Kapitel 6
Diff erentialrechnung
6.1 Definitionen und Satze
dieresis
arrowdown 20.6.02
dieresis
Im Prinzip konnten die meisten der folgenden Uberlegungen und Definitionen
dieresis
dieresis
ohne große Anderungen fur komplexe Funktionen f : C arrowright C durchgefuhrt
dieresis dieresis
werden. Wir beschranken uns hier jedoch auf reelle Funktionen f : R arrowright R.
dieresis
Zunachst die Definition einer Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigun-
dieresis quotedblright
gen":
Definition 6.1: (Die Ableitung einer Funktion)
Eine Funktion f : D mapsto arrowright R heißt diff erenzierbar am Punkt x", wenn
quotedblright
der Grenzwert
f(x + h) minus f(x)
prime
f (x) := lim
harrowright 0 h
prime
existiert. Der Grenzwert f (x) heißt Ableitung von f am Punkt x".
quotedblright
Alternative Schreibweisen (mit y = f(x)):
dy d
prime prime
= y (x) = f(x) = f (x).
dx dx
Ist f an jedem Punkt x des Definitionsbereichs D diff erenzierbar, so heißt
prime prime
die Abbildung f : x mapsto arrowright f (x) Ableitungsfunktion" (kurz: Ablei-
quotedblright quotedblright
tung von f").
Bemerkung 6.2: Ist eine Funktion an einem Punkt diff erenzierbar, so ist sie
dort auch stetig:
f(x + h) minus f(x)
lim existiert arrowdblright f(x + h) minus f(x) = O(h)
harrowright 0 h
arrowdblright f(x + h) = f(x) + O(h) arrowdblright lim f(x + h) = f(x).
harrowright 0
Damit kann eine Funktion nur an Stetigkeitspunkten diff erenzierbar sein.
x x + h x + h x + h
90 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Geometrische Interpretation der Ableitung 6.3:
Fur kleines Delta x = h =negationslash 0 ist der Diff erenzenquotient"
dieresis quotedblright
Delta f f(x + Delta x) minus f(x) f(x + h) minus f(x) prime
= = approxequal f (x)
Delta x (x + h) minus x h
die Sekantensteigung vom Punkt (x, f(x)) zum Punkt (x + h, f(x + h))
auf dem Graphen von x:
prime
Die Ableitung f (x) selbst, d.h., der Grenzwert der Sekan-
tensteigung fur Delta x = h arrowright 0, ist die Steigung der Tandieresis
gente an den Graphen von f am Punkt x.
Zur Erinnerung an die Schule: die Tangente T durch den Punkt (x , f(x )) mit
0 0
prime
der Steigung f (x ) ist der Graph der linearen Funktion
0
prime
T (x) = f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ).
0 0 0
Interpretation der Ableitung 6.4:
Die Ableitung gibt an, wie stark sich f(x) andert, wenn sich x um einen
dieresis
kleinen Wert Delta x andert:
dieresis
f(x + Delta x) minus f(x) prime
approxequal f (x),
Delta x
d.h.
prime
f(x + Delta x) approxequal f(x) + f (x) periodcentered Delta x .
dieresis
6.1. DEFINITIONEN UND SATZE 91 Die Definition der Ableitung uber den Grenzwert von Sekantensteigungen ist dieresis
praktisch unnutz, da nur in den allereinfachsten Fallen handhabbar, z.B., bei:
dieresis dieresis
2
Beispiel 6.5: Betrachte f(x) = x :
2 2
f(x + h) minus f(x) (x + h) minus x
prime f (x) = lim = lim
harrowright 0 harrowright 0
h h
2 2 2 2
x + 2 periodcentered x periodcentered h + h minus x 2 periodcentered x periodcentered h + h
= lim = lim = lim (2 periodcentered x + h) = 2 periodcentered x.
harrowright 0 harrowright 0 harrowright 0
h h
Fur das praktische Rechnen verlaßt man sich wiederum auf Rechenregeln:
dieresis dieresis
Satz 6.6: (Rechenregeln fur's Ableiten)
dieresis
Ableitungen einiger spezieller Funktionen (sei hierbei c eine konstante
Zahl):
d d d d 1
n nminus 1 x x
c = 0, x = n periodcentered x , e = e , ln(x) = ,
dx dx dx dx x
d d
sin(x) = cos(x), cos(x) = minus sin(x).
dx dx
Die Ableitung einer aus einfachen Funktionen zusammengesetzten Funk-
tion ist uber folgende Regeln zu berechnen. Seien f und g diff erenzierbare
dieresis
Funktionen. Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion (f + g, f periodcentered g
etc.) existiert jeweils, wenn f und g ableitbar sind:
d prime
* c periodcentered f(x) = c periodcentered f (x),
dx parenleftBig parenrightBig
d prime prime
* f(x) + g(x) = f (x) + g (x) ( Summenregel"),
quotedblright
dx
d prime prime
* f(x) periodcentered g(x) = f (x) periodcentered g(x) + f(x) periodcentered g (x) ( Produktregel")
quotedblright
dx
prime prime
d f(x) f (x) periodcentered g(x) minus f(x) periodcentered g (x)
* = ( Quotientenregel").
2 quotedblright
dx g(x) g(x)
Bei der Quotientenregel wird g(x) negationslash = 0 vorausgesetzt (sonst teilt man
durch 0).
n x dieresis
Beweis: Die Ableitung von x , e , sin(x), cos(x) wird in Ubungsaufgaben be-
handelt. Die Ableitung von ln(x) wird spater in Beispiel 6.18 hergeleitet. Die dieresis
prime prime prime prime prime
Linearitat (c periodcentered f) = c periodcentered f und (f + g) = f + g folgt unmittelbar aus den Redieresis
chenregeln fur Grenzwerte von Funktionen. Die Produktregel ergibt sich durch dieresis
den Grenzwert von
f(x + h) periodcentered g(x + h) minus f(x) periodcentered g(x)
h
92 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
f(x + h) minus f(x) g(x + h) minus g(x)
= periodcentered g(x + h) + f(x) periodcentered
h h
fur h arrowright 0. Die Ableitung von 1/g(x) ergibt sich aus
dieresis
1 1
minus g(x + h) minus g(x) 1
g(x+h) g(x) = minus periodcentered
h h g(x + h) periodcentered g(x)
zu parenleftBig parenrightBig prime
prime
1 g (x)
= minus .
