W. Oevel Mathematik II für Informatiker

Veranstaltungsnr: 172010 Skript zur Vorlesung, Universität Paderborn, Sommersemester 2002

Inhalt

1 Komplexe Zahlen 1 1.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Polynomwurzeln, Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . 5 1.3 Diagonalisierung von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Folgen und Grenzwerte 15 2.1 Definitionen, Beispiele, einige Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Weitere Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Das Supremumsaxiom für ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Konvergenz monotoner reeller Folgen . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Cauchy–Folgen und der Banachsche Fixpunktsatz …. 30 2.2.4 Teilfolgen und Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Unendliches, uneigentliche Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Wachstum von Folgen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Reihen 43 3.1 Definitionen, Beispiele, Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Spezielle Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.5 Summation per Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Funktionen und Stetigkeit 61 4.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Der Zwischenwertsatz, das Min/Max-Prinzip . . . . . . . . . . . 69 4.5 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.6 Wachstum von Funktionen, Landau-Symbole . . . . . . . . . . . 74 5 Spezielle Funktionen 77

5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Die trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Die komplexe Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Differentialrechnung 89 6.1 Definitionen und Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2 Der Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 Taylor–Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.4 Monotonie, Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.5 Die de l’Hospitalsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7 Integration 113

7.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . 113 7.1.1 Definitionen, Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.1.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.1.4 Rationale Integranden: Partialbruchzerlegung . . . . . . . 119

7.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.3 Der Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.5 Einige spezielle Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Literatur

Die Vorlesung baut nicht streng auf irgendeinem Buch auf, sondern geht ihren eigenen Weg. Die angegebenen Referenzen dienen dazu, sich unabhängig vom Skript entsprechende Grundlagen anzueignen oder spezielle Inhalte zu vertiefen. Es handelt sich um eine recht willkürliche Auswahl: Neben den angegebenen Büchern gibt es sicherlich jede Menge weiterer Literatur, die den behandelten Stoff analog abdeckt.

[Pap] Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1 - 3 + Mathematische Formelsammlung. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg 2001. (P41 TBG2788)

Recht elementar und mathematisch nicht sehr tief gehend; dafür leicht und angenehm zu lesen. Ist ein Standardbuch und großer Renner bei den Ingenieuren. Hier steht zwar ”für Ingenieure und Naturwissenschaftler“ drauf, diese Reihe ist aber allgemein für eine anwendungsorientierte Kundschaft sehr geeignet, die sich weniger für das Abstrakte in der Mathematik interessiert. Übungen und Anwendungsbeispiele sind allerdings speziell auf Ingenieure zugeschnitten. Im Wesentlichen ist hier Band 1 interessant: er umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differentialrechnung, spezielle Funktionen und Integration (der Stoff der Mathe II). Band 2 umfaßt die Lineare Algebra (Stoff der Mathe I des letzten Semesters), komplexe Zahlen und viele weitere Dinge, die für diese Vorlesung aber nicht so interessant sind. Band 3 umfaßt mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung sowie Stochastik und ist für uns nicht so interessant.

[TI] S. Timman: Repetitorium der Analysis (Teil 1) Springe: Binomi-Verlag.

Eigentlich keine ’Repetitorium’, sondern eine vollständige Einführung mit Definitionen etc. Recht elementar geschrieben, sehr übersichtlich. Gelungener Kompromiss zwischen mathematischem Tiefgang und guter Lesbarkeit auf für Nicht-Mathematiker. Grundlagen, Folgen und Reihen, Stetigkeit, Differentialund Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Zahlreiche Übungsaufgaben mit Musterlösungen.

[KS] K.-H. Kiyek und F. Schwarz: Mathematik für Informatiker 1 + 2. Stuttgart: Teubner 1996 + 1994. (P41 TBM1740)

Deutlicher formaler, abstrakter und anspruchsvoller als z.B. [Pap]. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 2 ist für uns nicht so relevant.

[BK] G. Baron und P. Kirschenhofer: Einführung in die Mathematik für Informatiker 1 - 3. Wien: Springer 1990. (P41 TBM1732)

Liegt vom Anspruch und Abstraktionsgrad zwischen [Pap] und [KS]. Band 2 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 1 umfaßt Grundlagen, komplexe Zahlen, Lineare Algebra, Polynome. Band 3 ist für uns nicht so relevant.

[For] O. Forster: Analysis 1 - 3. Vieweg. 2001. (P41 TIA 2647)

Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Standardwerk für Mathematikstudenten. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (der Stoff der Mathe II). Die Bände 2 und 3 umfassen die mehrdimensionale Analysis und sind für uns nicht so relevant.

[Bla] C. Blatter: Analysis 1 + 2. Berlin: Springer 1991. (P41 THX1325)

Abstrakt und anspruchsvoller. Recht kompakt. Band 1 umfaßt Folgen, Reihen, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung (der Stoff der Mathe II). Band 2 ist für uns nicht so relevant.

Bei starken Defiziten in der Schulmathematik schaue man z.B. in:

[Sch] Jochen Schwarze: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Band 1: Grundlagen. Herne: Verlag deutsche Wirtschafts-Briefe GmbH 1996.

Extrem elementar. Nur zum Aufarbeiten fehlender Grundlagen aus der Schule, falls es daran hapert.

Kapitel 1

Komplexe Zahlen

↓18.4.01

Motivation: die Gleichung x^{2} = −1 hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x^{2} ≥ 0 für jedes reelle x gilt. Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die komplexen Zahlen. Die grundsätzliche Idee ist ganz einfach: man führt ein neues Symbol i ein, das \sqrt{−1} repräsentieren soll. Es wird einzig und allein durch die Rechenregel i^{2} = −1 festgelegt. Ansonsten behält man alle aus dem Reellen bekannten Rechenregeln einfach bei.

1.1 Definitionen

Definition 1.1: (Die komplexen Zahlen)

Die Menge der komplexen Zahlen ℂ ist die Menge aller formalen Summen der Form

ℂ = {x + i · y; x, y ∈ ℝ}.

Für z = x + i · y ∈ ℂ nennt man x den Realteil und y den Imaginärteil von z. Zahlen z = x + i · 0 mit y = 0 nennt man reell, schreibt auch kurz z = x und identifiziert z mit x ∈ ℝ. Zahlen z = 0 + i · y mit x = 0 nennt man imaginär und schreibt auch kurz z = i · y. Der Nullpunkt z = 0 + i · 0 wird auch kurz als z = 0 geschrieben. Auf ℂ definieren wir die Addition

z_{1} + z_{2} = (x_{1} + i · y_{1}) + (x_{2} + i · y_{2}) = \underbrace{(x_{1} + x_{2})}_{∈ℝ}+ i · \underbrace{(y_{1} + y_{2})}_{∈ℝ}

sowie die Multiplikation

z_{1} · z_{2} = (x_{1} + i · y_{1}) · (x_{2} + i · y_{2}) = \underbrace{(x_{1} · x_{2} − y_{1} · y_{2})}_{∈ℝ}+ i · \underbrace{(x_{1} · y_{2} + x_{2} · y_{1})}_{∈ℝ}.

Interpretation 1.2:

Hinter dieser Definition der Multiplikation steckt i^{2} = −1:

i · i = (0 + i · 1) · (0 + i · 1) = (0 · 0 − 1 · 1) + i · (0 · 1 + 1 · 0) = −1.

Man braucht sich die formale Definition der Multiplikation nicht zu merken: man benutze einfach die üblichen aus ℝ bekannten Rechenregeln (Kommutativität a · b = b · a, Assoziativität (a · b) · c = a · (b · c), das Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c etc.), und setze beim Rechnen

i^{2} = −1, i^{3} = (i^{2}) · i = −i, i^{4} = (i^{3}) · i = (−i) · i = −(i^{2}) = 1

usw. ein:

(x_{1} + i · y_{1}) · (x_{2} + i · y_{2}) = x_{1} · x_{2} + i · x_{1} · y_{2} + i · x_{2} · y_{1} + \underbrace{i^{2}}_{−1} · y_{1} · y_{2}

= x_{1} ·x_{2} +i·x_{1} ·y_{2} +i·x_{2} ·y_{1} −y_{1} ·y_{2} = (x_{1} ·x_{2} −y_{1} ·y_{2})+i·(x_{1} ·y_{2} +x_{2} ·y_{1}).

Folgerung 1.3:

Wir konstruieren eine Division für z = x + i · y ≠ 0 + i · 0 ≡ 0:

\frac{1}{z} = \frac{1}{x + i · y} = \frac{1}{x + i · y} · \frac{x − i · y}{x − i · y}

= \frac{x − i · y}{(x + i · y) · (x − i · y)} = \frac{x − i · y}{x^{2} − (i · y)^{2}} = \frac{x}{x^{2} + y^{2}} − i · \frac{y}{x^{2} + y^{2}} .

Allgemein:

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1} + i · y_{1}}{x_{2} + i · y_{2}} = \frac{(x_{1} + i · y_{1}) · (x_{2} − i · y_{2})}{(x_{2} + i · y_{2}) · (x_{2} − i · y_{2})}

= \frac{(x_{1} · x_{2} + y_{1} · y_{2}) + i · (−x_{1} · y_{2} + x_{2} · y_{1})}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + i · (x_{2} · y_{2} − x_{2} · y_{2})}

= \frac{x_{1} · x_{2} + y_{1} · y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} + i · \frac{x_{2} · y_{1} − x_{1} · y_{2}}{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}} .

Definition 1.4: (komplexe Konjugation etc.)

Es werden folgende speziellen Operationen auf den komplexen Zahlen eingeführt:

ℜ(z) = ℜ(x + i · y) =  x  (der Realteil von z),
ℑ(z) = ℑ(x + i · y) =  y  (der Imaginärteil von z),
|z| = |x + i · y| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (der Betrag von z),
\overline{z} = \overline{x + i · y} = x − i · y (das komplex Konjugierte
von z).

Merkregel 1.5:

Die Division komplexer Zahlen läuft auf den Standardtrick ”Erweitern mit dem komplex konjugierten Nenner hinaus“:

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1} + i · y_{1}}{x_{2} + i · y_{2}} = \frac{(x_{1} + i · y_{1}) · (x_{2} − i · y_{2})}{(x_{2} + i · y_{2}) · (x_{2} − i · y_{2})} = \frac{z_{1} · \overline{z}_{2}}{z_{2} · \overline{z}_{2}} .

Satz 1.6: (Rechenregeln)

Für alle z, z_{1}, z_{2} ∈ ℂ gilt: ”Kommutativität“ und ”Assoziativität“ von Multiplikation und Division

z_{1} · z_{2} = z_{2} · z_{1}, (z_{1} · z_{2}) · z_{3} = z_{1} · (z_{2} · z_{3}),

\frac{1}{z_{1} · z_{2}} = \frac{1}{z_{2}} · \frac{1}{z_{1}} , (\frac{1}{z_{1}} · \frac{1}{z_{2}} ) · \frac{1}{z_{3}} = \frac{1}{z_{1}} · (\frac{1}{z_{2}} · \frac{1}{z_{3}} ),

”Linearität“ von ℜ, ℑ und Konjugation

ℜ(z_{1}+z_{2}) = ℜ(z_{1})+ℜ(z_{2}), ℑ(z_{1}+z_{2}) = ℑ(z_{1})+ℑ(z_{2}), \overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z}_{1}+\overline{z}_{2},

”Multiplikativität“ des Betrags und der Konjugation

|z_{1} · z_{2}| = |z_{1}| · |z_{2}|, |\frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}, \overline{z_{1} · z_{2}} = \overline{z_{1}} · \overline{z_{2}}, \overline{(\frac{z_{1}}{z_{2}} )} = \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}

sowie die Beziehungen

|z|^{2} = |\overline{z}|^{2} = z · \overline{z} = ℜ(z)^{2} + ℑ(z)^{2}, \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} · \overline{z}_{2}}{|z_{2}|^{2}}

und die ”Dreiecksungleichung“:

|z_{1} + z_{2}| ≤ |z_{1}| + |z_{2}|.

Beweis: Alles ist direkt nachzurechnen, z.B.

z · \overline{z} = (x + i · y) · (x − i · y) = x^{2} + y^{2} = |z|^{2} = |\overline{z}|^{2}

oder (wie schon oben durchgeführt):

\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{z_{1} · \overline{z_{2}}}{z_{2} · \overline{z_{2}}} = \frac{z_{1} · \overline{z_{2}}}{|z_{2}|^{2}} .

Beispiel 1.7: In MuPAD wird i = \sqrt{−1} durch I dargestellt:

↓19.4.02

>> sqrt(-1)
                            I
>> I^2
                           -1

Die MuPAD-Funktionen Re, Im, conjugate und abs berechnen Real- und Imaginärteil, komplexe Konjugation und den Absolutbetrag:

>> z:= 2 + 3*I:
>> Re(z), Im(z), conjugate(z), abs(z)
                                   1/2
                  2, 3, 2 - 3 I, 13

Geometrische Interpretation 1.8:

Man stellt sich üblicherweise die Menge der komplexen Zahlen als 2dimensionale Ebene (”die komplexe Ebene“) vor:

[figure: ℂ; x; i · y; z = x + i · y; \overline{z} = x − i · y; ℜ(z) = |z| · cos(φ); ℑ(z) = |z| · sin(φ); |z|; φ]

Der Betrag von z ist der Abstand zum Ursprung, komplexe Konjugation entspricht der Spiegelung an der x-Achse (”die reelle Achse“). Die y-Achse wird auch als ”imaginäre Achse“ bezeichnet.

Geometrisch ist ℂ nichts anderes als ℝ^{2}: x + i · y ∈ ℂ ˆ= (x, y) ∈ ℝ^{2}. Die komplexe Addition entspricht genau der Addition von Vektoren im ℝ^{2}. Algebraisch besteht der Unterschied zwischen ℂ und ℝ^{2} darin, dass man auf ℂ neben der Addition noch eine Multiplikation ℂ × ℂ ↦ ℂ hat, wohingegen es auf ℝ^{2} keine interessante Multiplikation zweier Vektoren gibt, die wieder einen Vektor liefert (außer derjenigen, die ℝ^{2} zu ℂ macht).

Bemerkung 1.9: Führt man den eingezeichneten Winkel φ zwischen dem ”Vektor“ z und der reellen Achse ein, so gilt mit den aus der Schule bekannten Winkelfunktionen sin und cos:

z = x + i · y = |z| · cos(φ) + i · |z| · sin(φ).

Die Darstellung z = x + i · y nennt man die Kartesische Darstellung der komplexen Zahl z durch Real- und Imaginärteil. Die Darstellung

z = |z| · ( cos(φ) + i · sin(φ))

durch den Betrag |z| und den ”Polarwinkel“ φ ∈ [0, 2 π) heißt Polardarstellung von z (φ heißt auch ”das Argument von z“). Wir werden später in Abschnitt 5.3 auf die Polardarstellung komplexer Zahlen zurückkommen, nachdem wir die komplexe Exponentialfunktion eingeführt haben.

1.2 Nullstellen von Polynomen, der Fundamentalsatz der Algebra

Die Motivation zur Einführung der komplexen Zahlen war, Polynomgleichungen wie z.B. x^{2} + 1 = 0 lösen zu können. In der Tat stellt sich nun heraus, dass Polynome vom Grad n immer genau n (evtl. ”entartete“) komplexe Nullstellen haben. Wir definieren zunächst ”Entartung“ von Nullstellen, wobei wir auf die aus der Schule bekannte Differentiation zurückgreifen:

Definition 1.10: (Vielfachheit von Nullstellen)

Sei f : ℝ ↦ ℝ eine mehrfach differenzierbare Funktion (siehe Kapitel 6). Man nennt x^{∗} eine Nullstelle der ”Vielfachheit“ k (oder auch ”k-fache Nullstelle“), wenn

f(x^{∗}) = f′(x^{∗}) = … = f^{(k−1)}(x^{∗}) = 0, f^{(k)}(x^{∗}) ≠ 0.

Beispiel 1.11: (Mehrfache Polynomwurzeln) Für das Polynom p(x) = (x − x^{∗})^{n} mit n > 0 ist x^{∗} eine n-fache Nullstelle:

p(x) = (x − x^{∗})^{n}, p′(x) = n · (x − x^{∗})^{n−1}, p′′(x) = n · (n − 1) · (x − x^{∗})^{n−2},
…, p^{(n−1)}(x) = n · (n − 1) · . . . · 2 · (x − x^{∗}), p^{(n)}(x) = n!,

also

p(x^{∗}) = (x^{∗} − x^{∗})^{n} = 0,
p′(x^{∗}) = n · (x^{∗} − x^{∗})^{n−1} = 0,

6 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

p′′(x^{∗}) = n · (n − 1) · (x^{∗} − x^{∗})^{n−2} = 0,
⋯
p^{(n−1)}(x^{∗}) = n · (n − 1) · . . . · 2 · (x^{∗} − x^{∗})^{1} = 0,
p^{(n)}(x^{∗}) = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 · (x^{∗} − x^{∗})^{0} = n! ≠ 0.

Beispiel 1.12: (Mehrfache Polynomwurzeln) Seien x_{1}, …, x_{k} verschieden. Für das Polynom

p(x) = (x − x_{1})^{n_{1}} · . . . · (x − x_{k})^{n_{k}}

vom Grad n = n_{1} + ⋯ + n_{k} sind x_{1}, …, x_{k} Nullstellen der Vielfachheit n_{1}, … n_{k}. Der Nachweis geht analog zum letzten Beispiel: Betrachte eine der Nullstellen x_{i} und schreibe

[figure: p(x) = (x − x_{i})^{n_{i}} · f(x), f(x) = (x − x_{1})^{n_{1}} · . . . · (x − x_{i})^{n_{i}} · . . . · (x − x_{k})^{n_{k}}.]

Über die aus der Schule bekannte Produktregel (g ·f)′ = g′ ·f +g ·f′ der Differentiation folgt

p(x) = (x − x_{i})^{n_{i}} · f(x),
p′(x) = n_{i} · (x − x_{i})^{n_{i}−1} · f(x) + (x − x_{i})^{n_{i}} · f′(x),

p′′(x) = n_{i} · (n_{i} − 1) · (x − x_{i})^{n_{i}−2} · f(x) + 2 · n_{i} · (x − x_{i})^{n_{i}−1} · f′(x) + (x − x_{i})^{n_{i}} · f′′(x)

usw., wobei f, f′, f′′ etc. Polynome sind. Die ersten n_{i} − 1 Ableitungen verschwinden an der Stelle x = x_{i}:

p(x_{i}) = 0^{n_{i}} · f(x_{i}) = 0 ,
p′(x_{i}) = 0^{n_{i}−1} · f(x_{i}) + 0^{n_{i}} · f′(x_{i}) = 0
p′′(x_{i}) = (..) · 0^{n_{i}−2} · f(x_{i}) + (..) · 0^{n_{i}−1} · f′(x_{i}) + 0^{n_{i}} · f′′(x_{i}) = 0

usw. Die n_{i}-te Ableitung verschwindet nicht:

p^{(n_{i})}(x) = n_{i}! · f(x) + (..) · (x − x_{i}) · f′(x) + ⋯ + (x − x_{i})^{n_{i}} · f^{(n_{i})}(x),

also p^{(n_{i})}(x_{i}) = n_{i}! · f(x_{i}), wobei

[figure: f(x_{i}) = (x_{i} − x_{1})^{n_{1}} · . . . · (x_{i} − x_{i})^{n_{i}} · . . . · (x_{i} − x_{k})^{n_{k}} ≠ 0]

gilt, da x_{i} ≠ x_{1}, …, x_{i} ≠ x_{k} vorausgesetzt ist. Damit ist x_{i} eine Nullstelle der Vielfachheit n_{i}.

Ein Polynom und seine Ableitungen

p(x) = a_{n} · x^{n} + a_{n−1} · x^{n−1} + … + a_{1} · x + a_{0},
p′(x) = a_{n} · n · x^{n−1} + a_{n−1} · (n − 1) · x^{n−2} + … + a_{1}

etc. ist natürlich auch für komplexe Zahlen x wohldefiniert und man kann daher nach (mehrfachen) komplexen Nullstellen fragen. Die Definition 1.10 der Vielfachheit wird dabei auch für komplexe Nullstellen beibehalten.

Wir rekapitulieren zunächst das in der Mathematik I des letzten Semesters schon vorgestellte Horner-Schema zur Polynomauswertung und Polynomdivision:

Satz 1.13: (Polynomauswertung und -division per Horner-Schema) Für das Polynom p(x) = a_{n} · x^{n} + a_{n−1} · x^{n−1} + ⋯ + a_{0} mit Koeffizienten a_{k} ∈ ℂ gilt für jedes x^{∗} ∈ ℂ:

\frac{p(x) − p(x^{∗})}{x − x^{∗}} = b_{0} · x^{n−1} + b_{1} · x^{n−2} + ⋯ + b_{n−2} · x + b_{n−1},

wobei b_{0}, b_{1} etc. durch die Rekursion (”Horner-Schema“)

\begin{matrix}b_{0} := a_{n} ; \\ for k := 1 to n do b_{k} := b_{k−1} · x^{∗} + a_{n−k} ; \end{matrix}

gegeben sind. Es gilt b_{n} = p(x^{∗}).

Beweis: Mit b_{0} = a_{n}, b_{k} − b_{k−1} · x^{∗} = a_{n−k} und −b_{n−1} · x^{∗} = a_{0} − b_{n} folgt

(x − x^{∗}) · (b_{0} · x^{n−1} + b_{1} · x^{n−2} + ⋯ + b_{n−2} · x + b_{n−1})
= b_{0} · x^{n} + b_{1} · x^{n−1}  + b_{2} · x^{n−2}  + ⋯ + b_{n−1} · x
− b_{0} · x^{∗} · x^{n−1} − b_{1} · x^{∗} · x^{n−2} − ⋯ − b_{n−2} · x^{∗} · x − b_{n−1} · x^{∗}
= a_{n} · x^{n} + a_{n−1} · x^{n−1} + a_{n−2} · x^{n−2} + ⋯ + a_{1} · x + a_{0} − b_{n}

= p(x) − b_{n}.

Für x = x^{∗} folgt 0 = p(x^{∗}) − b_{n} und damit

(x − x^{∗}) · (b_{0} · x^{n−1} + b_{1} · x^{n−2} + ⋯ + b_{n−2} · x + b_{n−1}) = p(x) − p(x^{∗}).

Das Horner-Schema liefert mittels b_{n} = p(x^{∗}) die Auswertung des Poly-

↓25.4.02

noms an einer Stelle x^{∗} mit n Multiplikationen und n − 1 Additionen. In der Tat ist es (für ”dicht besetzte“ Polynome) das Standardschema, mit dem auf dem Rechner Polynomauswertungen implementiert werden. Bei der Auswertung werden gleichzeitig die Koeffizienten b_{0}, …, b_{n−1} des ”Faktorpolynoms“ (p(x) − p(x^{∗}))/(x − x^{∗}) mitgeliefert. Das Horner-Schema läuft auf die folgende Darstellung des Polynoms hinaus:

p(x^{∗}) = ((… ((a_{n} · x^{∗} + a_{n−1}) · x^{∗} + a_{n−2}) · x^{∗} + ⋯) …) · x^{∗} + a_{1}) · x^{∗} + a_{0}.
↑
b_{0} = a_{n}
b_{1} = a_{n} · x^{∗} + a_{n−1}
b_{2} = a_{n} · x^{∗}^{2} + a_{n−1} · x^{∗} + a_{n−2}
...
b_{n} = a_{n} · x^{∗}^{n} + a_{n−1} · x^{∗}^{n−1} + ⋯ + a_{1} · x^{∗} + a_{0} = p(x^{∗})

Ist x^{∗} eine Nullstelle (”Wurzel“) des Polynoms, so folgt p(x)/(x − x^{∗}) = Polynom(x). Es ergibt sich das schon in der Mathematik I vorgestellte Grundprinzip, dass man bei einer gegebenen Nullstelle einen ”Linearfaktor“ x − x^{∗} vom Polynom abspalten kann:

Folgerung 1.14:

Ist x^{∗} eine Wurzel des Polynoms p vom Grad n > 0, so gilt

p(x) = (x − x^{∗}) · q(x)

mit einem ”Faktorpolynom“ q(x) = b_{0} · x^{n−1} + b_{1} · x^{n−2} + ⋯ + b_{n−1} vom Grad n−1, dessen Koeffizienten z.B. durch das Horner-Schema berechenbar sind. Merke: x^{∗} ist dann und genau dann eine Wurzel, wenn sich der Linearfaktor x − x^{∗} vom Polynom abspalten läßt.

Zwar hat nicht jedes Polynom reelle Nullstellen, aber es gilt das (zu beweisende) wichtige Prinzip:

Jedes Polynom vom Grad > 0 hat (mindestens) eine komplexe Nullstelle.

Setzen wir zur Motivation des kommenden Fundamentalsatzes 1.15 mal dieses Prinzip voraus. Es gilt p(x) = (x−x^{∗})·q(x) mit einer (garantiert existierenden) Nullstelle x^{∗} von p. Die Nullstellen des Faktorpolynoms q sind offensichtlich wieder Nullstellen des Ausgangspolyms p. Hat man nun eine Nullstelle x^{∗∗} von q, so kann man nach Folgerung 1.14 angewendet auf q einen weiteren Linearfaktor abspalten:

q(x) = (x − x^{∗∗}) · q̃(x), also p(x) = (x − x^{∗}) · (x − x^{∗∗}) · q̃(x)

mit einem Restpolynom q̃ vom Grad n − 2. Dies setzt man fort, bis man nach n Schritten auf ein konstantes Polynom stößt, das keine Nullstellen mehr besitzt. Es folgt eine Faktordarstellung

p(x) = (x − x^{∗}) · (x − x^{∗∗}) · (x − x^{∗∗∗}) · . . . · (x − x^{∗···∗}) · a_{n},

wobei a_{n} das zuletzt verbleibende konstante Restpolynom (vom Grad 0) ist. Vergleicht man die führenden Koeffizienten auf der linken und rechten Seite dieser Gleichung, so sieht man sofort, dass das verbleibende konstante Restpolynom nichts anderes als der führende Koeffizient von p(x) = a_{n} · x^{n} + ⋯ + a_{0} ist. Es folgt das Grundprinzip:

Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen.

Hierbei müssen wir aber etwas vorsichtig zählen, da in der Konstruktion die Nullstellen x^{∗}, x^{∗∗}, x^{∗∗∗} etc. eventuell übereinstimmen können. Eine saubere Formulierung liefert der folgende fundamentale Satz:

Satz 1.15: (Fundamentalsatz der Algebra, Gauß 1799)

Zu jedem Polynom p(x) = a_{n} · x^{n} + a_{n−1} · x^{n−1} + ⋯ + a_{0} vom Grad n > 0 mit a_{0}, …, a_{n} ∈ ℂ und a_{n} ≠ 0 gibt es komplexe Zahlen z_{1}, …, z_{k} (die Wurzeln) und n_{1}, …, n_{k} ∈ ℕ (die Vielfachheiten) mit n_{1} + ⋯ + n_{k} = n, so dass

p(x) = a_{n} · (x − z_{1})^{n_{1}} · . . . · (x − z_{k})^{n_{k}}.

Für die Anzahl k der unterschiedlichen Wurzeln gilt hierbei k ≤ n wegen n_{1} + ⋯ + n_{k} = n.

zum Beweis: Wie in der Motivation gezeigt, braucht man nur zu beweisen, dass jedes Polynom vom Grad > 0 mindestens eine komplexe Nullstelle bezitzt. Dies ist je nach den zur Verfügung stehenden Hilfsmitteln aber gar nicht so einfach und sprengt unseren Rahmen hier. Typischerweise wird der Satz in Lehrbüchern über komplexe Funktionentheorie bewiesen. Ein ”elementarer“ Beweis findet sich z.B. unter:

http://helios.mathematik.uni-kl.de/∼luene/kleinodien/laplace.html

Interpretation 1.16:

Nach Beispiel 1.12 sind z_{1}, …, z_{k} die Nullstellen von p mit den Vielfachheiten n_{1}, …, n_{k}. Zählt man z_{1} als n_{1} Wurzeln, z_{2} als n_{2} Wurzeln etc., so ergeben sich insgesamt n_{1} +⋯+n_{k} = n komplexe Wurzeln des Polynoms, und in der Tat erhalten wir in dieser Zählweise:

Jedes Polynom vom Grad n > 0 hat genau n komplexe Nullstellen!

Über die Anzahl der reellen Nullstellen hingegen kann man i.A. wenig aussagen (z.B. hat p(x) = x^{2} + 1 überhaupt keine reelle Nullstellen).

Merkregel 1.17:

Der Punkt x^{∗} ist dann und genau dann eine Nullstelle eines Polynoms p(x), wenn sich gemäß Folgerung 1.14 der Linearfaktor x − x^{∗} vom Polynom abfaktorisieren läßt. Die Vielfachheit von x^{∗} gibt an, wie oft sich dieser Linearfaktor abspalten läßt. Man sollte eine Polynomwurzel besser als einen Linearfaktor ansehen. Der Fundamentalsatz besagt, dass sich ein Polynom vom Grad n immer in genau n Linearfaktoren aufspalten läßt.

Die Existenz der komplexen Wurzeln sagt nichts darüber aus, ob man diese Wurzeln in irgendeiner Weise explizit darstellen kann. In der Tat gibt es z.B. für Polynome vom Grad ≥ 4 keine allgemeingültige Lösungsformel mit Hilfe von (verschachtelten) Wurzeln. Numerisch kann man jedoch stets Gleitpunktapproximationen der Wurzeln finden.

Beispiel 1.18: In MuPAD ist solve für exakte Lösungen und numeric::solve für numerische Lösungen zuständig. Das folgende Polynom hat 9 Wurzeln, die sich (zufälligerweise) alle explizit darstellen lassen:

>> p:= x^9 + 2*x^7 - x^3 - 2*x:
>> solve(p = 0, x)
             1/2     1/2           1/2
{0, -1, 1, - I 2   , I 2   , - 1/2 I 3    - 1/2,
             1/2         1/2               1/2
1/2 - 1/2 I 3   , 1/2 I 3    - 1/2, 1/2 I 3    + 1/2}

Der numerische Gleichungslöser liefert Gleitpunktnäherungen der Wurzeln:

>> numeric::solve(p = 0, x)
{0.0, - 0.5 - 0.8660254038 I, - 0.5 + 0.8660254038 I,
0.5 - 0.8660254038 I, 1.0, -1.414213562 I, 1.414213562 I,
0.5 + 0.8660254038 I, -1.0}

Die zurückgegebenen Objekte {...} sind jeweils Mengen, deren Elementanordnung willkürlich vom System nach internen Kriterien bestimmt wird. Diese sehen für exakte Werte anders aus als für Gleitpunktnäherungen, so dass sich die Reihenfolge der Elemente beim exakten und beim numerischen Lösen unterscheiden kann (was im obigen Beispiel auch in der Tat der Fall ist).

Es fällt hierbei auf, dass die komplexen Wurzeln als komplex konjugierte Paare x_{k} ± i · y_{k} auftauchen. Das ist kein Zufall und liegt daran, dass das eben betrachtete Polynom ”reell“ ist (damit ist gemeint, dass die Koeffizienten reell sind).

Satz 1.19: (konjugierte Wurzelpaare reeller Polyome)

Ist z eine k-fache Nullstelle des Polynoms p(x) = a_{n} · x^{n} + … + a_{0} mit reellen Koeffizienten a_{0}, …, a_{n}, so ist auch \overline{z} eine k-fache Nullstelle des Polynoms. Bei reellen Polynomen tauchen nicht-reelle Wurzeln also immer in komplex-konjugierten Paaren auf.

Beweis: Für ein reelles Polynom gilt wegen \overline{z_{1} · z_{2}} = \overline{z_{1}} · \overline{z_{2}} offensichtlich

\overline{p(z)} = p(\overline{z}).

Also gilt p(\overline{z}) = 0 dann und genau dann, wenn p(z) = 0 gilt. Da mit p auch alle Ableitungen von p wieder reelle Polynome sind, stimmen auch die Vielfachheiten der Nullstellen z und z̄ überein.

Q.E.D.

1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Diagonalisierung von Matrizen

Selbst wenn man sich als Lebensprinzip zu eigen gemacht hat, sich nur für reale (reelle) Dinge zu interessieren, kommt man oft doch nicht um komplexe Zahlen herum. Wir betrachten als Beispiel die (rein reelle) Aufgabenstellung:

Berechne A^{1 000 000} für die Matrix A = ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{matrix} ) .

Allgemein ist die Frage, ob es für Matrixpotenzen explizite Darstellungen gibt, mit denen sich die Berechnung über viele Matrixmultiplikationen vermeiden läßt. Wäre A eine Diagonalmatrix, so könnten wir das Ergebniss sofort explizit hinschreiben, denn es gilt

( \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} )^{n} = ( \begin{matrix}λ_{1}^{n} & 0 \\ 0 & λ_{2}^{n} \end{matrix} ) .

Eine Standardmethode der Linearen Algebra besteht darin, allgemeine Matrizen durch Transformation auf Diagonalgestalt zu bringen (”Diagonalisierung“). Hierbei geht es um Eigenwerte und -vektoren. Als Nullstellen des charakteristischen Polynoms sollten als Eigenwerte auch komplexe Zahlen in Betracht gezogen werden:

Satz 1.20: (Diagonalisierung von Matrizen)

Sei A eine reelle oder komplexe n × n-Matrix mit den (eventuell komplexen) Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n} und den entsprechenden Eigenvektoren x⃗_{1}, …, x⃗_{n}, also A x⃗_{k} = λ_{k} x⃗_{k}. Sei T = [x⃗_{1}, …, x⃗_{n}] die Matrix, deren Spalten aus diesen Eigenvektoren besteht. Es gilt

A T = T D mit D = diag(λ_{1}, …, λ_{n}) := ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) .

Sind die Eigenvektoren linear unabhängig, so ist T invertierbar, und es folgt

A = T D T^{−1}.

Beweis: Nach Definition der Matrixmultiplikation gilt

A T = A [x⃗_{1}, …, x⃗_{n}] = [A x⃗_{1}, …, A x⃗_{n}]

(die Spalten eines Matrixproduktes bestehen aus der ersten Matrix wirkend auf die Spalten der zweiten Matrix). Mit

T D = [x⃗_{1}, …, x⃗_{n}] ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} ) = [λ_{1} x⃗_{1}, …, λ_{n} x⃗_{n}]

und A x⃗_{k} = λ_{k} x⃗_{k} folgt A T = T D.

Q.E.D.

Folgerung 1.21:

Mit einer Diagonalisierung A = T D T^{−1} gilt

A^{n} = \underbrace{T D T^{−1}}_{A} \underbrace{T D T^{−1}}_{A} ⋯ \underbrace{T D T^{−1}}_{A} = T D D ⋯ D T^{−1} = T D^{n} T^{−1}.

Die Potenzen von A sind damit auf Potenzen der Diagonalform D von A zurückgeführt, wobei D^{n} sich ohne große Rechnung durch Potenzieren der Diagonalelemente ergibt.

Bemerkung 1.22: Hat man einen Eigenwert λ_{k} der zu diagonalisierenden Matrix gefunden, so kann man nach 1.20 irgendeinen dazugehörigen Eigenvektor x⃗_{k} benutzen, die entsprechende Spalte von T zu besetzen. Nun sind Eigenvektoren aber nicht eindeutig: ist x⃗_{k} ein Eigenvektor, so ist jedes Vielfaches y⃗_{k} = c_{k} x⃗_{k} wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert λ_{k}. Es gibt damit viele unterschiedliche Transformationsmatrizen T, während die Diagonalmatrix bis auf Umnummerierung der Eigenwerte eindeutig ist. Wie kann das sein? Antwort: die Transformationsmatrizen unterscheiden sich nur um eine Diagonalmatrix:

T̃ = [y⃗_{1}, …, y⃗_{n}] = [c_{1} x⃗_{1}, …, c_{n} x⃗_{n}] = \underbrace{[x⃗_{1}, …, x⃗_{n}]}_{T} \underbrace{( \begin{matrix}c_{1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & c_{n} \end{matrix} )}_{C} = T C.

In der Diagonalisierung fällt die diagonale ”Skalierungsmatrix“ C heraus, da die Multiplikation von Diagonalmatrizen kommutativ ist:

A = T̃ D T̃^{−1} = T C D (T C)^{−1} = T C D C^{−1} T^{−1}
= T D C C^{−1} T^{−1} = T D T^{−1}.

Bemerkung 1.23: Da bei der Diagonalisierung die Invertierbarkeit von T

↓26.4.02

wichtig ist, nützt es überhaupt nichts, triviale Eigenvektoren x⃗_{k} = 0 zu betrachten (die ja auch strenggenommen per Definition von Eigenvektoren gar nicht als Eigenvektoren zulässig sind).

Die Aufgabenstellung der Diagonalisierung läuft darauf hinaus, die Eigenvektoren zu allen Eigenwerten zu finden. Sobald man eine Basis von linear unabhängigen Eigenvektoren gefunden hat, hat man die invertierbare Transformationsmatrix T gefunden, welche die betrachtete Matrix auf Diagonalform bringt. Sind alle Eigenwerte verschieden, so existiert immer eine Basis von linear unabhängigen Eigenvektoren. Bei entarteten Eigenwerten (mehrfachen Nullstellen des charakteristischen Polynoms) ist dies jedoch nicht garantiert, und in der Tat gibt es nicht-diagonalisierbare Matrizen. Symmetrische reelle Matrizen sind immer diagonalisierbar, selbst wenn die (bei Symmetrie der Matrix automatisch reellen) Eigenwerte entartet sind.

Beispiel 1.24: Mittels Diagonalisierung können wir für

A = ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{matrix} )

eine explizite Darstellung von A^{n} für jedes n ∈ ℤ ermitteln. Nach Satz 1.20 sind alle Eigenwerte und –vektoren zu bestimmen. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des

14 KAPITEL 1. KOMPLEXE ZAHLEN

charakteristischen Polynoms

det(λ E_{2} − A) = det ( \begin{matrix}λ − 1 & \frac{1}{2} \\ −2 & λ − 1 \end{matrix} ) = λ^{2} − 2 λ + 2

(hier ist E_{2} die 2 × 2-Einheitsmatrix). Nach der Standardformel für die Nullstellen quadratischer Polynome ergeben sich die komplex konjugierten Eigenwerte

λ_{1,2} = 1 ± \sqrt{−1} = 1 ± i.

