noch so kleinen epsilon1 > 0 laßt sich eine reelle Zahl N(epsilon1 )
dieresis
asteriskmath
angeben, so dass |z minus z | lessequal epsilon1 gilt fur alle Indizes n greaterequal N(epsilon1 ).
dieresis
n
Anschaulich: alle Werte z weichen fur n greaterequal N(epsilon1 ) maximal um den Wert
dieresis
n
epsilon1 vom Grenzwert ab.
asteriskmath
Der Wert z heißt dann Grenzwert" ( Limes") der Folge (z ).
n
quotedblright quotedblright
Schreibweisen:
asteriskmath asteriskmath
z = lim z oder auch z arrowright z fur n arrowright infinity .
dieresis
n n
narrowright infinity
dieresis
2.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SATZE 17
Eine nicht konvergierende Folge heißt divergent". Konvergente Folgen
quotedblright
mit dem Grenzwert 0 heißen auch Nullfolgen.
Bemerkung 2.6: Die Aussage fur alle n greaterequal N(epsilon1 )" impliziert, dass nur hinreidieresis
quotedblright quotedblright
chend große Indizes n" betrachtet zu werden brauchen. Merke: fur Konvergenz dieresis ist das Verhalten der Folge fur kleine Indexwerte vollig irrelevant. Genauer: dieresis dieresis
man kann immer endlich viele Folgenelemente abandern, ohne dass sich etwas dieresis an der Konvergenz andert: man kann o.B.d.A. (= ohne Beschrankung der dieresis dieresis
Allgmeinheit) immer N(epsilon1 ) großer wahlen als der großte Index der geanderten dieresis dieresis dieresis dieresis
Folgenglieder.
Eine intuitive Interpretation der epsilon1 -Definition der Konvergenz lautet:
Fur jedes (noch so kleine) epsilon1 > 0 haben hochstens endlich viele
dieresis dieresis
Folgenglieder einen Abstand zum Grenzwert, der großer ist als epsilon1 .
dieresis
Satz 2.7: (Eindeutigkeit von Grenzwerten)
asteriskmath
Grenzwerte sind eindeutig, d.h., zu (z ) gibt es hochstens ein z mit der
dieresis
n
obigen Eigenschaft.
asteriskmath asteriskmath asteriskmath
Beweis: Seien z und z zwei Grenzwerte. Zu jedem epsilon1 > 0 gilt fur hinreichend dieresis
große Indizes n: asteriskmath asteriskmath asteriskmath
|z minus z | lessequal epsilon1 , |z minus z | lessequal epsilon1
n n
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
arrowdblright |z minus z | = |z minus z + z minus z | lessequal |z minus z | + |z minus z | lessequal 2 periodcentered epsilon1 .
n n n n
Da epsilon1 > 0 beliebig klein gewahlt werden kann und damit auch 2 periodcentered epsilon1 beliebig klein dieresis
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
sein kann, folgt |z minus z | = 0, also z = z .
Q.E.D.
Einige einfache Beispiele mit formalem Beweis:
Beispiel 2.8: Die konstante Folge (z ) = (c, c, c, . . .) ist konvergent mit dem Grenzwert
n
asteriskmath z = lim z = c, denn fur alle n gilt
dieresis
n
narrowright infinity
asteriskmath
|z minus z | = |c minus c| = 0 lessequal epsilon1 ,
n
wie auch immer epsilon1 > 0 vorgegeben wird. Formal: zu epsilon1 > 0 wahle N(epsilon1 ) = 1.
dieresis
Nun ja, im obigen Beispiel war sogar das formale N(epsilon1 )endash Kriterium sehr einfach
zu handhaben. Im nachsten Beispiel wird es ein klein wenig komplizierter:
dieresis
18 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
asteriskmath
1
Beispiel 2.9: Die Folge x = ist konvergent mit dem Grenzwert x = lim x = 0.
n n
n narrowright infinity
1
Formaler Beweis: zu beliebigem epsilon1 > 0 wahle N(epsilon1 ) = . Dann folgt fur alle n greaterequal N(epsilon1 ):
dieresis dieresis
epsilon1
vextendsingle vextendsingle
vextendsingle vextendsingle 1 1 1 1
asteriskmath vextendsingle vextendsingle
|x minus x | = |x minus 0| = |x | = = lessequal = = epsilon1 .
n n n 1
vextendsingle vextendsingle n n N (epsilon1 ) epsilon1
Und noch ein Beispiel mit formalem Beweis:
n
Beispiel 2.10: Fur c element C gelte |c| < 1. Dann ist die Folge z = c eine Nullfolge.
dieresis n
1 1
Beweis: Fur c = 0 ist alles klar. Sei nun c negationslash = 0. Definiere h = minus 1 > 0, d.h., |c| = .
dieresis |c| 1+h
Es gilt
parenleftbigg parenrightbigg
1 1 n
n 2
= = (1 + h) = 1 + n periodcentered h + periodcentered h + periodcentered periodcentered periodcentered greaterequal 1 + n periodcentered h > n periodcentered h.
n n
|c | |c| 2
1 1
n
Es folgt |c | < lessequal epsilon1 fur alle Indizes n greaterequal =: N(epsilon1 ).
dieresis
nperiodcentered h hperiodcentered epsilon1 Q.E.D.
Beispiele:
n
c = 0.5 : (c ) = (0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 . . .).
Fur |c| greaterequal 1 gilt diese Aussage nicht! Z.B.:
dieresis
n
c = 1 : (c ) = (1, 1, 1, 1, . . .) (konvergiert gegen 1),
n
c = i : (c ) = (i, minus 1, minus i, 1, i, minus 1, . . .) (konvergiert nicht),
n
c = 2 : (c ) = (2, 4, 8, 16, . . .) (divergiert, bzw. konvergiert gegen infinity ").
quotedblright
2.5.02arrowdown Beispiel 2.11: Einige Berechnungen mit MuPAD:
>> x := n -> c^n
n -> c^n
>> x(n) $ n = 1..10
2 3 4 5 6 7 8 9 10
c, c , c , c , c , c , c , c , c , c
Grenzwerte werden mit limit berechnet. Die Hilfeseite dazu wird mittels ?limit an-
gefordert:
>> ?limit
Ohne Weiteres kann der Grenzwert nicht bestimmt werden, da er ja von den Eigen-
schaften von c abhangt:
dieresis
dieresis
2.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SATZE 19
>> limit(x(n), n = infinity)
Warning: cannot determine sign of ln(c) [stdlib::limit::limitMRV]
n
limit(c , n = infinity)
Nehmen wir an, c sei reell und 0 < c < 1:
>> assume(0 < c < 1):
>> limit(x(n), n = infinity)
0
Nehmen wir an, c > 1:
>> assume(c > 1):
>> limit(x(n), n = infinity)
infinity
Ein Beispiel einer nicht konvergierenden Folge:
n
Beispiel 2.12: Die Folge x = (minus 1) , also (x ) = (minus 1, 1, minus 1, 1, . . .) ist nicht konvergent n n
(hat keinen Grenzwert). Hier ein formaler Beweis (damit in dieser Vorlesung wenigstens
1
einmal ein sauberer Nichtexistenzbeweis vorkommt): zu epsilon1 = laßt sich kein N(epsilon1 ) finden. dieresis
2
asteriskmath
Angenommen, ein Grenzwert x existiert. Dann mußte N(epsilon1 ) existieren mit
dieresis
asteriskmath asteriskmath
|x minus x | lessequal epsilon1 , |x minus x | lessequal epsilon1
n n+1
fur alle n greaterequal N(epsilon1 ). Es wurde folgen:
dieresis dieresis
1 1
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
|x minus x | = |x minus x + x minus x | lessequal |x minus x | + |x minus x | lessequal epsilon1 + epsilon1 = + = 1.
n n+1 n n+1 n n+1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 2 2
=0
Fur die betrachtete Folge gilt aber |x minus x | = 2 fur jedes n. Widerspruch! Damit dieresis dieresis
n n+1
asteriskmath
muß die Annahme es existiert x " falsch gewesen sein.
quotedblright
Die formale Definition mit epsilon1 und N(epsilon1 ) ist unangenehm und man mochte diese dieresis recht technischen Betrachtungen und Abschatzungen liebend gern vermeiden. dieresis Wie geht man beim praktischen Rechnen vor? Es gibt Rechenregeln! Damit laßt dieresis
sich epsilon1 und N(epsilon1 ) praktisch immer verbannen:
Satz 2.13: (Rechenregeln fur Grenzwerte)
dieresis
Seien (x ), (y ) konvergente Folgen in C, sei c element C eine Konstante. Dann
n n
gilt:
a) lim (c periodcentered x ) = c periodcentered lim x ,
n n
narrowright infinity narrowright infinity
20 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
b) lim (x plusminus y ) = lim x plusminus lim y ,
n n n n
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
c) lim (x periodcentered y ) = lim x periodcentered lim y ,
n n n n
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
parenleftBig parenrightBig lim xn
xn narrowright infinity
d) lim = , falls lim y negationslash = 0 gilt (!),
n
narrowright infinity narrowright infinity
y lim y
n n
narrowright infinity
radicalBig
radical
e) lim x = lim x .
n n
narrowright infinity narrowright infinity
Eine Beweisandeutung (nur fur technisch Interessierte):
dieresis
asteriskmath asteriskmath
Beweisskizze: Seien x bzw. y die Grenzwerte von (x ) bzw. (y ).
n n
a) Fur c = 0 ist die Behauptung sicherlich richtig. Sei nun c negationslash = 0. Zu epsilon1 > 0 gibt dieresis
es ein N , so dass epsilon1
asteriskmath
|x minus x | lessequal
n |c|
gilt fur alle n greaterequal N . Fur diese Indizes folgt
dieresis dieresis
epsilon1
asteriskmath asteriskmath
|c periodcentered x minus c periodcentered x | = |c| periodcentered |x minus x | lessequal |c| periodcentered = epsilon1 .
n n |c|
b) Wahle ein beliebiges epsilon1 > 0. Da (x ) und (y ) als konvergent vorausgesetzt dieresis n n
sind, gibt es Werte N bzw. N mit
x y
epsilon1 epsilon1
asteriskmath asteriskmath
|x minus x | lessequal bzw. |y minus y | lessequal
n n
2 2
fur alle n greaterequal N bzw. n greaterequal N . Fur alle n greaterequal N(epsilon1 ) := max(N , N ) folgt
dieresis dieresis
x y x y
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
|x plusminus y minus (x plusminus y )| = |x minus x plusminus (y minus y )|
n n n n
epsilon1 epsilon1
asteriskmath asteriskmath
lessequal |x minus x | + | plusminus (y minus y )| lessequal + = epsilon1 .
n n 2 2
Die Aussagen c) endash e) lassen sich mit ahnlichen (etwas aufwendigeren) dieresis
Abschatzungen beweisen.
dieresis
Q.E.D. Beispiel 2.14: Wir wissen bereits, dass konstante Folgen x = c gegen c konvergieren,
n
1
und dass x = eine Nullfolge ist. Durch Einsatz der Rechenregeln folgt unmittelbar: n n
1 1 1 1 1
lim = lim periodcentered = lim periodcentered lim = 0 periodcentered 0 = 0,
2
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n n n n n
1 1 1 1 1
lim = lim periodcentered = lim periodcentered lim = 0 periodcentered 0 = 0,
3 2 2
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n n n n n
usw. Durch Induktion nach k ergibt sich:
1
Alle Folgen der Form x = mit positiven Potenzen k sind Nullfolgen.
n kn
dieresis
2.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SATZE 21 Manchmal muß man etwas manipulieren und umschreiben. Bei rationalen Ausdrucken in n (also Polynom(n)/Polynom(n)) gilt das allgemeine Rezept: ziehe dieresis in Zahler und Nenner die fuhrende Potenz von n raus und kurze. Typischerweise dieresis dieresis dieresis
verbleiben dann nur noch Nullfolgen im Ausdruck, die zu 0 werden, wenn man
uber die obigen Rechenregeln den Grenzwert in den Ausdruck 'reinzieht":
dieresis quotedblright
Beispiel 2.15:
1
1 1
2 2+ lim
2 n periodcentered (2 + ) 2 + 2
2 periodcentered n + 1 2+ 0
2 2 narrowright infinity n
n n
lim = lim = lim = = = 2 .
1 1
2 2 1
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n minus n 1minus 0
n periodcentered (1 minus ) 1 minus
n n 1 minus lim
narrowright infinity n
Hierbei wurde benutzt, dass wir in den Beispielen 2.9 und 2.14 bereits 1/n und
2
1/n als Nullfolgen identifiziert haben. Man sieht, mit etwas Geschick eingesetzt,
machen die Rechenregeln die Berechnung von Grenzwerten oft sehr einfach.
Manchmal muß man allerdings tricksen":
quotedblright
Beispiel 2.16:
radical radical radical
radical radical radical
2 2
radical radical ( n + 1 minus n) periodcentered ( n + 1 + n) n + 1 minus n
radical radical
lim ( n + 1 minus n) = lim = lim
radical radical
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n + 1 + n n + 1 + n
(n + 1) minus n 1 1
radical radical radicalBig
= lim = lim = lim
radical radical radical
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity 1
n + 1 + n n + 1 + n n periodcentered (1 + ) + n
n
1 1
radicalBig radicalBig
= lim = lim parenleftBig parenrightBig
radical radical radical
narrowright infinity narrowright infinity
1 1
n periodcentered 1 + + n n periodcentered 1 + + 1
n n
radicalbigg
1 1 1 1
radical radicalBig radicalbigg
= lim periodcentered lim = lim periodcentered parenleftBig parenrightBig
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n n
1 1
1 + + 1
n lim 1 + + 1
narrowright infinity n
radicalbigg 1 1 1
radicalbigg radical
= lim periodcentered = 0 periodcentered = 0.
narrowright infinity n 1+ 0+ 1
1
1 + lim + 1
narrowright infinity n
Manchmal helfen alle Rechenregeln nichts, und man muß technisch abschatzen. dieresis Eine hilfreiche Aussage liefert der folgende Satz, der nur fur reelle Folgen gilt. dieresis Liegen die Folgenglieder x in Intervallen [a , b ] und konvergieren die Inter-
n n n
vallenden gegen den selben Wert, so bleibt der Folge nichts anderes ubrig, als dieresis ebenfalls gegen diesen Wert zu konvergieren (die Intervalllange b minus a konverdieresis n n
giert gegen 0):
22 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
Satz 2.17: (Intervallschachtelung)
Seien (a ), (b ), (x ) reelle Folgen. Die Folgen (a ) und (b ) mogen ge-
dieresis
n n n n n
gen den selben Grenzwert konvergieren. Gilt fur alle hinreichend großen
dieresis
Indizes a lessequal x lessequal b , so konvergiert auch (x ) gegen
n n n n
lim x = lim a = lim b .
n n n
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Beweis: Sei x der Grenzwert von (a ) und (b ). Die Folge (b minus a ) ist positiv n n n n
und eine Nullfolge. Zu epsilon1 > 0 gibt es Werte N bzw. N mit
1 2
epsilon1 epsilon1
asteriskmath
b minus a = |b minus a | lessequal , |a minus x | lessequal
n n n n n
2 2
fur alle n greaterequal N bzw. n greaterequal N . Fur alle n greaterequal N := max(N , N ) folgt
dieresis dieresis
1 2 1 2
asteriskmath asteriskmath asteriskmath
|x minus x | = |x minus a + a minus x | lessequal |x minus a | + |a minus x |
n n n n n n n
epsilon1 epsilon1
asteriskmath asteriskmath
= x minus a + |a minus x | lessequal b minus a + |a minus x | lessequal + = epsilon1 .
n n n n n n 2 2 Q.E.D.
n
Beispiel 2.18: Sei x = . Off ensichtlich gilt
n 2n +1
n n 1
0 lessequal x = lessequal = .
n 2 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright n + 1 n n
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
an bn
1
Die Intervallgrenzen a = 0 und b = sind beides Nullfolgen, also ist auch x eine
n n n
n
Nullfolge.
1/n
Beispiel 2.19: Fur positive reelle Zahlen c definieren wir z = c als die positive dieresis n
n
reelle Losung von z = c.
dieresis
Fall 1: Sei c greaterequal 1. Sicherlich gilt z greaterequal 1 . Setze z = 1 + h mit h greaterequal 0. Es folgt
n n n n
parenleftbigg parenrightbigg
n cminus 1
n 2
c = (1 + h ) = 1 + n periodcentered h + periodcentered h + periodcentered periodcentered periodcentered greaterequal 1 + n periodcentered h arrowdblright 0 lessequal h lessequal .
n n n n
n
2 n
Damit ist h eine Nullfolge, also z = 1 + h arrowright 1 fur n arrowright infinity .
dieresis
n n n
Fall 2: Sei 0 < c lessequal 1. Sicherlich gilt 0 < z lessequal 1. Setze z = 1/(1 + h ) mit h greaterequal 0.
n n n n
Analog zu Fall 1 folgt
parenleftbigg parenrightbigg 1 minus 1
1 n
n 2 c
= (1 + h ) = 1 + n periodcentered h + periodcentered h + periodcentered periodcentered periodcentered greaterequal 1 + n periodcentered h arrowdblright 0 lessequal h lessequal .
n n n n
n
c 2 n
Damit ist h eine Nullfolge, also z = 1/(1 + h ) arrowright 1 fur n arrowright infinity .
dieresis
n n n
Merke:
1/n
lim c = 1 fur jedes reelle c > 0.
dieresis
narrowright infinity
dieresis
2.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SATZE 23
Satz und Definition 2.20:
z n
Sei z eine beliebige komplexe Zahl. Die Folge x = (1 + ) konver- arrowdown 3.5.02
n n
asteriskmath z
giert gegen einen von z abhangenden Grenzwert x (z), der auch als e
dieresis z
oder auch als exp(z) bezeichnet wird. Die Funktion exp : z mapsto arrowright e heißt
1
Exponential-Funktion". Der spezielle Grenzwert e = e fur z = 1
dieresis
quotedblright heißt Eulersche Zahl":
quotedblright parenleftBig parenrightBig n
1
e = lim 1 + approxequal 2.71828... .
narrowright infinity n
Der Beweis ist sehr technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Nur
der Vollstandigkeit halber wird eine Teilskizze angegeben:
dieresis
Beweisskizze: Wir betrachten nur den Fall z = 1. Man zeigt jeweils per In-
parenleftBig parenrightBig n
1
duktion, dass die reelle Folge x = 1 + streng monoton wachsend in n ist n n
und dass
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n nminus 1
1 1 1 1
y = 1 + = 1 + periodcentered 1 + = x periodcentered 1 +
n nminus 1
n minus 1 n minus 1 n minus 1 n minus 1
streng monoton fallend in n ist. Da off ensichtlich x < y < y = 4 gilt, ist x
n n 2 n
monoton wachsend und nach oben beschrankt. Dies reicht, um die Konvergenz
dieresis
von (x ) zu folgern (Satz 2.28). Zusatz: y ist monoton fallend und nach unten
n n
durch y > x > x = 2 beschrankt, konvergiert also ebenfalls. Es gilt
dieresis
n nminus 1 1
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1
lim y = lim x periodcentered 1 + = lim x periodcentered lim 1 +
n nminus 1 nminus 1
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n minus 1 nminus 1
= lim x = lim x .
nminus 1 n
narrowright infinity narrowright infinity
Damit liefert jedes x eine untere und y eine obere Schranke fur die Eulersche dieresis
n n
Zahl, wobei das Intervall [x , y ], in dem sie zu finden ist, auf die Lange 0 dieresis
n n
zusammenschrumpft.
Q.E.D.
Eine technische Voruberlegung fur den Beweis des kommenden Satzes 2.22:
dieresis dieresis
Technischer Hilfssatz 2.21:
2
Sei (z ) eine komplexe Nullfolge mit der Eigenschaft, dass (n periodcentered z ) be-
n n
schrankt ist (d.h., es gibt eine Konstante c > 0, so dass fur alle Indizes n
dieresis dieresis
c
|z | lessequal gilt). Dann gilt
n 2n
n
lim (1 + z ) = 1.
n
narrowright infinity
24 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Der Beweis ist sehr technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Er ist
nur der Vollstandigkeit halber angegeben:
dieresis
Beweis: Es gilt (Aufgabe 8) fur jedes z element C:
dieresis
parenleftBig parenrightBig
n nminus 1
z minus 1 = (z minus 1) periodcentered 1 + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z .
Fur z = 1 + z folgt
dieresis n
parenleftBig parenrightBig
n nminus 1
(1 + z ) minus 1 = z periodcentered 1 + (1 + z ) + periodcentered periodcentered periodcentered + (1 + z ) .
n n n n
Die Dreiecksungleichung liefert
vextendsingle vextendsingle parenleftBig parenrightBig
vextendsingle vextendsingle
n nminus 1
(1 + z ) minus 1 lessequal |z | periodcentered 1 + |1 + z | + periodcentered periodcentered periodcentered + |1 + z |
vextendsingle vextendsingle
n n n n
parenleftBig parenrightBig
nminus 1
lessequal |z | periodcentered 1 + (1 + |z |) + periodcentered periodcentered periodcentered + (1 + |z |) .
n n n
k n
Mit (1 + |z |) lessequal (1 + |z |) fur alle k = 0, 1, . . . , n minus 1 folgt
dieresis
n n
vextendsingle vextendsingle parenleftBig parenrightBig
vextendsingle vextendsingle
n n n n
(1 + z ) minus 1 lessequal |z | periodcentered (1 + |z |) + (1 + |z |) + periodcentered periodcentered periodcentered + (1 + |z |)
vextendsingle vextendsingle
n n n n n
n
= n periodcentered |z | periodcentered (1 + |z |) .
n n
2
Wegen |z | lessequal c/n gilt auch |z | lessequal c/n:
n n
vextendsingle vextendsingle parenleftBig parenrightBig n
c
vextendsingle vextendsingle
n c
(1 + z ) minus 1 lessequal n periodcentered |z | periodcentered 1 + lessequal n periodcentered |z | periodcentered e .
vextendsingle vextendsingle
n n n
n
2
Wegen |z | lessequal c/n gilt |n periodcentered z | lessequal c/n:
n n
vextendsingle vextendsingle c
c periodcentered e
vextendsingle vextendsingle
n
(1 + z ) minus 1 lessequal .
vextendsingle vextendsingle
n n
parenleftBig parenrightBig
n n
Damit gilt lim (1 + z ) minus 1 = 0, und es folgt lim (1 + z ) = 1.
n n
narrowright infinity narrowright infinity Q.E.D.
Der folgende Satz ist fundamental und sehr wichtig:
Satz 2.22: (Funktionalgleichungen der Exponentialfunktion)
Fur alle z, z , z element C, n element Z gilt:
dieresis 1 2
1
0 minus z z +z z z z n nperiodcentered z
1 2 1 2
e = 1, e = , e = e periodcentered e , (e ) = e .
ze
dieresis
2.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SATZE 25 Trotz aller Wichtigkeit des Satzes: der Beweis bringt keine wirklichen Erkenntnisse und ist nur der Vollstandigkeit halber fur technisch Interessierte dieresis dieresis
angegeben:
Beweis: Es gilt
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n n n
z + z z z
1 2 1 2
1 + periodcentered 1 minus periodcentered 1 minus
n n n
parenleftBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenrightBig n
z + z z z
1 2 1 2
= 1 + periodcentered 1 minus periodcentered 1 minus
n n n
parenleftBig parenrightBig
2 2 n
z + z periodcentered z + z z periodcentered z periodcentered (z + z )
1 2 1 2 1 2
1 2
= 1 minus + .
2 3
n n
Die Folge 2 2
z + z periodcentered z + z z periodcentered z periodcentered (z + z )
1 2 1 2 1 2
1 2
x = minus +
n 2 3
n n
parenleftBig parenrightBig
1 z periodcentered z periodcentered (z + z )
1 2 1 2
2 2
= periodcentered z + z periodcentered z + z +
1 2
1 2
2n n 2
erfullt die im Hilfssatz 2.21 geforderte Bedingung |x | lessequal c/n mit
dieresis n
vextendsingle vextendsingle
z periodcentered z periodcentered (z + z ) |z periodcentered z periodcentered (z + z )|
vextendsingle vextendsingle
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
z + z periodcentered z + z + lessequal |z + z periodcentered z + z | +
vextendsingle vextendsingle
1 2 1 2
1 2 1 2
n n
2 2
lessequal |z + z periodcentered z + z | + |z periodcentered z periodcentered (z + z )| =: c.
1 2 1 2 1 2
1 2
Hilfssatz 2.21 liefert damit
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n n n
z + z z z
1 2 1 2 n
lim 1 + periodcentered 1 minus periodcentered 1 minus = lim (1 + x ) = 1
n
narrowright infinity narrowright infinity
n n n
und folglich gilt:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n n n
z + z z z
1 2 1 2
1 = lim 1 + periodcentered lim 1 minus periodcentered lim 1 minus
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n n n
z +z minus z minus z
1 2 1 2
= e periodcentered e periodcentered e .
parenleftBig parenrightBig n
0
0 n
Mit e = lim 1 + = lim 1 = 1 folgt fur z = z, z = minus z:
dieresis 1 2
narrowright infinity narrowright infinity
n
1 0 minus z z minus z z minus z
1 = e periodcentered e periodcentered e = e periodcentered e arrowdblright e = .ze
Fur allgemeine z , z folgt dann:
dieresis 1 2
z +z minus z minus z z +z z z
1 2 1 2 1 2 1 2
1 = e periodcentered e periodcentered e arrowdblright e = e periodcentered e .
Hiermit folgt fur n element N:
dieresis
z n z z z z+z+...+z nperiodcentered z
(e ) = e periodcentered e periodcentered . . . periodcentered e = e = e .
minus z z
Mit e = 1/e folgt die selbe Eigenschaft auch fur negative ganzzahlige Potendieresis
zen n.
Q.E.D.
26 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
Beispiel 2.23: Einige Rechnungen mit MuPAD. Die Exponentialfunktion heißt exp:
>> limit((1 + 1/n)^n, n = infinity)
exp(1)
Mit \% wird auf den letzten Wert zugegriff en:
>> float(\%)
2.718281829
>> exp(20) = float(exp(20))
exp(20) = 485165195.4
>> exp(3 + I/2) = float(exp(3 + I/2))
exp(3 + 1/2 I) = 17.62671695 + 9.629519358 I
Fur reelle Argumente kann die Exponentialfunktion mittels plotfunc2d gezeichnet
dieresis
werden. Falls x vorher einen Wert zugewiesen bekommen hatte, muß dieser zunachst
dieresis
mittels delete geloscht werden:
dieresis
>> delete x:
>> plotfunc2d(exp(x), x = -2..3)
2.2 Weitere Konvergenzsatze
dieresis
In diesem Abschnitt werden einige allgemeine Satze formuliert, die hilfreich dieresis sind, die Konvergenz von Folgen zu prufen. Als Vorbereitung wird zunachst das dieresis dieresis
Supremumsaxiom vorgestellt. Es garantiert, dass R vollstandig" genug ist, um dieresis
quotedblright
die Existenz diverser Grenzwerte zu sichern.
2.2.1 Das Supremumsaxiom fur R
dieresis
Welcher Unterschied besteht zwischen der Menge R der reellen Zahlen und der Menge Q der rationalen Zahlen? In beiden Mengen ist die Arithmetik (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) definiert und verlaßt die Menge nicht. dieresis Mathematisch gesprochen: beide Mengen sind Korper". Die Einfuhrung der
dieresis dieresis
quotedblright
reellen Zahlen als Verallgemeinerung der rationalen Zahlen ist dadurch moti-
radical
2
viert, Gleichungen wie z.B. x = 2 losen zu konnen ( 2 ist eine irrationale dieresis dieresis
Zahl, also in R, aber nicht in Q). In diesem Sinne ist R vollstandiger" als Q. dieresis
quotedblright
Worauf lauft dies mathematisch hinaus?
dieresis
dieresis
2.2. WEITERE KONVERGENZSATZE 27
Definition 2.24: (Beschranktheit)
dieresis
Eine Teilmenge A von R heißt nach oben bzw. nach unten be-
quotedblright
schrankt", wenn es Zahlen M element R bzw. m element R gibt, so dass a lessequal M
dieresis
bzw. m lessequal a fur alle a element A gilt. Die Zahl M bzw. m heißt obere bzw.
dieresis quotedblright
untere Schranke" fur A. Eine sowohl nach oben als auch nach unten
dieresis
beschrankte Menge heißt beschrankt". Es gilt |a| lessequal max(|m|, |M |) fur
dieresis dieresis dieresis
quotedblright
alle a element A.
Das Supremumsaxiom 2.25:
Jede nach oben beschrankte nichtleere Teilmenge A von R besitzt eine
dieresis
kleinste obere Schranke ( das Supremum" von A):
quotedblright
sup A = min{M element R; a lessequal M für alle a element A}.
Jede nach unten beschrankte nichtleere Teilmenge A von R besitzt eine
dieresis
großte untere Schranke ( das Infimum" von A):
dieresis quotedblright
inf A = max{m element R; m lessequal a für alle a element A}.
Hierbei braucht man als Axiom eigentlich nur die Existenz eine Supremums zu fordern. Das Infimum von A ergibt sich dann automatisch als das negative
Supremum der Menge der negativen Werte in A:
inf A = minus sup {minus a; a element A}.
Die Existenz des Minimums/Maximums aller oberen/unteren Schranken, welche das Supremum/Infimum definieren, ist die gewunschte Vollstandigkeit der dieresis dieresis
reellen Zahlen, die R z.B. von Q unterscheidet.
Bemerkung 2.26: Existiert in A propersubset R ein maximales Element, so ist dieses
Maximum auch das Supremum:
sup A = max A.
Aber nicht jede beschrankte Menge hat ein maximales Element. Z.B. hat A = dieresis
[0, 1) kein Maximum, denn das Supremum sup A = 1 (der einzige Kandidat furdieresis
das Maximum) liegt nicht in A.
Beispiel 2.27: Beispielsweise garantiert das Supremumsaxiom, dass es eine positive
radical 2
reelle Zahl 2 gibt, deren Quadrat 2 ist. Betrachte dazu A = {a element R; a lessequal 2}. Die
2
beiden Losungen von x = 2 ergeben sich als
dieresis
radical radical
2 = sup A, minus 2 = inf A.
28 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Das ist intuitiv plausibel, kann aber auch ganz formal bewiesen werden. Wir betrach-
2
ten hier nur das Supremum und fuhren den Beweis von (sup A) = 2 fur technisch dieresis dieresis
Interessierte formal durch:
Off ensichtlich ist die Menge A beschrankt (sicherlich gilt z.B. A propersubset [minus 3/2, 3/2]). Es ist
dieresis 2
zu zeigen, dass das Supremum (nennen wir es s) in der Tat s = 2 erfullt:
dieresis
Sicherlich gilt s > 0, also speziell 2 + s > 0.
2
Angenommen, es gilt s < 2. Dann kann s keine obere Schranke von A sein, denn
z.B. die Zahl 2 2 2
2 minus s 2 periodcentered s + s + 2 minus s 2 + 2 periodcentered s
a = s + = =
2 + s 2 + s 2 + s
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
>0
ware echt großer als s und liegt in A, denn es gilt
dieresis dieresis
2 2 2
4 + 8 periodcentered s + 4 periodcentered s (8 + 8 periodcentered s + 2 periodcentered s ) minus 2 periodcentered (2 minus s )
2a = =
2 2
(2 + s) (2 + s)
2 2 2
2 periodcentered (2 + s) minus 2 periodcentered (2 minus s ) 2 minus s
= = 2minus 2 periodcentered < 2.
2 2
(2 + s) (2 + s)
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
>0
Widerspruch! 2
Angenommen, es gilt s > 2. Dann kann s nicht die kleinste obere Schranke von A
sein, denn z. B. die Zahl
2 2 2
2 minus s 2 periodcentered s + s + 2 minus s 2 + 2 periodcentered s
M = s + = =
2 + s 2 + s 2 + s
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
<0
ist kleiner als s und ist obere Schranke von A, denn wegen
2 2 2
4 + 8 periodcentered s + 4 periodcentered s (8 + 8 periodcentered s + 2 periodcentered s ) + 2 periodcentered (s minus 2)
2
M = =
2 2
(2 + s) (2 + s)
2 2 2
2 periodcentered (2 + s) + 2 periodcentered (s minus 2) s minus 2
= = 2+ 2 periodcentered > 2
2 2
(2 + s) (2 + s)
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
>0
gilt: 2 2 2
a element A arrowdblboth a lessequal 2 arrowdblright a < M arrowdblright a < M.
(Im letzten Schritt wird ausgenutzt, dass wir bereits wissen, dass M = (2+2periodcentered s)/(2+s) >
0 gilt, da sicherlich s > 0 gilt.) Widerspruch!
2
Also muss s = 2 gelten.
Q.E.D.
dieresis
2.2. WEITERE KONVERGENZSATZE 29
2.2.2 Konvergenz monotoner reeller Folgen
Die folgende Aussage ist außerst hilfreich, denn sie gerantiert Konvergenz, ohdieresis ne dass der konkrete Grenzwert bekannt zu sein braucht. Die Aussage beruht auf Monotonie und ist daher nur auf reelle Folgen anwendbar. Die Konvergenz
basiert auf dem Supremumsaxiom 2.25 fur R.
dieresis
Satz 2.28: (Konvergenz monotoner Folgen)
Sei (x ) eine monoton steigende bzw. fallende reelle Folge. Ist die Folge
n
nach oben bzw. unten beschrankt, also x lessequal M bzw. m lessequal x fur alle
dieresis dieresis
n n
Indizes n, so ist (x ) konvergent. Es gilt
n
lim x = sup {x ; n element N} lessequal M bzw. m lessequal lim x = inf {x ; n element N}.
n n n n
narrowright infinity narrowright infinity
Beweis: Betrachte eine monoton steigende und durch M nach oben beschrankte dieresis
asteriskmath
Folge (x ). Setze A = {x ; n element N}. Der gesuchte Grenzwert ist x = sup A. n n asteriskmath asteriskmath
Zum Beweis der Konvergenz gegen x sei epsilon1 > 0 beliebig vorgegeben. Da x
asteriskmath
die kleinste obere Schranke von A ist, ist x minus epsilon1 keine obere Schranke, d.h., es
asteriskmath
existiert ein Index N(epsilon1 ) mit x > x minus epsilon1 . Wegen der Monotonie gilt fur alle dieresis
N(epsilon1 )
Indizes n greaterequal N(epsilon1 ):
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
x greaterequal x greaterequal x greaterequal x minus epsilon1 arrowdblright 0 lessequal x minus x lessequal epsilon1 arrowdblright |x minus x | lessequal epsilon1 .
n n n
N(epsilon1 )
asteriskmath
Da x die kleinste obere Schranke von A ist, gilt fur die obere Schranke M die dieresis
asteriskmath
Ungleichung x lessequal M .
Die Konvergenz monoton fallender, nach unten beschrankter Folgen ist analog dieresis
zu beweisen.
