76


Kapitel 5

Einige spezielle Funktionen:

exp, ln, sin, cos.

5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus

arrowdown 7.6.02

Die uberaus wichtige Exponentialfunktion soll nun etwas genauer diskutiert wer-
dieresis

den. Die ursprungliche Definition 2.20 ist fur die Diskussion zu unhandlich. Die
dieresis dieresis

in Beispiel 3.24 eingefuhrte Reihendarstellung ist wesentlich nutzlicher. Wir ha-
dieresis dieresis

ben sie bereits benutzt, um in Satz 4.11 die Stetigkeit uber ganz C zu beweisen.
dieresis

Wir betrachten die Exponentialfunktion nun zunachst im Reellen genauer:
dieresis

Satz 5.1: (Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion)

infinity k 2
summationdisplay x x

x

Die Exponentialfunktion e = = 1 + x + + periodcentered periodcentered periodcentered ist fur x element R
dieresis

k! 2

k=0

streng monoton steigend. Es gilt

x x
lim e = 0, lim e = infinity .

xarrowright infinity
xarrowright minus infinity

Der Wertebereich ist (0, infinity ).

x y

Beweis: Fur 0 lessequal x < y ist e < e off ensichtlich, denn die Summanden der
dieresis

Partialsummen sind streng monoton wachsend:

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
2 2 2 2

y x y minus x
y x

e minus e = 1 + y + + periodcentered periodcentered periodcentered minus 1 + x + + periodcentered periodcentered periodcentered = y minus x + + periodcentered periodcentered periodcentered > 0.

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright
2 2 2
bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

>0 >0

x

Fur x < y < 0 folgt die Monotonie aus der Funktionalgleichung 2.22: e =
dieresis minus x minus y y x

1/e < 1/e = e . Nach Beispiel 4.33 wachst e (starker als jede positive x-
dieresis dieresis

x minus x x

Potenz) gegen infinity fur x arrowright infinity . Wegen e = 1/e fallt e gegen 0 fur x arrowright minus infinity .
dieresis dieresis dieresis

Damit ist der Wertebereich (0, infinity ).

Q.E.D.

77


-4-2 xx-4 -2 0 2 402yy 4x, exp(x), ln(x)

78 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

Definition 5.2: (Der naturliche Logarithmus)
dieresis

Wegen der strengen Monotonie der reellen Exponentialfunktion exp : R mapsto arrowright (0, infinity ) gibt es eine Umkehrfunktion, die man den naturlichen Loga-

dieresis

quotedblright

rithmus" ln : (0, infinity ) mapsto arrowright R nennt:

ln(exp(x)) = x fur alle x element R , exp(ln(y)) = y fur alle y element (0, infinity ).
dieresis dieresis

Beispiel 5.3: Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden ergibt sich sofort der Graph

von ln aus dem Graphen von exp:

>> plotfunc2d(x, exp(x), ln(x), x = -4..4,

ViewingBox = [-4..4, -4..4])

Da die Exponentialfunktion nach Satz 4.11 monoton und stetig ist, ist mit

Satz 4.30 auch der Logarithmus monoton und stetig:

Merke 5.4:

* exp und ln sind stetig und streng monoton wachsend.

x

* Es gilt e > 1 fur alle x > 0, es gilt ln(y) > 0 fur alle y > 1.
dieresis dieresis

0
* Es gilt e = 1 und ln(1) = 0.

x

* Es gilt e < 1 fur alle x < 0 und ln(y) < 0 fur alle y mit 0 < y < 1.
dieresis dieresis

y

Bemerkung 5.5: Es ist klar, was mit x gemeint ist, wenn x element R positiv und

radical
radical
3 4 2

3

4
y eine ganze oder eine rationale Zahl ist (z.B. x = x ). Was aber ist x ?

y p/q
Betrachte eine rationale Potenz y = p/q mit p, q element N, dann ist a = x = x > 0

q p ln(x)

als die (eindeutige) positive Losung von a = x definiert. Setzen wir x = e ,
dieresis

so folgt mit den Funktionalgleichungen 2.22:

parenleftBig parenrightBig q
p periodcentered ln(x)

q p ln(x) p pperiodcentered ln(x) q

a = x = (e ) = e = e .


