112

Kapitel 7

Integration

7.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral

Die Integration ist die Umkehrung der Diff erentiation: zu einer gegebenen Funk-

tion f(x) sucht man eine Funktion F (x), deren Ableitung f(x) ist.

7.1.1 Definitionen, Grundintegrale

Definition 7.1: (Stammfunktion)

F (x) heißt Stammfunktion" einer (hinreichend glatten) Funktion

quotedblright d

f(x), wenn F (x) = f(x) gilt. Alternativ nennt man F (x) auch das
dx

unbestimmte Integral uber f(x)" und benutzt auch die Notation
dieresis

integraltext
quotedblright F (x) = f(x) dx. Die Funktion f(x) unter dem Integralzeichen wird als

Integrand" bezeichnet.

quotedblright

Bemerkung 7.2: Stammfunktionen sind nicht eindeutig bestimmt. Da die Ableitung einer konstanten Funktion uberall 0 ist, kann man zu einer Stammfunkdieresis tion eine beliebige Konstante hinzuaddieren, wobei man eine neue Stammfunktion erhalt. Andererseits, hat f(x) keine Singularitaten (Polstellen etc.), so sind dieresis dieresis

Stammfunktionen stetig und die Diff erenz zweier stetiger Stammfunktionen ist

immer eine Konstante.

2 2

x x

Beispiel 7.3: Zu f(x) = x sind F (x) = und F (x) = + 17 Stammfunktion. 1 2
2 2

Die beliebige additive Konstante in Stammfunktionen (die Integrationskonstante")

quotedblright

wird folgendermaßen ausgedruckt:
dieresis

integraldisplay 2x

x dx = + c.

integraltext

Damit ist gemeint: f(x) dx stellt die Klasse aller Stammfunktionen dar (d.h., in

integraltext integraltext

der Schreibweise f(x) dx steckt die additive Konstante sozusagen im -Symbol und

113

114 KAPITEL 7. INTEGRATION braucht nicht explizit hingeschrieben zu werden). Sobald das Integralzeichen durch

einen konkreten Reprasentanten dieser Klasse (hier ) ersetzt wird, schreiben wir die

dieresis 2

beliebige additive Konstante explizit dazu.

Bemerkung 7.4: Mit dieser Konvention gilt trivialerweise fur jede diff erenzierdieresis

bare Funktion F (x): integraldisplay prime F (x) dx = F (x) + c .

Grundintegrale 7.5:

Aus der in Satz 6.6 gegebenen (kleinen) Liste von Ableitungen erhalt man
dieresis

eine (kleine) Liste von Stammfunktionen fur die einfachen Grundfunktio-
dieresis

nen: integraldisplay n+1

x
n

x dx = + c, (n =negationslash 0)

n + 1

integraldisplay 1 dx = ln(|x|) + c, (Beispiel 6.18)

integraldisplay x x

e dx = e + c,

integraldisplay

sin(x) dx = minus cos(x) + c,

integraldisplay

cos(x) dx = sin(x) + c.

Beispiel 7.6: In MuPAD ist die Funktion int (engl.: integrate) fur die Integration

dieresis

zustandig. Fur die Integrationskonstante wird dabei vom System automatisch ein be-

dieresis dieresis quotedblright

sonders einfacher" Wert gewahlt:
dieresis

>> int(cos(x), x)

sin(x)

>> int(x*sin(x)*exp(x), x)

cos(x) exp(x) x cos(x) exp(x) x sin(x) exp(x)

------------- - --------------- + ---------------

2 2 2

7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 115 Fur aus den einfachen Grundfunktionen aufgebaute Funktionen wurde man gern dieresis dieresis

per Rechenregeln die Integration komplizierter Funktionen auf die Integration einfacher Funktionen zuruckfuhren. Leider ist das nicht so einfach. In der Tat dieresis dieresis

entspricht jeder Rechenregel der Diff erentiation (Satz 6.6, Satz 6.12) eine Regel fur's Integrieren. Die sich ergebenden Regeln sind aber nicht so, daß man damit dieresis automatisch alle Integrationen auf Grundintegrale zuruckfuhren kann. Zunachst dieresis dieresis dieresis

die einfachsten Regeln:

Satz 7.7: (Summenregel)

Fur beliebige Konstanten a, b und Funktionen f(x), g(x) gilt
dieresis

integraldisplay integraldisplay integraldisplay
parenleftBig parenrightBig

a periodcentered f (x) + b periodcentered g(x) dx = a periodcentered f(x) dx + b periodcentered g(x) dx.

Das ist durch Diff erenzieren beider Seiten dieser Gleichung unmittelbar klar.

Merke:

Konstante Faktoren konnen stets aus dem Integralzeichen herausge-
dieresis

zogen werden. Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale.

Beispiel 7.8:

integraldisplay integraldisplay integraldisplay integraldisplay
parenleftBig parenrightBig

1 1 1 1 1

x x minus x minus

2 2

radical radical radical
2 periodcentered e + dx = 2 periodcentered e dx + x dx = 2 periodcentered e + c + x dx

2 x 2 2

1 1

minus +1

2 2
1 x 1 x

x x

radical radical
= 2 periodcentered e + c + periodcentered + c = 2 periodcentered e + periodcentered + c + c
1 2 1 2
1 1 bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

minus + 1
2 2

2 2 c

radical
radical radical
2

x x

radical
= 2 periodcentered e + periodcentered x + c = 2 periodcentered e + 2 periodcentered x + c.

Hierbei wurden die einzelnen Integrationskonstanten c , c zu einer neuen beliebigen

1 2

Konstanten c = c + c zusammengefaßt.
1 2

7.1.2 Partielle Integration

Aus der Produktregel

parenleftBig parenrightBig
d prime prime

f(x) periodcentered g(x) = f (x) periodcentered g(x) + f(x) periodcentered g (x)

der Diff erentiation gewinnt man durch Integration

integraldisplay integraldisplay

prime prime
f(x) periodcentered g(x) + c = f (x) periodcentered g(x) dx + f(x) periodcentered g (x) dx.

Diese Gleichung liefert eine Integrationsregel, die man partielle Integration"

quotedblright

nennt:

116 KAPITEL 7. INTEGRATION

Satz 7.9: (Partielle Integration)

integraldisplay integraldisplay

prime prime
f(x) periodcentered g (x) dx = f(x) periodcentered g(x) minus f (x) periodcentered g(x) dx.

