Kapitel 6

Differentialrechnung

6.1 Definitionen und Sätze

↓20.6.02

Im Prinzip könnten die meisten der folgenden Überlegungen und Definitionen ohne große Änderungen für komplexe Funktionen f : ℂ → ℂ durchgeführt werden. Wir beschränken uns hier jedoch auf reelle Funktionen f : ℝ → ℝ. Zunächst die Definition einer Ableitung als Grenzwert von ”Sekantensteigungen“:

Definition 6.1: (Die Ableitung einer Funktion)

Eine Funktion f : D ↦ ℝ heißt ”differenzierbar am Punkt x“, wenn der Grenzwert

f′(x) := lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}

existiert. Der Grenzwert f′(x) heißt ”Ableitung von f am Punkt x“. Alternative Schreibweisen (mit y = f(x)):

\frac{dy}{dx} = y′(x) = \frac{d}{dx}f(x) = f′(x).

Ist f an jedem Punkt x des Definitionsbereichs D differenzierbar, so heißt die Abbildung f′ : x ↦ f′(x) ”Ableitungsfunktion“ (kurz: ”Ableitung von f“).

Bemerkung 6.2: Ist eine Funktion an einem Punkt differenzierbar, so ist sie dort auch stetig:

lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} existiert ⇒ f(x + h) − f(x) = O(h)

⇒ f(x + h) = f(x) + O(h) ⇒ lim_{h→0} f(x + h) = f(x).

Damit kann eine Funktion nur an Stetigkeitspunkten differenzierbar sein.

Geometrische Interpretation der Ableitung 6.3:

Für kleines Δx = h ≠ 0 ist der ”Differenzenquotient“

\frac{Δf}{Δx} = \frac{f(x + Δx) − f(x)}{(x + h) − x} = \frac{f(x + h) − f(x)}{h} ≈ f′(x)

die Sekantensteigung vom Punkt (x, f(x)) zum Punkt (x + h, f(x + h)) auf dem Graphen von x:

Die Ableitung f′(x) selbst, d.h., der Grenzwert der Sekantensteigung für Δx = h → 0, ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f am Punkt x.

Zur Erinnerung an die Schule: die Tangente T durch den Punkt (x_{0}, f(x_{0})) mit der Steigung f′(x_{0}) ist der Graph der linearen Funktion

T (x) = f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}).

Interpretation der Ableitung 6.4:

Die Ableitung gibt an, wie stark sich f(x) ändert, wenn sich x um einen kleinen Wert Δx ändert:

\frac{f(x + Δx) − f(x)}{Δx} ≈ f′(x),

d.h.

f(x + Δx) ≈ f(x) + f′(x) · Δx .

Die Definition der Ableitung über den Grenzwert von Sekantensteigungen ist praktisch unnütz, da nur in den allereinfachsten Fällen handhabbar, z.B., bei:

Beispiel 6.5: Betrachte f(x) = x^{2}:

f′(x) = lim_{h→0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h} = lim_{h→0} \frac{(x + h)^{2} − x^{2}}{h}

= lim_{h→0} \frac{x^{2} + 2 · x · h + h^{2} − x^{2}}{h} = lim_{h→0} \frac{2 · x · h + h^{2}}{h} = lim_{h→0}(2 · x + h) = 2 · x.

Für das praktische Rechnen verläßt man sich wiederum auf Rechenregeln:

Satz 6.6: (Rechenregeln für’s Ableiten)

Ableitungen einiger spezieller Funktionen (sei hierbei c eine konstante Zahl):

\frac{d}{dx} c = 0, \frac{d}{dx} x^{n} = n · x^{n−1}, \frac{d}{dx} e^{x} = e^{x}, \frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{x},

\frac{d}{dx} sin(x) = cos(x), \frac{d}{dx} cos(x) = − sin(x).

Die Ableitung einer aus einfachen Funktionen zusammengesetzten Funktion ist über folgende Regeln zu berechnen. Seien f und g differenzierbare Funktionen. Die Ableitung der zusammengesetzten Funktion (f + g, f · g etc.) existiert jeweils, wenn f und g ableitbar sind:

• \frac{d}{dx} c · f(x) = c · f′(x),

• \frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = f′(x) + g′(x) (”Summenregel“),

• \frac{d}{dx} f(x) · g(x) = f′(x) · g(x) + f(x) · g′(x) (”Produktregel“)

• \frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)}{g(x)^{2}} (”Quotientenregel“).

Bei der Quotientenregel wird g(x) ≠ 0 vorausgesetzt (sonst teilt man durch 0).

Beweis: Die Ableitung von x^{n}, e^{x}, sin(x), cos(x) wird in Übungsaufgaben behandelt. Die Ableitung von ln(x) wird später in Beispiel 6.18 hergeleitet. Die Linearität (c · f)′ = c · f′ und (f + g)′ = f′ + g′ folgt unmittelbar aus den Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen. Die Produktregel ergibt sich durch den Grenzwert von

\frac{f(x + h) · g(x + h) − f(x) · g(x)}{h}

92 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG

= \frac{f(x + h) − f(x)}{h} · g(x + h) + f(x) · \frac{g(x + h) − g(x)}{h}

für h → 0. Die Ableitung von 1/g(x) ergibt sich aus

\frac{\frac{1}{g(x+h)} − \frac{1}{g(x)}}{h} = −\frac{g(x + h) − g(x)}{h} · \frac{1}{g(x + h) · g(x)}

zu

(\frac{1}{g(x)})′ = −\frac{g′(x)}{g(x)^{2}} .

Zusammen mit der Produktregel liefert dies die Quotientenregel

(\frac{f(x)}{g(x)})′ = (f(x) · \frac{1}{g(x)})′ = \frac{f′(x)}{g(x)} − f(x) · \frac{g′(x)}{g(x)^{2}} .