2
g(x) g(x)
Zusammen mit der Produktregel liefert dies die Quotientenregel
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig prime prime
prime prime
f(x) 1 f (x) g (x)
= f(x) periodcentered = minus f(x) periodcentered .
2
g(x) g(x) g(x) g(x)
Q.E.D.
Beispiel 6.7:
radical
d d 1 1 1 1 2 1 1 1 1
minus 1 minus
3 3 3 3 radical
x = x = periodcentered x = periodcentered x = periodcentered = periodcentered .
2 3 2
dx dx 3 3 3 3
3
x x
Beispiel 6.8: Summen- und Produktregel:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d
2 x 2 x
x + x periodcentered e = x + x periodcentered e
dx dx dx
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d
2 x 2 x x 2 x
= x + x periodcentered e + x periodcentered e = 1 + 2 periodcentered x periodcentered e + x periodcentered e .
dx dx dx
Beispiel 6.9: Quotientenregel:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d
x x
x e periodcentered x minus e periodcentered x x x x x
dx dx
d e e periodcentered xminus e periodcentered 1 e e
= = = minus .
2 2 2
dx x x x x x
dieresis
6.1. DEFINITIONEN UND SATZE 93
Beispiel 6.10:
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d
x x
x (cos(x) periodcentered e ) periodcentered x minus cos(x) periodcentered e periodcentered x
dx dx
d cos(x) periodcentered e = 2
dx x x
parenleftBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
d d d
x x x
cos(x) periodcentered e + cos(x) periodcentered e periodcentered x minus cos(x) periodcentered e periodcentered x
dx dx dx
= 2
x
parenleftBig parenrightBig
x x x
minus sin(x) periodcentered e + cos(x) periodcentered e periodcentered x minus cos(x) periodcentered e periodcentered 1
= 2
x
x x x
minus sin(x) periodcentered e periodcentered x + cos(x) periodcentered e periodcentered x minus cos(x) periodcentered e
= 2
x
x x x
sin(x) periodcentered e cos(x) periodcentered e cos(x) periodcentered e
= minus + minus .
2
x x x
Beispiel 6.11: Bequemer geht's mit MuPAD. Die Funktion diff ist fur's Diff erenzieren
dieresis
von Ausdrucken zustandig:
dieresis dieresis
>> diff(cos(x)*exp(x)/x, x)
cos(x) exp(x) cos(x) exp(x) sin(x) exp(x)
------------- - ------------- - -------------
x 2 x
x
(Vergleiche mit Beispiel 6.10.) Alternativ konnen Funktionen (aber keine Ausdrucke)
dieresis dieresis
prime
mittels diff erenziert werden:
>> f:= x -> cos(x)*exp(x)/x:
>> f'(x)
cos(x) exp(x) cos(x) exp(x) sin(x) exp(x) ------------- - ------------- - ------------- x 2 x
x
So setzt man konkrete Werte in die Ableitung ein:
>> f'(1), f'(2)
cos(2) exp(2) sin(2) exp(2)
-sin(1) exp(1), ------------- - -------------
4 2
94 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
>> f'(PI) = float(f'(PI))
exp(PI) exp(PI)
------- - ------- = -5.02126887
2 PI
PI
21.6.02arrowdown Wie steht's mit der Ableitung von Hintereinanderschaltungen" ( Komposi-
radical quotedblright
quotedblright
tion") von Funktionen wie z.B. sin( x )?
Satz 6.12: (Die Kettenregel)
Sei g : D mapsto arrowright D propersubset R diff erenzierbar am Punkt x element D . Sei f : D mapsto arrowright
g g
f f
R diff erenzierbar am Punkt g(x) element D . Dann ist die Funktion h(x) =
f
f(g(x)) diff erenzierbar am Punkt x, und es gilt:
d d prime prime
h(x) = f(g(x)) = f (g(x)) periodcentered g (x) .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
dx dx
innere
außere
dieresis quotedblright
quotedblright Ableitung"
Ableitung"
Als Merkregel fur y = g(x), z = f(y) = f(g(x)):
dieresis
d dz dz dy prime prime
f(g(x)) = = periodcentered = f (y) periodcentered g (x).
dx dx dy dx
Beweis: Es gilt
f(g(x + h)) minus f(g(x))
h
parenleftBig parenrightBig
g(x+h)minus g(x)
f g(x) + h periodcentered minus f(g(x))
h g(x + h) minus g(x)
= periodcentered .
g(x+h)minus g(x) h
h periodcentered h
g(x+h)minus g(x) g(x+h)minus g(x)
prime
Fur h arrowright 0 konvergiert gegen g (x) und k := h periodcentered gegen 0:
dieresis h h
parenleftBig parenrightBig
g(x+h)minus g(x)
f g(x) + h periodcentered minus f(g(x))
h
lim g(x+h)minus g(x)
harrowright 0 h periodcentered h
f(g(x) + k) minus f(g(x)) prime
= lim = f (g(x)).
karrowright 0 k
Q.E.D.
dieresis
6.1. DEFINITIONEN UND SATZE 95
radical
Beispiel 6.13: Fur g(x) = x gilt
dieresis
d 1 1 1 1 1 1 1
prime minus 1
2 2 radical
g (x) = x = periodcentered x = periodcentered = periodcentered .
1
dx 2 2 2 x
2
x
prime
Zusammen mit f(y) = sin(y), f (y) = cos(y) folgt:
radical
parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
radical radical
d d d 1 1 cos( x )
radical radical
sin( x ) = sin(y) periodcentered x = cos(y) periodcentered periodcentered = .