Q.E.D.
Beispiel 2.29: Betrachte
nsummationdisplay 1 1 1 1
x = = 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered + .
n k! 1! 2! n!
k=0
Off ensichtlich ist (x ) monoton steigend und nach oben beschrankt:
dieresis
n
nminus 1 1
summationdisplay 1 minus
1 1 1 1 1 n2
x = 1 + + + + periodcentered periodcentered periodcentered + lessequal 1 + = 1 + lessequal 3.
n 1
k
1! 2! 3! n! 2 1 minus 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright k=0
1 1 1 1
= = < <
0 1 2 nminus 1
2 2 2 2
Die Folge konvergiert gegen einen Grenzwert lessequal 3 (es ist die Eulersche Zahl 2.71828...).
30 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
2.2.3 Cauchyendash Folgen und der Banachsche Fixpunktsatz
Wir betrachten einige Aussagen, die sowohl in R als auch allgemeiner in C gelten. Zunachst wird der Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Kondieresis
vergenz von Folgen durch den folgenden Satz aufgedeckt:
Satz 2.30: (Komplexe und reelle Konvergenz)
Sei z = x + i periodcentered y element C mit x , y element R. Die Folge (z ) konvergiert dann
n n n n n n
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
und genau dann gegen z = x + i periodcentered y (x , y element R), wenn Real- und
asteriskmath asteriskmath
Imaginarteil einzeln konvergieren: lim x = x , lim y = y .
dieresis n n
narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath 2 asteriskmath 2 asteriskmath 2
Beweis: Es gilt |z minus z | = (x minus x ) + (y minus y ) .
n n n
asteriskmath asteriskmath asteriskmath 2
Gilt (x ) arrowright x und gleichzeitig (y ) arrowright y , so ist |z minus z | eine Nullfolge, also n n n
asteriskmath asteriskmath
auch |z minus z |. Dies ist per Definition die Konvergenz (z ) arrowright z .
n n
asteriskmath
Umgekehrt, es gelte (z ) arrowright z . Mit
n
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
0 lessequal |x minus x | lessequal |z minus z |, 0 lessequal |y minus y | lessequal |z minus z |
n n n n
asteriskmath asteriskmath
folgt mit Satz 2.17 unmittelbar, dass |x minus x | und |y minus y | Nullfolgen sein n nasteriskmath asteriskmath
mussen. Dies ist per Definition die Konvergenz (x ) arrowright x , (y ) arrowright y .
dieresis n n
Q.E.D.
10.5.02arrowdown
Die Definition der Konvergenz 2.5 benotigt die Kenntnis des Grenzwerts. Der dieresis folgende Satz 2.31 ist eine Existenzaussage, mit der auch ohne Kenntnis des konkreten Grenzwerts die Konvergenz abgelesen werden kann. Zunachst die entdieresis
scheidende Begriff sbildung:
Definition 2.31: (Cauchyendash Folgen)
Eine Folge (z ) in C heißt Cauchyendash Folge", wenn zu jedem epsilon1 > 0 eine
n quotedblright
reelle Zahl N(epsilon1 ) existiert, so dass fur alle n, m greaterequal N(epsilon1 ) gilt: |z minus z | lessequal epsilon1 .
dieresis n m
Satz 2.32: (Die konvergenten Folgen sind die Cauchyendash Folgen)
Eine Folge in C konvergiert dann und genau dann, wenn sie eine Cauchyendash
Folge ist.
Der Beweis ist technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Er ist nur
der Vollstandigkeit halber angegeben:
dieresis
Beweis: Wir betrachten zunachst Folgen (x ) in R.
dieresis n asteriskmath
Konvergenz arrowdblright Cauchyendash Folge: Ist (x ) konvergent mit Grenzwert x , so gibt
n
es zu epsilon1 > 0 ein N(epsilon1 ), so dass
asteriskmath asteriskmath
|x minus x | lessequal epsilon1 , |x minus x | lessequal epsilon1
n m
dieresis
2.2. WEITERE KONVERGENZSATZE 31
gilt fur alle n, m greaterequal N(epsilon1 ). Fur alle n, m greaterequal N(epsilon1 /2) folgt
dieresis dieresis
epsilon1 epsilon1
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
|x minus x | = |x minus x + x minus x | lessequal |x minus x | + |x minus x | lessequal + = epsilon1 ,
n m n m n m 2 2
d.h., (x ) ist eine Cauchyendash Folge.
n
Cauchyendash Folge arrowdblright Konvergenz: Sei (x ) eine Cauchyendash Folge mit |x minus x | lessequal epsilon1
n n m
fur alle n, m greaterequal N (epsilon1 ). Hieraus folgt, dass die Menge A = {x ; m greaterequal n} fur jedes dieresis dieresis
x n m
n beschrankt ist:
dieresis
braceleftBigg lessequal |x | + |x minus x |,
n m n
|x | = |x minus x + x |
m m n n greaterequal |x | minus |x minus x |,
n m n
wobei z.B. |x minus x | lessequal 1 fur m, n greaterequal N (1) gilt. Man kann also definieren:
dieresis
m n x
a := inf {x ; m greaterequal n}, b := sup {x ; m greaterequal n}.
n m n m
Off ensichtlich gilt a lessequal x lessequal b . Die Folge b ist monoton fallend, da die
n n n n
Suprema immer kleinerer Mengen betrachtet werden. Analog ist die Folge an monoton wachsend. Nach Satz 2.28 konvergieren damit (a ) und (b ) gegen
n n
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
gewisse Grenzwerte a und b mit a lessequal b . Wir zeigen, dass a = b gilt.
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
Angenommen, es gilt a < b . Betrachte epsilon1 = (b minus a )/4 > 0. Wahle ein n greaterequal dieresis N (epsilon1 ). Da a als Infimum die großte untere Schranke von A ist, ist a +epsilon1 keine dieresis
x n n n
untere Schranke von A mehr: es gibt ein m greaterequal n, so dass x < a + epsilon1 . Anlog
n 1 m n
1
gibt es ein m greaterequal n, so dass x > b minus epsilon1 . Wegen der Monotonie von (a ) und
2 m n n
2
asteriskmath asteriskmath
(b ) gilt a lessequal a und b greaterequal b , also:
n n n
asteriskmath asteriskmath
b minus a greaterequal b minus a = 4 periodcentered epsilon1 .
n n
Damit folgt
x minus x = x minus b + b minus a + a minus x greaterequal minus epsilon1 + 4 periodcentered epsilon1 minus epsilon1 > epsilon1 .
m m m n n n n m
2 1 2 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
greaterequal 4periodcentered epsilon1
>minus epsilon1 >minus epsilon1
Hierbei gilt m , m greaterequal n greaterequal N (epsilon1 ). Mit der Cauchyendash Eigenschaft von (x ) mußte dieresis
1 2 x n
fur solche Indizes aber |x minus x | lessequal epsilon1 gelten. Widerspruch!
dieresis m m
2 1
Damit ist gezeigt, dass reelle Folgen (x ) genau dann konvergieren, wenn sie
n
Cauchyendash Folgen sind. Analog zu Satz 2.30 ist leicht gezeigt, dass eine komplexe Folge genau dann eine Cauchyendash Folge ist, wenn die Folgen der Real- und Imaginarteile beide Cauchyendash Folgen sind. Zusammen mit Satz 2.30 ergibt sich damit, dieresis dass auch komplexe Folgen genau dann konvergieren, wenn sie Cauchyendash Folgen
sind.
Q.E.D.
32 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Auch wenn der Begriff Cauchyendash Folgen" sehr technisch ist, ist er fur Anwendieresis
quotedblright dungen sehr interessant. Er taucht (wenngleich nur im Beweis versteckt) beim fur die Praxis sehr wichtigen Banachschen Fixpunktsatz fur kontrahierende Abdieresis dieresis
bildungen auf. Zunachst einige relevante Begriff e:
dieresis
Definition 2.33: (Haufungspunkte von Mengen)
dieresis
asteriskmath
Ein Punkt z element C heißt Haufungspunkt" einer Menge A propersubset C, wenn
dieresis
quotedblright asteriskmath
fur jedes epsilon1 > 0 die sogenannte epsilon1 -Umgebung" von z
dieresis quotedblright
asteriskmath asteriskmath
macron U (z ) = {z element C; |z minus z | lessequal epsilon1 }
epsilon1
asteriskmath
macron
mindestens einen Punkt in A enthalt: U (z ) intersection A negationslash = emptyset .
dieresis epsilon1
asteriskmath
Geometrisch ist die epsilon1 -Umgebung eines Punktes z ein Kreisgebiet mit Mittel-
asteriskmath
punkt z und Radius epsilon1 , wobei in der obigen Definition der Kreisrand
asteriskmath
{z element C; |z minus z | = epsilon1 }
mit zur Umgebung gerechnet wird.
Beispiel 2.34: Off ensichtlich ist jeder Punkt in A ein Haufungspunkt von A (denn
dieresis
dieser Punkt liegt in jeder epsilon1 -Umgebung von sich selbst). Es kann aber auch Punkte außerhalb von A geben, die Haufungspunkte von A sind. In R sind z.B. die Endpunkte
dieresis
von Intervallen stets Haufungspunkte, selbst wenn das Intervall A = (a, b) propersubset R off en
dieresis
ist. Z.B.: off ensichtlich liegt fur epsilon1 > 0 der Punkt x = min((a + b)/2, a + epsilon1 ) sowohl in
dieresis
A = (a, b) als auch in der epsilon1 Umgebung von a. Also ist a ein Haufungspunkt von A.
dieresis
Fur den Banachschen Fixpunktsatz brauchen wir weiterhin die Begriff sbildung dieresis
abgeschlossene Menge". Wir definieren den Begriff off ene Menge" gleich mit
quotedblright quotedblright
(brauchen ihn momentan aber nicht).
Definition 2.35: (abgeschlossene Mengen)
Eine Menge A element C heißt abgeschlossen", wenn jeder ihrer Haufungs-
dieresis
quotedblright
punkte in A liegt. Die Menge heißt off en", wenn ihr Komplement
quotedblright
C \ A = {z element C; z negationslash element A} abgeschlossen ist.
Beispiel 2.36: Abgeschlossene Intervalle [a, b] in R sind abgeschlossene Mengen. Die
hier definierten epsilon1 -Umgebungen
asteriskmath asteriskmath
macron U (z ) = {z element C; |z minus z | lessequal epsilon1 }
epsilon1
sind abgeschlossene Mengen in C .
Achtung: in der Literatur werden als epsilon1 -Umgebungen oft die Mengen
asteriskmath asteriskmath
U (z ) = {z element C; |z minus z | < epsilon1 }
epsilon1
asteriskmath
betrachtet, die den Kreisrand {z element C; |z minus z | = epsilon1 } nicht enthalten. Diese Mengen sind
nicht abgeschlossen, denn die Punkte des Kreisrands sind Haufungspunkte. Die U
dieresis epsilon1
sind off ene Mengen.
dieresis
2.2. WEITERE KONVERGENZSATZE 33
Wir definieren den Begriff einer kontrahierenden Abbildung:
arrowdown entfallt dieresis
Definition 2.37:
Eine Abbildung Phi : A propersubset C arrowright C heißt Kontraktion in A", wenn eine
quotedblright
Kontraktionskonstante" k element [0, 1) existiert, so dass fur alle x, y element A
dieresis
quotedblright gilt:
|Phi (x) minus Phi (y)| lessequal k periodcentered |x minus y|.
Zur Namensgebung: der Abstand zweier Bildpunkte |Phi (x) minus Phi (y)| einer Kon-
traktion ist stets kleiner als der Abstand der Urbildpunkte |x minus y|.
Bemerkung 2.38: Kontraktionen sind automatisch das, was wir spater als arrowdown entfallt dieresis dieresis
stetige Funktionen" einfuhren werden. Fur jede konvergierende Folge (z ) kon-
dieresis dieresis n
quotedblright vergiert Phi (z ), und es gilt
n
parenleftBig parenrightBig
lim Phi (z ) = Phi lim z .
n n
narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Dies ist leicht einzusehen. Sei z der Grenzwert von (z ). Die Kontraktionsei-
n
genschaft liefert asteriskmath asteriskmath
0 lessequal |Phi (z ) minus Phi (z )| < |z minus z |.
n n
asteriskmath
Wegen der Konvergenz z arrowright z ist die rechte Seite eine reelle Nullfolge. Mit
n asteriskmath
Satz 2.17 folgt, dass |Phi (z ) minus Phi (z )| eine Nullfolge ist, was die Konvergenz
n
asteriskmath
Phi (z ) arrowright Phi (z ) bedeutet.
n arrowdown entfallt
dieresis
Der folgende wichtige Fixpunktsatz fur kontrahierende Abbildungen geht auf
dieresis
Stefan Banach (polnischer Mathematiker, 1892 endash 1945) zuruck. Er setzt neben
dieresis
der Kontraktionseigenschaft als wichtige Annahme voraus, dass die Kontraktion
ihren Definitionsbereich in sich selbst abbildet:
Satz 2.39: ( BFS": der Banachsche Fixpunktsatz) arrowdown entfallt
dieresis
quotedblright
Sei Phi : A arrowright A eine Kontraktion in einer abgeschlossenen Menge A propersubset C
mit einer Kontraktionskonstanten k < 1 . Dann
asteriskmath asteriskmath
a) existiert ein eindeutig bestimmter Fixpunkt z = Phi (z ) element A,
b) konvergiert jede Folge z = Phi (z ) mit beliebigem Startwert z element A
n+1 n 0
asteriskmath
gegen z ,
c) gelten fur jede solche Folge die Abschatzungen
dieresis dieresis
n
k k
asteriskmath
|z minus z | lessequal periodcentered |z minus z | lessequal periodcentered |z minus z |.
n n nminus 1 1 0
1 minus k 1 minus k
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
"a posterioriquotedblright "a prioriquotedblright
34 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Vom (wiederum sehr technischen) Beweis braucht man eigentlich nur zu wissen, dass man zeigen kann, dass die per z = Phi (z ) konstruierten Folgen Cauchyendash
n+1 n
Folgen sind. Der Fixpunkt ergibt sich dann uber den Grenzwert der Folgen, dieresis dessen Existenz mittels Satz 2.32 gesichert ist. Aus der Kontraktionseigenschaft folgt die Eindeutigkeit (alle Folgen konvergieren gegen denselben Grenzwert). Fur technisch Interessierte ist der Beweis der Vollstandigkeit halber angegeben: dieresis dieresis
entfalltarrowdown Beweis: Zeige: (z ) ist Cauchy-Folge.
dieresis n
|z minus z | = |z minus z + z minusplus periodcentered periodcentered periodcentered minus z + z minus z |
n+m n n+m n+mminus 1 n+mminus 1 n+1 n+1 n
lessequal |z minus z | + |z minus z | + periodcentered periodcentered periodcentered + |z minus z |
n+m n+mminus 1 n+mminus 1 n+mminus 2 n+1 n
fur jedes n, m greaterequal 0. Aus |z minus z | = |Phi (z )minus Phi (z )| lessequal k periodcentered |z minus z |, d.h., dieresis j jminus 1 jminus 1 jminus 2 jminus 1 jminus 2
2
|z minus z | lessequal k periodcentered |z minus z | lessequal k periodcentered |z minus z | lessequal . . .
j jminus 1 jminus 1 jminus 2 jminus 2 jminus 3
folgt
mminus 1 mminus 2
|z minus z | lessequal k periodcentered |z minus z | + k periodcentered |z minus z | + periodcentered periodcentered periodcentered + |z minus z |
n+m n n+1 n n+1 n n+1 n
m
1 minus k
2 mminus 1
= (1 + k + k + periodcentered periodcentered periodcentered + k ) periodcentered |z minus z | = periodcentered |z minus z |
n+1 n n+1 n
1 minus k
2 n
(#) (##)
|z minus z | k |z minus z | k |z minus z | k |z minus z |
n+1 n n nminus 1 nminus 1 nminus 2 1 0
lessequal lessequal lessequal lessequal . . . lessequal .
1 minus k 1 minus k 1 minus k 1 minus k
n asteriskmath
Mit k arrowright 0 folgt die Cauchy-Eigenschaft. Es existiert somit ein Grenzwert z .
asteriskmath
Mit z element A und Phi : A arrowright A folgt z element A arrowdblright z ist Haufungspunkt von A arrowdblright dieresis
0 n
asteriskmath z element A (abgeschlossen). Da Phi im Sinne von Bemerkung 2.38 stetig ist:
asteriskmath asteriskmath
z = lim z = lim Phi (z ) = Phi ( lim z ) = Phi (z ) .
n+1 n n
narrowright infinity narrowright infinity
iarrowright infinity
asteriskmath asteriskmath asteriskmath
Eindeutigkeit: fur einen weiteren Fixpunkt z negationslash = z folgt der Widerspruch
dieresis
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
|z minus z | = |Phi (z ) minus Phi (z )| lessequal k periodcentered |z minus z | < |z minus z | .
Die Abschatzungen c) ergeben sich aus (#) und (##):
dieresis
n
(#) (##)
k k
asteriskmath
lim |z minus z | = |z minus z | lessequal |z minus z | lessequal |z minus z | .
n+m n n n nminus 1 1 0
marrowright infinity 1minus k 1minus k
Q.E.D.
dieresis
2.2. WEITERE KONVERGENZSATZE 35
Interpretation und Anwendung 2.40:
entfalltarrowdown
dieresis
Eine Gleichung f(z) = 0 sei zu losen. Der BFS gibt ein Rezept, wie man
dieresis
Naherungen fur die Losung konstruieren kann:
dieresis dieresis dieresis
1) Formuliere die Gleichung f(z) = 0 in ein aquivalentes Fixpunktpro-
dieresis
blem z = Phi (z) um.
2) Ist Phi kontrahierend auf einer Umgebung A der Losung und bildet
dieresis
Phi diese Menge A auf sich selbst ab, so laßt sich der BFS anwenden:
dieresis
wahle einen beliebigen Punkt z element A und iteriere z = Phi (z ).
dieresis 0 n+1 n
Diese Folge konvergiert gegen eine Losung des Fixpunktproblems und
dieresis
damit gegen eine Losung des Ausgangsproblems f(z) = 0.
dieresis
3) Hat man durch Abschatzungen eine Kontraktionskonstante k fur die
dieresis dieresis
Menge A gefunden, kann man mit den a-priori- bzw. a-posteriori-
Abschatzungen bestimmen, wie weit man noch von der Losung ent-
dieresis dieresis
fernt ist und abbrechen, sobald eine vorgegebene Zielgenauigkeit er-
reicht ist.
Mit der a-priori-Abschatzung kann man aus dem Startpunkt z und dem
dieresis 0
nachsten Punkt z sofort ermitteln, wie oft man iterieren muß, um die Ziel-
dieresis 1
genauigkeit zu erreichen (die Iterationswerte werden dafur nicht benotigt).
dieresis dieresis
Nachdem die Iteration durchgefuhrt worden ist und Zahlenwerte fur z
dieresis dieresis n
vorliegen, kann man a-posteriori abschatzen, welche Approximationsge-
dieresis
nauigkeit nun wirklich erreicht ist (die a-posteriori-Abschatzung ist prin-
dieresis
zipiell genauer als die a-priori-Abschatzung).
dieresis
Bemerkung 2.41: Es gibt viele Wege, eine gegebene Gleichung f(x) = 0 in arrowdown entfallt
dieresis
eine Fixpunktgleichung x = Phi (x) umzuformen, z.B.
Phi (x) = x minus g(x) periodcentered f(x)
mit einer (praktisch beliebig wahlbaren) Funktion g(x). Ist f(x) diff erenzierbar dieresis und ist die Losung im Sinne von Definition 1.10 eine einfache Nullstelle, so ist dieresis
prime
g(x) = 1/f (x) eine ausgezeichnete Wahl. Die Iteration lautet dann
f(x )n
x = Phi (x ) = x minus (das Newton-Verfahren").
n+1 n n prime quotedblright
f (x )n
Man kann zeigen, dass es immer eine (eventuell kleine) Umgebung A einer Nullstelle von f gibt, auf der Phi eine Kontraktion ist und fur die Phi (A) propersubset A gilt. dieresis Damit gilt der BFS auf einer (leider oft nicht konkret bekannten) Umgebung
einer Losung, und es gilt:
dieresis
asteriskmath
Fur hinreichend genaue Startwerte x dicht bei einer Losung x von
dieresis dieresis
0 prime
f(x) = 0 konvergiert die Newton-Folge x = x minus f(x )/f (x )
n+1 n n n
asteriskmath
gegen x .
36 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Bei einfachen Nullstellen ist die Konvergenz beim Newton-Verfahren sehr schnell, da die Kontraktionskonstanten auf kleinen Umgebungen der Losung dieresis
prinzipiell sehr klein sind.
entfalltarrowdown Beispiel 2.42: In einer Softwareumgebung gebe es die Grundarithmetik, aber keine dieresis 2
Wurzelfunktion. Um diese zu implementieren, soll die Gleichung y = b fur gegebenes
dieresis
positives b element R nach y gelost werden. Mittels Division durch eine geeignete 4er-Potenz
dieresis
kann b auf das Interval [1, 4] transformiert werden (in Binardarstellung kostet dies
dieresis
n 2 n
nichts). Sei nun a = b/4 element [1, 4]. Ist x element [1, 2] eine Losung von x = a, so ist y = 2 periodcentered x dieresis
2
die gesuchte Losung des Ausgangsproblems y = b.
dieresis
Das verbleibende Problem ist also, ein x element [1, 2] zu finden, das das Nullstellenproblem
2
f(x) = x minus a = 0 mit a element [1, 4] erfullt. Hierzu soll das Newtonendash Verfahren benutzt dieresis
werden. Betrachte also
parenleftBig parenrightBig
2 2
f(x) x minus a x + a 1 a
Phi (x) = x minus = x minus = = periodcentered x + .
prime f (x) 2 periodcentered x 2 periodcentered x 2 x
Die entsprechende Iteration lautet also
parenleftBig parenrightBig
1 a
x = periodcentered x + .
n+1 n
2 xn
radical
asteriskmath
Das Verfahren konvergiert sehr schnell gegen x = a. Beispiel: a = 2, x = 1.5:
0
x = 1.5, x = 1.416666666..., x = 1.414215686...,
0 1 2
x = 1.414213562..., x = 1.414213562..., . . .
3 4
Die folgende Analyse ist wiederum sehr technisch und an technisch Interessierte
addressiert:
radical radical
1+a
Analyse: betrachte das Intervall A = [ a, ], das die Losung a enthalt. (Dieses dieresis dieresis
2
Intervall fallt hier vom Himmel.) Die folgenden Rechnungen zeigen, dass dieses Intervall
dieresis
in der Tat so ist, dass der BFS angewendet werden kann.
Es ist zunachst zu zeigen, dass Phi (A) propersubset A gilt. In Erinnerung an die Schule berechnen
dieresis
wir dazu parenleftBig parenrightBig 2
1 a x minus a
prime Phi (x) = periodcentered 1 minus = greaterequal 0
2 2
2 x 2 periodcentered x
radical 1+a
fur x element [ a, ]. Die Funktion ist also in diesem Bereich monoton steigend, und damit
dieresis 2
gilt parenleftBig parenrightBig
radical radical 1 + a 1 + a a 1 + a
Phi ( a) = a lessequal Phi (x) lessequal Phi = + lessequal
2 4 1 + a 2
radical 1+a
fur alle x element [ a, ]. Als Kontraktionskonstante auf A schatzt man ab:
dieresis dieresis
2
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
1 a a 1 a periodcentered (x minus y)
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
|Phi (x) minus Phi (y)| = periodcentered x + minus y minus = periodcentered x minus y minus
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
2 x y 2 x periodcentered y
dieresis
2.2. WEITERE KONVERGENZSATZE 37
vextendsingle vextendsingle parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
|x minus y| a |x minus y| a |x minus y| a
vextendsingle vextendsingle
= periodcentered 1 minus = periodcentered 1 minus lessequal periodcentered 1 minus
vextendsingle vextendsingle a+1 2
2 x periodcentered y 2 x periodcentered y 2 ( )
2
parenleftBig parenrightBig 2
1 a minus 1
= |x minus y| periodcentered periodcentered .
2 a + 1
Also, in Abhangigkeit von a ist
dieresis
parenleftBig parenrightBig 2
1 a minus 1
k = periodcentered
2 a + 1
eine Kontraktionskonstante fur Phi uber A. Fur alle a element [1, 4] gilt k lessequal 0.18, d.h., Phi ist
dieresis dieresis dieresis
auf A in der Tat eine Kontraktion.
Speziell, fur a = 2 ist k = 1/18 approxequal 0.0555 . . . . Starten wir mit x = 3/2, so ergibt sich
dieresis 0
x = 17/12 und die a-priori-Abschatzung liefert
dieresis
1
n
radical k 3
|x minus 2| lessequal periodcentered |x minus x | = .
n 0 1 n
1 minus k 34 periodcentered 18
Nach n = 5 Schritten ergibt sich beispielsweise
radical minus 8
|x minus 2| lessequal 4.7 periodcentered 10 ,
5
radical
d.h., x beschreibt garantiert die ersten 7 bis 8 Dezimalstellen von 2 korrekt. (In
5
Wirklichkeit ist x schon wesentlich genauer, aber mehr gibt die a-priori-Abschatzung
dieresis
5
nicht her.)
Bemerkung 2.43: Das letzte Beispiel hat gezeigt, dass das Abschatzen von arrowdown entfallt
dieresis dieresis
Kontraktionskonstanten muhselig ist. Es geht aber auch einfacher! Fur stetig
dieresis dieresis
diff erenzierbares Phi gilt, dass
prime
k = sup {|Phi (x)|; x element A}
die bestmogliche (weil kleinste) Kontraktionskonstante uber einem Intervall
dieresis dieresis
A propersubset R ist. Um dies einzusehen, brauchen wir aber den Mittelwertsatz der
Diff erentialrechnung, der erst spater bereitgestellt wird.
dieresis
2.2.4 Teilfolgen und Haufungspunkte
dieresis arrowdown ab hier
Neben der Konvergenz gibt es den (schwacheren) Begriff von Teilkonvergenz",
dieresis quotedblright arrowdown wieder
der sich in sogenannten Haufungspunkten von Folgen" (im Unterschied zum
dieresis
quotedblright
schon eingefuhrten Begriff Haufungspunkte von Mengen") manifestiert.
dieresis dieresis arrowdown behandelt
quotedblright
Definition 2.44: (Haufungspunkte von Folgen)
dieresis
asteriskmath
Ein Punkt z element C heißt Haufungspunkt" der Folge (z ), wenn in jeder
dieresis n
quotedblright
asteriskmath
epsilon1 -Umgebung von z unendlich viele Folgenglieder liegen, also: zu jedem
asteriskmath
epsilon1 > 0 existieren unendlich viele Folgenglieder z mit |z minus z | lessequal epsilon1 .
n n
38 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
n
Beispiel 2.45: Die Folge x = (minus 1) , also (x ) = (minus 1, 1, minus 1, 1, . . .) hat die beiden n n
asteriskmath asteriskmath
Haufungspunkte x = 1 und x = minus 1.
dieresis 1 2
asteriskmath
Der Punkt x = 1 ist Haufungspunkt, denn fur alle Folgenglieder mit geradem Index n dieresis dieresis
1 asteriskmath
(dies sind unendlich viele) gilt |x minus x | = 0 lessequal epsilon1 fur jedes epsilon1 > 0.
dieresis
n 1
asteriskmath
Der Punkt x = minus 1 ist Haufungspunkt, denn fur alle Folgenglieder mit ungeradem dieresis dieresis
2 asteriskmath
Index n (dies sind unendlich viele) gilt |x minus x | = 0 lessequal epsilon1 fur jedes epsilon1 > 0.
dieresis
n 2
Bemerkung 2.46: Sei n < n < . . . eine streng monoton steigende Folge von
1 2
Indizes in N. Die Folge (z ) = (z , z , . . .) heißt Teilfolge" der Folge (z ).
n n n n
1 2
i quotedblright
asteriskmath z ist genau dann Haufungspunkt der Folge (z ), wenn
dieresis n
asteriskmath
es eine gegen z konvergierende Teilfolge von (z ) gibt.
n
asteriskmath
Zu einem gegebenen Haufungspunkt z folgt eine explizite Konstruktion einer dieresis konvergenten Teilfolge. Zu epsilon1 = 1/k gibt es unendlich viele Folgenglieder z mit
n
asteriskmath
|z minus z | lessequal 1/k. Wahle n als den ersten Folgenindex, fur den der Abstand dieresis dieresis
n i
zwischen z und dem Haufungspunkt den Wert 1/k unterschreitet:
dieresis
n
braceleftbigg bracerightbigg
1
asteriskmath
n := min n;n > n ; |z minus z | lessequal (n := 0).
n 0
k kminus 1 k
1
asteriskmath
Nach Konstruktion gilt |z minus z | lessequal fur alle k = 1, 2, . . . und damit auch dieresis
nk k
1 1
asteriskmath asteriskmath
|z minus z | lessequal lessequal fur alle n greaterequal n . Damit konvergiert (z ) gegen z .
dieresis
n j n
k
j k
j k
asteriskmath
Umgekehrt, gibt es eine gegen z konvergente Teilfolge von (z ), so liegen in n
asteriskmath
jeder epsilon1 -Umgebung von z alle bis auf endliche viele Glieder der Teilfolge. Also
asteriskmath
ist z ein Haufungspunkt von (z ).
dieresis n
Beispiel 2.47: Fur die Folge (x ) = (minus 1, 1, minus 1, 1, . . .) aus Beispiel 2.45 konvergiert
dieresis n
die Teilfolge (x , x , . . .) = (1, 1, 1, . . .) gegeben den Haufungspunkt 1 und die Teilfolge dieresis
2 4
(x , x , . . .) = (minus 1, minus 1, minus 1, . . .) gegeben den Haufungspunkt minus 1.
dieresis
1 3
Satz 2.48:
Eine konvergente Folge besitzt genau einen Haufungspunkt: den Grenz-
dieresis
wert.
asteriskmath
Beweis: Fur den Grenzwert z einer konvergierenden Folge (z ) gibt es fur dieresis dieresis
n
jedes epsilon1 > 0 ein N(epsilon1 ), so dass alle Folgenglieder mit Indizes greaterequal N(epsilon1 ) in der epsilon1 -
asteriskmath
Umgebung von z liegen. Damit ist der Grenzwert ein Haufungspunkt. Gabe dieresis dieresis
asteriskmath asteriskmath
es einen weiteren davon verschiedenen Haufungspunkt z , gabe es fur epsilon1 = dieresis dieresis dieresis
asteriskmath asteriskmath asteriskmath
|z minus z |/3 > 0 mindestens einen Folgenpunkt z mit Index n greaterequal N(epsilon1 ) in dieser n
2.3. UNENDLICHES, UNEIGENTLICHE KONVERGENZ 39
asteriskmath asteriskmath
epsilon1 -Umgebung von z , und es wurde folgen:
dieresis
asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath asteriskmath
3 periodcentered epsilon1 = |z minus z | = |z minus z + z minus z | lessequal |z minus z | + |z minus z | lessequal 2 periodcentered epsilon1 .
n n n n
Widerspruch!
Q.E.D.
Satz 2.49: (Bolzano (1781endash 1848) und Weierstrass (1815endash 1897))
Eine Folge heißt beschrankt, wenn die Menge aller Folgenpunkte be-
dieresis
schrankt ist. Es gilt: Jede beschrankte Folge besitzt mindestens einen
dieresis dieresis
Haufungspunkt.
dieresis
Wir verzichten auf die strenge technische Durchfuhrung des Beweises und
dieresis
geben nur die Idee an:
Beweisidee: Die Folge liege innerhalb eines Quadrates in der komplexen Ebene. Zerlege dieses Quadrat in 4 gleichgrosse Teilquadrate der halben Seitenlange. dieresis Mindestens eines der Teilquadrate enthalt unendliche viele der Folgenglieder. dieresis Wahle eines dieser Teilquadrate aus und zerlege es wiederum in 4 Teilquadradieresis te usw. Die so konstruierte Folge von Quadraten schrumpft auf einen Punkt zusammen (dies ist der Haufungspunkt), in dessen Nahe nach Konstruktion undieresis dieresis
endlich viele der Folgenpunkte existieren.
Q.E.D.
Bemerkung 2.50: Nach Bemerkung 2.46 heißt dies:
Jede beschrankte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
dieresis
2.3 Unendliches, uneigentliche Konvergenz
In diesem Abschnitt geht es um eine oft nutzliche Schreibweise, die in der hier dieresis vorgestellten Form nur bei reellen Folgen sinnvoll ist. Die unendlichen Werte"
quotedblright plusminus infinity sind keine reellen Zahlen, sondern dienen nur als nutzliche Abkurzungen, dieresis dieresis
um gewisse Situationen zu beschreiben. Wir lassen plusminus infinity als ( uneigentliche")
quotedblright
Grenzwerte reeller Folgen zu:
Definition 2.51: (plusminus infinity als Grenzwert)
* Eine reelle Folge (x ) konvergiert (uneigentlich) gegen infinity ",
n quotedblright
wenn die Folgenglieder jede beliebig vorgegebene Schranke c > 0
uberschreiten: zu jedem reellen c existiert eine reelle Zahl N(c), so
dieresis
dass x greaterequal c gilt fur alle Indizes n greaterequal N(c). Schreibweise:
dieresis
n
lim x = infinity .
n
narrowright infinity
40 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
* Eine reelle Folge (x ) konvergiert (uneigentlich) gegen minus infinity ",
n quotedblright
wenn die Folgenglieder jede beliebig vorgegebene Schranke c < 0 unterschreiten: zu jedem reellen c existiert eine reelle Zahl N(c), so
dass x lessequal c gilt fur alle Indizes n greaterequal N(c). Schreibweise:
dieresis
n
lim x = minus infinity .
n
narrowright infinity
radical
2 n
Beispiel 2.52: Die Folgen x = n, x = n , x = n, x = 2 konvergieren gegen infinity .
n n n n
radical
2 n
Die Folgen x = minus n, x = minus n , x = minus n, x = minus (2 ) konvergieren gegen minus infinity .
n n n n
n
Beispiel 2.53: Achtung: die Folgen x = (minus 1) periodcentered n (also (minus 1, 2, minus 3, 4, minus 5, . . .)) oder
n
n
auch x = (minus 2) (also (minus 2, 4, minus 8, 16, minus 32, . . .)) konvergieren nicht gegen infinity oder minus infinity ,
n
sie divergieren!
Man darf getrost mit infinity und minus infinity rechnen, wobei folgende Rechenregeln gelten:
Rechenregeln fur plusminus infinity 2.54:
dieresis
entfalltarrowdown
dieresis
Sei c eine reelle Zahl.
* c plusminus infinity = plusminus infinity ,
* c periodcentered (plusminus infinity ) = plusminus sign(c) periodcentered infinity fur c negationslash = 0. Hierbei ist sign(c) das Vorzeichen
dieresis
von c.