Q.E.D.

Beispiel 6.7:

\frac{d}{dx} ^{3} \sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} · x^{\frac{1}{3} −1} = \frac{1}{3} · x^{− \frac{2}{3}} = \frac{1}{3} · \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{3} · \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} .

Beispiel 6.8: Summen- und Produktregel:

\frac{d}{dx} (x + x^{2} · e^{x}) = (\frac{d}{dx} x) + \frac{d}{dx}(x^{2} · e^{x})

= (\frac{d}{dx} x) + (\frac{d}{dx} x^{2}) · e^{x} + x^{2} · (\frac{d}{dx} e^{x}) = 1 + 2 · x · e^{x} + x^{2} · e^{x}.

Beispiel 6.9: Quotientenregel:

\frac{d}{dx} \frac{e^{x}}{x} = \frac{(\frac{d}{dx} e^{x}) · x − e^{x} · (\frac{d}{dx} x)}{x^{2}} = \frac{e^{x} · x − e^{x} · 1}{x^{2}} = \frac{e^{x}}{x} − \frac{e^{x}}{x^{2}} .

6.1. DEFINITIONEN UND SÄTZE 93

Beispiel 6.10:

\frac{d}{dx} \frac{cos(x) · e^{x}}{x} = \frac{(\frac{d}{dx} (cos(x) · e^{x})) · x − cos(x) · e^{x} · (\frac{d}{dx} x)}{x^{2}}

= \frac{((\frac{d}{dx} cos(x)) · e^{x} + cos(x) · (\frac{d}{dx} e^{x})) · x − cos(x) · e^{x} · (\frac{d}{dx} x)}{x^{2}}

= \frac{( − sin(x) · e^{x} + cos(x) · e^{x}) · x − cos(x) · e^{x} · 1}{x^{2}}

= \frac{− sin(x) · e^{x} · x + cos(x) · e^{x} · x − cos(x) · e^{x}}{x^{2}}

= −\frac{sin(x) · e^{x}}{x} + \frac{cos(x) · e^{x}}{x} − \frac{cos(x) · e^{x}}{x^{2}} .

Beispiel 6.11: Bequemer geht’s mit MuPAD. Die Funktion diff ist für’s Differenzieren von Ausdrücken zuständig:

>> diff(cos(x)*exp(x)/x, x)
         cos(x) exp(x)   cos(x) exp(x)   sin(x) exp(x)
         ------------- - ------------- - -------------
               x               2               x
                              x

(Vergleiche mit Beispiel 6.10.) Alternativ können Funktionen (aber keine Ausdrücke) mittels ′ differenziert werden:

>> f:= x -> cos(x)*exp(x)/x:
>> f'(x)
         cos(x) exp(x)   cos(x) exp(x)   sin(x) exp(x)
         ------------- - ------------- - -------------
               x               2               x
                              x

So setzt man konkrete Werte in die Ableitung ein:

>> f'(1), f'(2)
                      cos(2) exp(2)   sin(2) exp(2)
      -sin(1) exp(1), ------------- - -------------
                            4               2

>> f'(PI) = float(f'(PI))
         exp(PI)   exp(PI)
         ------- - ------- = -5.02126887
             2       PI
           PI

21.6.02↓ Wie steht’s mit der Ableitung von ”Hintereinanderschaltungen“ (”Komposition“) von Funktionen wie z.B. sin(\sqrt{x})?

Satz 6.12: (Die Kettenregel)

Sei g : D_{g} ↦ D_{f} ⊂ ℝ differenzierbar am Punkt x ∈ D_{g}. Sei f : D_{f} ↦ ℝ differenzierbar am Punkt g(x) ∈ D_{f}. Dann ist die Funktion h(x) = f(g(x)) differenzierbar am Punkt x, und es gilt:

\frac{d}{dx} h(x) = \frac{d}{dx} f(g(x)) = \underbrace{f′(g(x))}_{”äußere Ableitung“} · \underbrace{g′(x)}_{”innere Ableitung“} .

Als Merkregel für y = g(x), z = f(y) = f(g(x)):

\frac{d}{dx} f(g(x)) = \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} · \frac{dy}{dx} = f′(y) · g′(x).

Beweis: Es gilt

\frac{f(g(x + h)) − f(g(x))}{h}

= \frac{f(g(x) + h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}) − f(g(x))}{h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}} · \frac{g(x + h) − g(x)}{h}.

Für h → 0 konvergiert \frac{g(x+h)−g(x)}{h} gegen g′(x) und k := h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h} gegen 0:

lim_{h→0} \frac{f(g(x) + h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}) − f(g(x))}{h · \frac{g(x+h)−g(x)}{h}}

= lim_{k→0} \frac{f(g(x) + k) − f(g(x))}{k} = f′(g(x)).

Q.E.D.

Beispiel 6.13: Für g(x) = \sqrt{x} gilt

g′(x) = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} · x^{\frac{1}{2} −1} = \frac{1}{2} · \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} · \frac{1}{\sqrt{x}}.

Zusammen mit f(y) = sin(y), f′(y) = cos(y) folgt:

\frac{d}{dx} sin(\underbrace{\sqrt{x}}_{y}) = (\frac{d}{dy} sin(y)) · (\frac{d}{dx} \sqrt{x} ) = cos(y) · \frac{1}{2} · \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{cos(\sqrt{x})}{2 · \sqrt{x}}.