5.1. EXPONENTIALFUNKTION UND LOGARITHMUS 79

Die einzige reelle positive Losung a dieser Gleichung ist off ensichtlich
dieresis

p p periodcentered ln(x)

q q
x = a = e .

Also: fur jedes rationale y gilt
dieresis

y yperiodcentered ln(x)

x = e fur jedes x > 0.
dieresis Man benutzt die obige Formel, um Potenzen von x > 0 auch fur nicht-rationale dieresis

dieresis

reelle Werte y zu definieren, was nach obiger Uberlegung mit der intuitiven

Wurzeldefinition" fur rationales y vertraglich ist. Z. B.:
dieresis dieresis

quotedblright

>> float(2^PI) = float(exp(PI*ln(2)))

8.824977827 = 8.824977827

Satz 5.6: (Rechenregeln fur exp und ln)
dieresis

Fur beliebiges x, y element R gilt:
dieresis

1 x+y x y x y xperiodcentered y minus x

e = e periodcentered e , (e ) = e , e = .xe

Fur beliebiges x > 0, y > 0 gilt:
dieresis

parenleftBig parenrightBig

1 y

ln(x periodcentered y) = ln(x) + ln(y), ln(x ) = y periodcentered ln(x), ln = minus ln(x).

x

z +z z z minus z z
1 2 1 2

Beweis: Die Funktionalgleichungen e = e periodcentered e und e = 1/e waren schon in Satz 2.22 uber C gezeigt worden. Sind z , z element R, folgt durch Logarithdieresis 1 2

mieren parenleftBig parenrightBig

z z
1 2

z + z = ln e periodcentered e .
1 2

z z
1 2

Mit x = e , y = e , also z = ln(x), z = ln(y), folgt ln(x) + ln(y) = ln(x periodcentered y). 1 2

Fur y = 1/x ergibt sich ln(x) + ln(1/x) = ln(1) = 0. Nach Definition beliebiger dieresis

reeller Potenzen gemaß Bemerkung 5.5 ergibt sich
dieresis

x
x y yperiodcentered ln(e ) yperiodcentered x

(e ) = e = e .

x

Durch Logarithmieren folgt fur beliebiges reelles z = e > 0:
dieresis

y
ln(z) = y periodcentered x = y periodcentered ln(z).

Q.E.D.


80 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

y

Beispiel 5.7: Die Regel ln(x ) = y periodcentered ln(x) ist nutzlich, um Gleichungen aufzulosen, wo dieresis dieresis

die gesuchte Große in einem Exponenten auftaucht. Z.B.:
dieresis

x x
2 = 8 arrowdblright ln(2 ) = ln(8) arrowdblright x periodcentered ln(2) = ln(8)

3
ln(8) ln(2 ) 3 periodcentered ln(2)

arrowdblright x = = = = 3.

ln(2) ln(2) ln(2)

Bemerkung 5.8: Aus der Schulzeit mag man gewohnt sein, statt mit dem dieresis naturlichen Logarithmus mit dem Zehner-Logarithmus log umzugehen. Bei dieresis 10

Informatikern ist (aus naheliegenden Grunden) der Logarithmus log zur Basis dieresis 2

2 popular. Hier ist der Zusammenhang zwischen dem naturlichen Logarithmus dieresis dieresis

und dem Logarithmus zu einer beliebigen (positiven) Basis b negationslash = 1:

ln(y)
x x

x = log (y) arrowdblboth y = b arrowdblboth ln(y) = ln(b ) = x periodcentered ln(b) arrowdblboth x = ,
b ln(b)

also

ln(y)

log (y) = fur alle y > 0, b > 0, b negationslash = 1.
dieresis

b ln(b)