Die Eigenvektoren zu λ_{1} bzw. λ_{2} findet man, indem man die Kernvektoren von A−λ_{k} E_{2} ermittelt, d.h., die Gleichungen (A − λ_{k} E_{2}) x⃗_{k} = A x⃗_{k} − λ_{k} x⃗_{k} = 0 löst. Mit den Techniken der Mathematik I des letzten Semesters findet man die Lösungen

x⃗_{1} = ( \begin{matrix}i \\ 2 \end{matrix} ) bzw. x⃗_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 · i \end{matrix} ) .

Die Transformationsmatrix T wird spaltenweise aus diesen Eigenvektoren aufgebaut, die Inverse wird berechnet:

T = ( \begin{matrix}i & 1 \\ 2 & 2 · i \end{matrix} ) , T^{−1} = ( \begin{matrix}−\frac{i}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & −\frac{i}{4} \end{matrix} ) .

Damit folgt die Diagonalisierung

A = ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{matrix} ) = \underbrace{( \begin{matrix}i & 1 \\ 2 & 2 · i \end{matrix} )}_{T} \underbrace{( \begin{matrix}1 + i & 0 \\ 0 & 1 − i \end{matrix} )}_{D} \underbrace{( \begin{matrix}−\frac{i}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & −\frac{i}{4} \end{matrix} )}_{T^{−1}} .

Dies liefert

A^{n} = \underbrace{( \begin{matrix}i & 1 \\ 2 & 2 · i \end{matrix} )}_{T} \underbrace{\underbrace{( \begin{matrix}(1 + i)^{n} & 0 \\ 0 & (1 − i)^{n} \end{matrix} )}_{D^{n}} \underbrace{( \begin{matrix}−\frac{i}{2} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & −\frac{i}{4} \end{matrix} )}_{T^{−1}}}

= ( \begin{matrix}i & 1 \\ 2 & 2 · i \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−\frac{i}{2} · (1 + i)^{n} & \frac{1}{4} · (1 + i)^{n} \\ \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} & −\frac{i}{4} · (1 − i)^{n} \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}\frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} & \frac{i}{4} · (1 + i)^{n} − \frac{i}{4} · (1 − i)^{n} \\ −i · (1 + i)^{n} + i · (1 − i)^{n} & \frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} \end{matrix} ) .

Das Ergebnis muß als Potenz der reellen Matrix A reell sein. Dies ist in dieser Darstellung leider alles andere als offensichtlich. In der Tat brauchen wir noch einige grundsätzliche Überlegungen zu Potenzen komplexer Zahlen, die in Polarkoordinaten wesentlich einfacher zu handhaben sind als in Kartesischen Koordinaten. Wir werden später nach der Einführung der exp-Funktion für komplexe Zahlen hierauf genauer eingehen und in Beispiel 5.23 diese Darstellung von A^{n} noch weiter vereinfachen.

Folgen und Grenzwerte

Die Grundlage der Analysis ist der Begriff des Grenzwertes. Er ist aus der Schule bekannt (bzw. sollte bekannt sein) und wird hier rekapituliert. Da es kaum einen Unterschied macht, Folgen und Grenzwerte in ℝ oder in ℂ zu betrachten, formulieren wir die folgenden Definitionen und Sätze in ℂ, was ℝ als Spezialfall umschließt. In den Beispielen und Übungen werden hauptsächlich reelle Folgen betrachtet.

2.1 Definitionen, Beispiele, einige Sätze

Notation: ℕ = {1, 2, …}, ℕ_{0} = {0, 1, 2, …}.

Definition 2.1: (Folgen)

Eine Folge (z_{n}) = (z_{1}, z_{2}, z_{3} …), manchmal auch (z_{n}) = (z_{0}, z_{1}, z_{2}, …), ist eine Zuordnung (Funktion)

Index n ∈ ℕ (bzw. ℕ_{0}) ⟶ Wert z_{n} ∈ ℂ.

Beispiel 2.2:

a) x_{n} = (−1)^{n}; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist (−1, 1, −1, 1, …).

b) x_{n} = \frac{1}{n}; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, …).

c) x_{n} = 1 − \frac{1}{n^{2}} ; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist (0, \frac{3}{4}, \frac{8}{9}, \frac{15}{16}, \frac{24}{25}, …).

d) x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}; n ∈ ℕ. Die Folge (x_{n}) ist

(2, \frac{9}{4}, \frac{64}{27}, \frac{625}{256}, \frac{7776}{3125}, …) ≈ (2.0, 2.25, 2.3703..., 2.4414..., 2.4883..., …).

Beispiel 2.3: Einige simple Berechnungen mit MuPAD. Folgen können z.B. als Funktionen definiert werden:

>> x := n -> (1 + 1/n)^n
                    n -> (1 +  1/n)^n

Der ”Folgengenerator“ $ dient zur Erzeugung von Folgen:

>> x(n) $ n = 1..5
            2, 9/4, 64/27, 625/256, 7776/3125

Gleitpunktnäherungen werden durch float erzeugt:

>> float(x(n)) $ n = 1..5
       2.0, 2.25, 2.37037037, 2.44140625, 2.48832

Manchmal sind Monotonieeigenschaften von Folgen interessant. Da hierzu Folgenglieder verglichen werden müssen, kann Monotonie nur im Reellen betrachtet werden (auf ℂ gibt es keine sinnvolle Begriffsbildung der Art z_{1} < z_{2}).

Bezeichnung 2.4:

Eine reelle Folge (x_{n}) heißt ”monoton wachsend“ bzw. ”monoton fallend“, wenn x_{n} ≤ x_{m} bzw. x_{n} ≥ x_{m} gilt für alle Indexpaare n, m mit n < m. Bei x_{n} < x_{m} bzw. x_{n} > x_{m} spricht man von ”streng monoton wachsend“ bzw. ”streng monoton fallend“.

Zunächst die formale Definition von ”Konvergenz“ und ”Grenzwert“, die etwas abschreckend sein mag, aber (keine Angst!) später nur in (den hier nicht wirklich interessierenden) technischen Beweisen zum Einsatz kommt. Oft reicht es, einfache Vererbungsreglen wie z.B. aus Satz 2.13 zu benutzen, um Grenzwerte mittels Arithmetikregeln zu ermitteln.

Definition 2.5: (Grenzwerte von Folgen)

Eine Folge (z_{n}) in ℂ heißt ”konvergent“, wenn eine Zahl z^{∗} ∈ ℂ existiert, so dass sich (intuitiv) ”alle Zahlen z_{n} für großes n dem Wert z^{∗} beliebig genau annähern“. Formal: zu jedem noch so kleinen ϵ > 0 läßt sich eine reelle Zahl N(ϵ) angeben, so dass |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ gilt für alle Indizes n ≥ N(ϵ). Anschaulich: alle Werte z_{n} weichen für n ≥ N(ϵ) maximal um den Wert ϵ vom Grenzwert ab. Der Wert z^{∗} heißt dann ”Grenzwert“ (”Limes“) der Folge (z_{n}). Schreibweisen:

z^{∗} = lim_{n→∞} z_{n} oder auch z_{n} → z^{∗} für n → ∞.

Eine nicht konvergierende Folge heißt ”divergent“. Konvergente Folgen mit dem Grenzwert 0 heißen auch Nullfolgen.

Bemerkung 2.6: Die Aussage ”für alle n ≥ N(ϵ)“ impliziert, dass nur ”hinreichend große Indizes n“ betrachtet zu werden brauchen. Merke: für Konvergenz ist das Verhalten der Folge für kleine Indexwerte völlig irrelevant. Genauer: man kann immer \underline{endlich} viele Folgenelemente abändern, ohne dass sich etwas an der Konvergenz ändert: man kann o.B.d.A. (= ohne Beschränkung der Allgmeinheit) immer N(ϵ) größer wählen als der größte Index der geänderten Folgenglieder.

Eine intuitive Interpretation der ϵ-Definition der Konvergenz lautet:

Für jedes (noch so kleine) ϵ > 0 haben höchstens endlich viele Folgenglieder einen Abstand zum Grenzwert, der größer ist als ϵ.

Satz 2.7: (Eindeutigkeit von Grenzwerten)

Grenzwerte sind eindeutig, d.h., zu (z_{n}) gibt es höchstens ein z^{∗} mit der obigen Eigenschaft.

Beweis: Seien z^{∗} und z^{∗∗} zwei Grenzwerte. Zu jedem ϵ > 0 gilt für hinreichend große Indizes n:

|z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ, |z_{n} − z^{∗∗}| ≤ ϵ
⇒ |z^{∗} − z^{∗∗}| = |z^{∗} − z_{n} + z_{n} − z^{∗∗}| ≤ |z^{∗} − z_{n}| + |z_{n} − z^{∗∗}| ≤ 2 · ϵ.

Da ϵ > 0 beliebig klein gewählt werden kann und damit auch 2 · ϵ beliebig klein sein kann, folgt |z^{∗} − z^{∗∗}| = 0, also z^{∗} = z^{∗∗}.

Q.E.D.

Einige einfache Beispiele mit formalem Beweis:

Beispiel 2.8: Die konstante Folge (z_{n}) = (c, c, c, …) ist konvergent mit dem Grenzwert z^{∗} = lim_{n→∞} z_{n} = c, denn für alle n gilt

|z_{n} − z^{∗}| = |c − c| = 0 ≤ ϵ ,

wie auch immer ϵ > 0 vorgegeben wird. Formal: zu ϵ > 0 wähle N(ϵ) = 1.

Nun ja, im obigen Beispiel war sogar das formale N(ϵ)–Kriterium sehr einfach zu handhaben. Im nächsten Beispiel wird es ein klein wenig komplizierter:

18 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE

Beispiel 2.9: Die Folge x_{n} = \frac{1}{n} ist konvergent mit dem Grenzwert x^{∗} = lim_{n→∞} x_{n} = 0.

Formaler Beweis: zu beliebigem ϵ > 0 wähle N(ϵ) = \frac{1}{ϵ}. Dann folgt für alle n ≥ N(ϵ):

|x_{n} − x^{∗}| = |x_{n} − 0| = |x_{n}| = |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N(ϵ)} = \frac{1}{\frac{1}{ϵ}} = ϵ.

Und noch ein Beispiel mit formalem Beweis:

Beispiel 2.10: Für c ∈ ℂ gelte |c| < 1. Dann ist die Folge z_{n} = c^{n} eine Nullfolge.

Beweis: Für c = 0 ist alles klar. Sei nun c ≠ 0. Definiere h = \frac{1}{|c|} −1 > 0, d.h., |c| = \frac{1}{1+h}. Es gilt

\frac{1}{|c^{n}|} = \frac{1}{|c|^{n}} = (1 + h)^{n} = 1 + n · h + \binom{n}{2} · h^{2} + ⋯ ≥ 1 + n · h > n · h.

Es folgt |c^{n}| < \frac{1}{n·h} ≤ ϵ für alle Indizes n ≥ \frac{1}{h·ϵ} =: N(ϵ).

Q.E.D.

Beispiele:

c = 0.5 : (c^{n}) = (0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125 …).

Für |c| ≥ 1 gilt diese Aussage nicht! Z.B.:

c = 1 : (c^{n}) = (1, 1, 1, 1, …)  (konvergiert gegen 1),
c = i : (c^{n}) = (i, −1, −i, 1, i, −1, …) (konvergiert nicht),
c = 2 : (c^{n}) = (2, 4, 8, 16, …)  (divergiert, bzw. ”konvergiert gegen ∞“).

Beispiel 2.11: Einige Berechnungen mit MuPAD:

2.5.02↓

>> x := n -> c^n
                           n -> c^n
>> x(n) $ n = 1..10
                2   3   4   5   6   7   8   9   10
            c, c , c , c , c , c , c , c , c , c

Grenzwerte werden mit limit berechnet. Die Hilfeseite dazu wird mittels ?limit angefordert:

>> ?limit

Ohne Weiteres kann der Grenzwert nicht bestimmt werden, da er ja von den Eigenschaften von c abhängt:

2.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, EINIGE SÄTZE 19

>> limit(x(n), n = infinity)
Warning: cannot determine sign of ln(c) [stdlib::limit::limitMRV]
                           n
                    limit(c , n = infinity)

Nehmen wir an, c sei reell und 0 < c < 1:

>> assume(0 < c < 1):
>> limit(x(n), n = infinity)
                               0

Nehmen wir an, c > 1:

>> assume(c > 1):
>> limit(x(n), n = infinity)
                           infinity

Ein Beispiel einer nicht konvergierenden Folge:

Beispiel 2.12: Die Folge x_{n} = (−1)^{n}, also (x_{n}) = (−1, 1, −1, 1, …) ist nicht konvergent (hat keinen Grenzwert). Hier ein formaler Beweis (damit in dieser Vorlesung wenigstens einmal ein sauberer Nichtexistenzbeweis vorkommt): zu ϵ = \frac{1}{2} läßt sich kein N(ϵ) finden. Angenommen, ein Grenzwert x^{∗} existiert. Dann müßte N(ϵ) existieren mit

|x_{n} − x^{∗}| ≤ ϵ, |x_{n+1} − x^{∗}| ≤ ϵ

für alle n ≥ N(ϵ). Es würde folgen:

|x_{n} − x_{n+1}| = |x_{n} \underbrace{−x^{∗} + x^{∗}}_{=0} −x_{n+1}| ≤ |x_{n} − x^{∗}| + |x^{∗} − x_{n+1}| ≤ ϵ + ϵ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

Für die betrachtete Folge gilt aber |x_{n} − x_{n+1}| = 2 für jedes n. Widerspruch! Damit muß die Annahme ”es existiert x^{∗}“ falsch gewesen sein.

Die formale Definition mit ϵ und N(ϵ) ist unangenehm und man möchte diese recht technischen Betrachtungen und Abschätzungen liebend gern vermeiden. Wie geht man beim praktischen Rechnen vor? Es gibt Rechenregeln! Damit läßt sich ϵ und N(ϵ) praktisch immer verbannen:

Satz 2.13: (Rechenregeln für Grenzwerte)

Seien (x_{n}), (y_{n}) konvergente Folgen in ℂ, sei c ∈ ℂ eine Konstante. Dann gilt:

a) lim_{n→∞}(c · x_{n}) = c · lim_{n→∞} x_{n},

b) lim_{n→∞}(x_{n} ± y_{n}) = lim_{n→∞} x_{n} ± lim_{n→∞} y_{n},

c) lim_{n→∞}(x_{n} · y_{n}) = lim_{n→∞} x_{n} · lim_{n→∞} y_{n},

d) lim_{n→∞} (\frac{x_{n}}{y_{n}} ) = \frac{lim_{n→∞} x_{n}}{lim_{n→∞} y_{n}}, falls lim_{n→∞} y_{n} ≠ 0 gilt (!),

e) lim_{n→∞} \sqrt{x_{n}} = \sqrt{lim_{n→∞} x_{n}}.

Eine Beweisandeutung (nur für technisch Interessierte):

Beweisskizze: Seien x^{∗} bzw. y^{∗} die Grenzwerte von (x_{n}) bzw. (y_{n}).

a) Für c = 0 ist die Behauptung sicherlich richtig. Sei nun c ≠ 0. Zu ϵ > 0 gibt es ein N, so dass

|x_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{|c|}

gilt für alle n ≥ N. Für diese Indizes folgt

|c · x_{n} − c · x^{∗}| = |c| · |x_{n} − x^{∗}| ≤ |c| · \frac{ϵ}{|c|} = ϵ.

b) Wähle ein beliebiges ϵ > 0. Da (x_{n}) und (y_{n}) als konvergent vorausgesetzt sind, gibt es Werte N_{x} bzw. N_{y} mit

|x_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2} bzw. |y_{n} − y^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2}

für alle n ≥ N_{x} bzw. n ≥ N_{y}. Für alle n ≥ N(ϵ) := max(N_{x}, N_{y}) folgt

|x_{n} ± y_{n} − (x^{∗} ± y^{∗})| = |x_{n} − x^{∗} ± (y_{n} − y^{∗})|

≤ |x_{n} − x^{∗}| + | ± (y_{n} − y^{∗})| ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ.

Die Aussagen c) – e) lassen sich mit ähnlichen (etwas aufwendigeren) Abschätzungen beweisen.

Q.E.D.

Beispiel 2.14: Wir wissen bereits, dass konstante Folgen x_{n} = c gegen c konvergieren, und dass x_{n} = \frac{1}{n} eine Nullfolge ist. Durch Einsatz der Rechenregeln folgt unmittelbar:

lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{1}{n} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · lim_{n→∞} \frac{1}{n} = 0 · 0 = 0,

lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · \frac{1}{n^{2}} = lim_{n→∞} \frac{1}{n} · lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} = 0 · 0 = 0,

usw. Durch Induktion nach k ergibt sich:

Alle Folgen der Form x_{n} = \frac{1}{n^{k}} mit positiven Potenzen k sind Nullfolgen.

Manchmal muß man etwas manipulieren und umschreiben. Bei rationalen Ausdrücken in n (also Polynom(n)/Polynom(n)) gilt das allgemeine Rezept: ziehe in Zähler und Nenner die führende Potenz von n raus und kürze. Typischerweise verbleiben dann nur noch Nullfolgen im Ausdruck, die zu 0 werden, wenn man über die obigen Rechenregeln ”den Grenzwert in den Ausdruck ’reinzieht“:

Beispiel 2.15:

lim_{n→∞} \frac{2 · n^{2} + 1}{n^{2} − n} = lim_{n→∞} \frac{n^{2} · (2 + \frac{1}{n^{2}} )}{n^{2} · (1 − \frac{1}{n})} = lim_{n→∞} \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{1 − \frac{1}{n}} = \frac{2 + lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}}}{1 − lim_{n→∞} \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{1 − 0} = 2 .

Hierbei wurde benutzt, dass wir in den Beispielen 2.9 und 2.14 bereits 1/n und 1/n^{2} als Nullfolgen identifiziert haben. Man sieht, mit etwas Geschick eingesetzt, machen die Rechenregeln die Berechnung von Grenzwerten oft sehr einfach. Manchmal muß man allerdings ”tricksen“:

Beispiel 2.16:

lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) = lim_{n→∞} \frac{(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n}) · (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{\sqrt{n + 1}^{2} − \sqrt{n}^{2}}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}

= lim_{n→∞} \frac{(n + 1) − n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n · (1 + \frac{1}{n})} + \sqrt{n}}

= lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n} · \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{n}} = lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n} · (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}

= lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{n}} · lim_{n→∞} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = lim_{n→∞} \sqrt{\frac{1}{n}} · \frac{1}{lim_{n→∞} (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}

= \sqrt{lim_{n→∞} \frac{1}{n}} · \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{n→∞} \frac{1}{n}} + 1} = 0 · \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = 0.

Manchmal helfen alle Rechenregeln nichts, und man muß technisch abschätzen. Eine hilfreiche Aussage liefert der folgende Satz, der nur für reelle Folgen gilt. Liegen die Folgenglieder x_{n} in Intervallen [a_{n}, b_{n}] und konvergieren die Intervallenden gegen den selben Wert, so bleibt der Folge nichts anderes übrig, als ebenfalls gegen diesen Wert zu konvergieren (die Intervalllänge b_{n} − a_{n} konvergiert gegen 0):

Satz 2.17: (Intervallschachtelung)

Seien (a_{n}), (b_{n}), (x_{n}) reelle Folgen. Die Folgen (a_{n}) und (b_{n}) mögen gegen den selben Grenzwert konvergieren. Gilt für alle hinreichend großen Indizes a_{n} ≤ x_{n} ≤ b_{n}, so konvergiert auch (x_{n}) gegen

lim_{n→∞} x_{n} = lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n}.

Beweis: Sei x^{∗} der Grenzwert von (a_{n}) und (b_{n}). Die Folge (b_{n} − a_{n}) ist positiv und eine Nullfolge. Zu ϵ > 0 gibt es Werte N_{1} bzw. N_{2} mit

b_{n} − a_{n} = |b_{n} − a_{n}| ≤ \frac{ϵ}{2}, |a_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2}

für alle n ≥ N_{1} bzw. n ≥ N_{2}. Für alle n ≥ N := max(N_{1}, N_{2}) folgt

|x_{n} − x^{∗}| = |x_{n} − a_{n} + a_{n} − x^{∗}| ≤ |x_{n} − a_{n}| + |a_{n} − x^{∗}|

= x_{n} − a_{n} + |a_{n} − x^{∗}| ≤ b_{n} − a_{n} + |a_{n} − x^{∗}| ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ.

Q.E.D.

Beispiel 2.18: Sei x_{n} = \frac{n}{n^{2}+1}. Offensichtlich gilt

\underbrace{0}_{a_{n}} ≤ x_{n} = \frac{n}{n^{2} + 1} ≤ \frac{n}{n^{2}} = \underbrace{\frac{1}{n}}_{b_{n}} .

Die Intervallgrenzen a_{n} = 0 und b_{n} = \frac{1}{n} sind beides Nullfolgen, also ist auch x_{n} eine Nullfolge.

Beispiel 2.19: Für positive reelle Zahlen c definieren wir z_{n} = c^{1/n} als die positive reelle Lösung von z^{n} = c. Fall 1: Sei c ≥ 1. Sicherlich gilt z_{n} ≥ 1 . Setze z_{n} = 1 + h_{n} mit h_{n} ≥ 0. Es folgt

c = (1 + h_{n})^{n} = 1 + n · h_{n} + \binom{n}{2} · h_{n}^{2} + ⋯ ≥ 1 + n · h_{n} ⇒ 0 ≤ h_{n} ≤ \frac{c − 1}{n}.

Damit ist h_{n} eine Nullfolge, also z_{n} = 1 + h_{n} → 1 für n → ∞. Fall 2: Sei 0 < c ≤ 1. Sicherlich gilt 0 < z_{n} ≤ 1. Setze z_{n} = 1/(1 + h_{n}) mit h_{n} ≥ 0. Analog zu Fall 1 folgt

\frac{1}{c} = (1 + h_{n})^{n} = 1 + n · h_{n} + \binom{n}{2} · h_{n}^{2} + ⋯ ≥ 1 + n · h_{n} ⇒ 0 ≤ h_{n} ≤ \frac{\frac{1}{c} − 1}{n}.

Damit ist h_{n} eine Nullfolge, also z_{n} = 1/(1 + h_{n}) → 1 für n → ∞. Merke:

lim_{n→∞} c^{1/n} = 1 für jedes reelle c > 0.

Satz und Definition 2.20:

Sei z eine beliebige komplexe Zahl. Die Folge x_{n} = (1 + \frac{z}{n})^{n} konver-

↓3.5.02

giert gegen einen von z abhängenden Grenzwert x^{∗}(z), der auch als e^{z} oder auch als exp(z) bezeichnet wird. Die Funktion exp : z ↦ e^{z} heißt ”Exponential-Funktion“. Der spezielle Grenzwert e = e^{1} für z = 1 heißt ”Eulersche Zahl“:

e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} ≈ 2.71828... .

Der Beweis ist sehr technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Nur der Vollständigkeit halber wird eine Teilskizze angegeben:

Beweisskizze: Wir betrachten nur den Fall z = 1. Man zeigt jeweils per Induktion, dass die reelle Folge x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} streng monoton wachsend in n ist und dass

y_{n} = (1 + \frac{1}{n − 1})^{n} = (1 + \frac{1}{n − 1})^{n−1} · (1 + \frac{1}{n − 1}) = x_{n−1} · (1 + \frac{1}{n − 1})

streng monoton fallend in n ist. Da offensichtlich x_{n} < y_{n} < y_{2} = 4 gilt, ist x_{n} monoton wachsend und nach oben beschränkt. Dies reicht, um die Konvergenz von (x_{n}) zu folgern (Satz 2.28). Zusatz: y_{n} ist monoton fallend und nach unten durch y_{n} > x_{n−1} > x_{1} = 2 beschränkt, konvergiert also ebenfalls. Es gilt

lim_{n→∞} y_{n} = lim_{n→∞} x_{n−1} · (1 + \frac{1}{n − 1}) = lim_{n→∞} x_{n−1} · lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n − 1})

= lim_{n→∞} x_{n−1} = lim_{n→∞} x_{n}.

Damit liefert jedes x_{n} eine untere und y_{n} eine obere Schranke für die Eulersche Zahl, wobei das Intervall [x_{n}, y_{n}], in dem sie zu finden ist, auf die Länge 0 zusammenschrumpft.

Q.E.D.

Eine technische Vorüberlegung für den Beweis des kommenden Satzes 2.22:

Technischer Hilfssatz 2.21:

Sei (z_{n}) eine komplexe Nullfolge mit der Eigenschaft, dass (n^{2} · z_{n}) beschränkt ist (d.h., es gibt eine Konstante c > 0, so dass für alle Indizes n |z_{n}| ≤ \frac{c}{n^{2}} gilt). Dann gilt

lim_{n→∞}(1 + z_{n})^{n} = 1.

24 KAPITEL 2. FOLGEN UND GRENZWERTE Der Beweis ist sehr technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Er ist nur der Vollständigkeit halber angegeben: Beweis: Es gilt (Aufgabe 8) für jedes z ∈ ℂ:

z^{n} − 1 = (z − 1) · (1 + z + ⋯ + z^{n−1}).

Für z = 1 + z_{n} folgt

(1 + z_{n})^{n} − 1 = z_{n} · (1 + (1 + z_{n}) + ⋯ + (1 + z_{n})^{n−1}).

Die Dreiecksungleichung liefert

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ |z_{n}| · (1 + |1 + z_{n}| + ⋯ + |1 + z_{n}|^{n−1})

≤ |z_{n}| · (1 + (1 + |z_{n}|) + ⋯ + (1 + |z_{n}|)^{n−1}).

Mit (1 + |z_{n}|)^{k} ≤ (1 + |z_{n}|)^{n} für alle k = 0, 1, …, n − 1 folgt

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ |z_{n}| · ((1 + |z_{n}|)^{n} + (1 + |z_{n}|)^{n} + ⋯ + (1 + |z_{n}|)^{n})

= n · |z_{n}| · (1 + |z_{n}|)^{n}.

Wegen |z_{n}| ≤ c/n^{2} gilt auch |z_{n}| ≤ c/n:

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ n · |z_{n}| · (1 + \frac{c}{n})^{n} ≤ n · |z_{n}| · e^{c}.

Wegen |z_{n}| ≤ c/n^{2} gilt |n · z_{n}| ≤ c/n:

|(1 + z_{n})^{n} − 1| ≤ \frac{c · e^{c}}{n} .

Damit gilt lim_{n→∞} ((1 + z_{n})^{n} − 1) = 0, und es folgt lim_{n→∞}(1 + z_{n})^{n} = 1.

Q.E.D.

Der folgende Satz ist fundamental und sehr wichtig: Satz 2.22: (Funktionalgleichungen der Exponentialfunktion)

Für alle z, z_{1}, z_{2} ∈ ℂ, n ∈ ℤ gilt:

e^{0} = 1, e^{−z} = \frac{1}{e^{z}} , e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}} · e^{z_{2}}, (e^{z})^{n} = e^{n·z}.

Trotz aller Wichtigkeit des Satzes: der Beweis bringt keine wirklichen Erkenntnisse und ist nur der Vollständigkeit halber für technisch Interessierte angegeben:

Beweis: Es gilt

(1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{1}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{2}}{n} )^{n}

= ((1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} ) · (1 − \frac{z_{1}}{n} ) · (1 − \frac{z_{2}}{n} ))^{n}

= (1 − \frac{z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}}{n^{2}} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n^{3}})^{n}.

Die Folge

x_{n} = −\frac{z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}}{n^{2}} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n^{3}}

= \frac{1}{n^{2}} · (z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n})

erfüllt die im Hilfssatz 2.21 geforderte Bedingung |x_{n}| ≤ c/n^{2} mit

|z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2} + \frac{z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})}{n}| ≤ |z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}| + \frac{|z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})|}{n}

≤ |z_{1}^{2} + z_{1} · z_{2} + z_{2}^{2}| + |z_{1} · z_{2} · (z_{1} + z_{2})| =: c.

Hilfssatz 2.21 liefert damit

lim_{n→∞} (1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{1}}{n} )^{n} · (1 − \frac{z_{2}}{n} )^{n} = lim_{n→∞}(1 + x_{n})^{n} = 1

und folglich gilt:

1 = lim_{n→∞} (1 + \frac{z_{1} + z_{2}}{n} )^{n} · lim_{n→∞} (1 − \frac{z_{1}}{n} )^{n} · lim_{n→∞} (1 − \frac{z_{2}}{n} )^{n}

= e^{z_{1}+z_{2}} · e^{−z_{1}} · e^{−z_{2}}.

Mit e^{0} = lim_{n→∞} (1 + \frac{0}{n})^{n} = lim_{n→∞} 1^{n} = 1 folgt für z_{1} = z, z_{2} = −z:

1 = e^{0} · e^{−z} · e^{z} = e^{−z} · e^{z} ⇒ e^{−z} = \frac{1}{e^{z}} .

Für allgemeine z_{1}, z_{2} folgt dann:

1 = e^{z_{1}+z_{2}} · e^{−z_{1}} · e^{−z_{2}} ⇒ e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}} · e^{z_{2}}.

Hiermit folgt für n ∈ ℕ:

(e^{z})^{n} = e^{z} · e^{z} · . . . · e^{z} = e^{z+z+...+z} = e^{n·z}.

Mit e^{−z} = 1/e^{z} folgt die selbe Eigenschaft auch für negative ganzzahlige Potenzen n.

Q.E.D.

Beispiel 2.23: Einige Rechnungen mit MuPAD. Die Exponentialfunktion heißt exp:

>> limit((1 + 1/n)^n, n = infinity)
                            exp(1)

Mit % wird auf den letzten Wert zugegriffen:

>> float(%)
                          2.718281829
>> exp(20) = float(exp(20))
                     exp(20) = 485165195.4
>> exp(3 + I/2) = float(exp(3 + I/2))
         exp(3 + 1/2 I) = 17.62671695 + 9.629519358 I

Für reelle Argumente kann die Exponentialfunktion mittels plotfunc2d gezeichnet werden. Falls x vorher einen Wert zugewiesen bekommen hatte, muß dieser zunächst mittels delete gelöscht werden:

>> delete x:
>> plotfunc2d(exp(x), x = -2..3)

2.2 Weitere Konvergenzsätze

In diesem Abschnitt werden einige allgemeine Sätze formuliert, die hilfreich sind, die Konvergenz von Folgen zu prüfen. Als Vorbereitung wird zunächst das Supremumsaxiom vorgestellt. Es garantiert, dass ℝ ”vollständig“ genug ist, um die Existenz diverser Grenzwerte zu sichern.

2.2.1 Das Supremumsaxiom für ℝ

Welcher Unterschied besteht zwischen der Menge ℝ der reellen Zahlen und der Menge ℚ der rationalen Zahlen? In beiden Mengen ist die Arithmetik (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) definiert und verläßt die Menge nicht. Mathematisch gesprochen: beide Mengen sind ”Körper“. Die Einführung der reellen Zahlen als Verallgemeinerung der rationalen Zahlen ist dadurch motiviert, Gleichungen wie z.B. x^{2} = 2 lösen zu können (\sqrt{2} ist eine irrationale Zahl, also in ℝ, aber nicht in ℚ). In diesem Sinne ist ℝ ”vollständiger“ als ℚ. Worauf läuft dies mathematisch hinaus?

Definition 2.24: (Beschränktheit)

Eine Teilmenge A von ℝ heißt ”nach oben bzw. nach unten beschränkt“, wenn es Zahlen M ∈ ℝ bzw. m ∈ ℝ gibt, so dass a ≤ M bzw. m ≤ a für alle a ∈ A gilt. Die Zahl M bzw. m heißt ”obere bzw. untere Schranke“ für A. Eine sowohl nach oben als auch nach unten beschränkte Menge heißt ”beschränkt“. Es gilt |a| ≤ max(|m|, |M|) für alle a ∈ A.

Das Supremumsaxiom 2.25:

Jede nach oben beschränkte nichtleere Teilmenge A von ℝ besitzt eine kleinste obere Schranke (”das Supremum“ von A):

sup A = min{M ∈ ℝ; a ≤ M ∀a ∈ A}.

Jede nach unten beschränkte nichtleere Teilmenge A von ℝ besitzt eine größte untere Schranke (” das Infimum“ von A):

inf A = max{m ∈ ℝ; m ≤ a ∀a ∈ A}.

Hierbei braucht man als Axiom eigentlich nur die Existenz eine Supremums zu fordern. Das Infimum von A ergibt sich dann automatisch als das negative Supremum der Menge der negativen Werte in A:

inf A = − sup {−a; a ∈ A}.

Die Existenz des Minimums/Maximums aller oberen/unteren Schranken, welche das Supremum/Infimum definieren, ist die gewünschte Vollständigkeit der reellen Zahlen, die ℝ z.B. von ℚ unterscheidet.

Bemerkung 2.26: Existiert in A ⊂ ℝ ein maximales Element, so ist dieses Maximum auch das Supremum:

sup A = max A.

Aber nicht jede beschränkte Menge hat ein maximales Element. Z.B. hat A = [0, 1) kein Maximum, denn das Supremum sup A = 1 (der einzige Kandidat für das Maximum) liegt nicht in A.

Beispiel 2.27: Beispielsweise garantiert das Supremumsaxiom, dass es eine positive reelle Zahl \sqrt{2} gibt, deren Quadrat 2 ist. Betrachte dazu A = \{a ∈ ℝ; a^{2} ≤ 2\}. Die beiden Lösungen von x^{2} = 2 ergeben sich als

\sqrt{2} = sup A, −\sqrt{2} = inf A.

Das ist intuitiv plausibel, kann aber auch ganz formal bewiesen werden. Wir betrachten hier nur das Supremum und führen den Beweis von (sup A)^{2} = 2 für technisch Interessierte formal durch:

Offensichtlich ist die Menge A beschränkt (sicherlich gilt z.B. A ⊂ [−3/2, 3/2]). Es ist zu zeigen, dass das Supremum (nennen wir es s) in der Tat s^{2} = 2 erfüllt:

Sicherlich gilt s > 0, also speziell 2 + s > 0.

Angenommen, es gilt s^{2} < 2. Dann kann s keine obere Schranke von A sein, denn z.B. die Zahl

a = s + \underbrace{\frac{2 − s^{2}}{2 + s}}_{>0} = \frac{2 · s + s^{2} + 2 − s^{2}}{2 + s} = \frac{2 + 2 · s}{2 + s}

wäre echt größer als s und liegt in A, denn es gilt

a^{2} = \frac{4 + 8 · s + 4 · s^{2}}{(2 + s)^{2}} = \frac{(8 + 8 · s + 2 · s^{2}) − 2 · (2 − s^{2})}{(2 + s)^{2}}

= \frac{2 · (2 + s)^{2} − 2 · (2 − s^{2})}{(2 + s)^{2}} = 2 − 2 · \underbrace{\frac{2 − s^{2}}{(2 + s)^{2}}}_{>0} < 2.

Widerspruch! Angenommen, es gilt s^{2} > 2. Dann kann s nicht die kleinste obere Schranke von A sein, denn z. B. die Zahl

M = s + \underbrace{\frac{2 − s^{2}}{2 + s}}_{<0} = \frac{2 · s + s^{2} + 2 − s^{2}}{2 + s} = \frac{2 + 2 · s}{2 + s}

ist kleiner als s und ist obere Schranke von A, denn wegen

M^{2} = \frac{4 + 8 · s + 4 · s^{2}}{(2 + s)^{2}} = \frac{(8 + 8 · s + 2 · s^{2}) + 2 · (s^{2} − 2)}{(2 + s)^{2}}

= \frac{2 · (2 + s)^{2} + 2 · (s^{2} − 2)}{(2 + s)^{2}} = 2 + 2 · \underbrace{\frac{s^{2} − 2}{(2 + s)^{2}}}_{>0} > 2

gilt:

a ∈ A ⇔ a^{2} ≤ 2 ⇒ a^{2} < M^{2} ⇒ a < M.

(Im letzten Schritt wird ausgenutzt, dass wir bereits wissen, dass M = (2+2·s)/(2+s) > 0 gilt, da sicherlich s > 0 gilt.) Widerspruch! Also muss s^{2} = 2 gelten.

Q.E.D.

2.2.2 Konvergenz monotoner reeller Folgen

Die folgende Aussage ist äußerst hilfreich, denn sie gerantiert Konvergenz, ohne dass der konkrete Grenzwert bekannt zu sein braucht. Die Aussage beruht auf Monotonie und ist daher nur auf reelle Folgen anwendbar. Die Konvergenz basiert auf dem Supremumsaxiom 2.25 für ℝ.

Satz 2.28: (Konvergenz monotoner Folgen)

Sei (x_{n}) eine monoton steigende bzw. fallende reelle Folge. Ist die Folge nach oben bzw. unten beschränkt, also x_{n} ≤ M bzw. m ≤ x_{n} für alle Indizes n, so ist (x_{n}) konvergent. Es gilt

lim_{n→∞} x_{n} = sup {x_{n}; n ∈ ℕ} ≤ M bzw. m ≤ lim_{n→∞} x_{n} = inf {x_{n}; n ∈ ℕ}.

Beweis: Betrachte eine monoton steigende und durch M nach oben beschränkte Folge (x_{n}). Setze A = {x_{n}; n ∈ ℕ}. Der gesuchte Grenzwert ist x^{∗} = sup A. Zum Beweis der Konvergenz gegen x^{∗} sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Da x^{∗} die kleinste obere Schranke von A ist, ist x^{∗} − ϵ keine obere Schranke, d.h., es existiert ein Index N(ϵ) mit x_{N(ϵ)} > x^{∗} − ϵ. Wegen der Monotonie gilt für alle Indizes n ≥ N(ϵ):

x^{∗} ≥ x_{n} ≥ x_{N(ϵ)} ≥ x^{∗} − ϵ ⇒ 0 ≤ x^{∗} − x_{n} ≤ ϵ ⇒ |x^{∗} − x_{n}| ≤ ϵ.