Bemerkung 7.10: Diese Regel ist in folgender Situation anwendbar:

* Der Integrand muß das Produkt zweier Funktionen sein.

prime
* Von einem Faktor (g (x)) muß man die Stammfunktion g(x) kennen.

prime prime

Ein Integral (uber f(x) periodcentered g (x)) wird in ein anderes Integral (uber f (x) periodcentered g(x)) dieresis dieresis

uberfuhrt, es verbleibt also die Aufgabe, eine Stammfunktion zu finden. Allerdieresis dieresis prime

dings ist manchmal das Produkt f (x) periodcentered g(x) einfacher zu integrieren als das

prime
Ausgangsprodukt f(x) periodcentered g (x):

prime
* Sinnvoll ist partielle Integration meist, wenn die Ableitung f (x) einfaquotedblright prime

cher" ist als f(x) und g(x) nicht wesentlich komplizierter" als g (x).

quotedblright

integraltext

Beispiel 7.11: Im Integral xperiodcentered ln(x) dx ist f(x) = ln(x) eine unangenehme" Funktion,

quotedblright

1
prime

wahrend f (x) = als rationale Funktion wesentlich angenehmer ist:
dieresis x

integraldisplay integraldisplay
2 2

x 1 x

x periodcentered ln(x) dx = ln(x) periodcentered minus periodcentered dx
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright 2 x 2

g(x) f (x) g(x)

integraldisplay
2 2 2

x x x x

= ln(x) periodcentered minus dx = ln(x) periodcentered minus + c .

2 2 2 4

Probe: parenleftBig parenrightBig

2 2 2
d x x 1 x x

ln(x) periodcentered minus + c = periodcentered + ln(x) periodcentered x minus = ln(x) periodcentered x.

dx 2 4 x 2 2

Es gibt keine allgemeine Regel, was einfach" und was kompliziert" ist. Im

quotedblright quotedblright

1
prime

obigen Fall war f (x) = einfacher als f(x) = ln(x). Im folgenden Beispiel ist

x prime

f(x) = x kompliziert", zumindestens komplizierter" als f (x) = 1:

quotedblright quotedblright

Beispiel 7.12: integraldisplay integraldisplay

x x x
x periodcentered e dx = x periodcentered e minus 1 periodcentered e dx

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

prime prime
f(x) g (x) f(x) g(x) f (x) g(x)

integraldisplay

x x x x x
= x periodcentered e minus e dx = x periodcentered e minus e + c = (x minus 1) periodcentered e + c.

7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 117 Manchmal braucht man einfach Erfahrung um zu sehen, daß partielle Integra-

tion hilfreich ist:

Beispiel 7.13:

integraldisplay integraldisplay integraldisplay

2
sin(x) dx = sin(x) periodcentered sin(x) dx = sin(x) periodcentered (minus cos(x)) minus cos(x) periodcentered (minus cos(x)) dx

prime prime
f(x) g (x) f(x) g(x) f (x) g(x)

integraldisplay 2

= minus sin(x) periodcentered cos(x) + cos(x) dx.

integraltext integraltext

2 2
Das war bislang nicht sehr erfolgreich: sin(x) dx wurde durch cos(x) dx ausge-

2 2

druckt. Allerdings gilt sin(x) + cos(x) = 1, sodaß das verbleibende Integral wiederum dieresis

durch das Ausgangsintegral ausgedruckt werden kann:
dieresis

integraldisplay integraldisplay integraldisplay integraldisplay

2 2 2
cos(x) dx = 1 dx minus sin(x) dx = x minus sin(x) dx.

integraltext 2

Dies liefert eine Gleichung fur sin(x) dx:
dieresis

integraltext integraltext

2 2
sin(x) dx = minus sin(x) periodcentered cos(x) + cos(x) dx

integraltext 2

= minus sin(x) periodcentered cos(x) + x minus sin(x) dx

integraltext 2

arrowdblright 2 periodcentered sin(x) dx = x minus sin(x) periodcentered cos(x) + c

parenleftBig parenrightBig
integraltext 1

2
arrowdblright sin(x) dx = periodcentered x minus sin(x) periodcentered cos(x) + ctilde

(mit einer neuen Integrationskonstante ctilde = c/2).

7.1.3 Substitution arrowdown 5.7.02

Aus der Kettenregel der Diff erentiation (mit y = g(x))

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d prime prime

F (g(x)) = F (y) periodcentered g(x) = F (g(x)) periodcentered g (x)

dx dy dx

gewinnt man durch Integration integraldisplay prime prime

F (g(x)) + c = F (g(x)) periodcentered g (x) dx.

prime
Diese Gleichung liefert mit f = F eine Integrationsregel, die man Integration

quotedblright

durch Substitution" nennt:

Satz 7.14: (Substitution)

Sie F (y) eine Stammfunktion von f(y). Mit y = g(x) gilt

integraldisplay integraldisplay

prime
f(g(x)) periodcentered g (x) dx = f(y) dy = F (y) + c = F (g(x)) + c.

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

118 KAPITEL 7. INTEGRATION

Hierbei lauft die Substitution auf Folgendes hinaus. Aus y = g(x) folgt = dieresis dx

prime g (x), also formal prime

dy = g (x) dx.

Eine Substitution bietet sich auf jeden Fall an, wenn der Integrand einen Faktor prime g (x) enthalt, der die Ableitung eines Teilausdrucks g(x) im anderen Faktor ist:

dieresis

integraltext sin(x)

Beispiel 7.15: In cos(x) periodcentered e dx bietet es sich an, y = g(x) = sin(x) zu substituie-

prime
ren, denn die Ableitung g (x) = cos(x) taucht als Faktor im Integranden auf. Es ergibt

sich

y=g(x)

integraldisplay integraldisplay integraldisplay
bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright

sin(x) sin(x) y y sin(x)
cos(x) periodcentered e dx = e cos(x) dx = e dy = e + c = e + c.