Beispiel 5.9: Neben dem naturlichen Logarithmus ln hat MuPAD Logarithmen

dieresis

log(b, y) zu beliebigen positiven Basen b negationslash = 1:

>> log(10, 25.0) = ln(25.0)/ln(10.0)

1.397940009 = 1.397940009

>> log(2, 25.0) = ln(25.0)/ln(2.0)

4.64385619 = 4.64385619

5.2 Die trigonometrische Funktionen

In der Schule waren im Kontext Geometrie" die Winkelfunktionen sin und cos

quotedblright

eingefuhrt worden. Hier unsere Versionen:
dieresis


5.2. DIE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 81

Satz und Definition 5.10:

Die folgenden Reihen konvergieren fur jeden Wert z element C. Die Reihenwerte
dieresis

heißen sin(z) bzw. cos(z) (die trigonometrischen Funktionen" Sinus

quotedblright

und Cosinus):

infinity k 2periodcentered k+1 3 5 7
summationdisplay (minus 1) periodcentered z z z z

sin(z) = = z minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered ,

(2 periodcentered k + 1)! 3! 5! 7!

k=0infinity k 2periodcentered k 2 4 6

summationdisplay (minus 1) periodcentered z z z z

cos(z) = = 1 minus + minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered .

(2 periodcentered k)! 2! 4! 6!

k=0

Beweis: Es ist zu zeigen, dass die definierenden Reihen konvergieren. In der Tat konvergieren sie absolut, was analog zu Beispiel 3.24 aus dem Quotienten-

kriterium folgt. Fur die sin-Reihe:
dieresis

vextendsingle vextendsingle
k+1 2periodcentered k+3 2

(minus 1) periodcentered z /(2 periodcentered k + 3)! |z| periodcentered (2 periodcentered k + 1)!
vextendsingle vextendsingle =

vextendsingle vextendsingle

k 2periodcentered k+1
(minus 1) periodcentered z /(2 periodcentered k + 1)! (2 periodcentered k + 3)!

2 2
|z| |z| 1

= lessequal lessequal

2
(2 periodcentered k + 2) periodcentered (2 periodcentered k + 3) 4 periodcentered k 4

fur k greaterequal |z|. Die Konvergenz der cos-Reihe folgt analog.
dieresis

Q.E.D. Das folgende Zusammenhang ist eine der wichtigsten Formeln uberhaupt fur dieresis dieresis

exp, sin und cos:

Satz 5.11: (Die Euler-Formel)

Fur jedes z element C gilt folgende Beziehung zwischen der Exponentialfunktion
dieresis

und den trigonometrischen Funktionen:

iperiodcentered z
e = cos(z) + i periodcentered sin(z).

iperiodcentered x iperiodcentered x

Fur x element R folgt cos(x) = Rfractur (e ), sin(x) = Ifractur (e ).
dieresis

Beweis:

cos(z) + i periodcentered sin(z)

2 4
z z

= 1 minus + plusminus periodcentered periodcentered periodcentered

2! 4!

3 5
i periodcentered z i periodcentered z

+ i periodcentered z minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered

3! 5!

2 3 4 5
(i periodcentered z) (i periodcentered z) (i periodcentered z) (i periodcentered z)

= 1 + i periodcentered z + + + + + periodcentered periodcentered periodcentered .

2! 3! 4! 5!

Q.E.D.


82 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

Satz 5.12: iperiodcentered z minus iperiodcentered z iperiodcentered z minus iperiodcentered z

e minus e e + e

Fur jedes z element C gilt sin(z) = , cos(z) = .
dieresis 2 periodcentered i 2

Beweis:

iperiodcentered z minus iperiodcentered z
e plusminus e = cos(z) + i periodcentered sin(z) plusminus cos(minus z) plusminus i periodcentered sin(minus z)

braceleftBigg 2 periodcentered cos(z) fur +,

dieresis

= cos(z) + i periodcentered sin(z) plusminus cos(z) minusplus i periodcentered sin(z) = 2 periodcentered i periodcentered sin(z) fur minus .

dieresis

Q.E.D.