Da x^{∗} die kleinste obere Schranke von A ist, gilt für die obere Schranke M die Ungleichung x^{∗} ≤ M.

Die Konvergenz monoton fallender, nach unten beschränkter Folgen ist analog zu beweisen.

Q.E.D.

Beispiel 2.29: Betrachte

x_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ⋯ + \frac{1}{n!}.

Offensichtlich ist (x_{n}) monoton steigend und nach oben beschränkt:

x_{n} = 1 + \underbrace{\frac{1}{1!}}_{= \frac{1}{2^{0}}} + \underbrace{\frac{1}{2!}}_{= \frac{1}{2^{1}}} + \underbrace{\frac{1}{3!}}_{< \frac{1}{2^{2}}} + ⋯ + \underbrace{\frac{1}{n!}}_{< \frac{1}{2^{n−1}}} ≤ 1 + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} ≤ 3.

Die Folge konvergiert gegen einen Grenzwert ≤ 3 (es ist die Eulersche Zahl 2.71828...).

2.2.3 Cauchy–Folgen und der Banachsche Fixpunktsatz

Wir betrachten einige Aussagen, die sowohl in ℝ als auch allgemeiner in ℂ gelten. Zunächst wird der Zusammenhang zwischen reeller und komplexer Konvergenz von Folgen durch den folgenden Satz aufgedeckt:

Satz 2.30: (Komplexe und reelle Konvergenz)

Sei z_{n} = x_{n} + i · y_{n} ∈ ℂ mit x_{n}, y_{n} ∈ ℝ. Die Folge (z_{n}) konvergiert dann und genau dann gegen z^{∗} = x^{∗} + i · y^{∗} (x^{∗}, y^{∗} ∈ ℝ), wenn Real- und Imaginärteil einzeln konvergieren: lim_{n→∞} x_{n} = x^{∗}, lim_{n→∞} y_{n} = y^{∗}.

Beweis: Es gilt |z_{n} − z^{∗}|^{2} = (x_{n} − x^{∗})^{2} + (y_{n} − y^{∗})^{2}.

Gilt (x_{n}) → x^{∗} und gleichzeitig (y_{n}) → y^{∗}, so ist |z_{n} − z^{∗}|^{2} eine Nullfolge, also auch |z_{n} − z^{∗}|. Dies ist per Definition die Konvergenz (z_{n}) → z^{∗}.

Umgekehrt, es gelte (z_{n}) → z^{∗}. Mit

0 ≤ |x_{n} − x^{∗}| ≤ |z_{n} − z^{∗}|, 0 ≤ |y_{n} − y^{∗}| ≤ |z_{n} − z^{∗}|

folgt mit Satz 2.17 unmittelbar, dass |x_{n} − x^{∗}| und |y_{n} − y^{∗}| Nullfolgen sein müssen. Dies ist per Definition die Konvergenz (x_{n}) → x^{∗}, (y_{n}) → y^{∗}.

Q.E.D. 10.5.02↓

Die Definition der Konvergenz 2.5 benötigt die Kenntnis des Grenzwerts. Der folgende Satz 2.31 ist eine Existenzaussage, mit der auch ohne Kenntnis des konkreten Grenzwerts die Konvergenz abgelesen werden kann. Zunächst die entscheidende Begriffsbildung:

Definition 2.31: (Cauchy–Folgen)

Eine Folge (z_{n}) in ℂ heißt ”Cauchy–Folge“, wenn zu jedem ϵ > 0 eine reelle Zahl N(ϵ) existiert, so dass für alle n, m ≥ N(ϵ) gilt: |z_{n} − z_{m}| ≤ ϵ.

Satz 2.32: (Die konvergenten Folgen sind die Cauchy–Folgen)

Eine Folge in ℂ konvergiert dann und genau dann, wenn sie eine Cauchy– Folge ist.

Der Beweis ist technisch und bringt keine wirklichen Erkenntnisse. Er ist nur der Vollständigkeit halber angegeben:

Beweis: Wir betrachten zunächst Folgen (x_{n}) in ℝ. Konvergenz ⇒ Cauchy–Folge: Ist (x_{n}) konvergent mit Grenzwert x^{∗}, so gibt es zu ϵ > 0 ein N(ϵ), so dass

|x_{n} − x^{∗}| ≤ ϵ, |x_{m} − x^{∗}| ≤ ϵ

gilt für alle n, m ≥ N(ϵ). Für alle n, m ≥ N(ϵ/2) folgt

|x_{n} − x_{m}| = |x_{n} − x^{∗} + x^{∗} − x_{m}| ≤ |x_{n} − x^{∗}| + |x^{∗} − x_{m}| ≤ \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ,

d.h., (x_{n}) ist eine Cauchy–Folge. Cauchy–Folge ⇒ Konvergenz: Sei (x_{n}) eine Cauchy–Folge mit |x_{n} −x_{m}| ≤ ϵ für alle n, m ≥ N_{x}(ϵ). Hieraus folgt, dass die Menge A_{n} = {x_{m}; m ≥ n} für jedes n beschränkt ist:

|x_{m}| = |x_{m} − x_{n} + x_{n}| \{ \begin{matrix}≤ |x_{n}| + |x_{m} − x_{n}|, \\ ≥ |x_{n}| − |x_{m} − x_{n}|, \end{matrix}

wobei z.B. |x_{m} − x_{n}| ≤ 1 für m, n ≥ N_{x}(1) gilt. Man kann also definieren:

a_{n} := inf {x_{m}; m ≥ n}, b_{n} := sup {x_{m}; m ≥ n}.

Offensichtlich gilt a_{n} ≤ x_{n} ≤ b_{n}. Die Folge b_{n} ist monoton fallend, da die Suprema immer kleinerer Mengen betrachtet werden. Analog ist die Folge a_{n} monoton wachsend. Nach Satz 2.28 konvergieren damit (a_{n}) und (b_{n}) gegen gewisse Grenzwerte a^{∗} und b^{∗} mit a^{∗} ≤ b^{∗}. Wir zeigen, dass a^{∗} = b^{∗} gilt. Angenommen, es gilt a^{∗} < b^{∗}. Betrachte ϵ = (b^{∗} − a^{∗})/4 > 0. Wähle ein n ≥ N_{x}(ϵ). Da a_{n} als Infimum die größte untere Schranke von A_{n} ist, ist a_{n} +ϵ keine untere Schranke von A_{n} mehr: es gibt ein m_{1} ≥ n, so dass x_{m_{1}} < a_{n} + ϵ. Anlog gibt es ein m_{2} ≥ n, so dass x_{m_{2}} > b_{n} − ϵ. Wegen der Monotonie von (a_{n}) und (b_{n}) gilt a_{n} ≤ a^{∗} und b_{n} ≥ b^{∗}, also:

b_{n} − a_{n} ≥ b^{∗} − a^{∗} = 4 · ϵ.

Damit folgt

x_{m_{2}} − x_{m_{1}} = \underbrace{x_{m_{2}} − b_{n}}_{>−ϵ} + \underbrace{b_{n} − a_{n}}_{≥4·ϵ} + \underbrace{a_{n} − x_{m_{1}}}_{>−ϵ} ≥ −ϵ + 4 · ϵ − ϵ > ϵ.

Hierbei gilt m_{1}, m_{2} ≥ n ≥ N_{x}(ϵ). Mit der Cauchy–Eigenschaft von (x_{n}) müßte für solche Indizes aber |x_{m_{2}} − x_{m_{1}}| ≤ ϵ gelten. Widerspruch!

Damit ist gezeigt, dass reelle Folgen (x_{n}) genau dann konvergieren, wenn sie Cauchy–Folgen sind. Analog zu Satz 2.30 ist leicht gezeigt, dass eine komplexe Folge genau dann eine Cauchy–Folge ist, wenn die Folgen der Real- und Imaginärteile beide Cauchy–Folgen sind. Zusammen mit Satz 2.30 ergibt sich damit, dass auch komplexe Folgen genau dann konvergieren, wenn sie Cauchy–Folgen sind.

Q.E.D.

Auch wenn der Begriff ”Cauchy–Folgen“ sehr technisch ist, ist er für Anwendungen sehr interessant. Er taucht (wenngleich nur im Beweis versteckt) beim für die Praxis sehr wichtigen Banachschen Fixpunktsatz für kontrahierende Abbildungen auf. Zunächst einige relevante Begriffe:

Definition 2.33: (Häufungspunkte von Mengen)

Ein Punkt z^{∗} ∈ ℂ heißt ”Häufungspunkt“ einer Menge A ⊂ ℂ, wenn für jedes ϵ > 0 die sogenannte ”ϵ-Umgebung“ von z^{∗}

Ū_{ϵ}(z^{∗}) = {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| ≤ ϵ}

mindestens einen Punkt in A enthält: Ū_{ϵ}(z^{∗}) ∩ A ≠ ∅.

Geometrisch ist die ϵ-Umgebung eines Punktes z^{∗} ein Kreisgebiet mit Mittelpunkt z^{∗} und Radius ϵ, wobei in der obigen Definition der Kreisrand

{z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| = ϵ}

mit zur Umgebung gerechnet wird.

Beispiel 2.34: Offensichtlich ist jeder Punkt in A ein Häufungspunkt von A (denn dieser Punkt liegt in jeder ϵ-Umgebung von sich selbst). Es kann aber auch Punkte außerhalb von A geben, die Häufungspunkte von A sind. In ℝ sind z.B. die Endpunkte von Intervallen stets Häufungspunkte, selbst wenn das Intervall A = (a, b) ⊂ ℝ offen ist. Z.B.: offensichtlich liegt für ϵ > 0 der Punkt x = min((a + b)/2, a + ϵ) sowohl in A = (a, b) als auch in der ϵ Umgebung von a. Also ist a ein Häufungspunkt von A.

Für den Banachschen Fixpunktsatz brauchen wir weiterhin die Begriffsbildung ”abgeschlossene Menge“. Wir definieren den Begriff ”offene Menge“ gleich mit (brauchen ihn momentan aber nicht).

Definition 2.35: (abgeschlossene Mengen)

Eine Menge A ∈ ℂ heißt ”abgeschlossen“, wenn jeder ihrer Häufungspunkte in A liegt. Die Menge heißt ”offen“, wenn ihr Komplement ℂ \ A = {z ∈ ℂ; z ∉ A} abgeschlossen ist.

Beispiel 2.36: Abgeschlossene Intervalle [a, b] in ℝ sind abgeschlossene Mengen. Die hier definierten ϵ-Umgebungen

Ū_{ϵ}(z^{∗}) = {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| ≤ ϵ}

sind abgeschlossene Mengen in ℂ . Achtung: in der Literatur werden als ϵ-Umgebungen oft die Mengen

U_{ϵ}(z^{∗}) = {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| < ϵ}

betrachtet, die den Kreisrand {z ∈ ℂ; |z − z^{∗}| = ϵ} nicht enthalten. Diese Mengen sind nicht abgeschlossen, denn die Punkte des Kreisrands sind Häufungspunkte. Die U_{ϵ} sind offene Mengen.

Wir definieren den Begriff einer kontrahierenden Abbildung:

Definition 2.37:

↓entfällt

Eine Abbildung Φ : A ⊂ ℂ → ℂ heißt ”Kontraktion in A“, wenn eine ”Kontraktionskonstante“ k ∈ [0, 1) existiert, so dass für alle x, y ∈ A gilt:

|Φ(x) − Φ(y)| ≤ k · |x − y|.

Zur Namensgebung: der Abstand zweier Bildpunkte |Φ(x) − Φ(y)| einer Kontraktion ist stets kleiner als der Abstand der Urbildpunkte |x − y|.

Bemerkung 2.38: Kontraktionen sind automatisch das, was wir später als

↓entfällt

”stetige Funktionen“ einführen werden. Für jede konvergierende Folge (z_{n}) konvergiert Φ(z_{n}), und es gilt

lim_{n→∞} Φ(z_{n}) = Φ( lim_{n→∞} z_{n}).

Dies ist leicht einzusehen. Sei z^{∗} der Grenzwert von (z_{n}). Die Kontraktionseigenschaft liefert

0 ≤ |Φ(z_{n}) − Φ(z^{∗})| < |z_{n} − z^{∗}|.

Wegen der Konvergenz z_{n} → z^{∗} ist die rechte Seite eine reelle Nullfolge. Mit Satz 2.17 folgt, dass |Φ(z_{n}) − Φ(z^{∗})| eine Nullfolge ist, was die Konvergenz Φ(z_{n}) → Φ(z^{∗}) bedeutet.

↓entfällt

Der folgende wichtige Fixpunktsatz für kontrahierende Abbildungen geht auf Stefan Banach (polnischer Mathematiker, 1892 – 1945) zurück. Er setzt neben der Kontraktionseigenschaft als wichtige Annahme voraus, dass die Kontraktion ihren Definitionsbereich in sich selbst abbildet:

Satz 2.39: (”BFS“: der Banachsche Fixpunktsatz)

↓entfällt

Sei Φ : A → A eine Kontraktion in einer abgeschlossenen Menge A ⊂ ℂ mit einer Kontraktionskonstanten k < 1 . Dann

a) existiert ein eindeutig bestimmter Fixpunkt z^{∗} = Φ(z^{∗}) ∈ A,

b) konvergiert jede Folge z_{n+1} = Φ(z_{n}) mit beliebigem Startwert z_{0} ∈ A gegen z^{∗},

c) gelten für jede solche Folge die Abschätzungen

|z_{n} − z^{∗}| ≤ \frac{k}{1 − k} · |z_{n} − z_{n−1}| ≤ \frac{k^{n}}{1 − k} · |z_{1} − z_{0}|.
“a posteriori”  “a priori”

Vom (wiederum sehr technischen) Beweis braucht man eigentlich nur zu wissen, dass man zeigen kann, dass die per z_{n+1} = Φ(z_{n}) konstruierten Folgen Cauchy– Folgen sind. Der Fixpunkt ergibt sich dann über den Grenzwert der Folgen, dessen Existenz mittels Satz 2.32 gesichert ist. Aus der Kontraktionseigenschaft folgt die Eindeutigkeit (alle Folgen konvergieren gegen denselben Grenzwert). Für technisch Interessierte ist der Beweis der Vollständigkeit halber angegeben:

Beweis: Zeige: (z_{n}) ist Cauchy-Folge. entfällt↓

\begin{aligned}|z_{n+m} − z_{n}| & = & |z_{n+m} − z_{n+m−1} + z_{n+m−1} ∓ ⋯ − z_{n+1} + z_{n+1} − z_{n}| \\ & ≤ & |z_{n+m} − z_{n+m−1}| + |z_{n+m−1} − z_{n+m−2}| + ⋯ + |z_{n+1} − z_{n}| \end{aligned}

für jedes n, m ≥ 0. Aus |z_{j} −z_{j−1}| = |Φ(z_{j−1})−Φ(z_{j−2})| ≤ k ·|z_{j−1} −z_{j−2}|, d.h.,

|z_{j} − z_{j−1}| ≤ k · |z_{j−1} − z_{j−2}| ≤ k^{2} · |z_{j−2} − z_{j−3}| ≤ …

folgt

|z_{n+m} − z_{n}| ≤ k^{m−1} · |z_{n+1} − z_{n}| + k^{m−2} · |z_{n+1} − z_{n}| + ⋯ + |z_{n+1} − z_{n}|

= (1 + k + k^{2} + ⋯ + k^{m−1}) · |z_{n+1} − z_{n}| = \frac{1 − k^{m}}{1 − k} · |z_{n+1} − z_{n}|

≤ \frac{|z_{n+1} − z_{n}|}{1 − k} ≤^{(#)} \frac{k |z_{n} − z_{n−1}|}{1 − k} ≤ \frac{k^{2} |z_{n−1} − z_{n−2}|}{1 − k} ≤ … ≤^{(##)} \frac{k^{n} |z_{1} − z_{0}|}{1 − k}.

Mit k^{n} → 0 folgt die Cauchy-Eigenschaft. Es existiert somit ein Grenzwert z^{∗}. Mit z_{0} ∈ A und Φ : A → A folgt z_{n} ∈ A ⇒ z^{∗} ist Häufungspunkt von A ⇒ z^{∗} ∈ A (abgeschlossen). Da Φ im Sinne von Bemerkung 2.38 stetig ist:

z^{∗} = lim_{n→∞} z_{n+1} = lim_{i→∞} Φ(z_{n}) = Φ( lim_{n→∞} z_{n}) = Φ(z^{∗}) .

Eindeutigkeit: für einen weiteren Fixpunkt z^{∗∗} ≠ z^{∗} folgt der Widerspruch

|z^{∗} − z^{∗∗}| = |Φ(z^{∗}) − Φ(z^{∗∗})| ≤ k · |z^{∗} − z^{∗∗}| < |z^{∗} − z^{∗∗}| .

Die Abschätzungen c) ergeben sich aus (#) und (##):

lim_{m→∞} |z_{n+m} − z_{n}| = |z^{∗} − z_{n}| ≤^{(#)} \frac{k}{1 − k} |z_{n} − z_{n−1}| ≤^{(##)} \frac{k^{n}}{1 − k} |z_{1} − z_{0}| .

Interpretation und Anwendung 2.40:

entfällt↓ Eine Gleichung f(z) = 0 sei zu lösen. Der BFS gibt ein Rezept, wie man Näherungen für die Lösung konstruieren kann:

1) Formuliere die Gleichung f(z) = 0 in ein äquivalentes Fixpunktproblem z = Φ(z) um.

2) Ist Φ kontrahierend auf einer Umgebung A der Lösung und bildet Φ diese Menge A auf sich selbst ab, so läßt sich der BFS anwenden: wähle einen beliebigen Punkt z_{0} ∈ A und iteriere z_{n+1} = Φ(z_{n}). Diese Folge konvergiert gegen eine Lösung des Fixpunktproblems und damit gegen eine Lösung des Ausgangsproblems f(z) = 0.

3) Hat man durch Abschätzungen eine Kontraktionskonstante k für die Menge A gefunden, kann man mit den a-priori- bzw. a-posteriori-Abschätzungen bestimmen, wie weit man noch von der Lösung entfernt ist und abbrechen, sobald eine vorgegebene Zielgenauigkeit erreicht ist.

Mit der a-priori-Abschätzung kann man aus dem Startpunkt z_{0} und dem nächsten Punkt z_{1} sofort ermitteln, wie oft man iterieren muß, um die Zielgenauigkeit zu erreichen (die Iterationswerte werden dafür nicht benötigt). Nachdem die Iteration durchgeführt worden ist und Zahlenwerte für z_{n} vorliegen, kann man a-posteriori abschätzen, welche Approximationsgenauigkeit nun wirklich erreicht ist (die a-posteriori-Abschätzung ist prinzipiell genauer als die a-priori-Abschätzung).

Bemerkung 2.41: Es gibt viele Wege, eine gegebene Gleichung f(x) = 0 in

↓entfällt

eine Fixpunktgleichung x = Φ(x) umzuformen, z.B.

Φ(x) = x − g(x) · f(x)

mit einer (praktisch beliebig wählbaren) Funktion g(x). Ist f(x) differenzierbar und ist die Lösung im Sinne von Definition 1.10 eine einfache Nullstelle, so ist g(x) = 1/f′(x) eine ausgezeichnete Wahl. Die Iteration lautet dann

x_{n+1} = Φ(x_{n}) = x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})} (das ”Newton-Verfahren“).

Man kann zeigen, dass es immer eine (eventuell kleine) Umgebung A einer Nullstelle von f gibt, auf der Φ eine Kontraktion ist und für die Φ(A) ⊂ A gilt. Damit gilt der BFS auf einer (leider oft nicht konkret bekannten) Umgebung einer Lösung, und es gilt:

Für hinreichend genaue Startwerte x_{0} dicht bei einer Lösung x^{∗} von f(x) = 0 konvergiert die Newton-Folge x_{n+1} = x_{n} − f(x_{n})/f′(x_{n}) gegen x^{∗}.

Bei einfachen Nullstellen ist die Konvergenz beim Newton-Verfahren sehr schnell, da die Kontraktionskonstanten auf kleinen Umgebungen der Lösung prinzipiell sehr klein sind.

Beispiel 2.42: In einer Softwareumgebung gebe es die Grundarithmetik, aber keine

entfällt↓

Wurzelfunktion. Um diese zu implementieren, soll die Gleichung y^{2} = b für gegebenes positives b ∈ ℝ nach y gelöst werden. Mittels Division durch eine geeignete 4er-Potenz kann b auf das Interval [1, 4] transformiert werden (in Binärdarstellung kostet dies nichts). Sei nun a = b/4^{n} ∈ [1, 4]. Ist x ∈ [1, 2] eine Lösung von x^{2} = a, so ist y = 2^{n} · x die gesuchte Lösung des Ausgangsproblems y^{2} = b.

Das verbleibende Problem ist also, ein x ∈ [1, 2] zu finden, das das Nullstellenproblem f(x) = x^{2} − a = 0 mit a ∈ [1, 4] erfüllt. Hierzu soll das Newton–Verfahren benutzt werden. Betrachte also

Φ(x) = x − \frac{f(x)}{f′(x)} = x − \frac{x^{2} − a}{2 · x} = \frac{x^{2} + a}{2 · x} = \frac{1}{2} · (x + \frac{a}{x}).

Die entsprechende Iteration lautet also

x_{n+1} = \frac{1}{2} · (x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ).

Das Verfahren konvergiert sehr schnell gegen x^{∗} = \sqrt{a}. Beispiel: a = 2, x_{0} = 1.5:

x_{0} = 1.5, x_{1} = 1.416666666..., x_{2} = 1.414215686...,
x_{3} = 1.414213562..., x_{4} = 1.414213562..., …

Die folgende Analyse ist wiederum sehr technisch und an technisch Interessierte addressiert:

Analyse: betrachte das Intervall A = [\sqrt{a}, \frac{1+a}{2}], das die Lösung \sqrt{a} enthält. (Dieses Intervall fällt hier vom Himmel.) Die folgenden Rechnungen zeigen, dass dieses Intervall in der Tat so ist, dass der BFS angewendet werden kann.

Es ist zunächst zu zeigen, dass Φ(A) ⊂ A gilt. In Erinnerung an die Schule berechnen wir dazu

Φ′(x) = \frac{1}{2} · (1 − \frac{a}{x^{2}} ) = \frac{x^{2} − a}{2 · x^{2}} ≥ 0

für x ∈ [\sqrt{a}, \frac{1+a}{2}]. Die Funktion ist also in diesem Bereich monoton steigend, und damit gilt

Φ(\sqrt{a}) = \sqrt{a} ≤ Φ(x) ≤ Φ(\frac{1 + a}{2}) = \frac{1 + a}{4} + \frac{a}{1 + a} ≤ \frac{1 + a}{2}

für alle x ∈ [\sqrt{a}, \frac{1+a}{2}]. Als Kontraktionskonstante auf A schätzt man ab:

|Φ(x) − Φ(y)| = \frac{1}{2} · |x + \frac{a}{x} − y − \frac{a}{y}| = \frac{1}{2} · |x − y − \frac{a · (x − y)}{x · y}|

= \frac{|x − y|}{2} · |1 − \frac{a}{x · y} | = \frac{|x − y|}{2} · (1 − \frac{a}{x · y} ) ≤ \frac{|x − y|}{2} · (1 − \frac{a}{(\frac{a+1}{2})^{2}} )

= |x − y| · \frac{1}{2} · (\frac{a − 1}{a + 1})^{2}.

Also, in Abhängigkeit von a ist

k = \frac{1}{2} · (\frac{a − 1}{a + 1})^{2}

eine Kontraktionskonstante für Φ über A. Für alle a ∈ [1, 4] gilt k ≤ 0.18, d.h., Φ ist auf A in der Tat eine Kontraktion.

Speziell, für a = 2 ist k = 1/18 ≈ 0.0555 …. Starten wir mit x_{0} = 3/2, so ergibt sich x_{1} = 17/12 und die a-priori-Abschätzung liefert

|x_{n} − \sqrt{2}| ≤ \frac{k^{n}}{1 − k} · |x_{0} − x_{1}| = \frac{3}{34 · 18^{n}} .

Nach n = 5 Schritten ergibt sich beispielsweise

|x_{5} − \sqrt{2}| ≤ 4.7 · 10^{−8},

d.h., x_{5} beschreibt garantiert die ersten 7 bis 8 Dezimalstellen von \sqrt{2} korrekt. (In Wirklichkeit ist x_{5} schon wesentlich genauer, aber mehr gibt die a-priori-Abschätzung nicht her.)

Bemerkung 2.43: Das letzte Beispiel hat gezeigt, dass das Abschätzen von

↓entfällt

Kontraktionskonstanten mühselig ist. Es geht aber auch einfacher! Für stetig differenzierbares Φ gilt, dass

k = sup {|Φ′(x)|; x ∈ A}

die bestmögliche (weil kleinste) Kontraktionskonstante über einem Intervall A ⊂ ℝ ist. Um dies einzusehen, brauchen wir aber den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, der erst später bereitgestellt wird.

2.2.4 Teilfolgen und Häufungspunkte

↓ab hier

↓wieder

↓behandelt Neben der Konvergenz gibt es den (schwächeren) Begriff von ”Teilkonvergenz“, der sich in sogenannten ”Häufungspunkten von Folgen“ (im Unterschied zum schon eingeführten Begriff ”Häufungspunkte von Mengen“) manifestiert.

Definition 2.44: (Häufungspunkte von Folgen)

Ein Punkt z^{∗} ∈ ℂ heißt ”Häufungspunkt“ der Folge (z_{n}), wenn in jeder ϵ-Umgebung von z^{∗} unendlich viele Folgenglieder liegen, also: zu jedem ϵ > 0 existieren unendlich viele Folgenglieder z_{n} mit |z_{n} − z^{∗}| ≤ ϵ.

Beispiel 2.45: Die Folge x_{n} = (−1)^{n}, also (x_{n}) = (−1, 1, −1, 1, …) hat die beiden Häufungspunkte x_{1}^{∗} = 1 und x_{2}^{∗} = −1. Der Punkt x_{1}^{∗} = 1 ist Häufungspunkt, denn für alle Folgenglieder mit geradem Index n (dies sind unendlich viele) gilt |x_{n} − x_{1}^{∗}| = 0 ≤ ϵ für jedes ϵ > 0. Der Punkt x_{2}^{∗} = −1 ist Häufungspunkt, denn für alle Folgenglieder mit ungeradem Index n (dies sind unendlich viele) gilt |x_{n} − x_{2}^{∗}| = 0 ≤ ϵ für jedes ϵ > 0.

Bemerkung 2.46: Sei n_{1} < n_{2} < … eine streng monoton steigende Folge von Indizes in ℕ. Die Folge (z_{n_{i}}) = (z_{n_{1}}, z_{n_{2}}, …) heißt ”Teilfolge“ der Folge (z_{n}).

z^{∗} ist genau dann Häufungspunkt der Folge (z_{n}), wenn es eine gegen z^{∗} konvergierende Teilfolge von (z_{n}) gibt.

Zu einem gegebenen Häufungspunkt z^{∗} folgt eine explizite Konstruktion einer konvergenten Teilfolge. Zu ϵ = 1/k gibt es unendlich viele Folgenglieder z_{n} mit |z_{n} − z^{∗}| ≤ 1/k. Wähle n_{i} als den ersten Folgenindex, für den der Abstand zwischen z_{n} und dem Häufungspunkt den Wert 1/k unterschreitet:

n_{k} := min \{n; n > n_{k−1}; |z_{n} − z^{∗}| ≤ \frac{1}{k} \} (n_{0} := 0).

Nach Konstruktion gilt |z_{n_{k}} − z^{∗}| ≤ \frac{1}{k} für alle k = 1, 2, … und damit auch |z_{n_{j}} − z^{∗}| ≤ \frac{1}{j} ≤ \frac{1}{k} für alle n_{j} ≥ n_{k}. Damit konvergiert (z_{n_{k}}) gegen z^{∗}.

Umgekehrt, gibt es eine gegen z^{∗} konvergente Teilfolge von (z_{n}), so liegen in jeder ϵ-Umgebung von z^{∗} alle bis auf endliche viele Glieder der Teilfolge. Also ist z^{∗} ein Häufungspunkt von (z_{n}).

Beispiel 2.47: Für die Folge (x_{n}) = (−1, 1, −1, 1, …) aus Beispiel 2.45 konvergiert die Teilfolge (x_{2}, x_{4}, …) = (1, 1, 1, …) gegeben den Häufungspunkt 1 und die Teilfolge (x_{1}, x_{3}, …) = (−1, −1, −1, …) gegeben den Häufungspunkt −1.

Satz 2.48:

Eine konvergente Folge besitzt genau einen Häufungspunkt: den Grenzwert.

Beweis: Für den Grenzwert z^{∗} einer konvergierenden Folge (z_{n}) gibt es für jedes ϵ > 0 ein N(ϵ), so dass alle Folgenglieder mit Indizes ≥ N(ϵ) in der ϵ-Umgebung von z^{∗} liegen. Damit ist der Grenzwert ein Häufungspunkt. Gäbe es einen weiteren davon verschiedenen Häufungspunkt z^{∗∗}, gäbe es für ϵ = |z^{∗∗} − z^{∗}|/3 > 0 mindestens einen Folgenpunkt z_{n} mit Index n ≥ N(ϵ) in dieser ϵ-Umgebung von z^{∗∗}, und es würde folgen:

3 · ϵ = |z^{∗} − z^{∗∗}| = |z^{∗} − z_{n} + z_{n} − z^{∗∗}| ≤ |z^{∗} − z_{n}| + |z_{n} − z^{∗∗}| ≤ 2 · ϵ.

Widerspruch!

Q.E.D.

Satz 2.49: (Bolzano (1781–1848) und Weierstrass (1815–1897))

Eine Folge heißt beschränkt, wenn die Menge aller Folgenpunkte beschränkt ist. Es gilt: Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Wir verzichten auf die strenge technische Durchführung des Beweises und geben nur die Idee an:

Beweisidee: Die Folge liege innerhalb eines Quadrates in der komplexen Ebene. Zerlege dieses Quadrat in 4 gleichgrosse Teilquadrate der halben Seitenlänge. Mindestens eines der Teilquadrate enthält unendliche viele der Folgenglieder. Wähle eines dieser Teilquadrate aus und zerlege es wiederum in 4 Teilquadrate usw. Die so konstruierte Folge von Quadraten schrumpft auf einen Punkt zusammen (dies ist der Häufungspunkt), in dessen Nähe nach Konstruktion unendlich viele der Folgenpunkte existieren.

Q.E.D.

Bemerkung 2.50: Nach Bemerkung 2.46 heißt dies:

Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.

2.3 Unendliches, uneigentliche Konvergenz

In diesem Abschnitt geht es um eine oft nützliche Schreibweise, die in der hier vorgestellten Form nur bei reellen Folgen sinnvoll ist. Die ”unendlichen Werte“ ±∞ sind keine reellen Zahlen, sondern dienen nur als nützliche Abkürzungen, um gewisse Situationen zu beschreiben. Wir lassen ±∞ als (”uneigentliche“) Grenzwerte reeller Folgen zu:

Definition 2.51: (±∞ als Grenzwert)

• Eine reelle Folge (x_{n}) ”konvergiert (uneigentlich) gegen ∞“, wenn die Folgenglieder jede beliebig vorgegebene Schranke c > 0 überschreiten: zu jedem reellen c existiert eine reelle Zahl N(c), so dass x_{n} ≥ c gilt für alle Indizes n ≥ N(c). Schreibweise:

lim_{n→∞} x_{n} = ∞ .

• Eine reelle Folge (x_{n}) ”konvergiert (uneigentlich) gegen −∞“, wenn die Folgenglieder jede beliebig vorgegebene Schranke c < 0 unterschreiten: zu jedem reellen c existiert eine reelle Zahl N(c), so dass x_{n} ≤ c gilt für alle Indizes n ≥ N(c). Schreibweise:

lim_{n→∞} x_{n} = −∞ .

Beispiel 2.52: Die Folgen x_{n} = n, x_{n} = n^{2}, x_{n} = \sqrt{n}, x_{n} = 2^{n} konvergieren gegen ∞. Die Folgen x_{n} = −n, x_{n} = −n^{2}, x_{n} = −\sqrt{n}, x_{n} = −(2^{n}) konvergieren gegen −∞.

Beispiel 2.53: Achtung: die Folgen x_{n} = (−1)^{n} · n (also (−1, 2, −3, 4, −5, …)) oder auch x_{n} = (−2)^{n} (also (−2, 4, −8, 16, −32, …)) konvergieren nicht gegen ∞ oder −∞, sie divergieren!

Man darf getrost mit ∞ und −∞ rechnen, wobei folgende Rechenregeln gelten: Rechenregeln für ±∞ 2.54:

entfällt↓ Sei c eine reelle Zahl.

• c ± ∞ = ±∞,

• c · (±∞) = ±sign(c) · ∞ für c ≠ 0. Hierbei ist sign(c) das Vorzeichen von c.

• \frac{1}{±∞} = 0,

• ∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞,

• ∞ · ∞ = (−∞) · (−∞) = ∞, ∞ · (−∞) = (−∞) · ∞ = −∞,

• ∞^{∞} = ∞, ∞^{−∞} = 0,

• c^{∞} = ∞ für c > 1, c^{∞} = 0 für 0 < c < 1,

• c^{−∞} = 0 für c > 1, c^{−∞} = ∞ für 0 < c < 1.

Beispiel 2.55: Die Folge x_{n} = n^{3} + n konvergiert gegen ∞:

entfällt↓

lim_{n→∞}(n^{3} + n) = lim_{n→∞} n^{3} + lim_{n→∞} n = ∞ + ∞ = ∞ .

Aus dem obigen Ergebnis folgt sofort das nächste Ergebnis:

Beispiel 2.56: Die Folge x_{n} = \frac{1}{n^{3}+n} konvergiert gegen 0:

entfällt↓

lim_{n→∞} \frac{1}{n^{3} + n} = \frac{1}{lim_{n→∞}(n^{3} + n)} = \frac{1}{∞} = 0.

2.4. WACHSTUM VON FOLGEN, LANDAU-SYMBOLE 41

Beim Rechnen mit ±∞ muß man aber etwas Vorsicht walten lassen. Wenn man auf eine der folgenden Situationen stößt, darf man nicht weiterrechnen, sondern muß die betrachteten Grenzwerte anders ermitteln: Undefinierte Ergebnisse beim Rechnen mit ±∞ 2.57:

↓entfällt

• 0 · (±∞) = ”undefiniert“,

• ∞ − ∞ = ”undefiniert“, −∞ + ∞ = ”undefiniert“,

• c^{∞} = ”undefiniert“ für c ≤ 0 und c = 1,

• c^{−∞} = ”undefiniert“ für c ≤ 0 und c = 1,

• \frac{1}{0} = ”undefiniert“.

Beispiel 2.58: Betrachte die Folge x_{n} = n^{3} − n:

↓entfällt

lim_{n→∞}(n^{3} − n) =^{(??)} lim_{n→∞} n^{3} − lim_{n→∞} n =^{(??)} ∞ − ∞ =^{(??)} ”undefiniert“.

Dies heißt nicht, dass kein Grenzwert existiert, sondern nur, dass wir den Grenzwert über die Rechenregeln mit ±∞ nicht berechnen können. Man muß in einem solchen Fall genauer untersuchen. Z.B funktioniert folgendes Argument:

lim_{n→∞}(n^{3} − n) = lim_{n→∞} n^{3} · (1 − \frac{1}{n^{2}} ) = lim_{n→∞} n^{3} · lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{2}} )

= ∞ · (1 − \frac{1}{lim_{n→∞} n^{2}} ) = ∞ · (1 − \frac{1}{∞}) = ∞ · (1 − 0) = ∞ .

Ein weiteres solches Beispiel:

Beispiel 2.59: Betrachte die Folge x_{n} = \frac{2·n^{3}+n}{n^{4}+1}:

↓entfällt

lim_{n→∞} \frac{2 · n^{3} + n}{n^{4} + 1} =^{(??)} \frac{lim_{n→∞}(2 · n^{3} + n)}{lim_{n→∞}(n^{4} + 1)} =^{(??)} \frac{∞}{∞} =^{(??)} ”undefiniert“.

Dies sagt wiederum gar nichts darüber aus, ob ein Grenzwert existiert oder nicht. In diesem Fall führt wieder ein wenig Manipulation zum Erfolg:

lim_{n→∞} \frac{2 · n^{3} + n}{n^{4} + 1} = lim_{n→∞} \frac{n^{3} · (2 + \frac{1}{n^{2}} )}{n^{4} · (1 + \frac{1}{n^{4}} )} = lim_{n→∞} \frac{2 + \frac{1}{n^{2}}}{n · (1 + \frac{1}{n^{4}} )}

= \frac{2 + \frac{1}{∞}}{∞ · (1 + \frac{1}{∞})} = \frac{2}{∞} = 0.

2.4 Wachstum von Folgen, Landau-Symbole

↓16.5.02

↓ab hier

↓wieder

↓behandelt Algorithmen werden typischerweise auf Problemklassen angewendet, die einen ”Größenparameter“ n haben: Invertierung von n × n Matrizen, Sortieren einer Liste mit n Elementen, Untersuchungen auf Graphen mit n Knoten usw. Die Laufzeit des Algorithmus wächst mit der durch n gegebenen Größe des Problems, und man möchte oft eine einfach zu lesende Kostenabschätzung in Abhängigkeit von n angeben. Hierzu dienen die sogenannten ”Landau-Symbole“ O (”Big-Oh“), o (”Small-Oh“) etc.:

Notation 2.60:

Seien (f_{n}), (g_{n}) Folgen komplexer Zahlen.

• f_{n} = O(g_{n}) heißt, dass die Folge |f_{n}|/|g_{n}| nach oben beschränkt ist.

• f_{n} = o(g_{n}) heißt, dass die Folge f_{n}/g_{n} eine Nullfolge ist.

• f_{n} = Ω(g_{n}) heißt, dass die Folge |g_{n}|/|f_{n}| nach oben beschränkt ist.