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
dx dy dx 2 x 2 periodcentered x
y
Definition 6.14: (Hohere Ableitungun)
dieresis
prime
Die Funktion f sei diff erenzierbar, sei f die Ableitungsfunktion. Ist die-
prime prime prime prime
se wiederum diff erenzierbar, so heißt f = (f ) die zweite Ableitung
quotedblright prime prime prime prime prime prime
von f". Ist diese wiederum diff erenzierbar, so heißt f = (f ) die drit-
quotedblright
te Ableitung von f". Usw. Schreibweisen fur die n-te Ableitung einer
dieresis
Funktion f : n
bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright
n
d (n) prime prime periodcentered periodcentered periodcentered prime prime
f(x) = f (x) = f (x).
n
dx
(0)
Die nullte" Ableitung f ist die Funktion f selbst. Ist die n-te Ableitung
quotedblright
(n)
f eine stetige Funktion in x, so heißt f n-fach stetig diff erenzier-
quotedblright
bar".
prime prime prime prime prime prime
Beispiel 6.15: Off ensichtlich gilt exp = exp = exp = exp etc. Die 4-te Ableitung
der trigonometrischen Funktionen ist jeweils wieder die Ausgangsfunktion:
2
d d
sin(x) = cos(x), sin(x) = minus sin(x),
2
dx dx
3 4
d d
sin(x) = minus cos(x), sin(x) = sin(x),
3 4
dx dx
2
d d
cos(x) = minus sin(x) , cos(x) = minus cos(x),
2
dx dx
3 4
d d
cos(x) = sin(x), cos(x) = cos(x).
3 4
dx dx
96 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Beispiel 6.16: Hohere Ableitungen in MuPAD:
dieresis
>> diff(exp(x^2), x, x) // zweite Ableitung
2 2 2
2 exp(x ) + 4 x exp(x )
>> n := 6:
>> diff(exp(x^2), x $ n) // n-te Ableitung
2 2 2 4 2 6 2
120 exp(x ) + 720 x exp(x ) + 480 x exp(x ) + 64 x exp(x )
Mit der Funktion subs (engl.: substitute = ersetze; gemeint ist: ersetze x durch einen
Wert) kann man konkrete Werte in Ausdrucke einsetzen. Berechne den Wert der 50-ten dieresis
2 x
Ableitung von sin(x ) e an der Stelle x = 0:
>> diff(sin(x^2)*exp(x), x $ 50):
>> subs(\%, x = 0)
- 32812427642492524028780884258717885804750 cos(0) exp(0) -
9681156701774438433479738001098392167599 sin(0) exp(0)
Hier kommt eine Besonderheit von subs zutage: der ersetzte Ausdruck wird nicht sofort
ausgewertet". D.h. in diesem Fall, dass die Vereinfachungen cos(0) = 1, exp(0) = quotedblright 1, sin(0) = 0 nicht automatisch geschehen. Die Funktion eval (engl.: evaluate = werte
aus) erzwingt die Evaluation:
>> eval(\%)
-32812427642492524028780884258717885804750
Kennt man die Ableitung einer invertierbaren Funktion f , so kennt man auch
minus 1
die Ableitung der Umkehrabbildung f . Es gilt
minus 1
f (f(y)) = y.
Leitet man beide Seiten der Gleichung nach y ab, so liefert die Kettenregel
d 1
minus 1prime prime minus 1prime
f (f(y)) periodcentered f (y) = y = 1 =arrowdblright f (f(y)) = .
prime
dy f (y)
Satz 6.17: (Ableitung der Inversen)
minus 1
Sei f diff erenzierbar und invertierbar, sei f die Umkehrfunktion. Ist
prime minus 1
f (y) =negationslash 0, so ist f an der Stelle x = f(y) diff erenzierbar, und es gilt
1 1
minus 1 prime
(f ) (x) = = .
prime prime minus 1
f (y) f (f (x))
dy 1 1
minus 1 prime
minus 1
Merkregel: mit y = f (x), x = f(y): (f ) (x) = = = .
dx prime
dx f (y)
dy
minus 1 prime
Beispiel 6.18: Fur f = ln als Umkehrfunktion der Funktion f = exp mit f = exp
dieresis
folgt mit x = exp(y), y = ln(x):
d 1 1 1 1
ln(x) = = = = .
prime
dx f (y) exp(y) exp(ln(x) x
Hierbei ist x > 0 vorausgesetzt (damit ln(x) definiert ist). Fur x < 0 gilt
dieresis
d d 1 1
prime
ln(minus x) = ln (minus x) periodcentered (minus x) = periodcentered (minus 1) = .
dx dx minus x x
Fur x > 0 ist |x| = x, fur x < 0 ist |x| = minus x. Zusammengefaßt gilt damit:
dieresis dieresis
d 1
ln(|x|) = fur alle x =negationslash 0.
dieresis
dx x
An der Stelle x = 0 ist ln(|x|) unstetig und damit erst recht nicht diff erenzierbar.
6.2 Der Mittelwertsatz
Satz 6.19: (Der Satz von Rolle)
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R diff erenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Es gelte f(a) =
prime
f(b). Dann gibt es ein xi element (a, b) mit f (xi ) = 0.
Beweis: O.b.d.A. sei f nicht konstant (sonst ist die Behauptung sicherlich rich-
tig). Da f diff erenzierbar ist, ist f auch stetig. Nach Satz 4.22 gibt es ein Mi-
nimum oder ein Maximum xi von f im Inneren des Intervalls (liegen sowohl das
Minimum als auch das Maximum am Rand, mußte die Funktion konstant sein). dieresis
Sei o.B.d.A. xi ein Maximum (sonst betrachte minus f ). Mit f(xi +h) lessequal f(xi ) fur jedes dieresis
h folgt fur die einseitigen Grenzwerte
dieresis
f(xi + h) minus f(xi ) f(xi + h) minus f(xi )
lim lessequal 0, lim greaterequal 0.
harrowright 0+0 harrowright 0minus 0
h h
f(xi + h) minus f(xi )
prime
Es folgt f (xi ) = lim = 0.
harrowright 0 h
Q.E.D.
