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Kapitel 5

Einige spezielle Funktionen: exp, ln, sin, cos.

5.1 Exponentialfunktion und Logarithmus

↓7.6.02

Die überaus wichtige Exponentialfunktion soll nun etwas genauer diskutiert werden. Die ursprüngliche Definition 2.20 ist für die Diskussion zu unhandlich. Die in Beispiel 3.24 eingeführte Reihendarstellung ist wesentlich nützlicher. Wir haben sie bereits benutzt, um in Satz 4.11 die Stetigkeit über ganz ℂ zu beweisen. Wir betrachten die Exponentialfunktion nun zunächst im Reellen genauer:

Satz 5.1: (Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion)

Die Exponentialfunktion e^{x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ⋯ ist für x ∈ ℝ

streng monoton steigend. Es gilt

lim_{x→−∞} e^{x} = 0, lim_{x→∞} e^{x} = ∞.

Der Wertebereich ist (0, ∞).

Beweis: Für 0 ≤ x < y ist e^{x} < e^{y} offensichtlich, denn die Summanden der Partialsummen sind streng monoton wachsend:

e^{y} − e^{x} = (1 + y + \frac{y^{2}}{2} + ⋯) − (1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ⋯) = \underbrace{y − x}_{>0} + \underbrace{\frac{y^{2} − x^{2}}{2}}_{>0} + ⋯ > 0.

Für x < y < 0 folgt die Monotonie aus der Funktionalgleichung 2.22: e^{x} = 1/e^{−x} < 1/e^{−y} = e^{y}. Nach Beispiel 4.33 wächst e^{x} (stärker als jede positive x-Potenz) gegen ∞ für x → ∞. Wegen e^{x} = 1/e^{−x} fällt e^{x} gegen 0 für x → −∞. Damit ist der Wertebereich (0, ∞).

Q.E.D.

Definition 5.2: (Der natürliche Logarithmus)

Wegen der strengen Monotonie der reellen Exponentialfunktion exp : ℝ ↦ (0, ∞) gibt es eine Umkehrfunktion, die man den ”natürlichen Logarithmus“ ln : (0, ∞) ↦ ℝ nennt:

ln(exp(x)) = x für alle x ∈ ℝ , exp(ln(y)) = y für alle y ∈ (0, ∞).

Beispiel 5.3: Durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden ergibt sich sofort der Graph von ln aus dem Graphen von exp:

>> plotfunc2d(x, exp(x), ln(x), x = -4..4,
              ViewingBox = [-4..4, -4..4])

Da die Exponentialfunktion nach Satz 4.11 monoton und stetig ist, ist mit Satz 4.30 auch der Logarithmus monoton und stetig:

Merke 5.4:

• exp und ln sind stetig und streng monoton wachsend.

• Es gilt e^{x} > 1 für alle x > 0, es gilt ln(y) > 0 für alle y > 1.

• Es gilt e^{0} = 1 und ln(1) = 0.

• Es gilt e^{x} < 1 für alle x < 0 und ln(y) < 0 für alle y mit 0 < y < 1.

Bemerkung 5.5: Es ist klar, was mit x^{y} gemeint ist, wenn x ∈ ℝ positiv und y eine ganze oder eine rationale Zahl ist (z.B. x^{\frac{3}{4}} = ^{4} \sqrt{x^{3}}). Was aber ist x^{\sqrt{2}}? Betrachte eine rationale Potenz y = p/q mit p, q ∈ ℕ, dann ist a = x^{y} = x^{p/q} > 0 als die (eindeutige) positive Lösung von a^{q} = x^{p} definiert. Setzen wir x = e^{ln(x)}, so folgt mit den Funktionalgleichungen 2.22:

a^{q} = x^{p} = (e^{ln(x)})^{p} = e^{p·ln(x)} = (e^{\frac{p}{q} ·ln(x)})^{q}.

Die einzige reelle positive Lösung a dieser Gleichung ist offensichtlich

x^{\frac{p}{q}} = a = e^{\frac{p}{q} ·ln(x)}.

Also: für jedes rationale y gilt

x^{y} = e^{y·ln(x)} für jedes x > 0.