• f_{n} = ω(g_{n}) heißt, dass die Folge g_{n}/f_{n} eine Nullfolge ist.

• f_{n} = Θ(g_{n}) heißt, dass die Folgen |f_{n}/g_{n}| und |g_{n}/f_{n}| nach oben beschränkt sind: es existieren positive Konstanten c und C, so dass c · |g_{n}| ≤ |f_{n}| ≤ C · |g_{n}| gilt für alle hinreichend großen n.

Hierbei nimmt man implizit an, dass man sich für große Werte von n interessiert. Eigentlich sollte man genauer sagen: f_{n} = O(g_{n}) ”im Limes n → ∞“ etc.

Beispiel 2.61: n^{2} + 1 = O(n^{2}), n^{2} + 1 = O(n^{3}), n^{2} + 1 = O(n^{4}), n^{2} + 1 = O(2^{n}),

\frac{1}{n + 1} = O(\frac{1}{n}), \frac{1}{n + 1} = O(\frac{1}{\sqrt{n}}), n^{2} = o(n^{3}), n^{2} = o(2^{n}), \frac{1}{n + 1} = o(\frac{1}{\sqrt{n}}),

2·n+1 = Ω(n), 2·n^{2}+1 = ω(n), \frac{n^{3}}{2} = Ω(n^{3}), \frac{2^{n}}{7} = ω(n^{2}), 2·n+1 = Θ(n), \frac{n^{3}}{2} = Θ(n^{3}).

Beispiel 2.62: Man kann n lineare Gleichungen für n Unbekannte numerisch stets mit höchstens etwa n^{3}/3 Multiplikationen lösen. Also:

”Die Kosten der Lösung eines linearen n × n Systems ist O(n^{3}).“

Ist die Koeffizientenmatrix eine obere oder untere Dreiecksmatrix, kommt man mit höchstens n^{2}/2 Multiplikationen aus. Die Kosten sind in diesem Fall O(n^{2}).

Die Kosten, alle Eigenwerte und -vektoren einer n×n-Matrix numerisch zu bestimmen, sind O(n^{3}).

Das Sortieren einer Liste mit n Elementen kostet O(n · log_{2}(n)) Vergleichsoperationen. (Genauer: es existieren Sortieralgorithmen, die mit diesem Aufwand auskommen).

Reihen

Es geht nun um spezielle Folgen, deren Glieder durch Summation entstehen. Für diese ”Reihen“ gibt es spezielle Konvergenzkriterien.

3.1 Definitionen, Beispiele, Sätze

Definition 3.1: (Reihen)

Die einer komplexen Folge (z_{n}) zugeordnete ”Reihe“ ist die Folge (S_{n}) der ”Partialsummen“

S_{n} = ∑_{k=1}^{n} z_{k}.

Existiert ein Grenzwert der Partialsummen, so nennt man ihn den Wert

der ”unendlichen Reihe“ und schreibt auch lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} z_{k} = ∑_{k=1}^{∞} z_{k}. Eine

Reihe heißt ”absolut konvergent“, wenn der Grenzwert ∑_{k=1}^{∞} |z_{k}| exi-

stiert.

44 KAPITEL 3. REIHEN

Beispiel 3.2: Die sogenannte ”arithmetische Reihe“ besitzt eine explizite Darstellung:

S_{n} = ∑_{k=1}^{n} k =  1 + 2 + ⋯ + (n − 1) + n
= \frac{1}{2} · ( 1 + 2 + ⋯ + (n − 1) + n
n + (n − 1) + ⋯ + 2 + 1 )
= \frac{1}{2} · ( (n + 1) + (n + 1) + ⋯ + (n + 1) + (n + 1) )
\overbrace{n Summanden}

= \frac{1}{2} · n · (n + 1).

Halten wir fest:

∑_{k=1}^{n} k = \frac{n · (n + 1)}{2}.

Die arithmetische Reihe konvergiert damit uneigentlich gegen ∞.

Beispiel 3.3: Sei z ∈ ℂ. Eine ”geometrische Reihe“ ist von der Form

S_{n} = 1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n} = ∑_{k=0}^{n} z^{k} .

Auch in diesem Fall kann man eine explizite Formel für S_{n} angeben:

S_{n} = ∑_{k=0}^{n} z^{k} = \frac{1 − z^{n+1}}{1 − z} = \frac{z^{n+1} − 1}{z − 1} .

Dies ist leicht nachzuvollziehen:

(1 − z) · S_{n} = (1 − z) · (1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n})
=  1 · (1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n})
−z · (1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n})
=  1 + z + z^{2} + ⋯ + z^{n}
− z − z^{2} − ⋯ − z^{n} − z^{n+1}
=  1  − z^{n+1}.

Mit der expliziten Summenformel ist die Konvergenz geometrischer Reihen leicht zu überprüfen. Für |z| < 1 konvergiert z^{n+1} gegen 0 (Beispiel 2.10):

∑_{k=0}^{∞} z^{k} = \frac{1}{1 − z} für |z| < 1 .

3.1. DEFINITIONEN, BEISPIELE, SÄTZE 45

Diese Reihe konvergiert absolut, denn mit denselben Argumenten konvergiert

∑_{k=0}^{∞} |z|^{k} = \frac{1}{1 − |z|} für |z| < 1 .

Beispiel 3.4: Einige Berechnungen mit MuPAD. Für die symbolische Berechnung von Summen ist die Funktion sum zuständig:

>> sum(k, k = 1..n)
                                 2
                            n   n
                            - + --
                            2   2

Durch Faktorisierung mittels factor ergibt sich oft eine einfachere Form:

>> factor(%)
                         1/2 n (n + 1)

Die geometrische Reihe:

>> sum(z^k, k = 0..n)
                              n
                           z z  - 1
                           --------
                            z - 1
>> assume(0 < z < 1):
>> sum(z^k, k = 0..infinity)
                                1
                            - -----
                              z - 1

Beispiel 3.5: Die periodische Dezimaldarstellung 0 . \overline{d_{1}d_{2}d_{3}} mit Dezimalziffern d_{k} ∈ {0, 1, …, 9} steht für 0 . d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} . . .. Solche zyklischen Dezimalentwicklungen sind rationale Zahlen. Sei n = ”d_{1}d_{2}d_{3}“ = d_{1} · 100 + d_{2} · 10 + d_{3} ∈ {0, …, 999}:

0 . \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} … = \frac{d_{1}}{10} + \frac{d_{2}}{10^{2}} + \frac{d_{3}}{10^{3}} + \frac{d_{1}}{10^{4}} + \frac{d_{2}}{10^{5}} + \frac{d_{3}}{10^{6}} + ⋯

= \frac{d_{1} · 100 + d_{2} · 10 + d_{3}}{10^{3}} + \frac{d_{1} · 100 + d_{2} · 10 + d_{3}}{10^{6}} + ⋯

= \frac{n}{1000} + \frac{n}{1000^{2}} + \frac{n}{1000^{3}} + ⋯ = n · ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{1000^{k}}

= n · ( ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{1000^{k}} − 1) = n · (\frac{1}{1 − \frac{1}{1000}} − 1) = n · (\frac{1000}{999} − 1) = \frac{n}{999}.

Bemerkung: statt der formalen Rechnung kann man die Beweisidee für die Summenformel der geometrischen Reihe explizit nachvollziehen, was in diesem Fall als “Rechentrick” sogar ganz einfach zu merken ist:

1000 · x = d_{1}d_{2}d_{3} . d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} …
−  x =  0 . d_{1}d_{2}d_{3} d_{1}d_{2}d_{3} …
999 · x = \underbrace{d_{1}d_{2}d_{3}}_{n} . 000 000 …  ⇒ x = \frac{n}{999}.

Das Cauchy-Kriterium (Definition 2.31 und Satz 2.32 ) liefert folgendes Konvergenzkriterium für Reihen:

Satz 3.6: (Das Cauchy-Kriterium für Reihen)

Die Reihe ∑_{k} z_{k} konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ)

gibt, so dass | ∑_{k=n}^{m} z_{k}| ≤ ϵ gilt für alle m ≥ n ≥ N(ϵ).

Beweis: Nach dem Cauchy-Kriterium konvergiert die Folge S_{n} = ∑_{k=1}^{n} z_{k}, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ) gibt, so dass

|S_{m} − S_{n}| ≤ ϵ für alle m, n ≥ N(ϵ).

Hierbei ist S_{m} − S_{n} = ∑_{k=n+1}^{m} z_{k} für m > n. Ersetzt man n durch n − 1 ergibt sich das angegebene Kriterium.

Q.E.D.

Als Folgerung ergibt sich, dass absolut konvergente Reihen konvergieren:

Satz 3.7: (Absolute Konvergenz impliziert Konvergenz)

Wenn ∑_{k=1}^{∞} |z_{k}| konvergiert, dann auch ∑_{k=1}^{∞} z_{k}.

Beweis: Die Dreiecksungleichung liefert | ∑_{k=n}^{m} z_{k}| ≤ ∑_{k=n}^{m} |z_{k}|. Erfüllt ∑_{k} |z_{k}|

das Cauchy-Kriterium 3.6, so ist dieses Kriterium automatisch auch für ∑_{k} z_{k} erfüllt.

Q.E.D.

Nur Reihen über Nullfolgen können konvergieren:

Satz 3.8:

Wenn die Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} konvergiert, dann ist (z_{k}) eine Nullfolge.

Beweis: Das Cauchy-Kriterium 3.6 mit m = n besagt, dass es zu jedem ϵ > 0 ein N(ϵ) gibt, so dass

| ∑_{k=n}^{n} z_{k}| = |z_{n}| ≤ ϵ

für alle n ≥ N(ϵ) gilt. Dies ist die Konvergenz (z_{n}) → 0.

Q.E.D.

Dies ist kein Konvergenz- sondern ein Divergenzkriterium: bilden die Summanden keine Nullfolge, muß die Reihe divergieren!

Beispiel 3.9: Die Reihe ∑_{k} \frac{k}{k+1} konvergiert nicht, da die Summanden \frac{k}{k+1} nicht gegen 0 konvergieren (sie konvergieren gegen 1).

Die Umkehrung gilt nicht: bilden die Summanden eine Nullfolge, so kann man \underline{nicht} darauf schließen, dass die Reihe konvergiert. Ein Gegenbeispiel:

Beispiel 3.10: Die sogenannte ”harmonische Reihe“ S_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ist unbeschränkt,

d.h., sie divergiert.

Beweis: Betrachte die Teilfolge (S_{2^{m}}):

S_{2^{m}} = 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{> \frac{2}{2^{2}} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + ⋯ + \frac{1}{8}}_{> \frac{2^{2}}{2^{3}} = \frac{1}{2}} + ⋯ + \underbrace{\frac{1}{2^{m−1} + 1} + ⋯ + \frac{1}{2^{m}}}_{> \frac{2^{m−1}}{2^{m}} = \frac{1}{2}}

≥ 1 + \underbrace{\frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{2}}_{m Terme} = 1 + \frac{m}{2}.

Da (S_{n}) monoton wächst, konvergiert (S_{n}) uneigentlich gegen ∞.

Q.E.D.

Auf dieses Argument kommen wir später beim ”Kondensationskriterium“ 3.20 zurück.

Der Satz 2.28 liefert für reelle Reihen folgendes Konvergenzkriterium:

Satz 3.11: (Reihenkonvergenz bei positiven Summanden)

Sei (x_{n}) eine reelle Nullfolge mit x_{n} ≥ 0. Die Reihe ∑_{k} x_{k} konvergiert dann und genau dann, wenn die Partialsummen ∑_{k=1}^{n} x_{k} nach oben beschränkt sind.

Beweis: Wegen x_{k} ≥ 0 ist die Partialsummenfolge S_{n} = ∑_{k=1}^{n} x_{k} monoton steigend. Ist sie beschränkt, konvergiert sie nach Satz 2.28. Konvergiert sie, ist sie selbstverständlich beschränkt.

Q.E.D.

Wir erinnern an Beispiel 2.29:

Beispiel 3.12: Mit k! = 1 · 2 · 3 · . . . · k ≥ 2^{k−1} sind die folgenden Partialsummen nach oben beschränkt:

S_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = 1 + \underbrace{\frac{1}{1!}}_{= \frac{1}{2^{0}}} + \underbrace{\frac{1}{2!}}_{= \frac{1}{2^{1}}} + \underbrace{\frac{1}{3!}}_{< \frac{1}{2^{2}}} + ⋯ + \underbrace{\frac{1}{n!}}_{< \frac{1}{2^{n−1}}}

≤ 1 + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} ≤ 3.

Damit konvergiert ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} gegen einen Wert ≤ 3 (es ist die Eulersche Zahl 2.718...).

3.2 Rechenregeln und das Cauchy-Produkt

17.5.02↓

Die Rechenregeln 2.13 liefern sofort:

Satz 3.13: (Rechenregeln)

a) Wenn ∑_{k} z_{k} konvergiert, dann auch ∑_{k} c · z_{k} für jedes c ∈ ℂ:

∑_{k=1}^{∞} c · z_{k} = c · ∑_{k=1}^{∞} z_{k}.

b) Wenn ∑_{k} z_{k} und ∑_{k} z̃_{k} konvergieren, dann auch ∑_{k}(z_{k} ± z̃_{k}):

∑_{k=1}^{∞}(z_{k} ± z̃_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} z_{k} ± ∑_{k=1}^{∞} z̃_{k}.

Beweis: Satz 2.13 a) + b) angewendet auf die Partialsummen.

Q.E.D.

Es macht Sinn, Reihen miteinander zu multiplizieren. Da das Distributivgesetz aus dem Produkt zweier Partialsummen eine endliche Doppelsumme

(a_{1} + ⋯ + a_{n}) · (b_{1} + ⋯ + b_{n}) = ∑_{i=1}^{n} ∑_{j=1}^{n} a_{i} · b_{j}

ergibt, muss man die Summanden zunächst gezielt zusammenfassen, um zu einer Folge von Partialsummen für das Produkt zu kommen. Wir führen eine ”Anordnung“ ein, indem wir einen formalen Ordnungsparameter ζ einführen:

∑_{k=1}^{n} a_{k} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} · ζ^{k}| ζ = 1 .

Das Produkt ordnen wir dann nach Potenzen von ζ:

(a_{1} · ζ + a_{2} · ζ^{2} + ⋯) · (b_{1} · ζ + b_{2} · ζ^{2} + ⋯)

= a_{1} · b_{1} · ζ^{2} + (a_{1} · b_{2} + a_{2} · b_{1}) · ζ^{3} + (a_{1} · b_{3} + a_{2} · b_{2} + a_{3} · b_{1}) · ζ^{4} + · · · .

Die einzelnen ζ-Potenzen liefern die Summanden der Partialsummen. Dies motiviert die folgende Definition:

Definition 3.14: (Das Cauchy-Produkt von Reihen)

Das ”Cauchy-Produkt“ (die ”Faltung“) zweier Reihen ∑_{k} a_{k}, ∑_{k} b_{k} ist die Reihe ∑_{k} c_{k} mit

c_{k} = ∑_{{i,j \atop i+j=k}} a_{i} · b_{j}.

Satz 3.15: (Konvergenz des Cauchy-Produkts)

Sind die Reihen ∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=1}^{∞} b_{k} absolut konvergent, so auch das Cauchy-

Produkt ∑_{k=2}^{∞} c_{k}. Es gilt ∑_{k=2}^{∞} c_{k} = ( ∑_{k=1}^{∞} a_{k}) · ( ∑_{k=1}^{∞} b_{k}).

Beweis: (Für technisch Interessierte) Für die Partialsummen des Cauchy-Produkts gilt

∑_{k=2}^{n} |c_{k}| = ∑_{k=2}^{n} |∑_{{i,j \atop i+j=k}} a_{i} · b_{j}| ≤ ∑_{k=2}^{n} ∑_{{i,j \atop i+j=k}}|a_{i}| · |b_{j}|

≤ ∑_{{i,j \atop i≤n,j≤n}}|a_{i}| · |b_{j}| = ( ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|) · ( ∑_{j=1}^{n} |b_{j}|).

Da die rechte Seite für n → ∞ konvergiert, ist die rechte Seite beschränkt. Nach Satz 3.11 liefert dies die Konvergenz von ∑_{k} |c_{k}|, also die absolute Konvergenz des Cauchy-Produkts. Das Cauchy-Produkt konvergiert gegen das Produkt der einzelnen Summen:

|( \underbrace{∑_{i=1}^{2 n} a_{i}}_{S_{2n}^{(a)}} ) · ( \underbrace{∑_{j=1}^{2 n} b_{j}}_{S_{2n}^{(b)}} ) − \underbrace{∑_{k=2}^{2 n} c_{k}}_{S_{2n}^{(c)}} | = | ∑_{i=1}^{2 n} ∑_{j=1}^{2 n} a_{i} · b_{j} − ∑_{k=2}^{2 n} ∑_{{i,j \atop i+j=k}}a_{i} · b_{j}|

= | ∑_{{i,j \atop i≤2n,j≤2n} ; i+j>2n}a_{i} · b_{j}| ≤ ∑_{{i,j \atop i≤2n,j≤2n} ; i+j>2n}|a_{i}| · |b_{j}|

≤ max(|a_{n}|, …, |a_{2 n}|) · ∑_{j=n+1}^{2 n} |b_{j}| + max(|b_{n}|, …, |b_{2 n}|) · ∑_{i=n+1}^{2 n} |a_{i}|.

Da (a_{n}), (b_{n}) Nullfolgen sind, ist der letzte Ausdruck eine Nullfolge. Für die Partialsummen folgt

S_{2 n}^{(c)} = S_{2 n}^{(a)} · S_{2 n}^{(b)} + Nullfolge_{n},

was zur Behauptung S_{n}^{(c)} → (∑_{i} a_{i}) · (∑_{j} b_{j}) führt.

Q.E.D.

3.3 Spezielle Konvergenzkriterien

Es gibt eine Anzahl spezieller Kriterien für die Konvergenz/Divergenz von Reihen:

Satz 3.16: (Majorantenkriterium)

Sei ∑_{k=1}^{∞} x_{k} eine konvergente Reihe mit reellen Summanden x_{k} ≥ 0. Sei (z_{n}) eine komplexe Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes |z_{k}| ≤ x_{k}, so konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} absolut. Bezeichung: ∑_{k} x_{k} heißt ”konvergente Majorante“ für ∑_{k} z_{k}.

Beweis: Die Partialsummen von ∑_{k} |z_{k}| sind beschränkt (o.B.d.A. nehmen wir an, |z_{k}| ≤ x_{k} gilt für alle Indizes):

∑_{k=1}^{n} |z_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{n} x_{k} ≤ ∑_{k=1}^{∞} x_{k}.

Nach Satz 3.11 konvergiert ∑_{k} |z_{k}|, d.h., die Reihe ∑_{k} z_{k} konvergiert absolut. Q.E.D.

Satz 3.17: (Minorantenkriterium)

Sei ∑_{k=1}^{∞} x_{k} eine divergente Reihe mit reellen Summanden x_{k} ≥ 0 Sei (y_{n}) eine reelle Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes x_{k} ≤ y_{k}, so divergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} y_{k} (genauer: sie konvergiert uneigentlich gegen ∞). Bezeichung: ∑_{k} x_{k} heißt ”divergente Minorante“ für ∑_{k} y_{k}.

Beweis: Würde die Reihe ∑_{k} y_{k} konvergieren, wäre sie eine konvergente Majorante für ∑_{k} x_{k}, und nach Satz 3.16 müßte ∑_{k} x_{k} konvergieren.

Q.E.D.

Satz 3.18: (Quotientenkriterium)

Sei (z_{n}) eine komplexe Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes \frac{|z_{k+1}|}{|z_{k}|} ≤ c mit einem Wert c ∈ (0, 1), so konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} absolut.

Beweis: Aus der Abschätzung folgt

|z_{k}| ≤ c · |z_{k−1}| ≤ c^{2} · |z_{k−2}| ≤ … ≤ c^{k−1} · |z_{1}|.

Die geometrische Reihe ∑_{k} |z_{1}| · c^{k−1} konvergiert nach Beispiel 3.3 für c ∈ (0, 1) und ist damit eine konvergente Majorante für ∑_{k} z_{k}.

Q.E.D.

Satz 3.19: (Wurzelkriterium)

Sei (z_{n}) eine komplexe Folge. Gilt für alle bis auf endlich viele Indizes k \sqrt{|z_{k}|} ≤ c mit einem Wert c ∈ (0, 1), so konvergiert die komplexe Reihe ∑_{k=1}^{∞} z_{k} absolut.

Beweis: Aus der Abschätzung folgt |z_{k}| ≤ c^{k}. Damit ist die geometrische Reihe ∑_{k} c^{k} für c ∈ (0, 1) eine konvergente Majorante für ∑_{k} z_{k}.

Q.E.D.

Satz 3.20: (Kondensationskriterium)

Ist (x_{n}) eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen, so konvergiert ∑_{k} x_{k} dann und genau dann, wenn die Reihe

∑_{m}^{∞} 2^{m} · x_{2^{m}}

konvergiert.

Beweis: Nach Satz 3.11 ist zu entscheiden, ob die Partialsummen S_{n} = ∑_{k=1}^{n} x_{k} beschränkt sind. Betrachte

S_{2^{n+1}−1} = \underbrace{x_{1}}_{=1·x_{1}} + \underbrace{x_{2} + x_{3}}_{≤2·x_{2}} + \underbrace{x_{4} + ⋯ + x_{7}}_{≤4·x_{4}} + ⋯ + \underbrace{x_{2^{n}} + ⋯ + x_{2^{n+1}−1}}_{≤2^{n}·x_{2^{n}}}

≤ ∑_{m=0}^{n} 2^{m} · x_{2^{m}}.

Konvergiert ∑_{m} 2^{m} · x_{2^{m}}, so sind alle Partialsummen S_{n} beschränkt und ∑_{k} x_{k} konvergiert. Umgekehrt gilt:

S_{2^{n}} = x_{1} + \underbrace{x_{2}}_{=1·x_{2}} + \underbrace{x_{3} + x_{4}}_{≥2·x_{4}} + \underbrace{x_{5} + ⋯ + x_{8}}_{≥4·x_{8}} + ⋯ + \underbrace{x_{2^{n−1}+1} + ⋯ + x_{2^{n}}}_{≥2^{n−1}·x_{2^{n}}}

≥ x_{1} + ∑_{m=1}^{n} 2^{m−1} · x_{2^{m}} ≥ \frac{1}{2} · ∑_{m=1}^{n} 2^{m} · x_{2^{m}}.

Divergiert ∑_{m} 2^{m} · x_{2^{m}}, so sind alle Partialsummen unbeschränkt und ∑_{k} x_{k} divergiert.

Q.E.D.

Hier eine Reihe von Beispielen zu den diversen Kriterien:

23.5.02↓

Beispiel 3.21: Wir setzen das Majorantenkriterium 3.16 ein, um zu zeigen, dass die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} konvergiert. Dazu machen wir eine Anleihe beim kommenden Beispiel 3.31, wo die Konvergenz

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k · (k + 1)} = 1

gezeigt wird. Dazu schätzen wir x_{k} = \frac{1}{k^{2}} gegen ỹ_{k} = \frac{1}{k·(k+1)} ab (∑_{k} ỹ_{k} soll als konvergente Majorante für ∑_{k} x_{k} dienen). Es gilt zwar nicht unmittelbar |x_{k}| = x_{k} ≤ ỹ_{k}, aber mit

k^{2} ≥ \frac{k · (k + 1)}{2}

(⇔ 2 · k^{2} ≥ k^{2} + k ⇔ k^{2} ≥ k; dies ist für alle k ≥ 1 erfüllt) folgt

x_{k} = \frac{1}{k^{2}} ≤ \frac{2}{k · (k + 1)} = 2 · ỹ_{k} =: y_{k}.

Mit Beispiel 3.31 folgt

∑_{k=1}^{∞} x_{k} ≤ ∑_{k=1}^{∞} y_{k} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{k · (k + 1)} = 2.

Das Majorantenkriterium garantiert hiermit die Konvergenz von ∑_{k} \frac{1}{k^{2}} . Welchen Wert diese Reihe hat, haben wir damit allerdings nicht herausbekommen.

3.3. SPEZIELLE KONVERGENZKRITERIEN 53

Beispiel 3.22: Die in Beispiel 3.21 betrachtete Summe wird mit MuPAD berechnet:

>> sum(1/k^2, k = 1..infinity)
                                2
                              PI
                              ---
                               6

Hierbei ist PI = π = 3.1415.... Zur Kontrolle vergleichen wir diesen Wert mit einer langen, aber endlichen Summe:

>> float(%)
                          1.644934067
>> sum(1.0/k^2, k = 1..1000)
                          1.643934567

(Das passt einigermaßen.) Einige weitere Summen, z.B. ∑_{k=1}^{∞} \frac{k + 1}{k · (k + 2) · (k + 5)}:

>> sum((k + 1)/k/(k + 2)/(k + 5), k = 1..infinity)
                            323/900

Oder auch ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{3}} :

>> sum(1/k^3, k = 1..infinity)
                            zeta(3)

Dieser Reihenwert hat keine elementare Darstellung. Stattdessen stellt MuPAD ihn mittels der (unter Mathematikern) berühmten speziellen Funktion zeta (die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion) dar. Das nützt uns hier relativ wenig, da wir mit dieser Funktion nicht näher vertraut sind. Zumindestens kann man hiermit aber bequem Gleitpunktnäherungen berechnen:

>> float(%)
                          1.202056903
Die Web-Seite mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html liefert weitere

Informationen zur Zeta-Funktion.

Beispiel 3.23: Die Reihe ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} konvergiert nicht für n → ∞: zwar konvergieren die Summanden x_{k} = \frac{1}{\sqrt{k}} gegen 0, aber ”nicht schnell genug“:

∑_{k=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{k}} = 18.5896... , ∑_{k=1}^{1000} \frac{1}{\sqrt{k}} = 61.8010... , ∑_{k=1}^{10000} \frac{1}{\sqrt{k}} = 198.5446... .

Genauer gesagt: die Reihe ”konvergiert uneigentlich gegen ∞“. Beweis: die nach Beispiel 3.10 divergierende harmonische Reihe ist eine divergente Minorante:

\frac{1}{k} ≤ \frac{1}{\sqrt{k}} .

Beispiel 3.24: Betrachte die Reihe ∑_{k=0}^{n} \frac{z^{k}}{k!} , wo z eine beliebige feste komplexe Zahl ist

(beachte: 0! = 1). Diese Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium. Mit z_{k} = \frac{z^{k}}{k!} ist der Quotient zweier aufeinander folgender Summanden

\frac{|z_{k+1}|}{|z_{k}|} = \frac{\frac{|z|^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{|z|^{k}}{k!}} = \frac{|z|^{k+1} · k!}{|z|^{k} · (k + 1)!} = \frac{|z|^{k} · |z| · k!}{|z|^{k} · (k + 1) · k!} = \frac{|z|}{k + 1}.

Für hinreichend große k (nämlich k ≥ 2 · |z|) gilt

\frac{|z_{k+1}|}{|z_{k}|} ≤ \frac{|z|}{2 · |z| + 1} < \frac{|z|}{2 · |z|} = \frac{1}{2} =: c < 1,

womit das Quotientenkriterium erfüllt ist.

Der Grenzwert heißt ”Exponentialfunktion“ e^{z} bzw. exp(z). In der Tat stimmt die Reihe mit der in Satz 2.20 benutzten Definition überein (was noch zu zeigen wäre):

e^{z} = exp(z) = lim_{n→∞} (1 + \frac{z}{n})^{n} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{6} + · · · .

Die Reihendarstellung der exp-Funktion bietet einige Vorteile. Für kleine Argumente z gilt z.B. die Näherung

exp(z) = 1 + \underbrace{z}_{klein} + \underbrace{\frac{z^{2}}{2!}}_{noch kleiner} + \underbrace{\frac{z^{3}}{3!}}_{noch viel kleiner} + ⋯ ≈ 1 + z + \frac{z^{2}}{2} .

Wir ersparen uns hier den Beweis für

lim_{n→∞} (1 + \frac{z}{n})^{n} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} ,

der einigen technischen Abschätzungsaufwand erfordert.

Beispiel 3.25: Die Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{p}} konvergiert genau dann, wenn p > 1 gilt.

Beweis: für festes p > 0 ist die Folge x_{k} = 1/k^{p} monoton falled. Das Kondensationskriterium liefert die Konvergenz, wenn

∑_{m=1}^{∞} 2^{m} · x_{2^{m}} = ∑_{m=1}^{∞} 2^{m} · \frac{1}{(2^{m})^{p}} = ∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{(2^{m})^{p−1}} = ∑_{m=1}^{∞} \frac{1}{(2^{p−1})^{m}}

konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert, wenn \frac{1}{2^{p−1}} < 1 gilt, d.h., für p > 1. Für p ≤ 1 ist die harmonische Reihe ∑_{k} \frac{1}{k} eine divergierende Minorante.

3.4 Bedingte Konvergenz, Umordnungen

Es gibt einen Spezialfall, wo die Tatsache, dass die Summanden eine Nullfolge bilden, für die Konvergenz der Reihe ausreicht: alternierende Reihen:

Satz 3.26: (Das Leibniz–Kriterium für alternierende Reihen)

Eine reelle Folge (x_{n}) heißt “alternierend“, wenn für jeden Index x_{n} und x_{n+1} unterschiedliche Vorzeichen haben. Ist zusätzlich |x_{n}| monoton fallend und (x_{n}) eine Nullfolge, so konvergiert die zugeordnete ”alternierende Reihe“ ∑_{k} x_{k}.

Beweis: Fixiere ein beliebiges n. Durch Induktion nach m ist leicht zu zeigen, dass

| ∑_{k=n}^{m} x_{k}| ≤ |x_{n}|

für alle m ≥ n gilt. Da |x_{n}| eine Nullfolge bildet, ist das Cauchy-Kriterium 3.6 erfüllt.

Q.E.D.

Beispiel 3.27: Die ”alternierende harmonische Reihe“

1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} ± ⋯ = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k}

erfüllt das Leibniz-Kriterium und konvergiert (der Grenzwert ist ln(2)).

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, aber sie konvergiert nicht absolut (die harmonische Reihe ist bekanntlich divergent). Für solche ”bedingt“ (= nicht absolut) konvergente Reihen ist höchste Vorsicht geboten: die Reihenfolge der Summation ist wichtig!

Beobachtung 3.28:

Für die alternierende harmonische Reihe des letzten Beispiels gilt:

S = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{5} − \frac{1}{6} + \frac{1}{7} − \frac{1}{8} + …
\frac{S}{2} =  \frac{1}{2}  − \frac{1}{4}  + \frac{1}{6}  − \frac{1}{8} + …

\frac{3 · S}{2} = 1  + \frac{1}{3} − \frac{1}{2} + \frac{1}{5}  + \frac{1}{7} − \frac{1}{4} + …

Man kann sich leicht überlegen, dass in der letzten Reihe der Kehrwert jeder natürlichen Zahl genau einmal auftaucht. In der Tat erhält sie alle Summanden der alterniernenden Reihe S, nur dass die Summanden anders angeordnet sind:

”Nehme 2 positive Summanden von S, dann einen negativen, dann die beiden nächsten positiven, dann den nächsten negativen usw.“

Diese Umordnung hat den Grenzwert verändert!

Erstaunlicherweise kann man durch eine geeignete Umsummation jeden beliebigen Grenzwert erreichen:

Satz 3.29: (Riemannscher Umordnungssatz für bedingt konvergente Reihen) Sei ∑_{k} x_{k} eine konvergierende reelle Reihe, die nicht absolut konvergiert: ∑_{k} |x_{k}| = ∞. Dann gibt es zu jedem S ∈ ℝ eine bijektive Abbildung P : ℕ → ℕ (eine “Permutation“ von ℕ), so dass

∑_{k=1}^{∞} x_{P (k)} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} x_{P (k)} = S

gilt.

Die Beweisidee ist sehr einfach, der Beweis ist konstruktiv. Sei

N^{+} = {n ∈ ℕ, x_{n} ≥ 0}, N^{−} = {n ∈ ℕ, x_{n} < 0}.

Man überlegt sich, dass die Divergenz von ∑_{k} |x_{k}| zusammen mit der Konvergenz von ∑_{k} x_{k} bedeutet, dass ∑_{k∈N^{+}} x_{k} gegen ∞ und ∑_{k∈N^{−}} x_{k} gegen −∞ konvergiert. Zu gegebenem S wähle solange Indizes in N^{+}, bis die Summe über die entsprechenden positiven x_{k} zum ersten Mal S überschreitet (wegen ∑_{k∈N^{+}} x_{k} = ∞ wird dies sicherlich irgendwann geschehen). Dann wähle solange Indizes in N^{−}, bis durch Hinzuaddieren der entsprechenden negativen x_{k} zum ersten Mal S unterschritten wird (wegen ∑_{k∈N^{−}} x_{k} = −∞ wird dies sicherlich irgendwann geschehen). Dann wähle wieder Indizes auf N^{+}, bis S überschritten wird usw. Die Differenz zwischen S und der überschreitenden bzw. unterschreitenden Zwischensumme ist jeweils kleiner als das letzte Folgenelement, das addiert bzw. subtrahiert wurde. Die Folgenglieder sind aber eine Nullfolge, da ∑_{k} x_{k} konvergiert. Damit konvergieren die konstruierten Zwischensummen gegen S. Details: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer.

Q.E.D.

Glücklicherweise ergibt sich dieses Umordnungsproblem bei absolut konvergierenden Reihen nicht. Jede Umordnung der Reihenglieder liefert die selbe Summe:

Satz 3.30: (Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

Sei ∑_{k} z_{k} eine (komplexe) absolut konvergierende Reihe. Dann konvergiert ∑_{k} z_{P (k)} für jede Permutation P absolut gegen den selben Grenzwert.

Beweis: siehe z.B. Chr. Blatter, Analysis 1, Springer.

3.5 Summation per Partialbruchzerlegung

↓24.5.02

Es gibt einige Situationen, wo man (endliche) Reihen explizit berechnen kann. Der Reihenwert ergibt sich als Grenzwert des expliziten Ausdrucks:

Beispiel 3.31: Betrachte ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k · (k + 1)}. Die entscheidende Beobachtung ist:

\frac{1}{k · (k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}

(man bringe \frac{1}{k} − \frac{1}{k+1} auf den Hauptnenner). Hiermit ergibt sich

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k · (k + 1)} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1}) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k + 1}

= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}
− \frac{1}{2} − \frac{1}{3} − ⋯ − \frac{1}{n} − \frac{1}{n+1}
= 1 − \frac{1}{n+1}.

Man nennt so eine Summe auch ”Teleskopsumme“: sie läßt sich zu einigen wenigen Termen ”zusammenschieben“, da sich fast alle Summanden aufheben. Es folgt:

∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k · (k + 1)} = lim_{n→∞} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k · (k + 1)} = lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n + 1}) = 1.

Der im obigen Beispiel angewendete Trick läßt sich systematisch anwenden:

Rezept (Summation durch ”Partialbruchzerlegung“) 3.32:

Betrachte die Summe ∑_{k} a_{k} über einen ”rationalen“ Ausdruck in k:

a_{k} = \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q}}

mit p + 2 ≤ q (für p + 2 > q divergiert die Reihe ∑_{k} a_{k}).

• Schritt 1: Bestimme die Nullstellen k_{1}, k_{2}, …, k_{q} des Nennerpolynoms P (k) = d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q} = d_{q} · (k − k_{1}) · . . . · (k − k_{q}).

• Schritt 2: Sind alle Nullstellen einfach, so kann man den Ausdruck stets folgendermaßen additiv zerlegen: es gibt Werte e_{1}, e_{2}, …, e_{q}, so dass

a_{k} = \frac{c_{0} + c_{1} · k + ⋯ + c_{p} · k^{p}}{d_{0} + d_{1} · k + ⋯ + d_{q} · k^{q}} = \frac{e_{1}}{k − k_{1}} + \frac{e_{2}}{k − k_{2}} + ⋯ + \frac{e_{q}}{k − k_{q}} .

Finde diese Werte e_{1}, …, e_{q}! Man bringt dazu die rechte Seite dieses Ansatzes auf den Hauptnenner (das ergibt nach Konstruktion das Nennerpolynom P (k)). Das Zählerpolynom muss mit dem Zähler der linken Seite übereinstimmen. Vergleiche in den Zählern die Koeffizienten der k-Potenzen, die einzeln übereinstimmen müssen. Dies führt zu einem (stets lösbaren) linearen Gleichungssystem für e_{1}, …, e_{q}.

• Schritt 3: Es gilt

∑_{k=1}^{n} a_{k} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{e_{1}}{k − k_{1}} + \frac{e_{2}}{k − k_{2}} + ⋯ + \frac{e_{q}}{k − k_{q}} )

= ∑_{k=1}^{n} \frac{e_{1}}{k − k_{1}} + ∑_{k=1}^{n} \frac{e_{2}}{k − k_{2}} + ⋯ + ∑_{k=1}^{n} \frac{e_{2}}{k − k_{q}} .

Unterscheiden sich die Nullstellen um ganze Zahlen, so läßt sich diese Summe von Summen als ”Teleskopsumme“ zu einem expliziten Ausdruck in n vereinfachen.

Beispiel 3.33: Betrachte ∑_{k=3}^{n} \frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2}.

Schritt 1: Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind k_{1} = 1, k_{2} = −1, k_{3} = 2:

k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2 = (k − 1) · (k + 1) · (k − 2).

3.5. SUMMATION PER PARTIALBRUCHZERLEGUNG 59

Schritt 2: Mache den Ansatz:

\frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = \frac{e_{1}}{k − 1} + \frac{e_{2}}{k + 1} + \frac{e_{3}}{k − 2}.

Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner und ordne den Zähler nach k-Potenzen:

\frac{e_{1}}{k − 1} + \frac{e_{2}}{k + 1} + \frac{e_{3}}{k − 2}

= \frac{e_{1} · (k + 1) · (k − 2) + e_{2} · (k − 1) · (k − 2) + e_{3} · (k − 1) · (k + 1)}{(k − 1) · (k + 1) · (k − 2)}

= \frac{e_{1} · (k + 1) · (k − 2) + e_{2} · (k − 1) · (k − 2) + e_{3} · (k − 1) · (k + 1)}{(k − 1) · (k + 1) · (k − 2)}

= \frac{e_{1} · k^{2} − e_{1} · k − 2 · e_{1} + e_{2} · k^{2} − 3 · e_{2} · k + 2 · e_{2} + e_{3} · k^{2} − e_{3}}{(k − 1) · (k + 1) · (k − 2)}

= \frac{(e_{1} + e_{2} + e_{3}) · k^{2} + (−e_{1} − 3 · e_{2}) · k + (−2 · e_{1} + 2 · e_{2} − e_{3})}{(k − 1) · (k + 1) · (k − 2)}.

Dies muß als Polynom in k mit dem Zähler der Summanden der Reihe übereinstimmen, also

k = 0 · k^{2} + 1 · k + 0 = \underbrace{(e_{1} + e_{2} + e_{3})}_{=0} ·k^{2} + \underbrace{(−e_{1} − 3 · e_{2})}_{=1} ·k + \underbrace{(−2 · e_{1} + 2 · e_{2} − e_{3})}_{=0} .

Durch Vergleich der k-Potenzen ergibt sich:

e_{1} + e_{2} + e_{3} = 0, −e_{1} − 3 · e_{2} = 1, −2 · e_{1} + 2 · e_{2} − e_{3} = 0.

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist

e_{1} = −\frac{1}{2}, e_{2} = −\frac{1}{6}, e_{3} = \frac{2}{3},

also

\frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = −\frac{1}{2} · \frac{1}{k − 1} − \frac{1}{6} · \frac{1}{k + 1} + \frac{2}{3} · \frac{1}{k − 2}.

Schritt 3: Reduktion der Teleskopsumme. Beachte, dass eine der Gleichungen e_{1} +e_{2} + e_{3} = 0 war. Deshalb ist es kein Zufall, dass sich in der Tat eine Teleskopsumme ergibt:

∑_{k=3}^{n} \frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = ∑_{k=3}^{n} \frac{(−1/2)}{k − 1} + ∑_{k=3}^{n} \frac{(−1/6)}{k + 1} + ∑_{k=3}^{n} \frac{(2/3)}{k − 2}

=  \frac{(−1/2)}{2} + \frac{(−1/2)}{3} + \frac{(−1/2)}{4} + ⋯ + \frac{(−1/2)}{n−2} + \frac{(−1/2)}{n−1}
\frac{(−1/6)}{4} + ⋯ + \frac{(−1/6)}{n−2} + \frac{(−1/6)}{n−1} + \frac{(−1/6)}{n} + \frac{(−1/6)}{n+1}
+ \frac{(2/3)}{1} + \frac{(2/3)}{2} + \frac{(2/3)}{3} + \frac{(2/3)}{4} + ⋯ + \frac{(2/3)}{n−2} _{0}  _{0}  _{0}
=  \frac{(−1/2)}{2} + \frac{(−1/2)}{3}  + \frac{(−1/2)}{n−1}
+ \frac{(−1/6)}{n−1} + \frac{(−1/6)}{n} + \frac{(−1/6)}{n+1}
+ \frac{(2/3)}{1} + \frac{(2/3)}{2} + \frac{(2/3)}{3}
=  \frac{29}{36}  + \frac{(−2/3)}{n−1} + \frac{(−1/6)}{n} + \frac{(−1/6)}{n+1}.

Der Grenzwert für n → ∞ liefert

∑_{k=3}^{∞} \frac{k}{k^{3} − 2 · k^{2} − k + 2} = \frac{29}{36}.

Beispiel 3.34: In MuPAD ist die Funktion partfrac (”partial fraction“) für die Partialbruchzerlegung zuständig:

>> partfrac(k/(k^3 - 2*k^2 - k + 2))
                   2           1           1
               --------- - --------- - ---------
               3 (k - 2)   6 (k + 1)   2 (k - 1)

Funktionen und Stetigkeit

4.1 Funktionen

Definition 4.1:

Eine Funktion f : D ↦ ℂ ist eine Zuordnung f : z ↦ f(z) einer Zahl z ∈ D ⊂ ℂ zu einem ”Bildwert“ f(z) ∈ ℂ. Der Punkt z heißt auch ”Urbild“ von f(z). Die Menge D ⊂ ℂ heißt ”Definitionsbereich“, die Menge

f(D) := {f(z); z ∈ D}

heißt ”Bildbereich“ oder auch ”Wertebereich“ der Funktion.

Eine \underline{reelle} Funktion f : D ⊂ ℝ ↦ ℝ heißt

• monoton steigend, wenn f(x) ≤ f(y) gilt

• streng monoton steigend, wenn f(x) < f(y)gilt

• monoton fallend, wenn f(x) ≥ f(y) gilt

• streng monoton fallend, wenn f(x) > f(y) gilt

für alle x, y ∈ D mit x < y.

Beispiel 4.2: a) Die (stückweise definierte) Funktion f : ℝ ↦ ℝ

f(x) = \{ \begin{matrix}x & für x ≤ 0, \\ \frac{1}{2} & für 0 < x < 1, \\ x & für 1 ≤ x \end{matrix} [figure: x; f(x); \frac{1}{2}; 1]

ist monoton steigend (aber nicht streng monoton steigend). Der Definitionsbereich ist ℝ, der Bildbereich ist f(ℝ) = (−∞, 0] ∪ \{\frac{1}{2}\} ∪ [1, ∞). Die MuPAD-Graphik dazu (piecewise erzeugt stückweise definierte Funktionen):

>> f:= piecewise([x <= 0, x],
              [0 < x and x < 1, 1/2],
              [1 <= x, x])
>> plotfunc2d(f(x), x = -2..2)

b) Die Funktion f : [0, ∞) ↦ [0, ∞), f(x) = \sqrt{x} ist streng monoton steigend. Die MuPAD-Graphik dazu (sqrt ist die Wurzelfunktion):

>> plotfunc2d(sqrt(x), x = 0..4)

4.2 Stetigkeit

Definition 4.3: (Stetigkeit)

Eine Funktion f : D ⊂ ℂ ↦ ℂ heißt stetig am Punkt z^{∗} ∈ D, wenn für jede gegen z^{∗} konvergierende Folge (z_{n}) mit z_{n} ∈ D gilt:

lim_{n→∞} f(z_{n}) = f(z^{∗}). (#)

Für \underline{reelle} Funktionen f : D ⊂ ℝ ↦ ℝ wird zusätzlich definiert:

Die Funktion f heißt rechtsseitig stetig am Punkt x^{∗} ∈ D, wenn (#) gilt für alle gegen x^{∗} konvergierenden Folgen (x_{n}) mit x_{n} ≥ x^{∗}.

Die Funktion f heißt linksseitig stetig am Punkt x^{∗} ∈ D, wenn (#) gilt für alle gegen x^{∗} konvergierenden Folgen (x_{n}) mit x_{n} ≤ x^{∗}.

Die Funktion f heißt stetig auf dem Bereich D, wenn sie an allen Punkten x^{∗} ∈ D stetig ist.

Die formale Definition 4.3 der Stetigkeit sollte man sich so merken:

4.2. STETIGKEIT 63

Merkregel 4.4:

Für beliebige konvergente Folgen z_{n} gilt

lim_{n→∞} f(z_{n}) = f( lim_{n→∞} z_{n}),

wenn die Funktion f an der Stelle lim_{n→∞} z_{n} stetig ist.

Ähnlich wie die ϵ–N(ϵ)–Definition eines Grenzwertes für Folgen ist diese Definition von Stetigkeit technisch und nur in sehr einfachen Fällen praktisch handhabbar. Man verläßt sich in der Praxis wiederum auf Rechenregeln, mit denen Stetigkeit vererbt werden, siehe Satz 4.7. Zunächst einige einfache Beispiele mit der formalen Definition:

Beispiel 4.5: a) Betrachte die konstante Funktion f : z ∈ ℂ ↦ c (mit einer konstanten

↓31.5.02

Zahl c ∈ ℂ). Sei (z_{n}) eine beliebige gegen z^{∗} konvergierende Folge. Es gilt

lim_{n→∞} f(z_{n}) = lim_{n→∞} c = c = f(z^{∗}).

Damit ist f an jedem Punkt z^{∗} ∈ ℂ stetig.

b) Betrachte die Funktion f(z) = z. Sei (z_{n}) eine beliebige gegen z^{∗} konvergierende Folge. Es gilt

lim_{n→∞} f(z_{n}) = lim_{n→∞} z_{n} = z^{∗} = f(z^{∗}).

Damit ist f an jedem Punkt z^{∗} ∈ ℂ stetig.

c) Betrachte die Funktion f(z) = z^{2} +1. Sei (z_{n}) eine beliebige gegen z^{∗} konvergierende Folge. Mit den Rechenregeln für Grenzwerte gilt

lim_{n→∞} f(z_{n}) = lim_{n→∞}(z_{n}^{2} + 1) = ( lim_{n→∞} z_{n})^{2} + 1 = (z^{∗})^{2} + 1 = f(z^{∗}).

Damit ist f an jedem Punkt z^{∗} ∈ ℂ stetig.

Man sieht an diesen Beispielen bereits, dass die Rechenregeln für Grenzwerte sofort zu analogen Rechenregeln für die Vererbung von Stetigkeit führen. Vorher aber noch ein Beispiel zur Unstetigkeit und ”einseitigen Stetigkeit“:

Beispiel 4.6: Betrachte die reelle Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x < 0, \\ 1 & für 0 ≤ x. \end{matrix} [figure: x; f(x); 1]

Diese Funktion ist überall stetig, außer am Punkt x = 0. Dort ist sie aber immer noch rechtsseitig stetig: nähert man sich dem Punkt x = 0 von rechts, so sind die Funktionswerte konstant 1. Der Grenzwert der Funktionswerte ist wiederum 1 und stimmt mit dem Funktionswert f(0) = 1 überein. Die Funktion ist aber nicht linksseitig stetig: nähert man sich dem Punkt x = 0 von links, so sind die Funktionswerte konstant 0. Der Grenzwert der Funktionswerte ist wiederum 0 und stimmt nicht mit dem Funktionswert f(0) = 1 überein. Eine stetige Funktion muß aber offensichtlich sowohl links- als auch rechtsseitig stetig sein, damit ist f am Punkt x = 0 unstetig.

Nun die Rechenregeln:

Satz 4.7: (Rechenregeln zur Stetigkeit)

Seien f und g Funktionen. Sei z^{∗} ein Punkt aus dem Schnitt der Definitionsbereiche von f und g (d.h., sowohl f(z^{∗}) als auch g(z^{∗}) ist definiert). Seien f und g am Punkt z^{∗} stetig. Sei c eine Konstante. Dann gilt:

• Die Funktion z ↦ c · f(z) ist am Punkt z^{∗} stetig.

• Die Funktion z ↦ f(z) + g(z) ist am Punkt z^{∗} stetig.

• Die Funktion z ↦ f(z) − g(z) ist am Punkt z^{∗} stetig.

• Die Funktion z ↦ f(z) · g(z) ist am Punkt z^{∗} stetig.

• Die Funktion z ↦ \frac{f(z)}{g(z)} ist am Punkt z^{∗} stetig, \underline{falls g(z^{∗}) ≠ 0}.

• Die Funktion z ↦ \sqrt{f(z)} ist am Punkt z^{∗} stetig.

Weiterhin gilt: ist g am Punkt z^{∗} stetig und f am Punkt g(z^{∗}), so ist z ↦ f(g(z)) am Punkt z^{∗} stetig.

Beweis: Betrachte eine beliebige Folge (z_{n}) → z^{∗} und wende die Rechenregeln 2.13 an.

Q.E.D.

Beispiel 4.8: Die Funktion f(x) = \frac{x+1}{x^{2}+1} ist überall auf ℝ stetig: Da konstante Funktionen sowie g(x) = x stetig sind, ist auch h(x) = x + 1 stetig. Analog ist k(x) = x^{2} und damit auch j(x) = x^{2} + 1 stetig. Außerdem gilt j(x) > 0 für alle x ∈ ℝ, womit der Quotient f(x) = \frac{h(x)}{j(x)} ebenfalls überall stetig ist. Betrachtet man die Funktion in der komplexen Ebene, so ist sie überall stetig bis auf die beiden Punkte ±i, wo der Nenner verschwindet.

An diesem Beispiel merkt man, dass folgende ”Pi mal Daumen-Regel“ gilt:

Merkregel 4.9:

Aus stetigen Funktionen ”zusammengesetzte“ Funktionen sind wieder stetig. Lediglich an den Stellen, wo man durch 0 teilt, kann die Funktion unstetig sein.

4.2. STETIGKEIT 65

Manchmal helfen die Rechenregeln nicht, und man muss technisch abschätzen:

Beispiel 4.10: Die in Definition 2.20/Beispiel 3.24 eingeführte Exponentialfunktion z ↦ exp(z) ist stetig am Nullpunkt. Betrachte dazu eine beliebige Nullfolge h_{n}, für die o.B.d.A. |h_{n}| ≤ 1 gelte. Wegen

|e^{h_{n}} − 1| = |1 + h_{n} + \frac{h_{n}^{2}}{2!} + \frac{h_{n}^{3}}{3!} + ⋯ − 1| = |h_{n}| · |1 + \frac{h_{n}}{2!} + \frac{h_{n}^{2}}{3!} + ⋯ |

≤ |h_{n}| · (1 + \frac{|h_{n}|}{2!} + \frac{|h_{n}|^{2}}{3!} + ⋯) ≤ |h_{n}| · (1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ⋯) = |h_{n}| · (e^{1} − 1) ≤ 2 · |h_{n}|

ist e^{h_{n}} − 1 eine Nullfolge, also lim_{n→∞} e^{h_{n}} = 1 = e^{0}. Dies ist die Stetigkeit am Nullpunkt.

Satz 4.11: (Stetigkeit der Exponentialfunktion)

Die in Definition 2.20/Beispiel 3.24 eingeführte Exponentialfunktion z ↦ exp(z) mit dem Definitionsbereich ℂ ist an allen Punkten z ∈ ℂ stetig.

Beweis: Sei (h_{n}) eine beliebige Nullfolge. Wegen der Funktionalgleichung 2.22 e^{a+b} = e^{a} · e^{b} und der gerade gezeigten Stetigkeit im Nullpunkt folgt

lim_{n→∞} e^{z+h_{n}} = lim_{n→∞} e^{z} · e^{h_{n}} = e^{z} · lim_{n→∞} e^{h_{n}} = e^{z} · e^{lim_{n→∞} h_{n}} = e^{z} · e^{0} = e^{z}.

Q.E.D.

Die Merkregel 4.9 besagt, dass es potentielle Unstetigkeiten gibt, wenn man durch 0 teilt. Aber: es kann auch passieren, dass an diesen Stellen Stetigkeit vorliegt (nämlich bei speziellen \frac{0}{0} –Situation):

Beispiel 4.12: Die Funktion

f(z) = \{ \begin{matrix}\frac{z^{2} − 1}{z − 1} & für z ≠ 1, \\ 2 & für z = 1 \end{matrix}

ist überall (auch an der Stelle z = 1) stetig. Dies ist leicht gezeigt: Wegen z^{2} − 1 = (z + 1) · (z − 1) ist f nichts anderes als eine komplizierte Schreibweise für f(z) = z + 1.

Etwas komplizierter ist

f(z) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{z} − 1}{z} & für z ≠ 0, \\ 1 & für z = 0. \end{matrix}

Auch diese Funktion ist überall (auch an der Stelle z = 0) stetig, was durch folgende Betrachtung plausibel wird:

\frac{e^{z} − 1}{z} = \frac{1}{z} · (1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + ⋯ − 1) = \frac{1}{z} · (z + \frac{z^{2}}{2!} + ⋯) = 1 + \frac{z}{2!} + · · · .

Eine \frac{0}{0}–Situation läßt sich mit Hilfe der ”l’Hospitalschen Regel“ systematisch untersuchen, siehe Beispiel 6.37.

4.3 Grenzwerte

Betrachtet man f(z) = (e^{z} − 1)/z, so ist diese Funktion zunächst mal für z = 0 nicht definiert, sie hat dort eine ”Definitionslücke“. In Beispiel 4.12 haben wir einen geeigneten Wert definiert, der die Funktion insgesamt stetig macht. Dieser Wert ergibt sich als ”Grenzwert“ der Funktion, wenn das Argument gegen den kritischen Wert strebt.

Definition 4.13: (Grenzwerte bei Funktionen)

Betrachte eine Funktion f auf dem Defintionsbereich D = ℂ \ {z^{∗}}. Der Wert f^{∗} heißt ”Grenzwert (Limes)“ von f für z → z^{∗}, wenn für jede gegen z^{∗} konvergierende Folge (z_{n}) mit z_{n} ∈ D gilt:

lim_{n→∞} f(z_{n}) = f^{∗}.

Die Schreibweise ist dann: f^{∗} = lim_{z→z^{∗}} f(z).

Die Funktion

z ∈ D ∪ \{z^{∗}\} ↦ \{ \begin{matrix}f(z) & für z ∈ D, \\ f^{∗} & für z = z^{∗} \end{matrix}

nennt man die ”stetige Fortsetzung“ von f auf den erweiterten Definitionsbereich D ∪ {z^{∗}}. Nach Konstruktion ist die Fortsetzung stetig am Punkt z^{∗}.

Definition 4.14: (Einseitige Grenzwerte bei Funktionen)

Für \underline{reelle} Funktionen f : D \ \{x^{∗}\} ⊂ ℝ ↦ ℝ wird weiterhin definiert::

Der Wert f^{∗} heißt ”rechtsseitiger Grenzwert“ von f für x → x^{∗}, wenn lim_{n→∞} f(x_{n}) = f^{∗} gilt für alle gegen x^{∗} konvergierende Folgen (x_{n}) mit x_{n} > x^{∗}. Schreibweise:

f^{∗} = lim_{x→x^{∗}+0} f(x).

Der Wert f^{∗} heißt ”linksseitiger Grenzwert“ von f für x → x^{∗}, wenn lim_{n→∞} f(x_{n}) = f^{∗} gilt für alle gegen x^{∗} konvergierende Folgen (x_{n}) mit x_{n} < x^{∗}. Schreibweise:

f^{∗} = lim_{x→x^{∗}−0} f(x).

4.3. GRENZWERTE 67

Beispiel 4.15: Für eine am Punkt x^{∗} definierte und dort stetige reelle Funktion gilt immer

lim_{x→x^{∗}−0} f(x) = lim_{x→x^{∗}+0} f(x) = lim_{x→x^{∗}} f(x) = f(x^{∗}).

Beispiel 4.16: Betrachte

f(x) = \{ \begin{matrix}0 & für x < 0, \\ 1 & für 0 ≤ x. \end{matrix} [figure: x; f(x); 1]

Hier gilt für die Sprungstelle x^{∗} = 0:

lim_{x→0−0} f(x) = 0, lim_{x→0+0} f(x) = 1, lim_{x→0} f(x) existiert nicht.

Beispiel 4.17: Für die reelle Funktion f(x) = \frac{1}{x} gilt

lim_{x→∞} f(x) = 0.

Formale Begründung: Sei (x_{n}) eine beliebige gegen ∞ konvergierende Folge:

lim_{n→∞} f(x_{n}) = lim_{n→∞} \frac{1}{x_{n}} = \frac{1}{∞} = 0.

Am Punkt x = 0 ist f unstetig (”singulär“): die Funktion hat eine sogenannte Polstelle. Wir lassen die Werte ±∞ wieder als Grenzwerte zu. Dann existieren einseitige Grenzwerte:

lim_{x→0+0} f(x) = ∞, lim_{x→0−0} f(x) = −∞.

Das Argument ViewingBox = [-10..10, -10..10] im folgenden Befehl weist MuPAD an, alles außerhalb der angegebenen Bereiche zu ignorieren, wodurch sich eine gut skalierte Graphik ergibt:

>> plotfunc2d(1/x, x = -10..10,
              ViewingBox = [-10..10, -10..10])

Mit dem Grenzwertbegriff für Funktionen können wir die Stetigkeit an einem Punkt auch folgendermaßen charakterisieren:

Satz 4.18: (Stetigkeit)

Eine reelle Funktion f ist am Punkt x^{∗} genau dann linksseitig stetig, wenn

lim_{x→x^{∗}−0} f(x) = f(x^{∗})

gilt. Sie ist genau dann rechtsseitig stetig, wenn

lim_{x→x^{∗}+0} f(x) = f(x^{∗})

gilt. Sie ist genau dann stetig, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert existiert und beide Grenzwerte mit dem Funktionswert übereinstimmen:

lim_{x→x^{∗}−0} f(x) = lim_{x→x^{∗}−0} f(x) = f(x^{∗}).

Beweis: Das folgt unmittelbar aus den Definitionen. Für die letzte Aussage beachte, dass eine beliebige gegen x^{∗} konvergierende Folge aufgespalten werden kann in die Teilfolge aller Elemente, die kleiner sind als x^{∗} und die Teilfolge aller Elemente, die größer als x^{∗} sind. Die Konvergenz der Teilfolgen gegen f(x^{∗}) ist die links- bzw. rechtsseitige Stetigkeit, die Konvergenz der Gesamtfolge gegen f(x^{∗}) ist die Stetigkeit.

Q.E.D.

4.4 Der Zwischenwertsatz, das Min/Max-Prinzip

Es folgen zwei sehr wichtige und fundamentale Sätze für \underline{reelle} stetige Funktionen.

Satz 4.19: (Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen)

Sei f : [a, b] ↦ ℝ auf dem Intervall [a, b] ⊂ ℝ stetig. Dann nimmt f auf dem Intervall alle Werte zwischen f(a) und f(b) an: zu jedem y zwischen den Werten f(a) und f(b) existiert mindestens ein x ∈ [a, b] mit f(x) = y.

Beweis: (nicht nur für technisch Interessierte) Wir benutzen einen expliziten Algorithmus (”Intervallhalbierung“), um die Lösung von f(x) = y zu finden. Sei f(a) ≠ f(b) (sonst gibt es nichts zu zeigen). O.B.d.A. gelte f(a) < f(b) (sonst betrachte statt −f statt f). Gegeben sei y mit f(a) ≤ y ≤ f(b). Für y = f(a) bzw. y = f(b) ist die Behauptung sicher mit x = a bzw.x = b erfüllt. Es gelte also nun f(a) < y < f(b). Betrachte den Mittelpunkt m = (a+b)/2 des Intervalls. Gilt f(m) = y, sind wir fertig. Für f(m) > y betrachten wir die linke Intervallhälfte [a_{1}, b_{1}] := [a, m], für f(m) < y betrachten wir die rechte Intervallhälfte [a_{1}, b_{1}] := [m, a]. Nach Konstruktion ist die Ausgangssituation

f(a_{1}) ≤ y ≤ f(b_{1})

für das neue Intervall [a1, b_{1}] wieder hergestellt. Das betrachtete Intervall [a_{1}, b_{1}] wird nun erneut zu einem Intervall [a_{2}, b_{2}] halbiert usw. Es ergibt sich eine Folge von immer kleineren Intervallen [a_{n}, b_{n}], deren linke Enden a_{n} eine monoton steigende und deren rechten Enden b_{n} eine monoton fallende Folge bildet. Nach Konstruktion gilt für alle Intervallenden

f(a_{n}) ≤ y ≤ f(b_{n}).

Nach Satz 2.28 konvergieren die monotonen beschränkten Folgen (a_{n}) und (b_{n}) gegen Grenzwerte a^{∗} bzw b^{∗}, die übereinstimmen müssen, da die Intervalllängen b_{n} − a_{n} = (b − a)/2^{n} gegen Null konvergieren. Da f am Punkt x := a^{∗} = b^{∗} stetig ist, folgt

f(x) = lim_{n→∞} f(a_{n}) = f( lim_{n→∞} a_{n}) ≤ y ≤ lim_{n→∞} f(b_{n}) = f( lim_{n→∞} b_{n}) = f(x),

also f(x) = y.

Q.E.D.

Bemerkung 4.20: Der im Beweis des Zwischenwertsatzes verwendete Algorithmus (”Intervallhalbierung“, ”Bi-Sektion“) ist ein auch in der Praxis anwendbarer Suchalgorithmus zum approximativen Lösen einer Gleichung f(x) = y. Er liefert eine Folge von Intervallschachtelungen [a_{n}, b_{n}] für die Lösung. Die Genauigkeit ist die Länge des Intervalls, auf das die Lösung eingeschränkt werden konnte. Mit 2^{10} = 1024 ≈ 10^{3} gilt die Faustregel:

Durch je 10 Halbierungsschritte gewinnt man jeweils etwa 3 Dezimalstellen Genauigkeit hinzu.

Bemerkung 4.21: Der Beweis verwendet über Satz 2.28 das Supremumsaxiom für ℝ. In der Tat hat beispielsweise die stetige Funktion f(x) = x^{2} − 2 auf dem Intervall [0, 2] ∩ ℚ keine Nullstelle, obwohl f(0) = −2 < 0 < f(2) = 2 gilt, da die Nullstelle x = \sqrt{2} nicht rational ist.

6.6.02↓ Ein weiteres wichtiges Ergebnis für stetige reelle Funktionen ist, dass der Bildbereich eines beschränkten abgeschlossenen Intervalls wieder ein beschränktes abgeschlossenes Intervall ist. Mit anderen Worten: die Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall immer (mindestens) ein globales Minimum und ein globales Maximum an:

Satz 4.22: (Das Min/Max–Prinzip für stetige Funktionen)

Sei f : [a, b] ↦ ℝ stetig auf dem Intervall [a, b] ⊂ ℝ. Dann existiert ein x_{min} ∈ [a, b] und ein x_{max} ∈ [a, b] mit

f(x_{min}) ≤ f(x) ≤ f(x_{max})

für alle x ∈ [a, b].

Beweis: (für technisch Interessierte) Wir konstruieren x_{max}. Die Bildmenge f([a, b]) := {f(x); x ∈ [a, b]} ist nach oben beschränkt. Sonst gäbe es nämlich eine uneigentlich nach ∞ konvergierende Folge (y_{n}) in f([a, b]) mit (nicht unbedingt eindeutig bestimmten) Urbildern x_{n} ∈ [a, b]. Nach Bolzano-Weier-strass 2.49/Bemerkung 2.50 gibt es eine gegen einen Grenzwert x^{∗} ∈ [a, b] konvergierende Teilfolge (x_{n_{k}}) in [a, b], für die

∞ = lim_{k→∞} y_{n_{k}} = lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = f( lim_{k→∞} x_{n_{k}}) = f(x^{∗})

gelten müßte. Widerspruch! Da f([a, b]) nach oben beschränkt ist, existiert gemäß des Supremumsaxioms 2.25 das Supremum Y = sup f([a, b]) aller Bildpunkte. Es gilt zu zeigen, dass dieses Suprememum in der Menge f([a, b]) liegt, also ein Maximum ist:

Da Y − \frac{1}{n} keine obere Schranke von f([a, b]) sein kann (Y ist als Supremum die kleinste obere Schranke), gibt es zu jedem n ∈ ℕ ein x_{n} ∈ [a, b] mit

Y − \frac{1}{n} < f(x_{n}) ≤ Y.

Wiederum existiert nach Bolzano-Weierstrass 2.49/Bemerkung 2.50 eine gegen einen Grenzwert x^{∗} ∈ [a, b] konvergente Teilfolge (x_{n_{k}}), für die

Y = lim_{k→∞} (Y − \frac{1}{n_{k}} ) ≤ lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) ≤ Y

gilt. Mit der Stetigkeit von f folgt

Y = lim_{k→∞} f(x_{n_{k}}) = f( lim_{k→∞} x_{n_{k}}) = f(x∗).

Also ist f(x^{∗}) = max f([a, b]), d.h., x_{max} = x^{∗} ist die gesuchte Maximumsstelle.

Die Minimumstelle x_{min} mit f(x_{min}) = min f([a, b]) ergibt sich sofort als die Maximumsstelle von −f.

Q.E.D.

Bemerkung 4.23: Die Abgeschlossenheit des Intervalls [a, b] ist wesentlich für die Existenz von Minimum und Maximum. Beispielsweise hat für das offene Intervall (0, 1) die auf (0, 1) stetige Funktion f(x) = 1/x offensichtlich weder ein Maximum noch ein Minimum!

4.5 Umkehrfunktionen

Definition 4.24: (Invertierbarkeit von Funktionen)

Eine Funktion f : D ↦ W von einem Definitionsbereich D in den Wertebereich W = f(D) = {f(x); x ∈ D} heißt invertierbar, wenn zu jedem Wert y ∈ W genau ein Urbild x ∈ D mit f(x) = y existiert.

Beispiel 4.25: Die Funktion f(x) = x^{2} auf dem Definitionsbereich D = [0, ∞) mit dem Wertebereich f(D) = [0, ∞) ist invertierbar: zu y = f(x) = x^{2} gehört genau ein Urbild x = \sqrt{y} im Definitionsbereich D.

Die Funktion f(x) = x^{2} auf dem Definitionsbereich D = (−∞, 0] mit dem Wertebereich f(D) = [0, ∞) ist invertierbar: zu y = f(x) = x^{2} gehört genau ein Urbild x = −\sqrt{y} im Definitionsbereich D.

Die Funktion f(x) = x^{2} ist nicht invertierbar, wenn man sie auf dem Definitionsbereich D = ℝ betrachtet: Jetzt gibt es zu jedem y = f(x) = x^{2} aus dem Wertebereich f(D) = [0, ∞) zwei Urbilder x = \sqrt{y} und x = −\sqrt{y}.

Definition 4.26: (Inverse einer Funktion)

Die Funktion f : D ↦ W von einem Definitionsbereich D in den Wertebereich W = f(D) = {f(x); x ∈ D} sei invertierbar. Die ”Umkehrabbildung“ (”Inverse“) von f ist die Funktion f^{−1} : W ↦ D, die dem Punkt y = f(x) ∈ W den (eindeutig bestimmten) Wert x zuordnet.

Beispiel 4.27: Die Funktion f(x) = x^{2} auf dem Definitionsbereich D = [0, ∞) mit dem Wertebereich W = f(D) = [0, ∞) hat die durch f^{−1}(y) = \sqrt{y} gegebene Inverse f^{−1} : W ↦ D.

Die Funktion f(x) = x^{2} auf dem Definitionsbereich D = (−∞, 0] mit dem Wertebereich f(D) = [0, ∞) hat die durch f^{−1}(y) = −\sqrt{y} gegebene Inverse f^{−1} : W ↦ D.

Die Funktion f(x) = x^{2} auf dem Definitionsbereich D = ℝ hat keine Inverse.

Die Funktion f(x) = 2−3·x auf dem Wertebereich D = ℝ hat die Inverse f^{−1}(y) = \frac{2−y}{3} . Um die Inverse zu bestimmen, muß man y = f(x) nach x auflösen:

y = 2 − 3 · x ⟹ 3 · x = 2 − y ⟹ x = \frac{2 − y}{3} .

Graphische Darstellung der Inversen 4.28:

Hat man eine invertierbare Funktion f graphisch dargestellt, so hat man auch sofort den Graphen von f^{−1}. Der Graph von f ist eine Punktmenge (x, y) mit y = f(x) in der x-y-Ebene. Der Graph von f^{−1} ist die Punktmenge (y, x) mit y = f(x). Diese ergibt sich einfach durch Spiegelung an der ”ersten Winkelhalbierenden“ (dies ist die durch y = x gegebene Gerade).

Der Graph der Umkehrfunktion f^{−1} ist die Spiegelung des Graphen der Funktion f an der ersten Winkelhalbierenden.

Beispiel 4.29: Zur Demonstration hierzu einige MuPAD Graphiken. Betrachte f(x) = x^{2} auf D = [0, ∞), f^{−1}(y) = \sqrt{y}. Statt f^{−1}(y) = \sqrt{y} wird f^{−1}(x) = \sqrt{x} eingegeben (Goethe sagt dazu treffend: ”Name ist Schall und Rauch“). Die Winkelhalbierende y = x wird zusätzlich eingezeichnet:

4.5. UMKEHRFUNKTIONEN 73

>> plotfunc2d(x, x^2, sqrt(x), x = 0..2,
              ViewingBox = [-0.5..2, -0.5..2])

Das selbe noch einmal, diesmal wird f(x) = x^{2} aber auf dem Definitionsbereich D = (−∞, 0] betrachtet. Da die Inverse f^{−1}(y) = −\sqrt{y} auf einem anderen Definitionsbereich lebt (y ≥ 0, x ≤ 0), plotfunc2d aber alle Funktionen über einem gemeinsamen Bereich zeichnet, wird nun das folgende flexiblere plot-Konstrukt benutzt:

>> plot(// die Winkelhalbierende:
        plot::Function2d(x, x = -2..2, Color = RGB::Black),
        // f(x):
        plot::Function2d(x^2, x = -2..0, Color = RGB::Red),
        // die Inverse von f:
        plot::Function2d(-sqrt(y), y = 0..2, Color = RGB::Blue),
        ViewingBox = [-2..2, -2..2])

Bei streng monotonen Funktionen ist die Invertierbarkeit garantiert:

Satz 4.30: (Invertierbarkeit bei Monotonie)

Streng monotone \underline{reelle} Funktionen f : [a, b] ↦ f([a, b]) sind immer invertierbar. Ist f streng monoton steigend, dann auch f^{−1}. Ist f streng monoton fallend, dann auch f^{−1}. Ist f stetig, dann auch f^{−1}.

Beweis: (für technisch Interessierte) Die Eindeutigkeit der Urbilder folgt unmittelbar aus der Monotonie, denn aus x_{1} ≠ x_{2} (also entweder x_{1} < x_{2} oder x_{1} > x_{2}) folgt per strenger Monotonie f(x_{1}) ≠ f(x_{2}). Die Monotonie von f^{−1} ist offensichtlich. Zur Stetigkeit von f^{−1}. Sei o.B.d.A. f streng monoton wachsend (sonst betrachte −f). Wähle einen beliebigen Punkt y aus dem Wertebereich f([a, b]) = [f(a), f(b)]. Sei (y_{n}) eine beliebige gegen y konvergierende Folge, sei x = f^{−1}(y). Wegen (y_{n}) → y gibt es zu jedem δ > 0 ein N(δ), so dass

y_{n} ∈ [y − δ, y + δ]

gilt für alle n ≥ N(δ). Zu ϵ > 0 setze

δ(ϵ) = min(y − f(x − ϵ), f(x + ϵ) − y) > 0.

Für alle n ≥ N(δ(ϵ)) folgt dann

y_{n} ∈ [y − δ(ϵ), y + δ(ϵ)] ⊂ [f(x − ϵ), f(x + ϵ)],

also

f^{−1}(y_{n}) ∈ f^{−1}([f(x − ϵ), f(x + ϵ)]) = [f^{−1}(f(x − ϵ)), f^{−1}(f(x + ϵ))]
= [x − ϵ, x + ϵ].

Also: zu ϵ > 0 haben wir ein N(δ(ϵ)) konstruiert, so dass

|f^{−1}(y_{n}) − x| = |f^{−1}(y_{n}) − f^{−1}(y)| ≤ ϵ

gilt für alle n ≥ N(δ(ϵ)). Also ist f^{−1} stetig: lim_{n→∞} f^{−1}(y_{n}) = f^{−1}( lim_{n→∞} y_{n}). Q.E.D.

4.6 Wachstum von Funktionen, Landau-Symbole

Es gibt eine zur Symbolik für Folgen in Abschnitt 2.4 analoge Schreibweise, um das Wachstum von Funktionen an interessanten Stellen zu beschreiben (typischerweise sind dies Nullstellen oder Singularitäten).

Notation 4.31:

Seien f und g Funktionen, die in der Umgebung eines Punktes z_{0} definiert seien (bei reellen Funktionen betrachtet man oft auch die Punkte z_{0} = ±∞).

• f(z) = O(g(z)) im Limes z → z_{0} bedeutet, dass die Funktion |f(z)|/|g(z)| auf einer Umgebung von z_{0} nach oben beschränkt ist.

• f(z) = o(g(z)) im Limes z → z_{0} bedeutet lim_{z→z_{0}} f(z)/g(z) = 0.

• f(z) = Ω(g(z)) im Limes z → z_{0} bedeutet, dass die Funktion |g(z)|/|f(z)| auf einer Umgebung von z_{0} nach oben beschränkt ist.

• f(z) = ω(g(z)) im Limes z → z_{0} bedeutet lim_{z→z_{0}} g(z)/f(z) = 0.

• f(z) = Θ(g(z)) im Limes z → z_{0} bedeutet, dass die Funktionen |f(z)|/|g(z)| und |g(z)|/|f(z)| auf einer Umgebung von z_{0} nach oben beschränkt sind: es existieren positive Konstanten c und C, so dass c · |g(z)| ≤ |f(z)| ≤ C · |g(z)| gilt auf einer Umgebung von z_{0}.

Beispiel 4.32:

e^{z} = O(1) im Limes z → 0, e^{z} = 1 + O(z) im Limes z → 0,

e^{z} = 1 + z + O(z^{2}) im Limes z → 0, e^{z} = 1 + z + o(z) im Limes z → 0,

\frac{x}{x + 1} = O(x) im Limes x → 0, \frac{x}{x + 1} = O(1) im Limes x → ∞,

\frac{x}{x + 1} = Θ(1) im Limes x → ∞, \frac{1}{z} = o(\frac{1}{z^{2}} ) im Limes z → 0.

Beispiel 4.33: Für alle positiven k gilt

e^{x} = ω(x^{k}) im Limes x → ∞,

sowie

e^{−x} = o(\frac{1}{x^{k}} ) im Limes x → ∞,

denn

|\frac{e^{−x}}{1/x^{k}} | = |\frac{x^{k}}{e^{x}} | = |\frac{x^{k}}{1 + x + ⋯ + \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} + ⋯}| ≤ |\frac{(k + 1)!}{x}| → 0 für x → ∞.