1
* = 0,
plusminus infinity
* infinity + infinity = infinity , minus infinity minus infinity = minus infinity ,
* infinity periodcentered infinity = (minus infinity ) periodcentered (minus infinity ) = infinity , infinity periodcentered (minus infinity ) = (minus infinity ) periodcentered infinity = minus infinity ,
infinity minus infinity
* infinity = infinity , infinity = 0,
infinity infinity
* c = infinity fur c > 1, c = 0 fur 0 < c < 1,
dieresis dieresis
minus infinity minus infinity
* c = 0 fur c > 1, c = infinity fur 0 < c < 1.
dieresis dieresis
3
entfalltarrowdown Beispiel 2.55: Die Folge x = n + n konvergiert gegen infinity :
dieresis n
3 3
lim (n + n) = lim n + lim n = infinity + infinity = infinity .
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
Aus dem obigen Ergebnis folgt sofort das nachste Ergebnis:
dieresis
1
entfalltarrowdown Beispiel 2.56: Die Folge x = konvergiert gegen 0:
dieresis n 3n +n
1 1 1
lim = = = 0.
3
3
narrowright infinity n + n infinity
lim (n + n)
narrowright infinity
2.4. WACHSTUM VON FOLGEN, LANDAU-SYMBOLE 41 Beim Rechnen mit plusminus infinity muß man aber etwas Vorsicht walten lassen. Wenn man auf eine der folgenden Situationen stoßt, darf man nicht weiterrechnen, sondern dieresis
muß die betrachteten Grenzwerte anders ermitteln:
Undefinierte Ergebnisse beim Rechnen mit plusminus infinity 2.57: arrowdown entfallt
dieresis
* 0 periodcentered (plusminus infinity ) = undefiniert",
quotedblright
* infinity minus infinity = undefiniert", minus infinity + infinity = undefiniert",
quotedblright quotedblright
infinity
* c = undefiniert" fur c lessequal 0 und c = 1,
dieresis
quotedblright
minus infinity
* c = undefiniert" fur c lessequal 0 und c = 1,
dieresis
quotedblright
1
* = undefiniert".
0 quotedblright
3
Beispiel 2.58: Betrachte die Folge x = n minus n: arrowdown entfallt
dieresis
n
(??) (??) (??)
3 3
lim (n minus n) = lim n minus lim n = infinity minus infinity = undefiniert".
quotedblright
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
Dies heißt nicht, dass kein Grenzwert existiert, sondern nur, dass wir den Grenzwert uber die Rechenregeln mit plusminus infinity nicht berechnen konnen. Man muß in einem solchen
dieresis dieresis
Fall genauer untersuchen. Z.B funktioniert folgendes Argument:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1
3 3 3
lim (n minus n) = lim n periodcentered 1 minus = lim n periodcentered lim 1 minus
2 2
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n n
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1
= infinity periodcentered 1 minus = infinity periodcentered 1 minus = infinity periodcentered (1 minus 0) = infinity .
2 infinity
lim n
narrowright infinity
Ein weiteres solches Beispiel:
3
2periodcentered n +n
Beispiel 2.59: Betrachte die Folge x = : arrowdown entfallt
dieresis
n 4n +1
3
lim (2 periodcentered n + n)
3
2 periodcentered n + n infinity
(??) (??) (??)
narrowright infinity
lim = = = undefiniert".
4
4 quotedblright
narrowright infinity n + 1 infinity
lim (n + 1)
narrowright infinity
Dies sagt wiederum gar nichts daruber aus, ob ein Grenzwert existiert oder nicht. In
dieresis
diesem Fall fuhrt wieder ein wenig Manipulation zum Erfolg:
dieresis
parenleftBig parenrightBig
1
3 1
3 n periodcentered 2 + 2 2 +
n
2 periodcentered n + n 2n
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
lim = lim = lim
4
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
1 1
n + 1 4n periodcentered 1 + n periodcentered 1 +
4 4
n n
1
2 + 2
infinity
parenleftBig parenrightBig
= = = 0.
1 infinity
infinity periodcentered 1 + infinity
42 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE
2.4 Wachstum von Folgen, Landau-Symbole
arrowdown 16.5.02 Algorithmen werden typischerweise auf Problemklassen angewendet, die einen arrowdown ab hier
Großenparameter" n haben: Invertierung von n multiply n Matrizen, Sortieren ei-
dieresis
quotedblright ner Liste mit n Elementen, Untersuchungen auf Graphen mit n Knoten usw. arrowdown wieder
Die Laufzeit des Algorithmus wachst mit der durch n gegebenen Große des
dieresis dieresis
arrowdown behandelt
Problems, und man mochte oft eine einfach zu lesende Kostenabschatzung in
dieresis dieresis
Abhangigkeit von n angeben. Hierzu dienen die sogenannten Landau-Symbole"
dieresis quotedblright
O ( Big-Oh"), o ( Small-Oh") etc.:
quotedblright quotedblright
Notation 2.60:
Seien (f ), (g ) Folgen komplexer Zahlen.
n n
* f = O(g ) heißt, dass die Folge |f |/|g | nach oben beschrankt ist.
dieresis
n n n n
* f = o(g ) heißt, dass die Folge f /g eine Nullfolge ist.
n n n n
* f = Omega (g ) heißt, dass die Folge |g |/|f | nach oben beschrankt ist.
dieresis
n n n n
* f = omega (g ) heißt, dass die Folge g /f eine Nullfolge ist.
n n n n
* f = Theta (g ) heißt, dass die Folgen |f /g | und |g /f | nach oben
n n n n n n
beschrankt sind: es existieren positive Konstanten c und C, so dass
dieresis
c periodcentered |g | lessequal |f | lessequal C periodcentered |g | gilt fur alle hinreichend großen n.
dieresis
n n n
Hierbei nimmt man implizit an, dass man sich fur große Werte von n interessiert.
dieresis
Eigentlich sollte man genauer sagen: f = O(g ) im Limes n arrowright infinity " etc.
n n quotedblright
2 2 2 3 2 4 2 n
Beispiel 2.61: n + 1 = O(n ), n + 1 = O(n ), n + 1 = O(n ), n + 1 = O(2 ),
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1 1
2 3 2 n
radical radical
= O , = O , n = o(n ), n = o(2 ), = o ,
n + 1 n n + 1 n n+ 1 n
3 n 3
n 2 n
2 3 2 3
2periodcentered n+1 = Omega (n), 2periodcentered n +1 = omega (n), = Omega (n ), = omega (n ), 2periodcentered n+1 = Theta (n), = Theta (n ).
2 7 2
Beispiel 2.62: Man kann n lineare Gleichungen fur n Unbekannte numerisch stets mit
dieresis
3
hochstens etwa n /3 Multiplikationen losen. Also:
dieresis dieresis
3
Die Kosten der Losung eines linearen n multiply n Systems ist O(n )."
dieresis
quotedblright
Ist die Koeffi zientenmatrix eine obere oder untere Dreiecksmatrix, kommt man mit
2 2
hochstens n /2 Multiplikationen aus. Die Kosten sind in diesem Fall O(n ).
dieresis
Die Kosten, alle Eigenwerte und -vektoren einer nmultiply n-Matrix numerisch zu bestimmen,
3
sind O(n ).
Das Sortieren einer Liste mit n Elementen kostet O(n periodcentered log (n)) Vergleichsoperationen.
2
(Genauer: es existieren Sortieralgorithmen, die mit diesem Aufwand auskommen).
Kapitel 3
Reihen
Es geht nun um spezielle Folgen, deren Glieder durch Summation entstehen.
Fur diese Reihen" gibt es spezielle Konvergenzkriterien.
dieresis quotedblright
3.1 Definitionen, Beispiele, Satze
dieresis
Definition 3.1: (Reihen)
Die einer komplexen Folge (z ) zugeordnete Reihe" ist die Folge (S )
n n
quotedblright
der Partialsummen"
quotedblright nsummationdisplay
S = z .
n k
k=1
Existiert ein Grenzwert der Partialsummen, so nennt man ihn den Wert
n infinity
summationdisplay summationdisplay
der unendlichen Reihe" und schreibt auch lim z = z . Eine
k k
quotedblright narrowright infinity k=1 k=1
infinity
summationdisplay
Reihe heißt absolut konvergent", wenn der Grenzwert |z | exi-
k
quotedblright k=1
stiert.
44 KAPITEL 3. REIHEN Beispiel 3.2: Die sogenannte arithmetische Reihe" besitzt eine explizite Darstel-
quotedblright
lung:
nsummationdisplay
S = k = 1 + 2 + periodcentered periodcentered periodcentered + (n minus 1) + n
n k=1 parenleftBig
1
= periodcentered 1 + 2 + periodcentered periodcentered periodcentered + (n minus 1) + n
2 parenrightBig
n + (n minus 1) + periodcentered periodcentered periodcentered + 2 + 1
parenleftBig parenrightBig
1
= periodcentered (n + 1) + (n + 1) + periodcentered periodcentered periodcentered + (n + 1) + (n + 1)
2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
n Summanden
1
= periodcentered n periodcentered (n + 1).
2
Halten wir fest:
nsummationdisplay n periodcentered (n + 1)
k = .
2
k=1
Die arithmetische Reihe konvergiert damit uneigentlich gegen infinity .
Beispiel 3.3: Sei z element C. Eine geometrische Reihe" ist von der Form
quotedblright
nsummationdisplay
2 n k
S = 1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z = z .
n k=0
Auch in diesem Fall kann man eine explizite Formel fur S angeben:
dieresis n
n n+1 n+1
summationdisplay 1 minus z z minus 1
k
S = z = = .
n 1 minus z z minus 1
k=0
Dies ist leicht nachzuvollziehen:
2 n
(1 minus z) periodcentered S = (1 minus z) periodcentered (1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z )
n
2 n
= 1 periodcentered (1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z )
2 n
minus z periodcentered (1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z )
2 n
= 1 + z + z + periodcentered periodcentered periodcentered + z
2 n n+1
minus z minus z minus periodcentered periodcentered periodcentered minus z minus z
n+1
= 1 minus z .
Mit der expliziten Summenformel ist die Konvergenz geometrischer Reihen leicht zu
n+1
uberprufen. Fur |z| < 1 konvergiert z gegen 0 (Beispiel 2.10):
dieresis dieresis dieresis
infinity
summationdisplay 1
kz = fur |z| < 1 .
dieresis
1 minus z
k=0
dieresis
3.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, SATZE 45
Diese Reihe konvergiert absolut, denn mit denselben Argumenten konvergiert
infinity
summationdisplay 1
k
|z| = fur |z| < 1 .
dieresis
1 minus |z|
k=0
Beispiel 3.4: Einige Berechnungen mit MuPAD. Fur die symbolische Berechnung von
dieresis
Summen ist die Funktion sum zustandig:
dieresis
>> sum(k, k = 1..n)
2
n n
- + --
2 2
Durch Faktorisierung mittels factor ergibt sich oft eine einfachere Form:
>> factor(\%)
1/2 n (n + 1)
Die geometrische Reihe:
>> sum(z^k, k = 0..n)
n
z z - 1 --------
z - 1
>> assume(0 < z < 1):
>> sum(z^k, k = 0..infinity)
1
- -----
z - 1
Beispiel 3.5: Die periodische Dezimaldarstellung 0 . d d d mit Dezimalziff ern d element
1 2 3 k
{0, 1, . . . , 9} steht fur 0 . d d d d d d d d d . . .. Solche zyklischen Dezimalentwick-
dieresis 1 2 3 1 2 3 1 2 3
lungen sind rationale Zahlen. Sei n = d d d " = d periodcentered 100 + d periodcentered 10 + d element {0, . . . , 999}:
1 2 3 1 2 3
quotedblright
d d d d d d
1 2 3 1 2 3
0 . d d d d d d d d d . . . = + + + + + + periodcentered periodcentered periodcentered
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 5 6
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 10 10 10 10 10 10
n n n
d periodcentered 100 + d periodcentered 10 + d d periodcentered 100 + d periodcentered 10 + d
1 2 3 1 2 3
= + + periodcentered periodcentered periodcentered
3 6
10 10
infinity
summationdisplay
n n n 1
= + + + periodcentered periodcentered periodcentered = n periodcentered
2 3 k
1000 1000 1000 1000
k=1
46 KAPITEL 3. REIHEN
infinity
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
summationdisplay 1 1 1000 n
= n periodcentered minus 1 = n periodcentered minus 1 = n periodcentered minus 1 = .
1
k
1000 999 999
1 minus 1000
k=0
Bemerkung: statt der formalen Rechnung kann man die Beweisidee fur die Summen-
dieresis
formel der geometrischen Reihe explizit nachvollziehen, was in diesem Fall als "Re-
chentrickquotedblright sogar ganz einfach zu merken ist:
1000 periodcentered x = d d d . d d d d d d . . .
1 2 3 1 2 3 1 2 3
minus x = 0 . d d d d d d . . .
1 2 3 1 2 3
n
999 periodcentered x = d d d . 000 000 . . . arrowdblright x = .
1 2 3
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 999
n
Das Cauchy-Kriterium (Definition 2.31 und Satz 2.32 ) liefert folgendes Kon-
vergenzkriterium fur Reihen:
dieresis
Satz 3.6: (Das Cauchy-Kriterium fur Reihen)
dieresis
summationtext
Die Reihe z konvergiert genau dann, wenn es zu jedem epsilon1 > 0 ein N(epsilon1 )
k
k m
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay
vextendsingle vextendsingle
gibt, so dass z lessequal epsilon1 gilt fur alle m greaterequal n greaterequal N(epsilon1 ).
vextendsingle vextendsingle dieresis
k
k=n
summationtext n
Beweis: Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert die Folge S = z ,
n k
k=1
wenn es zu jedem epsilon1 > 0 ein N(epsilon1 ) gibt, so dass
|S minus S | lessequal epsilon1 fur alle m, n greaterequal N(epsilon1 ).
dieresis
m n
summationtext m
Hierbei ist S minus S = z fur m > n. Ersetzt man n durch n minus 1 ergibt
dieresis
m n k
k=n+1
sich das angegebene Kriterium.
Q.E.D.
Als Folgerung ergibt sich, dass absolut konvergente Reihen konvergieren:
Satz 3.7: (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz)
infinity infinity
summationdisplay summationdisplay
Wenn |z | konvergiert, dann auch z .
k k
k=1 k=1
m m
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay summationdisplay summationtext
vextendsingle vextendsingle
Beweis: Die Dreiecksungleichung liefert z lessequal |z |. Erfullt |z |
vextendsingle vextendsingle dieresis
k k k
k
k=n k=n summationtext
das Cauchy-Kriterium 3.6, so ist dieses Kriterium automatisch auch fur z
dieresis k
k
erfullt.
dieresis
Q.E.D.
Nur Reihen uber Nullfolgen konnen konvergieren:
dieresis dieresis
dieresis
3.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, SATZE 47
Satz 3.8: infinity
summationdisplay
Wenn die Reihe z konvergiert, dann ist (z ) eine Nullfolge.
k k
k=1
Beweis: Das Cauchy-Kriterium 3.6 mit m = n besagt, dass es zu jedem epsilon1 > 0
ein N(epsilon1 ) gibt, so dass n
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay
vextendsingle vextendsingle
z = |z | lessequal epsilon1
vextendsingle vextendsingle n
k
k=n
fur alle n greaterequal N(epsilon1 ) gilt. Dies ist die Konvergenz (z ) arrowright 0.
dieresis n
Q.E.D. Dies ist kein Konvergenz- sondern ein Divergenzkriterium: bilden die Summan-
den keine Nullfolge, muß die Reihe divergieren!
summationtext k k
Beispiel 3.9: Die Reihe konvergiert nicht, da die Summanden nicht gegen
k k+1 k+1
0 konvergieren (sie konvergieren gegen 1).
Die Umkehrung gilt nicht: bilden die Summanden eine Nullfolge, so kann man
nicht darauf schließen, dass die Reihe konvergiert. Ein Gegenbeispiel:
nsummationdisplay 1
Beispiel 3.10: Die sogenannte harmonische Reihe" S = ist unbeschrankt,
dieresis
n
quotedblright k
k=1
d.h., sie divergiert.
m
Beweis: Betrachte die Teilfolge (S ):
2
1 1 1 1 1 1 1
m
S = 1 + + + + + periodcentered periodcentered periodcentered + + periodcentered periodcentered periodcentered + + periodcentered periodcentered periodcentered +
2 mminus 1 m
2 3 4 5 8 2 + 1 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
2 1 2 mminus 1
2 1 2 1
> = > =
2 2 > =
m
2 3 2 2 2
2
1 1 m
greaterequal 1 + + periodcentered periodcentered periodcentered + = 1 + .
2 2 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
m Terme
Da (S ) monoton wachst, konvergiert (S ) uneigentlich gegen infinity .
dieresis
n n Q.E.D.
Auf dieses Argument kommen wir spater beim Kondensationskriterium" 3.20 zuruck.
dieresis dieresis
quotedblright
Der Satz 2.28 liefert fur reelle Reihen folgendes Konvergenzkriterium:
dieresis
Satz 3.11: (Reihenkonvergenz bei positiven Summanden)summationtext
Sei (x ) eine reelle Nullfolge mit x greaterequal 0. Die Reihe x konvergiert
n n k
k
summationtext n
dann und genau dann, wenn die Partialsummen x nach oben be-
k
k=1
schrankt sind.
dieresis
48 KAPITEL 3. REIHEN
summationtext n
Beweis: Wegen x greaterequal 0 ist die Partialsummenfolge S = x monoton
n
k k
k=1
steigend. Ist sie beschrankt, konvergiert sie nach Satz 2.28. Konvergiert sie, ist dieresis
sie selbstverstandlich beschrankt.
dieresis dieresis
Q.E.D.
Wir erinnern an Beispiel 2.29:
kminus 1
Beispiel 3.12: Mit k! = 1 periodcentered 2 periodcentered 3 periodcentered . . . periodcentered k greaterequal 2 sind die folgenden Partialsummen nach
oben beschrankt:
dieresis
nsummationdisplay 1 1 1 1 1
S = = 1 + + + + periodcentered periodcentered periodcentered +
n k! 1! 2! 3! n!
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
k=0 1 1 1 1
= = < <
0 1 2 nminus 1
2 2 2 2
nminus 1 1
summationdisplay 1 minus
1 n2
lessequal 1 + = 1 + lessequal 3.
1
k2 1minus 2
k=0
infinity
summationdisplay 1
Damit konvergiert gegen einen Wert lessequal 3 (es ist die Eulersche Zahl 2.718...).
k!
k=0
3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt
17.5.02arrowdown Die Rechenregeln 2.13 liefern sofort:
Satz 3.13: (Rechenregeln)
summationtext summationtext
a) Wenn z konvergiert, dann auch c periodcentered z fur jedes c element C:
dieresis
k k
k k
infinity infinity
summationdisplay summationdisplay
c periodcentered z = c periodcentered z .
k k
k=1 k=1
summationtext summationtext summationtext
b) Wenn z und ztilde konvergieren, dann auch (z plusminus ztilde ):
k k k k
k k k
infinity infinity infinity
summationdisplay summationdisplay summationdisplay
(z plusminus ztilde ) = z plusminus ztilde .
k k k k
k=1 k=1 k=1
Beweis: Satz 2.13 a) + b) angewendet auf die Partialsummen.
Q.E.D. Es macht Sinn, Reihen miteinander zu multiplizieren. Da das Distributivgesetz
aus dem Produkt zweier Partialsummen eine endliche Doppelsumme
n n
summationdisplay summationdisplay
(a + periodcentered periodcentered periodcentered + a ) periodcentered (b + periodcentered periodcentered periodcentered + b ) = a periodcentered b
1 n 1 n i j
i=1 j=1
3.2. RECHENREGELN UND DAS CAUCHY-PRODUKT 49 ergibt, muss man die Summanden zunachst gezielt zusammenfassen, um zu dieresis einer Folge von Partialsummen fur das Produkt zu kommen. Wir fuhren eine dieresis dieresis
Anordnung" ein, indem wir einen formalen Ordnungsparameter zeta einfuhren:
dieresis
quotedblright
n n
summationdisplay summationdisplay k
a = a periodcentered zeta .
k k | zeta = 1
k=1 k=1
Das Produkt ordnen wir dann nach Potenzen von zeta :
2 2
(a periodcentered zeta + a periodcentered zeta + periodcentered periodcentered periodcentered ) periodcentered (b periodcentered zeta + b periodcentered zeta + periodcentered periodcentered periodcentered )
1 2 1 2
2 3 4
= a periodcentered b periodcentered zeta + (a periodcentered b + a periodcentered b ) periodcentered zeta + (a periodcentered b + a periodcentered b + a periodcentered b ) periodcentered zeta + periodcentered periodcentered periodcentered .
1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1
Die einzelnen zeta -Potenzen liefern die Summanden der Partialsummen. Dies mo-
tiviert die folgende Definition:
Definition 3.14: (Das Cauchy-Produkt von Reihen) summationtext summationtext
Das Cauchy-Produkt" (die Faltung") zweier Reihen a , b
k k
k k
summationtext
quotedblright quotedblright
ist die Reihe c mit
k
k summationdisplay
c = a periodcentered b .
i j
k i,j
i+j=k
Satz 3.15: (Konvergenz des Cauchy-Produkts)
infinity infinity
summationdisplay summationdisplay
Sind die Reihen a und b absolut konvergent, so auch das Cauchy-
k k
k=1 k=1
infinity infinity infinity infinity
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
Produkt c . Es gilt c = a periodcentered b .
k k k k
k=2 k=2 k=1 k=1
Beweis: (Fur technisch Interessierte) Fur die Partialsummen des Cauchydieresis dieresis
Produkts gilt
n n n
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
vextendsingle vextendsingle
|c | = a periodcentered b lessequal |a | periodcentered |b |
vextendsingle vextendsingle
i j i j
k i,j i,j
k=2 k=2 k=2
i+j=k i+j=k
n n
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay summationdisplay
lessequal |a | periodcentered |b | = |a | periodcentered |b | .
i j i j
i,j i=1 j=1
ilessequal n,jlessequal n
Da die rechte Seite fur n arrowright infinity konvergiert, ist die rechte Seite beschrankt. Nach dieresis dieresis
summationtext
Satz 3.11 liefert dies die Konvergenz von |c |, also die absolute Konvergenz
k
k
50 KAPITEL 3. REIHEN
des Cauchy-Produkts.
Das Cauchy-Produkt konvergiert gegen das Produkt der einzelnen Summen:
2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
a periodcentered b minus c = a periodcentered b minus a periodcentered b
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
i j i j i j
k i,j
i=1 j=1 i=1 j=1
k=2 k=2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright i+j=k
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
(a) (c)
(b)
S S
S
2n 2n
2n
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay summationdisplay
vextendsingle vextendsingle
= a periodcentered b lessequal |a | periodcentered |b |
vextendsingle vextendsingle
i j i j
i,j i,j
ilessequal 2n,jlessequal 2n ilessequal 2n,jlessequal 2n
i+j>2n i+j>2n
2 n 2n
summationdisplay summationdisplay
lessequal max(|a |, . . . , |a |) periodcentered |b | + max(|b |, . . . , |b |) periodcentered |a |.
n 2 n j n 2n i
j=n+1 i=n+1
Da (a ), (b ) Nullfolgen sind, ist der letzte Ausdruck eine Nullfolge. Fur die
dieresis
n n
Partialsummen folgt
(c) (a) (b)
S = S periodcentered S + Nullfolge ,n
2 n 2 n 2 n
summationtext summationtext
(c)
was zur Behauptung S arrowright ( a ) periodcentered ( b ) fuhrt.
dieresis
n i j
i j Q.E.D.
3.3 Spezielle Konvergenzkriterien
Es gibt eine Anzahl spezieller Kriterien fur die Konvergenz/Divergenz von Rei-
dieresis
hen:
Satz 3.16: (Majorantenkriterium)
summationtext infinity
Sei x eine konvergente Reihe mit reellen Summanden x greaterequal 0. Sei
k k
k=1
(z ) eine komplexe Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes |z | lessequal
dieresis
n k
summationtext infinity
x , so konvergiert die Reihe z absolut.
k k
k=1
summationtext summationtext
Bezeichung: x heißt konvergente Majorante" fur z .
dieresis
k k
k k
quotedblright summationtext
Beweis: Die Partialsummen von |z | sind beschrankt (o.B.d.A. nehmen wir
dieresis
k
k
an, |z | lessequal x gilt fur alle Indizes):
dieresis
k k
n n infinity
summationdisplay summationdisplay summationdisplay
|z | lessequal x lessequal x .
k k k
k=1 k=1 k=1
summationtext summationtext
Nach Satz 3.11 konvergiert |z |, d.h., die Reihe z konvergiert absolut.
k k
k k Q.E.D.
Satz 3.17: (Minorantenkriterium)
summationtext infinity
Sei x eine divergente Reihe mit reellen Summanden x greaterequal 0 Sei
k k
k=1
(y ) eine reelle Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes x lessequal y , so
dieresis
n k k
summationtext infinity
divergiert die Reihe y (genauer: sie konvergiert uneigentlich gegen
k
k=1
infinity ). summationtext summationtext
Bezeichung: x heißt divergente Minorante" fur y .
dieresis
k k
k k
quotedblright summationtext
Beweis: Wurde die Reihe y konvergieren, ware sie eine konvergente Madieresis
dieresis
k
k
summationtext summationtext
jorante fur x , und nach Satz 3.16 mußte x konvergieren.
dieresis dieresis
k k
k k Q.E.D.
Satz 3.18: (Quotientenkriterium)
Sei (z ) eine komplexe Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes
dieresis
n summationtext
|z | infinity
k+1 lessequal c mit einem Wert c element (0, 1), so konvergiert die Reihe zk
k=1
|z |k
absolut.
Beweis: Aus der Abschatzung folgt
dieresis
2 kminus 1
|z | lessequal c periodcentered |z | lessequal c periodcentered |z | lessequal . . . lessequal c periodcentered |z |.1
k kminus 1 kminus 2
summationtext kminus 1
Die geometrische Reihe |z | periodcentered c konvergiert nach Beispiel 3.3 fur c element (0, 1) dieresis 1
k summationtext
und ist damit eine konvergente Majorante fur z .
dieresis k
k Q.E.D.
Satz 3.19: (Wurzelkriterium)
Sei (z ) eine komplexe Folge. Gilt fur alle bis auf endlich viele Indizes
dieresis
n
radicalbig k |z | lessequal c mit einem Wert c element (0, 1), so konvergiert die komplexe Reihe
k
summationtext infinity z absolut.
k
k=1
k
Beweis: Aus der Abschatzung folgt |z | lessequal c . Damit ist die geometrische Reihe dieresis k
summationtext summationtext
kc fur c element (0, 1) eine konvergente Majorante fur z .
dieresis dieresis k
k k Q.E.D.
Satz 3.20: (Kondensationskriterium)
Ist (x ) eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen, so konvergiert
n
summationtext x dann und genau dann, wenn die Reihe
k
k
infinity
summationdisplay m m
2 periodcentered x2
m
konvergiert.
52 KAPITEL 3. REIHEN
summationtext n
Beweis: Nach Satz 3.11 ist zu entscheiden, ob die Partialsummen S = x
n k
k=1
beschrankt sind. Betrachte
dieresis
n
S = x +x + x +x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x
n+1 n+1
1 2 3 4 7 2
2 minus 1 2 minus 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
n
=1periodcentered x lessequal 2periodcentered x lessequal 4periodcentered x
1 2 4 n
lessequal 2 periodcentered x2
nsummationdisplay m m
lessequal 2 periodcentered x .
2
m=0
summationtext summationtext
m m
Konvergiert 2 periodcentered x , so sind alle Partialsummen S beschrankt und x
dieresis
2 n k
m k
konvergiert. Umgekehrt gilt:
n n
S = x + x +x + x +x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x + periodcentered periodcentered periodcentered + x
nminus 1
2 1 2 3 4 5 8 2
2 +1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
=1periodcentered x greaterequal 2periodcentered x greaterequal 4periodcentered x nminus 1
2 4 8 n
greaterequal 2 periodcentered x2
n n
summationdisplay summationdisplay
1
mminus 1 m
m m
greaterequal x + 2 periodcentered x greaterequal periodcentered 2 periodcentered x .
1 2 2
2
m=1 m=1
summationtext summationtext
m m
Divergiert 2 periodcentered x , so sind alle Partialsummen unbeschrankt und x
dieresis
2 k
m k
divergiert.
Q.E.D.
23.5.02arrowdown Hier eine Reihe von Beispielen zu den diversen Kriterien:
Beispiel 3.21: Wir setzen das Majorantenkriterium 3.16 ein, um zu zeigen, dass die
summationtext infinity 1
Reihe konvergiert. Dazu machen wir eine Anleihe beim kommenden Bei-
2
k=1 k
spiel 3.31, wo die Konvergenz
infinity
summationdisplay 1 = 1
k periodcentered (k + 1)
k=1 summationtext
1 1
gezeigt wird. Dazu schatzen wir x = gegen ytilde = ab ( ytilde soll als kon-
dieresis k 2 k k
k
k kperiodcentered (k+1)
summationtext
vergente Majorante fur x dienen). Es gilt zwar nicht unmittelbar |x | = x lessequal ytilde ,
dieresis k k k k
k
aber mit k periodcentered (k + 1)
2k greaterequal 2
2 2 2
(arrowdblboth 2 periodcentered k greaterequal k + k arrowdblboth k greaterequal k; dies ist fur alle k greaterequal 1 erfullt) folgt
dieresis dieresis
1 2
x = lessequal = 2 periodcentered ytilde =: y .
k k k
2k k periodcentered (k + 1)
Mit Beispiel 3.31 folgt
infinity infinity infinity
summationdisplay summationdisplay summationdisplay 2
x lessequal y = = 2.
k k k periodcentered (k + 1)
k=1 k=1 k=1 summationtext 1
Das Majorantenkriterium garantiert hiermit die Konvergenz von . Welchen Wert
2
k k
diese Reihe hat, haben wir damit allerdings nicht herausbekommen.
Beispiel 3.22: Die in Beispiel 3.21 betrachtete Summe wird mit MuPAD berechnet:
>> sum(1/k^2, k = 1..infinity)
2
PI
---
6
Hierbei ist PI = pi = 3.1415.... Zur Kontrolle vergleichen wir diesen Wert mit einer
langen, aber endlichen Summe:
>> float(\%)
1.644934067
>> sum(1.0/k^2, k = 1..1000)
1.643934567
infinity
summationdisplay k + 1
(Das passt einigermaßen.) Einige weitere Summen, z.B. :
k periodcentered (k + 2) periodcentered (k + 5)
k=1
>> sum((k + 1)/k/(k + 2)/(k + 5), k = 1..infinity)
323/900
infinity
summationdisplay 1
Oder auch :3k
k=1
>> sum(1/k^3, k = 1..infinity)
zeta(3)
Dieser Reihenwert hat keine elementare Darstellung. Stattdessen stellt MuPAD ihn mittels der (unter Mathematikern) beruhmten speziellen Funktion zeta (die sogenannte
dieresis
Riemannsche Zeta-Funktion) dar. Das nutzt uns hier relativ wenig, da wir mit die-
dieresis
ser Funktion nicht naher vertraut sind. Zumindestens kann man hiermit aber bequem
dieresis
Gleitpunktnaherungen berechnen:
dieresis
>> float(\%)
1.202056903
Die Web-Seite mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html liefert weitere
Informationen zur Zeta-Funktion.
54 KAPITEL 3. REIHEN
summationtext n 1radical
Beispiel 3.23: Die Reihe konvergiert nicht fur n arrowright infinity : zwar konvergieren
dieresis
k=1 k
1radical
die Summanden x = gegen 0, aber nicht schnell genug":
k k quotedblright
100 1000 10000
summationdisplay summationdisplay summationdisplay
1 1 1
radical radical radical
= 18.5896... , = 61.8010... , = 198.5446... .
k k k
k=1 k=1 k=1
Genauer gesagt: die Reihe konvergiert uneigentlich gegen infinity ". Beweis: die nach Bei-
quotedblright
spiel 3.10 divergierende harmonische Reihe ist eine divergente Minorante:
1 1radical
lessequal .
k k
n k
summationdisplay z
Beispiel 3.24: Betrachte die Reihe , wo z eine beliebige feste komplexe Zahl ist
k!
k=0 kz
(beachte: 0! = 1). Diese Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium. Mit z =
k k!
ist der Quotient zweier aufeinander folgender Summanden
k+1
|z| k+1 k
|z | |z| periodcentered k! |z| periodcentered |z| periodcentered k! |z|
(k+1)!
k+1 = = = = .
k k k
|z|
|z | |z| periodcentered (k + 1)! |z| periodcentered (k + 1) periodcentered k! k + 1
k k!
Fur hinreichend große k (namlich k greaterequal 2 periodcentered |z|) gilt
dieresis dieresis
|z | |z| |z| 1
k+1 lessequal < = =: c < 1,
|z | 2 periodcentered |z| + 1 2 periodcentered |z| 2
k
womit das Quotientenkriterium erfullt ist.
dieresis
z
Der Grenzwert heißt Exponentialfunktion" e bzw. exp(z). In der Tat stimmt die
quotedblright
Reihe mit der in Satz 2.20 benutzten Definition uberein (was noch zu zeigen ware):
dieresis dieresis
infinity
parenleftBig parenrightBig k 2 3
summationdisplay
n
z z z z
ze = exp(z) = lim 1 + = = 1 + z + + + periodcentered periodcentered periodcentered .
narrowright infinity n k! 2 6
k=0
Die Reihendarstellung der exp-Funktion bietet einige Vorteile. Fur kleine Argumente z
dieresis
gilt z.B. die Naherung
dieresis
2 3 2
z z z
exp(z) = 1 + z + + + periodcentered periodcentered periodcentered approxequal 1 + z + .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 2! 3! 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
klein noch kleiner noch viel
kleiner
Wir ersparen uns hier den Beweis furdieresis
infinity
parenleftBig parenrightBig k
summationdisplay
n
z z
lim 1 + = ,
narrowright infinity n k!
k=0
der einigen technischen Abschatzungsaufwand erfordert.
dieresis
3.4. BEDINGTE KONVERGENZ, UMORDNUNGEN 55
infinity
summationdisplay 1
Beispiel 3.25: Die Reihe konvergiert genau dann, wenn p > 1 gilt.
pk
k=1 p
Beweis: fur festes p > 0 ist die Folge x = 1/k monoton falled. Das Kondensationskri-
dieresis k
terium liefert die Konvergenz, wenn
infinity infinity infinity infinity
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
1 1 1
m m
m
2 periodcentered x = 2 periodcentered = =
2 m p m pminus 1 pminus 1 m
(2 ) (2 ) (2 )
m=1 m=1 m=1 m=1
1
konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert, wenn < 1 gilt, d.h., fur p > 1. dieresis
pminus 1
2
summationtext 1
Fur p lessequal 1 ist die harmonische Reihe eine divergierende Minorante.
dieresis k k
3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen
Es gibt einen Spezialfall, wo die Tatsache, dass die Summanden eine Nullfolge
bilden, fur die Konvergenz der Reihe ausreicht: alternierende Reihen:
dieresis
Satz 3.26: (Das Leibnizendash Kriterium fur alternierende Reihen)
dieresis
Eine reelle Folge (x ) heißt "alternierend", wenn fur jeden Index x und
dieresis
n n
x unterschiedliche Vorzeichen haben. Ist zusatzlich |x | monoton fal-
dieresis
n+1 n
lend und (x ) eine Nullfolge, so konvergiert die zugeordnete alternierende
n
summationtext quotedblright
Reihe" x .k
k
Beweis: Fixiere ein beliebiges n. Durch Induktion nach m ist leicht zu zeigen,
dass m
vextendsingle vextendsingle
summationdisplay
vextendsingle vextendsingle
x lessequal |x |
vextendsingle vextendsingle n
k
k=n
fur alle m greaterequal n gilt. Da |x | eine Nullfolge bildet, ist das Cauchy-Kriterium 3.6 dieresis n
erfullt.
dieresis
Q.E.D.