Definition 6.14: (Höhere Ableitungun)

Die Funktion f sei differenzierbar, sei f′ die Ableitungsfunktion. Ist diese wiederum differenzierbar, so heißt f′′ = (f′)′ die ”zweite Ableitung von f“. Ist diese wiederum differenzierbar, so heißt f′′′ = (f′′)′ die ”dritte Ableitung von f“. Usw. Schreibweisen für die n-te Ableitung einer Funktion f:

\frac{d^{n}}{dx^{n}} f(x) = f^{(n)}(x) = f \overbrace{^{′′··· ′′}}^{n}(x).

Die ”nullte“ Ableitung f^{(0)} ist die Funktion f selbst. Ist die n-te Ableitung f^{(n)} eine stetige Funktion in x, so heißt f ”n-fach stetig differenzierbar“.

Beispiel 6.15: Offensichtlich gilt exp = exp′ = exp′′ = exp′′′ etc. Die 4-te Ableitung der trigonometrischen Funktionen ist jeweils wieder die Ausgangsfunktion:

\frac{d}{dx} sin(x) = cos(x), \frac{d^{2}}{dx^{2}} sin(x) = − sin(x),
\frac{d^{3}}{dx^{3}} sin(x) = − cos(x), \frac{d^{4}}{dx^{4}} sin(x) = sin(x),
\frac{d}{dx} cos(x) = − sin(x) , \frac{d^{2}}{dx^{2}} cos(x) = − cos(x),
\frac{d^{3}}{dx^{3}} cos(x) = sin(x), \frac{d^{4}}{dx^{4}} cos(x) = cos(x).

96 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG

Beispiel 6.16: Höhere Ableitungen in MuPAD:

>> diff(exp(x^2), x, x) // zweite Ableitung
                          2       2      2
                   2 exp(x ) + 4 x  exp(x )
>> n := 6:
>> diff(exp(x^2), x $ n) // n-te Ableitung
          2         2      2         4      2        6      2
 120 exp(x ) + 720 x  exp(x ) + 480 x  exp(x ) + 64 x  exp(x )

Mit der Funktion subs (engl.: substitute = ersetze; gemeint ist: ersetze x durch einen Wert) kann man konkrete Werte in Ausdrücke einsetzen. Berechne den Wert der 50-ten Ableitung von sin(x^{2}) e^{x} an der Stelle x = 0:

>> diff(sin(x^2)*exp(x), x $ 50):
>> subs(%, x = 0)
- 32812427642492524028780884258717885804750 cos(0) exp(0) -
   9681156701774438433479738001098392167599 sin(0) exp(0)

Hier kommt eine Besonderheit von subs zutage: der ersetzte Ausdruck wird nicht sofort ”ausgewertet“. D.h. in diesem Fall, dass die Vereinfachungen cos(0) = 1, exp(0) = 1, sin(0) = 0 nicht automatisch geschehen. Die Funktion eval (engl.: evaluate = werte aus) erzwingt die Evaluation:

>> eval(%)
          -32812427642492524028780884258717885804750

Kennt man die Ableitung einer invertierbaren Funktion f, so kennt man auch die Ableitung der Umkehrabbildung f^{−1}. Es gilt

f^{−1}(f(y)) = y.

Leitet man beide Seiten der Gleichung nach y ab, so liefert die Kettenregel

f^{−1}′(f(y)) · f′(y) = \frac{d}{dy} y = 1 ⟹ f^{−1}′(f(y)) = \frac{1}{f′(y)}.

Satz 6.17: (Ableitung der Inversen)

Sei f differenzierbar und invertierbar, sei f^{−1} die Umkehrfunktion. Ist f′(y) ≠ 0, so ist f^{−1} an der Stelle x = f(y) differenzierbar, und es gilt

(f^{−1})′(x) = \frac{1}{f′(y)} = \frac{1}{f′(f^{−1}(x))}.

Merkregel: mit y = f^{−1}(x), x = f(y): (f^{−1})′(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{f′(y)}.

Beispiel 6.18: Für f^{−1} = ln als Umkehrfunktion der Funktion f = exp mit f′ = exp folgt mit x = exp(y), y = ln(x):

\frac{d}{dx} ln(x) = \frac{1}{f′(y)} = \frac{1}{exp(y)} = \frac{1}{exp(ln(x)} = \frac{1}{x}.

Hierbei ist x > 0 vorausgesetzt (damit ln(x) definiert ist). Für x < 0 gilt

\frac{d}{dx} ln(−x) = ln′(−x) · \frac{d}{dx} (−x) = \frac{1}{−x} · (−1) = \frac{1}{x}.

Für x > 0 ist |x| = x, für x < 0 ist |x| = −x. Zusammengefaßt gilt damit:

\frac{d}{dx} ln(|x|) = \frac{1}{x} für alle x ≠ 0.

An der Stelle x = 0 ist ln(|x|) unstetig und damit erst recht nicht differenzierbar.

6.2 Der Mittelwertsatz

Satz 6.19: (Der Satz von Rolle)

Sei f : [a, b] ↦ ℝ differenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Es gelte f(a) = f(b). Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit f′(ξ) = 0.

Beweis: O.b.d.A. sei f nicht konstant (sonst ist die Behauptung sicherlich richtig). Da f differenzierbar ist, ist f auch stetig. Nach Satz 4.22 gibt es ein Minimum oder ein Maximum ξ von f im Inneren des Intervalls (liegen sowohl das Minimum als auch das Maximum am Rand, müßte die Funktion konstant sein). Sei o.B.d.A. ξ ein Maximum (sonst betrachte −f). Mit f(ξ +h) ≤ f(ξ) für jedes h folgt für die einseitigen Grenzwerte

lim_{h→0+0} \frac{f(ξ + h) − f(ξ)}{h} ≤ 0, lim_{h→0−0} \frac{f(ξ + h) − f(ξ)}{h} ≥ 0.