Anschaulich: die Funktion e^{x} wächst für gegen ∞ wachsendes x schneller als jede positive Potenz von x. Die Funktion e^{−x} fällt für gegen ∞ wachsendes x schneller ab als jede negative Potenz von x.

76 KAPITEL 4. FUNKTIONEN UND STETIGKEIT

Einige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos.

5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus

↓7.6.02

Die überaus wichtige Exponentialfunktion soll nun etwas genauer diskutiert werden. Die ursprüngliche Definition 2.20 ist für die Diskussion zu unhandlich. Die in Beispiel 3.24 eingeführte Reihendarstellung ist wesentlich nützlicher. Wir haben sie bereits benutzt, um in Satz 4.11 die Stetigkeit über ganz ℂ zu beweisen. Wir betrachten die Exponentialfunktion nun zunächst im Reellen genauer:

Satz 5.1: (Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion)

Die Exponentialfunktion e^{x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ⋯ ist für x ∈ ℝ

streng monoton steigend. Es gilt

lim_{x→−∞} e^{x} = 0, lim_{x→∞} e^{x} = ∞.

Der Wertebereich ist (0, ∞).

Beweis: Für 0 ≤ x < y ist e^{x} < e^{y} offensichtlich, denn die Summanden der Partialsummen sind streng monoton wachsend:

e^{y} − e^{x} = (1 + y + \frac{y^{2}}{2} + ⋯) − (1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ⋯) = \underbrace{y − x}_{>0} + \underbrace{\frac{y^{2} − x^{2}}{2}}_{>0} + ⋯ > 0.

Für x < y < 0 folgt die Monotonie aus der Funktionalgleichung 2.22: e^{x} = 1/e^{−x} < 1/e^{−y} = e^{y}. Nach Beispiel 4.33 wächst e^{x} (stärker als jede positive x-Potenz) gegen ∞ für x → ∞. Wegen e^{x} = 1/e^{−x} fällt e^{x} gegen 0 für x → −∞. Damit ist der Wertebereich (0, ∞).

Q.E.D.

Definition 5.2: (Der natürliche Logarithmus)

Wegen der strengen Monotonie der reellen Exponentialfunktion exp : ℝ ↦ (0, ∞) gibt es eine Umkehrfunktion, die man den ”natürlichen Logarithmus“ ln : (0, ∞) ↦ ℝ nennt:

ln(exp(x)) = x für alle x ∈ ℝ , exp(ln(y)) = y für alle y ∈ (0, ∞).

Beispiel 5.3: Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden ergibt sich sofort der Graph von ln aus dem Graphen von exp:

>> plotfunc2d(x, exp(x), ln(x), x = -4..4,
              ViewingBox = [-4..4, -4..4])

Da die Exponentialfunktion nach Satz 4.11 monoton und stetig ist, ist mit Satz 4.30 auch der Logarithmus monoton und stetig:

Merke 5.4:

• exp und ln sind stetig und streng monoton wachsend.

• Es gilt e^{x} > 1 für alle x > 0, es gilt ln(y) > 0 für alle y > 1.

• Es gilt e^{0} = 1 und ln(1) = 0.

• Es gilt e^{x} < 1 für alle x < 0 und ln(y) < 0 für alle y mit 0 < y < 1.

Bemerkung 5.5: Es ist klar, was mit x^{y} gemeint ist, wenn x ∈ ℝ positiv und y eine ganze oder eine rationale Zahl ist (z.B. x^{\frac{3}{4}} = ^{4} \sqrt{x^{3}}). Was aber ist x^{\sqrt{2}}? Betrachte eine rationale Potenz y = p/q mit p, q ∈ ℕ, dann ist a = x^{y} = x^{p/q} > 0 als die (eindeutige) positive Lösung von a^{q} = x^{p} definiert. Setzen wir x = e^{ln(x)}, so folgt mit den Funktionalgleichungen 2.22:

a^{q} = x^{p} = (e^{ln(x)})^{p} = e^{p·ln(x)} = (e^{\frac{p}{q} ·ln(x)})^{q}.

Die einzige reelle positive Lösung a dieser Gleichung ist offensichtlich

x^{\frac{p}{q}} = a = e^{\frac{p}{q} ·ln(x)}.

Also: für jedes rationale y gilt

x^{y} = e^{y·ln(x)} für jedes x > 0.

Man benutzt die obige Formel, um Potenzen von x > 0 auch für nicht-rationale reelle Werte y zu definieren, was nach obiger Überlegung mit der intuitiven ”Wurzeldefinition“ für rationales y verträglich ist. Z. B.:

>> float(2^PI) = float(exp(PI*ln(2)))
                   8.824977827 = 8.824977827

Satz 5.6: (Rechenregeln für exp und ln)

Für beliebiges x, y ∈ ℝ gilt:

e^{x+y} = e^{x} · e^{y}, (e^{x})^{y} = e^{x·y}, e^{−x} = \frac{1}{e^{x}} .

Für beliebiges x > 0, y > 0 gilt:

ln(x · y) = ln(x) + ln(y), ln(x^{y}) = y · ln(x), ln (\frac{1}{x}) = − ln(x).

Beweis: Die Funktionalgleichungen e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}} · e^{z_{2}} und e^{−z} = 1/e^{z} waren schon in Satz 2.22 über ℂ gezeigt worden. Sind z_{1}, z_{2} ∈ ℝ, folgt durch Logarithmieren

z_{1} + z_{2} = ln (e^{z_{1}} · e^{z_{2}}).

Mit x = e^{z_{1}}, y = e^{z_{2}}, also z_{1} = ln(x), z_{2} = ln(y), folgt ln(x) + ln(y) = ln(x · y). Für y = 1/x ergibt sich ln(x) + ln(1/x) = ln(1) = 0. Nach Definition beliebiger reeller Potenzen gemäß Bemerkung 5.5 ergibt sich

(e^{x})^{y} = e^{y·ln(e^{x})} = e^{y·x}.

Durch Logarithmieren folgt für beliebiges reelles z = e^{x} > 0:

ln(z)^{y} = y · x = y · ln(z).

Beispiel 5.7: Die Regel ln(x^{y}) = y · ln(x) ist nützlich, um Gleichungen aufzulösen, wo die gesuchte Größe in einem Exponenten auftaucht. Z.B.:

2^{x} = 8 ⇒ ln(2^{x}) = ln(8) ⇒ x · ln(2) = ln(8)

⇒ x = \frac{ln(8)}{ln(2)} = \frac{ln(2^{3})}{ln(2)} = \frac{3 · ln(2)}{ln(2)} = 3.

Bemerkung 5.8: Aus der Schulzeit mag man gewöhnt sein, statt mit dem natürlichen Logarithmus mit dem Zehner-Logarithmus log_{10} umzugehen. Bei Informatikern ist (aus naheliegenden Gründen) der Logarithmus log_{2} zur Basis 2 populär. Hier ist der Zusammenhang zwischen dem natürlichen Logarithmus und dem Logarithmus zu einer beliebigen (positiven) Basis b ≠ 1:

x = log_{b}(y) ⇔ y = b^{x} ⇔ ln(y) = ln(b^{x}) = x · ln(b) ⇔ x = \frac{ln(y)}{ln(b)},

also

log_{b}(y) = \frac{ln(y)}{ln(b)} für alle y > 0, b > 0, b ≠ 1.

Beispiel 5.9: Neben dem natürlichen Logarithmus ln hat MuPAD Logarithmen log(b, y) zu beliebigen positiven Basen b ≠ 1:

>> log(10, 25.0) = ln(25.0)/ln(10.0)
                   1.397940009 = 1.397940009
>> log(2, 25.0) = ln(25.0)/ln(2.0)
                    4.64385619 = 4.64385619

5.2 Die trigonometrische Funktionen

In der Schule waren im Kontext ”Geometrie“ die Winkelfunktionen sin und cos eingeführt worden. Hier unsere Versionen:

Satz und Definition 5.10:

Die folgenden Reihen konvergieren für jeden Wert z ∈ ℂ. Die Reihenwerte heißen sin(z) bzw. cos(z) (die ”trigonometrischen Funktionen“ Sinus und Cosinus):

\begin{aligned}sin(z) & = & ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} · z^{2·k+1}}{(2 · k + 1)!} & = & z − \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} − \frac{z^{7}}{7!} ± ⋯, \\ cos(z) & = & ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} · z^{2·k}}{(2 · k)!} & = & 1 − \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} − \frac{z^{6}}{6!} ± · · · . \end{aligned}

Beweis: Es ist zu zeigen, dass die definierenden Reihen konvergieren. In der Tat konvergieren sie absolut, was analog zu Beispiel 3.24 aus dem Quotientenkriterium folgt. Für die sin-Reihe:

|\frac{(−1)^{k+1} · z^{2·k+3}/(2 · k + 3)!}{(−1)^{k} · z^{2·k+1}/(2 · k + 1)!}| = \frac{|z|^{2} · (2 · k + 1)!}{(2 · k + 3)!}

= \frac{|z|^{2}}{(2 · k + 2) · (2 · k + 3)} ≤ \frac{|z|^{2}}{4 · k^{2}} ≤ \frac{1}{4}

für k ≥ |z|. Die Konvergenz der cos-Reihe folgt analog.

Q.E.D.

Das folgende Zusammenhang ist eine der wichtigsten Formeln überhaupt für exp, sin und cos:

Satz 5.11: (Die Euler-Formel)

Für jedes z ∈ ℂ gilt folgende Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen:

e^{i·z} = cos(z) + i · sin(z).

Für x ∈ ℝ folgt cos(x) = ℜ(e^{i·x}), sin(x) = ℑ(e^{i·x}).

Beweis:

cos(z) + i · sin(z)

= 1  − \frac{z^{2}}{2!}  + \frac{z^{4}}{4!}  ± ⋯
+ i · z  − \frac{i · z^{3}}{3!}  + \frac{i · z^{5}}{5!}  ∓ ⋯
= 1 + i · z + \frac{(i · z)^{2}}{2!} + \frac{(i · z)^{3}}{3!} + \frac{(i · z)^{4}}{4!} + \frac{(i · z)^{5}}{5!} + · · · .

Satz 5.12:

Für jedes z ∈ ℂ gilt sin(z) = \frac{e^{i·z} − e^{−i·z}}{2 · i}, cos(z) = \frac{e^{i·z} + e^{−i·z}}{2} .

Beweis:

e^{i·z} ± e^{−i·z} = cos(z) + i · sin(z) ± cos(−z) ± i · sin(−z)

= cos(z) + i · sin(z) ± cos(z) ∓ i · sin(z) = \{ \begin{matrix}2 · cos(z) & für +, \\ 2 · i · sin(z) & für − . \end{matrix}

Q.E.D.

Satz 5.13: (Stetigkeit der trigonometrischen Funktion)

Die trigonometrischen Funktionen sin und cos sind auf ℂ stetig.

Beweis: Da die Exponentialfunktion auf ℂ stetig ist, folgt dies über die Rechenregeln 4.7 für Stetigkeit aus den Darstellungen in Satz 5.12.

Q.E.D.

Satz 5.14: (Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen) Für beliebiges z_{1}, z_{2} ∈ ℂ gilt:

sin(z_{1} + z_{2}) = sin(z_{1}) · cos(z_{2}) + cos(z_{1}) · sin(z_{2}),
cos(z_{1} + z_{2}) = cos(z_{1}) · cos(z_{2}) − sin(z_{1}) · sin(z_{2}).

Beweis: Für z_{1}, z_{2} ∈ ℝ sind wegen cos(x) = ℜ(e^{i·x}), sin(x) = ℑ(e^{i·x}) die Additionstheoreme nichts Anderes als die Funktionalgleichung für exp:

cos(z_{1} + z_{2}) = ℜ(e^{i·(z_{1}+z_{2})}) = ℜ(e^{i·z_{1}} · e^{i·z_{2}})
= ℜ((cos(z_{1}) + i · sin(z_{1})) · (cos(z_{2}) + i · sin(z_{2})))
= cos(z_{1}) · cos(z_{2}) − sin(z_{1}) · sin(z_{2}).

Das Additiontheorem für den reellen Sinus folgt analog über sin(z_{1} + z_{2}) = ℑ(e^{i·(z_{1}+z_{2})}). Für beliebiges z_{1}, z_{2} ∈ ℂ nehme man die Darstellung aus Satz 5.12, um die Additionstheoreme auf e^{i·(z_{1}+z_{2})} = e^{i·z_{1}} · e^{i·z_{2}} zurückzuführen.

Q.E.D. 13.6.02↓

Satz 5.15: (Symmetrien der trigonometrischen Funktionen)

Für beliebiges z ∈ ℂ gilt: sin(−z) = − sin(z), cos(−z) = cos(z).

Beweis: Die Sinus-Reihe enthält nur ungerade Potenzen: (−z)^{2·k+1} = −z^{2·k+1}. Die Cosinus-Reihe enthält nur gerade Potenzen: (−z)^{2·k} = z^{2·k}.

Q.E.D.

Satz 5.16: (Der Satz des Pythagoras)

Für jedes z ∈ ℂ gilt: sin^{2}(z) + cos^{2}(z) = 1 .

Beweis: Dies ist das Additionstheorem des Cosinus für z_{1} = z, z_{2} = −z zusammen mit cos(0) = 1:

1 = cos(z − z) = cos(z) · cos(−z) − sin(z) · sin(−z) = cos^{2}(z) + sin^{2}(z).

Q.E.D.

Wir brauchen die Kreiszahl π. Da wir hier keine Geometrie treiben und π über das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser einführen können, müssen wir π anders definieren:

Satz und Definition 5.17:

Auf der positiven reellen Achse besitzt der Cosinus mindestens eine Nullstelle. Sei x_{1} = inf {x ∈ ℝ; cos(x) = 0; x > 0} die kleinste positive Nullstelle des Cosinus. Definiere π = 2 · x_{1} ≈ 3.1415... .

Beweis: Die Summanden der Cosinus-Reihe cos(x) = 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} ∓ ⋯ haben wechselnde Vorzeichen. Für kleines |x| sind die Summanden monoton fallend.

Damit gilt cos(x) = 1 − \frac{x^{2}}{2} + f(x), wobei speziell für |x| ≤ 2 gilt:

0 ≤ f(x) = \frac{x^{4}}{4!} − \frac{x^{6}}{6!} ± ⋯ ≤ \frac{x^{4}}{4!} .

Es folgt

cos(1) = 1 − \frac{1}{2!} + f(1), 0 ≤ f(1) ≤ \frac{1}{24},

cos(2) = 1 − \frac{4}{2!} + f(2), 0 ≤ f(2) ≤ \frac{16}{24},

also

cos(1) ≥ 1 − \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0, cos(2) ≤ 1 − \frac{4}{2} + \frac{16}{24} = −\frac{1}{3} < 0.

Der Zwischenwertsatz 4.19 für stetige Funktionen garantiert (mindestens) eine Nullstelle im Intervall (1, 2). Damit ist die Menge {x ∈ ℝ; cos(x) = 0; x > 0} nicht leer und besitzt ein Infimum.

Q.E.D.

Über die Additionstheoreme und Pythagoras folgt nun eine Vielzahl von speziellen Resultaten, z.B.:

sin(2 · x) = 2 · sin(x) · cos(x) ⇒ sin(π) = 2 · sin (\frac{π}{2} ) · cos (\frac{π}{2} ) = 0,
cos(2 · x) = cos^{2}(x) − sin^{2}(x) = 2 · cos^{2}(x) − 1

⇒ cos(π) = 2 · cos^{2} (\frac{π}{2} ) − 1 = −1,

sin(x + π) = sin(x) · \underbrace{cos(π)}_{−1} + cos(x) · \underbrace{sin(π)}_{0} = − sin(x),

cos(x + π) = cos(x) · \overbrace{cos(π)} − sin(x) · \overbrace{sin(π)} = − cos(x)

etc. Hieraus folgt dann weiterhin die Periodizität

sin(x + 2 · π) = sin(x), cos(y + 2 · π) = cos(x).

Die Einzelergebnisse aus Satz 5.11 bis Satz 5.16 werden zusammengefaßt:

Merke 5.18:

Graphisch:

  >> plotfunc2d(cos(x), sin(x), x=0..2*PI,
                Ticks = [[0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI",
                         3*PI/2 = "3*PI/2", 2*PI = "2*PI"],
                         [-1, -1/2, 0, 1/2, 1]])

Einige spezielle Werte:

sin(0) = 0 , sin (\frac{π}{2} ) = 1, sin(π) = 0, sin (\frac{3 · π}{2} ) = −1,
cos(0) = 1, cos (\frac{π}{2} ) = 0, cos(π) = −1, cos (\frac{3 · π}{2} ) = 0 .

Periodizität (man braucht die Funktionen nur auf [0, 2 · π) zu kennen):

sin(x + 2 · π) = sin(x), cos(y + 2 · π) = cos(x).

Additionstheoreme:

sin(x + y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y),
cos(x + y) = cos(x) · cos(y) − sin(x) · sin(y).

Symmetrieeigenschaften:

sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x).

Pythagoras: sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1.

Euler-Formel: e^{i·x} = cos(x) + i · sin(x).

Bemerkung 5.19: Vielleicht ist man aus der Schule noch gewohnt, die Argumente der trigonometrischen Funktion in Winkelgraden α = 0^{0}, …, 360^{o} anzugeben. Mathematiker nehmen statt des Winkels α die zugehörige Bogenlänge x auf dem Einheitskreis (Einheit: ”Radian“), der Zusammenhang ist

x = \frac{π}{180} · α,

d.h., 90^{o} ˆ= \frac{π}{2} , 180^{o} ˆ= π, 360^{o} ˆ= 2 · π: [figure: 1; \overbrace{cos(x)}; \} sin(x); α; x]

5.3 Die komplexe Exponentialfunktion, Polardarstellungen

In der Geometrischen Interpretation 1.8 der komplexen Zahlen

[figure: ℂ; x; i · y; z = x + i · y; ℜ(z) = |z| · cos(φ); ℑ(z) = |z| · sin(φ); |z|; φ]

war die Polardarstellung

z = |z| · ( cos(φ) + i · sin(φ)), φ ∈ [0, 2 · π)

komplexer Zahlen eingeführt worden. Mit der Euler-Formel 5.11 ergibt sich die kompakte Polardarstellung:

z = |z| · e^{i·φ}, φ ∈ [0, 2 · π).

Man beachte, dass Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 · π bestimmt ist (Periodizität von Sinus und Cosinus):

e^{i·(φ+k·2·π)} = e^{i·φ} · e^{i·k·2·π} = e^{i·φ} · (\underbrace{e^{i·2·π}}_{1})^{k} = e^{i·φ} für alle k ∈ ℤ.

Wir vereinbaren, dass unsere Polarwinkel im Intervall [0, 2 · π) liegen.

Geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation 5.20: Mit z_{1} = |z_{1}| · e^{i·φ_{1}}, z_{2} = |z_{2}| · e^{i·φ_{2}}, \frac{1}{z_{2}} = \frac{1}{|z_{2}|} · e^{−i·φ_{2}} gilt

z_{1} · z_{2} = |z_{1}| · |z_{2}| · e^{i·(φ_{1}+φ_{2})}, \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} · e^{i·(φ_{1}−φ_{2})}.

Also: die Multiplikation mit einer Zahl mit dem Polarwinkel φ dreht einen komplexen Vektor um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn, die Division durch diese Zahl dreht den Vektor um den Winkel φ im Uhrzeigersinn. Multiplikation mit i bzw. Division durch i dreht speziell um 90^{o}. Das ist leicht zu merken:

Ein Mathematiker ruft an und hört: ”Die gewählte Nummer ist imaginär. Bitte drehen Sie ihren Apparat um 90^{o}!“

Bemerkung 5.21: Für Potenzen von z = |z| · e^{i·φ} folgt

z^{n} = |z|^{n} · e^{i·n·φ}.

Damit sind wir nun in der Lage, komplexe Wurzeln zu berechnen. Die Aufgabe sei: finde alle Lösungen von z^{n} = a.

Schritt 1: Stelle a in Polarkoordinaten dar: a = |a| · e^{i·α} mit α ∈ [0, 2 · π). Schritt 2: Ansatz für die Wurzeln: z = r · e^{i·φ} mit φ ∈ [0, 2 · π). Vergleiche

z^{n} = r^{n} · e^{i·n·φ} = |a| · e^{i·α}.

Vergleich der Beträge ergibt die reelle Gleichung r^{n} = |a|, d.h. r = ^{n} \sqrt{|a|}. (Dies ist eine reelle Wurzel, deren Bedeutung klar ist.) Es verbleibt, den Polarwinkel φ der komplexen Wurzeln aus der verbleibenden Gleichung

e^{i·n·φ} = e^{i·α}

zu bestimmen. Da Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 · π bestimmt sind, folgt nicht n · φ = α, sondern (mit φ_{k} statt φ):

n · φ_{k} = α + k · 2 · π, k ∈ ℤ,

also

φ_{k} = \frac{α}{n} + \frac{k}{n} · 2 · π, k ∈ ℤ.

Hierbei brauchen nur die n Werte k = 0, 1, …, n − 1 betrachtet zu werden, für die φ_{k} ∈ [0, 2 · π) gilt (sofern α ∈ [0, 2 · π) gilt). Alle anderen Winkel φ_{k} liegen außerhalb von [0, 2 · π) und stimmen bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2 · π mit einem dieser ”Basiswinkel“ φ_{0}, …, φ_{n−1} überein.

Schritt 3: Ergebnis: die n verschiedenen Lösungen von z^{n} = a = |a| · e^{i·α} sind:

z_{k} = ^{n} \sqrt{|a|} · e^{i·φ_{k}} = ^{n} \sqrt{|a|} · ( cos(φ_{k}) + i · sin(φ_{k}))

mit

φ_{k} = \frac{α + k · 2 · π}{n} , k = 0, 1, …, n − 1.

Geometrisch: die Wurzeln liegen alle gleichmäßig auf dem Kreis mit dem Radius ^{n} \sqrt{|a|} verteilt:

z_{k} = cos (\frac{k · 2 · π}{n} ) + i · sin (\frac{k · 2 · π}{n} ), k = 0, 1, …, n − 1.

Z.B. für n = 4;

z_{k} = cos (\frac{k · π}{2} ) + i · sin (\frac{k · π}{2} ) = \{ \begin{matrix}1 & für k = 0, \\ i & für k = 1, \\ −1 & für k = 2, \\ −i & für k = 3. \end{matrix}

[figure: ℂ; x; i · y; a = |a| · e^{i·α}; α/n; z_{0} = ^{n} \sqrt{|a|} · e^{i· \frac{α}{n}}; z_{1}; z_{2}; z_{3}; z_{n−2}; z_{n−1}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}] Beispiel 5.22: Die n-ten ”Einheitswurzeln“ der Gleichung z^{n} = 1 = 1 · e^{i·0} sind

88 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

Für n = 6:

z_{k} = cos (\frac{k · π}{3} ) + i · sin (\frac{k · π}{3} ) = \{ \begin{matrix}1 & für k = 0, \\ \frac{1+i·\sqrt{3}}{2} & für k = 1, \\ \frac{−1+i·\sqrt{3}}{2} & für k = 2, \\ −1 & für k = 3, \\ \frac{−1−i·\sqrt{3}}{2} & für k = 4, \\ \frac{1−i·\sqrt{3}}{2} & für k = 5. \end{matrix}

Beispiel 5.23: In Beispiel 1.24 hatten wir für Potenzen von

A = ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{matrix} )

gefunden:

A^{n} = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} & \frac{i}{4} · (1 + i)^{n} − \frac{i}{4} · (1 − i)^{n} \\ −i · (1 + i)^{n} + i · (1 − i)^{n} & \frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} \end{matrix} ) .

Es fehlt noch eine einfache Darstellung von (1 ± i)^{n}, mit der (hoffentlich) ersichtlich wird, dass A^{n} eine reelle Matrix ist. Über die Polardarstellungen

1 ± i = \sqrt{2} · e^{±i· \frac{π}{4}}

ergibt sich mit |1 ± i| = \sqrt{2} und den Polarwinkeln ±\frac{π}{4} :

(1 ± i)^{n} = 2^{n/2} · e^{±n·i· \frac{π}{4}} = 2^{n/2} · ( cos (n · \frac{π}{4} ) ± i · sin (n · \frac{π}{4} )).

Damit folgt

(A^{n})_{11} = \frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} = 2^{n/2} · cos(n · \frac{π}{4} ),
(A^{n})_{12} = \frac{i}{4} · (1 + i)^{n} − \frac{i}{4} · (1 − i)^{n} = −2^{n/2−1} · sin(n · \frac{π}{4} ),
(A^{n})_{21} = −i · (1 + i)^{n} + i · (1 − i)^{n} = 2^{n/2+1} · sin(n · \frac{π}{4} ),
(A^{n})_{22} = \frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} = 2^{n/2} · cos(n · \frac{π}{4} ).

Insgesamt erhalten wir also in der Tat die in Beispiel 1.24 gefragte explizite (und nun recht einfache) reelle Darstellung beliebiger Potenzen von A:

( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{matrix} )^{n} = ( \begin{matrix}2^{\frac{n}{2}} · cos(n · \frac{π}{4} ) & −2^{\frac{n}{2} −1} · sin(n · \frac{π}{4} ) \\ 2^{\frac{n}{2} +1} · sin(n · \frac{π}{4} ) & 2^{\frac{n}{2}} · cos(n · \frac{π}{4} ) \end{matrix} ) .

Differentialrechnung

6.1 Definitionen und Sätze

↓20.6.02

Im Prinzip könnten die meisten der folgenden Überlegungen und Definitionen ohne große Änderungen für komplexe Funktionen f : ℂ → ℂ durchgeführt werden. Wir beschränken uns hier jedoch auf reelle Funktionen f : ℝ → ℝ. Zunächst die Definition einer Ableitung als Grenzwert von ”Sekantensteigungen“:

Definition 6.1: (Die Ableitung einer Funktion)

Eine Funktion f : D ↦ ℝ heißt ”differenzierbar am Punkt x“, wenn der Grenzwert

f′(x) := lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}

existiert. Der Grenzwert f′(x) heißt ”Ableitung von f am Punkt x“. Alternative Schreibweisen (mit y = f(x)):

\frac{dy}{dx} = y′(x) = \frac{d}{dx}f(x) = f′(x).

Ist f an jedem Punkt x des Definitionsbereichs D differenzierbar, so heißt die Abbildung f′ : x ↦ f′(x) ”Ableitungsfunktion“ (kurz: ”Ableitung von f“).

Bemerkung 6.2: Ist eine Funktion an einem Punkt differenzierbar, so ist sie dort auch stetig:

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} existiert ⇒ f(x + h) − f(x) = O(h)

⇒ f(x + h) = f(x) + O(h) ⇒ lim_{h→0} f(x + h) = f(x).

Damit kann eine Funktion nur an Stetigkeitspunkten differenzierbar sein.

Geometrische Interpretation der Ableitung 6.3:

Für kleines Δx = h ≠ 0 ist der ”Differenzenquotient“

\frac{Δf}{Δx} = \frac{f(x + Δx) − f(x)}{(x + h) − x} = \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≈ f′(x)

die Sekantensteigung vom Punkt (x, f(x)) zum Punkt (x + h, f(x + h)) auf dem Graphen von x:

Die Ableitung f′(x) selbst, d.h., der Grenzwert der Sekantensteigung für Δx = h → 0, ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f am Punkt x.

Zur Erinnerung an die Schule: die Tangente T durch den Punkt (x_{0}, f(x_{0})) mit der Steigung f′(x_{0}) ist der Graph der linearen Funktion

T (x) = f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}).

Interpretation der Ableitung 6.4:

Die Ableitung gibt an, wie stark sich f(x) ändert, wenn sich x um einen kleinen Wert Δx ändert:

\frac{f(x + Δx) − f(x)}{Δx} ≈ f′(x),

d.h.

f(x + Δx) ≈ f(x) + f′(x) · Δx .

Die Definition der Ableitung über den Grenzwert von Sekantensteigungen ist praktisch unnütz, da nur in den allereinfachsten Fällen handhabbar, z.B., bei:

Beispiel 6.5: Betrachte f(x) = x^{2}:

f′(x) = lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} = lim_{h→0} \frac{(x + h)^{2} − x^{2}}{h}

= lim_{h→0} \frac{x^{2} + 2 · x · h + h^{2} − x^{2}}{h} = lim_{h→0} \frac{2 · x · h + h^{2}}{h} = lim_{h→0}(2 · x + h) = 2 · x.

Für das praktische Rechnen verläßt man sich wiederum auf Rechenregeln:

Satz 6.6: (Rechenregeln für’s Ableiten)

Ableitungen einiger spezieller Funktionen (sei hierbei c eine konstante Zahl):

\frac{d}{dx} c = 0, \frac{d}{dx} x^{n} = n · x^{n−1}, \frac{d}{dx} e^{x} = e^{x}, \frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{x},

\frac{d}{dx} sin(x) = cos(x), \frac{d}{dx} cos(x) = − sin(x).

Die Ableitung einer aus einfachen Funktionen zusammengesetzten Funktion ist über folgende Regeln zu berechnen. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion (f + g, f · g etc.) existiert jeweils, wenn f und g ableitbar sind:

• \frac{d}{dx} c · f(x) = c · f′(x),

• \frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = f′(x) + g′(x) (”Summenregel“),

• \frac{d}{dx} f(x) · g(x) = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) (”Produktregel“)

• \frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)}{g(x)^{2}} (”Quotientenregel“).

Bei der Quotientenregel wird g(x) ≠ 0 vorausgesetzt (sonst teilt man durch 0).

Beweis: Die Ableitung von x^{n}, e^{x}, sin(x), cos(x) wird in Übungsaufgaben behandelt. Die Ableitung von ln(x) wird später in Beispiel 6.18 hergeleitet. Die Linearität (c · f)′ = c · f′ und (f + g)′ = f′ + g′ folgt unmittelbar aus den Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen. Die Produktregel ergibt sich durch den Grenzwert von

\frac{f(x + h) · g(x + h) − f(x) · g(x)}{h}

92 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG

= \frac{f(x + h) − f(x)}{h} · g(x + h) + f(x) · \frac{g(x + h) − g(x)}{h}

für h → 0. Die Ableitung von 1/g(x) ergibt sich aus

\frac{\frac{1}{g(x+h)} − \frac{1}{g(x)}}{h} = −\frac{g(x + h) − g(x)}{h} · \frac{1}{g(x + h) · g(x)}

zu

(\frac{1}{g(x)})′ = −\frac{g′(x)}{g(x)^{2}} .

Zusammen mit der Produktregel liefert dies die Quotientenregel

(\frac{f(x)}{g(x)})′ = (f(x) · \frac{1}{g(x)})′ = \frac{f′(x)}{g(x)} − f(x) · \frac{g′(x)}{g(x)^{2}} .

Q.E.D.

Beispiel 6.7:

\frac{d}{dx} ^{3} \sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{1}{3} · x^{− \frac{2}{3}} = \frac{1}{3} · \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3} · \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} .

Beispiel 6.8: Summen- und Produktregel:

\frac{d}{dx} (x + x^{2} · e^{x}) = (\frac{d}{dx} x) + \frac{d}{dx}(x^{2} · e^{x})

= (\frac{d}{dx} x) + (\frac{d}{dx} x^{2}) · e^{x} + x^{2} · (\frac{d}{dx} e^{x}) = 1 + 2 · x · e^{x} + x^{2} · e^{x}.

Beispiel 6.9: Quotientenregel:

\frac{d}{dx} \frac{e^{x}}{x} = \frac{(\frac{d}{dx} e^{x}) · x − e^{x} · (\frac{d}{dx} x)}{x^{2}} = \frac{e^{x} · x − e^{x} · 1}{x^{2}} = \frac{e^{x}}{x} − \frac{e^{x}}{x^{2}} .

6.1. DEFINITIONEN UND SÄTZE 93

Beispiel 6.10:

\frac{d}{dx} \frac{cos(x) · e^{x}}{x} = \frac{(\frac{d}{dx} (cos(x) · e^{x})) · x − cos(x) · e^{x} · (\frac{d}{dx} x)}{x^{2}}

= \frac{((\frac{d}{dx} cos(x)) · e^{x} + cos(x) · (\frac{d}{dx} e^{x})) · x − cos(x) · e^{x} · (\frac{d}{dx} x)}{x^{2}}

= \frac{( − sin(x) · e^{x} + cos(x) · e^{x}) · x − cos(x) · e^{x} · 1}{x^{2}}

= \frac{− sin(x) · e^{x} · x + cos(x) · e^{x} · x − cos(x) · e^{x}}{x^{2}}

= −\frac{sin(x) · e^{x}}{x} + \frac{cos(x) · e^{x}}{x} − \frac{cos(x) · e^{x}}{x^{2}} .

Beispiel 6.11: Bequemer geht’s mit MuPAD. Die Funktion diff ist für’s Differenzieren von Ausdrücken zuständig:

>> diff(cos(x)*exp(x)/x, x)
         cos(x) exp(x)   cos(x) exp(x)   sin(x) exp(x)
         ------------- - ------------- - -------------
               x               2               x
                              x

(Vergleiche mit Beispiel 6.10.) Alternativ können Funktionen (aber keine Ausdrücke) mittels ′ differenziert werden:

>> f:= x -> cos(x)*exp(x)/x:
>> f'(x)
         cos(x) exp(x)   cos(x) exp(x)   sin(x) exp(x)
         ------------- - ------------- - -------------
               x               2               x
                              x

So setzt man konkrete Werte in die Ableitung ein:

>> f'(1), f'(2)
                      cos(2) exp(2)   sin(2) exp(2)
      -sin(1) exp(1), ------------- - -------------
                            4               2

>> f'(PI) = float(f'(PI))
         exp(PI)   exp(PI)
         ------- - ------- = -5.02126887
             2       PI
           PI

21.6.02↓ Wie steht’s mit der Ableitung von ”Hintereinanderschaltungen“ (”Komposition“) von Funktionen wie z.B. sin(\sqrt{x})?

Satz 6.12: (Die Kettenregel)

Sei g : D_{g} ↦ D_{f} ⊂ ℝ differenzierbar am Punkt x ∈ D_{g}. Sei f : D_{f} ↦ ℝ differenzierbar am Punkt g(x) ∈ D_{f}. Dann ist die Funktion h(x) = f(g(x)) differenzierbar am Punkt x, und es gilt:

\frac{d}{dx} h(x) = \frac{d}{dx} f(g(x)) = \underbrace{f′(g(x))}_{”äußere Ableitung“} · \underbrace{g′(x)}_{”innere Ableitung“} .

Als Merkregel für y = g(x), z = f(y) = f(g(x)):

\frac{d}{dx} f(g(x)) = \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} · \frac{dy}{dx} = f′(y) · g′(x).

Beweis: Es gilt

\frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{h}

= \frac{f(g(x) + h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}) − f(g(x))}{h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}} · \frac{g(x + h) − g(x)}{h}.

Für h → 0 konvergiert \frac{g(x+h)−g(x)}{h} gegen g′(x) und k := h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h} gegen 0:

lim_{h→0} \frac{f(g(x) + h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}) − f(g(x))}{h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}}

= lim_{k→0} \frac{f(g(x) + k) − f(g(x))}{k} = f′(g(x)).

Beispiel 6.13: Für g(x) = \sqrt{x} gilt

g′(x) = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} · x^{\frac{1}{2} −1} = \frac{1}{2} · \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} · \frac{1}{\sqrt{x}}.

Zusammen mit f(y) = sin(y), f′(y) = cos(y) folgt:

\frac{d}{dx} sin(\underbrace{\sqrt{x}}_{y}) = (\frac{d}{dy} sin(y)) · (\frac{d}{dx} \sqrt{x} ) = cos(y) · \frac{1}{2} · \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{cos(\sqrt{x})}{2 · \sqrt{x}}.

Definition 6.14: (Höhere Ableitungun)

Die Funktion f sei differenzierbar, sei f′ die Ableitungsfunktion. Ist diese wiederum differenzierbar, so heißt f′′ = (f′)′ die ”zweite Ableitung von f“. Ist diese wiederum differenzierbar, so heißt f′′′ = (f′′)′ die ”dritte Ableitung von f“. Usw. Schreibweisen für die n-te Ableitung einer Funktion f:

\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x) = f^{(n)}(x) = f \overbrace{^{′′··· ′′}}^{n}(x).

Die ”nullte“ Ableitung f^{(0)} ist die Funktion f selbst. Ist die n-te Ableitung f^{(n)} eine stetige Funktion in x, so heißt f ”n-fach stetig differenzierbar“.

Beispiel 6.15: Offensichtlich gilt exp = exp′ = exp′′ = exp′′′ etc. Die 4-te Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist jeweils wieder die Ausgangsfunktion:

\frac{d}{dx} sin(x) = cos(x), \frac{d^{2}}{dx^{2}} sin(x) = − sin(x),
\frac{d^{3}}{dx^{3}} sin(x) = − cos(x), \frac{d^{4}}{dx^{4}} sin(x) = sin(x),
\frac{d}{dx} cos(x) = − sin(x) , \frac{d^{2}}{dx^{2}} cos(x) = − cos(x),
\frac{d^{3}}{dx^{3}} cos(x) = sin(x), \frac{d^{4}}{dx^{4}} cos(x) = cos(x).

96 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG

Beispiel 6.16: Höhere Ableitungen in MuPAD:

>> diff(exp(x^2), x, x) // zweite Ableitung
                          2       2      2
                   2 exp(x ) + 4 x  exp(x )
>> n := 6:
>> diff(exp(x^2), x $ n) // n-te Ableitung
          2         2      2         4      2        6      2
 120 exp(x ) + 720 x  exp(x ) + 480 x  exp(x ) + 64 x  exp(x )

Mit der Funktion subs (engl.: substitute = ersetze; gemeint ist: ersetze x durch einen Wert) kann man konkrete Werte in Ausdrücke einsetzen. Berechne den Wert der 50-ten Ableitung von sin(x^{2}) e^{x} an der Stelle x = 0:

>> diff(sin(x^2)*exp(x), x $ 50):
>> subs(%, x = 0)
- 32812427642492524028780884258717885804750 cos(0) exp(0) -
   9681156701774438433479738001098392167599 sin(0) exp(0)

Hier kommt eine Besonderheit von subs zutage: der ersetzte Ausdruck wird nicht sofort ”ausgewertet“. D.h. in diesem Fall, dass die Vereinfachungen cos(0) = 1, exp(0) = 1, sin(0) = 0 nicht automatisch geschehen. Die Funktion eval (engl.: evaluate = werte aus) erzwingt die Evaluation:

>> eval(%)
          -32812427642492524028780884258717885804750

Kennt man die Ableitung einer invertierbaren Funktion f, so kennt man auch die Ableitung der Umkehrabbildung f^{−1}. Es gilt

f^{−1}(f(y)) = y.