98 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Satz 6.20: (Der Mittelwertsatz)
Sei f : [a, b] mapsto arrowright R diff erenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Dann gibt es ein
xi element (a, b) mit
f(a) minus f(b) prime
= f (xi ).
a minus b
xminus b
Beweis: Betrachte g(x) = f(x) minus (f(a) minus f(b)) periodcentered . Dies Funktion erfullt
dieresis
aminus b
g(a) = g(b) = f(b). Nach Satz 6.19 existiert xi element (a, b) mit
f(a) minus f(b)
prime prime
g (xi ) = f (xi ) minus = 0.
a minus b
Q.E.D. entfalltarrowdown Bemerkung 6.21: Fur alle x, y in einem Intervall [a, b] gilt nach dem Mitteldieresis dieresis
wertsatz
prime
|f(x) minus f(y)| = |f (xi )| periodcentered |x minus y|
mit einem Punkt xi zwischen x und y. Es folgt
prime
|f(x) minus f(y)| lessequal sup {|f (xi )|; xi element [a, b]} periodcentered |x minus y|
Hiermit ist gezeigt, dass
prime
k = sup {|f (xi )|; xi element [a, b]}
eine Kontraktionskonstante der Funktion f auf dem Intervall [a, b] ist (vergleiche
Bemerkung 2.43).
6.3 Taylorendash Reihen
ab hierarrowdown
Betrachte folgende Funktion, die nur in einer kleinen Umgebung eines Punk-
prime prime prime
wiederarrowdown tes x bekannt ist (genauer: es sind f(x ), f (x ), f (x ) etc. bekannt). Man
0 0 0 0
interessiert sich fur den Funktionswert an einem Punkt x in der Nahe von x :
dieresis dieresis 0
behandeltarrowdown
27.6.02arrowdown
6.3. TAYLORendash REIHEN 99
In allereinfachster Naherung wurde man (fur x dicht bei x )
dieresis dieresis dieresis 0
f(x) approxequal f(x )
0
setzen. Die nachstbessere Approximation besteht darin, der Tangente am Punkt dieresis
x zu folgen:
0 prime
f(x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ).
0 0 0
Im obigen Fall ist deutlich, dass der Funktionswert oberhalb der Tangente zu
prime prime
suchen ist (die Funktion ist gebogen": es gilt f (x ) > 0). Es bietet sich an,
0
quotedblright
einen quadratischen Term hinzuzufugen, um eine bessere Approximation zu dieresis
erreichen:
prime 2
f(x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ) + c periodcentered (x minus x ) .
0 0 0 0
Wie sollte die Konstante c gewahlt werden, wie geht es weiter?
dieresis
Voruberlegung zu Taylor-Polynomen 6.22:
dieresis
Zu einer mehrfach diff erenzierbaren Funktion f finde ein Polynom
n
T (x) = c + c periodcentered (x minus x ) + periodcentered periodcentered periodcentered + c periodcentered (x minus x ) ,
n 0 1 0 n 0
dass sich an einem Punkt x moglichst eng an den Graphen von f an-
dieresis
0 quotedblright
schmiegt". D.h., es soll gelten:
prime prime (n) (n)
f(x ) = T (x ), f (x ) = T (x ), . . . , f (x ) = T (x ).
0 n 0 0 0 0 0
n n
Hierdurch ist das Polynom eindeutig bestimmt als
prime prime (n)
f (x ) f (x )
0 0
prime 2 n
T (x) = f(x )+f (x )periodcentered (xminus x )+ periodcentered (xminus x ) +periodcentered periodcentered periodcentered + periodcentered (xminus x ) .
n 0 0 0 0 0
2! n!
T3(x) sin(x)T5(x)T1(x)
100 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Begrundung: Die k-te Ableitung von T an der Stelle x ist
dieresis n 0
(!)
(k) (k)
f (x ) = T (x )
0 0
n vextendsingle vextendsingle
0 1
= c periodcentered k! periodcentered (x minus x ) + c periodcentered (k + 1) periodcentered k periodcentered . . . periodcentered 2 periodcentered (x minus x ) + periodcentered periodcentered periodcentered = c periodcentered k!
vextendsingle
0 0
k k+1 k
x=x0
(k)
f (x )
0
arrowdblright c = .
k k!
Definition 6.23: (Taylorendash Polynome und endash Reihen)
Sei f mehrfach am Punkt x diff erenzierbar. Das Polynom
0
n (k)
summationdisplay f (x )
0 k
T (x) = periodcentered (x minus x )
n 0
k!
k=0
heißt Taylorendash Polynom" n-ten Grades von f am Entwicklungspunkt
quotedblright
x . Die unendliche Reihe
0
infinity (k)
summationdisplay f (x )
0 k
T (x) = periodcentered (x minus x )
0
k!
k=0
heißt Taylorendash Reihe" von f am Entwicklungspunkt x .0
quotedblright
Wozu Taylorendash Polynome? Taylorendash Polynome dienen dazu, komplizierte Funktio-
nen in unmittelbarer Umgebung eines Punktes x durch einfache Funktionen, 0
namlich Polynome, zu approximieren. Dadurch kann man oft das Verhalten der dieresis
Funktion in der Nahe spezieller Punkte einfach studieren.
dieresis
Taylorendash Polynome nahern die Funktion an fur Werte x, die
dieresis dieresis
dicht beim Entwicklungspunkt x liegen: T (x) approxequal f(x). Je
0 n
hoher n und je kleiner der Abstand x minus x , um so besser ist
dieresis 0
die Approximation.
Hier eine Graphik einiger Taylorendash Polynome der Funktion f(x) = sin(x) um den
Punkt x = 0:
0
Eine erste Taylorendash Reihenberechnung:
x
Beispiel 6.24: Wir berechnen die Taylorendash Reihe von f(x) = e um x = 0. Wegen 0
prime prime prime x 0
0
f(x ) = f (x ) = f (x ) = periodcentered periodcentered periodcentered = e = e = 1 ist die Taylorendash Reihe
0 0 0
2
1 1 x
x 2
e = 1 + periodcentered (x minus 0) + periodcentered (x minus 0) + periodcentered periodcentered periodcentered = 1 + x + + periodcentered periodcentered periodcentered .