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

prime g (x)periodcentered dx=dy

integraltext integraltext

1 1

Beispiel 7.16: Wir kennen dy = ln(|y|). Wie steht es mit dx? Dies ist ein y aperiodcentered x+b

Fall fur die Substitution. Wir setzen y = g(x) = a periodcentered x + b (also dy = a dx) und erweitern

dieresis 1 1

mit a, sodaß dx = periodcentered a dx = dy auftaucht:
a a

dy
integraldisplay integraldisplay integraldisplay

bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright
1 1 1 1 1

dx = periodcentered periodcentered a dx = dy

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
a periodcentered x + b a a periodcentered x + b a y

prime g (x)

1 1

= periodcentered ln(|y|) + c = periodcentered ln(|a periodcentered x + b|) + c.

a a

integraltext prime g (x)

Beispiel 7.17: In dx bietet sich die Substitution y = g(x) an:
g(x)

integraldisplay integraldisplay
prime g (x) 1

dx = dy = ln(|y|) + c = ln(|g(x)|) + c.

g(x) y

Bemerkung 7.18: Es bietet sich allgemein an, eine Substitution y = g(x) in

integraltext

einem Integral h(x) dx technisch folgendermaßen durchzufuhren:
dieresis

dy prime

* Setze y = g(x) und berechne die Ableitung = g (x). Formal gilt dy =

prime g (x) dx.

h(x)
dy

* Ersetze dx durch . Drucke im neuen Integranden h(x) dx = dy dieresis prime prime

g (x) g (x)

jedes x durch y aus.

7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 119

* Es entsteht ein Ausdruck

integraldisplay integraldisplay integraldisplay

h(x) dx = h(x(y)) periodcentered dy = f(y) dy.
prime g (x(y))

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

f(y)

integraltext

Versuche, eine Stammfunktion F (y) = f(y) dy zu finden.

* Rucksubstitution": Setze y = g(x) in F (y) ein. Die gesuchte Stamm-
dieresis

quotedblright funktion des ursprunglichen Ausdrucks ist F (g(x)).

dieresis

Manchmal ist es nicht off ensichtlich, was man substituieren sollte. Hier hilft nur

Erfahrung oder ein guter Tip:

radical dy 1 1 1 1

radical radical Beispiel 7.19: Substituiere y = x, = periodcentered (arrowdblright dy = periodcentered dx) in

dx 2 2
x x

integraldisplay integraldisplay integraldisplay

radical
radical radical
x y 2 y

x periodcentered e dx = y periodcentered e periodcentered 2 periodcentered x dy = 2 periodcentered y periodcentered e dy.

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

Das verbleibende Integral in y kann durch zweifache partielle Integration gelost werden:
dieresis

integraldisplay integraldisplay

2 y 2 y y

2 periodcentered y periodcentered e dy = 2 periodcentered y periodcentered e minus 2 periodcentered 2 periodcentered y periodcentered e dy

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

prime g (y) g(y) prime g(y)
f(y) f(y) f (y)

integraldisplay integraldisplay

2 y y 2 y y y

= 2 periodcentered y periodcentered e minus 4 periodcentered y periodcentered e dy = 2 periodcentered y periodcentered e minus 4 periodcentered y periodcentered e +4 periodcentered 1 periodcentered e dy

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

prime prime

G (y) G(y) F (y) G(y)
F (y) F (y)

2 y y y
= 2 periodcentered y periodcentered e minus 4 periodcentered y periodcentered e + 4 periodcentered e + c.

radical

Rucksubstitution y = x liefert letztlich:
dieresis

integraldisplay radical radical radical radical

radical radical
x x x x

x periodcentered e dx = 2 periodcentered x periodcentered e minus 4 periodcentered x periodcentered e + 4 periodcentered e + c.

7.1.4 Rationale Integranden: Partialbruchzerlegung arrowdown 11.7.02

Rationale Integranden lassen sich uber die Technik der Partialbruchzerlegung"
dieresis quotedblright

immer so umformulieren, daß man eine Stammfunktion bestimmen kann. Hier

der Spezialfall, wenn das Nennerpolynom nur einfache Nullstellen hat:

120 KAPITEL 7. INTEGRATION

Satz 7.20: (Partialbruchzerlegung)

p(x)

Betrachte f(x) = mit Polynomen p(x) und q(x), wobei grad(p(x)) <
q(x)

grad(q(x)) gelte. Hat das Nennerpolynom q(x) nur einfache Nullstellen

x , . . . , x , so gibt es Konstanten c , . . . , c , sodaß
1 n 1 n

p(x) c c
1 n

= + periodcentered periodcentered periodcentered + .

q(x) x minus x x minus x
1 n

Damit folgt dann

integraldisplay p(x) dx = c periodcentered ln(|x minus x |) + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered ln(|x minus x |) + c.

1 1 n n

q(x)

Beispiel 7.21: Die technische Durchfuhrung geschieht folgendermaßen:
dieresis

1) Ansatz: 3 periodcentered x + 4 c c

1 2

= + .

(x minus 1) periodcentered (x + 2) x minus 1 x + 2

2) Bringe die rechte Seite auf den Hauptnenner:

c c c periodcentered (x + 2) + c periodcentered (x minus 1)
1 2 1 2

+ =

x minus 1 x + 2 (x minus 1) periodcentered (x + 2)

3) Ordne den Zahler nach Potenzen von x:
dieresis

c periodcentered (x + 2) + c periodcentered (x minus 1) (c + c ) periodcentered x + (2 periodcentered c minus c )
1 2 1 2 1 2

= .

(x minus 1) periodcentered (x + 2) (x minus 1) periodcentered (x + 2)

4) Der Ansatz lautet nun:

3 periodcentered x + 4 (c + c ) periodcentered x + (2 periodcentered c minus c )
1 2 1 2

= .

(x minus 1) periodcentered (x + 2) (x minus 1) periodcentered (x + 2)

Die Nenner stimmen nach Konstruktion uberein. Es verbleibt, die Konstanten c , c
dieresis 1 2 so zu bestimmen, daß auch die Zahler fur alle x ubereinstimmen. Vergleiche dazu im

dieresis dieresis dieresis

Zahler die Koeffi zienten vor jeder x-Potenz:
dieresis

3 = c + c , 4 = 2 periodcentered c minus c .
1 2 1 2

4) Lose das entstandene lineare Gleichungssystem fur die unbekannten Koeffi zienten:
dieresis dieresis

7 2

c = , c = .
1 2

3 3

Ergebnis:

integraldisplay integraldisplay 7 2
parenleftBig parenrightBig

3 periodcentered x + 4 7 2
3 3

dx = + dx = ln(|x minus 1|) + ln(|x + 2|) + c.