Leitet man beide Seiten der Gleichung nach y ab, so liefert die Kettenregel

f^{−1}′(f(y)) · f′(y) = \frac{d}{dy} y = 1 ⟹ f^{−1}′(f(y)) = \frac{1}{f′(y)}.

Satz 6.17: (Ableitung der Inversen)

Sei f differenzierbar und invertierbar, sei f^{−1} die Umkehrfunktion. Ist f′(y) ≠ 0, so ist f^{−1} an der Stelle x = f(y) differenzierbar, und es gilt

(f^{−1})′(x) = \frac{1}{f′(y)} = \frac{1}{f′(f^{−1}(x))}.

Merkregel: mit y = f^{−1}(x), x = f(y): (f^{−1})′(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{f′(y)}.

Beispiel 6.18: Für f^{−1} = ln als Umkehrfunktion der Funktion f = exp mit f′ = exp folgt mit x = exp(y), y = ln(x):

\frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{f′(y)} = \frac{1}{exp(y)} = \frac{1}{exp(ln(x)} = \frac{1}{x}.

Hierbei ist x > 0 vorausgesetzt (damit ln(x) definiert ist). Für x < 0 gilt

\frac{d}{dx} ln(−x) = ln′(−x) · \frac{d}{dx} (−x) = \frac{1}{−x} · (−1) = \frac{1}{x}.

Für x > 0 ist |x| = x, für x < 0 ist |x| = −x. Zusammengefaßt gilt damit:

\frac{d}{dx} ln(|x|) = \frac{1}{x} für alle x ≠ 0.

An der Stelle x = 0 ist ln(|x|) unstetig und damit erst recht nicht differenzierbar.

6.2 Der Mittelwertsatz

Satz 6.19: (Der Satz von Rolle)

Sei f : [a, b] ↦ ℝ differenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Es gelte f(a) = f(b). Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit f′(ξ) = 0.

Beweis: O.b.d.A. sei f nicht konstant (sonst ist die Behauptung sicherlich richtig). Da f differenzierbar ist, ist f auch stetig. Nach Satz 4.22 gibt es ein Minimum oder ein Maximum ξ von f im Inneren des Intervalls (liegen sowohl das Minimum als auch das Maximum am Rand, müßte die Funktion konstant sein). Sei o.B.d.A. ξ ein Maximum (sonst betrachte −f). Mit f(ξ +h) ≤ f(ξ) für jedes h folgt für die einseitigen Grenzwerte

lim_{h→0+0} \frac{f(ξ + h) − f(ξ)}{h} ≤ 0, lim_{h→0−0} \frac{f(ξ + h) − f(ξ)}{h} ≥ 0.

Es folgt f′(ξ) = lim_{h→0} \frac{f(ξ + h) − f(ξ)}{h} = 0.

Q.E.D.

Satz 6.20: (Der Mittelwertsatz)

Sei f : [a, b] ↦ ℝ differenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit

\frac{f(a) − f(b)}{a − b} = f′(ξ).

Beweis: Betrachte g(x) = f(x) − (f(a) − f(b)) · \frac{x−b}{a−b}. Dies Funktion erfüllt g(a) = g(b) = f(b). Nach Satz 6.19 existiert ξ ∈ (a, b) mit

g′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(a) − f(b)}{a − b} = 0.

Q.E.D.

Bemerkung 6.21: Für alle x, y in einem Intervall [a, b] gilt nach dem Mittelentfällt↓

wertsatz

|f(x) − f(y)| = |f′(ξ)| · |x − y|

mit einem Punkt ξ zwischen x und y. Es folgt

|f(x) − f(y)| ≤ sup {|f′(ξ)|; ξ ∈ [a, b]} · |x − y|

Hiermit ist gezeigt, dass

k = sup {|f′(ξ)|; ξ ∈ [a, b]}

eine Kontraktionskonstante der Funktion f auf dem Intervall [a, b] ist (vergleiche Bemerkung 2.43).

6.3 Taylor–Reihen

ab hier↓

wieder↓

(behandelt↓) / (27.6.02↓)

Betrachte folgende Funktion, die nur in einer kleinen Umgebung eines Punktes x_{0} bekannt ist (genauer: es sind f(x_{0}), f′(x_{0}), f′′(x_{0}) etc. bekannt). Man interessiert sich für den Funktionswert an einem Punkt x in der Nähe von x_{0}:

In allereinfachster Näherung würde man (für x dicht bei x_{0})

f(x) ≈ f(x_{0})

setzen. Die nächstbessere Approximation besteht darin, der Tangente am Punkt x_{0} zu folgen:

f(x) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}).

Im obigen Fall ist deutlich, dass der Funktionswert oberhalb der Tangente zu suchen ist (die Funktion ist ”gebogen“: es gilt f′′(x_{0}) > 0). Es bietet sich an, einen quadratischen Term hinzuzufügen, um eine bessere Approximation zu erreichen:

f(x) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}) + c · (x − x_{0})^{2}.

Wie sollte die Konstante c gewählt werden, wie geht es weiter?

Vorüberlegung zu Taylor-Polynomen 6.22:

Zu einer mehrfach differenzierbaren Funktion f finde ein Polynom

T_{n}(x) = c_{0} + c_{1} · (x − x_{0}) + ⋯ + c_{n} · (x − x_{0})^{n},

dass sich an einem Punkt x_{0} ”möglichst eng an den Graphen von f anschmiegt“. D.h., es soll gelten:

f(x_{0}) = T_{n}(x_{0}), f′(x_{0}) = T′_{n}(x_{0}), …, f^{(n)}(x_{0}) = T_{n}^{(n)}(x_{0}).

Hierdurch ist das Polynom eindeutig bestimmt als

T_{n}(x) = f(x_{0})+f′(x_{0})·(x−x_{0})+ \frac{f′′(x_{0})}{2!} ·(x−x_{0})^{2}+⋯+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} ·(x−x_{0})^{n}.

Begründung: Die k-te Ableitung von T_{n} an der Stelle x_{0} ist

f^{(k)}(x_{0}) =^{(!)} T_{n}^{(k)}(x_{0})

= c_{k} · k! · (x − x_{0})^{0} + c_{k+1} · (k + 1) · k · . . . · 2 · (x − x_{0})^{1}|_{x=x_{0}} + ⋯ = c_{k} · k!

⇒ c_{k} = \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}.

Definition 6.23: (Taylor–Polynome und –Reihen)

Sei f mehrfach am Punkt x_{0} differenzierbar. Das Polynom

T_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}

heißt ”Taylor–Polynom“ n-ten Grades von f am Entwicklungspunkt x_{0}. Die unendliche Reihe

T (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}

heißt ”Taylor–Reihe“ von f am Entwicklungspunkt x_{0}.

Wozu Taylor–Polynome? Taylor–Polynome dienen dazu, komplizierte Funktionen in unmittelbarer Umgebung eines Punktes x_{0} durch einfache Funktionen, nämlich Polynome, zu approximieren. Dadurch kann man oft das Verhalten der Funktion in der Nähe spezieller Punkte einfach studieren.

Taylor–Polynome nähern die Funktion an für Werte x, die dicht beim Entwicklungspunkt x_{0} liegen: T_{n}(x) ≈ f(x). Je höher n und je kleiner der Abstand x − x_{0}, um so besser ist die Approximation.

Hier eine Graphik einiger Taylor–Polynome der Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x_{0} = 0:

Eine erste Taylor–Reihenberechnung:

6.3. TAYLOR–REIHEN 101

Beispiel 6.24: Wir berechnen die Taylor–Reihe von f(x) = e^{x} um x_{0} = 0. Wegen f(x_{0}) = f′(x_{0}) = f′′(x_{0}) = ⋯ = e^{x_{0}} = e^{0} = 1 ist die Taylor–Reihe

e^{x} = 1 + \frac{1}{1!} · (x − 0) + \frac{1}{2!} · (x − 0)^{2} + ⋯ = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + · · · .

Die in Beispiel 3.24 vorgestellte Reihendarstellung der Exponentialfunktion ist also nichts anderes als die Taylor–Entwicklung um den Nullpunkt. Das selbe gilt für die Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen aus Definition 5.10: mit

f(x) = sin(x), f′(x) = cos(x), f′′(x) = − sin(x), f^{(3)}(x) = − cos(x), f^{(4)}(x) = sin(x)

folgt

\begin{aligned}f^{(0)}(0) & = & f^{(4)}(0) & = & f^{(8)}(0) & = & … & = & 0, \\ f^{(1)}(0) & = & f^{(5)}(0) & = & f^{(9)}(0) & = & … & = & 1, \\ f^{(2)}(0) & = & f^{(6)}(0) & = & f^{(10)}(0) & = & … & = & 0, \\ f^{(3)}(0) & = & f^{(7)}(0) & = & f^{(11)}(0) & = & … & = & −1 \end{aligned}

⇒ sin(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} · x^{k} = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} ∓ · · · .

Analog für f(x) = cos(x):

cos(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} · x^{k} = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} ∓ · · · .

Nun eine Anwendung der Taylor–Entwicklung:

Beispiel 6.25: (Vergleiche auch mit Beispiel 4.12) Betrachte die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1 − cos(x)}{x^{2}} & für x ≠ 0, \\ \frac{1}{2} & für x = 0. \end{matrix}

Wir behaupten, dass f auch an der Stelle x = 0 stetig ist. Wir approximieren cos(x) durch die Taylor–Entwicklung um den Punkt x_{0} = 0. Für x ≠ 0 gilt

f(x) = \frac{1 − cos(x)}{x^{2}} = \frac{1 − (1 − \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}))}{x^{2}} = \frac{\frac{x^{2}}{2} + O(x^{4})}{x^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{O(x^{4})}{x^{2}} = \frac{1}{2} + O(x^{2}).

Hiermit ist nun klar: lim_{x→0} f(x) = lim_{x→0} (\frac{1}{2} + O(x^{2})) = \frac{1}{2}.

Beispiel 6.26: In MuPAD ist die Funktion taylor dafür zuständig, den Beginn einer Taylor–Entwicklung zu berechnen:

>> taylor(exp(x), x = 0)
                       2    3    4    5
                      x    x    x    x        6
              1 + x + -- + -- + -- + --- + O(x )
                      2    6    24   120

Die Taylor–Entwicklung von f(x) = \frac{1}{1−x} um x_{0} = 0 ist die geometrische Reihe aus Beispiel 3.3. Es werden 10 Terme berechnet:

>> taylor(1/(1 - x), x = 0, 10)
             2    3    4    5    6    7    8    9      10
    1 + x + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + O(x  )

Der folgende Befehl berechnet eine Taylor–Entwicklung um x_{0} = π:

>> taylor(2 + sin(x)*cos(x), x = PI)
                             3             5
                   2 (x - PI)    2 (x - PI)              6
    2 + (x - PI) - ----------- + ----------- + O((x - PI) )
                        3            15

Beispiel 6.27: Betrachte f(x) = 1 − \sqrt{1 − x} = 1 − (1 − x)^{\frac{1}{2}} . Wie kann man Werte f(x) für kleines x ohne technische Hilfsmittel ausrechnen? Zunächst die Berechnung der ersten Taylor–Polynome. Als Entwicklungspunkt wählen wir x_{0} = 0, da wir uns für kleine Werte von x interessieren. Man braucht Ableitungen von f(x) am Entwicklungspunkt x_{0} = 0:

f(x) = 1 − (1 − x)^{\frac{1}{2}} , f(0) = 0,
f′(x) = \frac{1}{2} · (1 − x)^{− \frac{1}{2}} , f′(0) = \frac{1}{2},
f′′(x) = \frac{1}{4} · (1 − x)^{− \frac{3}{2}} , f′′(0) = \frac{1}{4},
...

Hiermit folgt die Entwicklung

f(x) = 1 − \sqrt{1 − x} ≈ f(0) + f′(0) · (x − x_{0}) + \frac{f′′(0)}{2!} · (x − x_{0})^{2} + ⋯

= 0 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{8} + · · · .

Nun ja, die Terme der Entwicklung sind in der Tat so alle berechenbar, aber das ist ziemlich mühselig. Bequemer mit MuPAD:

>> taylor(1 - sqrt(1 - x), x)
                    2    3      4      5
               x   x    x    5 x    7 x       6
               - + -- + -- + ---- + ---- + O(x )
               2   8    16   128    256

Aus diesen Taylor–Approximationen bekommt man z.B. für x = 0.1:

f(0.1) =  \frac{0.1}{2} + \frac{0.1^{2}}{8} + \frac{0.1^{3}}{16} + ⋯
=  0.05
+ 0.00125
+ 0.0000625
+ ⋯
=  0.05131...

Man sieht der Entwicklung geradezu an, dass die noch nicht berücksichtigten Terme der Entwicklung die angegebenen Dezimalstellen nicht mehr beeinflussen, d.h., die ersten 3 bis 4 Ziffern sind korrekt. Probe mit MuPAD:

>> 1 - sqrt(0.9)
                         0.05131670195

Für Taylor–Polynome endlichen Grades ist es zumindestens intuitiv klar, dass sie eine Approximation der Funktion liefern, wenn nur x dicht genug beim Entwicklungspunkt x_{0} liegt. Es verbleibt jedoch zu klären, ob die unendliche Reihe gegen f(x) konvergiert (bzw., wie weit entfernt x von x_{0} liegen darf, damit f(x) durch die Taylor–Reihe dargestellt wird).

Satz 6.28: (Restgliedformel der Taylor–Approximation)

Sei f(x) in einer Umgebung des Punktes x_{0} (n + 1)-fach stetig differenzierbar. Sei x aus dieser Umgebung. Dann existiert ein Punkt ξ im offenen Intervall zwischen x und x_{0}, so dass gilt:

f(x) = \underbrace{∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}}_{Taylor–Polynom vom Grad n} + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · (x − x_{0})^{n+1}}_{”Restglied“} .

Beweis: (für technisch Interessierte) Wir halten x fest und fassen das Taylor– Polynom als Funktion des Entwicklungspunkts x_{0} auf:

T_{n}(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} · (x − t)^{k}.

104 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Die Ableitung dieser Funktion ist eine Teleskopsumme:

\frac{d}{dt} T_{n}(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k} − ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} · k · (x − t)^{k−1}

= ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k} − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{(k − 1)!} · (x − t)^{k−1}

= ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k} − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k}

= \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} · (x − t)^{n}.

Betrachte die Hilfsfunktion

g(t) = (x − x_{0})^{n+1} · T_{n}(t) + (x − t)^{n+1} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))

mit festem x und x_{0}, für die

g(x_{0}) = (x − x_{0})^{n+1} · T_{n}(x_{0}) + (x − x_{0})^{n+1} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))
= (x − x_{0})^{n+1} · f(x),
g(x) = (x − x_{0})^{n+1} · T_{n}(x) = (x − x_{0})^{n+1} · f(x)

gilt, also g(x) = g(x_{0}). Nach dem Satz von Rolle 6.19 gibt es ein ξ im offenen Intervall zwischen x und x_{0}, wo die Ableitung

\frac{d}{dt} g(t) = (x − x_{0})^{n+1} · \frac{d}{dt} T_{n}(t) − (n + 1) · (x − t)^{n} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))

= (x − x_{0})^{n+1} · \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} · (x − t)^{n} − (n + 1) · (x − t)^{n} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))

= (x − t)^{n} · ((x − x_{0})^{n+1} · \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} − (n + 1) · (f(x) − T_{n}(x_{0})))

verschwindet:

0 = (x − ξ)^{n} · ((x − x_{0})^{n+1} · \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{n!} − (n + 1) · (f(x) − T_{n}(x_{0})))

⇒ f(x) − T_{n}(x_{0}) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · (x − x_{0})^{n+1}.

Q.E.D.

6.3. TAYLOR–REIHEN 105

Interpretation 6.29:

28.6.02↓ Das Restglied

\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · (x − x_{0})^{n+1} = f(x) − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}

ist die Differenz zwischen der Funktion f(x) und dem n-ten Taylor– Polynom um x_{0}. Die Funktion wird genau dann durch die unendliche Taylor–Reihe dargestellt, wenn das Restglied bei festem x, x_{0} für n → ∞ gegen 0 konvergiert. Sind z.B. alle Ableitungen von f beschränkt, so ist dies für beliebiges x und x_{0} der Fall, denn n! wächst schneller gegeben ∞ als |x − x_{0}|^{n} für jeden Wert von |x − x_{0}|. Dies erklärt z.B., dass die trigonometrischen Funktionen sin und cos, deren Ableitungen nur Werte in [−1, 1] annehmen, global durch ihre Taylor–Reihen dargestellt werden (wir haben sie in Definition 5.10 ja auch über diese Reihen eingeführt).

Beispiel 6.30: Wir betrachten die Taylor–Entwicklung von f(x) = ln(1 + x) um den Punkt x_{0} = 0:

f(x) = ln(1 + x), f′(x) = \frac{1}{1 + x}, f′′(x) = −\frac{1}{(1 + x)^{2}} , f^{(3)}(x) = \frac{2}{(1 + x)^{3}} ,

…, f^{(k)}(x) = \frac{(−1)^{k−1} · (k − 1)!}{(1 + x)^{k}}.

Mit f^{(k)}(0) = (−1)^{k−1} · (k − 1)! folgt als Taylor–Reihe

ln(1 + x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} · x^{k} = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} · \frac{x^{k}}{k} = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} ∓ ⋯,

die die Funktion darstellt, solange die Restglieder

\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · x^{n+1} = \frac{(−1)^{n} · x^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)}

gegen 0 konvergieren. Dies ist für positives x ≤ 1 mit 0 < ξ < x ≤ 1 offensichtlich der Fall:

\frac{x^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)} ≤ \frac{x^{n+1}}{n + 1} ≤ \frac{1}{n + 1} ⟶^{n→∞} 0.

Speziell für x = 1 ergibt sich der Wert der alternierenden harmonischen Reihe:

ln(2) = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} ± · · · .

Für negatives x ≥ −\frac{1}{2} gilt −\frac{1}{2} ≤ x < ξ < 0:

|\frac{x^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)}| = \frac{|x|^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)} ≤ \frac{(1/2)^{n+1}}{(1/2)^{n+1} · (n + 1)} = \frac{1}{n + 1} ⟶^{n→∞} 0,

d.h., auch hier konvergiert das Restglied gegen 0. Weiterhin konvergiert die Taylor– Reihe auch für −1 < x < −\frac{1}{2} gegen ln(1 + x), was wir aus unserer Restgliedformel allerdings nicht herausbekommen (es gibt alternative Restgliedformeln, die dieses Resultat liefern). Zusammengefaßt:

ln(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} ± ⋯ für x ∈ (−1, 1].

Für |x| > 1 sowie für x = −1 divergiert die Taylor–Reihe.

6.4 Monotonie, Extremwerte

Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentiation ist das Auffinden von Extremwerten. Dazu stellen wir zunächst fest, dass Ableitungswerte (= Tangentensteigungen) auf ansteigendes oder abfallendes Verhalten der Funktion hinweisen:

Satz 6.31: (Ableitungen weisen auf Monotonie hin)

Sei f differenzierbar, die Ableitungsfunktion f′ sei stetig. Gilt f′(x_{0}) > 0, so ist f auf einer Umgebung von x_{0} streng monoton steigend. Gilt f′(x_{0}) < 0, so ist f auf einer Umgebung von x_{0} streng monoton fallend.

Beweis: Da f′ stetig ist, gilt für f′(x_{0}) > 0, dass f′ auch noch auf einer Umgebung von x_{0} positiv ist. Für x, y aus dieser Umgebung von x_{0} mit x < y liefert der Mittelwertsatz 6.20

f(y) − f(x) = f′(ξ) · (y − x) > 0

mit einem Zwischenwert ξ zwischen x und y. Damit ist f(x) monoton steigend auf einer Umgebung des Punktes x, auf der für den Zwischenwert f′(ξ) > 0 gilt. Analog folgt, dass f(x) monoton fallend ist, wenn mit f′(x_{0}) < 0 die Ableitung auf einer Umgebung von x_{0} negative Werte annimmt.

Q.E.D.

Intuitiv: mit der Interpretation der Ableitung 6.4 ist dies unmittelbar klar. Für kleines Δx gilt:

f(x_{0} + Δx) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · Δx.

Extrema sind die Stellen, wo die Funktion ”auf der einen Seite“ steigend, ”auf der anderen Seite“ fallend ist:

Satz 6.32: (An Extremstellen verschwindet die Ableitung)

Sei f differenzierbar. Ist die Stelle x_{0} ein (lokales) Maximum oder Minimum, so gilt f′(x_{0}) = 0.

Man findet also alle Kandidaten für Extremstellen einer Funktion f, indem man die Nullstellen von f′ sucht.

Beweis: Genau wie im Beweis des Satzes von Rolle 6.19.

Q.E.D.

Beispiel 6.33: Betrachte f(x) = 2 · x − x^{2}:

\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (2 · x − x^{2}) = 2 − 2 · x =^{(!)} 0 ⟹ x = 1.

Damit ist x_{0} = 1 der einzige Punkt, an dem (möglicherweise) ein Extremum vorliegen kann.

Es gibt allerdings Stellen x_{0} mit f′(x_{0}) = 0, die keine Extremstellen (sondern sogenannte ”Sattelpunkte“) sind. Beispiel: die Funktion f(x) = x^{3} ist streng monoton steigend. Am Punkt x_{0} = 0 gilt f′(x_{0}) = 3 · x_{0}^{2} = 0, aber x_{0} ist kein Extremum.

Satz 6.34: (Hinreichende Kriterien für Extrema)

Sei f mehrfach differenzierbar. Gilt an einer Stelle x_{0}

f′(x_{0}) = 0, f′′(x_{0}) < 0,

so ist x_{0} ein lokales Maximum. Gilt

f′(x_{0}) = 0, f′′(x_{0}) > 0,

so ist x_{0} ein lokales Minimum.

”Beweis“: Approximiere f(x) in einer Umgebung von x_{0} durch das Taylor– Polynom zweiten Grades:

f(x) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}) + \frac{f′′(x_{0})}{2} · (x − x_{0})^{2}.

An einem Punkt x_{0} mit f′(x_{0}) = 0 gilt näherungsweise:

f(x) ≈ f(x_{0}) + \frac{f′′(x_{0})}{2} · (x − x_{0})^{2}.

Da (x − x_{0})^{2} > 0 für x ≠ x_{0} ist, sind die Funktionswerte in der Umgebung größer als f(x_{0}), wenn f′′(x_{0}) > 0 gilt (Minimum). Für f′′(x_{0}) < 0 sind die Funktionswerte in der Umgebung kleiner als f(x_{0}) (Maximum).

Beispiel 6.35: Betrachte f(x) = x + 4 x^{2} − x^{4} − 1:

>> f:= x -> x + 4*x^2 - x^4 - 1:
>> plotfunc2d(f(x), x = -2..2)

Um die Kandidaten für die Extrema zu finden, werden (numerische Approximationen der) Lösungen der Gleichung f′(x) = 0 berechnet. Für numerische Lösungen sind die MuPAD-Funktionen numeric::solve oder auch numeric::fsolve zuständig. Für polynomiale Gleichungen wird eine Menge aller Lösungen geliefert. Die einzelnen Lösungen lassen sich durch ”indizierten Zugriff“ Kandidaten[1] etc. auswählen:

>> Kandidaten:= numeric::solve(f'(x) = 0, x)
          {-1.346997409, -0.1260001926, 1.472997601}

Diese Werte werden in die 2-te Ableitung von f eingesetzt:

>> f''(Kandidaten[1])
                         -13.77282422
>> f''(Kandidaten[2])
                          7.809487418
>> f''(Kandidaten[3])
                          -18.0366632

Nach Satz 6.34 ist der erste Kandidat ein Maximum, der zweite Kandidat ein Minimum, der dritte Kandidat ein Maximum. Die Graphik bestätigt dies.

6.5 Die de l’Hospitalsche Regel

4.7.02↓

In \frac{0}{0}–Situationen kann man durch Ableiten auch Grenzwerte bestimmen.

6.5. DIE DE L’HOSPITALSCHE REGEL 109

Satz 6.36: (de l’Hospitalsche Regel)

Seien f und g differenzierbar, es gelte f(x_{0}) = g(x_{0}) = 0. Dann gilt

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x)}{g′(x)},

falls der rechte Grenzwert existiert.

”Beweis:“ Intuitiv: Approximiere Zähler und Nenner durch das Taylor– Polynom ersten Grades:

\frac{f(x)}{g(x)} ≈ \frac{f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0})}{g(x_{0}) + g′(x_{0}) · (x − x_{0})} = \frac{f′(x_{0}) · (x − x_{0})}{g′(x_{0}) · (x − x_{0})} = \frac{f′(x_{0})}{g′(x_{0})}.

Für eine saubere Durchführung des Beweises benutze man den Mittelwertsatz 6.20 (unter der Zusatzannahme, dass f′ und g′ stetig seien. Die Regel gilt aber auch ohne diese Stetigkeit.)

Q.E.D.

Beispiel 6.37: Betrachte erneut die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{x} − 1}{x} & für x ≠ 0, \\ 1 & für x = 0 \end{matrix}

aus Beispiel 4.12. Für den Punkt x_{0} = 0 liegt eine \frac{0}{0}–Situation vor. Mit de l’Hospital folgt

lim_{x→0} \frac{e^{x} − 1}{x} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{x} − 1)}{\frac{d}{dx} x} = lim_{x→0} \frac{e^{x}}{1} = lim_{x→0} e^{x} = e^{0} = 1,

wobei in jedem Schritt die Existenz des jeweils rechts stehenden Grenzwerts vorausgesetzt wird (was gerechtfertigt ist, sobald man ganz rechts angekommen ist).

Die de l’Hospitalsche Regel kann auch mehrfach hintereinander angewendet werden:

Beispiel 6.38: Betrachte lim_{x→0} \frac{e^{2·x} − 1 − 2 · x}{x^{2}}. Nach einer Anwendung von de l’Hospital trifft man beim Quotienten der Ableitungen wieder auf eine \frac{0}{0}–Situation und kann de l’Hospital erneut anwenden:

lim_{x→0} \frac{e^{2·x} − 1 − 2 · x}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{2·x} − 1 − 2 · x)}{\frac{d}{dx} x^{2}} = lim_{x→0} \frac{2 · e^{2·x} − 2}{2 · x}

= lim_{x→0} \frac{e^{2·x} − 1}{x} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{2·x} − 1)}{\frac{d}{dx} x} = lim_{x→0} \frac{2 · e^{2·x}}{1} = 2 · e^{2·0} = 2.

Bemerkung 6.39: Die de l’Hospitalsche Regel

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x)}{g′(x)}

gilt auch für lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} g(x) = ∞.

Beispiel 6.40: Mit f(x) = ln(x + 1), g(x) = ln(x), f′(x) = \frac{1}{x+1}, g′(x) = \frac{1}{x}:

lim_{x→∞} \frac{ln(x + 1)}{ln(x)} = lim_{x→∞} \frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}} = lim_{x→∞} \frac{x}{x + 1} =^{(∗)} lim_{x→∞} \frac{1}{1} = 1,

wobei in (∗) de l’Hospital ein zweites Mal angewendet wurde.

Beispiel 6.41: Mit kleinen Tricks bekommt man eine de l’Hospital-Technik auch sofort für Situationen wie z.B. 0 · ∞ oder auch 1^{∞}.

Für 0 · ∞ ist der Standardtrick, ∞ als 1/0 (oder manchmal 0 als 1/∞) zu schreiben. Z.B.:

lim_{x→∞} x · (e^{1/x} − 1) = lim_{x→∞} \frac{e^{1/x} − 1}{1/x} = lim_{x→∞} \frac{\frac{d}{dx} (e^{1/x} − 1)}{\frac{d}{dx} \frac{1}{x}}

= lim_{x→∞} \frac{−\frac{1}{x^{2}} · e^{1/x}}{−\frac{1}{x^{2}}} = lim_{x→∞} e^{1/x} = 1.

Hierbei wurde die ursprüngliche ∞ · 0–Situation durch das Umschreiben x = \frac{1}{1/x} in eine \frac{0}{0}–Situation verwandelt, auf die de l’Hospital anwendbar ist.

Für eine 1^{∞}–Situation ist der Standardtrick, die identische Abbildung in der Form y = exp(ln(y)) einzubringen, was die 1^{∞}–Situation in ein 0 · ∞–Problem verwandelt (welches dann wie oben zu behandeln ist). Beispiel:

lim_{x→0+0} x^{x} = lim_{x→0+0} e^{ln(x^{x})} = lim_{x→0+0} e^{x·ln(x)} = e^{lim_{x→0+0} (x · ln(x))}.

Hier ist das 0·(−∞)–Problem lim_{x→0+0} x · ln(x) entstanden, was wie oben per de l’Hospital

gelöst wird, indem es in ein \frac{∞}{∞}–Problem (genauer: in ein \frac{−∞}{∞}–Problem) umgeschrieben wird:

lim_{x→0+0} x · ln(x) = lim_{x→0+0} \frac{ln(x)}{1/x} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} ln(x)}{\frac{d}{dx} \frac{1}{x}} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{1}{x}}{−\frac{1}{x^{2}}} = lim_{x→0+0} (−x) = 0

⇒ lim_{x→0+0} x^{x} = e^{lim_{x→0+0} x · ln(x)} = e^{0} = 1.

Der Grenzwert wird durch die folgende MuPAD–Graphik bestätigt:

6.5. DIE DE L’HOSPITALSCHE REGEL 111

>> plotfunc2d(x^x, x = 0..1, ViewingBox = [0..1, 0..1])

112 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG

Integration

7.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation: zu einer gegebenen Funktion f(x) sucht man eine Funktion F (x), deren Ableitung f(x) ist.

7.1.1 Definitionen, Grundintegrale

Definition 7.1: (Stammfunktion)

F (x) heißt ”Stammfunktion“ einer (hinreichend glatten) Funktion f(x), wenn \frac{d}{dx}F (x) = f(x) gilt. Alternativ nennt man F (x) auch das ”unbestimmte Integral über f(x)“ und benutzt auch die Notation F (x) = ∫ f(x) dx. Die Funktion f(x) unter dem Integralzeichen wird als ”Integrand“ bezeichnet.

Bemerkung 7.2: Stammfunktionen sind nicht eindeutig bestimmt. Da die Ableitung einer konstanten Funktion überall 0 ist, kann man zu einer Stammfunktion eine beliebige Konstante hinzuaddieren, wobei man eine neue Stammfunktion erhält. Andererseits, hat f(x) keine Singularitäten (Polstellen etc.), so sind Stammfunktionen stetig und die Differenz zweier stetiger Stammfunktionen ist immer eine Konstante.

Beispiel 7.3: Zu f(x) = x sind F_{1}(x) = \frac{x^{2}}{2} und F_{2}(x) = \frac{x^{2}}{2} + 17 Stammfunktion. Die beliebige additive Konstante in Stammfunktionen (die ”Integrationskonstante“) wird folgendermaßen ausgedrückt:

∫ x dx = \frac{x^{2}}{2} + c.

114 KAPITEL 7. INTEGRATION

Damit ist gemeint: ∫ f(x) dx stellt die Klasse aller Stammfunktionen dar (d.h., in der Schreibweise ∫ f(x) dx steckt die additive Konstante sozusagen im ∫ -Symbol und braucht nicht explizit hingeschrieben zu werden). Sobald das Integralzeichen durch einen konkreten Repräsentanten dieser Klasse (hier \frac{x^{2}}{2} ) ersetzt wird, schreiben wir die beliebige additive Konstante explizit dazu.

Bemerkung 7.4: Mit dieser Konvention gilt trivialerweise für jede differenzierbare Funktion F (x):

∫ F′(x) dx = F (x) + c .

Grundintegrale 7.5:

Aus der in Satz 6.6 gegebenen (kleinen) Liste von Ableitungen erhält man eine (kleine) Liste von Stammfunktionen für die einfachen Grundfunktionen:

∫ x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1} + c,  (n ≠ 0)

∫ \frac{1}{x} dx = ln(|x|) + c, (Beispiel 6.18)

∫ e^{x} dx = e^{x} + c,

∫ sin(x) dx = − cos(x) + c,

∫ cos(x) dx = sin(x) + c.

Beispiel 7.6: In MuPAD ist die Funktion int (engl.: integrate) für die Integration zuständig. Für die Integrationskonstante wird dabei vom System automatisch ein ”besonders einfacher“ Wert gewählt:

>> int(cos(x), x)
                            sin(x)
>> int(x*sin(x)*exp(x), x)
       cos(x) exp(x)   x cos(x) exp(x)   x sin(x) exp(x)
       ------------- - --------------- + ---------------
             2                2                 2

Für aus den einfachen Grundfunktionen aufgebaute Funktionen würde man gern per Rechenregeln die Integration komplizierter Funktionen auf die Integration einfacher Funktionen zurückführen. Leider ist das nicht so einfach. In der Tat entspricht jeder Rechenregel der Differentiation (Satz 6.6, Satz 6.12) eine Regel für’s Integrieren. Die sich ergebenden Regeln sind aber nicht so, daß man damit automatisch alle Integrationen auf Grundintegrale zurückführen kann. Zunächst die einfachsten Regeln:

Satz 7.7: (Summenregel)

Für beliebige Konstanten a, b und Funktionen f(x), g(x) gilt

∫ (a · f(x) + b · g(x))dx = a · ∫ f(x) dx + b · ∫ g(x) dx.

Das ist durch Differenzieren beider Seiten dieser Gleichung unmittelbar klar. Merke:

Konstante Faktoren können stets aus dem Integralzeichen herausgezogen werden. Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale.

Beispiel 7.8:

∫ (2 · e^{x} + \frac{1}{\sqrt{2 x}}) dx = 2 · ∫ e^{x} dx + ∫ \frac{1}{\sqrt{2}} x^{− \frac{1}{2}} dx = 2 · e^{x} + c_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} ∫ x^{− \frac{1}{2}} dx

= 2 · e^{x} + c_{1} + \frac{1}{\sqrt{2}} · \frac{x^{− \frac{1}{2} +1}}{−\frac{1}{2} + 1} + c_{2} = 2 · e^{x} + \frac{1}{\sqrt{2}} · \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + \underbrace{c_{1} + c_{2}}_{c}

= 2 · e^{x} + \frac{2}{\sqrt{2}} · \sqrt{x} + c = 2 · e^{x} + \sqrt{2} · \sqrt{x} + c.

Hierbei wurden die einzelnen Integrationskonstanten c_{1}, c_{2} zu einer neuen beliebigen Konstanten c = c_{1} + c_{2} zusammengefaßt.

7.1.2 Partielle Integration

Aus der Produktregel

\frac{d}{dx}(f(x) · g(x)) = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

der Differentiation gewinnt man durch Integration

f(x) · g(x) + c = ∫ f′(x) · g(x) dx + ∫ f(x) · g′(x) dx.

Diese Gleichung liefert eine Integrationsregel, die man ”partielle Integration“ nennt:

Satz 7.9: (Partielle Integration)

∫ f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x) − ∫ f′(x) · g(x) dx.

Bemerkung 7.10: Diese Regel ist in folgender Situation anwendbar:

• Der Integrand muß das Produkt zweier Funktionen sein.

• Von einem Faktor (g′(x)) muß man die Stammfunktion g(x) kennen.

Ein Integral (über f(x) · g′(x)) wird in ein anderes Integral (über f′(x) · g(x)) überführt, es verbleibt also die Aufgabe, eine Stammfunktion zu finden. Allerdings ist manchmal das Produkt f′(x) · g(x) einfacher zu integrieren als das Ausgangsprodukt f(x) · g′(x):

• Sinnvoll ist partielle Integration meist, wenn die Ableitung f′(x) ”einfacher“ ist als f(x) und g(x) nicht wesentlich ”komplizierter“ als g′(x).

Beispiel 7.11: Im Integral ∫ x·ln(x) dx ist f(x) = ln(x) eine ”unangenehme“ Funktion, während f′(x) = \frac{1}{x} als rationale Funktion wesentlich angenehmer ist:

∫ \underbrace{x}_{g′(x)} · \underbrace{ln(x)}_{f(x)} dx = \underbrace{ln(x)}_{f(x)} · \underbrace{\frac{x^{2}}{2}}_{g(x)} − ∫ \underbrace{\frac{1}{x}}_{f′(x)} · \underbrace{\frac{x^{2}}{2}}_{g(x)} dx

= ln(x) · \frac{x^{2}}{2} − ∫ \frac{x}{2} dx = ln(x) · \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{2}}{4} + c .

Probe:

\frac{d}{dx}( ln(x) · \frac{x^{2}}{2} − \frac{x^{2}}{4} + c) = \frac{1}{x} · \frac{x^{2}}{2} + ln(x) · x − \frac{x}{2} = ln(x) · x.

Es gibt keine allgemeine Regel, was ”einfach“ und was ”kompliziert“ ist. Im obigen Fall war f′(x) = \frac{1}{x} einfacher als f(x) = ln(x). Im folgenden Beispiel ist f(x) = x ”kompliziert“, zumindestens ”komplizierter“ als f′(x) = 1:

Beispiel 7.12:

∫ \underbrace{x}_{f(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g′(x)} dx = \underbrace{x}_{f(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g(x)} − ∫ \underbrace{1}_{f′(x)} · \underbrace{e^{x}}_{g(x)} dx

= x · e^{x} − ∫ e^{x} dx = x · e^{x} − e^{x} + c = (x − 1) · e^{x} + c.