Beispiel 3.27: Die alternierende harmonische Reihe"
quotedblright infinity k+1
summationdisplay
1 1 1 (minus 1)
1 minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered =
2 3 4 k
k=1
erfullt das Leibniz-Kriterium und konvergiert (der Grenzwert ist ln(2)).
dieresis
Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, aber sie konvergiert nicht absolut (die harmonische Reihe ist bekanntlich divergent). Fur solche bedingt" (= dieresis quotedblright
nicht absolut) konvergente Reihen ist hochste Vorsicht geboten: die Reihenfolge dieresis
der Summation ist wichtig!
56 KAPITEL 3. REIHEN
Beobachtung 3.28:
Fur die alternierende harmonische Reihe des letzten Beispiels gilt:
dieresis
1 1 1 1 1 1 1
S = 1 minus + minus + minus + minus + . . .
2 3 4 5 6 7 8
S 1 1 1 1
= minus + minus + . . .
2 2 4 6 8
3 periodcentered S 1 1 1 1 1
= 1 + minus + + minus + . . .
2 3 2 5 7 4
Man kann sich leicht uberlegen, dass in der letzten Reihe der Kehrwert
dieresis
jeder naturlichen Zahl genau einmal auftaucht. In der Tat erhalt sie alle
dieresis dieresis
Summanden der alterniernenden Reihe S, nur dass die Summanden anders
angeordnet sind:
Nehme 2 positive Summanden von S, dann einen negativen, dann quotedblright die beiden nachsten positiven, dann den nachsten negativen usw."
dieresis dieresis
Diese Umordnung hat den Grenzwert verandert!
dieresis
Erstaunlicherweise kann man durch eine geeignete Umsummation jeden beliebi-
gen Grenzwert erreichen:
Satz 3.29: (Riemannscher Umordnungssatz fur bedingt konvergente Reihen)
dieresis
summationtext
Sei x eine konvergierende reelle Reihe, die nicht absolut konvergiert:
k
k
summationtext |x | = infinity . Dann gibt es zu jedem S element R eine bijektive Abbildung
k
k
P : N arrowright N (eine "Permutation" von N), so dass
infinity n
summationdisplay summationdisplay
x = lim x = S
P (k) P (k)
narrowright infinity
k=1 k=1
gilt.
Die Beweisidee ist sehr einfach, der Beweis ist konstruktiv. Sei
+ minus
N = {n element N,x greaterequal 0}, N = {n element N,x < 0}.
n n
summationtext
Man uberlegt sich, dass die Divergenz von |x | zusammen mit der Kon-
dieresis k
k
summationtext summationtext summationtext
vergenz von x bedeutet, dass x gegen infinity und x gegen
+ minus
k k k
k kelement N kelement N
+
minus infinity konvergiert. Zu gegebenem S wahle solange Indizes in N , bis die Summe
dieresis
uber die entsprechenden positiven x zum ersten Mal S uberschreitet (wegen
dieresis dieresis
k
summationtext x = infinity wird dies sicherlich irgendwann geschehen). Dann wahle solange
dieresis + k
kelement N minus
Indizes in N , bis durch Hinzuaddieren der entsprechenden negativen x zum
k
summationtext
ersten Mal S unterschritten wird (wegen x = minus infinity wird dies sicherlich
minus k
kelement N
+
irgendwann geschehen). Dann wahle wieder Indizes auf N , bis S uberschritdieresis dieresis
ten wird usw. Die Diff erenz zwischen S und der uberschreitenden bzw. unterdieresis schreitenden Zwischensumme ist jeweils kleiner als das letzte Folgenelement, das addiert bzw. subtrahiert wurde. Die Folgenglieder sind aber eine Nullfolge,
summationtext
da x konvergiert. Damit konvergieren die konstruierten Zwischensummen
k
k
gegen S. Details: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer.
Q.E.D. Glucklicherweise ergibt sich dieses Umordnungsproblem bei absolut konvergiedieresis renden Reihen nicht. Jede Umordnung der Reihenglieder liefert die selbe Sum-
me:
Satz 3.30: (Umordnungssatz fur absolut konvergente Reihen)
dieresis
summationtext
Sei z eine (komplexe) absolut konvergierende Reihe. Dann konver-
k
ksummationtext
giert z fur jede Permutation P absolut gegen den selben Grenz-
dieresis
P (k)
k
wert.
Beweis: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer.
3.5 Summation per Partialbruchzerlegung
arrowdown 24.5.02
Es gibt einige Situationen, wo man (endliche) Reihen explizit berechnen kann.
Der Reihenwert ergibt sich als Grenzwert des expliziten Ausdrucks:
nsummationdisplay 1
Beispiel 3.31: Betrachte . Die entscheidende Beobachtung ist:
k periodcentered (k + 1)
k=1
1 1 1
= minus
k periodcentered (k + 1) k k + 1
1 1
(man bringe minus auf den Hauptnenner). Hiermit ergibt sich
k k+1
n n n n
parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
1 1 1 1 1
= minus = minus
k periodcentered (k + 1) k k + 1 k k + 1
k=1 k=1 k=1 k=1
1 1 1
= 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered +
2 3 n
1 1 1 1
minus minus minus periodcentered periodcentered periodcentered minus minus
2 3 n n+1
1
= 1 minus .
n+1
Man nennt so eine Summe auch Teleskopsumme": sie laßt sich zu einigen wenigen
dieresis
quotedblright
Termen zusammenschieben", da sich fast alle Summanden aufheben. Es folgt:
quotedblright infinity n parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay
1 1 1
= lim = lim 1 minus = 1.
narrowright infinity narrowright infinity
k periodcentered (k + 1) k periodcentered (k + 1) n + 1
k=1 k=1
58 KAPITEL 3. REIHEN
Der im obigen Beispiel angewendete Trick laßt sich systematisch anwenden: dieresis
Rezept (Summation durch Partialbruchzerlegung") 3.32:
quotedblright
summationtext
Betrachte die Summe a uber einen rationalen" Ausdruck in k:
dieresis
k
k quotedblright
p
c + c periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered k
0 1 p
a =
k q
d + d periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + d periodcentered k
0 1 q
summationtext
mit p + 2 lessequal q (fur p + 2 > q divergiert die Reihe a ).
dieresis k
k
* Schritt 1: Bestimme die Nullstellen k , k , . . . , k des Nennerpoly-
1 2 q
q
noms P (k) = d + d periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + d periodcentered k = d periodcentered (k minus k ) periodcentered . . . periodcentered (k minus k ). 0 1 q q 1 q
* Schritt 2: Sind alle Nullstellen einfach, so kann man den Ausdruck stets folgendermaßen additiv zerlegen: es gibt Werte e , e , . . . , e , so
1 2 q
dass
p
c + c periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered k e e e
0 1 p 1 2 q
a = = + + periodcentered periodcentered periodcentered + .
k q
d + d periodcentered k + periodcentered periodcentered periodcentered + d periodcentered k k minus k k minus k k minus k
0 1 q 1 2 q
Finde diese Werte e , . . . , e ! Man bringt dazu die rechte Seite dieses
1 q
Ansatzes auf den Hauptnenner (das ergibt nach Konstruktion das Nennerpolynom P (k)). Das Zahlerpolynom muss mit dem Zahler dieresis dieresis
der linken Seite ubereinstimmen. Vergleiche in den Zahlern die Kodieresis dieresis
effi zienten der k-Potenzen, die einzeln ubereinstimmen mussen. Dies dieresis dieresis
fuhrt zu einem (stets losbaren) linearen Gleichungssystem fur dieresis dieresis dieresis
e , . . . , e .
1 q
* Schritt 3: Es gilt
n n parenleftBig parenrightBig
summationdisplay summationdisplay e e e
1 2 q
a = + + periodcentered periodcentered periodcentered +
k k minus k k minus k k minus k
1 2 q
k=1 k=1
n n n
summationdisplay summationdisplay summationdisplay
e e e
1 2 2
= + + periodcentered periodcentered periodcentered + .
k minus k k minus k k minus k
1 2 q
k=1 k=1 k=1
Unterscheiden sich die Nullstellen um ganze Zahlen, so laßt sich diedieresis se Summe von Summen als Teleskopsumme" zu einem expliziten
quotedblright
Ausdruck in n vereinfachen.
nsummationdisplay k
Beispiel 3.33: Betrachte .
3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2
k=3
Schritt 1: Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind k = 1, k = minus 1, k = 2:
1 2 3
3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 = (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2).
Schritt 2: Mache den Ansatz:
k e e e
1 2 3
= + + .
3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 k minus 1 k + 1 k minus 2
Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner und ordne den Zahler nach k-Potenzen:
dieresis
e e e
1 2 3
+ +
k minus 1 k + 1 k minus 2
e periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k + 1)
1 2 3
= (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)
e periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k minus 2) + e periodcentered (k minus 1) periodcentered (k + 1)
1 2 3
= (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)
2 2 2
e periodcentered k minus e periodcentered k minus 2 periodcentered e + e periodcentered k minus 3 periodcentered e periodcentered k + 2 periodcentered e + e periodcentered k minus e
1 1 1 2 2 2 3 3
= (k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)
2
(e + e + e ) periodcentered k + (minus e minus 3 periodcentered e ) periodcentered k + (minus 2 periodcentered e + 2 periodcentered e minus e )
1 2 3 1 2 1 2 3
= .
(k minus 1) periodcentered (k + 1) periodcentered (k minus 2)
Dies muß als Polynom in k mit dem Zahler der Summanden der Reihe ubereinstimmen,
dieresis dieresis
also
2 2
k = 0 periodcentered k + 1 periodcentered k + 0 = (e + e + e ) periodcentered k + (minus e minus 3 periodcentered e ) periodcentered k + (minus 2 periodcentered e + 2 periodcentered e minus e ) .
1 2 3 1 2 1 2 3
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
=0 =1 =0
Durch Vergleich der k-Potenzen ergibt sich:
e + e + e = 0, minus e minus 3 periodcentered e = 1, minus 2 periodcentered e + 2 periodcentered e minus e = 0.
1 2 3 1 2 1 2 3
Die Losung dieses linearen Gleichungssystems ist
dieresis
1 1 2
e = minus , e = minus , e = ,
1 2 3
2 6 3
also k 1 1 1 1 2 1
= minus periodcentered minus periodcentered + periodcentered .
3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 2 k minus 1 6 k + 1 3 k minus 2
Schritt 3: Reduktion der Teleskopsumme. Beachte, dass eine der Gleichungen e +e +
1 2
e = 0 war. Deshalb ist es kein Zufall, dass sich in der Tat eine Teleskopsumme ergibt:
3
n n n n
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
k (minus 1/2) (minus 1/6) (2/3)
= + +
3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 k minus 1 k + 1 k minus 2
k=3 k=3 k=3 k=3
(minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2)
= + + + periodcentered periodcentered periodcentered + +
2 3 4 nminus 2 nminus 1
(minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6)
+ periodcentered periodcentered periodcentered + + + +
4 nminus 2 nminus 1 n n+1
(2/3) (2/3) (2/3) (2/3) (2/3)
+ + + + + periodcentered periodcentered periodcentered +
1 2 3 4 nminus 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
0 0 0
(minus 1/2) (minus 1/2) (minus 1/2)
= + +
2 3 nminus 1
(minus 1/6) (minus 1/6) (minus 1/6)
+ + +
nminus 1 n n+1
(2/3) (2/3) (2/3)
+ + +
1 2 3
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
(minus 2/3) (minus 1/6) (minus 1/6)
29
= + + + .
36 nminus 1 n n+1
60 KAPITEL 3. REIHEN
Der Grenzwert fur n arrowright infinity liefert
dieresis
infinity
summationdisplay k 29
= .
3 2
k minus 2 periodcentered k minus k + 2 36
k=3
Beispiel 3.34: In MuPAD ist die Funktion partfrac ( partial fraction") fur die Par-
dieresis
quotedblright
tialbruchzerlegung zustandig:
dieresis
>> partfrac(k/(k^3 - 2*k^2 - k + 2))
2 1 1
--------- - --------- - --------- 3 (k - 2) 6 (k + 1) 2 (k - 1)
Kapitel 4
Funktionen und Stetigkeit
4.1 Funktionen
Definition 4.1:
Eine Funktion f : D mapsto arrowright C ist eine Zuordnung f : z mapsto arrowright f(z) einer Zahl z element D propersubset C zu einem Bildwert" f(z) element C. Der Punkt z heißt auch
quotedblright
Urbild" von f(z). Die Menge D propersubset C heißt Definitionsbereich", die
quotedblright quotedblright
Menge braceleftBig bracerightBig
f(D) := f(z); z element D
heißt Bildbereich" oder auch Wertebereich" der Funktion.
quotedblright quotedblright
Eine reelle Funktion f : D propersubset R mapsto arrowright R heißt
* monoton steigend, wenn f(x) lessequal f(y) gilt
* streng monoton steigend, wenn f(x) < f(y)gilt
* monoton fallend, wenn f(x) greaterequal f(y) gilt
* streng monoton fallend, wenn f(x) > f(y) gilt
fur alle x, y element D mit x < y.
dieresis
Beispiel 4.2: a) Die (stuckweise definierte) Funktion f : R mapsto arrowright R
dieresis
f(x)
bracelefttp a54
x fur x lessequal 0,
dieresis
braceex a0
braceex a0
braceleftmid 1 a0
fur 0 < x < 1,
dieresis
f(x) = 2 1
braceex braceex 2
braceleftbt a45
x fur 1 lessequal x
dieresis x
a0 1
a0
a0
xx0 1 2 3 400.5 11.5 x^(1/2)yy 2
62 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT ist monoton steigend (aber nicht streng monoton steigend). Der Definitionsbereich ist
braceleftBig bracerightBig
1
R, der Bildbereich ist f(R) = (minus infinity , 0] union union [1, infinity ).
2
Die MuPAD-Graphik dazu (piecewise erzeugt stuckweise definierte Funktionen):
dieresis
>> f:= piecewise([x <= 0, x],
[0 < x and x < 1, 1/2],
[1 <= x, x])
>> plotfunc2d(f(x), x = -2..2)
radical
b) Die Funktion f : [0, infinity ) mapsto arrowright [0, infinity ), f(x) = x ist streng monoton steigend. Die
MuPAD-Graphik dazu (sqrt ist die Wurzelfunktion):
>> plotfunc2d(sqrt(x), x = 0..4)
4.2 Stetigkeit
Definition 4.3: (Stetigkeit)
asteriskmath
Eine Funktion f : D propersubset C mapsto arrowright C heißt stetig am Punkt z element D, wenn furdieresis
asteriskmath
jede gegen z konvergierende Folge (z ) mit z element D gilt:
n n
asteriskmath
lim f(z ) = f(z ). (#)
n
narrowright infinity
Fur reelle Funktionen f : D propersubset R mapsto arrowright R wird zusatzlich definiert:
dieresis dieresis
asteriskmath
Die Funktion f heißt rechtsseitig stetig am Punkt x element D, wenn (#)
asteriskmath asteriskmath
gilt fur alle gegen x konvergierenden Folgen (x ) mit x greaterequal x .
dieresis n n
asteriskmath
Die Funktion f heißt linksseitig stetig am Punkt x element D, wenn (#)
asteriskmath asteriskmath
gilt fur alle gegen x konvergierenden Folgen (x ) mit x lessequal x .
dieresis n n
Die Funktion f heißt stetig auf dem Bereich D, wenn sie an allen
asteriskmath
Punkten x element D stetig ist.
Die formale Definition 4.3 der Stetigkeit sollte man sich so merken:
Merkregel 4.4:
Fur beliebige konvergente Folgen z gilt
dieresis n
parenleftBig parenrightBig
lim f(z ) = f lim z ,
n n
narrowright infinity narrowright infinity
wenn die Funktion f an der Stelle lim z stetig ist.
n
narrowright infinity
dieresis Ahnlich wie die epsilon1 endash N(epsilon1 )endash Definition eines Grenzwertes fur Folgen ist diese Defi-
dieresis
nition von Stetigkeit technisch und nur in sehr einfachen Fallen praktisch hand-
dieresis
habbar. Man verlaßt sich in der Praxis wiederum auf Rechenregeln, mit denen
dieresis
Stetigkeit vererbt werden, siehe Satz 4.7. Zunachst einige einfache Beispiele mit
dieresis
der formalen Definition:
Beispiel 4.5: a) Betrachte die konstante Funktion f : z element C mapsto arrowright c (mit einer konstanten arrowdown 31.5.02
asteriskmath
Zahl c element C). Sei (z ) eine beliebige gegen z konvergierende Folge. Es gilt
n
asteriskmath
lim f(z ) = lim c = c = f(z ).
n
narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Damit ist f an jedem Punkt z element C stetig.
asteriskmath
b) Betrachte die Funktion f(z) = z. Sei (z ) eine beliebige gegen z konvergierende
n
Folge. Es gilt asteriskmath asteriskmath
lim f(z ) = lim z = z = f(z ).
n n
narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Damit ist f an jedem Punkt z element C stetig.
2 asteriskmath
c) Betrachte die Funktion f(z) = z +1. Sei (z ) eine beliebige gegen z konvergierende
n
Folge. Mit den Rechenregeln fur Grenzwerte gilt
dieresis
2 2 asteriskmath 2 asteriskmath
lim f(z ) = lim (z + 1) = ( lim z ) + 1 = (z ) + 1 = f(z ).
n n
n
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
asteriskmath
Damit ist f an jedem Punkt z element C stetig.
Man sieht an diesen Beispielen bereits, dass die Rechenregeln fur Grenzwerte
dieresis
sofort zu analogen Rechenregeln fur die Vererbung von Stetigkeit fuhren. Vorher
dieresis dieresis
aber noch ein Beispiel zur Unstetigkeit und einseitigen Stetigkeit":
quotedblright
Beispiel 4.6: Betrachte die reelle Funktion
f(x)
a54
braceleftBigg 1
0 fur x < 0,
dieresis
f(x) = 1 fur 0 lessequal x.
dieresis
a45 x
Diese Funktion ist uberall stetig, außer am Punkt x = 0. Dort ist sie aber immer
dieresis
noch rechtsseitig stetig: nahert man sich dem Punkt x = 0 von rechts, so sind die
dieresis
64 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Funktionswerte konstant 1. Der Grenzwert der Funktionswerte ist wiederum 1 und
stimmt mit dem Funktionswert f(0) = 1 uberein.
dieresis
Die Funktion ist aber nicht linksseitig stetig: nahert man sich dem Punkt x = 0 von
dieresis
links, so sind die Funktionswerte konstant 0. Der Grenzwert der Funktionswerte ist
wiederum 0 und stimmt nicht mit dem Funktionswert f(0) = 1 uberein.
dieresis
Eine stetige Funktion muß aber off ensichtlich sowohl links- als auch rechtsseitig stetig
sein, damit ist f am Punkt x = 0 unstetig.
Nun die Rechenregeln:
Satz 4.7: (Rechenregeln zur Stetigkeit)
asteriskmath
Seien f und g Funktionen. Sei z ein Punkt aus dem Schnitt der Definiti-
asteriskmath asteriskmath
onsbereiche von f und g (d.h., sowohl f(z ) als auch g(z ) ist definiert).
asteriskmath
Seien f und g am Punkt z stetig. Sei c eine Konstante. Dann gilt:
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright c periodcentered f(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) + g(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) minus g(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) periodcentered g(z) ist am Punkt z stetig.
f(z) asteriskmath asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright ist am Punkt z stetig, falls g(z ) negationslash = 0.
g(z)
radicalbig asteriskmath
* Die Funktion z mapsto arrowright f(z) ist am Punkt z stetig.
asteriskmath asteriskmath
Weiterhin gilt: ist g am Punkt z stetig und f am Punkt g(z ), so ist
asteriskmath
z mapsto arrowright f(g(z)) am Punkt z stetig.
asteriskmath
Beweis: Betrachte eine beliebige Folge (z ) arrowright z und wende die Rechenren
geln 2.13 an.
Q.E.D.
x+1
Beispiel 4.8: Die Funktion f(x) = ist uberall auf R stetig: Da konstante Funkdieresis
2x +1 2
tionen sowie g(x) = x stetig sind, ist auch h(x) = x + 1 stetig. Analog ist k(x) = x
2
und damit auch j(x) = x + 1 stetig. Außerdem gilt j(x) > 0 fur alle x element R, womit der dieresis
h(x)
Quotient f(x) = ebenfalls uberall stetig ist.
dieresis
j(x)
Betrachtet man die Funktion in der komplexen Ebene, so ist sie uberall stetig bis auf
dieresis
die beiden Punkte plusminus i, wo der Nenner verschwindet.
An diesem Beispiel merkt man, dass folgende Pi mal Daumen-Regel" gilt:
quotedblright
Merkregel 4.9:
Aus stetigen Funktionen zusammengesetzte" Funktionen sind wieder
quotedblright
stetig. Lediglich an den Stellen, wo man durch 0 teilt, kann die Funktion
unstetig sein.
Manchmal helfen die Rechenregeln nicht, und man muss technisch abschatzen: dieresis Beispiel 4.10: Die in Definition 2.20/Beispiel 3.24 eingefuhrte Exponentialfunktion
dieresis
z mapsto arrowright exp(z) ist stetig am Nullpunkt. Betrachte dazu eine beliebige Nullfolge h , fur die dieresis
n
o.B.d.A. |h | lessequal 1 gelte. Wegen
n
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
2 3 2
h h h h
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
n
n n n
hn
|e minus 1| = 1 + h + + + periodcentered periodcentered periodcentered minus 1 = |h | periodcentered 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
n n
2! 3! 2! 3!
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
2
|h | |h | 1 1
n n 1
lessequal |h | periodcentered 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered lessequal |h | periodcentered 1 + + + periodcentered periodcentered periodcentered = |h | periodcentered (e minus 1) lessequal 2 periodcentered |h |
n n n n
2! 3! 2! 3!
h 0
h n
n
ist e minus 1 eine Nullfolge, also lim e = 1 = e . Dies ist die Stetigkeit am Nullpunkt.
narrowright infinity
Satz 4.11: (Stetigkeit der Exponentialfunktion)
Die in Definition 2.20/Beispiel 3.24 eingefuhrte Exponentialfunktion z mapsto arrowright
dieresis
exp(z) mit dem Definitionsbereich C ist an allen Punkten z element C stetig.
Beweis: Sei (h ) eine beliebige Nullfolge. Wegen der Funktionalgleichung 2.22
n
a+b a b
e = e periodcentered e und der gerade gezeigten Stetigkeit im Nullpunkt folgt
lim hn
z+h z h z h z z 0 z
n n n narrowright infinity
lim e = lim e periodcentered e = e periodcentered lim e = e periodcentered e = e periodcentered e = e .
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
Q.E.D. Die Merkregel 4.9 besagt, dass es potentielle Unstetigkeiten gibt, wenn man durch 0 teilt. Aber: es kann auch passieren, dass an diesen Stellen Stetigkeit
0
vorliegt (namlich bei speziellen endash Situation):
dieresis 0
Beispiel 4.12: Die Funktion
bracelefttp 2z minus 1
braceex braceleftmid fur z negationslash = 1,
dieresis
z minus 1
f(z) = braceex braceleftbt 2 fur z = 1
dieresis
ist uberall (auch an der Stelle z = 1) stetig. Dies ist leicht gezeigt: Wegen
dieresis
2z minus 1 = (z + 1) periodcentered (z minus 1) ist f nichts anderes als eine komplizierte Schreibweise furdieresis
f(z) = z + 1.
Etwas komplizierter ist bracelefttp ze minus 1
braceex braceleftmid fur z =negationslash 0,
dieresis
z
f(z) = braceex braceleftbt 1 fur z = 0.
dieresis
Auch diese Funktion ist uberall (auch an der Stelle z = 0) stetig, was durch folgende
dieresis
Betrachtung plausibel wird:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
z 2 2
e minus 1 1 z 1 z z
= periodcentered 1 + z + + periodcentered periodcentered periodcentered minus 1 = periodcentered z + + periodcentered periodcentered periodcentered = 1 + + periodcentered periodcentered periodcentered .
z z 2! z 2! 2!
66 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
0
Eine endash Situation laßt sich mit Hilfe der l'Hospitalschen Regel" systematisch untersudieresis
0 quotedblright
chen, siehe Beispiel 6.37.
4.3 Grenzwerte
z
Betrachtet man f(z) = (e minus 1)/z, so ist diese Funktion zunachst mal fur z = 0 dieresis dieresis
nicht definiert, sie hat dort eine Definitionslucke". In Beispiel 4.12 haben wir
dieresis
quotedblright
einen geeigneten Wert definiert, der die Funktion insgesamt stetig macht. Dieser Wert ergibt sich als Grenzwert" der Funktion, wenn das Argument gegen den
quotedblright
kritischen Wert strebt.
Definition 4.13: (Grenzwerte bei Funktionen)
asteriskmath
Betrachte eine Funktion f auf dem Defintionsbereich D = C \ {z }. Der
asteriskmath asteriskmath
Wert f heißt Grenzwert (Limes)" von f fur z arrowright z , wenn fur jede
dieresis dieresis
quotedblright
asteriskmath
gegen z konvergierende Folge (z ) mit z element D gilt:
n n
asteriskmath
lim f(z ) = f .
n
narrowright infinity
asteriskmath
Die Schreibweise ist dann: f = lim f(z).
asteriskmath
zarrowright z
Die Funktion braceleftBigg f(z) fur z element D,
dieresis asteriskmath
z element D union {z } mapsto arrowright asteriskmath asteriskmath
f fur z = z
dieresis
nennt man die stetige Fortsetzung" von f auf den erweiterten Defi-
quotedblright asteriskmath
nitionsbereich D union {z }. Nach Konstruktion ist die Fortsetzung stetig am
asteriskmath
Punkt z .
Definition 4.14: (Einseitige Grenzwerte bei Funktionen)
asteriskmath
Fur reelle Funktionen f : D \ {x } propersubset R mapsto arrowright R wird weiterhin definiert::
dieresis
asteriskmath asteriskmath
Der Wert f heißt rechtsseitiger Grenzwert" von f fur x arrowright x , wenn
dieresis
quotedblright asteriskmath asteriskmath
lim f(x ) = f gilt fur alle gegen x konvergierende Folgen (x ) mit
dieresis
narrowright infinity n n
asteriskmath
x > x . Schreibweise:
n asteriskmath f = lim f(x).
asteriskmath
xarrowright x +0
asteriskmath asteriskmath
Der Wert f heißt linksseitiger Grenzwert" von f fur x arrowright x , wenn
dieresis
quotedblright asteriskmath asteriskmath
lim f(x ) = f gilt fur alle gegen x konvergierende Folgen (x ) mit
dieresis
narrowright infinity n n
asteriskmath
x < x . Schreibweise:
n asteriskmath f = lim f(x).
asteriskmath
xarrowright x minus 0
asteriskmath
Beispiel 4.15: Fur eine am Punkt x definierte und dort stetige reelle Funktion gilt dieresis
immer asteriskmath
lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = f(x ).
asteriskmath
asteriskmath asteriskmath xarrowright x
xarrowright x minus 0 xarrowright x +0
Beispiel 4.16: Betrachte
f(x)
a54
braceleftBigg 1
0 fur x < 0,
dieresis
f(x) = 1 fur 0 lessequal x.
dieresis
a45 x
asteriskmath
Hier gilt fur die Sprungstelle x = 0:
dieresis
lim f(x) = 0, lim f(x) = 1, lim f(x) existiert nicht.
xarrowright 0minus 0 xarrowright 0+0 xarrowright 0
1
Beispiel 4.17: Fur die reelle Funktion f(x) = gilt
dieresis x
lim f(x) = 0.
xarrowright infinity
Formale Begrundung: Sei (x ) eine beliebige gegen infinity konvergierende Folge:
dieresis n
1 1
lim f(x ) = lim = = 0.
n
narrowright infinity narrowright infinity x infinity
n
Am Punkt x = 0 ist f unstetig ( singular"): die Funktion hat eine sogenannte Pol-
dieresis
quotedblright
stelle. Wir lassen die Werte plusminus infinity wieder als Grenzwerte zu. Dann existieren einseitige
Grenzwerte:
lim f(x) = infinity , lim f(x) = minus infinity .
xarrowright 0+0 xarrowright 0minus 0
Das Argument ViewingBox = [-10..10, -10..10] im folgenden Befehl weist MuPAD an, alles außerhalb der angegebenen Bereiche zu ignorieren, wodurch sich eine gut
skalierte Graphik ergibt:
-10-5 xx-10 -5 0 5 1005yy 10 1/x
68 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
>> plotfunc2d(1/x, x = -10..10,
ViewingBox = [-10..10, -10..10])
Mit dem Grenzwertbegriff fur Funktionen konnen wir die Stetigkeit an einem dieresis dieresis
Punkt auch folgendermaßen charakterisieren:
Satz 4.18: (Stetigkeit)
asteriskmath
Eine reelle Funktion f ist am Punkt x genau dann linksseitig stetig, wenn
asteriskmath
lim f(x) = f(x )
asteriskmath
xarrowright x minus 0
gilt. Sie ist genau dann rechtsseitig stetig, wenn
asteriskmath
lim f(x) = f(x )
asteriskmath
xarrowright x +0
gilt. Sie ist genau dann stetig, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert
existiert und beide Grenzwerte mit dem Funktionswert ubereinstimmen:
dieresis
asteriskmath
lim f(x) = lim f(x) = f(x ).
asteriskmath asteriskmath
xarrowright x minus 0 xarrowright x minus 0
Beweis: Das folgt unmittelbar aus den Definitionen. Fur die letzte Aussage dieresis
asteriskmath
beachte, dass eine beliebige gegen x konvergierende Folge aufgespalten werden
asteriskmath
kann in die Teilfolge aller Elemente, die kleiner sind als x und die Teilfolge aller
asteriskmath asteriskmath
Elemente, die großer als x sind. Die Konvergenz der Teilfolgen gegen f(x ) ist dieresis die links- bzw. rechtsseitige Stetigkeit, die Konvergenz der Gesamtfolge gegen
asteriskmath
f(x ) ist die Stetigkeit.
Q.E.D.
4.4. DER ZWISCHENWERTSATZ, DAS MIN/MAX-PRINZIP 69
4.4 Der Zwischenwertsatz, das Min/Max-Prinzip
Es folgen zwei sehr wichtige und fundamentale Satze fur reelle stetige Funktio-
dieresis dieresis
nen.
Satz 4.19: (Der Zwischenwertsatz fur stetige Funktionen)
dieresis
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R auf dem Intervall [a, b] propersubset R stetig. Dann nimmt f auf
dem Intervall alle Werte zwischen f(a) und f(b) an: zu jedem y zwischen
den Werten f(a) und f(b) existiert mindestens ein x element [a, b] mit f(x) = y.
Beweis: (nicht nur fur technisch Interessierte)
dieresis
Wir benutzen einen expliziten Algorithmus ( Intervallhalbierung"), um die
quotedblright
Losung von f(x) = y zu finden.
dieresis
Sei f(a) negationslash = f(b) (sonst gibt es nichts zu zeigen). O.B.d.A. gelte f(a) < f(b)
(sonst betrachte statt minus f statt f ). Gegeben sei y mit f(a) lessequal y lessequal f(b). Furdieresis
y = f(a) bzw. y = f(b) ist die Behauptung sicher mit x = a bzw.x = b erfullt.
dieresis
Es gelte also nun f(a) < y < f(b).
Betrachte den Mittelpunkt m = (a+b)/2 des Intervalls. Gilt f(m) = y, sind wir
fertig. Fur f(m) > y betrachten wir die linke Intervallhalfte [a , b ] := [a, m],
dieresis dieresis 1 1
fur f(m) < y betrachten wir die rechte Intervallhalfte [a , b ] := [m, a]. Nach
dieresis dieresis 1 1
Konstruktion ist die Ausgangssituation
f(a ) lessequal y lessequal f(b )
1 1
fur das neue Intervall [a1, b ] wieder hergestellt. Das betrachtete Intervall [a , b ]
dieresis 1 1 1
wird nun erneut zu einem Intervall [a , b ] halbiert usw.
2 2
Es ergibt sich eine Folge von immer kleineren Intervallen [a , b ], deren linke
n n
Enden a eine monoton steigende und deren rechten Enden b eine monoton
n n
fallende Folge bildet. Nach Konstruktion gilt fur alle Intervallenden
dieresis
f(a ) lessequal y lessequal f(b ).
n n
Nach Satz 2.28 konvergieren die monotonen beschrankten Folgen (a ) und (b )
dieresis n n
asteriskmath asteriskmath
gegen Grenzwerte a bzw b , die ubereinstimmen mussen, da die Intervalllangen
dieresis dieresis dieresis
n asteriskmath asteriskmath
b minus a = (b minus a)/2 gegen Null konvergieren. Da f am Punkt x := a = b
n n
stetig ist, folgt
f(x) = lim f(a ) = f( lim a ) lessequal y lessequal lim f(b ) = f( lim b ) = f(x),
n n n n
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
also f(x) = y.
Q.E.D.
70 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT Bemerkung 4.20: Der im Beweis des Zwischenwertsatzes verwendete Algorithmus ( Intervallhalbierung", Bi-Sektion") ist ein auch in der Pra-
quotedblright quotedblright
xis anwendbarer Suchalgorithmus zum approximativen Losen einer Gleichung dieresis f(x) = y. Er liefert eine Folge von Intervallschachtelungen [a , b ] fur die dieresis
n n
Losung. Die Genauigkeit ist die Lange des Intervalls, auf das die Losung eingedieresis dieresis dieresis
10 3
schrankt werden konnte. Mit 2 = 1024 approxequal 10 gilt die Faustregel:
dieresis
Durch je 10 Halbierungsschritte gewinnt man jeweils etwa
3 Dezimalstellen Genauigkeit hinzu.
Bemerkung 4.21: Der Beweis verwendet uber Satz 2.28 das Supremumsaxiom dieresis 2
fur R. In der Tat hat beispielsweise die stetige Funktion f(x) = x minus 2 auf dem dieresis Intervall [0, 2] intersection Q keine Nullstelle, obwohl f(0) = minus 2 < 0 < f(2) = 2 gilt, da
radical
die Nullstelle x = 2 nicht rational ist.