1! 2! 2
Die in Beispiel 3.24 vorgestellte Reihendarstellung der Exponentialfunktion ist also
nichts anderes als die Taylorendash Entwicklung um den Nullpunkt. Das selbe gilt fur die dieresis
Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen aus Definition 5.10: mit
prime prime prime (3) (4)
f(x) = sin(x), f (x) = cos(x), f (x) = minus sin(x), f (x) = minus cos(x), f (x) = sin(x)
folgt (0) (4) (8)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = 0,
(1) (5) (9)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = 1,
(2) (6) (10)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = 0,
(3) (7) (11)
f (0) = f (0) = f (0) = . . . = minus 1
infinity (k) 3 5
summationdisplay f (0) x x
k
arrowdblright sin(x) = periodcentered x = x minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered .
k! 3! 5!
k=0
Analog fur f(x) = cos(x):
dieresis
infinity (k) 2 4
summationdisplay f (0) x x
k
cos(x) = periodcentered x = 1 minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered .
k! 2! 4!
k=0
Nun eine Anwendung der Taylorendash Entwicklung:
Beispiel 6.25: (Vergleiche auch mit Beispiel 4.12) Betrachte die Funktion
bracelefttp 1 minus cos(x)
braceex
braceex fur x negationslash = 0,
dieresis
braceleftmid 2
x
f(x) = braceex 1
braceex
braceleftbt fur x = 0.
dieresis
2
Wir behaupten, dass f auch an der Stelle x = 0 stetig ist. Wir approximieren cos(x)
durch die Taylorendash Entwicklung um den Punkt x = 0. Fur x negationslash = 0 gilt
dieresis
0
parenleftBig parenrightBig
2x 2
4 x 4
1 minus 1 minus + O(x ) 4
+O(x )
2
1 minus cos(x) 1 O(x ) 1 2
2
f(x) = = = = + = +O(x ).
2 2 2 2
x x x 2 x 2
parenleftBig parenrightBig
1 1
2
Hiermit ist nun klar: lim f(x) = lim + O(x ) = .
xarrowright 0 xarrowright 0 2 2
102 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Beispiel 6.26: In MuPAD ist die Funktion taylor dafur zustandig, den Beginn einer dieresis dieresis
Taylorendash Entwicklung zu berechnen:
>> taylor(exp(x), x = 0)
2 3 4 5
x x x x 6
1 + x + -- + -- + -- + --- + O(x )
2 6 24 120
1
Die Taylorendash Entwicklung von f(x) = um x = 0 ist die geometrische Reihe aus
0
1minus x
Beispiel 3.3. Es werden 10 Terme berechnet:
>> taylor(1/(1 - x), x = 0, 10)
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 + x + x + x + x + x + x + x + x + x + O(x )
Der folgende Befehl berechnet eine Taylorendash Entwicklung um x = pi :
0
>> taylor(2 + sin(x)*cos(x), x = PI)
3 5
2 (x - PI) 2 (x - PI) 6
2 + (x - PI) - ----------- + ----------- + O((x - PI) )
3 15
radical 12
Beispiel 6.27: Betrachte f(x) = 1 minus 1 minus x = 1 minus (1 minus x) . Wie kann man Werte
f(x) fur kleines x ohne technische Hilfsmittel ausrechnen? Zunachst die Berechnung dieresis dieresis
der ersten Taylorendash Polynome. Als Entwicklungspunkt wahlen wir x = 0, da wir uns dieresis 0
fur kleine Werte von x interessieren. Man braucht Ableitungen von f(x) am Entwickdieresis
lungspunkt x = 0:
0
12
f(x) = 1 minus (1 minus x) , f(0) = 0,
1
1 1
prime minus prime
2
f (x) = periodcentered (1 minus x) , f (0) = ,
2 2
3
1 1
prime prime minus prime prime
2
f (x) = periodcentered (1 minus x) , f (0) = ,
4 4
...
Hiermit folgt die Entwicklung
prime prime
radical f (0)
prime 2
f(x) = 1 minus 1 minus x approxequal f(0) + f (0) periodcentered (x minus x ) + periodcentered (x minus x ) + periodcentered periodcentered periodcentered
0 0
2!
2
x x
= 0 + + + periodcentered periodcentered periodcentered .
2 8
Nun ja, die Terme der Entwicklung sind in der Tat so alle berechenbar, aber das ist
ziemlich muhselig. Bequemer mit MuPAD:
dieresis
>> taylor(1 - sqrt(1 - x), x)
2 3 4 5
x x x 5 x 7 x 6
- + -- + -- + ---- + ---- + O(x )
2 8 16 128 256
Aus diesen Taylorendash Approximationen bekommt man z.B. fur x = 0.1:
dieresis
2 3
0.1 0.1 0.1
f(0.1) = + + + periodcentered periodcentered periodcentered
2 8 16
= 0.05
+ 0.00125
+ 0.0000625
+ periodcentered periodcentered periodcentered
= 0.05131...
Man sieht der Entwicklung geradezu an, dass die noch nicht berucksichtigten Terme der
dieresis
Entwicklung die angegebenen Dezimalstellen nicht mehr beeinflussen, d.h., die ersten 3
bis 4 Ziff ern sind korrekt. Probe mit MuPAD:
>> 1 - sqrt(0.9)
0.05131670195
Fur Taylorendash Polynome endlichen Grades ist es zumindestens intuitiv klar, dass dieresis
sie eine Approximation der Funktion liefern, wenn nur x dicht genug beim Ent-
wicklungspunkt x liegt. Es verbleibt jedoch zu klaren, ob die unendliche Reihe dieresis 0
gegen f(x) konvergiert (bzw., wie weit entfernt x von x liegen darf, damit f(x) 0
durch die Taylorendash Reihe dargestellt wird).
Satz 6.28: (Restgliedformel der Taylorendash Approximation)
Sei f(x) in einer Umgebung des Punktes x (n + 1)-fach stetig diff eren-
0
zierbar. Sei x aus dieser Umgebung. Dann existiert ein Punkt xi im off enen
Intervall zwischen x und x , so dass gilt:
0
n (k) (n+1)
summationdisplay f (x ) f (xi )
0 k n+1
f(x) = periodcentered (x minus x ) + periodcentered (x minus x ) .