(x minus 1) periodcentered (x + 2) x minus 1 x + 2 3 3

7.1. STAMMFUNKTIONEN: DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 121 Beispiel 7.22: In MuPAD ist die Funktion partfrac (engl.: partial fraction) fur die

dieresis

Partialbruchzerlegung zustandig:
dieresis

>> partfrac((3*x + 4) / ((x - 1)*(x + 2)), x)

7 2

--------- + ---------

3 (x - 1) 3 (x + 2)

Bemerkung 7.23: Die Partialbruchzerlegung haben wir schon fruher beim dieresis

Summieren rationaler Ausdrucke kennengelernt: siehe Beispiel 3.31.
dieresis

p(x)

Bemerkung 7.24: Hat man einen rationalen Integranden , bei dem der

q(x)

Grad des Zahlerpolynoms nicht kleiner ist als der Grad des Nennerpolynoms dieresis (dies wird in Satz 7.20 vorausgesetzt), so ist dies auch kein Problem. Durch

Polynomdivision kann man einen polynomialen Anteil abspalten, z.B.:

3 2
2 periodcentered x + x + 2 2 periodcentered x + 3

= 2 periodcentered x + 1 + .

2 2
x minus 1 x minus 1

Die Division wird dabei wie mit Zahlen durchgefuhrt (man zieht sukzessiv den dieresis

fuhrenden Term" durch ein geeignetes Vielfaches des Nenners ab):
dieresis

quotedblright 3 2 2

2 periodcentered x + x + 2 : x minus 1 = 2 periodcentered x + 1

3
2 periodcentered x minus 2 periodcentered x

2x + 2 periodcentered x + 2

2x minus 1

2 periodcentered x + 3 (der Rest)

Der verbleibende Rest kann durch Partialbruchzerlegung additiv zerlegt werden,

das Ergebnis ist:

>> partfrac((2*x^3 + x^2 + 2)/(x^2 -1), x)

5 1

2 x + --------- - --------- + 1

2 (x - 1) 2 (x + 1)

Es folgt

integraldisplay integraldisplay 5 1

parenleftBig parenrightBig
3 2

2 periodcentered x + x + 2 2 2

dx = 2 periodcentered x + 1 + minus dx

2
(x minus 1) xminus 1 x+ 1

5 1
2

= x + x + ln(|x minus 1|) minus ln(|x + 1|) + c.

2 2

Probe mit MuPAD:

122 KAPITEL 7. INTEGRATION

>> int((2*x^3 + x^2 + 2)/(x^2 -1), x)

2 5 ln(x - 1) ln(x + 1)

x + x + ----------- - ---------

2 2

(MuPAD verzichtet darauf, innerhalb des ln Betragszeichen einzutragen, denn MuPAD kann mit komplexen Zahlen umgehen. Fur positives x gilt ln(minus x) = dieresis

radical minus 1 periodcentered pi +ln(x), d.h., ln(minus x) und ln(x) stimmen bis auf eine additive (komplexe) Konstante uberein. Diese kann in die Integrationskonstante absorbiert werden). dieresis Bemerkung 7.25: Fur die Partialbruchzerlegung braucht man die Faktorisiedieresis rung q(x) = (x minus x ) periodcentered periodcentered periodcentered periodcentered periodcentered (x minus x ) des Nennerpolynoms, d.h., man muß die

1 n

Nullstellen x , . . . , x von q(x) finden.
1 n

7.2 Das bestimmte Integral

Die geometrische Interpretation eines bestimmten Integrals ist die Flache unter dieresis einem Funktionsgraphen f(t). Man zerlege ein Interval [a, b] auf der t-Achse

aquidistant in n Teilintervalle [t , t ] mit
dieresis i i+1

b minus a

t = a + i periodcentered , i = 0, . . . , n.
i n

Dann approximiere man den Flacheninhalt durch die Flachen der durch die dieresis dieresis

Punkte

(t , 0), (t , f (t )), (t , f (t )), (t , 0)
i i i i+1 i i+1

bminus a

gegebenen Rechtecke (mit der Breite ):
n

f(t)
a54 a24 a88

a24 a88

a8 a72
a8 a72

a8 a72
a8 a72 a81 a81 a90 a90 a45 t

a = t t t . . . t t . . . t = b
0 1 2 i i+1 n

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

bminus an

nminus 1

summationdisplay
b minus a

Die Summe der n Rechteckflachen ist periodcentered f(t ). Im Grenzwert n arrowright infinity dieresis k

n k=0

liefert dies die Flache unter dem Graphen.
dieresis

7.2. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 123

Definition 7.26: (Das bestimmte Integral)

Zu einer uber dem Intervall [a, b] definierten (hinreichend glatten, z.B.
dieresis

stetigen) Funktion f(t) (dem Integranden") wird das bestimmte

quotedblright quotedblright

Integral" uber [a, b] definiert als
dieresis

integraldisplay nminus 1 parenleftBig parenrightBig
b summationdisplay

b minus a b minus a

f(t) dt = lim f a + k periodcentered

narrowright infinity n n
a k=0

(sofern dieser Grenzwert existiert).

Dies ist lediglich eine prinzipielle Definition, die zur Berechnung vollig ungedieresis eignet ist. Die wirkliche Berechnung geschieht uber Stammfunktionen von f(t), dieresis sobald der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral und dem unbe-

stimmten Integral geklart ist (nachster Abschnitt).
dieresis dieresis

Bemerkung 7.27: Das bestimmte Integral kann auch negative Werte annehmen (z.B., wenn uberall f(t) < 0 gilt). Die Interpretation als Flache unter dem dieresis dieresis

quotedblright

Graphen" gilt nur fur positive Funktionen.
dieresis Bestimmte Integrale konnen additiv zerlegt werden. Man stelle sich dazu eine dieresis positive Funktion f(t) vor, d.h., das Integral von a bis b ist die Flache unter dieresis dem Graphen von t = a bis t = b. Diese Flache setzt sich zusammen aus der dieresis Flache unter dem Graphen von t = a bis t = c und der Flache von t = c bis dieresis dieresis

t = b, wobei der Zerlegungspunkt c beliebig gewahlt werden kann:
dieresis

Satz 7.28: (Zerlegung bestimmter Integrale)

Fur beliebiges a, b, c gilt:
dieresis

integraldisplay integraldisplay integraldisplay
c b b

f(t) dt + f(t) dt = f(t) dt.

a c a

Konvention 7.29:

Wir setzen integraldisplay integraldisplay

a b

f(t) dt = minus f(t) dt,

b a

integraltext b

womit wir in f(t) dt nun auch b < a zulassen konnen. Speziell gilt
dieresis

integraldisplay integraldisplay
a a

f(t) dt = minus f(t) dt = 0.

a a

Mit dieser Konvention gilt Satz 7.28 auch fur Zerlegungspunkte c, die außerhalb dieresis

des Intervalls [a, b] liegen.