Satz 5.13: (Stetigkeit der trigonometrischen Funktion)

Die trigonometrischen Funktionen sin und cos sind auf C stetig.

Beweis: Da die Exponentialfunktion auf C stetig ist, folgt dies uber die Redieresis

chenregeln 4.7 fur Stetigkeit aus den Darstellungen in Satz 5.12.
dieresis

Q.E.D.

Satz 5.14: (Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen)

Fur beliebiges z , z element C gilt:
dieresis 1 2

sin(z + z ) = sin(z ) periodcentered cos(z ) + cos(z ) periodcentered sin(z ),
1 2 1 2 1 2

cos(z + z ) = cos(z ) periodcentered cos(z ) minus sin(z ) periodcentered sin(z ).
1 2 1 2 1 2

iperiodcentered x iperiodcentered x

Beweis: Fur z , z element R sind wegen cos(x) = Rfractur (e ), sin(x) = Ifractur (e ) die dieresis 1 2

Additionstheoreme nichts Anderes als die Funktionalgleichung fur exp:
dieresis

iperiodcentered (z +z ) iperiodcentered z iperiodcentered z
1 2 1 2

cos(z + z ) = Rfractur (e ) = Rfractur (e periodcentered e )
1 2

parenleftBig parenrightBig

= Rfractur (cos(z ) + i periodcentered sin(z )) periodcentered (cos(z ) + i periodcentered sin(z ))
1 1 2 2

= cos(z ) periodcentered cos(z ) minus sin(z ) periodcentered sin(z ).
1 2 1 2

Das Additiontheorem fur den reellen Sinus folgt analog uber sin(z + z ) = dieresis dieresis 1 2

iperiodcentered (z +z )
1 2

Ifractur (e ).

Fur beliebiges z , z element C nehme man die Darstellung aus Satz 5.12, um die dieresis 1 2 iperiodcentered (z +z ) iperiodcentered z iperiodcentered z

1 2 1 2

Additionstheoreme auf e = e periodcentered e zuruckzufuhren.
dieresis dieresis

Q.E.D.

13.6.02arrowdown

Satz 5.15: (Symmetrien der trigonometrischen Funktionen)

Fur beliebiges z element C gilt: sin(minus z) = minus sin(z), cos(minus z) = cos(z).
dieresis


5.2. DIE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 83

2periodcentered k+1 2periodcentered k+1

Beweis: Die Sinus-Reihe enthalt nur ungerade Potenzen: (minus z) = minus z . dieresis 2periodcentered k 2periodcentered k

Die Cosinus-Reihe enthalt nur gerade Potenzen: (minus z) = z .
dieresis

Q.E.D.

Satz 5.16: (Der Satz des Pythagoras)

2 2

Fur jedes z element C gilt: sin (z) + cos (z) = 1 .
dieresis Beweis: Dies ist das Additionstheorem des Cosinus fur z = z, z = minus z zusamdieresis 1 2

men mit cos(0) = 1:

2 2
1 = cos(z minus z) = cos(z) periodcentered cos(minus z) minus sin(z) periodcentered sin(minus z) = cos (z) + sin (z).