Es folgt f′(ξ) = lim_{h→0} \frac{f(ξ + h) − f(ξ)}{h} = 0.

Q.E.D.

Satz 6.20: (Der Mittelwertsatz)

Sei f : [a, b] ↦ ℝ differenzierbar auf dem Intervall [a, b]. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit

\frac{f(a) − f(b)}{a − b} = f′(ξ).

Beweis: Betrachte g(x) = f(x) − (f(a) − f(b)) · \frac{x−b}{a−b}. Dies Funktion erfüllt g(a) = g(b) = f(b). Nach Satz 6.19 existiert ξ ∈ (a, b) mit

g′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(a) − f(b)}{a − b} = 0.

Q.E.D.

Bemerkung 6.21: Für alle x, y in einem Intervall [a, b] gilt nach dem Mittelentfällt↓

wertsatz

|f(x) − f(y)| = |f′(ξ)| · |x − y|

mit einem Punkt ξ zwischen x und y. Es folgt

|f(x) − f(y)| ≤ sup {|f′(ξ)|; ξ ∈ [a, b]} · |x − y|

Hiermit ist gezeigt, dass

k = sup {|f′(ξ)|; ξ ∈ [a, b]}

eine Kontraktionskonstante der Funktion f auf dem Intervall [a, b] ist (vergleiche Bemerkung 2.43).

6.3 Taylor–Reihen

ab hier↓

wieder↓

(behandelt↓) / (27.6.02↓)

Betrachte folgende Funktion, die nur in einer kleinen Umgebung eines Punktes x_{0} bekannt ist (genauer: es sind f(x_{0}), f′(x_{0}), f′′(x_{0}) etc. bekannt). Man interessiert sich für den Funktionswert an einem Punkt x in der Nähe von x_{0}:

In allereinfachster Näherung würde man (für x dicht bei x_{0})

f(x) ≈ f(x_{0})

setzen. Die nächstbessere Approximation besteht darin, der Tangente am Punkt x_{0} zu folgen:

f(x) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}).

Im obigen Fall ist deutlich, dass der Funktionswert oberhalb der Tangente zu suchen ist (die Funktion ist ”gebogen“: es gilt f′′(x_{0}) > 0). Es bietet sich an, einen quadratischen Term hinzuzufügen, um eine bessere Approximation zu erreichen:

f(x) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}) + c · (x − x_{0})^{2}.

Wie sollte die Konstante c gewählt werden, wie geht es weiter?

Vorüberlegung zu Taylor-Polynomen 6.22:

Zu einer mehrfach differenzierbaren Funktion f finde ein Polynom

T_{n}(x) = c_{0} + c_{1} · (x − x_{0}) + ⋯ + c_{n} · (x − x_{0})^{n},

dass sich an einem Punkt x_{0} ”möglichst eng an den Graphen von f anschmiegt“. D.h., es soll gelten:

f(x_{0}) = T_{n}(x_{0}), f′(x_{0}) = T′_{n}(x_{0}), …, f^{(n)}(x_{0}) = T_{n}^{(n)}(x_{0}).

Hierdurch ist das Polynom eindeutig bestimmt als

T_{n}(x) = f(x_{0})+f′(x_{0})·(x−x_{0})+ \frac{f′′(x_{0})}{2!} ·(x−x_{0})^{2}+⋯+ \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} ·(x−x_{0})^{n}.

Begründung: Die k-te Ableitung von T_{n} an der Stelle x_{0} ist

f^{(k)}(x_{0}) =^{(!)} T_{n}^{(k)}(x_{0})

= c_{k} · k! · (x − x_{0})^{0} + c_{k+1} · (k + 1) · k · . . . · 2 · (x − x_{0})^{1}|_{x=x_{0}} + ⋯ = c_{k} · k!

⇒ c_{k} = \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}.

Definition 6.23: (Taylor–Polynome und –Reihen)

Sei f mehrfach am Punkt x_{0} differenzierbar. Das Polynom

T_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}

heißt ”Taylor–Polynom“ n-ten Grades von f am Entwicklungspunkt x_{0}. Die unendliche Reihe

T (x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}

heißt ”Taylor–Reihe“ von f am Entwicklungspunkt x_{0}.

Wozu Taylor–Polynome? Taylor–Polynome dienen dazu, komplizierte Funktionen in unmittelbarer Umgebung eines Punktes x_{0} durch einfache Funktionen, nämlich Polynome, zu approximieren. Dadurch kann man oft das Verhalten der Funktion in der Nähe spezieller Punkte einfach studieren.

Taylor–Polynome nähern die Funktion an für Werte x, die dicht beim Entwicklungspunkt x_{0} liegen: T_{n}(x) ≈ f(x). Je höher n und je kleiner der Abstand x − x_{0}, um so besser ist die Approximation.

Hier eine Graphik einiger Taylor–Polynome der Funktion f(x) = sin(x) um den Punkt x_{0} = 0:

Eine erste Taylor–Reihenberechnung:

6.3. TAYLOR–REIHEN 101

Beispiel 6.24: Wir berechnen die Taylor–Reihe von f(x) = e^{x} um x_{0} = 0. Wegen f(x_{0}) = f′(x_{0}) = f′′(x_{0}) = ⋯ = e^{x_{0}} = e^{0} = 1 ist die Taylor–Reihe

e^{x} = 1 + \frac{1}{1!} · (x − 0) + \frac{1}{2!} · (x − 0)^{2} + ⋯ = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + · · · .

Die in Beispiel 3.24 vorgestellte Reihendarstellung der Exponentialfunktion ist also nichts anderes als die Taylor–Entwicklung um den Nullpunkt. Das selbe gilt für die Reihendarstellung der trigonometrischen Funktionen aus Definition 5.10: mit

f(x) = sin(x), f′(x) = cos(x), f′′(x) = − sin(x), f^{(3)}(x) = − cos(x), f^{(4)}(x) = sin(x)

folgt

\begin{aligned}f^{(0)}(0) & = & f^{(4)}(0) & = & f^{(8)}(0) & = & … & = & 0, \\ f^{(1)}(0) & = & f^{(5)}(0) & = & f^{(9)}(0) & = & … & = & 1, \\ f^{(2)}(0) & = & f^{(6)}(0) & = & f^{(10)}(0) & = & … & = & 0, \\ f^{(3)}(0) & = & f^{(7)}(0) & = & f^{(11)}(0) & = & … & = & −1 \end{aligned}

⇒ sin(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} · x^{k} = x − \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} ∓ · · · .

Analog für f(x) = cos(x):

cos(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} · x^{k} = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} ∓ · · · .

Nun eine Anwendung der Taylor–Entwicklung:

Beispiel 6.25: (Vergleiche auch mit Beispiel 4.12) Betrachte die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1 − cos(x)}{x^{2}} & für x ≠ 0, \\ \frac{1}{2} & für x = 0. \end{matrix}

Wir behaupten, dass f auch an der Stelle x = 0 stetig ist. Wir approximieren cos(x) durch die Taylor–Entwicklung um den Punkt x_{0} = 0. Für x ≠ 0 gilt

f(x) = \frac{1 − cos(x)}{x^{2}} = \frac{1 − (1 − \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}))}{x^{2}} = \frac{\frac{x^{2}}{2} + O(x^{4})}{x^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{O(x^{4})}{x^{2}} = \frac{1}{2} + O(x^{2}).

Hiermit ist nun klar: lim_{x→0} f(x) = lim_{x→0} (\frac{1}{2} + O(x^{2})) = \frac{1}{2}.

Beispiel 6.26: In MuPAD ist die Funktion taylor dafür zuständig, den Beginn einer Taylor–Entwicklung zu berechnen:

>> taylor(exp(x), x = 0)
                       2    3    4    5
                      x    x    x    x        6
              1 + x + -- + -- + -- + --- + O(x )
                      2    6    24   120

Die Taylor–Entwicklung von f(x) = \frac{1}{1−x} um x_{0} = 0 ist die geometrische Reihe aus Beispiel 3.3. Es werden 10 Terme berechnet:

>> taylor(1/(1 - x), x = 0, 10)
             2    3    4    5    6    7    8    9      10
    1 + x + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + x  + O(x  )

Der folgende Befehl berechnet eine Taylor–Entwicklung um x_{0} = π:

>> taylor(2 + sin(x)*cos(x), x = PI)
                             3             5
                   2 (x - PI)    2 (x - PI)              6
    2 + (x - PI) - ----------- + ----------- + O((x - PI) )
                        3            15

Beispiel 6.27: Betrachte f(x) = 1 − \sqrt{1 − x} = 1 − (1 − x)^{\frac{1}{2}} . Wie kann man Werte f(x) für kleines x ohne technische Hilfsmittel ausrechnen? Zunächst die Berechnung der ersten Taylor–Polynome. Als Entwicklungspunkt wählen wir x_{0} = 0, da wir uns für kleine Werte von x interessieren. Man braucht Ableitungen von f(x) am Entwicklungspunkt x_{0} = 0:

f(x) = 1 − (1 − x)^{\frac{1}{2}} , f(0) = 0,
f′(x) = \frac{1}{2} · (1 − x)^{− \frac{1}{2}} , f′(0) = \frac{1}{2},
f′′(x) = \frac{1}{4} · (1 − x)^{− \frac{3}{2}} , f′′(0) = \frac{1}{4},
...

Hiermit folgt die Entwicklung

f(x) = 1 − \sqrt{1 − x} ≈ f(0) + f′(0) · (x − x_{0}) + \frac{f′′(0)}{2!} · (x − x_{0})^{2} + ⋯

= 0 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{8} + · · · .

Nun ja, die Terme der Entwicklung sind in der Tat so alle berechenbar, aber das ist ziemlich mühselig. Bequemer mit MuPAD:

>> taylor(1 - sqrt(1 - x), x)
                    2    3      4      5
               x   x    x    5 x    7 x       6
               - + -- + -- + ---- + ---- + O(x )
               2   8    16   128    256

Aus diesen Taylor–Approximationen bekommt man z.B. für x = 0.1:

f(0.1) =  \frac{0.1}{2} + \frac{0.1^{2}}{8} + \frac{0.1^{3}}{16} + ⋯
=  0.05
+ 0.00125
+ 0.0000625
+ ⋯
=  0.05131...

Man sieht der Entwicklung geradezu an, dass die noch nicht berücksichtigten Terme der Entwicklung die angegebenen Dezimalstellen nicht mehr beeinflussen, d.h., die ersten 3 bis 4 Ziffern sind korrekt. Probe mit MuPAD:

>> 1 - sqrt(0.9)
                         0.05131670195

Für Taylor–Polynome endlichen Grades ist es zumindestens intuitiv klar, dass sie eine Approximation der Funktion liefern, wenn nur x dicht genug beim Entwicklungspunkt x_{0} liegt. Es verbleibt jedoch zu klären, ob die unendliche Reihe gegen f(x) konvergiert (bzw., wie weit entfernt x von x_{0} liegen darf, damit f(x) durch die Taylor–Reihe dargestellt wird).

Satz 6.28: (Restgliedformel der Taylor–Approximation)

Sei f(x) in einer Umgebung des Punktes x_{0} (n + 1)-fach stetig differenzierbar. Sei x aus dieser Umgebung. Dann existiert ein Punkt ξ im offenen Intervall zwischen x und x_{0}, so dass gilt:

f(x) = \underbrace{∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}}_{Taylor–Polynom vom Grad n} + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · (x − x_{0})^{n+1}}_{”Restglied“} .