6.6.02arrowdown
Ein weiteres wichtiges Ergebnis fur stetige reelle Funktionen ist, dass der Bilddieresis bereich eines beschrankten abgeschlossenen Intervalls wieder ein beschranktes dieresis dieresis
abgeschlossenes Intervall ist. Mit anderen Worten: die Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall immer (mindestens) ein globales Minimum und
ein globales Maximum an:
Satz 4.22: (Das Min/Maxendash Prinzip fur stetige Funktionen)
dieresis
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R stetig auf dem Intervall [a, b] propersubset R. Dann existiert ein
x element [a, b] und ein x element [a, b] mit
min max
f(x ) lessequal f(x) lessequal f(x )
min max
fur alle x element [a, b].
dieresis
Beweis: (fur technisch Interessierte) Wir konstruieren x . Die Bildmenge
dieresis max
f ([a, b]) := {f(x); x element [a, b]} ist nach oben beschrankt. Sonst gabe es namlich dieresis dieresis dieresis
eine uneigentlich nach infinity konvergierende Folge (y ) in f ([a, b]) mit (nicht un-
n
bedingt eindeutig bestimmten) Urbildern x element [a, b]. Nach Bolzano-Weier-
n asteriskmath
strass 2.49/Bemerkung 2.50 gibt es eine gegen einen Grenzwert x element [a, b] kon-
vergierende Teilfolge (x ) in [a, b], fur die
dieresis
nk
asteriskmath
infinity = lim y = lim f(x ) = f( lim x ) = f(x )
n n n
k k k
karrowright infinity karrowright infinity karrowright infinity
gelten mußte. Widerspruch!
dieresis
Da f ([a, b]) nach oben beschrankt ist, existiert gemaß des Supredieresis
dieresis
mumsaxioms 2.25 das Supremum Y = sup f ([a, b]) aller Bildpunkte. Es gilt zu zeigen, dass dieses Suprememum in der Menge f ([a, b]) liegt, also ein Maximum
ist:
1
Da Y minus keine obere Schranke von f ([a, b]) sein kann (Y ist als Supremum die
n
kleinste obere Schranke), gibt es zu jedem n element N ein x element [a, b] mit
n
1
Y minus < f(x ) lessequal Y.
n
n
Wiederum existiert nach Bolzano-Weierstrass 2.49/Bemerkung 2.50 eine gegen
asteriskmath
einen Grenzwert x element [a, b] konvergente Teilfolge (x ), fur die
dieresis
nk
parenleftBig parenrightBig
1
Y = lim Y minus lessequal lim f(x ) lessequal Y
nk
karrowright infinity karrowright infinity
nk
gilt. Mit der Stetigkeit von f folgt
Y = lim f(x ) = f( lim x ) = f(xasteriskmath ).
n n
k k
karrowright infinity karrowright infinity
asteriskmath asteriskmath
Also ist f(x ) = max f ([a, b]), d.h., x = x ist die gesuchte Maximumsstelle.
max
Die Minimumstelle x mit f(x ) = min f ([a, b]) ergibt sich sofort als die
min min
Maximumsstelle von minus f .
Q.E.D.
Bemerkung 4.23: Die Abgeschlossenheit des Intervalls [a, b] ist wesentlich furdieresis
die Existenz von Minimum und Maximum. Beispielsweise hat fur das off ene
dieresis
Intervall (0, 1) die auf (0, 1) stetige Funktion f(x) = 1/x off ensichtlich weder
ein Maximum noch ein Minimum!
4.5 Umkehrfunktionen
Definition 4.24: (Invertierbarkeit von Funktionen)
Eine Funktion f : D mapsto arrowright W von einem Definitionsbereich D in den Wertebereich W = f(D) = {f(x); x element D} heißt invertierbar, wenn zu jedem
Wert y element W genau ein Urbild x element D mit f(x) = y existiert.
2
Beispiel 4.25: Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = [0, infinity ) mit
2
dem Wertebereich f(D) = [0, infinity ) ist invertierbar: zu y = f(x) = x gehort genau ein
dieresis
radical
Urbild x = y im Definitionsbereich D.
2
Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = (minus infinity , 0] mit dem Wertebereich
radical
2
f(D) = [0, infinity ) ist invertierbar: zu y = f(x) = x gehort genau ein Urbild x = minus y im
dieresis
Definitionsbereich D.
2
Die Funktion f(x) = x ist nicht invertierbar, wenn man sie auf dem Definitionsbereich
2
D = R betrachtet: Jetzt gibt es zu jedem y = f(x) = x aus dem Wertebereich
radical radical
f(D) = [0, infinity ) zwei Urbilder x = y und x = minus y.
72 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Definition 4.26: (Inverse einer Funktion)
Die Funktion f : D mapsto arrowright W von einem Definitionsbereich D in den Wertebereich W = f(D) = {f(x); x element D} sei invertierbar. Die Umkehrab-
quotedblright
minus 1
bildung" ( Inverse") von f ist die Funktion f : W mapsto arrowright D, die dem
quotedblright
Punkt y = f(x) element W den (eindeutig bestimmten) Wert x zuordnet.
2
Beispiel 4.27: Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = [0, infinity ) mit
radical
minus 1
dem Wertebereich W = f(D) = [0, infinity ) hat die durch f (y) = y gegebene Inverse
minus 1
f : W mapsto arrowright D.
2
Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = (minus infinity , 0] mit dem Wertebereich
radical
minus 1 minus 1
f(D) = [0, infinity ) hat die durch f (y) = minus y gegebene Inverse f : W mapsto arrowright D.
2
Die Funktion f(x) = x auf dem Definitionsbereich D = R hat keine Inverse.
2minus y
minus 1
Die Funktion f(x) = 2minus 3periodcentered x auf dem Wertebereich D = R hat die Inverse f (y) = .
3
Um die Inverse zu bestimmen, muß man y = f(x) nach x auflosen:
dieresis
2 minus y
y = 2 minus 3 periodcentered x =arrowdblright 3 periodcentered x = 2 minus y =arrowdblright x = .
3
Graphische Darstellung der Inversen 4.28:
Hat man eine invertierbare Funktion f graphisch dargestellt, so hat man
minus 1
auch sofort den Graphen von f . Der Graph von f ist eine Punktmenge
minus 1
(x, y) mit y = f(x) in der x-y-Ebene. Der Graph von f ist die Punktmenge
(y, x) mit y = f(x). Diese ergibt sich einfach durch Spiegelung
an der ersten Winkelhalbierenden" (dies ist die durch y = x gegebene
quotedblright
Gerade).
minus 1
Der Graph der Umkehrfunktion f ist die Spiegelung des
Graphen der Funktion f an der ersten Winkelhalbierenden.
Beispiel 4.29: Zur Demonstration hierzu einige MuPAD Graphiken. Betrachte f(x) =
radical
radical radical
2 minus 1 minus 1 minus 1
x auf D = [0, infinity ), f (y) = y. Statt f (y) = y wird f (x) = x eingegeben
(Goethe sagt dazu treff end: Name ist Schall und Rauch"). Die Winkelhalbierende
quotedblright
y = x wird zusatzlich eingezeichnet:
dieresis
-2-1-0.5 xx-2 -1 0 1 xx 2-0.5 0 0.5 0 1 1.5 200.51 11.5yy 2 yy 2x, x^2, x^(1/2)
4.5. UMKEHRFUNKTIONEN 73
>> plotfunc2d(x, x^2, sqrt(x), x = 0..2,
ViewingBox = [-0.5..2, -0.5..2])
2
Das selbe noch einmal, diesmal wird f(x) = x aber auf dem Definitionsbereich D =
radical
minus 1
(minus infinity , 0] betrachtet. Da die Inverse f (y) = minus y auf einem anderen Definitionsbereich lebt (y greaterequal 0, x lessequal 0), plotfunc2d aber alle Funktionen uber einem gemeinsamen Bereich
dieresis
zeichnet, wird nun das folgende flexiblere plot-Konstrukt benutzt:
>> plot(// die Winkelhalbierende:
plot::Function2d(x, x = -2..2, Color = RGB::Black),
// f(x):
plot::Function2d(x^2, x = -2..0, Color = RGB::Red),
// die Inverse von f:
plot::Function2d(-sqrt(y), y = 0..2, Color = RGB::Blue),
ViewingBox = [-2..2, -2..2])
74 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Bei streng monotonen Funktionen ist die Invertierbarkeit garantiert:
Satz 4.30: (Invertierbarkeit bei Monotonie)
Streng monotone reelle Funktionen f : [a, b] mapsto arrowright f ([a, b]) sind immer in-
minus 1
vertierbar. Ist f streng monoton steigend, dann auch f . Ist f streng
minus 1 minus 1
monoton fallend, dann auch f . Ist f stetig, dann auch f .
Beweis: (fur technisch Interessierte) Die Eindeutigkeit der Urbilder folgt undieresis mittelbar aus der Monotonie, denn aus x negationslash = x (also entweder x < x oder
1 2 1 2 minus 1
x > x ) folgt per strenger Monotonie f(x ) =negationslash f(x ). Die Monotonie von f
1 2 1 2
ist off ensichtlich. minus 1
Zur Stetigkeit von f . Sei o.B.d.A. f streng monoton wachsend (sonst betrachte minus f ). Wahle einen beliebigen Punkt y aus dem Wertebereich f ([a, b]) = dieresis minus 1
[f(a), f(b)]. Sei (y ) eine beliebige gegen y konvergierende Folge, sei x = f (y).
n
Wegen (y ) arrowright y gibt es zu jedem delta > 0 ein N(delta ), so dass
n
y element [y minus delta , y + delta ]
n
gilt fur alle n greaterequal N(delta ). Zu epsilon1 > 0 setze
dieresis
delta (epsilon1 ) = min(y minus f(x minus epsilon1 ), f(x + epsilon1 ) minus y) > 0.
Fur alle n greaterequal N(delta (epsilon1 )) folgt dann
dieresis
y element [y minus delta (epsilon1 ), y + delta (epsilon1 )] propersubset [f(x minus epsilon1 ), f(x + epsilon1 )],
n
also
minus 1 minus 1 minus 1 minus 1
f (y ) element f ([f(x minus epsilon1 ), f(x + epsilon1 )]) = [f (f(x minus epsilon1 )), f (f(x + epsilon1 ))]
n
= [x minus epsilon1 , x + epsilon1 ].
Also: zu epsilon1 > 0 haben wir ein N(delta (epsilon1 )) konstruiert, so dass
minus 1 minus 1 minus 1
|f (y ) minus x| = |f (y ) minus f (y)| lessequal epsilon1
n n
minus 1 minus 1
minus 1
gilt fur alle n greaterequal N(delta (epsilon1 )). Also ist f stetig: lim f (y ) = f ( lim y ).
dieresis n n
narrowright infinity narrowright infinity Q.E.D.
4.6 Wachstum von Funktionen, Landau-Symbole
Es gibt eine zur Symbolik fur Folgen in Abschnitt 2.4 analoge Schreibweise, um dieresis das Wachstum von Funktionen an interessanten Stellen zu beschreiben (typi-
scherweise sind dies Nullstellen oder Singularitaten).
dieresis
4.6. WACHSTUM VON FUNKTIONEN, LANDAU-SYMBOLE 75
Notation 4.31:
Seien f und g Funktionen, die in der Umgebung eines Punktes z definiert
0
seien (bei reellen Funktionen betrachtet man oft auch die Punkte z =
0
plusminus infinity ).
* f(z) = O(g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet, dass die Funktion
0
|f(z)|/|g(z)| auf einer Umgebung von z nach oben beschrankt ist.
dieresis
0
* f(z) = o(g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet lim f(z)/g(z) = 0.
0 zarrowright z0
* f(z) = Omega (g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet, dass die Funktion
0
|g(z)|/|f(z)| auf einer Umgebung von z nach oben beschrankt ist.
dieresis
0
* f(z) = omega (g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet lim g(z)/f(z) = 0.
0 zarrowright z0
* f(z) = Theta (g(z)) im Limes z arrowright z bedeutet, dass die Funktionen
0
|f(z)|/|g(z)| und |g(z)|/|f(z)| auf einer Umgebung von z nach oben
0
beschrankt sind: es existieren positive Konstanten c und C, so dass
dieresis
c periodcentered |g(z)| lessequal |f(z)| lessequal C periodcentered |g(z)| gilt auf einer Umgebung von z .0
Beispiel 4.32:
z z
e = O(1) im Limes z arrowright 0, e = 1 + O(z) im Limes z arrowright 0,
z 2 z
e = 1 + z + O(z ) im Limes z arrowright 0, e = 1 + z + o(z) im Limes z arrowright 0,
x x
= O(x) im Limes x arrowright 0, = O(1) im Limes x arrowright infinity ,
x + 1 x+ 1 parenleftBig parenrightBig
x 1 1
= Theta (1) im Limes x arrowright infinity , = o im Limes z arrowright 0.
2
x + 1 z z
Beispiel 4.33: Fur alle positiven k gilt
dieresis
x k
e = omega (x ) im Limes x arrowright infinity ,
sowie parenleftBig parenrightBig
1
minus x
e = o im Limes x arrowright infinity ,
kx
denn
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
minus x k k
e x x (k + 1)!
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle
= = lessequal arrowright 0 fur x arrowright infinity .
vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle dieresis
k+1
k x x
1/x e x
1 + x + periodcentered periodcentered periodcentered + + periodcentered periodcentered periodcentered
(k+1)!
x
Anschaulich: die Funktion e wachst fur gegen infinity wachsendes x schneller als jede podieresis dieresis
minus x
sitive Potenz von x. Die Funktion e fallt fur gegen infinity wachsendes x schneller ab als dieresis dieresis
jede negative Potenz von x.
76 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT
Kapitel 5
Einige spezielle Funktionen:
exp, ln, sin, cos.
5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus
arrowdown 7.6.02
Die uberaus wichtige Exponentialfunktion soll nun etwas genauer diskutiert wer-
dieresis
den. Die ursprungliche Definition 2.20 ist fur die Diskussion zu unhandlich. Die
dieresis dieresis
in Beispiel 3.24 eingefuhrte Reihendarstellung ist wesentlich nutzlicher. Wir ha-
dieresis dieresis
ben sie bereits benutzt, um in Satz 4.11 die Stetigkeit uber ganz C zu beweisen.
dieresis
Wir betrachten die Exponentialfunktion nun zunachst im Reellen genauer:
dieresis
Satz 5.1: (Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion)
infinity k 2
summationdisplay x x
x
Die Exponentialfunktion e = = 1 + x + + periodcentered periodcentered periodcentered ist fur x element R
dieresis
k! 2
k=0
streng monoton steigend. Es gilt
x x
lim e = 0, lim e = infinity .
xarrowright infinity
xarrowright minus infinity
Der Wertebereich ist (0, infinity ).
x y
Beweis: Fur 0 lessequal x < y ist e < e off ensichtlich, denn die Summanden der
dieresis
Partialsummen sind streng monoton wachsend:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
2 2 2 2
y x y minus x
y x
e minus e = 1 + y + + periodcentered periodcentered periodcentered minus 1 + x + + periodcentered periodcentered periodcentered = y minus x + + periodcentered periodcentered periodcentered > 0.
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
2 2 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
>0 >0
x
Fur x < y < 0 folgt die Monotonie aus der Funktionalgleichung 2.22: e =
dieresis minus x minus y y x
1/e < 1/e = e . Nach Beispiel 4.33 wachst e (starker als jede positive x-
dieresis dieresis
x minus x x
Potenz) gegen infinity fur x arrowright infinity . Wegen e = 1/e fallt e gegen 0 fur x arrowright minus infinity .
dieresis dieresis dieresis
Damit ist der Wertebereich (0, infinity ).
Q.E.D.
-4-2 xx-4 -2 0 2 402yy 4x, exp(x), ln(x)
78 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN
Definition 5.2: (Der naturliche Logarithmus)
dieresis
Wegen der strengen Monotonie der reellen Exponentialfunktion exp : R mapsto arrowright (0, infinity ) gibt es eine Umkehrfunktion, die man den naturlichen Loga-
dieresis
quotedblright
rithmus" ln : (0, infinity ) mapsto arrowright R nennt:
ln(exp(x)) = x fur alle x element R , exp(ln(y)) = y fur alle y element (0, infinity ).
dieresis dieresis
Beispiel 5.3: Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden ergibt sich sofort der Graph
von ln aus dem Graphen von exp:
>> plotfunc2d(x, exp(x), ln(x), x = -4..4,
ViewingBox = [-4..4, -4..4])
Da die Exponentialfunktion nach Satz 4.11 monoton und stetig ist, ist mit
Satz 4.30 auch der Logarithmus monoton und stetig:
Merke 5.4:
* exp und ln sind stetig und streng monoton wachsend.
x
* Es gilt e > 1 fur alle x > 0, es gilt ln(y) > 0 fur alle y > 1.
dieresis dieresis
0
* Es gilt e = 1 und ln(1) = 0.
x
* Es gilt e < 1 fur alle x < 0 und ln(y) < 0 fur alle y mit 0 < y < 1.
dieresis dieresis
y
Bemerkung 5.5: Es ist klar, was mit x gemeint ist, wenn x element R positiv und
radical
radical
3 4 2
3
4
y eine ganze oder eine rationale Zahl ist (z.B. x = x ). Was aber ist x ?
y p/q
Betrachte eine rationale Potenz y = p/q mit p, q element N, dann ist a = x = x > 0
q p ln(x)
als die (eindeutige) positive Losung von a = x definiert. Setzen wir x = e ,
dieresis
so folgt mit den Funktionalgleichungen 2.22:
parenleftBig parenrightBig q
p periodcentered ln(x)
q p ln(x) p pperiodcentered ln(x) q
a = x = (e ) = e = e .
Die einzige reelle positive Losung a dieser Gleichung ist off ensichtlich
dieresis
p p periodcentered ln(x)
q q
x = a = e .
Also: fur jedes rationale y gilt
dieresis
y yperiodcentered ln(x)
x = e fur jedes x > 0.
dieresis
Man benutzt die obige Formel, um Potenzen von x > 0 auch fur nicht-rationale
dieresis
dieresis
reelle Werte y zu definieren, was nach obiger Uberlegung mit der intuitiven
Wurzeldefinition" fur rationales y vertraglich ist. Z. B.:
dieresis dieresis
quotedblright
>> float(2^PI) = float(exp(PI*ln(2)))
8.824977827 = 8.824977827
Satz 5.6: (Rechenregeln fur exp und ln)
dieresis
Fur beliebiges x, y element R gilt:
dieresis
1 x+y x y x y xperiodcentered y minus x
e = e periodcentered e , (e ) = e , e = .xe
Fur beliebiges x > 0, y > 0 gilt:
dieresis
parenleftBig parenrightBig
1 y
ln(x periodcentered y) = ln(x) + ln(y), ln(x ) = y periodcentered ln(x), ln = minus ln(x).
x
z +z z z minus z z
1 2 1 2
Beweis: Die Funktionalgleichungen e = e periodcentered e und e = 1/e waren schon in Satz 2.22 uber C gezeigt worden. Sind z , z element R, folgt durch Logarithdieresis 1 2
mieren parenleftBig parenrightBig
z z
1 2
z + z = ln e periodcentered e .
1 2
z z
1 2
Mit x = e , y = e , also z = ln(x), z = ln(y), folgt ln(x) + ln(y) = ln(x periodcentered y). 1 2
Fur y = 1/x ergibt sich ln(x) + ln(1/x) = ln(1) = 0. Nach Definition beliebiger dieresis
reeller Potenzen gemaß Bemerkung 5.5 ergibt sich
dieresis
x
x y yperiodcentered ln(e ) yperiodcentered x
(e ) = e = e .
x
Durch Logarithmieren folgt fur beliebiges reelles z = e > 0:
dieresis
y
ln(z) = y periodcentered x = y periodcentered ln(z).
Q.E.D.
80 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN
y
Beispiel 5.7: Die Regel ln(x ) = y periodcentered ln(x) ist nutzlich, um Gleichungen aufzulosen, wo dieresis dieresis
die gesuchte Große in einem Exponenten auftaucht. Z.B.:
dieresis
x x
2 = 8 arrowdblright ln(2 ) = ln(8) arrowdblright x periodcentered ln(2) = ln(8)
3
ln(8) ln(2 ) 3 periodcentered ln(2)
arrowdblright x = = = = 3.
ln(2) ln(2) ln(2)
Bemerkung 5.8: Aus der Schulzeit mag man gewohnt sein, statt mit dem dieresis naturlichen Logarithmus mit dem Zehner-Logarithmus log umzugehen. Bei dieresis 10
Informatikern ist (aus naheliegenden Grunden) der Logarithmus log zur Basis dieresis 2
2 popular. Hier ist der Zusammenhang zwischen dem naturlichen Logarithmus dieresis dieresis
und dem Logarithmus zu einer beliebigen (positiven) Basis b negationslash = 1:
ln(y)
x x
x = log (y) arrowdblboth y = b arrowdblboth ln(y) = ln(b ) = x periodcentered ln(b) arrowdblboth x = ,
b ln(b)
also
ln(y)
log (y) = fur alle y > 0, b > 0, b negationslash = 1.
dieresis
b ln(b)
Beispiel 5.9: Neben dem naturlichen Logarithmus ln hat MuPAD Logarithmen
dieresis
log(b, y) zu beliebigen positiven Basen b negationslash = 1:
>> log(10, 25.0) = ln(25.0)/ln(10.0)
1.397940009 = 1.397940009
>> log(2, 25.0) = ln(25.0)/ln(2.0)
4.64385619 = 4.64385619
5.2 Die trigonometrische Funktionen
In der Schule waren im Kontext Geometrie" die Winkelfunktionen sin und cos
quotedblright
eingefuhrt worden. Hier unsere Versionen:
dieresis
Satz und Definition 5.10:
Die folgenden Reihen konvergieren fur jeden Wert z element C. Die Reihenwerte
dieresis
heißen sin(z) bzw. cos(z) (die trigonometrischen Funktionen" Sinus
quotedblright
und Cosinus):
infinity k 2periodcentered k+1 3 5 7
summationdisplay (minus 1) periodcentered z z z z
sin(z) = = z minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered ,
(2 periodcentered k + 1)! 3! 5! 7!
k=0infinity k 2periodcentered k 2 4 6
summationdisplay (minus 1) periodcentered z z z z
cos(z) = = 1 minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered .
(2 periodcentered k)! 2! 4! 6!
k=0
Beweis: Es ist zu zeigen, dass die definierenden Reihen konvergieren. In der Tat konvergieren sie absolut, was analog zu Beispiel 3.24 aus dem Quotienten-
kriterium folgt. Fur die sin-Reihe:
dieresis
vextendsingle vextendsingle
k+1 2periodcentered k+3 2
(minus 1) periodcentered z /(2 periodcentered k + 3)! |z| periodcentered (2 periodcentered k + 1)!
vextendsingle vextendsingle =
vextendsingle vextendsingle
k 2periodcentered k+1
(minus 1) periodcentered z /(2 periodcentered k + 1)! (2 periodcentered k + 3)!
2 2
|z| |z| 1
= lessequal lessequal
2
(2 periodcentered k + 2) periodcentered (2 periodcentered k + 3) 4 periodcentered k 4
fur k greaterequal |z|. Die Konvergenz der cos-Reihe folgt analog.
dieresis
Q.E.D. Das folgende Zusammenhang ist eine der wichtigsten Formeln uberhaupt fur dieresis dieresis
exp, sin und cos:
Satz 5.11: (Die Euler-Formel)
Fur jedes z element C gilt folgende Beziehung zwischen der Exponentialfunktion
dieresis
und den trigonometrischen Funktionen:
iperiodcentered z
e = cos(z) + i periodcentered sin(z).
iperiodcentered x iperiodcentered x
Fur x element R folgt cos(x) = Rfractur (e ), sin(x) = Ifractur (e ).
dieresis
Beweis:
cos(z) + i periodcentered sin(z)
2 4
z z
= 1 minus + plusminus periodcentered periodcentered periodcentered
2! 4!
3 5
i periodcentered z i periodcentered z
+ i periodcentered z minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered
3! 5!
2 3 4 5
(i periodcentered z) (i periodcentered z) (i periodcentered z) (i periodcentered z)
= 1 + i periodcentered z + + + + + periodcentered periodcentered periodcentered .
2! 3! 4! 5!
Q.E.D.
82 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN
Satz 5.12: iperiodcentered z minus iperiodcentered z iperiodcentered z minus iperiodcentered z
e minus e e + e
Fur jedes z element C gilt sin(z) = , cos(z) = .
dieresis 2 periodcentered i 2
Beweis:
iperiodcentered z minus iperiodcentered z
e plusminus e = cos(z) + i periodcentered sin(z) plusminus cos(minus z) plusminus i periodcentered sin(minus z)
braceleftBigg 2 periodcentered cos(z) fur +,
dieresis
= cos(z) + i periodcentered sin(z) plusminus cos(z) minusplus i periodcentered sin(z) = 2 periodcentered i periodcentered sin(z) fur minus .
dieresis
Q.E.D.
Satz 5.13: (Stetigkeit der trigonometrischen Funktion)
Die trigonometrischen Funktionen sin und cos sind auf C stetig.
Beweis: Da die Exponentialfunktion auf C stetig ist, folgt dies uber die Redieresis
chenregeln 4.7 fur Stetigkeit aus den Darstellungen in Satz 5.12.
dieresis
Q.E.D.
Satz 5.14: (Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen)
Fur beliebiges z , z element C gilt:
dieresis 1 2
sin(z + z ) = sin(z ) periodcentered cos(z ) + cos(z ) periodcentered sin(z ),
1 2 1 2 1 2
cos(z + z ) = cos(z ) periodcentered cos(z ) minus sin(z ) periodcentered sin(z ).
1 2 1 2 1 2
iperiodcentered x iperiodcentered x
Beweis: Fur z , z element R sind wegen cos(x) = Rfractur (e ), sin(x) = Ifractur (e ) die dieresis 1 2
Additionstheoreme nichts Anderes als die Funktionalgleichung fur exp:
dieresis
iperiodcentered (z +z ) iperiodcentered z iperiodcentered z
1 2 1 2
cos(z + z ) = Rfractur (e ) = Rfractur (e periodcentered e )
1 2
parenleftBig parenrightBig
= Rfractur (cos(z ) + i periodcentered sin(z )) periodcentered (cos(z ) + i periodcentered sin(z ))
1 1 2 2
= cos(z ) periodcentered cos(z ) minus sin(z ) periodcentered sin(z ).
1 2 1 2
Das Additiontheorem fur den reellen Sinus folgt analog uber sin(z + z ) = dieresis dieresis 1 2
iperiodcentered (z +z )
1 2
Ifractur (e ).
Fur beliebiges z , z element C nehme man die Darstellung aus Satz 5.12, um die dieresis 1 2 iperiodcentered (z +z ) iperiodcentered z iperiodcentered z
1 2 1 2
Additionstheoreme auf e = e periodcentered e zuruckzufuhren.
dieresis dieresis
Q.E.D.
13.6.02arrowdown
Satz 5.15: (Symmetrien der trigonometrischen Funktionen)
Fur beliebiges z element C gilt: sin(minus z) = minus sin(z), cos(minus z) = cos(z).
dieresis
2periodcentered k+1 2periodcentered k+1
Beweis: Die Sinus-Reihe enthalt nur ungerade Potenzen: (minus z) = minus z . dieresis 2periodcentered k 2periodcentered k
Die Cosinus-Reihe enthalt nur gerade Potenzen: (minus z) = z .
dieresis
Q.E.D.
Satz 5.16: (Der Satz des Pythagoras)
2 2
Fur jedes z element C gilt: sin (z) + cos (z) = 1 .
dieresis
Beweis: Dies ist das Additionstheorem des Cosinus fur z = z, z = minus z zusamdieresis
1 2
men mit cos(0) = 1:
2 2
1 = cos(z minus z) = cos(z) periodcentered cos(minus z) minus sin(z) periodcentered sin(minus z) = cos (z) + sin (z).
Q.E.D. Wir brauchen die Kreiszahl pi . Da wir hier keine Geometrie treiben und pi uber dieresis das Verhaltnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser einfuhren konnen, mussen dieresis dieresis dieresis dieresis
wir pi anders definieren:
Satz und Definition 5.17:
Auf der positiven reellen Achse besitzt der Cosinus mindestens eine Null-
stelle. Sei x = inf {x element R; cos(x) = 0; x > 0} die kleinste positive
1
Nullstelle des Cosinus. Definiere pi = 2 periodcentered x approxequal 3.1415... .
1
2 4
x x
Beweis: Die Summanden der Cosinus-Reihe cos(x) = 1 minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered haben
2 4!
wechselnde Vorzeichen. Fur kleines |x| sind die Summanden monoton fallend. dieresis 2x
Damit gilt cos(x) = 1 minus + f(x), wobei speziell fur |x| lessequal 2 gilt:
dieresis
2
4 6 4
x x x
0 lessequal f(x) = minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered lessequal .
4! 6! 4!
Es folgt 1 1
cos(1) = 1 minus + f(1), 0 lessequal f(1) lessequal ,
2! 24
4 16
cos(2) = 1 minus + f(2), 0 lessequal f(2) lessequal ,
2! 24
also 1 1 4 16 1
cos(1) greaterequal 1 minus = > 0, cos(2) lessequal 1 minus + = minus < 0.
2 2 2 24 3
Der Zwischenwertsatz 4.19 fur stetige Funktionen garantiert (mindestens) eine dieresis Nullstelle im Intervall (1, 2). Damit ist die Menge {x element R; cos(x) = 0; x > 0}
nicht leer und besitzt ein Infimum.
Q.E.D.
-1-0.5 xx0 PI/2 PI 3*PI/2 2*PI00.5yy 1 cos(x), sin(x)
84 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN
dieresis Uber die Additionstheoreme und Pythagoras folgt nun eine Vielzahl von spezi-
ellen Resultaten, z.B.:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
pi pi
sin(2 periodcentered x) = 2 periodcentered sin(x) periodcentered cos(x) arrowdblright sin(pi ) = 2 periodcentered sin periodcentered cos = 0,
2 2
2 2 2
cos(2 periodcentered x) = cos (x) minus sin (x) = 2 periodcentered cos (x) minus 1
parenleftBig parenrightBig
pi
2
arrowdblright cos(pi ) = 2 periodcentered cos minus 1 = minus 1,
2
sin(x + pi ) = sin(x) periodcentered cos(pi ) + cos(x) periodcentered sin(pi ) = minus sin(x),
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
minus 1 0
bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright
cos(x + pi ) = cos(x) periodcentered cos(pi ) minus sin(x) periodcentered sin(pi ) = minus cos(x)
etc. Hieraus folgt dann weiterhin die Periodizitatdieresis
sin(x + 2 periodcentered pi ) = sin(x), cos(y + 2 periodcentered pi ) = cos(x).
Die Einzelergebnisse aus Satz 5.11 bis Satz 5.16 werden zusammengefaßt:
Merke 5.18:
Graphisch:
>> plotfunc2d(cos(x), sin(x), x=0..2*PI,
Ticks = [[0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI",
3*PI/2 = "3*PI/2", 2*PI = "2*PI"],
[-1, -1/2, 0, 1/2, 1]])
Einige spezielle Werte:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
pi 3 periodcentered pi
sin(0) = 0 , sin = 1, sin(pi ) = 0, sin = minus 1,
2 2
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
pi 3 periodcentered pi
cos(0) = 1, cos = 0, cos(pi ) = minus 1, cos = 0 .
2 2
Periodizitat (man braucht die Funktionen nur auf [0, 2 periodcentered pi ) zu kennen):
dieresis
sin(x + 2 periodcentered pi ) = sin(x), cos(y + 2 periodcentered pi ) = cos(x).
Additionstheoreme:
sin(x + y) = sin(x) periodcentered cos(y) + cos(x) periodcentered sin(y),
cos(x + y) = cos(x) periodcentered cos(y) minus sin(x) periodcentered sin(y).
Symmetrieeigenschaften:
sin(minus x) = minus sin(x), cos(minus x) = cos(x).
2 2
Pythagoras: sin (x) + cos (x) = 1.
iperiodcentered x
Euler-Formel: e = cos(x) + i periodcentered sin(x).
Bemerkung 5.19: Vielleicht ist man aus der Schule noch gewohnt, die Argu-
0 o
mente der trigonometrischen Funktion in Winkelgraden alpha = 0 , . . . , 360 anzugeben.
Mathematiker nehmen statt des Winkels alpha die zugehorige Bogenlange x
dieresis dieresis
auf dem Einheitskreis (Einheit: Radian"), der Zusammenhang ist
quotedblright
pi
x = periodcentered alpha ,
180
x
a54 a1
a36
1
pi
o o o bracerightbig
a1
d.h., 90 =hatwide , 180 =hatwide pi , 360 =hatwide 2 periodcentered pi : a1
2 a0 sin(x)
alpha
a0 a45
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
cos(x)
5.3 Die komplexe Exponentialfunktion, Polardar-
stellungen
In der Geometrischen Interpretation 1.8 der komplexen Zahlen
i periodcentered y C
a54 a115 z = x+ i periodcentered y
a8
a8
a8
a8
a8
|z| a8
a8 Ifractur (z) = |z| periodcentered sin(phi1 )
a8
a8
a8
a8
a8 phi1
a8 a45 x
Rfractur (z) = |z| periodcentered cos(phi1 )
war die Polardarstellung
parenleftBig parenrightBig
z = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered sin(phi1 ) , phi1 element [0, 2 periodcentered pi )
komplexer Zahlen eingefuhrt worden. Mit der Euler-Formel 5.11 ergibt sich die dieresis
kompakte Polardarstellung:
86 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN
iperiodcentered phi1
z = |z| periodcentered e , phi1 element [0, 2 periodcentered pi ).
Man beachte, dass Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 periodcentered pi be-
stimmt ist (Periodizitat von Sinus und Cosinus):
dieresis
iperiodcentered (phi1 +kperiodcentered 2periodcentered pi ) iperiodcentered phi1 iperiodcentered kperiodcentered 2periodcentered pi iperiodcentered phi1 iperiodcentered 2periodcentered pi k iperiodcentered phi1
e = e periodcentered e = e periodcentered (e ) = e fur alle k element Z.
dieresis
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
1
Wir vereinbaren, dass unsere Polarwinkel im Intervall [0, 2 periodcentered pi ) liegen.
Geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation 5.20:
1 1
iperiodcentered phi1 iperiodcentered phi1 minus iperiodcentered phi1
1 2 2
Mit z = |z | periodcentered e , z = |z | periodcentered e , = periodcentered e gilt
1 1 2 2 z |z |
2 2
z |z |
1 1
iperiodcentered (phi1 +phi1 ) iperiodcentered (phi1 minus phi1 )
1 2 1 2
z periodcentered z = |z | periodcentered |z | periodcentered e , = periodcentered e .