Q.E.D. Wir brauchen die Kreiszahl pi . Da wir hier keine Geometrie treiben und pi uber dieresis das Verhaltnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser einfuhren konnen, mussen dieresis dieresis dieresis dieresis

wir pi anders definieren:

Satz und Definition 5.17:

Auf der positiven reellen Achse besitzt der Cosinus mindestens eine Null-

stelle. Sei x = inf {x element R; cos(x) = 0; x > 0} die kleinste positive
1

Nullstelle des Cosinus. Definiere pi = 2 periodcentered x approxequal 3.1415... .
1

2 4
x x

Beweis: Die Summanden der Cosinus-Reihe cos(x) = 1 minus + minusplus periodcentered periodcentered periodcentered haben

2 4!

wechselnde Vorzeichen. Fur kleines |x| sind die Summanden monoton fallend. dieresis 2x

Damit gilt cos(x) = 1 minus + f(x), wobei speziell fur |x| lessequal 2 gilt:
dieresis 2

4 6 4
x x x

0 lessequal f(x) = minus plusminus periodcentered periodcentered periodcentered lessequal .

4! 6! 4!

Es folgt 1 1

cos(1) = 1 minus + f(1), 0 lessequal f(1) lessequal ,

2! 24

4 16

cos(2) = 1 minus + f(2), 0 lessequal f(2) lessequal ,

2! 24

also 1 1 4 16 1

cos(1) greaterequal 1 minus = > 0, cos(2) lessequal 1 minus + = minus < 0.

2 2 2 24 3

Der Zwischenwertsatz 4.19 fur stetige Funktionen garantiert (mindestens) eine dieresis Nullstelle im Intervall (1, 2). Damit ist die Menge {x element R; cos(x) = 0; x > 0}

nicht leer und besitzt ein Infimum.

Q.E.D.


-1-0.5 xx0 PI/2 PI 3*PI/2 2*PI00.5yy 1 cos(x), sin(x)

84 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

dieresis Uber die Additionstheoreme und Pythagoras folgt nun eine Vielzahl von spezi-

ellen Resultaten, z.B.:

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
pi pi

sin(2 periodcentered x) = 2 periodcentered sin(x) periodcentered cos(x) arrowdblright sin(pi ) = 2 periodcentered sin periodcentered cos = 0,

2 2

2 2 2
cos(2 periodcentered x) = cos (x) minus sin (x) = 2 periodcentered cos (x) minus 1

parenleftBig parenrightBig

pi
2

arrowdblright cos(pi ) = 2 periodcentered cos minus 1 = minus 1,

2

sin(x + pi ) = sin(x) periodcentered cos(pi ) + cos(x) periodcentered sin(pi ) = minus sin(x),

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

minus 1 0

bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright bracehtipupleft bracehtipdownright

cos(x + pi ) = cos(x) periodcentered cos(pi ) minus sin(x) periodcentered sin(pi ) = minus cos(x)

etc. Hieraus folgt dann weiterhin die Periodizitatdieresis

sin(x + 2 periodcentered pi ) = sin(x), cos(y + 2 periodcentered pi ) = cos(x).

Die Einzelergebnisse aus Satz 5.11 bis Satz 5.16 werden zusammengefaßt:

Merke 5.18:

Graphisch:

>> plotfunc2d(cos(x), sin(x), x=0..2*PI,

Ticks = [[0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI",

3*PI/2 = "3*PI/2", 2*PI = "2*PI"],

[-1, -1/2, 0, 1/2, 1]])

Einige spezielle Werte:

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
pi 3 periodcentered pi

sin(0) = 0 , sin = 1, sin(pi ) = 0, sin = minus 1,

2 2

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
pi 3 periodcentered pi

cos(0) = 1, cos = 0, cos(pi ) = minus 1, cos = 0 .

2 2

Periodizitat (man braucht die Funktionen nur auf [0, 2 periodcentered pi ) zu kennen):
dieresis

sin(x + 2 periodcentered pi ) = sin(x), cos(y + 2 periodcentered pi ) = cos(x).


5.3. DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 85

Additionstheoreme:

sin(x + y) = sin(x) periodcentered cos(y) + cos(x) periodcentered sin(y),

cos(x + y) = cos(x) periodcentered cos(y) minus sin(x) periodcentered sin(y).

Symmetrieeigenschaften:

sin(minus x) = minus sin(x), cos(minus x) = cos(x).