7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 117

Manchmal braucht man einfach Erfahrung um zu sehen, daß partielle Integration hilfreich ist:

Beispiel 7.13:

∫ sin(x)^{2} dx = ∫ \underbrace{sin(x)}_{f(x)} · \underbrace{sin(x)}_{g′(x)} dx = \underbrace{sin(x)}_{f(x)} · \underbrace{(− cos(x))}_{g(x)} − ∫ \underbrace{cos(x)}_{f′(x)} · \underbrace{(− cos(x))}_{g(x)} dx

= − sin(x) · cos(x) + ∫ cos(x)^{2} dx.

Das war bislang nicht sehr erfolgreich: ∫ sin(x)^{2} dx wurde durch ∫ cos(x)^{2} dx ausgedrückt. Allerdings gilt sin(x)^{2} + cos(x)^{2} = 1, sodaß das verbleibende Integral wiederum durch das Ausgangsintegral ausgedrückt werden kann:

∫ cos(x)^{2} dx = ∫ 1 dx − ∫ sin(x)^{2} dx = x − ∫ sin(x)^{2} dx.

Dies liefert eine Gleichung für ∫ sin(x)^{2} dx:

∫ sin(x)^{2} dx = − sin(x) · cos(x) + ∫ cos(x)^{2} dx
= − sin(x) · cos(x) + x − ∫ sin(x)^{2} dx
⇒ 2 · ∫ sin(x)^{2} dx = x − sin(x) · cos(x) + c
⇒  ∫ sin(x)^{2} dx = \frac{1}{2} · (x − sin(x) · cos(x)) + c̃

(mit einer neuen Integrationskonstante c̃ = c/2).

7.1.3 Substitution

↓5.7.02

Aus der Kettenregel der Differentiation (mit y = g(x))

\frac{d}{dx}F (g(x)) = (\frac{d}{dy} F (y)) · (\frac{d}{dx} g(x)) = F′(g(x)) · g′(x)

gewinnt man durch Integration

F (g(x)) + c = ∫ F′(g(x)) · g′(x) dx.

Diese Gleichung liefert mit f = F′ eine Integrationsregel, die man ”Integration durch Substitution“ nennt:

Satz 7.14: (Substitution)

Sie F (y) eine Stammfunktion von f(y). Mit y = g(x) gilt

∫ f(g(x)) · \underbrace{g′(x) dx}_{dy} = ∫ f(y) dy = F (y) + c = F (g(x)) + c.

Hierbei läuft die Substitution auf Folgendes hinaus. Aus y = g(x) folgt \frac{dy}{dx} = g′(x), also formal

dy = g′(x) dx.

Eine Substitution bietet sich auf jeden Fall an, wenn der Integrand einen Faktor g′(x) enthält, der die Ableitung eines Teilausdrucks g(x) im anderen Faktor ist:

Beispiel 7.15: In ∫ cos(x) · e^{sin(x)} dx bietet es sich an, y = g(x) = sin(x) zu substituieren, denn die Ableitung g′(x) = cos(x) taucht als Faktor im Integranden auf. Es ergibt sich

∫ cos(x) · e^{sin(x)} dx = ∫ e_{sin(x)}^{y=g(x)} \underbrace{cos(x) dx}_{g′(x)·dx=dy} = ∫ e^{y} dy = e^{y} + c = e^{sin(x)} + c.

Beispiel 7.16: Wir kennen ∫ \frac{1}{y} dy = ln(|y|). Wie steht es mit ∫ \frac{1}{a·x+b} dx? Dies ist ein Fall für die Substitution. Wir setzen y = g(x) = a · x + b (also dy = a dx) und erweitern mit a, sodaß dx = \frac{1}{a} · a dx = \frac{1}{a} dy auftaucht:

∫ \frac{1}{a · x + b} dx = \frac{1}{a} · ∫ \frac{1}{a · x + b} · \overbrace{\underbrace{a}_{g′(x)} dx}^{dy} = \frac{1}{a} ∫ \frac{1}{y} dy

= \frac{1}{a} · ln(|y|) + c = \frac{1}{a} · ln(|a · x + b|) + c.

Beispiel 7.17: In ∫ \frac{g′(x)}{g(x)} dx bietet sich die Substitution y = g(x) an:

∫ \frac{g′(x)}{g(x)} dx = ∫ \frac{1}{y} dy = ln(|y|) + c = ln(|g(x)|) + c.

Bemerkung 7.18: Es bietet sich allgemein an, eine Substitution y = g(x) in einem Integral ∫ h(x) dx technisch folgendermaßen durchzuführen:

• Setze y = g(x) und berechne die Ableitung \frac{dy}{dx} = g′(x). Formal gilt dy = g′(x) dx.

• Ersetze dx durch \frac{dy}{g′(x)}. Drücke im neuen Integranden h(x) dx = \frac{h(x)}{g′(x)} dy jedes x durch y aus.

• Es entsteht ein Ausdruck

∫ h(x) dx = ∫ \underbrace{h(x(y)) · \frac{1}{g′(x(y))}}_{f(y)} dy = ∫ f(y) dy.

Versuche, eine Stammfunktion F (y) = ∫ f(y) dy zu finden.

• ”Rücksubstitution“: Setze y = g(x) in F (y) ein. Die gesuchte Stammfunktion des ursprünglichen Ausdrucks ist F (g(x)).

Manchmal ist es nicht offensichtlich, was man substituieren sollte. Hier hilft nur Erfahrung oder ein guter Tip:

Beispiel 7.19: Substituiere y = \sqrt{x}, \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} · \frac{1}{\sqrt{x}} (⇒ dy = \frac{1}{2} · \frac{1}{\sqrt{x}} dx) in

∫ \sqrt{x} · e^{\sqrt{x}} dx = ∫ y · e^{y} · \underbrace{2 · \sqrt{x} dy}_{dx} = 2 · ∫ y^{2} · e^{y} dy.

Das verbleibende Integral in y kann durch zweifache partielle Integration gelöst werden:

2 · ∫ \underbrace{y^{2}}_{f(y)} · \underbrace{e^{y}}_{g′(y)} dy = 2 · \underbrace{y^{2}}_{f(y)} · \underbrace{e^{y}}_{g(y)} −2 · ∫ \underbrace{2 · y}_{f′(y)} · \underbrace{e^{y}}_{g(y)} dy

= 2 · y^{2} · e^{y} − 4 · ∫ \underbrace{y}_{F (y)} · \underbrace{e^{y}}_{G′(y)} dy = 2 · y^{2} · e^{y} − 4 · \underbrace{y}_{F (y)} · \underbrace{e^{y}}_{G(y)} +4 · ∫ \underbrace{1}_{F′(y)} · \underbrace{e^{y}}_{G(y)} dy

= 2 · y^{2} · e^{y} − 4 · y · e^{y} + 4 · e^{y} + c.

Rücksubstitution y = \sqrt{x} liefert letztlich:

∫ \sqrt{x} · e^{\sqrt{x}} dx = 2 · x · e^{\sqrt{x}} − 4 · \sqrt{x} · e^{\sqrt{x}} + 4 · e^{\sqrt{x}} + c.

7.1.4 Rationale Integranden: Partialbruchzerlegung

↓11.7.02

Rationale Integranden lassen sich über die Technik der ”Partialbruchzerlegung“ immer so umformulieren, daß man eine Stammfunktion bestimmen kann. Hier der Spezialfall, wenn das Nennerpolynom nur einfache Nullstellen hat:

Satz 7.20: (Partialbruchzerlegung)

Betrachte f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} mit Polynomen p(x) und q(x), wobei grad(p(x)) < grad(q(x)) gelte. Hat das Nennerpolynom q(x) nur einfache Nullstellen x_{1}, …, x_{n}, so gibt es Konstanten c_{1}, …, c_{n}, sodaß

\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{c_{1}}{x − x_{1}} + ⋯ + \frac{c_{n}}{x − x_{n}} .

Damit folgt dann

∫ \frac{p(x)}{q(x)} dx = c_{1} · ln(|x − x_{1}|) + ⋯ + c_{n} · ln(|x − x_{n}|) + c.

Beispiel 7.21: Die technische Durchführung geschieht folgendermaßen:

1) Ansatz:

\frac{3 · x + 4}{(x − 1) · (x + 2)} = \frac{c_{1}}{x − 1} + \frac{c_{2}}{x + 2}.

2) Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner:

\frac{c_{1}}{x − 1} + \frac{c_{2}}{x + 2} = \frac{c_{1} · (x + 2) + c_{2} · (x − 1)}{(x − 1) · (x + 2)}

3) Ordne den Zähler nach Potenzen von x:

\frac{c_{1} · (x + 2) + c_{2} · (x − 1)}{(x − 1) · (x + 2)} = \frac{(c_{1} + c_{2}) · x + (2 · c_{1} − c_{2})}{(x − 1) · (x + 2)}.

4) Der Ansatz lautet nun:

\frac{3 · x + 4}{(x − 1) · (x + 2)} = \frac{(c_{1} + c_{2}) · x + (2 · c_{1} − c_{2})}{(x − 1) · (x + 2)}.

Die Nenner stimmen nach Konstruktion überein. Es verbleibt, die Konstanten c_{1}, c_{2} so zu bestimmen, daß auch die Zähler \underline{für alle x} übereinstimmen. Vergleiche dazu im Zähler die Koeffizienten vor jeder x-Potenz:

3 = c_{1} + c_{2}, 4 = 2 · c_{1} − c_{2}.

4) Löse das entstandene lineare Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten:

c_{1} = \frac{7}{3} , c_{2} = \frac{2}{3}.

Ergebnis:

∫ \frac{3 · x + 4}{(x − 1) · (x + 2)} dx = ∫ (\frac{\frac{7}{3}}{x − 1} + \frac{\frac{2}{3}}{x + 2}) dx = \frac{7}{3} ln(|x − 1|) + \frac{2}{3} ln(|x + 2|) + c.

Beispiel 7.22: In MuPAD ist die Funktion partfrac (engl.: partial fraction) für die Partialbruchzerlegung zuständig:

>> partfrac((3*x + 4) / ((x - 1)*(x + 2)), x)
                         7           2
                     --------- + ---------
                     3 (x - 1)   3 (x + 2)

Bemerkung 7.23: Die Partialbruchzerlegung haben wir schon früher beim Summieren rationaler Ausdrücke kennengelernt: siehe Beispiel 3.31.

Bemerkung 7.24: Hat man einen rationalen Integranden \frac{p(x)}{q(x)}, bei dem der Grad des Zählerpolynoms nicht kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms (dies wird in Satz 7.20 vorausgesetzt), so ist dies auch kein Problem. Durch Polynomdivision kann man einen polynomialen Anteil abspalten, z.B.:

\frac{2 · x^{3} + x^{2} + 2}{x^{2} − 1} = 2 · x + 1 + \frac{2 · x + 3}{x^{2} − 1}.

Die Division wird dabei wie mit Zahlen durchgeführt (man zieht sukzessiv den ”führenden Term“ durch ein geeignetes Vielfaches des Nenners ab):

2 · x^{3} + x^{2} + 2  : x^{2} − 1  = 2 · x + 1
2 · x^{3} − 2 · x
x^{2} + 2 · x + 2
x^{2} − 1
2 · x + 3  (der Rest)

Der verbleibende Rest kann durch Partialbruchzerlegung additiv zerlegt werden, das Ergebnis ist:

>> partfrac((2*x^3 + x^2 + 2)/(x^2 -1), x)
                          5           1
                2 x + --------- - --------- + 1
                      2 (x - 1)   2 (x + 1)

Es folgt

∫ \frac{2 · x^{3} + x^{2} + 2}{(x^{2} − 1)} dx = ∫ (2 · x + 1 + \frac{\frac{5}{2}}{x − 1} − \frac{\frac{1}{2}}{x + 1}) dx

= x^{2} + x + \frac{5}{2} ln(|x − 1|) − \frac{1}{2} ln(|x + 1|) + c.

Probe mit MuPAD:

>> int((2*x^3 + x^2 + 2)/(x^2 -1), x)
                    2   5 ln(x - 1)   ln(x + 1)
               x + x  + ----------- - ---------
                             2            2

(MuPAD verzichtet darauf, innerhalb des ln Betragszeichen einzutragen, denn MuPAD kann mit komplexen Zahlen umgehen. Für positives x gilt ln(−x) = \sqrt{−1}·π+ln(x), d.h., ln(−x) und ln(x) stimmen bis auf eine additive (komplexe) Konstante überein. Diese kann in die Integrationskonstante absorbiert werden).

Bemerkung 7.25: Für die Partialbruchzerlegung braucht man die Faktorisierung q(x) = (x − x_{1}) · · · · · (x − x_{n}) des Nennerpolynoms, d.h., man muß die Nullstellen x_{1}, …, x_{n} von q(x) finden.

7.2 Das bestimmte Integral

Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Fläche unter einem Funktionsgraphen f(t). Man zerlege ein Interval [a, b] auf der t-Achse äquidistant in n Teilintervalle [t_{i}, t_{i+1}] mit

t_{i} = a + i · \frac{b − a}{n} , i = 0, …, n.

Dann approximiere man den Flächeninhalt durch die Flächen der durch die Punkte

(t_{i}, 0), (t_{i}, f(t_{i})), (t_{i+1}, f(t_{i})), (t_{i+1}, 0)

gegebenen Rechtecke (mit der Breite \frac{b−a}{n}):

[figure: t; f(t); a = t_{0}; t_{1}; t_{2}; …; t_{i}; t_{i+1}; _{\frac{b−a}{n}}; …; t_{n} = b]

Die Summe der n Rechteckflächen ist \frac{b − a}{n} · ∑_{k=0}^{n−1} f(t_{k}). Im Grenzwert n → ∞

liefert dies die Fläche unter dem Graphen.

Definition 7.26: (Das bestimmte Integral)

Zu einer über dem Intervall [a, b] definierten (hinreichend glatten, z.B. stetigen) Funktion f(t) (dem ”Integranden“) wird das ”bestimmte Integral“ über [a, b] definiert als

∫_{a}^{b} f(t) dt = lim_{n→∞} \frac{b − a}{n} ∑_{k=0}^{n−1} f(a + k · \frac{b − a}{n})

(sofern dieser Grenzwert existiert).

Dies ist lediglich eine prinzipielle Definition, die zur Berechnung völlig ungeeignet ist. Die wirkliche Berechnung geschieht über Stammfunktionen von f(t), sobald der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral und dem unbestimmten Integral geklärt ist (nächster Abschnitt).

Bemerkung 7.27: Das bestimmte Integral kann auch negative Werte annehmen (z.B., wenn überall f(t) < 0 gilt). Die Interpretation als ”Fläche unter dem Graphen“ gilt nur für positive Funktionen.

Bestimmte Integrale können additiv zerlegt werden. Man stelle sich dazu eine positive Funktion f(t) vor, d.h., das Integral von a bis b ist die Fläche unter dem Graphen von t = a bis t = b. Diese Fläche setzt sich zusammen aus der Fläche unter dem Graphen von t = a bis t = c und der Fläche von t = c bis t = b, wobei der Zerlegungspunkt c beliebig gewählt werden kann:

Satz 7.28: (Zerlegung bestimmter Integrale)

Für beliebiges a, b, c gilt:

∫_{a}^{c} f(t) dt + ∫_{c}^{b} f(t) dt = ∫_{a}^{b} f(t) dt.

Konvention 7.29:

Wir setzen

∫_{b}^{a} f(t) dt = − ∫_{a}^{b} f(t) dt,

womit wir in ∫_{a}^{b} f(t) dt nun auch b < a zulassen können. Speziell gilt

∫_{a}^{a} f(t) dt = − ∫_{a}^{a} f(t) dt = 0.

Mit dieser Konvention gilt Satz 7.28 auch für Zerlegungspunkte c, die außerhalb des Intervalls [a, b] liegen.

Bemerkung 7.30: In MuPAD ist die Funktion int sowohl für bestimmte als auch für unbestimmte Integrale zuständig:

>> int(exp(-2*x), x)
                                1
                          - ---------
                                    2
                            2 exp(x)
>> int(exp(-2*t), t = 0..5)
                                  1
                        1/2 - ---------
                                      2
                              2 exp(5)
>> float(%)
                           0.4999773

Bemerkung 7.31: Man beachte, daß das unbestimmte Integral ∫ f(x) dx eine Funktion in x ist, während das bestimmte Integral ∫_{a}^{b} f(t) dt für konkrete Zahlenwerte a, b einen Zahlenwert darstellt. Diesen kann man numerisch approximieren, indem man z.B. die in der Definition 7.26 gegebene Summe für großes n ausrechnet. Alternativ zur ”Riemann-Summe“

∫_{a}^{b} f(t) dt ≈ \frac{b − a}{n} · ∑_{k=0}^{n−1} f(a + k · \frac{b − a}{n})

ist es günstiger, stattdessen die ”Trapez-Summe“

∫_{a}^{b} f(t) dt ≈ \frac{b − a}{n} (\frac{f(a)}{2} + ∑_{k=1}^{n−1} f(a + k · \frac{b − a}{n}) + \frac{f(b)}{2})

zu berechnen, die sich mit t_{k} = a + k · \frac{b−a}{n} auch als

\frac{b − a}{n} · ∑_{k=0}^{n−1} \frac{f(t_{k}) + f(t_{k+1})}{2}

schreiben läßt. Hierbei ist \frac{b−a}{n} · \frac{f(t_{k})+f(t_{k+1})}{2} die Fläche des durch die 4 Punkte

(t_{k}, 0), (t_{k}, f(t_{k})), (t_{k+1}, f(t_{k+1})), (t_{k+1}, 0)

definierten Trapezes (d.h., die Fläche unter dem Graphen von f(t) wird nicht durch Rechtecke, sondern durch Trapeze angenähert).

[figure: t; f(t); f(t_{k}); f(t_{k+1}); t_{k}; t_{k+1}; Trapezfläche]

Bemerkung 7.32: In MuPAD ist die Funktion numeric::int für die numerische Berechnung von bestimmten Integralen zuständig. Sie arbeitet auch dann, wenn der symbolische Integrator kein Ergebnis liefert (weil er keine Stammfunktion findet):

>> int(exp(sqrt(t))*sqrt(t), t = 0..10)
                     1/2      1/2
                int(t    exp(t   ), t = 0..10)
>> numeric::int(exp(sqrt(t))*sqrt(t), t = 0..10)
                          264.1573027

7.3 Der Hauptsatz: Zusammenhang zwischen be-

stimmtem und unbestimmtem Integral

↓12.7.02

Es verbleibt das Problem, wie man effektiv bestimmte Integrale ∫_{a}^{b} f(t) dt ohne den garstigen Grenzwert von Riemann–Summen berechnen kann. Hier kommt die wesentliche Beobachtung ins Spiel, daß man mit unbestimmten Integralen (Stammfunktionen) bestimmte Integrale ausrechnen kann.

Satz 7.33: (Der Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung, Version 1)

Betrachte

F_{a}(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt.

Für stetiges f ist F_{a} differenzierbar, und es gilt

\frac{d}{dx}F_{a}(x) = f(x),

d.h., F_{a}(x) ist eine Stammfunktion von f(x).

”Beweisidee“: Es gilt

ΔF_{a} = F_{a}(x + h) − F_{a}(x) = ∫_{a}^{x+h} f(t) dt − ∫_{a}^{x} f(t) dt =^{(7.28)} ∫_{x}^{x+h} f(t) dt.

Nähern wir auf dem (kleinen) Interval [x, x + h] die Funktion durch den konstanten Wert f(t) ≈ f(x) an, so gilt

ΔF_{a} = ∫_{x}^{x+h} f(t) dt ≈ ∫_{x}^{x+h} f(x) dt = lim_{n→∞} \frac{h}{n} · ∑_{k=0}^{n−1} f(x)

= lim_{n→∞} \frac{h}{n} · f(x) · ∑_{k=0}^{n−1} 1 = lim_{n→∞} \frac{h}{n} · f(x) · n = lim_{n→∞} h · f(x) = h · f(x).

Damit läßt sich die Ableitung von F_{a}(x) berechnen:

\frac{d}{dx}F_{a}(x) = lim_{h→0} \frac{F_{a}(x + h) − F_{a}(x)}{h} = lim_{h→0} \frac{h · f(x)}{h} = f(x).

Bemerkung 7.34: Stammfunktionen sind nur bis auf additive Konstanten bestimmt. Dies wird in der Darstellung einer Stammfunktion über F_{a}(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt dadurch deutlich, daß die untere Grenze a beliebig wählbar ist. Die Konstante ist hier durch die Bedingung F_{a}(a) = ∫_{a}^{a} f(t) dt = 0 festgelegt. Bei unterschiedlicher Wahl der unteren Grenze ist die Differenz der entsprechenden Stammfunktionen in der Tat eine Konstante:

F_{a_{1}}(x) − F_{a_{2}}(x) = ∫_{a_{1}}^{x} f(t) dt − ∫_{a_{2}}^{x} f(t) dt

=^{(7.28)} (∫_{a_{1}}^{a_{2}} f(t) dt + ∫_{a_{2}}^{x} f(t) dt) − ∫_{a_{2}}^{x} f(t) dt = \underbrace{∫_{a_{1}}^{a_{2}} f(t) dt.}_{unabhängig von x}

Bestimmte Integrale sind also Stammfunktionen, wenn man sie als Funktion der oberen Grenze auffaßt. Umgekehrt, kennt man ein Stammfunktion, so liefert sie ein bestimmtes Integral, denn alle Stammfunktionen F (x) von f(x) unterscheiden sich nur um eine additive Konstante, d.h., es muss gelten

F_{a}(x) = ∫_{a}^{x} f(t) dt = F (x) + c.

Es verbleibt nur, die Integrationskonstante c zu identifizieren. Für x = a folgt

0 = ∫_{a}^{a} f(t) dt = F (a) + c ⇒ c = −F (a),

also

∫_{a}^{x} f(t) dt = F (x) − F (a).

Dies liefert nun eine effektive Methode, bestimmte Integrale auszurechnen, indem man sich zunächst eine Stammfunktion des Integranden verschafft:

Satz 7.35: (Der Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung, Version 2) Sei F (x) eine beliebige stetige Stammfunktion von f(x). Dann gilt

∫_{a}^{b} f(t) dt = F (b) − F (a).

Die additive Konstante der Stammfunktion fällt dabei bei Differenzbildung heraus.

Beispiel 7.36: Zur Berechnung von ∫_{1}^{2} ln(t) dt berechnet man zunächst eine Stammfunktion von ln(x). Analog zu Beispiel 7.11 ergibt sich durch partielle Integration:

∫ ln(x) dx = ∫ \underbrace{ln(x)}_{f(x)} · \underbrace{1}_{g′(x)} dx = \underbrace{ln(x)}_{f(x)} · \underbrace{x}_{g(x)} − ∫ \underbrace{\frac{1}{x}}_{f′(x)} · \underbrace{x}_{g(x)} dx

= x · ln(x) − ∫ 1 dx = x · ln(x) − x + c.

Mit der Stammfunktion F (x) = x · ln(x) − x + c ergibt sich das bestimmte Integral

∫_{1}^{2} ln(t) dt = F (2) − F (1) = (2 · ln(2) − 2 + c) − (1 · ln(1) − 1 + c) = 2 · ln(2) − 1.

Bemerkung 7.37: Aus dem Zusammenhang mit dem unbestimmten Integral folgt sofort, daß die Rechenregeln aus Abschnitt 7.1 auch für bestimmte Integrale gelten, z.B. (Satz 7.7):

∫_{a}^{b} (c_{1} · f_{1}(t) + c_{2} · f_{2}(t))dt = c_{1} · ∫_{a}^{b} f_{1}(t) dt + c_{2} · ∫_{a}^{b} f_{2}(t) dt.

Partielle Integration gilt in der folgenden Form:

∫_{a}^{b} f(t) · g′(t) dt = [f(t) · g(t)]_{t=a}^{t=b} − ∫_{a}^{b} f′(t) · g(t) dt,

wobei [f(t) · g(t)]_{t=a}^{t=b} als Abkürzung für

[f(t) · g(t)]_{t=a}^{t=b} = f(b) · g(b) − f(a) · g(a)

dient. Substitution gilt in der folgenden Form:

128 KAPITEL 7. INTEGRATION

∫_{a}^{b} f(g(t)) · g′(t) dt = ∫_{g(a)}^{g(b)} f(y) dy.

Beispiel 7.38: Partielle Integration:

∫_{0}^{1} \underbrace{t}_{f(t)} · \underbrace{cos(t)}_{g′(t)} dt = [ \underbrace{t}_{f(t)} · \underbrace{sin(t)}_{g(t)} ]_{t=0}^{t=1} − ∫_{0}^{1} \underbrace{1}_{f′(t)} · \underbrace{sin(t)}_{g(t)} dt

= [t · sin(t)]_{t=0}^{t=1} − [ − cos(t)]_{t=0}^{t=1}

= 1 · sin(1) − 0 · sin(0) + cos(1) − cos(0) = sin(1) + cos(1) − 1.

Beispiel 7.39: Substitution y = t^{2}, dy = 2 t dt:

∫_{0}^{√\overline{π}} t cos(t^{2}) dt = \frac{1}{2} · ∫_{0}^{√\overline{π}} cos(t^{2}) · \underbrace{2 t dt}_{dy} = \frac{1}{2} · ∫_{0}^{π} cos(y) dy

= \frac{1}{2} · [ sin(y)]_{y=0}^{y=π} = \frac{1}{2} · ( sin(π) − sin(0)) = 0.

Man beachte hierbei, wie sich im Substitutionsschritt die Grenzen ändern: Für t = 0 folgt y = t^{2} = 0, für t = \sqrt{π} folgt y = t^{2} = π.

7.4 Uneigentliche Integrale

18.7.02↓

Bestimmte Integrale ∫_{a}^{b} f(t) dt sind zunächst nur für endliche Intervalle [a, b] definiert. Wir erweitern die Definition: Definition 7.40: (Uneigentliche Integrale)

∫_{a}^{∞} f(t) dt = lim_{b→∞} ∫_{a}^{b} f(t) dt,

∫_{−∞}^{b} f(t) dt = lim_{a→−∞} ∫_{a}^{b} f(t) dt,

∫_{−∞}^{∞} f(t) dt = lim_{a→−∞} lim_{b→∞} ∫_{a}^{b} f(t) dt

(falls die Grenzwerte existieren).

7.4. UNEIGENTLICHE INTEGRALE 129

Beispiel 7.41:

∫_{0}^{∞} e^{−t} dt = lim_{b→∞} ∫_{0}^{b} e^{−t} dt = lim_{b→∞} [ − e^{−t}]_{t=0}^{t=b} = lim_{b→∞}(−e^{−b} + 1) = 1 − lim_{b→∞} e^{−b} = 1.

Beispiel 7.42: Substitution y = −\sqrt{t}, \frac{dy}{dt} = −\frac{1}{2·\sqrt{t}} = \frac{1}{2·y}, dt = 2 · y · dy:

\frac{1}{2} · ∫_{0}^{∞} e^{−\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} · ∫_{0}^{−∞} e^{y} · 2 · y dy =^{(7.29)} − ∫_{−∞}^{0} e^{y} · y dy.

Man achte hierbei auf die Transformation der Grenzen: t = 0 entspricht y = −\sqrt{t} = 0, t = ∞ entspricht y = −\sqrt{t} = −∞. Das verbleibende Integral war bereits in Beispiel 7.12 gelöst worden:

− ∫_{−∞}^{0} e^{y} · y dy = − lim_{a→−∞} [(y − 1) · e^{y}]_{y=a}^{y=0}

= − lim_{a→−∞} ( − 1 − (a − 1) · e^{a}) = 1 − lim_{a→−∞} ((1 − a) · e^{a}).

Der verbleibende Grenzwert ist 0:

lim_{a→−∞} ((1 − a) · e^{a}) =^{(b=−a)} lim_{b→∞} ((1 + b) · e^{−b}) = lim_{b→∞} (\frac{b + 1}{e^{b}}).

Da mit e^{b} = 1 + b + \frac{b^{2}}{2} + ⋯ die Exponentialfunktion für b → ∞ stärker steigt als jedes Polynom, ist der Grenzwert 0. Endergebnis:

\frac{1}{2} · ∫_{0}^{∞} e^{−\sqrt{t}} dt = 1.

Man geht ähnlich vor, wenn der Integrand eine Singularität hat:

Definition 7.43: (Uneigentliche Integrale bei singulären Integranden) Hat der Integrand f(t) an der Stelle a oder b eine Singularität, so definiert man

∫_{a}^{b} f(t) dt = lim_{ϵ→0+0} ∫_{a}^{b−ϵ} f(t) dt,

bzw.

∫_{a}^{b} f(t) dt = lim_{ϵ→0+0} ∫_{a+ϵ}^{b} f(t) dt

(falls die Grenzwerte existieren).

130 KAPITEL 7. INTEGRATION

Beispiel 7.44: Im folgenden Fall existiert das uneigentliche Integral:

∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt = lim_{ϵ→0+0} ∫_{ϵ}^{1} t^{− \frac{1}{2}} dt = lim_{ϵ→0+0} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} ]_{t=ϵ}^{t=1}

= lim_{ϵ→0+0} [2 · \sqrt{t}]_{t=ϵ}^{t=1} = 2 · lim_{ϵ→0+0} (1 − \sqrt{ϵ}) = 2.

Beispiel 7.45: Im folgenden Fall existiert das uneigentliche Integral nicht (bzw. ist ∞):

∫_{0}^{1} \frac{1}{t} dt = lim_{ϵ→0+0} ∫_{ϵ}^{1} \frac{1}{t} dt = lim_{ϵ→0+0} [ ln(t)]_{t=ϵ}^{t=1} = lim_{ϵ→0+0} (0 − ln(ϵ)) = ∞.

7.5 Einige spezielle Anwendungen

Satz 7.46: (logarithmische Divergenz der harmonischen Reihe)

Die Folge ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ln(n) konvergiert monoton falled gegen einen Grenzwert C ≈ 0.5772... (die ”Eulersche Konstante“): ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} ≈ ln(n) + C.

Beweis: Sei C_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ln(n). Mit

∫_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx = ln(k + 1) − ln(k)

gilt

C_{n} > ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ln(n + 1) = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ∫_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} − ∑_{k=1}^{n} ∫_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx

= ∑_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} − ∫_{k}^{k+1} \frac{1}{x}) dx = ∑_{k=1}^{n} ∫_{k}^{k+1} (\frac{1}{k} − \frac{1}{x}) dx > 0,

denn für die monoton fallende Funktion \frac{1}{x} gilt \frac{1}{k} ≥ \frac{1}{x} auf dem Intervall [k, k +1]. Weiterhin gilt

C_{n} − C_{n+1} = ( ln(n + 1) − ln(n)) − \frac{1}{n + 1} = ∫_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx − \frac{1}{n + 1}

= ∫_{n}^{n+1} (\frac{1}{x} − \frac{1}{n + 1}) dx ≥ 0,

denn es gilt \frac{1}{x} ≥ \frac{1}{n+1} für x ∈ [n, n+1]. Damit ist die Folge (C_{n}) monoton fallend und nach unten beschränkt. Sie konvergiert also gegen einen Grenzwert C.

Q.E.D.

Als weitere ”Anwendung“ der Integration versuchen wir, realistische Abschätzungen von n! für n ≫ 1 zu ermitteln. Zunächst beobachtet man

ln(n!) = ln(1·2·3·. . .·n) = ln(1)+ln(2)+ln(3)+…+ln(n) = ∑_{k=1}^{n} ln(k) = ∑_{k=2}^{n} ln(k).

Diese Summe läßt sich als Riemann–Summe interpretieren, die bei

∫_{1}^{n} ln(x) dx = [x · (ln(x) − 1)]_{x=1}^{x=n} = n · ln(n) − n + 1

anfällt, wenn man das Integrationsintervall [1, n] in die n−1 Teilintervalle [1, 2], [2, 3], …, [n − 1, n] zerlegt. Wegen der Monotonie von ln(x) gilt

∑_{k=1}^{n−1} ln(k) ≤ ∫_{1}^{n} ln(x) dx = ∑_{k=1}^{n−1} ∫_{k}^{k+1} ln(x) dx ≤ ∑_{k=2}^{n} ln(k),

also

ln((n − 1)!) ≤ n · ln(n) − n + 1 ≤ ln(n!),

also

(n − 1)! ≤ n^{n} · e^{−n+1} ≤ n!,

also (in der linken Ungleichung wird n durch n + 1 ersetzt):

n^{n} · e^{−n+1} ≤ n! ≤ (n + 1)^{n+1} · e^{−n},

also

e · (\frac{n}{e})^{n} ≤ n! ≤ e · (\frac{n + 1}{e})^{n+1}.

Hiermit ist das Wachstumsverhalten von n! charakterisiert. Diese Abschätzung läßt sich jedoch noch wesentlich verfeinern:

Satz 7.47: (Die Stirling–Formel)

Für alle n ∈ ℕ gilt folgende Abschätzung von n!:

\sqrt{2 · π · n} · (\frac{n}{e})^{n} ≤ n! ≤ \sqrt{2 · π · n} · (\frac{n}{e})^{n} · e^{\frac{1}{4·n}} .

Für großes n gilt e^{\frac{1}{4·n}} = 1 + \frac{1}{4·n} + ⋯ ≈ 1, d.h., das Verhältnis der oberen Schranke zur unteren Schranke ist für großes n dicht bei 1 (d.h., die führenden Stellen der oberen und unteren Schranke sind gleich und stimmen mit den führenden Stellen von n! überein). Merke:

n! ≈ \sqrt{2 · π · n} · (\frac{n}{e})^{n}.

Diese ”Stirling-Approximation“ für n! ist schon ab n = 4 auf etwa 2 Prozent genau! Beispiel:

\begin{matrix}n & \sqrt{2 · π · n} · (\frac{n}{e})^{n} & n! & \sqrt{2 · π · n} · (\frac{n}{e})^{n} · e^{\frac{1}{4·n}} \\ 2 & 1.9... & 2 & 2.1... \\ 5 & 118.0... & 120 & 124.0... \\ 10 & 3598695.6... & 3628800 & 3689797.0... \end{matrix}

Beweis: (für technisch Interessierte) Es ist zu zeigen:

\sqrt{2 · π} ≤ \frac{n!}{\sqrt{n} · (\frac{n}{e})^{n}} = \underbrace{\frac{n!}{n^{n+ \frac{1}{2}} · e^{−n}}}_{a_{n}} ≤ \sqrt{2 · π} · e^{\frac{1}{4·n}}

Wir zeigen zunächst, dass die Folge

a_{n} = \frac{n!}{n^{n+ \frac{1}{2}} · e^{−n}}

konvergiert. Für die Quotienten aufeinander folgender Elemente bekommt man

\frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \frac{1}{e} · (1 + \frac{1}{n})^{n+ \frac{1}{2}}

und damit

ln (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} ) = (n + \frac{1}{2}) · ln (1 + \frac{1}{n}) − 1. (#)

Betrachte die Integration der Funktion f(x) = 1/x über dem Intervall [n, n+1]:

[figure: n; n + \frac{1}{2}; n + 1; f(x) = 1/x]

Das Integral wird nach oben abgeschätzt durch das Trapez durch die Punkte (n, f(n)) und (n + 1, f(n + 1)). Die Trapezfläche ist Breite × mittlere Höhe = \frac{1}{2} · (f(n) + f(n + 1)):

∫_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx = ln(n + 1) − ln(n) = ln (1 + \frac{1}{n}) ≤ \frac{1}{2} · (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}).

Das Integral wird nach unten abgeschätzt durch das Trapez, dessen obere Kante die Tangente an f(x) im Mittelpunkt ist. Die Trapezfläche ist Breite × mittlere Höhe = f(n + \frac{1}{2}):

∫_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx = ln(n + 1) − ln(n) = ln (1 + \frac{1}{n}) ≥ \frac{1}{n + \frac{1}{2}} .

Diese Abschätzungen liefern die Ungleichungskette

\frac{1}{n + \frac{1}{2}} ≤ ln (1 + \frac{1}{n}) ≤ \frac{1}{2} · (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}),

also

1 ≤ (n + \frac{1}{2}) · ln (1 + \frac{1}{n}) ≤ (n + \frac{1}{2}) · \frac{1}{2} · (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}),

also

0 ≤ (n + \frac{1}{2}) · ln (1 + \frac{1}{n}) − 1 ≤ (n + \frac{1}{2}) · \frac{1}{2} · (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}) − 1

= \frac{1/4}{n · (n + 1)} = \frac{1}{4} · (\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1}).

Eingesetzt in (#) erhält man:

0 ≤ ln (\frac{a_{n}}{a_{n+1}} ) ≤ \frac{1}{4} · (\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1}),

also

1 ≤ \frac{a_{n}}{a_{n+1}} ≤ e^{\frac{1}{4·n}} · e^{− \frac{1}{4·(n+1)}} .

Es folgt

1 ≤ \frac{a_{n}}{a_{n+k}} = \frac{a_{n}}{a_{n+1}} · \frac{a_{n+1}}{a_{n+2}} · . . . · \frac{a_{n+k−1}}{a_{n+k}}

≤ e^{\frac{1}{4·n}} · e^{− \frac{1}{4·(n+1)}} · e^{\frac{1}{4·(n+1)}} · e^{− \frac{1}{4·(n+2)}} · . . . · e^{\frac{1}{4·(n+k−1)}} · e^{− \frac{1}{4·(n+k)}}
= e^{\frac{1}{4·n}} · e^{− \frac{1}{4·(n+k)}} ≤ e^{\frac{1}{4·n}}

für alle k ≥ 1. Für fixiertes n ist die Folge (a_{n+k}) (im Folgenindex k) damit monoton fallend und nach unten beschränkt, d.h., es existiert der Grenzwert a^{∗} = lim_{k→∞} a_{n+k} = lim_{n→∞} a_{n}, für den gilt:

1 ≤ \frac{a_{n}}{a^{∗}} ≤ e^{\frac{1}{4·n}} ⇒ a^{∗} ≤ a_{n} ≤ a^{∗} · e^{\frac{1}{4·n}} .

Es verbleibt damit lediglich, a^{∗} = \sqrt{2 · π} zu zeigen. Das ist wesentlich aufwendiger, und wir verzichten hier darauf.

Q.E.D.