Man benutzt die obige Formel, um Potenzen von x > 0 auch für nicht-rationale reelle Werte y zu definieren, was nach obiger Überlegung mit der intuitiven ”Wurzeldefinition“ für rationales y verträglich ist. Z. B.:

>> float(2^PI) = float(exp(PI*ln(2)))
                   8.824977827 = 8.824977827

Satz 5.6: (Rechenregeln für exp und ln)

Für beliebiges x, y ∈ ℝ gilt:

e^{x+y} = e^{x} · e^{y}, (e^{x})^{y} = e^{x·y}, e^{−x} = \frac{1}{e^{x}} .

Für beliebiges x > 0, y > 0 gilt:

ln(x · y) = ln(x) + ln(y), ln(x^{y}) = y · ln(x), ln (\frac{1}{x}) = − ln(x).

Beweis: Die Funktionalgleichungen e^{z_{1}+z_{2}} = e^{z_{1}} · e^{z_{2}} und e^{−z} = 1/e^{z} waren schon in Satz 2.22 über ℂ gezeigt worden. Sind z_{1}, z_{2} ∈ ℝ, folgt durch Logarithmieren

z_{1} + z_{2} = ln (e^{z_{1}} · e^{z_{2}}).

Mit x = e^{z_{1}}, y = e^{z_{2}}, also z_{1} = ln(x), z_{2} = ln(y), folgt ln(x) + ln(y) = ln(x · y). Für y = 1/x ergibt sich ln(x) + ln(1/x) = ln(1) = 0. Nach Definition beliebiger reeller Potenzen gemäß Bemerkung 5.5 ergibt sich

(e^{x})^{y} = e^{y·ln(e^{x})} = e^{y·x}.

Durch Logarithmieren folgt für beliebiges reelles z = e^{x} > 0:

ln(z)^{y} = y · x = y · ln(z).

Q.E.D.

Beispiel 5.7: Die Regel ln(x^{y}) = y · ln(x) ist nützlich, um Gleichungen aufzulösen, wo die gesuchte Größe in einem Exponenten auftaucht. Z.B.:

2^{x} = 8 ⇒ ln(2^{x}) = ln(8) ⇒ x · ln(2) = ln(8)

⇒ x = \frac{ln(8)}{ln(2)} = \frac{ln(2^{3})}{ln(2)} = \frac{3 · ln(2)}{ln(2)} = 3.

Bemerkung 5.8: Aus der Schulzeit mag man gewöhnt sein, statt mit dem natürlichen Logarithmus mit dem Zehner-Logarithmus log_{10} umzugehen. Bei Informatikern ist (aus naheliegenden Gründen) der Logarithmus log_{2} zur Basis 2 populär. Hier ist der Zusammenhang zwischen dem natürlichen Logarithmus und dem Logarithmus zu einer beliebigen (positiven) Basis b ≠ 1:

x = log_{b}(y) ⇔ y = b^{x} ⇔ ln(y) = ln(b^{x}) = x · ln(b) ⇔ x = \frac{ln(y)}{ln(b)},

also

log_{b}(y) = \frac{ln(y)}{ln(b)} für alle y > 0, b > 0, b ≠ 1.

Beispiel 5.9: Neben dem natürlichen Logarithmus ln hat MuPAD Logarithmen log(b, y) zu beliebigen positiven Basen b ≠ 1:

>> log(10, 25.0) = ln(25.0)/ln(10.0)
                   1.397940009 = 1.397940009
>> log(2, 25.0) = ln(25.0)/ln(2.0)
                    4.64385619 = 4.64385619

5.2 Die trigonometrische Funktionen

In der Schule waren im Kontext ”Geometrie“ die Winkelfunktionen sin und cos eingeführt worden. Hier unsere Versionen:

Satz und Definition 5.10:

Die folgenden Reihen konvergieren für jeden Wert z ∈ ℂ. Die Reihenwerte heißen sin(z) bzw. cos(z) (die ”trigonometrischen Funktionen“ Sinus und Cosinus):

\begin{aligned}sin(z) & = & ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} · z^{2·k+1}}{(2 · k + 1)!} & = & z − \frac{z^{3}}{3!} + \frac{z^{5}}{5!} − \frac{z^{7}}{7!} ± ⋯, \\ cos(z) & = & ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} · z^{2·k}}{(2 · k)!} & = & 1 − \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{4}}{4!} − \frac{z^{6}}{6!} ± · · · . \end{aligned}

Beweis: Es ist zu zeigen, dass die definierenden Reihen konvergieren. In der Tat konvergieren sie absolut, was analog zu Beispiel 3.24 aus dem Quotientenkriterium folgt. Für die sin-Reihe:

|\frac{(−1)^{k+1} · z^{2·k+3}/(2 · k + 3)!}{(−1)^{k} · z^{2·k+1}/(2 · k + 1)!}| = \frac{|z|^{2} · (2 · k + 1)!}{(2 · k + 3)!}

= \frac{|z|^{2}}{(2 · k + 2) · (2 · k + 3)} ≤ \frac{|z|^{2}}{4 · k^{2}} ≤ \frac{1}{4}

für k ≥ |z|. Die Konvergenz der cos-Reihe folgt analog.