2 2
Pythagoras: sin (x) + cos (x) = 1.

iperiodcentered x
Euler-Formel: e = cos(x) + i periodcentered sin(x).

Bemerkung 5.19: Vielleicht ist man aus der Schule noch gewohnt, die Argu-

0 o
mente der trigonometrischen Funktion in Winkelgraden alpha = 0 , . . . , 360 anzugeben. Mathematiker nehmen statt des Winkels alpha die zugehorige Bogenlange x dieresis dieresis

auf dem Einheitskreis (Einheit: Radian"), der Zusammenhang ist

quotedblright

pi

x = periodcentered alpha ,

180

x

a54 a1

a36

1

pi
o o o bracerightbig

a1
d.h., 90 =hatwide , 180 =hatwide pi , 360 =hatwide 2 periodcentered pi : a1

2 a0 sin(x)

alpha
a0 a45

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

cos(x)

5.3 Die komplexe Exponentialfunktion, Polardar-

stellungen

In der Geometrischen Interpretation 1.8 der komplexen Zahlen

i periodcentered y C

a54 a115 z = x+ i periodcentered y

a8
a8

a8

a8

a8
|z| a8

a8 Ifractur (z) = |z| periodcentered sin(phi1 )

a8

a8

a8

a8

a8 phi1

a8 a45 x

Rfractur (z) = |z| periodcentered cos(phi1 )

war die Polardarstellung

parenleftBig parenrightBig

z = |z| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered sin(phi1 ) , phi1 element [0, 2 periodcentered pi )

komplexer Zahlen eingefuhrt worden. Mit der Euler-Formel 5.11 ergibt sich die dieresis

kompakte Polardarstellung:


86 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

iperiodcentered phi1
z = |z| periodcentered e , phi1 element [0, 2 periodcentered pi ).

Man beachte, dass Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 periodcentered pi be-

stimmt ist (Periodizitat von Sinus und Cosinus):
dieresis

iperiodcentered (phi1 +kperiodcentered 2periodcentered pi ) iperiodcentered phi1 iperiodcentered kperiodcentered 2periodcentered pi iperiodcentered phi1 iperiodcentered 2periodcentered pi k iperiodcentered phi1

e = e periodcentered e = e periodcentered (e ) = e fur alle k element Z.
dieresis

bracehtipupleft bracehtipdownright bracehtipdownleft bracehtipupright

1

Wir vereinbaren, dass unsere Polarwinkel im Intervall [0, 2 periodcentered pi ) liegen.

Geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation 5.20:

1 1
iperiodcentered phi1 iperiodcentered phi1 minus iperiodcentered phi1
1 2 2

Mit z = |z | periodcentered e , z = |z | periodcentered e , = periodcentered e gilt
1 1 2 2 z |z |

2 2

z |z |
1 1
iperiodcentered (phi1 +phi1 ) iperiodcentered (phi1 minus phi1 )
1 2 1 2

z periodcentered z = |z | periodcentered |z | periodcentered e , = periodcentered e .
1 2 1 2 z |z |

2 2

Also: die Multiplikation mit einer Zahl mit dem Polarwinkel phi1 dreht einen komplexen Vektor um den Winkel phi1 gegen den Uhrzeigersinn, die Division durch diese Zahl dreht den Vektor um den Winkel phi1 im Uhrzeigersinn.

o
Multiplikation mit i bzw. Division durch i dreht speziell um 90 . Das ist

leicht zu merken:

Ein Mathematiker ruft an und hort: Die gewahlte Nummer ist
dieresis dieresis

quotedblright o

imaginar. Bitte drehen Sie ihren Apparat um 90 !"
dieresis

iperiodcentered phi1

Bemerkung 5.21: Fur Potenzen von z = |z| periodcentered e folgt
dieresis

n n iperiodcentered nperiodcentered phi1
z = |z| periodcentered e .