1 2 1 2 z |z |
2 2
Also: die Multiplikation mit einer Zahl mit dem Polarwinkel phi1 dreht einen komplexen Vektor um den Winkel phi1 gegen den Uhrzeigersinn, die Division durch diese Zahl dreht den Vektor um den Winkel phi1 im Uhrzeigersinn.
o
Multiplikation mit i bzw. Division durch i dreht speziell um 90 . Das ist
leicht zu merken:
Ein Mathematiker ruft an und hort: Die gewahlte Nummer ist
dieresis dieresis
quotedblright o
imaginar. Bitte drehen Sie ihren Apparat um 90 !"
dieresis
iperiodcentered phi1
Bemerkung 5.21: Fur Potenzen von z = |z| periodcentered e folgt
dieresis
n n iperiodcentered nperiodcentered phi1
z = |z| periodcentered e .
Damit sind wir nun in der Lage, komplexe Wurzeln zu berechnen. Die Aufgabe
n
sei: finde alle Losungen von z = a.
dieresis
iperiodcentered alpha
Schritt 1: Stelle a in Polarkoordinaten dar: a = |a| periodcentered e mit alpha element [0, 2 periodcentered pi ).
iperiodcentered phi1
Schritt 2: Ansatz fur die Wurzeln: z = r periodcentered e mit phi1 element [0, 2 periodcentered pi ). Vergleiche
dieresis
n n iperiodcentered nperiodcentered phi1 iperiodcentered alpha
z = r periodcentered e = |a| periodcentered e .
radicalbig n
n
Vergleich der Betrage ergibt die reelle Gleichung r = |a|, d.h. r = |a|. (Dies
dieresis
ist eine reelle Wurzel, deren Bedeutung klar ist.) Es verbleibt, den Polarwinkel
phi1 der komplexen Wurzeln aus der verbleibenden Gleichung
iperiodcentered nperiodcentered phi1 iperiodcentered alpha
e = e
zu bestimmen. Da Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 periodcentered pi be-
stimmt sind, folgt nicht n periodcentered phi1 = alpha , sondern (mit phi1 statt phi1 ):
k
n periodcentered phi1 = alpha + k periodcentered 2 periodcentered pi , k element Z,
k
also alpha k
phi1 = + periodcentered 2 periodcentered pi , k element Z.
k n n
Hierbei brauchen nur die n Werte k = 0, 1, . . . , n minus 1 betrachtet zu werden, furdieresis
die phi1 element [0, 2 periodcentered pi ) gilt (sofern alpha element [0, 2 periodcentered pi ) gilt). Alle anderen Winkel phi1 liegen
k k
außerhalb von [0, 2 periodcentered pi ) und stimmen bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von
2 periodcentered pi mit einem dieser Basiswinkel" phi1 , . . . , phi1 uberein.
dieresis
0 nminus 1
quotedblright
n iperiodcentered alpha
Schritt 3: Ergebnis: die n verschiedenen Losungen von z = a = |a| periodcentered e sind: dieresis
parenleftBig parenrightBig
radicalbig radicalbig
n n
iperiodcentered phi1 k
z = |a| periodcentered e = |a| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered sin(phi1 )
k k k
mit
alpha + k periodcentered 2 periodcentered pi
phi1 = , k = 0, 1, . . . , n minus 1.
k n
Geometrisch: die Wurzeln liegen alle gleichmaßig auf dem Kreis mit dem Radieresis
radicalbig n
dius |a| verteilt:
i periodcentered y
a54 iperiodcentered alpha
z C a114 a = |a| periodcentered e
2
z3 a34
a114 a34
a114 a34
a3 a34
a76 a76 a3 z1
a114 a34
a76 a3 a34
a26
a26
a114 a34
a76 a3 a26
a81 a34
a81 2pi a26 a34
2pi
a81 a76 a3
2pi radicalbig alpha
n a26 2pi iperiodcentered
n
a81 n
n a114 n
a40
a76 a3 a40 z = |a| periodcentered e
a40 0
a34
a26
2pi a81 n a40
a34 a40
a40 alpha /n
a40
a81 a76 a40 a34 a3 a26 a45
n 2pi
a40
a40 a80
a40
a40 a80
a35
a40 n x
a40 a2 a83 a69 a80
a114 2pi
a40 a80
2pi
a35 a80
n a2 a69 a83 a80
2pi a114
a80
n
a35 2pi
2pi z
n a2 a69 a83 nminus 1
a35 n
n
a35 a2 a69 a83
a114 a35 a2 a69 a83 a83 a114
a2 a69
a114 a2 z
a69 a114 nminus 2
n iperiodcentered 0
Beispiel 5.22: Die n-ten Einheitswurzeln" der Gleichung z = 1 = 1 periodcentered e sind
quotedblright
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
k periodcentered 2 periodcentered pi k periodcentered 2 periodcentered pi
z = cos + i periodcentered sin , k = 0, 1, . . . , n minus 1.
k n n
Z.B. fur n = 4;
dieresis
bracelefttp 1 fur k = 0,
dieresis
braceex braceex braceleftmid
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
k periodcentered pi k periodcentered pi i fur k = 1,
dieresis
z = cos + i periodcentered sin =
k minus 1 fur k = 2,
dieresis
braceex
2 2 braceex braceleftbt minus i fur k = 3.
dieresis
88 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN
Fur n = 6:
dieresis
bracelefttp 1 fur k = 0,
dieresis
braceex radical
braceex braceex 1+iperiodcentered 3
braceex braceex fur k = 1,
dieresis
braceex 2 radical
braceex braceleftmid
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig minus 1+iperiodcentered 3
k periodcentered pi k periodcentered pi fur k = 2,
dieresis
2
z = cos + i periodcentered sin =
k minus 1 fur k = 3,
dieresis
braceex
3 3 braceex radical
braceex braceex minus 1minus iperiodcentered 3
braceex fur k = 4,
dieresis
braceex 2radical
braceex braceleftbt 1minus iperiodcentered 3 fur k = 5.
dieresis
2
Beispiel 5.23: In Beispiel 1.24 hatten wir fur Potenzen von
dieresis
parenleftBigg parenrightBigg
1
1 minus 2
A = 2 1
gefunden:
parenlefttp parenrighttp
1 1 i i
n n n n
periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) minus periodcentered (1 minus i)
2 2 4 4
n parenleftbt parenrightbt
A = .
1 1
n n n n
minus i periodcentered (1 + i) + i periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i)
2 2
n
Es fehlt noch eine einfache Darstellung von (1 plusminus i) , mit der (hoff entlich) ersichtlich
n dieresis
wird, dass A eine reelle Matrix ist. Uber die Polardarstellungen
radical pi
plusminus iperiodcentered 4
1 plusminus i = 2 periodcentered e
radical pi
ergibt sich mit |1 plusminus i| = 2 und den Polarwinkeln plusminus :4
parenleftBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenrightBig
pi pi pi
n n/2 plusminus nperiodcentered iperiodcentered n/2
4
(1 plusminus i) = 2 periodcentered e = 2 periodcentered cos n periodcentered plusminus i periodcentered sin n periodcentered .
4 4
Damit folgt
n 1 1 pi n n n/2
(A ) = periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) = 2 periodcentered cos(n periodcentered ),
11 2 2 4
n i i pi
n n n/2minus 1
(A ) = periodcentered (1 + i) minus periodcentered (1 minus i) = minus 2 periodcentered sin(n periodcentered ),
12 4 4 4
n pi
n n n/2+1
(A ) = minus i periodcentered (1 + i) + i periodcentered (1 minus i) = 2 periodcentered sin(n periodcentered ),
21 4
n 1 1 pi
n n n/2
(A ) = periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) = 2 periodcentered cos(n periodcentered ).
22 2 2 4
Insgesamt erhalten wir also in der Tat die in Beispiel 1.24 gefragte explizite (und nun
recht einfache) reelle Darstellung beliebiger Potenzen von A:
parenlefttp parenrighttp
n n
parenleftBigg parenrightBigg pi pi
minus 1
n
1 2 2
2 periodcentered cos(n periodcentered ) minus 2 periodcentered sin(n periodcentered )
1 minus 4 4
2 parenleftbt parenrightbt
n n
= .
pi pi
+1
2 2
2 periodcentered sin(n periodcentered ) 2 periodcentered cos(n periodcentered )
2 1 4 4
Kapitel 6
Diff erentialrechnung
6.1 Definitionen und Satze
dieresis arrowdown 20.6.02
dieresis
Im Prinzip konnten die meisten der folgenden Uberlegungen und Definitionen
dieresis dieresis
ohne große Anderungen fur komplexe Funktionen f : C arrowright C durchgefuhrt
dieresis dieresis
werden. Wir beschranken uns hier jedoch auf reelle Funktionen f : R arrowright R.
dieresis
Zunachst die Definition einer Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigun-
dieresis quotedblright
gen":
Definition 6.1: (Die Ableitung einer Funktion)
Eine Funktion f : D mapsto arrowright R heißt diff erenzierbar am Punkt x", wenn
quotedblright
der Grenzwert f(x + h) minus f(x)
prime f (x) := lim
harrowright 0 h
prime
existiert. Der Grenzwert f (x) heißt Ableitung von f am Punkt x".
quotedblright
Alternative Schreibweisen (mit y = f(x)):
dy d
prime prime
= y (x) = f(x) = f (x).
dx dx
Ist f an jedem Punkt x des Definitionsbereichs D diff erenzierbar, so heißt
prime prime
die Abbildung f : x mapsto arrowright f (x) Ableitungsfunktion" (kurz: Ablei-
quotedblright quotedblright
tung von f").
Bemerkung 6.2: Ist eine Funktion an einem Punkt diff erenzierbar, so ist sie
dort auch stetig:
f(x + h) minus f(x)
lim existiert arrowdblright f(x + h) minus f(x) = O(h)
harrowright 0 h
arrowdblright f(x + h) = f(x) + O(h) arrowdblright lim f(x + h) = f(x).
harrowright 0
Damit kann eine Funktion nur an Stetigkeitspunkten diff erenzierbar sein.
x x + h x + h x + h
90 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Geometrische Interpretation der Ableitung 6.3:
Fur kleines Delta x = h =negationslash 0 ist der Diff erenzenquotient"
dieresis quotedblright
Delta f f(x + Delta x) minus f(x) f(x + h) minus f(x) prime
= = approxequal f (x)
Delta x (x + h) minus x h
die Sekantensteigung vom Punkt (x, f(x)) zum Punkt (x + h, f(x + h))
auf dem Graphen von x:
prime
Die Ableitung f (x) selbst, d.h., der Grenzwert der Sekantensteigung
fur Delta x = h arrowright 0, ist die Steigung der Tandieresis
gente an den Graphen von f am Punkt x.
Zur Erinnerung an die Schule: die Tangente T durch den Punkt (x , f(x )) mit
0 0
prime
der Steigung f (x ) ist der Graph der linearen Funktion
0
prime
T (x) = f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ).
0 0 0
Interpretation der Ableitung 6.4:
Die Ableitung gibt an, wie stark sich f(x) andert, wenn sich x um einen
dieresis
kleinen Wert Delta x andert:
dieresis
f(x + Delta x) minus f(x) prime
approxequal f (x),
Delta x
d.h.
prime
f(x + Delta x) approxequal f(x) + f (x) periodcentered Delta x .
dieresis
6.1. DEFINITIONEN UND SATZE 91 Die Definition der Ableitung uber den Grenzwert von Sekantensteigungen ist dieresis
praktisch unnutz, da nur in den allereinfachsten Fallen handhabbar, z.B., bei:
dieresis dieresis
2
Beispiel 6.5: Betrachte f(x) = x :
2 2
f(x + h) minus f(x) (x + h) minus x
prime f (x) = lim = lim
harrowright 0 harrowright 0
h h
2 2 2 2
x + 2 periodcentered x periodcentered h + h minus x 2 periodcentered x periodcentered h + h
= lim = lim = lim (2 periodcentered x + h) = 2 periodcentered x.
harrowright 0 harrowright 0 harrowright 0
h h
Fur das praktische Rechnen verlaßt man sich wiederum auf Rechenregeln:
dieresis dieresis
Satz 6.6: (Rechenregeln fur's Ableiten)
dieresis
Ableitungen einiger spezieller Funktionen (sei hierbei c eine konstante
Zahl):
d d d d 1
n nminus 1 x x
c = 0, x = n periodcentered x , e = e , ln(x) = ,
dx dx dx dx x
d d
sin(x) = cos(x), cos(x) = minus sin(x).
dx dx
Die Ableitung einer aus einfachen Funktionen zusammengesetzten Funk-
tion ist uber folgende Regeln zu berechnen. Seien f und g diff erenzierbare
dieresis
Funktionen. Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion (f + g, f periodcentered g
etc.) existiert jeweils, wenn f und g ableitbar sind:
d prime
* c periodcentered f(x) = c periodcentered f (x),
dx parenleftBig parenrightBig
d prime prime
* f(x) + g(x) = f (x) + g (x) ( Summenregel"),
quotedblright
dx
d prime prime
* f(x) periodcentered g(x) = f (x) periodcentered g(x) + f(x) periodcentered g (x) ( Produktregel")
quotedblright
dx prime prime
d f(x) f (x) periodcentered g(x) minus f(x) periodcentered g (x)
* = ( Quotientenregel").
2 quotedblright
dx g(x) g(x)
Bei der Quotientenregel wird g(x) negationslash = 0 vorausgesetzt (sonst teilt man
durch 0).
n x dieresis
Beweis: Die Ableitung von x , e , sin(x), cos(x) wird in Ubungsaufgaben behandelt.
Die Ableitung von ln(x) wird spater in Beispiel 6.18 hergeleitet. Die
dieresis
prime prime prime prime prime
Linearitat (c periodcentered f) = c periodcentered f und (f + g) = f + g folgt unmittelbar aus den Redieresis chenregeln fur Grenzwerte von Funktionen. Die Produktregel ergibt sich durch dieresis
den Grenzwert von
f(x + h) periodcentered g(x + h) minus f(x) periodcentered g(x)
h
92 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
f(x + h) minus f(x) g(x + h) minus g(x)
= periodcentered g(x + h) + f(x) periodcentered
h h
fur h arrowright 0. Die Ableitung von 1/g(x) ergibt sich aus
dieresis
1 1
minus g(x + h) minus g(x) 1
g(x+h) g(x) = minus periodcentered
h h g(x + h) periodcentered g(x)
zu parenleftBig parenrightBig prime
prime
1 g (x)
= minus .2
g(x) g(x)
Zusammen mit der Produktregel liefert dies die Quotientenregel
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig prime prime
prime prime
f(x) 1 f (x) g (x)
= f(x) periodcentered = minus f(x) periodcentered .2
g(x) g(x) g(x) g(x)
Q.E.D.
Beispiel 6.7:
radical
d d 1 1 1 1 2 1 1 1 1
minus 1 minus
3 3 3 3 radical
x = x = periodcentered x = periodcentered x = periodcentered = periodcentered .
2 3 2
dx dx 3 3 3 3
3x x
Beispiel 6.8: Summen- und Produktregel:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d
2 x 2 x
x + x periodcentered e = x + x periodcentered e
dx dx dx
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d
2 x 2 x x 2 x
= x + x periodcentered e + x periodcentered e = 1 + 2 periodcentered x periodcentered e + x periodcentered e .
dx dx dx
Beispiel 6.9: Quotientenregel:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d
x x
x e periodcentered x minus e periodcentered x x x x x
dx dx
d e e periodcentered xminus e periodcentered 1 e e
= = = minus .
2 2 2
dx x x x x x
dieresis
6.1. DEFINITIONEN UND SATZE 93
Beispiel 6.10:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d
x x
x (cos(x) periodcentered e ) periodcentered x minus cos(x) periodcentered e periodcentered x
dx dx
d cos(x) periodcentered e = 2
dx x x
parenleftBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d
x x x
cos(x) periodcentered e + cos(x) periodcentered e periodcentered x minus cos(x) periodcentered e periodcentered x
dx dx dx
= 2x
parenleftBig parenrightBig
x x x
minus sin(x) periodcentered e + cos(x) periodcentered e periodcentered x minus cos(x) periodcentered e periodcentered 1
= 2x
x x x
minus sin(x) periodcentered e periodcentered x + cos(x) periodcentered e periodcentered x minus cos(x) periodcentered e
= 2x
x x x
sin(x) periodcentered e cos(x) periodcentered e cos(x) periodcentered e
= minus + minus .
2
x x x
Beispiel 6.11: Bequemer geht's mit MuPAD. Die Funktion diff ist fur's Diff erenzieren
dieresis
von Ausdrucken zustandig:
dieresis dieresis
>> diff(cos(x)*exp(x)/x, x)
cos(x) exp(x) cos(x) exp(x) sin(x) exp(x) ------------- - ------------- - -------------
x 2 x
x
(Vergleiche mit Beispiel 6.10.) Alternativ konnen Funktionen (aber keine Ausdrucke)
dieresis dieresis
prime
mittels diff erenziert werden:
>> f:= x -> cos(x)*exp(x)/x:
>> f'(x)
cos(x) exp(x) cos(x) exp(x) sin(x) exp(x) ------------- - ------------- - -------------
x 2 x
x
So setzt man konkrete Werte in die Ableitung ein:
>> f'(1), f'(2)
cos(2) exp(2) sin(2) exp(2)
-sin(1) exp(1), ------------- - -------------
4 2
94 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
>> f'(PI) = float(f'(PI))
exp(PI) exp(PI)
------- - ------- = -5.02126887
2 PI
PI
21.6.02arrowdown Wie steht's mit der Ableitung von Hintereinanderschaltungen" ( Komposi-
radical quotedblright
quotedblright
tion") von Funktionen wie z.B. sin( x )?
Satz 6.12: (Die Kettenregel)
Sei g : D mapsto arrowright D propersubset R diff erenzierbar am Punkt x element D . Sei f : D mapsto arrowright
g g
f f
R diff erenzierbar am Punkt g(x) element D . Dann ist die Funktion h(x) =
f
f(g(x)) diff erenzierbar am Punkt x, und es gilt:
d d prime prime
h(x) = f(g(x)) = f (g(x)) periodcentered g (x) .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
dx dx
innere
außere
dieresis quotedblright
quotedblright Ableitung"
Ableitung"
Als Merkregel fur y = g(x), z = f(y) = f(g(x)):
dieresis
d dz dz dy prime prime
f(g(x)) = = periodcentered = f (y) periodcentered g (x).
dx dx dy dx
Beweis: Es gilt
f(g(x + h)) minus f(g(x))
h
parenleftBig parenrightBig
g(x+h)minus g(x)
f g(x) + h periodcentered minus f(g(x))
h g(x + h) minus g(x)
= periodcentered .
g(x+h)minus g(x) h
h periodcentered h
g(x+h)minus g(x) g(x+h)minus g(x)
prime
Fur h arrowright 0 konvergiert gegen g (x) und k := h periodcentered gegen 0: dieresis h h
parenleftBig parenrightBig
g(x+h)minus g(x)
f g(x) + h periodcentered minus f(g(x))
h
lim g(x+h)minus g(x)
harrowright 0 h periodcentered h
f(g(x) + k) minus f(g(x)) prime
= lim = f (g(x)).
karrowright 0 k
Q.E.D.
dieresis
6.1. DEFINITIONEN UND SATZE 95
radical
Beispiel 6.13: Fur g(x) = x gilt
dieresis
d 1 1 1 1 1 1 1
prime minus 1
2 2 radical
g (x) = x = periodcentered x = periodcentered = periodcentered .
1
dx 2 2 2 x
2x
prime
Zusammen mit f(y) = sin(y), f (y) = cos(y) folgt:
radical
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
radical radical
d d d 1 1 cos( x )
radical radical
sin( x ) = sin(y) periodcentered x = cos(y) periodcentered periodcentered = .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
dx dy dx 2 x 2 periodcentered x
y
Definition 6.14: (Hohere Ableitungun)
dieresis
prime
Die Funktion f sei diff erenzierbar, sei f die Ableitungsfunktion. Ist die-
prime prime prime prime
se wiederum diff erenzierbar, so heißt f = (f ) die zweite Ableitung
quotedblright prime prime prime prime prime prime
von f". Ist diese wiederum diff erenzierbar, so heißt f = (f ) die drit-
quotedblright
te Ableitung von f". Usw. Schreibweisen fur die n-te Ableitung einer
dieresis
Funktion f : n
bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright
nd (n) prime prime periodcentered periodcentered periodcentered prime prime
f(x) = f (x) = f (x).
n
dx
(0)
Die nullte" Ableitung f ist die Funktion f selbst. Ist die n-te Ableitung
quotedblright (n)
f eine stetige Funktion in x, so heißt f n-fach stetig diff erenzier-
quotedblright
bar".
prime prime prime prime prime prime
Beispiel 6.15: Off ensichtlich gilt exp = exp = exp = exp etc. Die 4-te Ableitung
der trigonometrischen Funktionen ist jeweils wieder die Ausgangsfunktion:
2
d d
sin(x) = cos(x), sin(x) = minus sin(x),
2
dx dx
3 4
d d
sin(x) = minus cos(x), sin(x) = sin(x),
3 4
dx dx
2
d d
cos(x) = minus sin(x) , cos(x) = minus cos(x),
2
dx dx
3 4
d d
cos(x) = sin(x), cos(x) = cos(x).
3 4
dx dx
96 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Beispiel 6.16: Hohere Ableitungen in MuPAD:
dieresis
>> diff(exp(x^2), x, x) // zweite Ableitung
2 2 2
2 exp(x ) + 4 x exp(x )
>> n := 6:
>> diff(exp(x^2), x $ n) // n-te Ableitung
2 2 2 4 2 6 2
120 exp(x ) + 720 x exp(x ) + 480 x exp(x ) + 64 x exp(x )
Mit der Funktion subs (engl.: substitute = ersetze; gemeint ist: ersetze x durch einen Wert) kann man konkrete Werte in Ausdrucke einsetzen. Berechne den Wert der 50-ten
dieresis
2 x
Ableitung von sin(x ) e an der Stelle x = 0:
>> diff(sin(x^2)*exp(x), x $ 50):
>> subs(\%, x = 0)
- 32812427642492524028780884258717885804750 cos(0) exp(0) -
9681156701774438433479738001098392167599 sin(0) exp(0)
Hier kommt eine Besonderheit von subs zutage: der ersetzte Ausdruck wird nicht sofort
ausgewertet". D.h. in diesem Fall, dass die Vereinfachungen cos(0) = 1, exp(0) = quotedblright 1, sin(0) = 0 nicht automatisch geschehen. Die Funktion eval (engl.: evaluate = werte
aus) erzwingt die Evaluation:
>> eval(\%)
-32812427642492524028780884258717885804750
Kennt man die Ableitung einer invertierbaren Funktion f , so kennt man auch
minus 1
die Ableitung der Umkehrabbildung f . Es gilt
minus 1
f (f(y)) = y.
Leitet man beide Seiten der Gleichung nach y ab, so liefert die Kettenregel
d 1
minus 1prime prime minus 1prime
f (f(y)) periodcentered f (y) = y = 1 =arrowdblright f (f(y)) = .
prime
dy f (y)
Satz 6.17: (Ableitung der Inversen)
minus 1
Sei f diff erenzierbar und invertierbar, sei f die Umkehrfunktion. Ist
prime minus 1
f (y) =negationslash 0, so ist f an der Stelle x = f(y) diff erenzierbar, und es gilt
1 1
minus 1 prime
(f ) (x) = = .
prime prime minus 1
f (y) f (f (x))
dy 1 1
minus 1 prime
minus 1
Merkregel: mit y = f (x), x = f(y): (f ) (x) = = = .
dx prime
dx f (y)
dy
minus 1 prime
Beispiel 6.18: Fur f = ln als Umkehrfunktion der Funktion f = exp mit f = exp dieresis
folgt mit x = exp(y), y = ln(x):
d 1 1 1 1
ln(x) = = = = .
prime
dx f (y) exp(y) exp(ln(x) x
Hierbei ist x > 0 vorausgesetzt (damit ln(x) definiert ist). Fur x < 0 gilt
dieresis
d d 1 1
prime
ln(minus x) = ln (minus x) periodcentered (minus x) = periodcentered (minus 1) = .
dx dx minus x x
Fur x > 0 ist |x| = x, fur x < 0 ist |x| = minus x. Zusammengefaßt gilt damit:
dieresis dieresis
d 1
ln(|x|) = fur alle x =negationslash 0.
dieresis
dx x
An der Stelle x = 0 ist ln(|x|) unstetig und damit erst recht nicht diff erenzierbar.
6.2 Der Mittelwertsatz
Satz 6.19: (Der Satz von Rolle)
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R diff erenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Es gelte f(a) =
prime
f(b). Dann gibt es ein xi element (a, b) mit f (xi ) = 0.
Beweis: O.b.d.A. sei f nicht konstant (sonst ist die Behauptung sicherlich richtig). Da f diff erenzierbar ist, ist f auch stetig. Nach Satz 4.22 gibt es ein Minimum oder ein Maximum xi von f im Inneren des Intervalls (liegen sowohl das Minimum als auch das Maximum am Rand, mußte die Funktion konstant sein). dieresis Sei o.B.d.A. xi ein Maximum (sonst betrachte minus f ). Mit f(xi +h) lessequal f(xi ) fur jedes dieresis
h folgt fur die einseitigen Grenzwerte
dieresis
f(xi + h) minus f(xi ) f(xi + h) minus f(xi )
lim lessequal 0, lim greaterequal 0.
harrowright 0+0 harrowright 0minus 0
h h
f(xi + h) minus f(xi )
prime
Es folgt f (xi ) = lim = 0.
harrowright 0 h Q.E.D.
98 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Satz 6.20: (Der Mittelwertsatz)
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R diff erenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Dann gibt es ein
xi element (a, b) mit
f(a) minus f(b) prime
= f (xi ).
a minus b
xminus b
Beweis: Betrachte g(x) = f(x) minus (f(a) minus f(b)) periodcentered . Dies Funktion erfullt dieresis
aminus b
g(a) = g(b) = f(b). Nach Satz 6.19 existiert xi element (a, b) mit
f(a) minus f(b)
prime prime
g (xi ) = f (xi ) minus = 0.
a minus b
Q.E.D. entfalltarrowdown Bemerkung 6.21: Fur alle x, y in einem Intervall [a, b] gilt nach dem Mitteldieresis dieresis
wertsatz prime
|f(x) minus f(y)| = |f (xi )| periodcentered |x minus y|
mit einem Punkt xi zwischen x und y. Es folgt
prime
|f(x) minus f(y)| lessequal sup {|f (xi )|; xi element [a, b]} periodcentered |x minus y|
Hiermit ist gezeigt, dass
prime
k = sup {|f (xi )|; xi element [a, b]}
eine Kontraktionskonstante der Funktion f auf dem Intervall [a, b] ist (vergleiche
Bemerkung 2.43).
6.3 Taylorendash Reihen
ab hierarrowdown Betrachte folgende Funktion, die nur in einer kleinen Umgebung eines Punk-
prime prime prime
wiederarrowdown tes x bekannt ist (genauer: es sind f(x ), f (x ), f (x ) etc. bekannt). Man
0 0 0 0
interessiert sich fur den Funktionswert an einem Punkt x in der Nahe von x :
dieresis dieresis 0
behandeltarrowdown
27.6.02arrowdown
6.3. TAYLORendash REIHEN 99
In allereinfachster Naherung wurde man (fur x dicht bei x )
dieresis dieresis dieresis 0
f(x) approxequal f(x )0
setzen. Die nachstbessere Approximation besteht darin, der Tangente am Punkt dieresis
x zu folgen:
0 prime
f(x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ).
0 0 0
Im obigen Fall ist deutlich, dass der Funktionswert oberhalb der Tangente zu
prime prime
suchen ist (die Funktion ist gebogen": es gilt f (x ) > 0). Es bietet sich an, 0
quotedblright einen quadratischen Term hinzuzufugen, um eine bessere Approximation zu dieresis
erreichen: prime 2
f(x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ) + c periodcentered (x minus x ) .
0 0 0 0
Wie sollte die Konstante c gewahlt werden, wie geht es weiter?
dieresis
Voruberlegung zu Taylor-Polynomen 6.22:
dieresis
Zu einer mehrfach diff erenzierbaren Funktion f finde ein Polynom
n
T (x) = c + c periodcentered (x minus x ) + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered (x minus x ) ,
n 0 1 0 n 0
dass sich an einem Punkt x moglichst eng an den Graphen von f an-
dieresis
0 quotedblright
schmiegt". D.h., es soll gelten:
prime prime (n) (n)
f(x ) = T (x ), f (x ) = T (x ), . . . , f (x ) = T (x ).
0 n 0 0 0 0 0
n n
Hierdurch ist das Polynom eindeutig bestimmt als
prime prime (n)
f (x ) f (x )
0 0
prime 2 n
T (x) = f(x )+f (x )periodcentered (xminus x )+ periodcentered (xminus x ) +periodcentered periodcentered periodcentered + periodcentered (xminus x ) .
n 0 0 0 0 0
2! n!
T3(x) sin(x)T5(x)T1(x)
100 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Begrundung: Die k-te Ableitung von T an der Stelle x ist
dieresis n 0
(!)
(k) (k)
f (x ) = T (x )
0 0
n vextendsingle vextendsingle
0 1
= c periodcentered k! periodcentered (x minus x ) + c periodcentered (k + 1) periodcentered k periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ) + periodcentered periodcentered periodcentered = c periodcentered k!
vextendsingle
0 0
k k+1 k
x=x0
(k)
f (x )0
arrowdblright c = .
k k!
Definition 6.23: (Taylorendash Polynome und endash Reihen)
Sei f mehrfach am Punkt x diff erenzierbar. Das Polynom
0
n (k)
summationdisplay f (x )0 k
T (x) = periodcentered (x minus x )
n 0
k!
k=0
heißt Taylorendash Polynom" n-ten Grades von f am Entwicklungspunkt
quotedblright
x . Die unendliche Reihe
0
infinity (k)
summationdisplay f (x )0 k
T (x) = periodcentered (x minus x )0
k!
k=0
heißt Taylorendash Reihe" von f am Entwicklungspunkt x .0
quotedblright
Wozu Taylorendash Polynome? Taylorendash Polynome dienen dazu, komplizierte Funktionen in unmittelbarer Umgebung eines Punktes x durch einfache Funktionen,
0
namlich Polynome, zu approximieren. Dadurch kann man oft das Verhalten der dieresis
Funktion in der Nahe spezieller Punkte einfach studieren.
dieresis
Taylorendash Polynome nahern die Funktion an fur Werte x, die
dieresis dieresis
dicht beim Entwicklungspunkt x liegen: T (x) approxequal f(x). Je
0 n
hoher n und je kleiner der Abstand x minus x , um so besser ist
dieresis 0
die Approximation.
Hier eine Graphik einiger Taylorendash Polynome der Funktion f(x) = sin(x) um den
Punkt x = 0:
0
Eine erste Taylorendash Reihenberechnung:
x
Beispiel 6.24: Wir berechnen die Taylorendash Reihe von f(x) = e um x = 0. Wegen 0
prime prime prime x 0
0
f(x ) = f (x ) = f (x ) = periodcentered periodcentered periodcentered = e = e = 1 ist die Taylorendash Reihe
0 0 0
2
1 1 x
x 2
e = 1 + periodcentered (x minus 0) + periodcentered (x minus 0) + periodcentered periodcentered periodcentered = 1 + x + + periodcentered periodcentered periodcentered .
1! 2! 2
Die in Beispiel 3.24 vorgestellte Reihendarstellung der Exponentialfunktion ist also nichts anderes als die Taylorendash Entwicklung um den Nullpunkt. Das selbe gilt fur die
dieresis
Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen aus Definition 5.10: mit
prime prime prime (3) (4)
f(x) = sin(x), f (x) = cos(x), f (x) = minus sin(x), f (x) = minus cos(x), f (x) = sin(x)
folgt (0) (4) (8)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = 0,
(1) (5) (9)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = 1,
(2) (6) (10)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = 0,
(3) (7) (11)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = minus 1
infinity (k) 3 5
summationdisplay f (0) x x
k
arrowdblright sin(x) = periodcentered x = x minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered .
k! 3! 5!
k=0
Analog fur f(x) = cos(x):
dieresis
infinity (k) 2 4
summationdisplay f (0) x x
k
cos(x) = periodcentered x = 1 minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered .
k! 2! 4!
k=0
Nun eine Anwendung der Taylorendash Entwicklung:
Beispiel 6.25: (Vergleiche auch mit Beispiel 4.12) Betrachte die Funktion
bracelefttp 1 minus cos(x)
braceex braceex fur x negationslash = 0,
dieresis
braceleftmid 2x
f(x) = braceex 1
braceex braceleftbt fur x = 0.
dieresis
2
Wir behaupten, dass f auch an der Stelle x = 0 stetig ist. Wir approximieren cos(x)
durch die Taylorendash Entwicklung um den Punkt x = 0. Fur x negationslash = 0 gilt
dieresis
0
parenleftBig parenrightBig
2x 2
4 x 4
1 minus 1 minus + O(x ) 4
+O(x )
2
1 minus cos(x) 1 O(x ) 1 2
2
f(x) = = = = + = +O(x ).
2 2 2 2
x x x 2 x 2
parenleftBig parenrightBig
1 1
2
Hiermit ist nun klar: lim f(x) = lim + O(x ) = .
xarrowright 0 xarrowright 0 2 2
102 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Beispiel 6.26: In MuPAD ist die Funktion taylor dafur zustandig, den Beginn einer
dieresis dieresis
Taylorendash Entwicklung zu berechnen:
>> taylor(exp(x), x = 0)
2 3 4 5
x x x x 6
1 + x + -- + -- + -- + --- + O(x )
2 6 24 120
1
Die Taylorendash Entwicklung von f(x) = um x = 0 ist die geometrische Reihe aus
0
1minus x
Beispiel 3.3. Es werden 10 Terme berechnet:
>> taylor(1/(1 - x), x = 0, 10)
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 + x + x + x + x + x + x + x + x + x + O(x )
Der folgende Befehl berechnet eine Taylorendash Entwicklung um x = pi :
0
>> taylor(2 + sin(x)*cos(x), x = PI)
3 5
2 (x - PI) 2 (x - PI) 6
2 + (x - PI) - ----------- + ----------- + O((x - PI) )
3 15
radical 12
Beispiel 6.27: Betrachte f(x) = 1 minus 1 minus x = 1 minus (1 minus x) . Wie kann man Werte f(x) fur kleines x ohne technische Hilfsmittel ausrechnen? Zunachst die Berechnung
dieresis dieresis
der ersten Taylorendash Polynome. Als Entwicklungspunkt wahlen wir x = 0, da wir uns
dieresis 0
fur kleine Werte von x interessieren. Man braucht Ableitungen von f(x) am Entwick-
dieresis
lungspunkt x = 0:
0 12
f(x) = 1 minus (1 minus x) , f(0) = 0,
1
1 1
prime minus prime
2
f (x) = periodcentered (1 minus x) , f (0) = ,
2 2
3
1 1
prime prime minus prime prime
2
f (x) = periodcentered (1 minus x) , f (0) = ,
4 4
...