Q.E.D.

Das folgende Zusammenhang ist eine der wichtigsten Formeln überhaupt für exp, sin und cos:

Satz 5.11: (Die Euler-Formel)

Für jedes z ∈ ℂ gilt folgende Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen:

e^{i·z} = cos(z) + i · sin(z).

Für x ∈ ℝ folgt cos(x) = ℜ(e^{i·x}), sin(x) = ℑ(e^{i·x}).

Beweis:

cos(z) + i · sin(z)

= 1  − \frac{z^{2}}{2!}  + \frac{z^{4}}{4!}  ± ⋯
+ i · z  − \frac{i · z^{3}}{3!}  + \frac{i · z^{5}}{5!}  ∓ ⋯
= 1 + i · z + \frac{(i · z)^{2}}{2!} + \frac{(i · z)^{3}}{3!} + \frac{(i · z)^{4}}{4!} + \frac{(i · z)^{5}}{5!} + · · · .

Q.E.D.

Satz 5.12:

Für jedes z ∈ ℂ gilt sin(z) = \frac{e^{i·z} − e^{−i·z}}{2 · i}, cos(z) = \frac{e^{i·z} + e^{−i·z}}{2} .

Beweis:

e^{i·z} ± e^{−i·z} = cos(z) + i · sin(z) ± cos(−z) ± i · sin(−z)

= cos(z) + i · sin(z) ± cos(z) ∓ i · sin(z) = \{ \begin{matrix}2 · cos(z) & für +, \\ 2 · i · sin(z) & für − . \end{matrix}

Q.E.D.

Satz 5.13: (Stetigkeit der trigonometrischen Funktion)

Die trigonometrischen Funktionen sin und cos sind auf ℂ stetig.

Beweis: Da die Exponentialfunktion auf ℂ stetig ist, folgt dies über die Rechenregeln 4.7 für Stetigkeit aus den Darstellungen in Satz 5.12.

Q.E.D.

Satz 5.14: (Die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen) Für beliebiges z_{1}, z_{2} ∈ ℂ gilt:

sin(z_{1} + z_{2}) = sin(z_{1}) · cos(z_{2}) + cos(z_{1}) · sin(z_{2}),
cos(z_{1} + z_{2}) = cos(z_{1}) · cos(z_{2}) − sin(z_{1}) · sin(z_{2}).

Beweis: Für z_{1}, z_{2} ∈ ℝ sind wegen cos(x) = ℜ(e^{i·x}), sin(x) = ℑ(e^{i·x}) die Additionstheoreme nichts Anderes als die Funktionalgleichung für exp:

cos(z_{1} + z_{2}) = ℜ(e^{i·(z_{1}+z_{2})}) = ℜ(e^{i·z_{1}} · e^{i·z_{2}})
= ℜ((cos(z_{1}) + i · sin(z_{1})) · (cos(z_{2}) + i · sin(z_{2})))
= cos(z_{1}) · cos(z_{2}) − sin(z_{1}) · sin(z_{2}).

Das Additiontheorem für den reellen Sinus folgt analog über sin(z_{1} + z_{2}) = ℑ(e^{i·(z_{1}+z_{2})}). Für beliebiges z_{1}, z_{2} ∈ ℂ nehme man die Darstellung aus Satz 5.12, um die Additionstheoreme auf e^{i·(z_{1}+z_{2})} = e^{i·z_{1}} · e^{i·z_{2}} zurückzuführen.

Q.E.D. 13.6.02↓

Satz 5.15: (Symmetrien der trigonometrischen Funktionen)

Für beliebiges z ∈ ℂ gilt: sin(−z) = − sin(z), cos(−z) = cos(z).

Beweis: Die Sinus-Reihe enthält nur ungerade Potenzen: (−z)^{2·k+1} = −z^{2·k+1}. Die Cosinus-Reihe enthält nur gerade Potenzen: (−z)^{2·k} = z^{2·k}.

Q.E.D.