0 0
k! (n+ 1)!
k=0 bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright Restglied"
Taylorendash Polynom vom Grad n quotedblright
Beweis: (fur technisch Interessierte) Wir halten x fest und fassen das Taylorendash dieresis
Polynom als Funktion des Entwicklungspunkts x auf:
0
n (k)
summationdisplay f (t) k
T (t) = periodcentered (x minus t) .
n k!
k=0
104 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Die Ableitung dieser Funktion ist eine Teleskopsumme:
n n
(k+1) (k)
summationdisplay summationdisplay
d f (t) f (t)
k kminus 1
T (t) = periodcentered (x minus t) minus periodcentered k periodcentered (x minus t)
n
dt k! k!
k=0 k=0
n n
(k+1) (k)
summationdisplay summationdisplay
f (t) f (t)
k kminus 1
= periodcentered (x minus t) minus periodcentered (x minus t)
k! (k minus 1)!
k=0 k=1
n nminus 1
(k+1) (k+1)
summationdisplay summationdisplay
f (t) f (t)
k k
= periodcentered (x minus t) minus periodcentered (x minus t)
k! k!
k=0 k=0
(n+1)
f (t) n
= periodcentered (x minus t) .
n!
Betrachte die Hilfsfunktion
n+1 n+1
g(t) = (x minus x ) periodcentered T (t) + (x minus t) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n n 0
mit festem x und x , fur die
dieresis
0
n+1 n+1
g(x ) = (x minus x ) periodcentered T (x ) + (x minus x ) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 0 n 0 0 n 0
n+1
= (x minus x ) periodcentered f(x),
0
n+1 n+1
g(x) = (x minus x ) periodcentered T (x) = (x minus x ) periodcentered f(x)
0 n 0
gilt, also g(x) = g(x ). Nach dem Satz von Rolle 6.19 gibt es ein xi im off enen
0
Intervall zwischen x und x , wo die Ableitung
0
d d
n+1 n
g(t) = (x minus x ) periodcentered T (t) minus (n + 1) periodcentered (x minus t) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n n 0
dt dt
(n+1)
f (t)
n+1 n n
= (x minus x ) periodcentered periodcentered (x minus t) minus (n + 1) periodcentered (x minus t) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n 0
n!
parenleftBig parenrightBig
(n+1)
f (t)
n n+1
= (x minus t) periodcentered (x minus x ) periodcentered minus (n + 1) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n 0
n!
verschwindet:
parenleftBig parenrightBig
(n+1)
f (xi )
n n+1
0 = (x minus xi ) periodcentered (x minus x ) periodcentered minus (n + 1) periodcentered (f(x) minus T (x ))
0 n 0
n!
(n+1)
f (xi ) n+1
arrowdblright f(x) minus T (x ) = periodcentered (x minus x ) .
n 0 0
(n + 1)!
Q.E.D.
Interpretation 6.29:
28.6.02arrowdown
Das Restglied
n
(n+1) (k)
summationdisplay
f (xi ) f (x )
0
n+1 k
periodcentered (x minus x ) = f(x) minus periodcentered (x minus x )
0 0
(n + 1)! k!
k=1
ist die Diff erenz zwischen der Funktion f(x) und dem n-ten Taylorendash
Polynom um x . Die Funktion wird genau dann durch die unendliche 0
Taylorendash Reihe dargestellt, wenn das Restglied bei festem x, x fur n arrowright infinity dieresis 0
gegen 0 konvergiert. Sind z.B. alle Ableitungen von f beschrankt, so ist dieresis
dies fur beliebiges x und x der Fall, denn n! wachst schneller gegeben
dieresis dieresis
0
n
infinity als |x minus x | fur jeden Wert von |x minus x |. Dies erklart z.B., dass die
dieresis dieresis
0 0
trigonometrischen Funktionen sin und cos, deren Ableitungen nur Werte
in [minus 1, 1] annehmen, global durch ihre Taylorendash Reihen dargestellt werden
(wir haben sie in Definition 5.10 ja auch uber diese Reihen eingefuhrt).
dieresis dieresis
Beispiel 6.30: Wir betrachten die Taylorendash Entwicklung von f(x) = ln(1 + x) um den
Punkt x = 0:
0
1 1 2
prime prime prime (3)
f(x) = ln(1 + x), f (x) = , f (x) = minus , f (x) = ,
2 3
1 + x (1 + x) (1 + x)
kminus 1
(minus 1) periodcentered (k minus 1)!
(k)
. . . , f (x) = .
k
(1 + x)
(k) kminus 1
Mit f (0) = (minus 1) periodcentered (k minus 1)! folgt als Taylorendash Reihe
infinity infinity
(k) k 2 3
summationdisplay summationdisplay
f (0) x x x
k kminus 1
ln(1 + x) = periodcentered x = (minus 1) periodcentered = x minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered ,
k! k 2 3
k=0 k=1
die die Funktion darstellt, solange die Restglieder
(n+1) n n+1
f (xi ) (minus 1) periodcentered x
n+1
periodcentered x = n+1
(n + 1)! (1 + xi ) periodcentered (n + 1)
gegen 0 konvergieren. Dies ist fur positives x lessequal 1 mit 0 < xi < x lessequal 1 off ensichtlich der
dieresis
Fall: n+1 n+1
x x 1 narrowright infinity
lessequal lessequal minus arrowright 0.
n+1
(1 + xi ) periodcentered (n + 1) n + 1 n + 1
Speziell fur x = 1 ergibt sich der Wert der alternierenden harmonischen Reihe:
dieresis
1 1 1
ln(2) = 1 minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered .
2 3 4
1 1
Fur negatives x greaterequal minus gilt minus lessequal x < xi < 0:
dieresis 2 2
vextendsingle vextendsingle
n+1 n+1 n+1
x |x| (1/2) 1 narrowright infinity
vextendsingle vextendsingle = lessequal = minus arrowright 0,
vextendsingle vextendsingle
n+1 n+1 n+1
(1 + xi ) periodcentered (n + 1) (1 + xi ) periodcentered (n + 1) (1/2) periodcentered (n + 1) n + 1
106 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG d.h., auch hier konvergiert das Restglied gegen 0. Weiterhin konvergiert die Taylorendash
1
Reihe auch fur minus 1 < x < minus gegen ln(1 + x), was wir aus unserer Restgliedformel
dieresis 2
allerdings nicht herausbekommen (es gibt alternative Restgliedformeln, die dieses Re-
sultat liefern). Zusammengefaßt:
2 3
x x
ln(1 + x) = x minus + plusminus periodcentered periodcentered periodcentered fur x element (minus 1, 1].
dieresis
2 3
Fur |x| > 1 sowie fur x = minus 1 divergiert die Taylorendash Reihe.
dieresis dieresis
6.4 Monotonie, Extremwerte
Eine der wichtigsten Anwendungen der Diff erentiation ist das Auffi nden von
Extremwerten. Dazu stellen wir zunachst fest, dass Ableitungswerte (= Tandieresis gentensteigungen) auf ansteigendes oder abfallendes Verhalten der Funktion
hinweisen:
Satz 6.31: (Ableitungen weisen auf Monotonie hin)
prime prime
Sei f diff erenzierbar, die Ableitungsfunktion f sei stetig. Gilt f (x ) > 0,
0
so ist f auf einer Umgebung von x streng monoton steigend. Gilt
0
prime
f (x ) < 0, so ist f auf einer Umgebung von x streng monoton fallend.