124 KAPITEL 7. INTEGRATION Bemerkung 7.30: In MuPAD ist die Funktion int sowohl fur bestimmte als dieresis

auch fur unbestimmte Integrale zustandig:
dieresis dieresis

>> int(exp(-2*x), x)

- ---------

2 exp(x)

>> int(exp(-2*t), t = 0..5)

1/2 - ---------

2 exp(5)

>> float(\%)

0.4999773

integraltext

Bemerkung 7.31: Man beachte, daß das unbestimmte Integral f(x) dx ei-

integraltext b

ne Funktion in x ist, wahrend das bestimmte Integral f(t) dt fur konkrete dieresis dieresis

Zahlenwerte a, b einen Zahlenwert darstellt. Diesen kann man numerisch approximieren, indem man z.B. die in der Definition 7.26 gegebene Summe fur großes dieresis

n ausrechnet. Alternativ zur Riemann-Summe"

quotedblright

integraldisplay nminus 1 parenleftBig parenrightBig
b summationdisplay

b minus a b minus a

f(t) dt approxequal periodcentered f a + k periodcentered

n n
a k=0

ist es gunstiger, stattdessen die Trapez-Summe"
dieresis quotedblright

parenleftBigg parenrightBigg

integraldisplay nminus 1 parenleftBig parenrightBig
b summationdisplay

b minus a f(a) b minus a f(b)

f(t) dt approxequal + f a + k periodcentered +

n 2 n 2
a k=1

bminus a

zu berechnen, die sich mit t = a + k periodcentered auch als
k n

nminus 1

summationdisplay

b minus a f(t ) + f(t )
k k+1

periodcentered

n 2

k=0

f(t )+f(t )
bminus a k k+1

schreiben laßt. Hierbei ist periodcentered die Flache des durch die 4 Punkte dieresis dieresis

n 2

(t , 0), (t , f(t )), (t , f (t )), (t , 0)
k k k k+1 k+1 k+1

definierten Trapezes (d.h., die Flache unter dem Graphen von f(t) wird nicht dieresis

durch Rechtecke, sondern durch Trapeze angenahert).
dieresis

7.3. DER HAUPTSATZ 125

f(t) f(t )
a40
a40 a16 k+1

a16
a24
a24 a16

a16
a54 a16
a16 a16

a16 a16

a8 a16

a8 a16
f(t )k

Trapezflache
dieresis

a45 t

t t
k k+1

Bemerkung 7.32: In MuPAD ist die Funktion numeric::int fur die numeridieresis sche Berechnung von bestimmten Integralen zustandig. Sie arbeitet auch dann, dieresis wenn der symbolische Integrator kein Ergebnis liefert (weil er keine Stammfunk-

tion findet):

>> int(exp(sqrt(t))*sqrt(t), t = 0..10)

1/2 1/2

int(t exp(t ), t = 0..10)

>> numeric::int(exp(sqrt(t))*sqrt(t), t = 0..10)

264.1573027

7.3 Der Hauptsatz: Zusammenhang zwischen be-

stimmtem und unbestimmtem Integral

arrowdown 12.7.02
integraltext b

Es verbleibt das Problem, wie man eff ektiv bestimmte Integrale f(t) dt ohne

den garstigen Grenzwert von Riemannendash Summen berechnen kann. Hier kommt die wesentliche Beobachtung ins Spiel, daß man mit unbestimmten Integralen

(Stammfunktionen) bestimmte Integrale ausrechnen kann.

Satz 7.33: (Der Hauptsatz der Diff erentialendash und Integralrechnung, Version 1)

Betrachte integraldisplay x

F (x) = f(t) dt.
a a

Fur stetiges f ist F diff erenzierbar, und es gilt
dieresis a

d F (x) = f(x),

d.h., F (x) ist eine Stammfunktion von f(x).
a

126 KAPITEL 7. INTEGRATION

Beweisidee": Es gilt

quotedblright integraldisplay integraldisplay integraldisplay

x+h x x+h
(7.28)

Delta F = F (x + h) minus F (x) = f(t) dt minus f(t) dt = f(t) dt.
a a a a a x

Nahern wir auf dem (kleinen) Interval [x, x + h] die Funktion durch den kondieresis

stanten Wert f(t) approxequal f(x) an, so gilt

integraldisplay integraldisplay nminus 1
x+h x+h summationdisplay

Delta F = f(t) dt approxequal f(x) dt = lim periodcentered f(x)
a narrowright infinity n

x x k=0

nminus 1

summationdisplay
h h

= lim periodcentered f(x) periodcentered 1 = lim periodcentered f(x) periodcentered n = lim h periodcentered f(x) = h periodcentered f(x).

narrowright infinity narrowright infinity narrowright infinity
n n

k=0

Damit laßt sich die Ableitung von F (x) berechnen:
dieresis a

d F (x + h) minus F (x) h periodcentered f(x)
a a

F (x) = lim = lim = f(x).
a harrowright 0 harrowright 0

dx h h

Bemerkung 7.34: Stammfunktionen sind nur bis auf additive Konstanten bestimmt. Dies wird in der Darstellung einer Stammfunktion uber F (x) = dieresis a

integraltext x f(t) dt dadurch deutlich, daß die untere Grenze a beliebig wahlbar ist. Die

dieresis

a integraltext a

Konstante ist hier durch die Bedingung F (a) = f(t) dt = 0 festgelegt. Bei

a a

unterschiedlicher Wahl der unteren Grenze ist die Diff erenz der entsprechenden

Stammfunktionen in der Tat eine Konstante:

integraldisplay integraldisplay
x x

F (x) minus F (x) = f(t) dt minus f(t) dt

a a
1 2 a a

1 2

parenleftbigg parenrightbigg
integraldisplay integraldisplay integraldisplay integraldisplay

a x x a
2 2

(7.28)

= f(t) dt + f(t) dt minus f(t) dt = f(t) dt.

a a a a
1 2 2 1

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

unabhangig von x
dieresis Bestimmte Integrale sind also Stammfunktionen, wenn man sie als Funktion der oberen Grenze auff aßt. Umgekehrt, kennt man ein Stammfunktion, so liefert sie ein bestimmtes Integral, denn alle Stammfunktionen F (x) von f(x) unterschei-

den sich nur um eine additive Konstante, d.h., es muss gelten

integraldisplay x

F (x) = f(t) dt = F (x) + c.
a a

Es verbleibt nur, die Integrationskonstante c zu identifizieren. Fur x = a folgt
dieresis

integraldisplay a

0 = f(t) dt = F (a) + c arrowdblright c = minus F (a),

7.3. DER HAUPTSATZ 127

also integraldisplay x

f(t) dt = F (x) minus F (a).