Damit sind wir nun in der Lage, komplexe Wurzeln zu berechnen. Die Aufgabe

n

sei: finde alle Losungen von z = a.
dieresis

iperiodcentered alpha
Schritt 1: Stelle a in Polarkoordinaten dar: a = |a| periodcentered e mit alpha element [0, 2 periodcentered pi ).

iperiodcentered phi1

Schritt 2: Ansatz fur die Wurzeln: z = r periodcentered e mit phi1 element [0, 2 periodcentered pi ). Vergleiche
dieresis

n n iperiodcentered nperiodcentered phi1 iperiodcentered alpha
z = r periodcentered e = |a| periodcentered e .

radicalbig n

n

Vergleich der Betrage ergibt die reelle Gleichung r = |a|, d.h. r = |a|. (Dies
dieresis

ist eine reelle Wurzel, deren Bedeutung klar ist.) Es verbleibt, den Polarwinkel

phi1 der komplexen Wurzeln aus der verbleibenden Gleichung

iperiodcentered nperiodcentered phi1 iperiodcentered alpha
e = e

zu bestimmen. Da Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 periodcentered pi be-

stimmt sind, folgt nicht n periodcentered phi1 = alpha , sondern (mit phi1 statt phi1 ):
k

n periodcentered phi1 = alpha + k periodcentered 2 periodcentered pi , k element Z,
k


5.3. DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 87

also alpha k

phi1 = + periodcentered 2 periodcentered pi , k element Z.
k n n

Hierbei brauchen nur die n Werte k = 0, 1, . . . , n minus 1 betrachtet zu werden, furdieresis

die phi1 element [0, 2 periodcentered pi ) gilt (sofern alpha element [0, 2 periodcentered pi ) gilt). Alle anderen Winkel phi1 liegen

k k

außerhalb von [0, 2 periodcentered pi ) und stimmen bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von

2 periodcentered pi mit einem dieser Basiswinkel" phi1 , . . . , phi1 uberein.
dieresis

0 nminus 1

quotedblright

n iperiodcentered alpha

Schritt 3: Ergebnis: die n verschiedenen Losungen von z = a = |a| periodcentered e sind: dieresis

parenleftBig parenrightBig
radicalbig radicalbig

n n
iperiodcentered phi1 k

z = |a| periodcentered e = |a| periodcentered cos(phi1 ) + i periodcentered sin(phi1 )
k k k

mit

alpha + k periodcentered 2 periodcentered pi

phi1 = , k = 0, 1, . . . , n minus 1.
k n

Geometrisch: die Wurzeln liegen alle gleichmaßig auf dem Kreis mit dem Radieresis

radicalbig n

dius |a| verteilt:

i periodcentered y

a54 iperiodcentered alpha

z C a114 a = |a| periodcentered e

2
z3 a34

a114 a34
a114 a34

a3 a34
a76 a76 a3 z1

a114 a34

a76 a3 a34

a26

a26
a114 a34

a76 a3 a26
a81 a34

a81 2pi a26 a34

2pi
a81 a76 a3
2pi radicalbig alpha

n a26 2pi iperiodcentered

n
a81 n

n a114 n

a40
a76 a3 a40 z = |a| periodcentered e

a40 0
a34
a26
2pi a81 n a40
a34 a40

a40 alpha /n

a40

a81 a76 a40 a34 a3 a26 a45

n 2pi
a40

a40 a80

a40

a40 a80

a35
a40 n x

a40 a2 a83 a69 a80
a114 2pi
a40 a80

2pi
a35 a80

n a2 a69 a83 a80

2pi a114
a80
n
a35 2pi
2pi z

n a2 a69 a83 nminus 1
a35 n
n

a35 a2 a69 a83
a114 a35 a2 a69 a83 a83 a114

a2 a69
a114 a2 z

a69 a114 nminus 2

n iperiodcentered 0
Beispiel 5.22: Die n-ten Einheitswurzeln" der Gleichung z = 1 = 1 periodcentered e sind