Hiermit folgt die Entwicklung
prime prime
radical f (0)
prime 2
f(x) = 1 minus 1 minus x approxequal f(0) + f (0) periodcentered (x minus x ) + periodcentered (x minus x ) + periodcentered periodcentered periodcentered
0 0
2!
2
x x
= 0 + + + periodcentered periodcentered periodcentered .
2 8
Nun ja, die Terme der Entwicklung sind in der Tat so alle berechenbar, aber das ist
ziemlich muhselig. Bequemer mit MuPAD:
dieresis
>> taylor(1 - sqrt(1 - x), x)
2 3 4 5
x x x 5 x 7 x 6
- + -- + -- + ---- + ---- + O(x )
2 8 16 128 256
Aus diesen Taylorendash Approximationen bekommt man z.B. fur x = 0.1:
dieresis
2 3
0.1 0.1 0.1
f(0.1) = + + + periodcentered periodcentered periodcentered
2 8 16
= 0.05
+ 0.00125
+ 0.0000625
+ periodcentered periodcentered periodcentered
= 0.05131...
Man sieht der Entwicklung geradezu an, dass die noch nicht berucksichtigten Terme der
dieresis
Entwicklung die angegebenen Dezimalstellen nicht mehr beeinflussen, d.h., die ersten 3
bis 4 Ziff ern sind korrekt. Probe mit MuPAD:
>> 1 - sqrt(0.9)
0.05131670195
Fur Taylorendash Polynome endlichen Grades ist es zumindestens intuitiv klar, dass dieresis sie eine Approximation der Funktion liefern, wenn nur x dicht genug beim Entwicklungspunkt x liegt. Es verbleibt jedoch zu klaren, ob die unendliche Reihe dieresis
0
gegen f(x) konvergiert (bzw., wie weit entfernt x von x liegen darf, damit f(x)
0
durch die Taylorendash Reihe dargestellt wird).
Satz 6.28: (Restgliedformel der Taylorendash Approximation)
Sei f(x) in einer Umgebung des Punktes x (n + 1)-fach stetig diff eren-
0
zierbar. Sei x aus dieser Umgebung. Dann existiert ein Punkt xi im off enen
Intervall zwischen x und x , so dass gilt:
0
n (k) (n+1)
summationdisplay f (x ) f (xi )
0 k n+1
f(x) = periodcentered (x minus x ) + periodcentered (x minus x ) .
0 0
k! (n+ 1)!
k=0 bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright Restglied"
Taylorendash Polynom vom Grad n quotedblright
Beweis: (fur technisch Interessierte) Wir halten x fest und fassen das Taylorendash dieresis
Polynom als Funktion des Entwicklungspunkts x auf:
0
n (k)
summationdisplay f (t) k
T (t) = periodcentered (x minus t) .
n k!
k=0
104 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Die Ableitung dieser Funktion ist eine Teleskopsumme:
n n
(k+1) (k)
summationdisplay summationdisplay
d f (t) f (t)
k kminus 1
T (t) = periodcentered (x minus t) minus periodcentered k periodcentered (x minus t)
n
dt k! k!
k=0 k=0
n n
(k+1) (k)
summationdisplay summationdisplay
f (t) f (t)
k kminus 1
= periodcentered (x minus t) minus periodcentered (x minus t)
k! (k minus 1)!
k=0 k=1
n nminus 1
(k+1) (k+1)
summationdisplay summationdisplay
f (t) f (t)
k k
= periodcentered (x minus t) minus periodcentered (x minus t)
k! k!
k=0 k=0
(n+1)
f (t) n
= periodcentered (x minus t) .
n!
Betrachte die Hilfsfunktion
n+1 n+1
g(t) = (x minus x ) periodcentered T (t) + (x minus t) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n n 0
mit festem x und x , fur die
dieresis
0
n+1 n+1
g(x ) = (x minus x ) periodcentered T (x ) + (x minus x ) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 0 n 0 0 n 0
n+1
= (x minus x ) periodcentered f(x),
0
n+1 n+1
g(x) = (x minus x ) periodcentered T (x) = (x minus x ) periodcentered f(x)
0 n 0
gilt, also g(x) = g(x ). Nach dem Satz von Rolle 6.19 gibt es ein xi im off enen
0
Intervall zwischen x und x , wo die Ableitung
0
d d
n+1 n
g(t) = (x minus x ) periodcentered T (t) minus (n + 1) periodcentered (x minus t) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n n 0
dt dt
(n+1)
f (t)
n+1 n n
= (x minus x ) periodcentered periodcentered (x minus t) minus (n + 1) periodcentered (x minus t) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n 0
n!
parenleftBig parenrightBig
(n+1)
f (t)
n n+1
= (x minus t) periodcentered (x minus x ) periodcentered minus (n + 1) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n 0
n!
verschwindet:
parenleftBig parenrightBig
(n+1)
f (xi )
n n+1
0 = (x minus xi ) periodcentered (x minus x ) periodcentered minus (n + 1) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n 0
n!
(n+1)
f (xi ) n+1
arrowdblright f(x) minus T (x ) = periodcentered (x minus x ) .
n 0 0
(n + 1)!
Q.E.D.
Interpretation 6.29:
28.6.02arrowdown
Das Restglied
n
(n+1) (k)
summationdisplay
f (xi ) f (x )0
n+1 k
periodcentered (x minus x ) = f(x) minus periodcentered (x minus x )
0 0
(n + 1)! k!
k=1
ist die Diff erenz zwischen der Funktion f(x) und dem n-ten Taylorendash Polynom um x . Die Funktion wird genau dann durch die unendliche
0
Taylorendash Reihe dargestellt, wenn das Restglied bei festem x, x fur n arrowright infinity dieresis
0
gegen 0 konvergiert. Sind z.B. alle Ableitungen von f beschrankt, so ist dieresis dies fur beliebiges x und x der Fall, denn n! wachst schneller gegeben dieresis dieresis
0
n
infinity als |x minus x | fur jeden Wert von |x minus x |. Dies erklart z.B., dass die dieresis dieresis
0 0
trigonometrischen Funktionen sin und cos, deren Ableitungen nur Werte in [minus 1, 1] annehmen, global durch ihre Taylorendash Reihen dargestellt werden
(wir haben sie in Definition 5.10 ja auch uber diese Reihen eingefuhrt).
dieresis dieresis
Beispiel 6.30: Wir betrachten die Taylorendash Entwicklung von f(x) = ln(1 + x) um den
Punkt x = 0:
0
1 1 2
prime prime prime (3)
f(x) = ln(1 + x), f (x) = , f (x) = minus , f (x) = ,
2 3
1 + x (1 + x) (1 + x)
kminus 1
(minus 1) periodcentered (k minus 1)!
(k)
. . . , f (x) = .
k
(1 + x)
(k) kminus 1
Mit f (0) = (minus 1) periodcentered (k minus 1)! folgt als Taylorendash Reihe
infinity infinity
(k) k 2 3
summationdisplay summationdisplay
f (0) x x x
k kminus 1
ln(1 + x) = periodcentered x = (minus 1) periodcentered = x minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered ,
k! k 2 3
k=0 k=1
die die Funktion darstellt, solange die Restglieder
(n+1) n n+1
f (xi ) (minus 1) periodcentered x
n+1
periodcentered x = n+1
(n + 1)! (1 + xi ) periodcentered (n + 1)
gegen 0 konvergieren. Dies ist fur positives x lessequal 1 mit 0 < xi < x lessequal 1 off ensichtlich der
dieresis
Fall: n+1 n+1
x x 1 narrowright infinity
lessequal lessequal minus arrowright 0.
n+1
(1 + xi ) periodcentered (n + 1) n + 1 n + 1
Speziell fur x = 1 ergibt sich der Wert der alternierenden harmonischen Reihe:
dieresis
1 1 1
ln(2) = 1 minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered .
2 3 4
1 1
Fur negatives x greaterequal minus gilt minus lessequal x < xi < 0:
dieresis 2 2
vextendsingle vextendsingle
n+1 n+1 n+1
x |x| (1/2) 1 narrowright infinity
vextendsingle vextendsingle = lessequal = minus arrowright 0,
vextendsingle vextendsingle
n+1 n+1 n+1
(1 + xi ) periodcentered (n + 1) (1 + xi ) periodcentered (n + 1) (1/2) periodcentered (n + 1) n + 1
106 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG d.h., auch hier konvergiert das Restglied gegen 0. Weiterhin konvergiert die Taylorendash
1
Reihe auch fur minus 1 < x < minus gegen ln(1 + x), was wir aus unserer Restgliedformel dieresis 2
allerdings nicht herausbekommen (es gibt alternative Restgliedformeln, die dieses Re-
sultat liefern). Zusammengefaßt:
2 3
x x
ln(1 + x) = x minus + plusminus periodcentered periodcentered periodcentered fur x element (minus 1, 1].
dieresis
2 3
Fur |x| > 1 sowie fur x = minus 1 divergiert die Taylorendash Reihe.
dieresis dieresis
6.4 Monotonie, Extremwerte
Eine der wichtigsten Anwendungen der Diff erentiation ist das Auffi nden von Extremwerten. Dazu stellen wir zunachst fest, dass Ableitungswerte (= Tandieresis gentensteigungen) auf ansteigendes oder abfallendes Verhalten der Funktion
hinweisen:
Satz 6.31: (Ableitungen weisen auf Monotonie hin)
prime prime
Sei f diff erenzierbar, die Ableitungsfunktion f sei stetig. Gilt f (x ) > 0,
0
so ist f auf einer Umgebung von x streng monoton steigend. Gilt
0
prime f (x ) < 0, so ist f auf einer Umgebung von x streng monoton fallend.
0 0
prime prime prime
Beweis: Da f stetig ist, gilt fur f (x ) > 0, dass f auch noch auf einer Umgedieresis 0
bung von x positiv ist. Fur x, y aus dieser Umgebung von x mit x < y liefert dieresis
0 0
der Mittelwertsatz 6.20
prime
f(y) minus f(x) = f (xi ) periodcentered (y minus x) > 0
mit einem Zwischenwert xi zwischen x und y. Damit ist f(x) monoton steigend
prime
auf einer Umgebung des Punktes x, auf der fur den Zwischenwert f (xi ) > 0 gilt. dieresis prime
Analog folgt, dass f(x) monoton fallend ist, wenn mit f (x ) < 0 die Ableitung
0
auf einer Umgebung von x negative Werte annimmt.
0
Q.E.D.
Intuitiv: mit der Interpretation der Ableitung 6.4 ist dies unmittelbar klar. Furdieresis
kleines Delta x gilt: prime
f(x + Delta x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered Delta x.
0 0 0
Extrema sind die Stellen, wo die Funktion auf der einen Seite" steigend, auf
quotedblright quotedblright
der anderen Seite" fallend ist:
6.4. MONOTONIE, EXTREMWERTE 107
Satz 6.32: (An Extremstellen verschwindet die Ableitung)
Sei f diff erenzierbar. Ist die Stelle x ein (lokales) Maximum oder Mini-
0
prime
mum, so gilt f (x ) = 0.
0
Man findet also alle Kandidaten fur Extremstellen einer Funktion f ,
dieresis
prime
indem man die Nullstellen von f sucht.
Beweis: Genau wie im Beweis des Satzes von Rolle 6.19.
Q.E.D.
2
Beispiel 6.33: Betrachte f(x) = 2 periodcentered x minus x :
d d (!)
2
f(x) = (2 periodcentered x minus x ) = 2 minus 2 periodcentered x = 0 =arrowdblright x = 1.
dx dx
Damit ist x = 1 der einzige Punkt, an dem (moglicherweise) ein Extremum vorliegen
dieresis
0
kann.
prime
Es gibt allerdings Stellen x mit f (x ) = 0, die keine Extremstellen (sondern
0 0 3
sogenannte Sattelpunkte") sind. Beispiel: die Funktion f(x) = x ist streng
quotedblright prime 2
monoton steigend. Am Punkt x = 0 gilt f (x ) = 3 periodcentered x = 0, aber x ist kein
0 0 0
0
Extremum.
Satz 6.34: (Hinreichende Kriterien fur Extrema)
dieresis
Sei f mehrfach diff erenzierbar. Gilt an einer Stelle x0
prime prime prime
f (x ) = 0, f (x ) < 0,
0 0
so ist x ein lokales Maximum. Gilt
0
prime prime prime
f (x ) = 0, f (x ) > 0,
0 0
so ist x ein lokales Minimum.
0
Beweis": Approximiere f(x) in einer Umgebung von x durch das Taylorendash
0
quotedblright Polynom zweiten Grades:
prime prime
f (x )0
prime 2
f(x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ) + periodcentered (x minus x ) .
0 0 0 0
2
prime
An einem Punkt x mit f (x ) = 0 gilt naherungsweise:
dieresis
0 0
prime prime
f (x )0 2
f(x) approxequal f(x ) + periodcentered (x minus x ) .
0 0
2
2
Da (x minus x ) > 0 fur x negationslash = x ist, sind die Funktionswerte in der Umgebung
dieresis
0 0
prime prime prime prime
großer als f(x ), wenn f (x ) > 0 gilt (Minimum). Fur f (x ) < 0 sind die
dieresis dieresis
0 0 0 Funktionswerte in der Umgebung kleiner als f(x ) (Maximum).
-2.5-1.25 xx-2 -1 0 1 201.252.53.75 yyx + 4*x^2 - x^4 - 1
108 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
2 4
Beispiel 6.35: Betrachte f(x) = x + 4 x minus x minus 1:
>> f:= x -> x + 4*x^2 - x^4 - 1:
>> plotfunc2d(f(x), x = -2..2)
Um die Kandidaten fur die Extrema zu finden, werden (numerische Approximationen
dieresis prime
der) Losungen der Gleichung f (x) = 0 berechnet. Fur numerische Losungen sind die
dieresis dieresis dieresis
MuPAD-Funktionen numeric::solve oder auch numeric::fsolve zustandig. Fur po-
dieresis dieresis
lynomiale Gleichungen wird eine Menge aller Losungen geliefert. Die einzelnen Losungen
dieresis dieresis
lassen sich durch indizierten Zugriff " Kandidaten[1] etc. auswahlen:
dieresis
quotedblright
>> Kandidaten:= numeric::solve(f'(x) = 0, x)
{-1.346997409, -0.1260001926, 1.472997601}
Diese Werte werden in die 2-te Ableitung von f eingesetzt:
>> f''(Kandidaten[1])
-13.77282422
>> f''(Kandidaten[2])
7.809487418
>> f''(Kandidaten[3])
-18.0366632
Nach Satz 6.34 ist der erste Kandidat ein Maximum, der zweite Kandidat ein Minimum,
der dritte Kandidat ein Maximum. Die Graphik bestatigt dies.
dieresis
6.5 Die de l'Hospitalsche Regel
4.7.02arrowdown 0
In endash Situationen kann man durch Ableiten auch Grenzwerte bestimmen.
6.5. DIE DE L'HOSPITALSCHE REGEL 109
Satz 6.36: (de l'Hospitalsche Regel)
Seien f und g diff erenzierbar, es gelte f(x ) = g(x ) = 0. Dann gilt
0 0
prime
f(x) f (x)
lim = lim ,
prime
xarrowright x xarrowright x
g(x) g (x)
0 0
falls der rechte Grenzwert existiert.
Beweis:" Intuitiv: Approximiere Zahler und Nenner durch das Taylorendash dieresis
quotedblright Polynom ersten Grades:
prime prime prime
f(x) f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ) f (x ) periodcentered (x minus x ) f (x )
0 0 0 0 0 0
approxequal = = .
prime prime prime
g(x) g(x ) + g (x ) periodcentered (x minus x ) g (x ) periodcentered (x minus x ) g (x )
0 0 0 0 0 0
Fur eine saubere Durchfuhrung des Beweises benutze man den Mittelwertdieresis dieresis prime prime
satz 6.20 (unter der Zusatzannahme, dass f und g stetig seien. Die Regel
gilt aber auch ohne diese Stetigkeit.)
Q.E.D.
Beispiel 6.37: Betrachte erneut die Funktion
bracelefttp xe minus 1
braceex braceleftmid fur x negationslash = 0,
dieresis
x
f(x) = braceex braceleftbt 1 fur x = 0
dieresis
0
aus Beispiel 4.12. Fur den Punkt x = 0 liegt eine endash Situation vor. Mit de l'Hospital dieresis 0 0
folgt d x
x x
(e minus 1)
e minus 1 e x 0
dx
lim = lim = lim = lim e = e = 1,
d
xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0
x 1
x
dx
wobei in jedem Schritt die Existenz des jeweils rechts stehenden Grenzwerts vorausge-
setzt wird (was gerechtfertigt ist, sobald man ganz rechts angekommen ist).
Die de l'Hospitalsche Regel kann auch mehrfach hintereinander angewendet wer-
den:
2periodcentered x
e minus 1 minus 2 periodcentered x
Beispiel 6.38: Betrachte lim . Nach einer Anwendung von de l'Hospital
2
xarrowright 0 x 0
triff t man beim Quotienten der Ableitungen wieder auf eine endash Situation und kann de
0
l'Hospital erneut anwenden:
d 2periodcentered x
2periodcentered x 2periodcentered x
(e minus 1 minus 2 periodcentered x)
e minus 1 minus 2 periodcentered x 2 periodcentered e minus 2
dx
lim = lim = lim
d
2 2
xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0
x 2 periodcentered x
x
dx
d 2periodcentered x
2periodcentered x 2periodcentered x
(e minus 1)
e minus 1 2 periodcentered e 2periodcentered 0
dx
= lim = lim = lim = 2 periodcentered e = 2.
d
xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0
x 1
x
dx
110 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Bemerkung 6.39: Die de l'Hospitalsche Regel
prime
f(x) f (x)
lim = lim prime
xarrowright x xarrowright x
g(x) g (x)
0 0
gilt auch fur lim f(x) = lim g(x) = infinity .
dieresis xarrowright x xarrowright x
0 0
1 1
prime prime
Beispiel 6.40: Mit f(x) = ln(x + 1), g(x) = ln(x), f (x) = , g (x) = :
x+1 x
1
ln(x + 1) x 1
(asteriskmath )
x+1
lim = lim = lim = lim = 1,
1
xarrowright infinity xarrowright infinity xarrowright infinity xarrowright infinity
ln(x) x+ 1 1
x
wobei in (asteriskmath ) de l'Hospital ein zweites Mal angewendet wurde.
Beispiel 6.41: Mit kleinen Tricks bekommt man eine de l'Hospital-Technik auch
infinity
sofort fur Situationen wie z.B. 0 periodcentered infinity oder auch 1 .
dieresis
Fur 0 periodcentered infinity ist der Standardtrick, infinity als 1/0 (oder manchmal 0 als 1/infinity ) zu schreiben.
dieresis
Z.B.: d 1/x
1/x (e minus 1)
e minus 1
1/x dx
lim x periodcentered (e minus 1) = lim = lim d 1
xarrowright infinity xarrowright infinity xarrowright infinity
1/x dx x
1 1/x
minus periodcentered e
2 1/x
x
= lim = lim e = 1.
1
xarrowright infinity xarrowright infinity
minus 2x
1
Hierbei wurde die ursprungliche infinity periodcentered 0endash Situation durch das Umschreiben x = in dieresis 1/x
0
eine endash Situation verwandelt, auf die de l'Hospital anwendbar ist.
0
infinity
Fur eine 1 endash Situation ist der Standardtrick, die identische Abbildung in der Form dieresis infinity
y = exp(ln(y)) einzubringen, was die 1 endash Situation in ein 0 periodcentered infinity endash Problem verwandelt
(welches dann wie oben zu behandeln ist). Beispiel:
lim (x periodcentered ln(x))
x
x ln(x ) xperiodcentered ln(x) xarrowright 0+0
lim x = lim e = lim e = e .
xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0
Hier ist das 0periodcentered (minus infinity )endash Problem lim x periodcentered ln(x) entstanden, was wie oben per de l'Hospital
xarrowright 0+0
infinity minus infinity
gelost wird, indem es in ein endash Problem (genauer: in ein endash Problem) umgeschrieben dieresis infinity infinity
wird:
d 1
ln(x)
ln(x) dx x
lim x periodcentered ln(x) = lim = lim = lim = lim (minus x) = 0
1
d 1
xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0
1/x minus 2x
dx x
lim x periodcentered ln(x)
x 0
xarrowright 0+0
arrowdblright lim x = e = e = 1.
xarrowright 0+0
Der Grenzwert wird durch die folgende MuPADendash Graphik bestatigt:
dieresis
xx0 0 0.25 0.5 0.75 10.250.50.75yy 1 x^x
6.5. DIE DE L'HOSPITALSCHE REGEL 111
>> plotfunc2d(x^x, x = 0..1, ViewingBox = [0..1, 0..1])
112 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Kapitel 7
Integration
7.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral
Die Integration ist die Umkehrung der Diff erentiation: zu einer gegebenen Funk-
tion f(x) sucht man eine Funktion F (x), deren Ableitung f(x) ist.
7.1.1 Definitionen, Grundintegrale
Definition 7.1: (Stammfunktion)
F (x) heißt Stammfunktion" einer (hinreichend glatten) Funktion
quotedblright d
f(x), wenn F (x) = f(x) gilt. Alternativ nennt man F (x) auch das
dx
unbestimmte Integral uber f(x)" und benutzt auch die Notation
dieresis
integraltext
quotedblright F (x) = f(x) dx. Die Funktion f(x) unter dem Integralzeichen wird als
Integrand" bezeichnet.
quotedblright
Bemerkung 7.2: Stammfunktionen sind nicht eindeutig bestimmt. Da die Ableitung einer konstanten Funktion uberall 0 ist, kann man zu einer Stammfunkdieresis tion eine beliebige Konstante hinzuaddieren, wobei man eine neue Stammfunktion erhalt. Andererseits, hat f(x) keine Singularitaten (Polstellen etc.), so sind dieresis dieresis
Stammfunktionen stetig und die Diff erenz zweier stetiger Stammfunktionen ist
immer eine Konstante.
2 2
x x
Beispiel 7.3: Zu f(x) = x sind F (x) = und F (x) = + 17 Stammfunktion.
1 2
2 2
Die beliebige additive Konstante in Stammfunktionen (die Integrationskonstante")
quotedblright
wird folgendermaßen ausgedruckt:
dieresis
integraldisplay 2x
x dx = + c.
2
integraltext
Damit ist gemeint: f(x) dx stellt die Klasse aller Stammfunktionen dar (d.h., in
integraltext integraltext
der Schreibweise f(x) dx steckt die additive Konstante sozusagen im -Symbol und
114 KAPITEL 7. INTEGRATION braucht nicht explizit hingeschrieben zu werden). Sobald das Integralzeichen durch
2x
einen konkreten Reprasentanten dieser Klasse (hier ) ersetzt wird, schreiben wir die
dieresis 2
beliebige additive Konstante explizit dazu.
Bemerkung 7.4: Mit dieser Konvention gilt trivialerweise fur jede diff erenzierdieresis
bare Funktion F (x): integraldisplay prime F (x) dx = F (x) + c .
Grundintegrale 7.5:
Aus der in Satz 6.6 gegebenen (kleinen) Liste von Ableitungen erhalt man
dieresis
eine (kleine) Liste von Stammfunktionen fur die einfachen Grundfunktio-
dieresis
nen: integraldisplay n+1
x
n
x dx = + c, (n =negationslash 0)
n + 1
integraldisplay 1 dx = ln(|x|) + c, (Beispiel 6.18)
x
integraldisplay x x
e dx = e + c,
integraldisplay
sin(x) dx = minus cos(x) + c,
integraldisplay
cos(x) dx = sin(x) + c.
Beispiel 7.6: In MuPAD ist die Funktion int (engl.: integrate) fur die Integration
dieresis
zustandig. Fur die Integrationskonstante wird dabei vom System automatisch ein be-
dieresis dieresis quotedblright
sonders einfacher" Wert gewahlt:
dieresis
>> int(cos(x), x)
sin(x)
>> int(x*sin(x)*exp(x), x)
cos(x) exp(x) x cos(x) exp(x) x sin(x) exp(x)
------------- - --------------- + ---------------
2 2 2
7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 115 Fur aus den einfachen Grundfunktionen aufgebaute Funktionen wurde man gern dieresis dieresis
per Rechenregeln die Integration komplizierter Funktionen auf die Integration einfacher Funktionen zuruckfuhren. Leider ist das nicht so einfach. In der Tat dieresis dieresis
entspricht jeder Rechenregel der Diff erentiation (Satz 6.6, Satz 6.12) eine Regel fur's Integrieren. Die sich ergebenden Regeln sind aber nicht so, daß man damit dieresis automatisch alle Integrationen auf Grundintegrale zuruckfuhren kann. Zunachst dieresis dieresis dieresis
die einfachsten Regeln:
Satz 7.7: (Summenregel)
Fur beliebige Konstanten a, b und Funktionen f(x), g(x) gilt
dieresis
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
parenleftBig parenrightBig
a periodcentered f (x) + b periodcentered g(x) dx = a periodcentered f(x) dx + b periodcentered g(x) dx.
Das ist durch Diff erenzieren beider Seiten dieser Gleichung unmittelbar klar.
Merke:
Konstante Faktoren konnen stets aus dem Integralzeichen herausge-
dieresis
zogen werden. Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale.
Beispiel 7.8:
integraldisplay integraldisplay integraldisplay integraldisplay
parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1
x x minus x minus
2 2
radical radical radical
2 periodcentered e + dx = 2 periodcentered e dx + x dx = 2 periodcentered e + c + x dx
1
2 x 2 2
1 1
minus +1
2 2
1 x 1 x
x x
radical radical
= 2 periodcentered e + c + periodcentered + c = 2 periodcentered e + periodcentered + c + c
1 2 1 2
1 1 bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
minus + 1
2 2
2 2 c
radical
radical radical
2
x x
radical
= 2 periodcentered e + periodcentered x + c = 2 periodcentered e + 2 periodcentered x + c.
2
Hierbei wurden die einzelnen Integrationskonstanten c , c zu einer neuen beliebigen
1 2
Konstanten c = c + c zusammengefaßt.
1 2
7.1.2 Partielle Integration
Aus der Produktregel
parenleftBig parenrightBig
d prime prime
f(x) periodcentered g(x) = f (x) periodcentered g(x) + f(x) periodcentered g (x)
dx
der Diff erentiation gewinnt man durch Integration
integraldisplay integraldisplay
prime prime
f(x) periodcentered g(x) + c = f (x) periodcentered g(x) dx + f(x) periodcentered g (x) dx.
Diese Gleichung liefert eine Integrationsregel, die man partielle Integration"
quotedblright
nennt:
116 KAPITEL 7. INTEGRATION
Satz 7.9: (Partielle Integration)
integraldisplay integraldisplay
prime prime
f(x) periodcentered g (x) dx = f(x) periodcentered g(x) minus f (x) periodcentered g(x) dx.
Bemerkung 7.10: Diese Regel ist in folgender Situation anwendbar:
* Der Integrand muß das Produkt zweier Funktionen sein.
prime
* Von einem Faktor (g (x)) muß man die Stammfunktion g(x) kennen.
prime prime
Ein Integral (uber f(x) periodcentered g (x)) wird in ein anderes Integral (uber f (x) periodcentered g(x)) dieresis dieresis
uberfuhrt, es verbleibt also die Aufgabe, eine Stammfunktion zu finden. Allerdieresis dieresis prime
dings ist manchmal das Produkt f (x) periodcentered g(x) einfacher zu integrieren als das
prime
Ausgangsprodukt f(x) periodcentered g (x):
prime
* Sinnvoll ist partielle Integration meist, wenn die Ableitung f (x) einfaquotedblright
prime
cher" ist als f(x) und g(x) nicht wesentlich komplizierter" als g (x).
quotedblright
integraltext
Beispiel 7.11: Im Integral xperiodcentered ln(x) dx ist f(x) = ln(x) eine unangenehme" Funktion,
quotedblright
1
prime
wahrend f (x) = als rationale Funktion wesentlich angenehmer ist:
dieresis x
integraldisplay integraldisplay
2 2
x 1 x
x periodcentered ln(x) dx = ln(x) periodcentered minus periodcentered dx
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 2 x 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime g (x) f (x) f(x) prime
g(x) f (x) g(x)
integraldisplay
2 2 2
x x x x
= ln(x) periodcentered minus dx = ln(x) periodcentered minus + c .
2 2 2 4
Probe: parenleftBig parenrightBig
2 2 2
d x x 1 x x
ln(x) periodcentered minus + c = periodcentered + ln(x) periodcentered x minus = ln(x) periodcentered x.
dx 2 4 x 2 2
Es gibt keine allgemeine Regel, was einfach" und was kompliziert" ist. Im
quotedblright quotedblright
1
prime
obigen Fall war f (x) = einfacher als f(x) = ln(x). Im folgenden Beispiel ist
x prime
f(x) = x kompliziert", zumindestens komplizierter" als f (x) = 1:
quotedblright quotedblright
Beispiel 7.12: integraldisplay integraldisplay
x x x
x periodcentered e dx = x periodcentered e minus 1 periodcentered e dx
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime prime
f(x) g (x) f(x) g(x) f (x) g(x)
integraldisplay
x x x x x
= x periodcentered e minus e dx = x periodcentered e minus e + c = (x minus 1) periodcentered e + c.
7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 117 Manchmal braucht man einfach Erfahrung um zu sehen, daß partielle Integra-
tion hilfreich ist:
Beispiel 7.13:
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
2
sin(x) dx = sin(x) periodcentered sin(x) dx = sin(x) periodcentered (minus cos(x)) minus cos(x) periodcentered (minus cos(x)) dx
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime prime
f(x) g (x) f(x) g(x) f (x) g(x)
integraldisplay 2
= minus sin(x) periodcentered cos(x) + cos(x) dx.
integraltext integraltext
2 2
Das war bislang nicht sehr erfolgreich: sin(x) dx wurde durch cos(x) dx ausge-
2 2
druckt. Allerdings gilt sin(x) + cos(x) = 1, sodaß das verbleibende Integral wiederum dieresis
durch das Ausgangsintegral ausgedruckt werden kann:
dieresis
integraldisplay integraldisplay integraldisplay integraldisplay
2 2 2
cos(x) dx = 1 dx minus sin(x) dx = x minus sin(x) dx.
integraltext 2
Dies liefert eine Gleichung fur sin(x) dx:
dieresis
integraltext integraltext
2 2
sin(x) dx = minus sin(x) periodcentered cos(x) + cos(x) dx
integraltext 2
= minus sin(x) periodcentered cos(x) + x minus sin(x) dx
integraltext 2
arrowdblright 2 periodcentered sin(x) dx = x minus sin(x) periodcentered cos(x) + c
parenleftBig parenrightBig
integraltext 1
2
arrowdblright sin(x) dx = periodcentered x minus sin(x) periodcentered cos(x) + ctilde
2
(mit einer neuen Integrationskonstante ctilde = c/2).
7.1.3 Substitution arrowdown 5.7.02
Aus der Kettenregel der Diff erentiation (mit y = g(x))
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d prime prime
F (g(x)) = F (y) periodcentered g(x) = F (g(x)) periodcentered g (x)
dx dy dx
gewinnt man durch Integration integraldisplay prime prime
F (g(x)) + c = F (g(x)) periodcentered g (x) dx.
prime
Diese Gleichung liefert mit f = F eine Integrationsregel, die man Integration
quotedblright
durch Substitution" nennt:
Satz 7.14: (Substitution)
Sie F (y) eine Stammfunktion von f(y). Mit y = g(x) gilt
integraldisplay integraldisplay
prime
f(g(x)) periodcentered g (x) dx = f(y) dy = F (y) + c = F (g(x)) + c.
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
dy
118 KAPITEL 7. INTEGRATION
dy
Hierbei lauft die Substitution auf Folgendes hinaus. Aus y = g(x) folgt = dieresis dx
prime g (x), also formal prime
dy = g (x) dx.
Eine Substitution bietet sich auf jeden Fall an, wenn der Integrand einen Faktor prime g (x) enthalt, der die Ableitung eines Teilausdrucks g(x) im anderen Faktor ist:
dieresis
integraltext sin(x)
Beispiel 7.15: In cos(x) periodcentered e dx bietet es sich an, y = g(x) = sin(x) zu substituie-
prime
ren, denn die Ableitung g (x) = cos(x) taucht als Faktor im Integranden auf. Es ergibt
sich
y=g(x)
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright
sin(x) sin(x) y y sin(x)
cos(x) periodcentered e dx = e cos(x) dx = e dy = e + c = e + c.
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime g (x)periodcentered dx=dy
integraltext integraltext
1 1
Beispiel 7.16: Wir kennen dy = ln(|y|). Wie steht es mit dx? Dies ist ein y aperiodcentered x+b
Fall fur die Substitution. Wir setzen y = g(x) = a periodcentered x + b (also dy = a dx) und erweitern
dieresis 1 1
mit a, sodaß dx = periodcentered a dx = dy auftaucht:
a a
dy
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright
1 1 1 1 1
dx = periodcentered periodcentered a dx = dy
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
a periodcentered x + b a a periodcentered x + b a y
prime g (x)
1 1
= periodcentered ln(|y|) + c = periodcentered ln(|a periodcentered x + b|) + c.
a a
integraltext prime g (x)
Beispiel 7.17: In dx bietet sich die Substitution y = g(x) an:
g(x)
integraldisplay integraldisplay
prime g (x) 1
dx = dy = ln(|y|) + c = ln(|g(x)|) + c.
g(x) y
Bemerkung 7.18: Es bietet sich allgemein an, eine Substitution y = g(x) in
integraltext
einem Integral h(x) dx technisch folgendermaßen durchzufuhren:
dieresis
dy prime
* Setze y = g(x) und berechne die Ableitung = g (x). Formal gilt dy =
dx
prime g (x) dx.
h(x)
dy
* Ersetze dx durch . Drucke im neuen Integranden h(x) dx = dy dieresis prime prime
g (x) g (x)
jedes x durch y aus.
7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 119
* Es entsteht ein Ausdruck
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
1
h(x) dx = h(x(y)) periodcentered dy = f(y) dy.
prime g (x(y))
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
f(y)
integraltext
Versuche, eine Stammfunktion F (y) = f(y) dy zu finden.