Beweis: (für technisch Interessierte) Wir halten x fest und fassen das Taylor– Polynom als Funktion des Entwicklungspunkts x_{0} auf:

T_{n}(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} · (x − t)^{k}.

104 KAPITEL 6. DIFFERENTIALRECHNUNG Die Ableitung dieser Funktion ist eine Teleskopsumme:

\frac{d}{dt} T_{n}(t) = ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k} − ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} · k · (x − t)^{k−1}

= ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k} − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{(k − 1)!} · (x − t)^{k−1}

= ∑_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k} − ∑_{k=0}^{n−1} \frac{f^{(k+1)}(t)}{k!} · (x − t)^{k}

= \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} · (x − t)^{n}.

Betrachte die Hilfsfunktion

g(t) = (x − x_{0})^{n+1} · T_{n}(t) + (x − t)^{n+1} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))

mit festem x und x_{0}, für die

g(x_{0}) = (x − x_{0})^{n+1} · T_{n}(x_{0}) + (x − x_{0})^{n+1} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))
= (x − x_{0})^{n+1} · f(x),
g(x) = (x − x_{0})^{n+1} · T_{n}(x) = (x − x_{0})^{n+1} · f(x)

gilt, also g(x) = g(x_{0}). Nach dem Satz von Rolle 6.19 gibt es ein ξ im offenen Intervall zwischen x und x_{0}, wo die Ableitung

\frac{d}{dt} g(t) = (x − x_{0})^{n+1} · \frac{d}{dt} T_{n}(t) − (n + 1) · (x − t)^{n} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))

= (x − x_{0})^{n+1} · \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} · (x − t)^{n} − (n + 1) · (x − t)^{n} · (f(x) − T_{n}(x_{0}))

= (x − t)^{n} · ((x − x_{0})^{n+1} · \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!} − (n + 1) · (f(x) − T_{n}(x_{0})))

verschwindet:

0 = (x − ξ)^{n} · ((x − x_{0})^{n+1} · \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{n!} − (n + 1) · (f(x) − T_{n}(x_{0})))

⇒ f(x) − T_{n}(x_{0}) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · (x − x_{0})^{n+1}.

Q.E.D.

6.3. TAYLOR–REIHEN 105

Interpretation 6.29:

28.6.02↓ Das Restglied

\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · (x − x_{0})^{n+1} = f(x) − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!} · (x − x_{0})^{k}

ist die Differenz zwischen der Funktion f(x) und dem n-ten Taylor– Polynom um x_{0}. Die Funktion wird genau dann durch die unendliche Taylor–Reihe dargestellt, wenn das Restglied bei festem x, x_{0} für n → ∞ gegen 0 konvergiert. Sind z.B. alle Ableitungen von f beschränkt, so ist dies für beliebiges x und x_{0} der Fall, denn n! wächst schneller gegeben ∞ als |x − x_{0}|^{n} für jeden Wert von |x − x_{0}|. Dies erklärt z.B., dass die trigonometrischen Funktionen sin und cos, deren Ableitungen nur Werte in [−1, 1] annehmen, global durch ihre Taylor–Reihen dargestellt werden (wir haben sie in Definition 5.10 ja auch über diese Reihen eingeführt).

Beispiel 6.30: Wir betrachten die Taylor–Entwicklung von f(x) = ln(1 + x) um den Punkt x_{0} = 0:

f(x) = ln(1 + x), f′(x) = \frac{1}{1 + x}, f′′(x) = −\frac{1}{(1 + x)^{2}} , f^{(3)}(x) = \frac{2}{(1 + x)^{3}} ,

…, f^{(k)}(x) = \frac{(−1)^{k−1} · (k − 1)!}{(1 + x)^{k}}.

Mit f^{(k)}(0) = (−1)^{k−1} · (k − 1)! folgt als Taylor–Reihe

ln(1 + x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} · x^{k} = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} · \frac{x^{k}}{k} = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} ∓ ⋯,

die die Funktion darstellt, solange die Restglieder

\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!} · x^{n+1} = \frac{(−1)^{n} · x^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)}

gegen 0 konvergieren. Dies ist für positives x ≤ 1 mit 0 < ξ < x ≤ 1 offensichtlich der Fall:

\frac{x^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)} ≤ \frac{x^{n+1}}{n + 1} ≤ \frac{1}{n + 1} ⟶^{n→∞} 0.

Speziell für x = 1 ergibt sich der Wert der alternierenden harmonischen Reihe:

ln(2) = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} ± · · · .

Für negatives x ≥ −\frac{1}{2} gilt −\frac{1}{2} ≤ x < ξ < 0:

|\frac{x^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)}| = \frac{|x|^{n+1}}{(1 + ξ)^{n+1} · (n + 1)} ≤ \frac{(1/2)^{n+1}}{(1/2)^{n+1} · (n + 1)} = \frac{1}{n + 1} ⟶^{n→∞} 0,

d.h., auch hier konvergiert das Restglied gegen 0. Weiterhin konvergiert die Taylor– Reihe auch für −1 < x < −\frac{1}{2} gegen ln(1 + x), was wir aus unserer Restgliedformel allerdings nicht herausbekommen (es gibt alternative Restgliedformeln, die dieses Resultat liefern). Zusammengefaßt:

ln(1 + x) = x − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} ± ⋯ für x ∈ (−1, 1].

Für |x| > 1 sowie für x = −1 divergiert die Taylor–Reihe.