Satz 5.16: (Der Satz des Pythagoras)

Für jedes z ∈ ℂ gilt: sin^{2}(z) + cos^{2}(z) = 1 .

Beweis: Dies ist das Additionstheorem des Cosinus für z_{1} = z, z_{2} = −z zusammen mit cos(0) = 1:

1 = cos(z − z) = cos(z) · cos(−z) − sin(z) · sin(−z) = cos^{2}(z) + sin^{2}(z).

Q.E.D.

Wir brauchen die Kreiszahl π. Da wir hier keine Geometrie treiben und π über das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser einführen können, müssen wir π anders definieren:

Satz und Definition 5.17:

Auf der positiven reellen Achse besitzt der Cosinus mindestens eine Nullstelle. Sei x_{1} = inf {x ∈ ℝ; cos(x) = 0; x > 0} die kleinste positive Nullstelle des Cosinus. Definiere π = 2 · x_{1} ≈ 3.1415... .

Beweis: Die Summanden der Cosinus-Reihe cos(x) = 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4!} ∓ ⋯ haben wechselnde Vorzeichen. Für kleines |x| sind die Summanden monoton fallend.

Damit gilt cos(x) = 1 − \frac{x^{2}}{2} + f(x), wobei speziell für |x| ≤ 2 gilt:

0 ≤ f(x) = \frac{x^{4}}{4!} − \frac{x^{6}}{6!} ± ⋯ ≤ \frac{x^{4}}{4!} .

Es folgt

cos(1) = 1 − \frac{1}{2!} + f(1), 0 ≤ f(1) ≤ \frac{1}{24},

cos(2) = 1 − \frac{4}{2!} + f(2), 0 ≤ f(2) ≤ \frac{16}{24},

also

cos(1) ≥ 1 − \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0, cos(2) ≤ 1 − \frac{4}{2} + \frac{16}{24} = −\frac{1}{3} < 0.

Der Zwischenwertsatz 4.19 für stetige Funktionen garantiert (mindestens) eine Nullstelle im Intervall (1, 2). Damit ist die Menge {x ∈ ℝ; cos(x) = 0; x > 0} nicht leer und besitzt ein Infimum.

Q.E.D.

Über die Additionstheoreme und Pythagoras folgt nun eine Vielzahl von speziellen Resultaten, z.B.:

sin(2 · x) = 2 · sin(x) · cos(x) ⇒ sin(π) = 2 · sin (\frac{π}{2} ) · cos (\frac{π}{2} ) = 0,
cos(2 · x) = cos^{2}(x) − sin^{2}(x) = 2 · cos^{2}(x) − 1

⇒ cos(π) = 2 · cos^{2} (\frac{π}{2} ) − 1 = −1,

sin(x + π) = sin(x) · \underbrace{cos(π)}_{−1} + cos(x) · \underbrace{sin(π)}_{0} = − sin(x),

cos(x + π) = cos(x) · \overbrace{cos(π)} − sin(x) · \overbrace{sin(π)} = − cos(x)

etc. Hieraus folgt dann weiterhin die Periodizität

sin(x + 2 · π) = sin(x), cos(y + 2 · π) = cos(x).

Die Einzelergebnisse aus Satz 5.11 bis Satz 5.16 werden zusammengefaßt:

Merke 5.18:

Graphisch:

  >> plotfunc2d(cos(x), sin(x), x=0..2*PI,
                Ticks = [[0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI",
                         3*PI/2 = "3*PI/2", 2*PI = "2*PI"],
                         [-1, -1/2, 0, 1/2, 1]])

Einige spezielle Werte:

sin(0) = 0 , sin (\frac{π}{2} ) = 1, sin(π) = 0, sin (\frac{3 · π}{2} ) = −1,
cos(0) = 1, cos (\frac{π}{2} ) = 0, cos(π) = −1, cos (\frac{3 · π}{2} ) = 0 .

Periodizität (man braucht die Funktionen nur auf [0, 2 · π) zu kennen):

sin(x + 2 · π) = sin(x), cos(y + 2 · π) = cos(x).

Additionstheoreme:

sin(x + y) = sin(x) · cos(y) + cos(x) · sin(y),
cos(x + y) = cos(x) · cos(y) − sin(x) · sin(y).

Symmetrieeigenschaften:

sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x).

Pythagoras: sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1.

Euler-Formel: e^{i·x} = cos(x) + i · sin(x).