* Rucksubstitution": Setze y = g(x) in F (y) ein. Die gesuchte Stamm-
dieresis
quotedblright funktion des ursprunglichen Ausdrucks ist F (g(x)).
dieresis
Manchmal ist es nicht off ensichtlich, was man substituieren sollte. Hier hilft nur
Erfahrung oder ein guter Tip:
radical dy 1 1 1 1
radical radical Beispiel 7.19: Substituiere y = x, = periodcentered (arrowdblright dy = periodcentered dx) in
dx 2 2
x x
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
radical
radical radical
x y 2 y
x periodcentered e dx = y periodcentered e periodcentered 2 periodcentered x dy = 2 periodcentered y periodcentered e dy.
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
dx
Das verbleibende Integral in y kann durch zweifache partielle Integration gelost werden:
dieresis
integraldisplay integraldisplay
2 y 2 y y
2 periodcentered y periodcentered e dy = 2 periodcentered y periodcentered e minus 2 periodcentered 2 periodcentered y periodcentered e dy
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime g (y) g(y) prime g(y)
f(y) f(y) f (y)
integraldisplay integraldisplay
2 y y 2 y y y
= 2 periodcentered y periodcentered e minus 4 periodcentered y periodcentered e dy = 2 periodcentered y periodcentered e minus 4 periodcentered y periodcentered e +4 periodcentered 1 periodcentered e dy
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime prime
G (y) G(y) F (y) G(y)
F (y) F (y)
2 y y y
= 2 periodcentered y periodcentered e minus 4 periodcentered y periodcentered e + 4 periodcentered e + c.
radical
Rucksubstitution y = x liefert letztlich:
dieresis
integraldisplay radical radical radical radical
radical radical
x x x x
x periodcentered e dx = 2 periodcentered x periodcentered e minus 4 periodcentered x periodcentered e + 4 periodcentered e + c.
7.1.4 Rationale Integranden: Partialbruchzerlegung arrowdown 11.7.02
Rationale Integranden lassen sich uber die Technik der Partialbruchzerlegung"
dieresis quotedblright
immer so umformulieren, daß man eine Stammfunktion bestimmen kann. Hier
der Spezialfall, wenn das Nennerpolynom nur einfache Nullstellen hat:
120 KAPITEL 7. INTEGRATION
Satz 7.20: (Partialbruchzerlegung)
p(x)
Betrachte f(x) = mit Polynomen p(x) und q(x), wobei grad(p(x)) <
q(x)
grad(q(x)) gelte. Hat das Nennerpolynom q(x) nur einfache Nullstellen
x , . . . , x , so gibt es Konstanten c , . . . , c , sodaß
1 n 1 n
p(x) c c
1 n
= + periodcentered periodcentered periodcentered + .
q(x) x minus x x minus x
1 n
Damit folgt dann
integraldisplay p(x) dx = c periodcentered ln(|x minus x |) + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered ln(|x minus x |) + c.
1 1 n n
q(x)
Beispiel 7.21: Die technische Durchfuhrung geschieht folgendermaßen:
dieresis
1) Ansatz: 3 periodcentered x + 4 c c
1 2
= + .
(x minus 1) periodcentered (x + 2) x minus 1 x + 2
2) Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner:
c c c periodcentered (x + 2) + c periodcentered (x minus 1)
1 2 1 2
+ =
x minus 1 x + 2 (x minus 1) periodcentered (x + 2)
3) Ordne den Zahler nach Potenzen von x:
dieresis
c periodcentered (x + 2) + c periodcentered (x minus 1) (c + c ) periodcentered x + (2 periodcentered c minus c )
1 2 1 2 1 2
= .
(x minus 1) periodcentered (x + 2) (x minus 1) periodcentered (x + 2)
4) Der Ansatz lautet nun:
3 periodcentered x + 4 (c + c ) periodcentered x + (2 periodcentered c minus c )
1 2 1 2
= .
(x minus 1) periodcentered (x + 2) (x minus 1) periodcentered (x + 2)
Die Nenner stimmen nach Konstruktion uberein. Es verbleibt, die Konstanten c , c
dieresis 1 2
so zu bestimmen, daß auch die Zahler fur alle x ubereinstimmen. Vergleiche dazu im
dieresis dieresis dieresis
Zahler die Koeffi zienten vor jeder x-Potenz:
dieresis
3 = c + c , 4 = 2 periodcentered c minus c .
1 2 1 2
4) Lose das entstandene lineare Gleichungssystem fur die unbekannten Koeffi zienten:
dieresis dieresis
7 2
c = , c = .
1 2
3 3
Ergebnis:
integraldisplay integraldisplay 7 2
parenleftBig parenrightBig
3 periodcentered x + 4 7 2
3 3
dx = + dx = ln(|x minus 1|) + ln(|x + 2|) + c.
(x minus 1) periodcentered (x + 2) x minus 1 x + 2 3 3
7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 121 Beispiel 7.22: In MuPAD ist die Funktion partfrac (engl.: partial fraction) fur die
dieresis
Partialbruchzerlegung zustandig:
dieresis
>> partfrac((3*x + 4) / ((x - 1)*(x + 2)), x)
7 2
--------- + ---------
3 (x - 1) 3 (x + 2)
Bemerkung 7.23: Die Partialbruchzerlegung haben wir schon fruher beim dieresis
Summieren rationaler Ausdrucke kennengelernt: siehe Beispiel 3.31.
dieresis
p(x)
Bemerkung 7.24: Hat man einen rationalen Integranden , bei dem der
q(x)
Grad des Zahlerpolynoms nicht kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms dieresis (dies wird in Satz 7.20 vorausgesetzt), so ist dies auch kein Problem. Durch
Polynomdivision kann man einen polynomialen Anteil abspalten, z.B.:
3 2
2 periodcentered x + x + 2 2 periodcentered x + 3
= 2 periodcentered x + 1 + .
2 2
x minus 1 x minus 1
Die Division wird dabei wie mit Zahlen durchgefuhrt (man zieht sukzessiv den dieresis
fuhrenden Term" durch ein geeignetes Vielfaches des Nenners ab):
dieresis
quotedblright 3 2 2
2 periodcentered x + x + 2 : x minus 1 = 2 periodcentered x + 1
3
2 periodcentered x minus 2 periodcentered x
2x + 2 periodcentered x + 2
2x minus 1
2 periodcentered x + 3 (der Rest)
Der verbleibende Rest kann durch Partialbruchzerlegung additiv zerlegt werden,
das Ergebnis ist:
>> partfrac((2*x^3 + x^2 + 2)/(x^2 -1), x)
5 1
2 x + --------- - --------- + 1
2 (x - 1) 2 (x + 1)
Es folgt
integraldisplay integraldisplay 5 1
parenleftBig parenrightBig
3 2
2 periodcentered x + x + 2 2 2
dx = 2 periodcentered x + 1 + minus dx
2
(x minus 1) xminus 1 x+ 1
5 1
2
= x + x + ln(|x minus 1|) minus ln(|x + 1|) + c.
2 2
Probe mit MuPAD:
122 KAPITEL 7. INTEGRATION
>> int((2*x^3 + x^2 + 2)/(x^2 -1), x)
2 5 ln(x - 1) ln(x + 1)
x + x + ----------- - ---------
2 2
(MuPAD verzichtet darauf, innerhalb des ln Betragszeichen einzutragen, denn MuPAD kann mit komplexen Zahlen umgehen. Fur positives x gilt ln(minus x) = dieresis
radical minus 1 periodcentered pi +ln(x), d.h., ln(minus x) und ln(x) stimmen bis auf eine additive (komplexe) Konstante uberein. Diese kann in die Integrationskonstante absorbiert werden). dieresis Bemerkung 7.25: Fur die Partialbruchzerlegung braucht man die Faktorisiedieresis rung q(x) = (x minus x ) periodcentered periodcentered periodcentered periodcentered periodcentered (x minus x ) des Nennerpolynoms, d.h., man muß die
1 n
Nullstellen x , . . . , x von q(x) finden.
1 n
7.2 Das bestimmte Integral
Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Flache unter dieresis einem Funktionsgraphen f(t). Man zerlege ein Interval [a, b] auf der t-Achse
aquidistant in n Teilintervalle [t , t ] mit
dieresis i i+1
b minus a
t = a + i periodcentered , i = 0, . . . , n.
i n
Dann approximiere man den Flacheninhalt durch die Flachen der durch die dieresis dieresis
Punkte
(t , 0), (t , f (t )), (t , f (t )), (t , 0)
i i i i+1 i i+1
bminus a
gegebenen Rechtecke (mit der Breite ):
n
f(t)
a54 a24 a88
a24 a88
a8 a72
a8 a72
a8 a72
a8 a72 a81 a81 a90 a90 a45 t
a = t t t . . . t t . . . t = b
0 1 2 i i+1 n
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bminus an
nminus 1
summationdisplay
b minus a
Die Summe der n Rechteckflachen ist periodcentered f(t ). Im Grenzwert n arrowright infinity dieresis k
n k=0
liefert dies die Flache unter dem Graphen.
dieresis
Definition 7.26: (Das bestimmte Integral)
Zu einer uber dem Intervall [a, b] definierten (hinreichend glatten, z.B.
dieresis
stetigen) Funktion f(t) (dem Integranden") wird das bestimmte
quotedblright quotedblright
Integral" uber [a, b] definiert als
dieresis
integraldisplay nminus 1 parenleftBig parenrightBig
b summationdisplay
b minus a b minus a
f(t) dt = lim f a + k periodcentered
narrowright infinity n n
a k=0
(sofern dieser Grenzwert existiert).
Dies ist lediglich eine prinzipielle Definition, die zur Berechnung vollig ungedieresis eignet ist. Die wirkliche Berechnung geschieht uber Stammfunktionen von f(t), dieresis sobald der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral und dem unbe-
stimmten Integral geklart ist (nachster Abschnitt).
dieresis dieresis
Bemerkung 7.27: Das bestimmte Integral kann auch negative Werte annehmen (z.B., wenn uberall f(t) < 0 gilt). Die Interpretation als Flache unter dem dieresis dieresis
quotedblright
Graphen" gilt nur fur positive Funktionen.
dieresis
Bestimmte Integrale konnen additiv zerlegt werden. Man stelle sich dazu eine
dieresis
positive Funktion f(t) vor, d.h., das Integral von a bis b ist die Flache unter
dieresis
dem Graphen von t = a bis t = b. Diese Flache setzt sich zusammen aus der
dieresis
Flache unter dem Graphen von t = a bis t = c und der Flache von t = c bis
dieresis dieresis
t = b, wobei der Zerlegungspunkt c beliebig gewahlt werden kann:
dieresis
Satz 7.28: (Zerlegung bestimmter Integrale)
Fur beliebiges a, b, c gilt:
dieresis
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
c b b
f(t) dt + f(t) dt = f(t) dt.
a c a
Konvention 7.29:
Wir setzen integraldisplay integraldisplay
a b
f(t) dt = minus f(t) dt,
b a
integraltext b
womit wir in f(t) dt nun auch b < a zulassen konnen. Speziell gilt
dieresis
a
integraldisplay integraldisplay
a a
f(t) dt = minus f(t) dt = 0.
a a
Mit dieser Konvention gilt Satz 7.28 auch fur Zerlegungspunkte c, die außerhalb dieresis
des Intervalls [a, b] liegen.
124 KAPITEL 7. INTEGRATION Bemerkung 7.30: In MuPAD ist die Funktion int sowohl fur bestimmte als dieresis
auch fur unbestimmte Integrale zustandig:
dieresis dieresis
>> int(exp(-2*x), x)
1
- ---------
2
2 exp(x)
>> int(exp(-2*t), t = 0..5)
1
1/2 - ---------
2
2 exp(5)
>> float(\%)
0.4999773
integraltext
Bemerkung 7.31: Man beachte, daß das unbestimmte Integral f(x) dx ei-
integraltext b
ne Funktion in x ist, wahrend das bestimmte Integral f(t) dt fur konkrete dieresis dieresis
a
Zahlenwerte a, b einen Zahlenwert darstellt. Diesen kann man numerisch approximieren, indem man z.B. die in der Definition 7.26 gegebene Summe fur großes dieresis
n ausrechnet. Alternativ zur Riemann-Summe"
quotedblright
integraldisplay nminus 1 parenleftBig parenrightBig
b summationdisplay
b minus a b minus a
f(t) dt approxequal periodcentered f a + k periodcentered
n n
a k=0
ist es gunstiger, stattdessen die Trapez-Summe"
dieresis quotedblright
parenleftBigg parenrightBigg
integraldisplay nminus 1 parenleftBig parenrightBig
b summationdisplay
b minus a f(a) b minus a f(b)
f(t) dt approxequal + f a + k periodcentered +
n 2 n 2
a k=1
bminus a
zu berechnen, die sich mit t = a + k periodcentered auch als
k n
nminus 1
summationdisplay
b minus a f(t ) + f(t )
k k+1
periodcentered
n 2
k=0
f(t )+f(t )
bminus a k k+1
schreiben laßt. Hierbei ist periodcentered die Flache des durch die 4 Punkte dieresis dieresis
n 2
(t , 0), (t , f(t )), (t , f (t )), (t , 0)
k k k k+1 k+1 k+1
definierten Trapezes (d.h., die Flache unter dem Graphen von f(t) wird nicht dieresis
durch Rechtecke, sondern durch Trapeze angenahert).
dieresis
f(t) f(t )
a40
a40 a16 k+1
a16
a24
a24 a16
a16
a54 a16
a16 a16
a16 a16
a8 a16
a8 a16
f(t )k
Trapezflache
dieresis
a45 t
t t
k k+1
Bemerkung 7.32: In MuPAD ist die Funktion numeric::int fur die numeridieresis sche Berechnung von bestimmten Integralen zustandig. Sie arbeitet auch dann, dieresis wenn der symbolische Integrator kein Ergebnis liefert (weil er keine Stammfunk-
tion findet):
>> int(exp(sqrt(t))*sqrt(t), t = 0..10)
1/2 1/2
int(t exp(t ), t = 0..10)
>> numeric::int(exp(sqrt(t))*sqrt(t), t = 0..10)
264.1573027
7.3 Der Hauptsatz: Zusammenhang zwischen be-
stimmtem und unbestimmtem Integral
arrowdown 12.7.02
integraltext b
Es verbleibt das Problem, wie man eff ektiv bestimmte Integrale f(t) dt ohne
a
den garstigen Grenzwert von Riemannendash Summen berechnen kann. Hier kommt die wesentliche Beobachtung ins Spiel, daß man mit unbestimmten Integralen
(Stammfunktionen) bestimmte Integrale ausrechnen kann.
Satz 7.33: (Der Hauptsatz der Diff erentialendash und Integralrechnung, Version 1)
Betrachte integraldisplay x
F (x) = f(t) dt.
a a
Fur stetiges f ist F diff erenzierbar, und es gilt
dieresis a
d F (x) = f(x),
a
dx
d.h., F (x) ist eine Stammfunktion von f(x).
a
126 KAPITEL 7. INTEGRATION
Beweisidee": Es gilt
quotedblright integraldisplay integraldisplay integraldisplay
x+h x x+h
(7.28)
Delta F = F (x + h) minus F (x) = f(t) dt minus f(t) dt = f(t) dt.
a a a a a x
Nahern wir auf dem (kleinen) Interval [x, x + h] die Funktion durch den kondieresis
stanten Wert f(t) approxequal f(x) an, so gilt
integraldisplay integraldisplay nminus 1
x+h x+h summationdisplay
h
Delta F = f(t) dt approxequal f(x) dt = lim periodcentered f(x)
a narrowright infinity n
x x k=0
nminus 1
summationdisplay
h h
= lim periodcentered f(x) periodcentered 1 = lim periodcentered f(x) periodcentered n = lim h periodcentered f(x) = h periodcentered f(x).
narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n n
k=0
Damit laßt sich die Ableitung von F (x) berechnen:
dieresis a
d F (x + h) minus F (x) h periodcentered f(x)
a a
F (x) = lim = lim = f(x).
a harrowright 0 harrowright 0
dx h h
Bemerkung 7.34: Stammfunktionen sind nur bis auf additive Konstanten bestimmt. Dies wird in der Darstellung einer Stammfunktion uber F (x) = dieresis a
integraltext x f(t) dt dadurch deutlich, daß die untere Grenze a beliebig wahlbar ist. Die
dieresis
a integraltext a
Konstante ist hier durch die Bedingung F (a) = f(t) dt = 0 festgelegt. Bei
a a
unterschiedlicher Wahl der unteren Grenze ist die Diff erenz der entsprechenden
Stammfunktionen in der Tat eine Konstante:
integraldisplay integraldisplay
x x
F (x) minus F (x) = f(t) dt minus f(t) dt
a a
1 2 a a
1 2
parenleftbigg parenrightbigg
integraldisplay integraldisplay integraldisplay integraldisplay
a x x a
2 2
(7.28)
= f(t) dt + f(t) dt minus f(t) dt = f(t) dt.
a a a a
1 2 2 1
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
unabhangig von x
dieresis
Bestimmte Integrale sind also Stammfunktionen, wenn man sie als Funktion der
oberen Grenze auff aßt. Umgekehrt, kennt man ein Stammfunktion, so liefert sie
ein bestimmtes Integral, denn alle Stammfunktionen F (x) von f(x) unterschei-
den sich nur um eine additive Konstante, d.h., es muss gelten
integraldisplay x
F (x) = f(t) dt = F (x) + c.
a a
Es verbleibt nur, die Integrationskonstante c zu identifizieren. Fur x = a folgt
dieresis
integraldisplay a
0 = f(t) dt = F (a) + c arrowdblright c = minus F (a),
a
also integraldisplay x
f(t) dt = F (x) minus F (a).
a
Dies liefert nun eine eff ektive Methode, bestimmte Integrale auszurechnen, in-
dem man sich zunachst eine Stammfunktion des Integranden verschaff t:
dieresis
Satz 7.35: (Der Hauptsatz der Diff erentialendash und Integralrechnung, Version 2)
Sei F (x) eine beliebige stetige Stammfunktion von f(x). Dann gilt
integraldisplay b
f(t) dt = F (b) minus F (a).
a
Die additive Konstante der Stammfunktion fallt dabei bei Diff erenzbildung herdieresis
aus.
integraltext 2
Beispiel 7.36: Zur Berechnung von ln(t) dt berechnet man zunachst eine Stammdieresis
1
funktion von ln(x). Analog zu Beispiel 7.11 ergibt sich durch partielle Integration:
integraldisplay integraldisplay integraldisplay 1
ln(x) dx = ln(x) periodcentered 1 dx = ln(x) periodcentered x minus periodcentered x dx
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright x
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime g (x) g(x) g(x)
f(x) f(x) prime f (x)
integraldisplay
= x periodcentered ln(x) minus 1 dx = x periodcentered ln(x) minus x + c.
Mit der Stammfunktion F (x) = x periodcentered ln(x) minus x + c ergibt sich das bestimmte Integral
integraldisplay 2 parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
ln(t) dt = F (2) minus F (1) = 2 periodcentered ln(2) minus 2 + c minus 1 periodcentered ln(1) minus 1 + c = 2 periodcentered ln(2) minus 1.
1
Bemerkung 7.37: Aus dem Zusammenhang mit dem unbestimmten Integral folgt sofort, daß die Rechenregeln aus Abschnitt 7.1 auch fur bestimmte Intedieresis
grale gelten, z.B. (Satz 7.7):
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
parenleftBig parenrightBig
b b b
c periodcentered f (t) + c periodcentered f (t) dt = c periodcentered f (t) dt + c periodcentered f (t) dt.
1 1 2 2 1 1 2 2
a a a
Partielle Integration gilt in der folgenden Form:
integraldisplay integraldisplay
bracketleftBig bracketrightBig
b b
t=b
prime prime
f(t) periodcentered g (t) dt = f(t) periodcentered g(t) minus f (t) periodcentered g(t) dt,
t=a
a a
bracketleftBig bracketrightBig t=b
wobei f(t) periodcentered g(t) als Abkurzung fur
dieresis dieresis
t=abracketleftBig bracketrightBig t=b
f(t) periodcentered g(t) = f(b) periodcentered g(b) minus f(a) periodcentered g(a)
t=a
dient. Substitution gilt in der folgenden Form:
128 KAPITEL 7. INTEGRATION
integraldisplay integraldisplay
b g(b)
prime
f(g(t)) periodcentered g (t) dt = f(y) dy.
a g(a)
Beispiel 7.38: Partielle Integration:
integraldisplay integraldisplay
1 bracketleftBig bracketrightBig 1
t=1
t periodcentered cos(t) dt = t periodcentered sin(t) minus 1 periodcentered sin(t) dt
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
t=0
0 0 prime
f(t) f(t) f (t)
prime g (t) g(t) g(t)
bracketleftBig bracketrightBig bracketleftBig bracketrightBig
t=1 t=1
= t periodcentered sin(t) minus minus cos(t)
t=0 t=0
= 1 periodcentered sin(1) minus 0 periodcentered sin(0) + cos(1) minus cos(0) = sin(1) + cos(1) minus 1.
2
Beispiel 7.39: Substitution y = t , dy = 2 t dt:
radical radical
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
pi pi pi
1 1
2 2
t cos(t ) dt = periodcentered cos(t ) periodcentered 2 t dt = periodcentered cos(y) dy
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
2 2
0 0 0
dy
bracketleftBig bracketrightBig parenleftBig parenrightBig
y=pi
1 1
= periodcentered sin(y) = periodcentered sin(pi ) minus sin(0) = 0.
2 2
y=0
Man beachte hierbei, wie sich im Substitutionsschritt die Grenzen andern: Fur t = 0
dieresis dieresis
radical
2 2
folgt y = t = 0, fur t = pi folgt y = t = pi .
dieresis
7.4 Uneigentliche Integrale
18.7.02arrowdown integraltext b
Bestimmte Integrale f(t) dt sind zunachst nur fur endliche Intervalle [a, b]
dieresis dieresis
a
definiert. Wir erweitern die Definition:
Definition 7.40: (Uneigentliche Integrale)
integraldisplay integraldisplay
infinity b
f(t) dt = lim f(t) dt,
barrowright infinity
a a
integraldisplay integraldisplay
b b
f(t) dt = lim f(t) dt,
aarrowright minus infinity
minus infinity a
integraldisplay integraldisplay
infinity b
f(t) dt = lim lim f(t) dt
aarrowright minus infinity barrowright infinity
minus infinity a
(falls die Grenzwerte existieren).
Beispiel 7.41:
integraldisplay integraldisplay
infinity b bracketleftBig bracketrightBig t=b
minus t minus t minus t minus b minus b
e dt = lim e dt = lim minus e = lim (minus e + 1) = 1 minus lim e = 1.
barrowright infinity barrowright infinity barrowright infinity barrowright infinity
t=0
0 0
radical dy 1 1
radical
Beispiel 7.42: Substitution y = minus t, = minus = , dt = 2 periodcentered y periodcentered dy:
dt 2periodcentered y
2periodcentered t
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
infinity minus infinity 0
radical
1 1 (7.29)
minus t y y
periodcentered e dt = periodcentered e periodcentered 2 periodcentered y dy = minus e periodcentered y dy.
2 2
0 0 minus infinity
radical
Man achte hierbei auf die Transformation der Grenzen: t = 0 entspricht y = minus t = 0,
radical
t = infinity entspricht y = minus t = minus infinity . Das verbleibende Integral war bereits in Beispiel 7.12
gelost worden:
dieresis integraldisplay 0 bracketleftBig bracketrightBig y=0
y y
minus e periodcentered y dy = minus lim (y minus 1) periodcentered e
aarrowright minus infinity y=a
minus infinity
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
a a
= minus lim minus 1 minus (a minus 1) periodcentered e = 1 minus lim (1 minus a) periodcentered e .
aarrowright minus infinity aarrowright minus infinity
Der verbleibende Grenzwert ist 0:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
b + 1
(b=minus a)
a minus b
lim (1 minus a) periodcentered e = lim (1 + b) periodcentered e = lim .
b
aarrowright minus infinity barrowright infinity barrowright infinity e
2b
b
Da mit e = 1 + b + + periodcentered periodcentered periodcentered die Exponentialfunktion fur b arrowright infinity starker steigt als jedes
dieresis dieresis
2
Polynom, ist der Grenzwert 0. Endergebnis:
integraldisplay infinity radical
1 minus t
periodcentered e dt = 1.
2 0
Man geht ahnlich vor, wenn der Integrand eine Singularitat hat:
dieresis dieresis
Definition 7.43: (Uneigentliche Integrale bei singularen Integranden)
dieresis
Hat der Integrand f(t) an der Stelle a oder b eine Singularitat, so definiert
dieresis
man integraldisplay integraldisplay
b bminus epsilon1
f(t) dt = lim f(t) dt,
epsilon1 arrowright 0+0
a a
bzw. integraldisplay integraldisplay
b b
f(t) dt = lim f(t) dt
epsilon1 arrowright 0+0
a a+epsilon1
(falls die Grenzwerte existieren).
130 KAPITEL 7. INTEGRATION
Beispiel 7.44: Im folgenden Fall existiert das uneigentliche Integral:
integraldisplay integraldisplay 1 1 1 bracketleftBig bracketrightBig t=1
2
1 1 t
minus 2
radical dt = lim t dt = lim 1
epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0 t=epsilon1
t
0 epsilon1 2
bracketleftBig bracketrightBig parenleftBig parenrightBig
t=1
radical radical
= lim 2 periodcentered t = 2 periodcentered lim 1 minus epsilon1 = 2.
epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0
t=epsilon1
Beispiel 7.45: Im folgenden Fall existiert das uneigentliche Integral nicht (bzw. ist
infinity ):
integraldisplay integraldisplay
1 1 bracketleftBig bracketrightBig parenleftBig parenrightBig
t=1
1 1
dt = lim dt = lim ln(t) = lim 0 minus ln(epsilon1 ) = infinity .
epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0 t t t=epsilon1
0 epsilon1
7.5 Einige spezielle Anwendungen
Satz 7.46: (logarithmische Divergenz der harmonischen Reihe)
nsummationdisplay 1
Die Folge minus ln(n) konvergiert monoton falled gegen einen Grenzwert
k
k=1 nsummationdisplay 1
C approxequal 0.5772... (die Eulersche Konstante"): approxequal ln(n) + C.
quotedblright k
k=1
nsummationdisplay 1
Beweis: Sei C = minus ln(n). Mit
n k
k=1
integraldisplay k+1 1 dx = ln(k + 1) minus ln(k)
x
k
gilt
integraldisplay integraldisplay
n n n n
n+1 k+1
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay
1 1 1 1 1
C > minus ln(n + 1) = minus dx = minus dx
n k k x k x
1 k
k=1 k=1 k=1 k=1
integraldisplay integraldisplay
n n
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
k+1 k+1
summationdisplay summationdisplay
1 1 1 1
= minus dx = minus dx > 0,
k x k x
k k
k=1 k=1
1 1 1
denn fur die monoton fallende Funktion gilt greaterequal auf dem Intervall [k, k+1]. dieresis x k x
Weiterhin gilt
integraldisplay
parenleftBig parenrightBig n+1
1 1 1
C minus C = ln(n + 1) minus ln(n) minus = dx minus
n n+1 n+ 1 x n+ 1
n
integraldisplay parenleftBig parenrightBig
n+1 1 1
= minus dx greaterequal 0,
x n + 1
n
1 1
denn es gilt greaterequal fur x element [n, n+1]. Damit ist die Folge (C ) monoton fallend dieresis n
x n+1
und nach unten beschrankt. Sie konvergiert also gegen einen Grenzwert C.
dieresis
Q.E.D. Als weitere Anwendung" der Integration versuchen wir, realistische Abschatzdieresis
quotedblright
ungen von n! fur n greatermuch 1 zu ermitteln. Zunachst beobachtet man
dieresis dieresis
n n
summationdisplay summationdisplay
ln(n!) = ln(1periodcentered 2periodcentered 3periodcentered . . .periodcentered n) = ln(1)+ln(2)+ln(3)+. . .+ln(n) = ln(k) = ln(k).
k=1 k=2
Diese Summe laßt sich als Riemannendash Summe interpretieren, die bei
dieresis
integraldisplay bracketleftBig bracketrightBig
n x=n
ln(x) dx = x periodcentered (ln(x) minus 1) = n periodcentered ln(n) minus n + 1
x=1
1
anfallt, wenn man das Integrationsintervall [1, n] in die nminus 1 Teilintervalle [1, 2], dieresis
[2, 3], . . . , [n minus 1, n] zerlegt. Wegen der Monotonie von ln(x) gilt
integraldisplay integraldisplay
nminus 1 nminus 1 n
n k+1
summationdisplay summationdisplay summationdisplay
ln(k) lessequal ln(x) dx = ln(x) dx lessequal ln(k),
1 k
k=1 k=1 k=2
also
ln((n minus 1)!) lessequal n periodcentered ln(n) minus n + 1 lessequal ln(n!),
also n minus n+1
(n minus 1)! lessequal n periodcentered e lessequal n!,
also (in der linken Ungleichung wird n durch n + 1 ersetzt):
n minus n+1 n+1 minus n
n periodcentered e lessequal n! lessequal (n + 1) periodcentered e ,
also parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n n+1
n n + 1
e periodcentered lessequal n! lessequal e periodcentered .
e e
Hiermit ist das Wachstumsverhalten von n! charakterisiert. Diese Abschatzung dieresis
laßt sich jedoch noch wesentlich verfeinern:
dieresis
132 KAPITEL 7. INTEGRATION
Satz 7.47: (Die Stirlingendash Formel)
Fur alle n element N gilt folgende Abschatzung von n!:
dieresis dieresis
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
radical radical
n n 1
n n 4periodcentered n
2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered lessequal n! lessequal 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered periodcentered e .
e e
1 1
4periodcentered n
Fur großes n gilt e = 1 + + periodcentered periodcentered periodcentered approxequal 1, d.h., das Verhaltnis der obe-
dieresis dieresis
4periodcentered n
ren Schranke zur unteren Schranke ist fur großes n dicht bei 1 (d.h., die
dieresis
fuhrenden Stellen der oberen und unteren Schranke sind gleich und stim-
dieresis
men mit den fuhrenden Stellen von n! uberein).
dieresis dieresis
Merke:
parenleftBig parenrightBig
radical n
n
n! approxequal 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered .
e
Diese Stirling-Approximation" fur n! ist schon ab n = 4 auf etwa 2
dieresis
quotedblright
Prozent genau! Beispiel:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n n
radical radical 1
n n 4periodcentered n
n 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered n! 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered periodcentered e
e e
2 1.9... 2 2.1...
5 118.0... 120 124.0...
10 3598695.6... 3628800 3689797.0...
Beweis: (fur technisch Interessierte)
dieresis
Es ist zu zeigen:
radical radical 1
n! n! 4periodcentered n
radical
2 periodcentered pi lessequal = lessequal 2 periodcentered pi periodcentered e
1
n n n+ minus n
n periodcentered ( ) 2
n periodcentered e
e bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
an
Wir zeigen zunachst, dass die Folge
dieresis
n!
a =
n 1
n+ minus n
2
n periodcentered e
konvergiert. Fur die Quotienten aufeinander folgender Elemente bekommt man
dieresis
1
parenleftBig parenrightBig n+
a 1 1 2
n = periodcentered 1 +
a e n
n+1
und damit
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
a 1 1
n
ln = n + periodcentered ln 1 + minus 1. (#)
a 2 n
n+1
Betrachte die Integration der Funktion f(x) = 1/x uber dem Intervall [n, n+ 1]:
dieresis
a80 a80
a64 a80 a80
a64 a80 f(x) = 1/x
a80 a8
a108 a80 a8
a108 a80 a80
a8
a81 a80
a81 a8
a96 a80
a96 a96 a80
a72
a96 a72 a80
a96 a80
a96 a80
a80 a96 a88 a96 a80
a88 a96 a96 a80
a96 a96 a96 a96 a80
a104
a96 a104
a96 a80
a104
a96 a104 a80
a96 a104 a80
a104
a96 a96 a96 a96 a96
a45
1
n n + n + 1
2
Das Integral wird nach oben abgeschatzt durch das Trapez durch die Punkte dieresis (n, f(n)) und (n + 1, f(n + 1)). Die Trapezflache ist Breite multiply mittlere Hohe = dieresis dieresis
1 periodcentered (f (n) + f(n + 1)):
2
integraldisplay parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n+1 1 1 1 1 1
dx = ln(n + 1) minus ln(n) = ln 1 + lessequal periodcentered + .
x n 2 n n+ 1
n
Das Integral wird nach unten abgeschatzt durch das Trapez, dessen obere Kante dieresis die Tangente an f(x) im Mittelpunkt ist. Die Trapezflache ist Breite multiply mittlere dieresis
1
Hohe = f(n + ):
dieresis 2
integraldisplay parenleftBig parenrightBig
n+1 1 1 1
dx = ln(n + 1) minus ln(n) = ln 1 + greaterequal .1
x n n+
n 2
Diese Abschatzungen liefern die Ungleichungskette
dieresis
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1
lessequal ln 1 + lessequal periodcentered + ,
1 n 2 n n + 1
n + 2
also parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1 1
1 lessequal n + periodcentered ln 1 + lessequal n + periodcentered periodcentered + ,
2 n 2 2 n n + 1
also
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1 1
0 lessequal n + periodcentered ln 1 + minus 1 lessequal n + periodcentered periodcentered + minus 1
2 n 2 2 n n + 1
parenleftBig parenrightBig
1/4 1 1 1
= = periodcentered minus .
n periodcentered (n + 1) 4 n n + 1
Eingesetzt in (#) erhalt man:
dieresis
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
a 1 1 1
n
0 lessequal ln lessequal periodcentered minus ,
a 4 n n + 1
n+1
also 1
1
an minus 4periodcentered (n+1)
4periodcentered n
1 lessequal lessequal e periodcentered e .
an+1
134 KAPITEL 7. INTEGRATION
Es folgt a a a a
n n n+1 n+kminus 1
1 lessequal = periodcentered periodcentered . . . periodcentered
a a a a
n+1 n+2
n+k n+k
1 1 1 1 1
1 minus minus minus
4periodcentered (n+1) 4periodcentered (n+1) 4periodcentered (n+2) 4periodcentered (n+kminus 1) 4periodcentered (n+k)
4periodcentered n
lessequal e periodcentered e periodcentered e periodcentered e periodcentered . . . periodcentered e periodcentered e
1
1 1
minus 4periodcentered (n+k)
4periodcentered n 4periodcentered n
= e periodcentered e lessequal e
fur alle k greaterequal 1. Fur fixiertes n ist die Folge (a ) (im Folgenindex k) damit dieresis dieresis n+k
monoton fallend und nach unten beschrankt, d.h., es existiert der Grenzwert dieresis
asteriskmath a = lim a = lim a , fur den gilt:
dieresis
n
n+k narrowright infinity
karrowright infinity
1 1
an asteriskmath asteriskmath
4periodcentered n 4periodcentered n
1 lessequal lessequal e arrowdblright a lessequal a lessequal a periodcentered e .
n
asteriskmath a
radical
asteriskmath
Es verbleibt damit lediglich, a = 2 periodcentered pi zu zeigen. Das ist wesentlich aufwen-
diger, und wir verzichten hier darauf.
Q.E.D.