6.4 Monotonie, Extremwerte

Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentiation ist das Auffinden von Extremwerten. Dazu stellen wir zunächst fest, dass Ableitungswerte (= Tangentensteigungen) auf ansteigendes oder abfallendes Verhalten der Funktion hinweisen:

Satz 6.31: (Ableitungen weisen auf Monotonie hin)

Sei f differenzierbar, die Ableitungsfunktion f′ sei stetig. Gilt f′(x_{0}) > 0, so ist f auf einer Umgebung von x_{0} streng monoton steigend. Gilt f′(x_{0}) < 0, so ist f auf einer Umgebung von x_{0} streng monoton fallend.

Beweis: Da f′ stetig ist, gilt für f′(x_{0}) > 0, dass f′ auch noch auf einer Umgebung von x_{0} positiv ist. Für x, y aus dieser Umgebung von x_{0} mit x < y liefert der Mittelwertsatz 6.20

f(y) − f(x) = f′(ξ) · (y − x) > 0

mit einem Zwischenwert ξ zwischen x und y. Damit ist f(x) monoton steigend auf einer Umgebung des Punktes x, auf der für den Zwischenwert f′(ξ) > 0 gilt. Analog folgt, dass f(x) monoton fallend ist, wenn mit f′(x_{0}) < 0 die Ableitung auf einer Umgebung von x_{0} negative Werte annimmt.

Q.E.D.

Intuitiv: mit der Interpretation der Ableitung 6.4 ist dies unmittelbar klar. Für kleines Δx gilt:

f(x_{0} + Δx) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · Δx.

Extrema sind die Stellen, wo die Funktion ”auf der einen Seite“ steigend, ”auf der anderen Seite“ fallend ist:

Satz 6.32: (An Extremstellen verschwindet die Ableitung)

Sei f differenzierbar. Ist die Stelle x_{0} ein (lokales) Maximum oder Minimum, so gilt f′(x_{0}) = 0.

Man findet also alle Kandidaten für Extremstellen einer Funktion f, indem man die Nullstellen von f′ sucht.

Beweis: Genau wie im Beweis des Satzes von Rolle 6.19.

Q.E.D.

Beispiel 6.33: Betrachte f(x) = 2 · x − x^{2}:

\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (2 · x − x^{2}) = 2 − 2 · x =^{(!)} 0 ⟹ x = 1.

Damit ist x_{0} = 1 der einzige Punkt, an dem (möglicherweise) ein Extremum vorliegen kann.

Es gibt allerdings Stellen x_{0} mit f′(x_{0}) = 0, die keine Extremstellen (sondern sogenannte ”Sattelpunkte“) sind. Beispiel: die Funktion f(x) = x^{3} ist streng monoton steigend. Am Punkt x_{0} = 0 gilt f′(x_{0}) = 3 · x_{0}^{2} = 0, aber x_{0} ist kein Extremum.

Satz 6.34: (Hinreichende Kriterien für Extrema)

Sei f mehrfach differenzierbar. Gilt an einer Stelle x_{0}

f′(x_{0}) = 0, f′′(x_{0}) < 0,

so ist x_{0} ein lokales Maximum. Gilt

f′(x_{0}) = 0, f′′(x_{0}) > 0,

so ist x_{0} ein lokales Minimum.

”Beweis“: Approximiere f(x) in einer Umgebung von x_{0} durch das Taylor– Polynom zweiten Grades:

f(x) ≈ f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0}) + \frac{f′′(x_{0})}{2} · (x − x_{0})^{2}.

An einem Punkt x_{0} mit f′(x_{0}) = 0 gilt näherungsweise:

f(x) ≈ f(x_{0}) + \frac{f′′(x_{0})}{2} · (x − x_{0})^{2}.

Da (x − x_{0})^{2} > 0 für x ≠ x_{0} ist, sind die Funktionswerte in der Umgebung größer als f(x_{0}), wenn f′′(x_{0}) > 0 gilt (Minimum). Für f′′(x_{0}) < 0 sind die Funktionswerte in der Umgebung kleiner als f(x_{0}) (Maximum).

Beispiel 6.35: Betrachte f(x) = x + 4 x^{2} − x^{4} − 1:

>> f:= x -> x + 4*x^2 - x^4 - 1:
>> plotfunc2d(f(x), x = -2..2)

Um die Kandidaten für die Extrema zu finden, werden (numerische Approximationen der) Lösungen der Gleichung f′(x) = 0 berechnet. Für numerische Lösungen sind die MuPAD-Funktionen numeric::solve oder auch numeric::fsolve zuständig. Für polynomiale Gleichungen wird eine Menge aller Lösungen geliefert. Die einzelnen Lösungen lassen sich durch ”indizierten Zugriff“ Kandidaten[1] etc. auswählen:

>> Kandidaten:= numeric::solve(f'(x) = 0, x)
          {-1.346997409, -0.1260001926, 1.472997601}

Diese Werte werden in die 2-te Ableitung von f eingesetzt:

>> f''(Kandidaten[1])
                         -13.77282422
>> f''(Kandidaten[2])
                          7.809487418
>> f''(Kandidaten[3])
                          -18.0366632

Nach Satz 6.34 ist der erste Kandidat ein Maximum, der zweite Kandidat ein Minimum, der dritte Kandidat ein Maximum. Die Graphik bestätigt dies.

6.5 Die de l’Hospitalsche Regel

4.7.02↓

In \frac{0}{0}–Situationen kann man durch Ableiten auch Grenzwerte bestimmen.

6.5. DIE DE L’HOSPITALSCHE REGEL 109

Satz 6.36: (de l’Hospitalsche Regel)

Seien f und g differenzierbar, es gelte f(x_{0}) = g(x_{0}) = 0. Dann gilt

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x)}{g′(x)},

falls der rechte Grenzwert existiert.