quotedblright

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig
k periodcentered 2 periodcentered pi k periodcentered 2 periodcentered pi

z = cos + i periodcentered sin , k = 0, 1, . . . , n minus 1.
k n n

Z.B. fur n = 4;
dieresis

bracelefttp 1 fur k = 0,

dieresis
braceex braceex braceleftmid

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig

k periodcentered pi k periodcentered pi i fur k = 1,
dieresis

z = cos + i periodcentered sin =
k minus 1 fur k = 2,

dieresis
braceex

2 2 braceex braceleftbt minus i fur k = 3.

dieresis


88 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

Fur n = 6:
dieresis

bracelefttp 1 fur k = 0,

dieresis
braceex radical

braceex braceex 1+iperiodcentered 3

braceex braceex fur k = 1,

dieresis
braceex 2 radical

braceex braceleftmid

parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig minus 1+iperiodcentered 3

k periodcentered pi k periodcentered pi fur k = 2,
dieresis

2

z = cos + i periodcentered sin =
k minus 1 fur k = 3,

dieresis
braceex

3 3 braceex radical

braceex braceex minus 1minus iperiodcentered 3

braceex fur k = 4,
dieresis
braceex 2radical

braceex braceleftbt 1minus iperiodcentered 3 fur k = 5.

dieresis
2

Beispiel 5.23: In Beispiel 1.24 hatten wir fur Potenzen von
dieresis

parenleftBigg parenrightBigg

1
1 minus 2

A = 2 1

gefunden:

parenlefttp parenrighttp

1 1 i i
n n n n

periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) minus periodcentered (1 minus i)

2 2 4 4

n parenleftbt parenrightbt

A = .
1 1
n n n n

minus i periodcentered (1 + i) + i periodcentered (1 minus i) periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i)

2 2

n
Es fehlt noch eine einfache Darstellung von (1 plusminus i) , mit der (hoff entlich) ersichtlich

n dieresis
wird, dass A eine reelle Matrix ist. Uber die Polardarstellungen

radical pi

plusminus iperiodcentered 4
1 plusminus i = 2 periodcentered e

radical pi

ergibt sich mit |1 plusminus i| = 2 und den Polarwinkeln plusminus :4

parenleftBig parenleftBig parenrightBig parenleftBig parenrightBig parenrightBig

pi pi pi

n n/2 plusminus nperiodcentered iperiodcentered n/2

4
(1 plusminus i) = 2 periodcentered e = 2 periodcentered cos n periodcentered plusminus i periodcentered sin n periodcentered .

4 4

Damit folgt

n 1 1 pi n n n/2

(A ) = periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) = 2 periodcentered cos(n periodcentered ),
11 2 2 4 n i i pi n n n/2minus 1

(A ) = periodcentered (1 + i) minus periodcentered (1 minus i) = minus 2 periodcentered sin(n periodcentered ),
12 4 4 4 n pi n n n/2+1

(A ) = minus i periodcentered (1 + i) + i periodcentered (1 minus i) = 2 periodcentered sin(n periodcentered ),
21 4 n 1 1 pi n n n/2

(A ) = periodcentered (1 + i) + periodcentered (1 minus i) = 2 periodcentered cos(n periodcentered ).
22 2 2 4

Insgesamt erhalten wir also in der Tat die in Beispiel 1.24 gefragte explizite (und nun

recht einfache) reelle Darstellung beliebiger Potenzen von A:

parenlefttp parenrighttp

n n
parenleftBigg parenrightBigg pi pi

minus 1
n
1 2 2
2 periodcentered cos(n periodcentered ) minus 2 periodcentered sin(n periodcentered )
1 minus 4 4

2 parenleftbt parenrightbt

n n
= .

pi pi
+1

2 2
2 periodcentered sin(n periodcentered ) 2 periodcentered cos(n periodcentered )

2 1 4 4