0 0
prime prime prime
Beweis: Da f stetig ist, gilt fur f (x ) > 0, dass f auch noch auf einer Umgedieresis 0
bung von x positiv ist. Fur x, y aus dieser Umgebung von x mit x < y liefert dieresis 0 0
der Mittelwertsatz 6.20
prime
f(y) minus f(x) = f (xi ) periodcentered (y minus x) > 0
mit einem Zwischenwert xi zwischen x und y. Damit ist f(x) monoton steigend
prime
auf einer Umgebung des Punktes x, auf der fur den Zwischenwert f (xi ) > 0 gilt. dieresis
prime
Analog folgt, dass f(x) monoton fallend ist, wenn mit f (x ) < 0 die Ableitung 0
auf einer Umgebung von x negative Werte annimmt.
0
Q.E.D. Intuitiv: mit der Interpretation der Ableitung 6.4 ist dies unmittelbar klar. Fur dieresis
kleines Delta x gilt:
prime
f(x + Delta x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered Delta x.
0 0 0
Extrema sind die Stellen, wo die Funktion auf der einen Seite" steigend, auf quotedblright quotedblright
der anderen Seite" fallend ist:
6.4. MONOTONIE, EXTREMWERTE 107
Satz 6.32: (An Extremstellen verschwindet die Ableitung)
Sei f diff erenzierbar. Ist die Stelle x ein (lokales) Maximum oder Mini-
0
prime
mum, so gilt f (x ) = 0.
0
Man findet also alle Kandidaten fur Extremstellen einer Funktion f ,
dieresis
prime
indem man die Nullstellen von f sucht.
Beweis: Genau wie im Beweis des Satzes von Rolle 6.19.
Q.E.D.
2
Beispiel 6.33: Betrachte f(x) = 2 periodcentered x minus x :
d d (!)
2
f(x) = (2 periodcentered x minus x ) = 2 minus 2 periodcentered x = 0 =arrowdblright x = 1.
dx dx
Damit ist x = 1 der einzige Punkt, an dem (moglicherweise) ein Extremum vorliegen
dieresis
0
kann.
prime
Es gibt allerdings Stellen x mit f (x ) = 0, die keine Extremstellen (sondern
0 0 3
sogenannte Sattelpunkte") sind. Beispiel: die Funktion f(x) = x ist streng
quotedblright prime 2
monoton steigend. Am Punkt x = 0 gilt f (x ) = 3 periodcentered x = 0, aber x ist kein
0 0 0
0
Extremum.
Satz 6.34: (Hinreichende Kriterien fur Extrema)
dieresis
Sei f mehrfach diff erenzierbar. Gilt an einer Stelle x0
prime prime prime
f (x ) = 0, f (x ) < 0,
0 0
so ist x ein lokales Maximum. Gilt
0
prime prime prime
f (x ) = 0, f (x ) > 0,
0 0
so ist x ein lokales Minimum.
0
Beweis": Approximiere f(x) in einer Umgebung von x durch das Taylorendash
0
quotedblright Polynom zweiten Grades:
prime prime
f (x )
0
prime 2
f(x) approxequal f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ) + periodcentered (x minus x ) .
0 0 0 0
2
prime
An einem Punkt x mit f (x ) = 0 gilt naherungsweise:
dieresis
0 0
prime prime
f (x )
0 2
f(x) approxequal f(x ) + periodcentered (x minus x ) .
0 0
2
2
Da (x minus x ) > 0 fur x negationslash = x ist, sind die Funktionswerte in der Umgebung
dieresis
0 0
prime prime prime prime
großer als f(x ), wenn f (x ) > 0 gilt (Minimum). Fur f (x ) < 0 sind die
dieresis dieresis
0 0 0
Funktionswerte in der Umgebung kleiner als f(x ) (Maximum).
-2.5-1.25 xx-2 -1 0 1 201.252.53.75 yyx + 4*x^2 - x^4 - 1
108 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
2 4
Beispiel 6.35: Betrachte f(x) = x + 4 x minus x minus 1:
>> f:= x -> x + 4*x^2 - x^4 - 1:
>> plotfunc2d(f(x), x = -2..2)
Um die Kandidaten fur die Extrema zu finden, werden (numerische Approximationen dieresis prime
der) Losungen der Gleichung f (x) = 0 berechnet. Fur numerische Losungen sind die dieresis dieresis dieresis
MuPAD-Funktionen numeric::solve oder auch numeric::fsolve zustandig. Fur podieresis dieresis
lynomiale Gleichungen wird eine Menge aller Losungen geliefert. Die einzelnen Losungen dieresis dieresis
lassen sich durch indizierten Zugriff " Kandidaten[1] etc. auswahlen:
dieresis
quotedblright
>> Kandidaten:= numeric::solve(f'(x) = 0, x)
{-1.346997409, -0.1260001926, 1.472997601}
Diese Werte werden in die 2-te Ableitung von f eingesetzt:
>> f''(Kandidaten[1])
-13.77282422
>> f''(Kandidaten[2])
7.809487418
>> f''(Kandidaten[3])
-18.0366632
Nach Satz 6.34 ist der erste Kandidat ein Maximum, der zweite Kandidat ein Minimum,
der dritte Kandidat ein Maximum. Die Graphik bestatigt dies.
dieresis
6.5 Die de l'Hospitalsche Regel
4.7.02arrowdown 0
In endash Situationen kann man durch Ableiten auch Grenzwerte bestimmen.