Dies liefert nun eine eff ektive Methode, bestimmte Integrale auszurechnen, in-

dem man sich zunachst eine Stammfunktion des Integranden verschaff t:
dieresis

Satz 7.35: (Der Hauptsatz der Diff erentialendash und Integralrechnung, Version 2)

Sei F (x) eine beliebige stetige Stammfunktion von f(x). Dann gilt

integraldisplay b

f(t) dt = F (b) minus F (a).

Die additive Konstante der Stammfunktion fallt dabei bei Diff erenzbildung herdieresis

aus.

integraltext 2

Beispiel 7.36: Zur Berechnung von ln(t) dt berechnet man zunachst eine Stammdieresis

funktion von ln(x). Analog zu Beispiel 7.11 ergibt sich durch partielle Integration:

integraldisplay integraldisplay integraldisplay 1

ln(x) dx = ln(x) periodcentered 1 dx = ln(x) periodcentered x minus periodcentered x dx

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright x

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
prime g (x) g(x) g(x)

f(x) f(x) prime f (x)

integraldisplay

= x periodcentered ln(x) minus 1 dx = x periodcentered ln(x) minus x + c.

Mit der Stammfunktion F (x) = x periodcentered ln(x) minus x + c ergibt sich das bestimmte Integral

integraldisplay 2 parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

ln(t) dt = F (2) minus F (1) = 2 periodcentered ln(2) minus 2 + c minus 1 periodcentered ln(1) minus 1 + c = 2 periodcentered ln(2) minus 1.

Bemerkung 7.37: Aus dem Zusammenhang mit dem unbestimmten Integral folgt sofort, daß die Rechenregeln aus Abschnitt 7.1 auch fur bestimmte Intedieresis

grale gelten, z.B. (Satz 7.7):

integraldisplay integraldisplay integraldisplay

parenleftBig parenrightBig
b b b

c periodcentered f (t) + c periodcentered f (t) dt = c periodcentered f (t) dt + c periodcentered f (t) dt.
1 1 2 2 1 1 2 2

a a a

Partielle Integration gilt in der folgenden Form:

integraldisplay integraldisplay

bracketleftBig bracketrightBig
b b

t=b

prime prime
f(t) periodcentered g (t) dt = f(t) periodcentered g(t) minus f (t) periodcentered g(t) dt,

t=a
a a

bracketleftBig bracketrightBig t=b

wobei f(t) periodcentered g(t) als Abkurzung fur
dieresis dieresis

t=abracketleftBig bracketrightBig t=b

f(t) periodcentered g(t) = f(b) periodcentered g(b) minus f(a) periodcentered g(a)

t=a

dient. Substitution gilt in der folgenden Form:

128 KAPITEL 7. INTEGRATION

integraldisplay integraldisplay
b g(b)

prime
f(g(t)) periodcentered g (t) dt = f(y) dy.

a g(a)

Beispiel 7.38: Partielle Integration:

integraldisplay integraldisplay

1 bracketleftBig bracketrightBig 1
t=1

t periodcentered cos(t) dt = t periodcentered sin(t) minus 1 periodcentered sin(t) dt

0 0 prime

f(t) f(t) f (t)
prime g (t) g(t) g(t)

bracketleftBig bracketrightBig bracketleftBig bracketrightBig
t=1 t=1

= t periodcentered sin(t) minus minus cos(t)

t=0 t=0

= 1 periodcentered sin(1) minus 0 periodcentered sin(0) + cos(1) minus cos(0) = sin(1) + cos(1) minus 1.

2
Beispiel 7.39: Substitution y = t , dy = 2 t dt:

radical radical
integraldisplay integraldisplay integraldisplay
pi pi pi

1 1
2 2

t cos(t ) dt = periodcentered cos(t ) periodcentered 2 t dt = periodcentered cos(y) dy

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
2 2
0 0 0

bracketleftBig bracketrightBig parenleftBig parenrightBig
y=pi

1 1

= periodcentered sin(y) = periodcentered sin(pi ) minus sin(0) = 0.

2 2
y=0

Man beachte hierbei, wie sich im Substitutionsschritt die Grenzen andern: Fur t = 0
dieresis dieresis

radical

2 2

folgt y = t = 0, fur t = pi folgt y = t = pi .
dieresis

7.4 Uneigentliche Integrale

18.7.02arrowdown integraltext b

Bestimmte Integrale f(t) dt sind zunachst nur fur endliche Intervalle [a, b]
dieresis dieresis

definiert. Wir erweitern die Definition:

Definition 7.40: (Uneigentliche Integrale)

integraldisplay integraldisplay
infinity b

f(t) dt = lim f(t) dt,

barrowright infinity
a a integraldisplay integraldisplay

b b

f(t) dt = lim f(t) dt,

aarrowright minus infinity
minus infinity a

integraldisplay integraldisplay
infinity b

f(t) dt = lim lim f(t) dt

aarrowright minus infinity barrowright infinity
minus infinity a

(falls die Grenzwerte existieren).

7.4. UNEIGENTLICHE INTEGRALE 129

Beispiel 7.41:

integraldisplay integraldisplay
infinity b bracketleftBig bracketrightBig t=b

minus t minus t minus t minus b minus b
e dt = lim e dt = lim minus e = lim (minus e + 1) = 1 minus lim e = 1.

barrowright infinity barrowright infinity barrowright infinity barrowright infinity
t=0

0 0

radical dy 1 1

radical
Beispiel 7.42: Substitution y = minus t, = minus = , dt = 2 periodcentered y periodcentered dy:

dt 2periodcentered y
2periodcentered t

integraldisplay integraldisplay integraldisplay
infinity minus infinity 0
radical
1 1 (7.29)
minus t y y

periodcentered e dt = periodcentered e periodcentered 2 periodcentered y dy = minus e periodcentered y dy.