Bemerkung 5.19: Vielleicht ist man aus der Schule noch gewohnt, die Argumente der trigonometrischen Funktion in Winkelgraden α = 0^{0}, …, 360^{o} anzugeben. Mathematiker nehmen statt des Winkels α die zugehörige Bogenlänge x auf dem Einheitskreis (Einheit: ”Radian“), der Zusammenhang ist

x = \frac{π}{180} · α,

d.h., 90^{o} ˆ= \frac{π}{2} , 180^{o} ˆ= π, 360^{o} ˆ= 2 · π: [figure: 1; \overbrace{cos(x)}; \} sin(x); α; x]

5.3 Die komplexe Exponentialfunktion, Polardarstellungen

In der Geometrischen Interpretation 1.8 der komplexen Zahlen

[figure: ℂ; x; i · y; z = x + i · y; ℜ(z) = |z| · cos(φ); ℑ(z) = |z| · sin(φ); |z|; φ]

war die Polardarstellung

z = |z| · ( cos(φ) + i · sin(φ)), φ ∈ [0, 2 · π)

komplexer Zahlen eingeführt worden. Mit der Euler-Formel 5.11 ergibt sich die kompakte Polardarstellung:

z = |z| · e^{i·φ}, φ ∈ [0, 2 · π).

Man beachte, dass Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 · π bestimmt ist (Periodizität von Sinus und Cosinus):

e^{i·(φ+k·2·π)} = e^{i·φ} · e^{i·k·2·π} = e^{i·φ} · (\underbrace{e^{i·2·π}}_{1})^{k} = e^{i·φ} für alle k ∈ ℤ.

Wir vereinbaren, dass unsere Polarwinkel im Intervall [0, 2 · π) liegen.

Geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation 5.20: Mit z_{1} = |z_{1}| · e^{i·φ_{1}}, z_{2} = |z_{2}| · e^{i·φ_{2}}, \frac{1}{z_{2}} = \frac{1}{|z_{2}|} · e^{−i·φ_{2}} gilt

z_{1} · z_{2} = |z_{1}| · |z_{2}| · e^{i·(φ_{1}+φ_{2})}, \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} · e^{i·(φ_{1}−φ_{2})}.

Also: die Multiplikation mit einer Zahl mit dem Polarwinkel φ dreht einen komplexen Vektor um den Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn, die Division durch diese Zahl dreht den Vektor um den Winkel φ im Uhrzeigersinn. Multiplikation mit i bzw. Division durch i dreht speziell um 90^{o}. Das ist leicht zu merken:

Ein Mathematiker ruft an und hört: ”Die gewählte Nummer ist imaginär. Bitte drehen Sie ihren Apparat um 90^{o}!“

Bemerkung 5.21: Für Potenzen von z = |z| · e^{i·φ} folgt

z^{n} = |z|^{n} · e^{i·n·φ}.

Damit sind wir nun in der Lage, komplexe Wurzeln zu berechnen. Die Aufgabe sei: finde alle Lösungen von z^{n} = a.

Schritt 1: Stelle a in Polarkoordinaten dar: a = |a| · e^{i·α} mit α ∈ [0, 2 · π). Schritt 2: Ansatz für die Wurzeln: z = r · e^{i·φ} mit φ ∈ [0, 2 · π). Vergleiche

z^{n} = r^{n} · e^{i·n·φ} = |a| · e^{i·α}.

Vergleich der Beträge ergibt die reelle Gleichung r^{n} = |a|, d.h. r = ^{n} \sqrt{|a|}. (Dies ist eine reelle Wurzel, deren Bedeutung klar ist.) Es verbleibt, den Polarwinkel φ der komplexen Wurzeln aus der verbleibenden Gleichung

e^{i·n·φ} = e^{i·α}

zu bestimmen. Da Polarwinkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2 · π bestimmt sind, folgt nicht n · φ = α, sondern (mit φ_{k} statt φ):

n · φ_{k} = α + k · 2 · π, k ∈ ℤ,

also

φ_{k} = \frac{α}{n} + \frac{k}{n} · 2 · π, k ∈ ℤ.

Hierbei brauchen nur die n Werte k = 0, 1, …, n − 1 betrachtet zu werden, für die φ_{k} ∈ [0, 2 · π) gilt (sofern α ∈ [0, 2 · π) gilt). Alle anderen Winkel φ_{k} liegen außerhalb von [0, 2 · π) und stimmen bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von 2 · π mit einem dieser ”Basiswinkel“ φ_{0}, …, φ_{n−1} überein.