”Beweis:“ Intuitiv: Approximiere Zähler und Nenner durch das Taylor– Polynom ersten Grades:

\frac{f(x)}{g(x)} ≈ \frac{f(x_{0}) + f′(x_{0}) · (x − x_{0})}{g(x_{0}) + g′(x_{0}) · (x − x_{0})} = \frac{f′(x_{0}) · (x − x_{0})}{g′(x_{0}) · (x − x_{0})} = \frac{f′(x_{0})}{g′(x_{0})}.

Für eine saubere Durchführung des Beweises benutze man den Mittelwertsatz 6.20 (unter der Zusatzannahme, dass f′ und g′ stetig seien. Die Regel gilt aber auch ohne diese Stetigkeit.)

Q.E.D.

Beispiel 6.37: Betrachte erneut die Funktion

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{e^{x} − 1}{x} & für x ≠ 0, \\ 1 & für x = 0 \end{matrix}

aus Beispiel 4.12. Für den Punkt x_{0} = 0 liegt eine \frac{0}{0}–Situation vor. Mit de l’Hospital folgt

lim_{x→0} \frac{e^{x} − 1}{x} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{x} − 1)}{\frac{d}{dx} x} = lim_{x→0} \frac{e^{x}}{1} = lim_{x→0} e^{x} = e^{0} = 1,

wobei in jedem Schritt die Existenz des jeweils rechts stehenden Grenzwerts vorausgesetzt wird (was gerechtfertigt ist, sobald man ganz rechts angekommen ist).

Die de l’Hospitalsche Regel kann auch mehrfach hintereinander angewendet werden:

Beispiel 6.38: Betrachte lim_{x→0} \frac{e^{2·x} − 1 − 2 · x}{x^{2}}. Nach einer Anwendung von de l’Hospital trifft man beim Quotienten der Ableitungen wieder auf eine \frac{0}{0}–Situation und kann de l’Hospital erneut anwenden:

lim_{x→0} \frac{e^{2·x} − 1 − 2 · x}{x^{2}} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{2·x} − 1 − 2 · x)}{\frac{d}{dx} x^{2}} = lim_{x→0} \frac{2 · e^{2·x} − 2}{2 · x}

= lim_{x→0} \frac{e^{2·x} − 1}{x} = lim_{x→0} \frac{\frac{d}{dx} (e^{2·x} − 1)}{\frac{d}{dx} x} = lim_{x→0} \frac{2 · e^{2·x}}{1} = 2 · e^{2·0} = 2.

Bemerkung 6.39: Die de l’Hospitalsche Regel

lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x)}{g′(x)}

gilt auch für lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} g(x) = ∞.

Beispiel 6.40: Mit f(x) = ln(x + 1), g(x) = ln(x), f′(x) = \frac{1}{x+1}, g′(x) = \frac{1}{x}:

lim_{x→∞} \frac{ln(x + 1)}{ln(x)} = lim_{x→∞} \frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}} = lim_{x→∞} \frac{x}{x + 1} =^{(∗)} lim_{x→∞} \frac{1}{1} = 1,

wobei in (∗) de l’Hospital ein zweites Mal angewendet wurde.

Beispiel 6.41: Mit kleinen Tricks bekommt man eine de l’Hospital-Technik auch sofort für Situationen wie z.B. 0 · ∞ oder auch 1^{∞}.

Für 0 · ∞ ist der Standardtrick, ∞ als 1/0 (oder manchmal 0 als 1/∞) zu schreiben. Z.B.:

lim_{x→∞} x · (e^{1/x} − 1) = lim_{x→∞} \frac{e^{1/x} − 1}{1/x} = lim_{x→∞} \frac{\frac{d}{dx} (e^{1/x} − 1)}{\frac{d}{dx} \frac{1}{x}}

= lim_{x→∞} \frac{−\frac{1}{x^{2}} · e^{1/x}}{−\frac{1}{x^{2}}} = lim_{x→∞} e^{1/x} = 1.

Hierbei wurde die ursprüngliche ∞ · 0–Situation durch das Umschreiben x = \frac{1}{1/x} in eine \frac{0}{0}–Situation verwandelt, auf die de l’Hospital anwendbar ist.

Für eine 1^{∞}–Situation ist der Standardtrick, die identische Abbildung in der Form y = exp(ln(y)) einzubringen, was die 1^{∞}–Situation in ein 0 · ∞–Problem verwandelt (welches dann wie oben zu behandeln ist). Beispiel:

lim_{x→0+0} x^{x} = lim_{x→0+0} e^{ln(x^{x})} = lim_{x→0+0} e^{x·ln(x)} = e^{lim_{x→0+0} (x · ln(x))}.

Hier ist das 0·(−∞)–Problem lim_{x→0+0} x · ln(x) entstanden, was wie oben per de l’Hospital

gelöst wird, indem es in ein \frac{∞}{∞}–Problem (genauer: in ein \frac{−∞}{∞}–Problem) umgeschrieben wird:

lim_{x→0+0} x · ln(x) = lim_{x→0+0} \frac{ln(x)}{1/x} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{d}{dx} ln(x)}{\frac{d}{dx} \frac{1}{x}} = lim_{x→0+0} \frac{\frac{1}{x}}{−\frac{1}{x^{2}}} = lim_{x→0+0} (−x) = 0

⇒ lim_{x→0+0} x^{x} = e^{lim_{x→0+0} x · ln(x)} = e^{0} = 1.

Der Grenzwert wird durch die folgende MuPAD–Graphik bestätigt:

6.5. DIE DE L’HOSPITALSCHE REGEL 111

>> plotfunc2d(x^x, x = 0..1, ViewingBox = [0..1, 0..1])