2 2
0 0 minus infinity

radical

Man achte hierbei auf die Transformation der Grenzen: t = 0 entspricht y = minus t = 0,
radical

t = infinity entspricht y = minus t = minus infinity . Das verbleibende Integral war bereits in Beispiel 7.12

gelost worden:
dieresis integraldisplay 0 bracketleftBig bracketrightBig y=0

y y
minus e periodcentered y dy = minus lim (y minus 1) periodcentered e

aarrowright minus infinity y=a
minus infinity

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

a a
= minus lim minus 1 minus (a minus 1) periodcentered e = 1 minus lim (1 minus a) periodcentered e .

aarrowright minus infinity aarrowright minus infinity

Der verbleibende Grenzwert ist 0:

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

b + 1
(b=minus a)
a minus b

lim (1 minus a) periodcentered e = lim (1 + b) periodcentered e = lim .

b
aarrowright minus infinity barrowright infinity barrowright infinity e

Da mit e = 1 + b + + periodcentered periodcentered periodcentered die Exponentialfunktion fur b arrowright infinity starker steigt als jedes
dieresis dieresis

Polynom, ist der Grenzwert 0. Endergebnis:

integraldisplay infinity radical

1 minus t

periodcentered e dt = 1.

2 0

Man geht ahnlich vor, wenn der Integrand eine Singularitat hat:
dieresis dieresis

Definition 7.43: (Uneigentliche Integrale bei singularen Integranden)
dieresis

Hat der Integrand f(t) an der Stelle a oder b eine Singularitat, so definiert
dieresis

man integraldisplay integraldisplay

b bminus epsilon1

f(t) dt = lim f(t) dt,

epsilon1 arrowright 0+0
a a bzw. integraldisplay integraldisplay

b b

f(t) dt = lim f(t) dt

epsilon1 arrowright 0+0
a a+epsilon1

(falls die Grenzwerte existieren).

130 KAPITEL 7. INTEGRATION

Beispiel 7.44: Im folgenden Fall existiert das uneigentliche Integral:

integraldisplay integraldisplay 1 1 1 bracketleftBig bracketrightBig t=1

2 1 1 t
minus 2

radical dt = lim t dt = lim 1

epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0 t=epsilon1

t
0 epsilon1 2 bracketleftBig bracketrightBig parenleftBig parenrightBig

t=1
radical radical

= lim 2 periodcentered t = 2 periodcentered lim 1 minus epsilon1 = 2.

epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0
t=epsilon1

Beispiel 7.45: Im folgenden Fall existiert das uneigentliche Integral nicht (bzw. ist

infinity ):

integraldisplay integraldisplay

1 1 bracketleftBig bracketrightBig parenleftBig parenrightBig
t=1
1 1

dt = lim dt = lim ln(t) = lim 0 minus ln(epsilon1 ) = infinity .

epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0 epsilon1 arrowright 0+0 t t t=epsilon1

0 epsilon1

7.5 Einige spezielle Anwendungen

Satz 7.46: (logarithmische Divergenz der harmonischen Reihe)

nsummationdisplay 1

Die Folge minus ln(n) konvergiert monoton falled gegen einen Grenzwert

k=1 nsummationdisplay 1

C approxequal 0.5772... (die Eulersche Konstante"): approxequal ln(n) + C.

quotedblright k

k=1

nsummationdisplay 1

Beweis: Sei C = minus ln(n). Mit
n k

k=1

integraldisplay k+1 1 dx = ln(k + 1) minus ln(k)

x
k

gilt

integraldisplay integraldisplay
n n n n
n+1 k+1
summationdisplay summationdisplay summationdisplay summationdisplay

1 1 1 1 1

C > minus ln(n + 1) = minus dx = minus dx
n k k x k x

1 k
k=1 k=1 k=1 k=1

integraldisplay integraldisplay
n n
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
k+1 k+1
summationdisplay summationdisplay

1 1 1 1

= minus dx = minus dx > 0,

k x k x
k k

k=1 k=1

7.5. EINIGE SPEZIELLE ANWENDUNGEN 131

1 1 1

denn fur die monoton fallende Funktion gilt greaterequal auf dem Intervall [k, k+1]. dieresis x k x

Weiterhin gilt

integraldisplay
parenleftBig parenrightBig n+1

1 1 1

C minus C = ln(n + 1) minus ln(n) minus = dx minus
n n+1 n+ 1 x n+ 1

integraldisplay parenleftBig parenrightBig
n+1 1 1

= minus dx greaterequal 0,

x n + 1
n

1 1

denn es gilt greaterequal fur x element [n, n+1]. Damit ist die Folge (C ) monoton fallend dieresis n

x n+1

und nach unten beschrankt. Sie konvergiert also gegen einen Grenzwert C.
dieresis

Q.E.D. Als weitere Anwendung" der Integration versuchen wir, realistische Abschatzdieresis

quotedblright

ungen von n! fur n greatermuch 1 zu ermitteln. Zunachst beobachtet man
dieresis dieresis

n n
summationdisplay summationdisplay

ln(n!) = ln(1periodcentered 2periodcentered 3periodcentered . . .periodcentered n) = ln(1)+ln(2)+ln(3)+. . .+ln(n) = ln(k) = ln(k).

k=1 k=2

Diese Summe laßt sich als Riemannendash Summe interpretieren, die bei
dieresis

integraldisplay bracketleftBig bracketrightBig
n x=n

ln(x) dx = x periodcentered (ln(x) minus 1) = n periodcentered ln(n) minus n + 1

x=1
1

anfallt, wenn man das Integrationsintervall [1, n] in die nminus 1 Teilintervalle [1, 2], dieresis

[2, 3], . . . , [n minus 1, n] zerlegt. Wegen der Monotonie von ln(x) gilt

integraldisplay integraldisplay
nminus 1 nminus 1 n

n k+1
summationdisplay summationdisplay summationdisplay

ln(k) lessequal ln(x) dx = ln(x) dx lessequal ln(k),

1 k
k=1 k=1 k=2

also

ln((n minus 1)!) lessequal n periodcentered ln(n) minus n + 1 lessequal ln(n!),

also n minus n+1

(n minus 1)! lessequal n periodcentered e lessequal n!,

also (in der linken Ungleichung wird n durch n + 1 ersetzt):

n minus n+1 n+1 minus n
n periodcentered e lessequal n! lessequal (n + 1) periodcentered e ,

also parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

n n+1
n n + 1

e periodcentered lessequal n! lessequal e periodcentered .