Schritt 3: Ergebnis: die n verschiedenen Lösungen von z^{n} = a = |a| · e^{i·α} sind:

z_{k} = ^{n} \sqrt{|a|} · e^{i·φ_{k}} = ^{n} \sqrt{|a|} · ( cos(φ_{k}) + i · sin(φ_{k}))

mit

φ_{k} = \frac{α + k · 2 · π}{n} , k = 0, 1, …, n − 1.

Geometrisch: die Wurzeln liegen alle gleichmäßig auf dem Kreis mit dem Radius ^{n} \sqrt{|a|} verteilt:

z_{k} = cos (\frac{k · 2 · π}{n} ) + i · sin (\frac{k · 2 · π}{n} ), k = 0, 1, …, n − 1.

Z.B. für n = 4;

z_{k} = cos (\frac{k · π}{2} ) + i · sin (\frac{k · π}{2} ) = \{ \begin{matrix}1 & für k = 0, \\ i & für k = 1, \\ −1 & für k = 2, \\ −i & für k = 3. \end{matrix}

[figure: ℂ; x; i · y; a = |a| · e^{i·α}; α/n; z_{0} = ^{n} \sqrt{|a|} · e^{i· \frac{α}{n}}; z_{1}; z_{2}; z_{3}; z_{n−2}; z_{n−1}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}; \frac{2π}{n}] Beispiel 5.22: Die n-ten ”Einheitswurzeln“ der Gleichung z^{n} = 1 = 1 · e^{i·0} sind

88 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN

Für n = 6:

z_{k} = cos (\frac{k · π}{3} ) + i · sin (\frac{k · π}{3} ) = \{ \begin{matrix}1 & für k = 0, \\ \frac{1+i·\sqrt{3}}{2} & für k = 1, \\ \frac{−1+i·\sqrt{3}}{2} & für k = 2, \\ −1 & für k = 3, \\ \frac{−1−i·\sqrt{3}}{2} & für k = 4, \\ \frac{1−i·\sqrt{3}}{2} & für k = 5. \end{matrix}

Beispiel 5.23: In Beispiel 1.24 hatten wir für Potenzen von

A = ( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{matrix} )

gefunden:

A^{n} = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} & \frac{i}{4} · (1 + i)^{n} − \frac{i}{4} · (1 − i)^{n} \\ −i · (1 + i)^{n} + i · (1 − i)^{n} & \frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} \end{matrix} ) .

Es fehlt noch eine einfache Darstellung von (1 ± i)^{n}, mit der (hoffentlich) ersichtlich wird, dass A^{n} eine reelle Matrix ist. Über die Polardarstellungen

1 ± i = \sqrt{2} · e^{±i· \frac{π}{4}}

ergibt sich mit |1 ± i| = \sqrt{2} und den Polarwinkeln ±\frac{π}{4} :

(1 ± i)^{n} = 2^{n/2} · e^{±n·i· \frac{π}{4}} = 2^{n/2} · ( cos (n · \frac{π}{4} ) ± i · sin (n · \frac{π}{4} )).

Damit folgt

(A^{n})_{11} = \frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} = 2^{n/2} · cos(n · \frac{π}{4} ),
(A^{n})_{12} = \frac{i}{4} · (1 + i)^{n} − \frac{i}{4} · (1 − i)^{n} = −2^{n/2−1} · sin(n · \frac{π}{4} ),
(A^{n})_{21} = −i · (1 + i)^{n} + i · (1 − i)^{n} = 2^{n/2+1} · sin(n · \frac{π}{4} ),
(A^{n})_{22} = \frac{1}{2} · (1 + i)^{n} + \frac{1}{2} · (1 − i)^{n} = 2^{n/2} · cos(n · \frac{π}{4} ).

Insgesamt erhalten wir also in der Tat die in Beispiel 1.24 gefragte explizite (und nun recht einfache) reelle Darstellung beliebiger Potenzen von A:

( \begin{matrix}1 & −\frac{1}{2} \\ 2 & 1 \end{matrix} )^{n} = ( \begin{matrix}2^{\frac{n}{2}} · cos(n · \frac{π}{4} ) & −2^{\frac{n}{2} −1} · sin(n · \frac{π}{4} ) \\ 2^{\frac{n}{2} +1} · sin(n · \frac{π}{4} ) & 2^{\frac{n}{2}} · cos(n · \frac{π}{4} ) \end{matrix} ) .