6.5. DIE DE L'HOSPITALSCHE REGEL 109
Satz 6.36: (de l'Hospitalsche Regel)
Seien f und g diff erenzierbar, es gelte f(x ) = g(x ) = 0. Dann gilt
0 0
prime
f(x) f (x)
lim = lim ,
prime
xarrowright x xarrowright x
g(x) g (x)
0 0
falls der rechte Grenzwert existiert.
Beweis:" Intuitiv: Approximiere Zahler und Nenner durch das Taylorendash dieresis
quotedblright Polynom ersten Grades:
prime prime prime
f(x) f(x ) + f (x ) periodcentered (x minus x ) f (x ) periodcentered (x minus x ) f (x )
0 0 0 0 0 0
approxequal = = .
prime prime prime
g(x) g(x ) + g (x ) periodcentered (x minus x ) g (x ) periodcentered (x minus x ) g (x )
0 0 0 0 0 0
Fur eine saubere Durchfuhrung des Beweises benutze man den Mittelwertdieresis
dieresis
prime prime
satz 6.20 (unter der Zusatzannahme, dass f und g stetig seien. Die Regel
gilt aber auch ohne diese Stetigkeit.)
Q.E.D.
Beispiel 6.37: Betrachte erneut die Funktion
bracelefttp x
e minus 1
braceex
braceleftmid fur x negationslash = 0,
dieresis
x
f(x) = braceex
braceleftbt 1 fur x = 0
dieresis
0
aus Beispiel 4.12. Fur den Punkt x = 0 liegt eine endash Situation vor. Mit de l'Hospital
dieresis 0 0
folgt d x
x x
(e minus 1)
e minus 1 e x 0
dx
lim = lim = lim = lim e = e = 1,
d
xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0
x 1
x
dx
wobei in jedem Schritt die Existenz des jeweils rechts stehenden Grenzwerts vorausge-
setzt wird (was gerechtfertigt ist, sobald man ganz rechts angekommen ist).
Die de l'Hospitalsche Regel kann auch mehrfach hintereinander angewendet wer-
den:
2periodcentered x
e minus 1 minus 2 periodcentered x
Beispiel 6.38: Betrachte lim . Nach einer Anwendung von de l'Hospital
2
xarrowright 0 x 0
triff t man beim Quotienten der Ableitungen wieder auf eine endash Situation und kann de 0
l'Hospital erneut anwenden:
d 2periodcentered x
2periodcentered x 2periodcentered x
(e minus 1 minus 2 periodcentered x)
e minus 1 minus 2 periodcentered x 2 periodcentered e minus 2
dx
lim = lim = lim
d
2 2
xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0
x 2 periodcentered x
x
dx
d 2periodcentered x
2periodcentered x 2periodcentered x
(e minus 1)
e minus 1 2 periodcentered e 2periodcentered 0
dx
= lim = lim = lim = 2 periodcentered e = 2.
d
xarrowright 0 xarrowright 0 xarrowright 0
x 1
x
dx
110 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG
Bemerkung 6.39: Die de l'Hospitalsche Regel
prime
f(x) f (x)
lim = lim prime
xarrowright x xarrowright x
g(x) g (x)
0 0
gilt auch fur lim f(x) = lim g(x) = infinity .
dieresis xarrowright x xarrowright x
0 0
1 1
prime prime
Beispiel 6.40: Mit f(x) = ln(x + 1), g(x) = ln(x), f (x) = , g (x) = :
x+1 x
1
ln(x + 1) x 1
(asteriskmath )
x+1
lim = lim = lim = lim = 1,
1
xarrowright infinity xarrowright infinity xarrowright infinity xarrowright infinity
ln(x) x+ 1 1
x
wobei in (asteriskmath ) de l'Hospital ein zweites Mal angewendet wurde.
Beispiel 6.41: Mit kleinen Tricks bekommt man eine de l'Hospital-Technik auch
infinity
sofort fur Situationen wie z.B. 0 periodcentered infinity oder auch 1 .
dieresis
Fur 0 periodcentered infinity ist der Standardtrick, infinity als 1/0 (oder manchmal 0 als 1/infinity ) zu schreiben. dieresis
Z.B.: d 1/x
1/x (e minus 1)
e minus 1
1/x dx
lim x periodcentered (e minus 1) = lim = lim d 1
xarrowright infinity xarrowright infinity xarrowright infinity
1/x dx x
1 1/x
minus periodcentered e
2 1/x
x
= lim = lim e = 1.
1
xarrowright infinity xarrowright infinity
minus 2x
1
Hierbei wurde die ursprungliche infinity periodcentered 0endash Situation durch das Umschreiben x = in
dieresis 1/x
0
eine endash Situation verwandelt, auf die de l'Hospital anwendbar ist.
0
infinity
Fur eine 1 endash Situation ist der Standardtrick, die identische Abbildung in der Form
dieresis infinity
y = exp(ln(y)) einzubringen, was die 1 endash Situation in ein 0 periodcentered infinity endash Problem verwandelt
(welches dann wie oben zu behandeln ist). Beispiel:
lim (x periodcentered ln(x))
x
x ln(x ) xperiodcentered ln(x) xarrowright 0+0
lim x = lim e = lim e = e .
xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0
Hier ist das 0periodcentered (minus infinity )endash Problem lim x periodcentered ln(x) entstanden, was wie oben per de l'Hospital
xarrowright 0+0
infinity minus infinity
gelost wird, indem es in ein endash Problem (genauer: in ein endash Problem) umgeschrieben
dieresis infinity infinity
wird:
d 1
ln(x)
ln(x) dx x
lim x periodcentered ln(x) = lim = lim = lim = lim (minus x) = 0
1
d 1
xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0 xarrowright 0+0
1/x minus 2x
dx x
lim x periodcentered ln(x)
x 0
xarrowright 0+0
arrowdblright lim x = e = e = 1.
xarrowright 0+0
Der Grenzwert wird durch die folgende MuPADendash Graphik bestatigt:
dieresis
xx0 0 0.25 0.5 0.75 10.250.50.75yy 1 x^x
6.5. DIE DE L'HOSPITALSCHE REGEL 111
>> plotfunc2d(x^x, x = 0..1, ViewingBox = [0..1, 0..1])