e e

Hiermit ist das Wachstumsverhalten von n! charakterisiert. Diese Abschatzung dieresis

laßt sich jedoch noch wesentlich verfeinern:
dieresis

132 KAPITEL 7. INTEGRATION

Satz 7.47: (Die Stirlingendash Formel)

Fur alle n element N gilt folgende Abschatzung von n!:
dieresis dieresis

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

radical radical
n n 1

n n 4periodcentered n

2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered lessequal n! lessequal 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered periodcentered e .

e e

1 1

4periodcentered n

Fur großes n gilt e = 1 + + periodcentered periodcentered periodcentered approxequal 1, d.h., das Verhaltnis der obe-
dieresis dieresis

4periodcentered n

ren Schranke zur unteren Schranke ist fur großes n dicht bei 1 (d.h., die
dieresis

fuhrenden Stellen der oberen und unteren Schranke sind gleich und stim-
dieresis

men mit den fuhrenden Stellen von n! uberein).
dieresis dieresis

Merke:

parenleftBig parenrightBig

radical n
n

n! approxequal 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered .

Diese Stirling-Approximation" fur n! ist schon ab n = 4 auf etwa 2
dieresis

quotedblright

Prozent genau! Beispiel:

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n n
radical radical 1

n n 4periodcentered n

n 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered n! 2 periodcentered pi periodcentered n periodcentered periodcentered e
e e

2 1.9... 2 2.1...

5 118.0... 120 124.0...

10 3598695.6... 3628800 3689797.0...

Beweis: (fur technisch Interessierte)
dieresis

Es ist zu zeigen:

radical radical 1
n! n! 4periodcentered n

radical
2 periodcentered pi lessequal = lessequal 2 periodcentered pi periodcentered e

1
n n n+ minus n

n periodcentered ( ) 2

n periodcentered e
e bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

Wir zeigen zunachst, dass die Folge
dieresis

a =
n 1

n+ minus n

2
n periodcentered e

konvergiert. Fur die Quotienten aufeinander folgender Elemente bekommt man
dieresis

1
parenleftBig parenrightBig n+

a 1 1 2
n = periodcentered 1 +

a e n
n+1

und damit

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

a 1 1
n

ln = n + periodcentered ln 1 + minus 1. (#)

a 2 n
n+1

Betrachte die Integration der Funktion f(x) = 1/x uber dem Intervall [n, n+ 1]:
dieresis

7.5. EINIGE SPEZIELLE ANWENDUNGEN 133

a80 a80

a64 a80 a80
a64 a80 f(x) = 1/x

a80 a8
a108 a80 a8

a108 a80 a80

a81 a80

a81 a8
a96 a80
a96 a96 a80

a72
a96 a72 a80
a96 a80
a96 a80
a80 a96 a88 a96 a80

a88 a96 a96 a80

a96 a96 a96 a96 a80

a104
a96 a104

a96 a80
a104
a96 a104 a80

a96 a104 a80

a104
a96 a96 a96 a96 a96

a45

n n + n + 1
2

Das Integral wird nach oben abgeschatzt durch das Trapez durch die Punkte dieresis (n, f(n)) und (n + 1, f(n + 1)). Die Trapezflache ist Breite multiply mittlere Hohe = dieresis dieresis

1 periodcentered (f (n) + f(n + 1)):

integraldisplay parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
n+1 1 1 1 1 1

dx = ln(n + 1) minus ln(n) = ln 1 + lessequal periodcentered + .

x n 2 n n+ 1
n

Das Integral wird nach unten abgeschatzt durch das Trapez, dessen obere Kante dieresis die Tangente an f(x) im Mittelpunkt ist. Die Trapezflache ist Breite multiply mittlere dieresis

Hohe = f(n + ):
dieresis 2

integraldisplay parenleftBig parenrightBig
n+1 1 1 1

dx = ln(n + 1) minus ln(n) = ln 1 + greaterequal .1

x n n+
n 2

Diese Abschatzungen liefern die Ungleichungskette
dieresis

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1

lessequal ln 1 + lessequal periodcentered + ,
1 n 2 n n + 1

n + 2

also parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

1 1 1 1 1 1

1 lessequal n + periodcentered ln 1 + lessequal n + periodcentered periodcentered + ,

2 n 2 2 n n + 1

also

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
1 1 1 1 1 1

0 lessequal n + periodcentered ln 1 + minus 1 lessequal n + periodcentered periodcentered + minus 1

2 n 2 2 n n + 1

parenleftBig parenrightBig
1/4 1 1 1

= = periodcentered minus .

n periodcentered (n + 1) 4 n n + 1

Eingesetzt in (#) erhalt man:
dieresis

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

a 1 1 1
n

0 lessequal ln lessequal periodcentered minus ,

a 4 n n + 1
n+1

also 1

1
an minus 4periodcentered (n+1)

4periodcentered n
1 lessequal lessequal e periodcentered e .

an+1

134 KAPITEL 7. INTEGRATION

Es folgt a a a a

n n n+1 n+kminus 1

1 lessequal = periodcentered periodcentered . . . periodcentered

a a a a

n+1 n+2
n+k n+k

1 1 1 1 1
1 minus minus minus

4periodcentered (n+1) 4periodcentered (n+1) 4periodcentered (n+2) 4periodcentered (n+kminus 1) 4periodcentered (n+k)
4periodcentered n

lessequal e periodcentered e periodcentered e periodcentered e periodcentered . . . periodcentered e periodcentered e

1
1 1
minus 4periodcentered (n+k)

4periodcentered n 4periodcentered n
= e periodcentered e lessequal e

fur alle k greaterequal 1. Fur fixiertes n ist die Folge (a ) (im Folgenindex k) damit dieresis dieresis n+k

monoton fallend und nach unten beschrankt, d.h., es existiert der Grenzwert dieresis

asteriskmath a = lim a = lim a , fur den gilt:

dieresis

n
n+k narrowright infinity

karrowright infinity

1 1
an asteriskmath asteriskmath

4periodcentered n 4periodcentered n
1 lessequal lessequal e arrowdblright a lessequal a lessequal a periodcentered e .
n

asteriskmath a

radical

asteriskmath
Es verbleibt damit lediglich, a = 2 periodcentered pi zu zeigen. Das ist wesentlich aufwen-

diger, und wir verzichten hier darauf.

Q.E.D.